第27节 正方形-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

第一部分基础过关 第27节 正方形 考点分析 广东近五年真题分析 考点 2021 2022 2023 2024 2025 题15,3分 正方形的性质 题23,8分 题20,9分 题7,3分 题23,12分 1.理解正方形的概念 课标要求 2.正方形既是矩形、又是菱形 3.理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系 知识梳理 知识点工正方形的定义、性质 !写以题点知 国核心笔记 1.正方形具有而菱形不具有的性质是 ) ★1.正方形定义：有一组 A.每条对角线平分一组对角 B.对角线相等 并且 的平 行四边形叫做正方形， C.对角线互相垂直平分 D.四条边相等 ★2.正方形的性质： 2.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,则∠AOB的度数是 (1)两组对边分别平行， ( A.30° B.45° C.60° D.90° (2) (3) D ,每一条对角线平分一 组对角； B (4)正方形既是 第2题图 第3题图 （有4条对称轴)又是 3.如图，在正方形OBCD中，0，B两点的坐标分别是(0,0)，(3， (5)正方形的周长： 0),点C在第一象限，则点C的坐标是 (6)正方形的面积： 4.如果正方形的一条对角线长为6，那么该正方形的面积为 或 知识点2正方形的判定 !国以题点知 5.已知四边形ABCD为矩形，下列条件中，不能判定四边形ABCD为正方形的是 A.∠ABD=∠CBD B.∠A+∠C=1809 C.AB=BC D.AC⊥BD 135 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 写核心笔记 正方形的判定： (1)有 ,并且 的平行四边形叫做正方形（定义）； (2)有一组邻边相等的 是正方形； (3)对角线互相垂直的 是正方形； (4)有一个角是直角的 是正方形； (5)对角线相等的 是正方形 知识点③平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的关系 写以题点知 核心笔记 6.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是 平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的关系： ( 矩形 A.对边平行且相等 一个内角为90° 对角线相等 对角线互相垂直 B.对角线互相垂直 组邻边相等 C.每一条对角线平分一组对角 平行四边形 加：一个内角为90且一组邻边相等正方形 加：对角线互相垂直且相等 D.四边相等 对角线相等 7.一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正 一组邻边相等 对角线互相垂直 加 一个内角是直角 方形： 菱形 a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等；c.一 平行四边形 组邻边相等；d.一个角是直角， 菱形 矩形 顺次添加的条件：①ac→d;②b→dc;③ab沁. 则正确的是 写特别提醒：平行四边形、矩形、菱形和正方形之 A.仅① B.仅③ C.①② D.②③ 间的关系一定掌握清晰，特别是性质与判定， 例题精讲 考点①平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的关系 例1 (2024·铁锋区三模)小华在整理平行四变1正方形具有而矩形不具有的性质是( 边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现 A.对角相等 B.对角线互相平分 它们的对角线都具有的同一性质是 C.对角线互相垂直 D.邻边互相垂直 ( A.相等 B.互相垂直 C.互相平分 D.平分一组对角 点拔依据平行四边形、矩形、菱形和正方形的 性质可得。 136 第一部分基础过关 考点2正方形的判定 !例2如图，AC和BD是菱形ABCD的对角线，若再补充一个条件能使其成为正方形，下列条件： ①AC=BD;②AC⊥BD;③AB+AD2=BD;④∠ACD=∠ADC,其中符合要求的是 A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 点拨依据使菱形成为正方形可添加的条件有对角线相等或一个内角为直角 变2(2023春·宜春期末)如图，在口ABCD中，AC,BD相交于点O,点E,F在AC上，AE=CF (1)求证：四边形EBFD是平行四边形； (2)若∠BAC=∠DAC,DO=EO,求证：四边形EBFD是正方形 考点3正方形的性质 例3(2023·阜宁县校级模拟)如图，在平行四边形ABCD中，变3(2023·钢城区二模)如图，已知 点E,F分别在边AB,CD上，且四边形BEDF为正方形 正方形ABCD,点P是对角线 (1)求证：AE=CF; AC上任意一点，点P不与点A, (2)已知平行四边形ABCD的面积为20，AB=5,求BC C重合，求证：∠ABP=∠ADP. 的长 点拨依据平行四边形和正方形的性质，用等式的性质及平行 四边形的面积公式可求得. 137 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 东中考 1.