第19节 特殊三角形(等腰三角形及直角三角形)-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

变1(1)14°42'104°42(2)同角的余角相等 例2(1)B(2)D变243 例3解：(1)159 (2)∠AEB=60°，AD∥BC, ∴.∠DAE=∠AEB=60° AE平分∠BAD, ∴.∠BAD=2∠DAE=120° AB∥CD,∴.∠ADC=180°-∠BAD=60°. '∠ADE=3∠CDE,∠ADE=∠ADC+∠CDE, ∠ADE=∠ADC=90 又：AD∥BC,.∠BED=180°-∠ADE=90°， .DE⊥BE 变3(1)C (2)证明：AB=AC,∠A=36°， ∠ABC=∠ACB=2a80-∠A)=7z MN垂直平分AB,.AD=BD .∠ABD=∠A=36°. ∴.∠CBD=∠ABC-∠ABD=36°=∠ABD ∴.BD平分∠ABC. 广东中考 1.109°2.B3.C4.B 命题新考向 1.m+2n=1 第18节三角形的有关概念和性质 知识梳理 【以题点知】 1.∠A=60°（答案不唯一）2.D 3.解：(1)不能..1十2=3， '.三条边不满足组成三角形的条件； (2)能.32十42=52，.是直角三角形 最大内角的度数是90°； (3)能.6=6=6，.是等边三角形 .最大内角的度数是60° 4.B5.a+b+c6.67.C8.2.59.(1)210+2√5 (2)2010.C 【核心笔记】 知识点2 1.(1)大于(2)小于2.180360(1)等于(2)大于 3.稳定性 知识点3 高线：190(2)高中线：1)号 (2)中线 角平分线：(1)2 (2)三边 中位线：()∥2 1 例题精讲 例1(1)10(2)40°140°变1D变2(1)22或4 (2)100°例2D变3(1)135°(2)36° 例3(1)130°(2)40°(3)50°变4D 变5(1)ADEF(2)1:2 广东中考 1.D 2.c 3. 20 4.B5.21 命题新考向 1.6 2 2.2.53.12 参考苔宋 第19节特殊三角形（等腰三角形及直角三角形） 知识梳理 【以题点知】 1.(1)90°80°(2)2 2.(1)10(2)是是否 3.30°30°25√/3 4.∠A=60°（答案不唯一） 5.①√②√③×3m,4m,5m5m,12m,13m(答案 不唯一) 6.是是是 【核心笔记】 知识点2 (2)60° 例题精讲 例1(1)证明：.四边形ABCD是正方形， ∴.AB=CB,∠ABD=∠CBD,又BE=BE, .△ABE≌△CBE(SAS); (2)解：，四边形ABCD是正方形 .∠BAD=90°，∠ADB=45°， .'DE=DA,.∠DAE=∠DEA, ∠DAE+∠DEA+∠ADE=18O°， ∠DAE=∠DEA=67.5°， ∴.∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5° 变1(1)10或11(2)4,2或3,3 (3)40°，100°或70°，70°(4)4 变2证明：：∠ABE=∠ACD,∠DBF=∠ECF 在△BDF和△CEF中， I∠DBF=∠ECF, ∠BFD=∠CFE,∴.△BDF≌△CEF(AAS), BD=CE, .BF=CF, ∴.∠FBC=∠FCB,∴.∠ABC=∠ACB， .AB=AC,即△ABC是等腰三角形. 例2D变3B 例3(1)解：，△ABC是等边三角形， ..AB=BC, ∠BAE=∠CBA=60° 在△ABE和△BCD中， AB=BC, ∠BAE=∠CBD,.△ABE≌△BCD(SAS). AE-BD ∴∠ABE=∠BCD. ∴.∠BOD=∠BCD+∠CBE=∠ABE+∠CBE= ∠ABC=60°； (2)证明：在△BCE和△CBK中， BE=CK, ∠CBE=∠BCK,∴.△BCE≌△CBK(SAS). BC=BC, ∴.CE=BK .BD=CE,..BD=BK. 变4(1)证明：如答图，连 A 接AC. ,四边形ABCD为 菱形， .BA∥CD,BA =BC. 又∠B=60°，. 答图 △ABC是等边三角形； ∴.∠BAC=60°，AB=AC. 新课标中考宝典数学（广东专用版） ∠EAF=60°， ∴.∠BAE+∠CAE=∠CAE+∠CAF=60° .∠BAE=∠CAF. BA∥CD,∠BAC=60°， .