专题4 几何图形的折叠问题-【中考宝典】2026年数学总复习（深圳专用版）

0 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 专题四 几何图形的折叠问题 分类探究 类型一 利用折叠出现的直角三角形、等腰三角形求解 例1(2025·长春)将直角三角形纸片ABC(∠C=90)按如图方式折叠两次再展开，下列结论 错误的是 折叠 再折叠 展开 B A.MN∥DE∥PQ B.BC=2DE=4MN CAN-BQ-ZNQ MN DE PQ D.DE-PQ BC 变式1(2025·阿城区一模)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D在BC边上，把△ABD 沿AD折叠后，使得点B落在点E处，连接BE、CE,若∠DBE=20°，则∠DCE= 名师点拨：根据等腰三角形的性质、翻折的性质及角的和差求解」 例2(2025·齐齐哈尔)等腰三角形纸片ABC中，AB=AC,将纸片沿直线l折叠，使点A与点 B重合，直线1交AB于点D,交直线AC于点E,连接BE,若AE=5,an∠AED-,则△BEC的 面积为 变式2(2025·深圳一模)等腰Rt△ABC中∠C=90°，点D为斜边AB中点，点E为线段AC 上一点，且AE=5CE,将△ADE沿着DE翻折得到△A'DE,A'D和A'E分别交边BC于G,F,连接 S△A'GF DF,SADGF B 9 名师点拨：建直角坐标系，连接AA',求出A,D点坐标，进而求出DE的长，作DH⊥x轴，OM⊥x 轴，等积法求出AO的长，进而求出OE的长，三角函数求出OM,EM的长，进而求出O点坐标，对 称，求出A'坐标，根据同底三角形的面积比等于高线比，即可得出结果 260 第二部分 专题突破 例3(2025春·达川区期中)在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3,D是AC 边上一点，且CD=1,E是AB边上一点，将△ADE沿DE翻折，使点A落在线段BC的F点上，则 AE- B 例3图 变式3图 变式3(2025·鸟鲁木齐一模)如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等 腰直角三角形BEF,若BC=1,则AB的长度为 ( A√2 B2+1 C.5+1 2 名师点拨：先判断出∠ADE=45°，进而判断出AE=AD,利用勾股定理即可得出结论 E B 类型二利用折叠出现的全等、相似求解 例4(2025·深圳模拟)【课例改编】数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如 图，AD是△ABC的高，∠C=2∠B,若CD=2,AC=5,求BC的长 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将△ACD沿AD折叠，如图1，则点C刚好落在BC 边上的点E处… (1)结合小明同学的想法，请直接写出：BC= 【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： (2)如图2，∠ACB=2∠B,AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D,则线段 AB,AC,CD有什么数量关系？请写出你的猜想并证明. 【模型应用】根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： E D D 图2 261 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） (3)如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,∠D=2∠B,AD=8,DC=10,求AB的长， 图3 名师点拨： 1,由题意画出图形，结合折叠的性质，再由三角形外角的定义及性质即可得到答案； 2,在AF上截取AG=AC,连接DG,再根据三角形外角的定义及性质即可得证； 3.在AB上截取AH=AD,连接CH,证明△CAH≌△CAD(SAS),推导出AB=18. 变式4(2025·深圳模拟)综合与实践 图1 图2 图3 【课本再现】(1)如图1，△ABD,△AEC都是等边三角形. ①BE与CD有什么关系？请用旋转的性质说明上述关系。 数学小组发现在图1的四边形ABCE中，BE的长度与AB,BC之间存在一定的关系，可考虑通 过旋转构造特殊三角形之间的全等或相似求解. 