第20节 全等三角形-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

第一部分基础过关 第20节 全等三角形 考点分析 广东近五年真题分析 考点 2021 2022 2023 2024 2025 题19命题 全等三角形的性质 3分 全等三角形的判定 1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角 课标要求 2.掌握判定三角形全等的五种方法：SSS,SAS,ASA,AAS,HL 3.掌握两个三角形全等的性质 知识梳理 知识点工全等三角形 !写以题点知 1.(2024·江苏泰州阶段练习)下列说法中正确的是 A.全等三角形是指形状相同的两个三角形 B.全等三角形的面积相等 C.全等三角形是指面积相等的两个三角形 D.等边三角形都全等 2.(教材改编题)已知图中的两个三角形全等，则∠1等于 度 72% 写核心笔记 ★1.全等图形：能够完全重合的两个图形是全等图形. ★2.全等三角形： (1)定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形， (2)性质：①全等三角形的对应边、对应角相等； ②全等三角形的对应角平分线、对应边上的中线、对应边上的高相等； ③全等三角形的周长、面积相等 (3)全等变换：图形平移、翻折、旋转前后全等 101 了新课标中考宝典·数学（广东专用版） 知识点2全等三角形的判定方法与思路 写以题点知 4.(2025·自贡)如图，∠ABE=∠BAF,CE=CF.求 3.(2025·山西)如图，小谊将两 证：AE=BF. 根长度不等的木条AC,BD的 中点连在一起，记中点为0，即 AO=C0,B0=DO.测得C,D两 点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可 得花瓶内壁上A,B两点之间的距离.图中 △AOB与△COD全等的依据是 ( A.SSS B.SAS C.ASA D.HL 写核心笔记 ★1.全等三角形的判定方法 SAS(边角边)》 ASA(角边角) SSS(边边边) AAS(角角边) HL(斜边、直角边) 两角分别相等且其 斜边和一条直角边 的两个三 的两个三 中一组等角的对边 的两个三角形全等 分别相等的两个三 角形全等（基本事 角形全等（基本事 相等的两个三角形 (基本事实)》 角形全等 实) 实) 全等 ★2.判定思路： ,①找夹角→SAS 已知两边 ②找另一边→SSS ③找直角→HL ①边为角的对边+找任一角+AAS 找夹角的另一边→SAS 已知一边和一角 ②边为角的邻边找夹边的另一角→ASA 找边的对角→AAS r①找夹边→ASA 已知两角 ②找任一角的对边→AAS 102 第一部分基础过关 例题情讲 考点①全等三角形的性质与概念 例1如图，△ABC≌△DEF,点B,E,C,F在同变1（2025·嘉兴期中)如图，在△ABC中，∠BAC 一直线上.下列结论：①AB=DE;②∠A= =18°，若将全等的△ABC按图1方式放置可以 ∠D;③BE=CF;④AC∥DF.其中正确的 拼成一个五边形，则将全等的△ABC按图2方 是 式放置下去，拼出来的图案是 ( ) A.十八边形 B.十九边形 C.二十边形 D.二十一边形 点拨直接运用全等三角形的性质即可证明①②， 结合平行线的判定可证明④，通过线段和差可证 明③ 图2 考点2全等三角形的判定 常考题型：(1)利用隐含条件（公共边、公共角、对顶角）证明三角形全等；(2)判定方法的灵活运用 例2（人教八上P44题 变2如图，AC,BD相交于 9改编)如图，BE= 点E. CF,点B,E,C,F在 (1)若AB=DC,AC=DB, 同一直线上 B E 求证：∠A=∠D; (1)若AB=DE,AC= DF,求证：△ABC≌△DEF; (2)若AB=DC,∠ABC=∠DCB,求证：AE (2)若AC=DF,AC∥DF,求证：△ABC =DE. ≌△DEF 点拨本题主要考查三角形全等的判定定理，在 证明过程中要注意线段和差间的转化以及平行 线性质的运用. 103 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 广东中考 1.(2022·广东)如图，已知∠AOC=∠B0C,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂 足分别为D,E.求证：△OPD≌△OPE. 2.(2023·广东23题节选)综合运用 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，如图2，将正方形OABC绕 点0逆时针旋转，旋转角为a(0°<<45)，AB交直线y=x于点E,BC交y轴于点F. 当旋转角∠COF为 时，OE=OF.