∠ACF=60° |∠BAE=∠CAF, 在△ABE和△ACF中，(AB=AC, ∠B=∠ACF, .△ABE≌△ACF(ASA).AE=AF 又：∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形； (2)解：，△AEF是等边三角形， .C△AEF=3AE. 当AE⊥BC时，AE最短，则△AEF周长最小 在Rt△ABE中，AB=2,∠B=60°， ∴.AE最小=AB·sin60°=√3， .3AE=3√3」 ∴.△AEF周长的最小值为3√3」 广东中考 1.解：答案不唯一.如：选命题1： 、F D B 答图1 答图2 证明：如答图1，连接BE交CA于点F, :CD是△ABC斜边AB上的中线，小铝-子 ,'AE∥DC,CE∥AB,.四边形ADCE是平行四边形， C=AD,小器-分 CE/AB,△BFC△BA,÷器-S- .SACFB=2S△cEr, 选命题2： 证明：如答图2，连接ED,交AC于点O,CD是 Rt△ABC斜边上的中线； .CD-AD-BD-TAB. :AEDC,CE∥AB,∴四边形ADCE是平行四边形， :DA=DC,四边形ADCE为菱形，.ED⊥AC. 2.(1)解：∠BAN=47°， ..∠BAM=180°-∠BAN=133° :AC平分∠BAM,∠MAC=号∠BAM=6.5 'CM⊥MN,∴.∠M=90°， .∠ACM=90°-∠MAC=23.5°： (2)证明：：∠ABC=∠CNM,∴点A,C,B,N四点共圆. '.∠CAN+∠CBN=180°，∠CAB=∠CNB, :∠CAN+∠CAM=180°，∠CAM=∠CBN. .'AC平分∠BAM,∴.∠CAB=∠CAM, .∠CNB=∠CBN, ∴.CN=BC. 3.【问题解决】①平行②= 【方法应用】 ①证明：，△ADE为△ABC旋转得到，，AB=AD,令 ∠B=a,则∠ADB=&,∠BAD=180°-2a,由旋转得， ∠ADE=∠B=∠a,DE=BC,AE=AC. 又：AC=BC,∴.EA=ED,∴∠DAE=∠ADE=a, ∴.∠E=180°-2a,∴.∠E=∠BAD 四边形ABDE为双等四边形； ②解：作AH⊥BC于点H,如答图， cos B-3 ,AB=5,BH=3,AH=4,设CH=c,则 AC=BC=x+3,在Rt A △AHC中，CH+AH2= AC2,即x2+42=(x+3)2, .7 解得x=6' CH=石，Bc=AC-g B 6 答图 i.若∠ACB=∠D=∠CAD,CA=CD时，CD=AC I.若∠ACB=∠D=∠ACD,AD=AC时， AD-AC-25 作AM⊥CD于点M,如答图， .CM-DM,AC CM 67 =cos∠ACM=cOs∠ACB= -25 6 7257 7 CM=25×6=6CD=2CM=3: m.若∠D=∠ACB,DA=DC时， ∴.∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ABC, ∴.△CAB∽△DAC, 25 .CD_AC CD6 “BCAB· 25 5，·CD=125 36 6 综上所述，满足条件时，CD号安号政 命题新考向 1.25 2.【感悟】证明：AB=AE,.∠B=∠E (AB=AE, 在△ABC和△AED中，{∠B=∠E, BC=DE, .△ABC≌△AED(SAS), .∠BAC=∠EAD. 【应用】解：(1)图形如答图1所示： (2)图形如答图2所示. B D E D 答图1 答图2 第20节全等三角形 知识梳理 【以题点知】 1.B2.583.B 4.证明：∠ABE=∠BAF,.CB=CA. .CE=CF, ..CB+CE=CA+CF,BE=AF. 在△ABE和△BAF中，00 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 第19节特殊三角形（等腰三角形及直角三角形） 考点分析 广东近五年真题分析 考点 2021 2022 2023 2024 2025 等腰三角形 题18,7分 题22,5分 等边三角形 题19,9分； 直角三角形 题23,5分 1,理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角 形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合.