【特例感知】②若∠ABC=30°，∠BAC=90°，AC=2,则BE= 请你尝试解决以下问题： 【类比应用】(2)如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AD=DC,AB=8,BC =3√2，求BD的长. 262 第二部分专题突破 0加 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=75°，∠ADC=60°，CD:AD=2:1,AB=3√2，BC= 3,直接写出BD的长. 名师点拨： 1.根据等边三角形的性质、折叠和相似三角形的性质即可得到结论； 2根据正方形、折叠、相似三角形的性质和勾股定理即可求解； 3根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质、勾股定理即可求解。 263 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 巩固提升 1.(2025·泰山区校级模拟)折叠拦道闸如图1所示.若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为 如图2所示的几何图形，其中BA⊥AE,垂足为A,CD∥AE,则∠ABC十∠BCD= ( ) A.200° B.230° C.250° D.270° C H 图1 图2 第1题图 2.(2025春·上城区校级期中)在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方 形纸带ABCD,点E在AD上，点F在BC上，把长方形纸带沿EF折叠，若∠A'EF=40°，则 ∠A'GC的度数是 B 第2题图 3.(2025·湖北模拟)李老师在教学八年级下册第64页数学活动时，引导同学们对几何图形的折叠问 题进行了如下数学探究 (1)如图1，在矩形ABCD中，将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点F处，连接CF交AD于点E. 求证：△AEF≌△CED, (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=3,BC=8,点E为BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，点 B落在点F处，连接CF,当CF∥AE时，求CF的长度 (3)如图3，在矩形ABCD中，点E和点F分别在边BC和AD上，将四边形ABEF沿直线EF翻 折，点A落在点G处，点B落在CD边上点H处，连接GH交AD于点M,当AB=7,CH=3, CE=4时，求AF的长度. 图1 图2 图3 264 第二部分专题突破 加 (第3题答题区) 265 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 4.(2025·深圳模拟)综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师让同学们准备了一些等边三角形纸片、正方形纸片和等腰直角三角 形纸片，通过折、拼的方式探索其中蕴含的数学知识. 【数学思考】 (1)希望小组选用等边三角形纸片进行折叠，并提出问题：如图1，将等边三角形ABC沿直线DE折叠，点 A怡好清在边C上的点F处打维分别安AB,AC于D.E两点求证品8即， (2)善思小组选用正方形纸片进行折叠，并提出问题：如图2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，点 A恰好落在边BC的中点G处，点D落在点H处，折痕分别交AB,CD于E,F两点，设GH, CD交于点I若AB=8,求GI的长； 【拓展探究】 (3)智慧小组将两个不同的等腰直角三角形拼在一起，并提出问题：如图3，△ABC与△ADE都是 等腰直角三角形，点D在边BC上，∠BAC=∠DAE=90°，DE交AC于点F.若BD=1,CD 3,请直接写出图中阴影部分的面积. G 图 图2 图3 266新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 答图1 答图2 (3)解：如答图2，过点E作EF∥AB,交CM于点F, 设MA=a,则BM=2a, 由(1)可得：AB=BE=CE-3a, YEF∥AB,∴.△CEF∽△CBM.BM-BC-CM EF CE CF 小贾-岩g-名FaGF=PEr=AM, .'EF∥AM,∴.∠AMN=∠NFE,∠MAN=∠NEF, .