专题3 “一线三等角”问题-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

.△BAD≌△CAE(SAS)」 3.B 专题三“一线三等角”问题 例题精讲 例1(1)证明：，BD⊥直线m,CE⊥直线m, ∴.∠BDA=∠CEA=90°， .∠BAC=90°，.∠BAD+∠CAE=90°， .∠BAD+∠ABD=90°，∴.∠CAE=∠ABD I∠BDA=∠AEC, 在△ABD和△CAE中，《 ∠ABD=∠CAE AB=AC, .△ABD≌△CAE(AAS). (2)6 例2B 例3（1)证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠B=90°，∴.∠ADE+∠AED=90°， ,DE⊥EF,∴.∠DEF=90,∴.∠BEF+∠AED=90°， ∴.∠ADE=∠BEF,∴.△AED∽△BFE; (2)解：E为AB的中点，.AE=BE=5. 由(1)知△AED△BFE, 例专 举一反三 1.解：(1)BD (2),'AC=10,△ABC的周长为24， '.AB+BC=24-AC=24-10=14, ,△ABC≌△CDE,.AB=CD, .BD=BC+CD=BC+AB=14. 2300 3cm23.v3 4.(1)证明：，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， ∴.∠B=∠C=45° ,∠ADC=∠BAD+∠B=∠ADE+∠EDC,∠ADE=45, '.∠BAD=∠EDC .△BADP△CDE. (2)3 专题四旋转变换与费马点问题 例题精讲 例1万 例2解：如答图，将△BPC绕点B顺时针旋转60得△BP'C', 连接CC,PP',AC' 则△BPP',△BCC是等边三 A H 角形， ∴PP'=BP,P'C=PC, : ∴.PA+PB+PC=PA+ PP'+P'C', G ∴.当A,P,P',C共线时，PA B 十PB十PC取最小值，即为 AC的长，过点C作CH⊥ AD于点H,交BC于点G, ,BC=6,△BCC'是等边 三角形， ..BG=AH=3, CG=tan60°XBG=3√3， 答图 .C'H=HG+C'G= 53, 在Rt△AC'H中，由勾股定理得： 参考答宋 AC'=√32+(53)=2√21， ∴.PA+PB+PC的最小值为2√2I 例3解：(1)150 (2)如答图，把△ABE绕点 A逆时针旋转90°得 到△ACE', 由旋转得，AE=AE,CE =BE=3,∠CAE'=B 答图 ∠BAE,∠ACE'=∠B, ∠EAE'=∠BAC=90°， ∠EAF=45°，.∠EAF=90°-45°=45°， ∴.∠EAF=∠E'AF, (AE=AE', 在△EAF和△E'AF中，{∠EAF=∠E'AF, AF=AF, ∴.△EAF≌△E'AF(SAS),.EF=E'F, ∠CAB=90°，AB=AC,∴.∠B=∠ACB=45°， ∠ACE'=∠B=45°，∠E'CF=45°+45°=90°， CF=2, .EF=E'F=√CE+CF=√32+2=√I3; (3)PA+√2PB+PC的最小值为2√/I9. 举一反三 1.解：如答图所示，以点C为旋 转中心，将△CBP顺时针旋 转60°得到△CNM,连接 B PM,BN,AN. 由旋转可得，△CBP ≌△CNM, ∴.MN=BP,PC=CM, ∠PCM=60°=∠BCN, BC=CN, ∴.△PCM,△CBN都是等边 答图 三角形， ∴.PC=PM,NC=NB, ∴.PA+PB+PC=PA+MN+PM≥AN, 即当A,P,M,N四点共线时，PA+PB十PC取最小值. .AB=AC=1,∠BAC=90°，∴.BC=2, 当A,P,M,N四点共线时，由AC=AB,NC=NB可得 AN垂直平分BC,设AN交BC于点Q, 则AQ=8C--0Q,Q-9, 此时AN=AP+PM十MN=AQ+Q-号+ 2.解：(1)等边三角形 (2)设AB=a,AB+AC=10, .AC=10-AB=10-a, 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC2=AB2十AC2=a +(10-a)2=2a2-20a+100=2(a-5)2+50, .