(直接写出结果，不要求写解答过程) 图1 图2 命题新考向 1.【新课标，动手实践】如图，某“综合与实践”小组准备测量墙角（顶点记为O)两侧 点A和点B之间的距离，请在原图上画出测量示意图，并写出你设计的测量方案。 104 第一部分基础过关 2.(2023·兰州)综合与实践 问题探究：(1)如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知 角”，即：作一个已知角的平分线.如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在 OA和OB上分别取点C和D,使得OC=OD,连接CD,以CD为边作等边三角形CDE,则OE就是 ∠AOB的平分线： 请写出OE平分∠AOB的依据： 图1 图3 图4 图5 类比迁移：(2)小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE=DE即可. 他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角.做法如下：如图3，在∠AOB的边OA,OB上分别取 OM=ON,移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M,N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB 的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践：(3)小明将研究应用于实践.如图4，校园的两条小路AB和AC,汇聚形成了一个岔路口 A,现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E,使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路 灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等.试问路灯应该安装在哪个位置？请用 不带刻度的直尺和圆规.在对应的示意图图5中作出路灯E的位置.（保留作图痕迹，不写作法） >请完成课时作业P40-41习题 105新课标中考宝典数学（广东专用版） ∠EAF=60°， ∴.∠BAE+∠CAE=∠CAE+∠CAF=60° .∠BAE=∠CAF. BA∥CD,∠BAC=60°， .∠ACF=60° |∠BAE=∠CAF, 在△ABE和△ACF中，(AB=AC, ∠B=∠ACF, .△ABE≌△ACF(ASA).AE=AF 又：∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形； (2)解：，△AEF是等边三角形， .C△AEF=3AE. 当AE⊥BC时，AE最短，则△AEF周长最小 在Rt△ABE中，AB=2,∠B=60°， ∴.AE最小=AB·sin60°=√3， .3AE=3√3」 ∴.△AEF周长的最小值为3√3」 广东中考 1.解：答案不唯一.如：选命题1： 、F D B 答图1 答图2 证明：如答图1，连接BE交CA于点F, :CD是△ABC斜边AB上的中线，小铝-子 ,'AE∥DC,CE∥AB,.四边形ADCE是平行四边形， C=AD,小器-分 CE/AB,△BFC△BA,÷器-S- .SACFB=2S△cEr, 选命题2： 证明：如答图2，连接ED,交AC于点O,CD是 Rt△ABC斜边上的中线； .CD-AD-BD-TAB. :AEDC,CE∥AB,∴四边形ADCE是平行四边形， :DA=DC,四边形ADCE为菱形，.ED⊥AC. 2.(1)解：∠BAN=47°， ..∠BAM=180°-∠BAN=133° :AC平分∠BAM,∠MAC=号∠BAM=6.5 'CM⊥MN,∴.∠M=90°， .∠ACM=90°-∠MAC=23.5°： (2)证明：：∠ABC=∠CNM,∴点A,C,B,N四点共圆. '.∠CAN+∠CBN=180°，∠CAB=∠CNB, :∠CAN+∠CAM=180°，∠CAM=∠CBN. .'AC平分∠BAM,∴.∠CAB=∠CAM, .∠CNB=∠CBN, ∴.CN=BC. 3.【问题解决】①平行②= 【方法应用】 ①证明：，△ADE为△ABC旋转得到，，AB=AD,令 ∠B=a,则∠ADB=&,∠BAD=180°-2a,由旋转得， ∠ADE=∠B=∠a,DE=BC,AE=AC. 又：AC=BC,∴.EA=ED,∴∠DAE=∠ADE=a, ∴.∠E=180°-2a,∴.∠E=∠BAD 四边形ABDE为双等四边形； ②解：作AH⊥BC于点H,如答图， cos B-3 ,AB=5,BH=3,AH=4,设CH=c,则 AC=BC=x+3,在Rt A △AHC中，CH+AH2= AC2,即x2+42=(x+3)2, .7 解得x=6' CH=石，Bc=AC-g B 6 答图 i.