△AMN≌△EFN(ASA). .5M-SmMN-FN-FM-CF, ∴.S&C=2S△rN=2S△AMN, ,△AMN区域的花卉种植费用为a元 ∴.△CEN区域的花卉种植费用为3a元 专题四几何图形的折叠问题 分类探究 例1D变式125或15例2号或 变式21 4 例33√2-√6变式3A 例4(1)9 (2)解：AB+AC=CD.证明：如答图1，在AF上截取AG AC,连接DG, .AD平分∠CAF,∴.∠CAD=∠GAD AG=AC. 在△CAD和△GAD中， ∠CAD=∠GAD, IAD-AD. ,.△CAD≌△GAD(SAS),..CD=GD.∠ACD=∠AGD, :∠ACD+∠ACB=180°，∠AGD+∠DGF-180°， ,.∠ACB=∠DGF, .'∠ACB=2∠B,∴.∠DGF=2∠B, ,∠DGF=∠B十∠BDG,.∠B=∠BDG, ∴.BG=DG,∴.BA+AG=BG=DG=CD, ..AB+AC=CD; F G D C D B H 答图1 答图2 (3)如答图2，在AB上截取AH=AD,连接CH, .AC平分∠BAD,∴.∠HAC=∠DAC AH=AD. 在△CAH和△CAD中，∠HAC=DAC AC=AC. ∴.△CAH≌△CAD(SAS),∴.∠D=∠CHA,CD=CH, ..BH=CH=CD=10,.'AH=AD=8...AB=18. 变式4解：(1)①BE=CD,理由如下：·△ABD,△AEC都是 等边三角形，.AE=AC,AB=AD,∠EAC=∠BAD, .△ACD可以看成是△AEB绕点A旋转得到的，其中点E 的对应点是点C,点B的对应点是点D,BE=CD: ②∠ABC=30°，∠BAC=90°，AC=2, :BC=2AC=4∴AB=√BC-AC=√4-22=23， ,·△ABD是等边三角形，∴.BD=AB=2√5，∠ABD=60°， ∴.∠CBD=∠ABC+∠ABD=30°+60°=90°， ∴.CD=√BD2+BC=√(2√3)2+4=2√7， ∴.BE=CD=2√7，故答案为2√7： 4 2 B 答图1 答图2 答图3 (2),∠ADC=60°，AD=DC,∴.以D点为旋转中心，把△BCD 绕点D顺时针旋转60得到△BAD,连接B'B,如答图1， ∴B'D=BD,∠BDB'=60°，∠B'AD=∠C,BA=BC=32, .△BDB'是等边三角形， 过B作B'E⊥BA交BA延长线于点E,如答图2， :∠ABC=75°，∠ADC=60°， .∠BAD+∠C=360°-75-60°=225°. .∠B'AD=∠C,.∠BAD+∠B'AD=225°， ∴.∠B'AB=360°-∠BAD-∠B'AD=135°， ∴.∠BAE=180°-∠B'AB=180°-135=45°， 又，B'E⊥BE,∴.△B'AE为等腰直角三角形， B'A=3√2，∴.B'E=AE=3, ,AB=8,.BE=AB+AE=8+3=11, 在Rt△BEB'中，BB'-√BE+BE-√1+3-√I30, .∴，BD=BB'=130. (3)如答图3，将BD绕着点D逆时针旋转60°且延长得到 DE,使DE:BD=2:I,连接BE,CE, .∠ADC=60°，CD:AD=2:1, ∴.∠ADB=∠CDE,CD:AD=DE:BD ∴.△ABD∽△CED,.CE=2AB=6N2,∠A=∠DCE, ∠ABC=75°，∠ADC=60°， ∴.∠A+∠DCB=360°-135°=225°，∠DCE+∠DCB=360 -∠BCE,.∠BCE=135°， 如答图3，过点E作EG垂直BC的延长线于点G, .∠GCE=45°，.EG=CG=6,BG=9, .BE=WBG+EG=√36+8I=3√I3, :∠BDE=60·DE=2 、DB1 =cos∠BDE, ∴△DBE是直角三角形，∠DBE=90°， :.BD-BE-313-/39. 巩固提升 1.D2.100 3.(1)证明：：矩形ABCD.∴.AB=CD,∠B=∠D=90°， ,·将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点F处， .AF=AB,∠F=∠B,.∠F=∠D,AF=CD ∠F=∠D 在△AEF与△CED中， ∠AEF=∠CED AF=CD. .△AEF≌△CED(AAS): (2)解：在矩形ABCD中，AB=3,BC=8, 如答图，设EF交AD于P,AD∥BC, ∠B=90°.∠PAE=∠AEB, 'CF∥AE,.