(2025·惠州一模)我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形 与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.如果大正方形的面积是13， 小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是 ( A.1 B.2 C.3 D.4 2.（2023·广东)如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y 轴上，则ac的值为 A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 命题新考向 1.（2025·广东深圳)如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点0重 EF 合，BF为折痕，则CC的值为 1 2 4 D 2 Q② 3 2.【数学文化】（模型观念、应用意识、运算能力）(2023·铜山区一 B ② 模)由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中 ③ ④③ 记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为2的祖传 ⑤ 正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部 ⑥ 分)，则图中AB的长应是 ( ) ② A.2√2-2 B.√3-1 C.1 D.√2 3.(2023·广东)【综合实践】（模型观念、应用意识、运算能力） 主题：制作无盖正方体形纸盒， 素材：一张正方形纸板 步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同 的小正方形，并剪去四个角上的小正方形； 图1 图2 步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒 猜想与证明： (1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠AB,C1的大小关系； (2)证明(1)中你发现的结论， 138 >请完成课时作业P54-55习题新课标中考宝典数学（广东专用版） (2)证明：如答图2，由作图可得，AO=CO,由旋转可得， BO=DO,点B,O,D共线， .四边形ABCD为平行四边形 ,∠ABC=90°，∴.四边形ABCD为矩形 4.证明：点A关于BD的对称点为A', .点E是AA'的中点，∠AEO=90. 又四边形ABCD是矩形，∴点O是AC的中点， ∴.OE是△ACA'的中位线，∴.OE∥A'C, .∠AA'C=∠AEO=90°， .AA′⊥CA'. 命题新考向 1.C 2.(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形 (2)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD, ∴.∠ABC+∠BCD=180° .OA=OB=OC=OD, ∴.AC=BD.又BC=CB, ∴.△ABC≌△DCB(SSS), ∴.∠ABC=∠DCB=90°， .四边形ABCD是矩形 第26节 菱形 知识梳理 【以题点知】 1.D2.D3.D4.D5.A 【核心笔记】 知识点1 2.(1)四条边相等(2)对角相等(3)对角线互相垂直平分 (4)轴对称图形中心对称图形3.边长×4 4.(1)底×高 知识点2 (1)一组邻边相等(2)对角线互相垂直(3)四条边相等 例题精讲 例1解：(1)，四边形ABCD是菱形， AB-AD,ACL BD.OB-OD-2 BD- 6 1 =3, 在等腰三角形ABD中，.∠BAD=60°， .△ABD是等边三角形.AB=BD=6 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2, ∴.0A=√AB2-OB=√62-3=3√5】 .AC=2OA=6√3. (2),AB=BD=6,.菱形的周长=4AB=4X6=24, 菱形的面积=2AC·BD=号X65X6=18vB., 变1D例2D变2C 广东中考 1.B2.203.10 4.(1)证明：AD=CE,CD=AE, .四边形ADCE为平行四边形. 又，∠ACB=90°，且D为AB的中点， ∴CD=2AB=AD=BD,平行四边形ADCE为菱形； (2)解：①30°②，AC=4,.OC=4-r. :∠ACD=30°，∠CD0=90°， sin∠ACD=OD ,=1 。0C4-,=2解得r=, 3 (3)解：由题意，作图如答图. 命题新考向 1.(1)证明：，四边形ABCD是矩形， .AE∥CF,∴.∠EAO=∠FCO, .·EF垂直平分AC,∴.AO=CO,∠AOE=∠COF=90°， .△AOE≌△COF(ASA),∴.OE=OF, 又AO=CO,∴.四边形AFCE是平行四边形， :EF⊥AC,.