若∠ACB=∠D=∠CAD,CA=CD时，CD=AC I.若∠ACB=∠D=∠ACD,AD=AC时， AD-AC-25 作AM⊥CD于点M,如答图， .CM-DM,AC CM 67 =cos∠ACM=cOs∠ACB= -25 6 7257 7 CM=25×6=6CD=2CM=3: m.若∠D=∠ACB,DA=DC时， ∴.∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ABC, ∴.△CAB∽△DAC, 25 .CD_AC CD6 “BCAB· 25 5，·CD=125 36 6 综上所述，满足条件时，CD号安号政 命题新考向 1.25 2.【感悟】证明：AB=AE,.∠B=∠E (AB=AE, 在△ABC和△AED中，{∠B=∠E, BC=DE, .△ABC≌△AED(SAS), .∠BAC=∠EAD. 【应用】解：(1)图形如答图1所示： (2)图形如答图2所示. B D E D 答图1 答图2 第20节全等三角形 知识梳理 【以题点知】 1.B2.583.B 4.证明：∠ABE=∠BAF,.CB=CA. .CE=CF, ..CB+CE=CA+CF,BE=AF. 在△ABE和△BAF中， (BE=AF, ∠ABE=∠BAF,,∴.△ABE≌△BAF(SAS), AB=BA, ..AE=BF 【核心笔记】 知识点2 1.两边及其夹角分别相等两角及其夹边分别相等 三边分别相等 例题精讲 例1①②③④变1C 例2证明：(I),BE=CF,点B,E,C,F在同一直线上 ∴，BE+EC=CF+EC,即BC=EF (AB=DE, 在△ABC和△DEF中，{BC=EF, AC-DF, ∴.△ABC≌△DEF(SSS); (2),AC∥DF,.∠ACB=∠DFE BC=EF, 在△ABC和△DEF中，{∠ACB=∠DFE, AC-DF, .△ABC≌△DEF(SAS). 变2证明：(1)在△ABC和△DCB中， (AB=DC, BC=CB,∴.△ABC≌△DCB(SSS).∴.∠A=∠D; AC=DB, (2)在△ABC和△DCB中， (AB=DC, ∠ABC=∠DCB,∴.△ABC≌△DCB(SAS). BC=CB, ∴∠ACB=∠DBC,AC=DB.∴.EB=EC. ∴.AC-EC=DB-EB,即AE=DE 广东中考 1.证明：，∠AOC=∠BOC,∴，OC为∠AOB的平分线 又点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB, .∠PDO=∠PEO=90°.又，PO=PO(公共边)， .△OPD≌△OPE(AAS). 2.解：如答图，.·四边形OABC是正 方形， ∴.OA=OC,∠A=∠C=90°， :OE=OF,.Rt△OCF≌ Rt△OAE(HL), ∴.∠COF=∠AOE /0 .∠COF=∠AOG, .∠AOG=∠AOE. 1题答图 AB交直线y=x于点E, ∴.∠E0G=45°，∴.∠AOG=∠AOE=22.5°， 即∠C0F=22.5°. 命题新考向 1.解：如答图即为所求，答案不唯一. 测量方案：延长AO到点C,延长BO到点D,使得OC=OA, OD=OB, 可证△AOB≌△COD(SAS), 量出CD的长即是点A和点B之间的距离。 2.解：(1)SSS (2).OM=ON,CM=CN,OC=OC,∴.△OCM≌△OCN (SSS). .∠AOC=∠BOC..射线OC是∠AOB的平分线. (3)如答图，点E即为所求. 参考苔宋 0 D D 2题答图 答图 第21节相似三角形（含位似） 知识梳理 【以题点知】 1.C2.43.C4.A5.3:23:23:2946.9 7.(1)∠A=∠DEF(答案不唯一)两边成比例且夹角相等的两 个三角形相似(2)∠A=∠DEF(答案不唯一)SAS 8.D9.310.1:311.D 【核心笔记】 知识点2 AB DE AB DE BC EF 1.成比例 BCEF ACDE ACDE 知识点3 2.(1)相等成比例(3)相似比相似比的平方 知识点5 2.(1)相似比(3)相似比相似比相似比 例题精讲 例1C变14例215变2195 例3解：(1)52.5 (2)△OBC1如答图所示 :Bt T--r- 答图 (-6,2)(-4,-2)2510 (3)(一6,2)或(6，-2)（一4，-2）或(4,2) 广东中考 1.A2.B3.154.6 5.证明：四边形ABCD是正方形，∠B=∠C=90°. AB_6+3-3,BE=3,AB_BE3 ·CE=6=2'CF=2CE=CF=2 又：∠B=∠C=90°， ∴.△ABEO△ECF 命题新考向 1.362.C 第22节 锐角三角函数 知识梳理 【以题点知】 1.482.5 3 4 5 3.D4.(1)1(2)60 5.解：原式=1+2一3十√2 =√2 826&号 4