第22节 锐角三角函数-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

(BE=AF, ∠ABE=∠BAF,,∴.△ABE≌△BAF(SAS), AB=BA, ..AE=BF 【核心笔记】 知识点2 1.两边及其夹角分别相等两角及其夹边分别相等 三边分别相等 例题精讲 例1①②③④变1C 例2证明：(I),BE=CF,点B,E,C,F在同一直线上 ∴，BE+EC=CF+EC,即BC=EF (AB=DE, 在△ABC和△DEF中，{BC=EF, AC-DF, ∴.△ABC≌△DEF(SSS); (2),AC∥DF,.∠ACB=∠DFE BC=EF, 在△ABC和△DEF中，{∠ACB=∠DFE, AC-DF, .△ABC≌△DEF(SAS). 变2证明：(1)在△ABC和△DCB中， (AB=DC, BC=CB,∴.△ABC≌△DCB(SSS).∴.∠A=∠D; AC=DB, (2)在△ABC和△DCB中， (AB=DC, ∠ABC=∠DCB,∴.△ABC≌△DCB(SAS). BC=CB, ∴∠ACB=∠DBC,AC=DB.∴.EB=EC. ∴.AC-EC=DB-EB,即AE=DE 广东中考 1.证明：，∠AOC=∠BOC,∴，OC为∠AOB的平分线 又点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB, .∠PDO=∠PEO=90°.又，PO=PO(公共边)， .△OPD≌△OPE(AAS). 2.解：如答图，.·四边形OABC是正 方形， ∴.OA=OC,∠A=∠C=90°， :OE=OF,.Rt△OCF≌ Rt△OAE(HL), ∴.∠COF=∠AOE /0 .∠COF=∠AOG, .∠AOG=∠AOE. 1题答图 AB交直线y=x于点E, ∴.∠E0G=45°，∴.∠AOG=∠AOE=22.5°， 即∠C0F=22.5°. 命题新考向 1.解：如答图即为所求，答案不唯一. 测量方案：延长AO到点C,延长BO到点D,使得OC=OA, OD=OB, 可证△AOB≌△COD(SAS), 量出CD的长即是点A和点B之间的距离。 2.解：(1)SSS (2).OM=ON,CM=CN,OC=OC,∴.△OCM≌△OCN (SSS). .∠AOC=∠BOC..射线OC是∠AOB的平分线. (3)如答图，点E即为所求. 参考苔宋 0 D D 2题答图 答图 第21节相似三角形（含位似） 知识梳理 【以题点知】 1.C2.43.C4.A5.3:23:23:2946.9 7.(1)∠A=∠DEF(答案不唯一)两边成比例且夹角相等的两 个三角形相似(2)∠A=∠DEF(答案不唯一)SAS 8.D9.310.1:311.D 【核心笔记】 知识点2 AB DE AB DE BC EF 1.成比例 BCEF ACDE ACDE 知识点3 2.(1)相等成比例(3)相似比相似比的平方 知识点5 2.(1)相似比(3)相似比相似比相似比 例题精讲 例1C变14例215变2195 例3解：(1)52.5 (2)△OBC1如答图所示 :Bt T--r- 答图 (-6,2)(-4,-2)2510 (3)(一6,2)或(6，-2)（一4，-2）或(4,2) 广东中考 1.A2.B3.154.6 5.证明：四边形ABCD是正方形，∠B=∠C=90°. AB_6+3-3,BE=3,AB_BE3 ·CE=6=2'CF=2CE=CF=2 又：∠B=∠C=90°， ∴.△ABEO△ECF 命题新考向 1.362.C 第22节 锐角三角函数 知识梳理 【以题点知】 1.482.5 3 4 5 3.D4.(1)1(2)60 5.解：原式=1+2一3十√2 =√2 826&号 4 新课标中考宝典数学（广东专用版） 例题精讲 例1解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=√AC2+BC2= √82+62=10， .'.sin A= BC 63 AC 84 AB10=5,osA一AB-i0=5, BC 6 3 AC 8 4 tan A= AC-8-4 sin B- cos B-BC_63 B10=5, AC 84 -AB10=号，tamB-C=6-3 变115 223 变2B 例2)解：原武=23-1+2-3-2× =23-1+2-√3-√3 =1. 2)解：原式1-2×2+(W2-2》 =1-2+2-2 =-1. 变3(1)30(2)等边 (3)解：小杰的计算不正确，①②③都错，正确解答如下： 2cos60°+（π-2024）°-3-2 -2x2+1-(2-5) =1+1-2+3 =3. 例3(1)355+5变410 27 8 广东中考 1.22.D 3.解：(1)∠A≈43°，∠B≈51°，.∠C=180°-∠A-∠B≈ 180°-43°-51°=86°， BC AB 由题意得，nA-nC又：BC≈341m, .AB-BCsin CBCsin 610.98 sinA sin43° 0.682 =499(m); 答：A,B两岛间的距离为499m. (2)工具：测角仪、测距仪、无人机A B (只能测角度、水平面高度). 测量过程： 步骤1：如答图，在空旷地找一 D 点C,使得△ABC是锐角三 答图 角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠C的度数： 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC=am, AC=b m. 