平行四边形AFCE是菱形； (2)解：如答图1，连接CE,AC, AB=3,BC=4, .AC=/32+42=5, ,将矩形ABCD沿直线EF翻折，使点 C的对称点与点A重合， ∴.EF垂直平分AC, 答图1 由(1)得：四边形AFCE是菱形， ..CF=AF=AE, 设CF=AF=AE=x,则BF=4一x, 由勾股定理得：32十(4一x)=x,解得x=8, 25 CF-5Sm=2AC·EF=CF·AB, 日X5~BF-智×8EF 15 4 (3)解：如答图2，过点A作AN ⊥CB,交延长线于点N, ,将平行四边形ABCD沿直线 EF翻折，使点C的对称点与点 A重合， 则由(1)可知：四边形AFCE是 答图2 菱形，.AF=CF, :四边形ABCD是平行四边形，.CD∥AB, ',∠BCD=∠ABN=45°， ,AB=√2，.AN=NB=1, 设AF=CF=x,则BF=2-x,∴NF=3-x,在Rt△ANF 中，由勾股定理得：AN2+NF2=AF2, 5 、5 12+(3-x)=x,解得x=3.CF=3, &Saue=CF·AN=子 第27节正方形 知识梳理 【以题点知】 1.B2.D3.(3,3)4.185.B6.A7.C 【核心笔记】 知识点1 1.邻边相等有一个角是直角 2.(1)四条边都相等(2)四个角都是直角 (3)对角线互相垂直平分且相等 (4)轴对称图形中心对称图形 (5)边长×4(6)边长的平方对角线乘积的一半 知识点2 (1)一组邻边相等有一个角是直角 (2)矩形(3)矩形(4)菱形(5)菱形 6 例题精讲 例1C变1C例2B 变2证明：(1)四边形ABCD是平行四边形， ∴.AO=CO,DO=BO. .AE=CF,..AO-AE=CO-CF,OE=OF, ∴.四边形EBFD是平行四边形； (2).四边形ABCD是平行四边形 ∴.AB∥CD,∴.∠BAC=∠DCA. 又.∠BAC=∠DAC,∴.∠DAC=∠DCA ∴.AD=CD,∴.□ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,即EF⊥BD.又，DO=EO,∴.DB=EF ,四边形EBFD是平行四边形 .四边形EBFD是正方形 例3(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ,∴.AB=CD.在正方形BEDF中，BE=DF, ..AB-BE=CD-DF,..AE=CF; (2)解：在正方形BEDF中，BF⊥AB, .BF·AB=20,.BF=4, ,.CF=CD-DF=5-4=1. :在Rt△BCF中，CF2+BF2=BC,∴BC=√I7. 变3证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠BAP=∠DAP (AB=AD, 在△ABP和△ADP中，{∠BAP=∠DAP, AP-AP, .△ABP≌△ADP(SAS),.∠ABP=∠ADP 广东中考 1.A2.B 命题新考向 1.D2.A 3.(1)解：∠ABC=∠A1B1C1; (2)证明：，A1B1为正方形的对角线，.∠A1B1C1=45°.设 每个方格的边长均为1，则AB=√+32=√0： 连接AC,则AC=BC=√/12+2=√5.，AC2+BC2 =AB2, ∴.由勾股定理的逆定理，得△ABC是等腰直角三角形，， ∠ABC=45°，.∠ABC=∠AB1C1. 第六章圆 第28节圆的有关概念和性质 知识梳理 【以题点知】 1.D 2.OA,OB OC,OD ABAB,BC BC BAC 3.60°4.67.5°5.C6.57.C8.B 【核心笔记】 知识点1 1.定点定长2.线段圆心的弦 3.两点间的部分半圆优弧劣弧4.等圆互相重合 知识点2 1.相等相等2.一组量相等 知识点3 1.平分2.垂直平分弦圆心 知识点4 1.同一个2.互补 例题精讲 例1B变1C 例2解：(1)如答图1所示： 参考苔宋 答图1 答图2 (2)记OD与AC的交点为F,如答图2所示： :OD⊥AC,.F为AC的中点. “OF是△ABC的中位线，OF=2BC=3. .OF⊥AC,.OF的长就是点O到AC的距离」 在Rt△ABC中，AC=8,BC=6,.AB=10. OD-OA-AB-5. ∴.DF=OD-OF=5-3=2 :F为AC的中点，∴CF=2AC=4. 在Rt△CDF中，DF=2,CF=4, :CD=25,则sin∠ACD-CD25-5 DF 25 点O到AC的距离为3，sm乙ACD的值是气 变2(1)证明：：点D是AC的中点，OD过圆心， .OD⊥AC,AF=CF, ,AB是直径，.∠ACB=90°=∠DFE. 又∠DEF=∠CEB, ∴.△DEF∽△BEC; (2)解：△DEF∽△BEC 距-器--g 设DF=2x(x>0),则BC=6x. .AO=BO,AF=CF. ∴0F=2Bc=3a,0D=5a=0A. ∴.AF=√/AO2-OF2=√25x2-9x2=4x=CF ..CE=3x,EF=x. DE2=EF2+DE2 4=5巴.工（负值舍去)》 D0=25, .⊙0的面积=πXOD2=20π. 广东中考 1.B2.B 3.解：(1)△ABC是等腰三角形.证明：，AC是圆的直径，则 ∠ABC=∠ADC=90°， ,∠ADB=∠CDB,∠ADB=∠ACB,∠CDB=∠CAB, ∴.∠ACB=∠CAB. .△ABC是等腰直角三角形； (2),△ABC是等腰直角三角形， .BC=AB=√2」 .AC=√AB2+BC=2. 在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1, 则CD=√JAC-ADF=√3， ∴.CD=√3. 命题新考向 1.解：任务1，设圆心为点O,则点O在CD的延长线上，延长