∠AEB=∠ECF,∠CFE 答图 =∠AEP,,将△ABE沿直线AE翻折 点B落在点F处， ..AF=AB=3,BE=EF,∠F=∠B=90°，∠AEB=∠AEP, ∴，∠PAE=∠AEP=∠CFE=∠ECF, PA=PF,EF=CEBE=CE=BC=号×8=4， ..EF=BE=4, 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE=/AB十BE /32十42=5. 设PA=PF=x.则PF=EF一PF=4一x, 在Rt△AFP中，由勾股定理，得x2=32+(4一x)2, 解得x-5PA-PF- :∠PAE=∠AEP=∠CFE=∠ECF,.△APE△CEF, 25 (3)解：，四边形ABCD是矩形， .CD=AB=7,∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，AD=BC, .DH=CD-CH=7-3=4,,'CE=4 ∴.DH=CE,EH=√CE+CH=5, ,·将四边形ABEF沿直线EF翻折，点A落在点G处，点B落 在CD边上点H处， ∴.BE=EH=5,∠EHG=∠B=90°，∠G=∠A=90°，AF FG.GH=AB=7. ∴.∠DHM+∠CHE-90°，BC=CE+BE-CE+EH=9, ..AD=BC=9, :∠CEH+∠CHE=90°，∴∠CEH=∠DHM, ,.△DHM≌△CEH(AAS) ∴.DM=CH=3,HM=EH=5 ∴.GM=GH-HM=2. 设AF=FG=x,则FM=AD一AF-DM=9-x-3=6-x, 在Rt△FGM中，由勾股定理，得(6-x)2=x2十2， 解得=令AF的长度为号. 8 4.(1)证明：，△ABC是等边三角形，.∠A=∠B=∠C=60°， ,将等边三角形ABC沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC 上的点F处， .FD=AD,FE=AE,∠DFE=∠A=60°， ,∠BDF=180°-∠B-∠BFD=120°-∠BFD,∠CFE 180°-∠DFE-∠BFD=120°-∠BFD, ∴.∠BDF=∠CFE,.∠B=∠C=60°，∴.△BDFC∽△CFE E0DF=ADFE=AE把0. (2)解：，四边形ABCD是正方形， .∠A=∠B=∠C=90°，AB=BC=8, 参考答案 ,将正方形ABCD沿直线EF折叠，点A恰好落在边BC的中 点G处，点D落在点H处， ∴.GE=AE,∠EGH=∠A=90°， .∠BEG=90°-∠BGE,∠CGI=180°-∠EGH-∠BGE= 90°-∠BGE,.∠BEG=∠CGI, :∠B=∠C=90,∴.△BEGn△CGIC-G BE EG :点G是BC的中点BG=CG=2BC=4, 设AE=EG=x,则BE=8一x, 在R1△BEG中，BE2+BG2=EG2,∴.(8-x)2+42=x2, ∴.x=5,∴.EG=5,BE=3, 20 (3),△ABC与△ADE是等腰直角三角形， .∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,∠B=∠C= ∠ADE=∠E=45°， ,∠BAD=180°-∠B-∠ADB=135°-∠ADB,∠CDF= 180°-∠ADE-∠ADB=135°-∠ADB, ∴.∠BAD=∠CDF,.∠B=∠C=45°，.△ABD△DCF, 把-0，：BD=1,CD=3,BC=bD+CD= 设AB=AC=x, :AB+AC2=BC,x2+x2=42, 解得x1=2√2，x2=一2√2（舍去）， ∴.AB=AC=2√2， B D ..AB_BD.2 1 答图 ·DC-CF.3-CF 4AF=AC-CF=22-3E_52 CF-3 4 4 如答图，过D作DP⊥AC于P,.∠DPC=90°=∠BAC, .∠C=∠C=45,∴.△DPC∽△BAC 心DPCD.=4Dp=32 BA=CB…22 2 .S△Ar= zAF,DP=}x5E×3215 4 28 专题五几何基本模型 分类探究 例1解：(1)相等，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS),∴.∠ABC=∠ACE, 故答案为相等： (2)成立，理由：AB=BC.∠BAC=∠ACB=2×(180 一∠ABC), ·AD=DE.∠DAE=∠DEA=2X(I80-∠ADE) ,∠ABC=∠ADE,.∠BAC=∠DAE,∴.∠BAD=∠CAE, AB BC :∠ABC=∠ADE,AB-DE△ABCO△ADE, ÷0AP△ABD△ACE∠AC=∠AcE, (3)当点D在线段BC上时，如答图1， 由(2)知，△ABD△ACE, 9