计算过程： 如答图，过点A作AD⊥BC,则∠ADC=∠ADB=90°， AC:cos C=CD 在R:AACD中，sin Ca-AD, ACAD=osin C m, CD=bcos C m,.'.BD=BC-CD=(a-bcos C)m, .在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2, ..AB=(bsin C)2+(a-bcos C)2m. 答：A,B两岛间的距离为√(bsin C)+(a-bcos C)m. 命题新考向 1.√2-1 第23节解直角三角形的实际应用 知识梳理 【以题点知】 1.4902.A3.D4,(1)4km(2)28 5.解：过点A作AD⊥BC,交CB 的延长线于点D,如答图所示， 则∠ACD=45°，∠ABD=60°， 在Rt△ACD中，tan∠ACD AD CD' 60°入 AD AD 45°C ..CD= tan 451 =AD, D B ,在Rt△ABD中， 答图 a∠ABD-品. ADAD BD= tan60°√3 3AD. BC-CD-BD-AD-3 AD=30, 解得AD=15×(3+√3)≈15×(3+1.732)=70.98≈ 71(m).答：风筝的高度约为71m. 例题精讲 例1解：如答图，延长DE交AB 于点G.四边形GBFE和 四边形EFCD是矩形. .BG=CD=EF=1.5, DE=CF=7. 在Rt△AGE中，∠AEG G =45°， 45372D B tm45-8=1 答图 ∴.AG=GE. 设GE=AG=x,:DE=7, ∴.GD=EG+DE=x+7. 在Rt△AGD中，∠ADG=37°， .tan 37-n ≈0.75.AG≈0.75GD. .x≈0.75(x十7)，解得x≈21. ∴.AB=AG+GB≈21+1.5=22.5(m) ∴.塔高AB约为22.5m. 变1解：如答图，过点C作 CD⊥AB,垂足为D, 设BD=x米， AB=30米， 人45° :AD=AB+BD=A 30° B (x+30)米， 答图 在Rt△ACD中，∠CAD=30°， 之CD-ADm0r-停+30米. 在Rt△BCD中，∠CBD=45°， .CD=BD·tan45°=x米， x=8(z+30,解得x=153+15 ∴.CD=(15√3+15)米， .无人机离湖面的高度为(153+15)米。 例237变2D例8号变3C 400 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 第22节锐角三角函数 考点分析 广东近五年真题分析 考点 2021 2022 2023 2024 2025 特殊角的三角函数 题11,3分 题16,4分 题10,3分 锐角三角函数 题20(2)，3分 题21(1)，4分 直角三角形的边角关系 1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA,tanA), 知道30°，45°，60°角的三角函数值 2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它 课标要求 的对应锐角 3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际 问题 知识梳理 知识点①锐角三角函数及直角三角形边角关系 写以题点知 写核心笔记 锐角三角函数的定义 1.在△ABC中，∠C=90°，BC=16,cosB 5,则△ABC的周 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，三边长分 长= 别是a,b,c,则 2.在等腰三角形ABC中，AB=AC=5,BC=6,则sinB= 正弦：inA=∠A的对边a 斜边 cos B= tan B= 余弦：0sA=∠A的邻边b 斜边一c 3.如图，已知在R△ABC中，LC=90°若AB=13,BC=5,则正切：anA=∠A的对边_a ∠A的邻边b sin A= 1 >.5 B. c 5 0.13 112 第一部分基础过关 知识点2特殊角的三角函数 !写以题点知 好核心笔记 4.(1)sin30°+cos60°= 特殊角的三角函数值 (2)若∠A为锐角且tanA=√3，则∠A a 30° 45° 60° 1 sin a 2 2 2 5.计算：(1+π)°+2-|-3|+2sin45°. cos a 3 1 2 2 2 tan o 3 1 3 √3 知识点3解直角三角形 国以题点知 核心笔记 6.