(a-5)2≥0，.2(a-5)2+50≥50，即BC2≥50， ∴.BC≥5√2，即BC的最小值为5√2； (3)如答图，将△ABE绕点AE B逆时针旋转60°得到 △ABE',连接EF',A'C ∠A'E'B=∠AEB,AB= A'B,A'E'=AE,BE'= 答图 BE,∠EBE'=∠ABA'=60°， △EBE'为等边三角形，第二部分 专题突破 专题三“一线三等角”问题 国方法解读 例题精讲 ★1.一线三垂直、垂直全等、相似 例1如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC, 【模型分析】 直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线 如图，∠B=∠C=90°，Rt△ABE, m,垂足分别为D,E. Rt△DEC在线段BC同侧，∠AED (1)求证：△ABD≌△CAE; (2)BD=2 cm,CE=4 cm,DE=cm. =90°. 模型特点：具有三个直角，常利用 同角（等角）的余角相等证明角相 等，再证三角形全等或相似，根据全 等或相似性质进行解题， 举一反三 1.如图，已知△ABC≌△CDE,且B,C,D三点共线，∠B=90°，连接AE. (1)一般说来，全等三角形可以通过轴对称、平移、旋转得到.请填空：△ABC绕点B逆时针旋转90 度，再向右平移 (填“BC”“CD”或“BD”)的距离，可得△CDE; (2)若AC=10,△ABC的周长为24，求线段BD的长. 写方法解读 写例题精讲 ★2.一线三等角（全等、相似） 例2如图，在△ABC和△DCE中，AB= 【模型分析】 AC=DC=DE=10,AC⊥CD,点B,C, 如图，△APC,△PBD在线段AB同侧，AP=BD,AC=PB. E在同一条直线上.若BC=12,则 CE的长为 3 A B 纯角一线三角形 模型特点：三个等角在同一条直线上，称一线三等角模型 A.10 B.16 (角有锐角、钝角、直角)，利用三等角和三角形内角和找全 C.18 D.20 等三角形所需的角相等的条件.一线三等角的解题理念：有 边相等证全等，无边相等证相似， 185 了新课标中考宝典·数学（广东专用版） 写举一反三 2.课间，小聪拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两墙之间（如图）， ∠ACB=90°，AC=BC,从三角尺的刻度可知AB=20cm,小聪很快就知道了砌 墙砖块的厚度的平方（每块砖的厚度相等）为 国方法解读 ★3.一线三垂直（相似） 如图，△ABC与△CDE,∠B=∠D =90°， 模型特点：同侧型，两个直角三角形 在公共直线同一侧，直角边分别与 公共直线垂直；异侧型：两个直角三 角形在公共直线的两侧，直角边分 别与公共直线垂直 g例题精讲 举一反三 例3如图，在矩形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE,过点E作EF⊥3.如图，在矩形ABCD DE交BC于点F. 中，AB=6,将点B折 叠到CD边上点E 处，折痕为AF,连接 AE,EF,若点E是 (1)求证：△AED∽△BFE; CD的中点，则CF的 (2)若AB=10,AD=6,E为AB的中点，求BF的长. 长为 186 第二部分 专题突破 方法解读 写例题精讲 ★4.一线三等角（相似） 例4如图，△ABC是等边三角形，点 【模型分析】 D,E分别在BC,AC上，且∠ADE =60°，AB=6,BD=2,则CE的长 等于 模型特点：三个等角在同一直线上，如图，∠1=∠2=∠3，可 根据三角形内角和定理及补角的性质得另一组等角，从而 + 得三角形相似 60° B D 解题思路：有边相等证全等，无边相等证相似 国举一反三 4.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D,E分别在边BC,AC上， 连接AD,DE,有∠ADE=45° (1)证明：△BDA∽△CED; (2)若BC=6,当AE=ED时，BD= 187