(1)(人教版九下P84复习题题11 解直角三角形 改编)在Rt△ABC中，∠C= 三边关系（勾股定理） a2+b2=c2 90°，∠B=60°，AB=4,则AC= 两锐角关系 ∠A+∠B=90° BC= sin A= sin A=cos B=a 2,cos A= b 边角关系 a cosA=sinB= 3 (2)已知∠A是锐角，cosA= 则 B,tan B= a b tan A=- a sin A= tan A= 例题精讲 考点①锐角三角函数 例1（人教九下P63例1改编)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,求sinA,cosA,tanA, sin B,cos B,tan B. B 点拨 (I)通过勾股定理及三角函数的定义，分别计算各角的三角函数值即可； (2)注意区分不同角的对边与邻边，避免混淆对应关系 113 门新课标中考宝典·数学（广东专用版） 变1如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，AB=2√3，BD=3,则sinC= cos C= ,tan∠CAD 0 变1图 变2图 4 变2(2024·临夏)如图，在△ABC中，AB=AC=5,sinB=5,则BC的长是 A.3 B.6 C.8 D.9 考点2实数的运算 例2(1)(2024·东营)计算：√2-(m-3.14)°+变3 在△ABC中，∠A和∠B是锐角 12-√31-2sin60°； (1)若csA=y 2,则上A=; 2 (2)若mA=5,esB=,则△MBC是 三角形； (3)(2025·湖南·模拟预测)小杰计算2cos60° (2)(2025·宿州·预测)计算：（π-4）° +(m-2024)°-√3-2的过程如下： 2c0s45°-√/2-2· 2x3 解：原式= 2.02-√3 ①'②③ =√5-2-3=2. 小杰的计算是否正确？若正确请在框内打 “V”;若错误，请指出错误： (从“①”“②”“③”中选填)，并写出你的解 点拨(1)实数运算需先分别化简各部分：零次 答过程 幂（非零数的0次幂为1）、根式（如√12= 2√3)、绝对值（注意被开方数与常数的大小 关系，如12-√31=2-√3)、三角函数值（如 60-号.再代入计家 (2)计算时注意符号变化[如-|√2-21= -(2-√2)=√2-2和同类项合并，避免因细 节失误导致结果错误， 114 第一部分基础过关 考点3解直角三角形 例3【教材变式】（母题源自人教版九下P85复习题14改编） （①知图1，在AMc中者a8C=号，4G=2,则C (2)如图2，在△ABC中，∠B=30°，BC=10,∠ACB=135°，则点A到直线BC 图1 的距离为 点拨 作垂线构造直角三角形，将三角函数与勾股定理结合求解，体现几何问题代 数化转化思想；第(2)小题需注意钝角三角形高的位置在形外，通过分段计 算线段长度再求和得出结果 图2 变4 (2025·广州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB=,已知 2C=,A奶=25，则点B到0的距离为如图，在正方形BGD 点E在AB上，AF⊥DE于点F,CG⊥DE于点G.若AD=5,CG=4,则△AEF的 A 面积为 东中考 1.(2022·广东)sin30°的值为 2.（2025·深圳)如图为人行天桥的示意图，若高BC为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为 422 B.3 c.4 D. 3 3.(2025·广东)综合与实践 【阅读材料】 a 如图1，在锐角△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c,则有 sinA B e sin Bsin C这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题， 图1 【问题提出】如图2，万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与实践小组要绘制 幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A,B两岛间的实际距离.由于地形原因，无法利用测距 仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究， 。风 测角仪 测距仪 无人机 图2 图3 115 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 【方案设计】 工具：如图3，测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度） 测量过程： 步骤1：如图4，在空旷地找一点C； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m,AC≈388.5m. 图4 【问题解决】 (1)请你利用【阅读材料】中的结论计算A,B两岛间的距离；（参考数据：sin43°≈0.682，sin51°≈ 0.777,sin86°≈0.998) 【评价反思】 (2)设计其他方案计算A,B两岛间的距离.要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用 的数学知识。 命题新考向 1.【新考法】（数形结合）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15° 时，如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到点D,使BD=AB,连接AD,得∠D=15° 所以tan15°=AC。1 2-√3 =2-√3 CD2+5(2+√3)(2-√3) 30° 类比这种方法，计算tan22.5°的值为 B 116 >请完成课时作业P44-45习题