探索并掌 握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形 2.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°.探索等边 课标要求 三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰 三角形)是等边三角形 3.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理，掌握有两 个角互余的三角形是直角三角形 4.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题 知识梳理 知识点1等腰三角形 !写以题点知 国核心笔记 1.(北师八下P4习题题3改编)如图，在△ABC中， 等腰三角形 AB=AC,∠BAD=∠CAD. (1)定义：两边相等的三角形是等 腰三角形 ①若∠B=50°，则∠ADB= ,∠BAC= ；B (2)性质：①两腰相等；②两底角 ②若BC=4,则BD= 相等（等边对等角）；③底边上 2.(1)已知等腰三角形三边的长分别为4，x,10,则x的值为 的高线、中线及顶角平分线重 (2)根据条件判断下列三角形是否一定是等腰三角形 合（三线合一）；④等腰三角形 是轴对称图形，有1条对 5cm 称轴. 709 5 cm (3)判定：①有两边相等的三角形 了409 7 cm 60°△ 是等腰三角形（定义）；②有两 个角相等的三角形是等腰三 角形（等角对等边） 94 第一部分 基础过关 知识点2等边三角形 :写以题点知 核心笔记 3.如图，△ABC是等边三角形，AB=10,BD是 等边三角形 中线，延长BC到点E,使CE=CD,则∠ABD (1)定义：三边相等的三角形是等边 B 三角形 ,∠E= SAABC= (2)性质：①等边三角形的三边相等， 4.(宝典原创)在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形 三角相等，并且每个内角都等于 构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关 ②等边三角形是轴对称图形，有3 系.如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件： 条对称轴. 使等腰△ABC成为等边三角形 (3)判定：①三条边都相等的三角形 是等边三角形（定义）； 条件AB=AC 条件：∠A=90° ②三个角都相等的三角形是等边 等腰 三角形； B三角形C ③有一个角是60°的等腰三角形 条件：( 是等边三角形， 等边 等腰直角 三角形 角形 条件：∠A=90° 条件：AB=AC 直角 三角形 知识点3直角三角形 以题点知 写核心笔记 5.(2025·广东改编)《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式 直角三角形 的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要 (1)性质：①两个锐角互余；②勾股定 理：如果直角三角形的两条直角 意义.若直角三角形的三边长a,b,c都是正整数，则a,b,c为 边长分别为a,b,斜边长为c,那 组“勾股数”. 么a2+b2=c2;③斜边上的中线等 请判断下面各组数据是不是勾股数：（是的画√，不是的画×） 于斜边的一半；④30°角所对的直 ①3,4,5( );②0.3,0.4,0.5( ); 角边等于斜边的一半 (2)判定：①有一个角是直角的三角 ③5,7,9( ) 形是直角三角形；②有两个角互 请用含m(m为正整数)的代数式写出两组勾股数： 余的三角形是直角三角形；③勾 (答案不唯一) 股定理的逆定理：如果三角形的 6.根据条件判断下列三角形是否是直角三角形， 三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那 么这个三角形是直角三角形；④ 一条边上的中线等于该边的一 半，则这个三角形是直角三角形. （需证明) 人60° 95 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 例题精讲 考点①等腰三角形的性质和判定 例1(2025·浙江)【问题背景】 变1 (1)等腰三角形的两条边长分别为3,4，它的 如图所示，某兴趣小组需要 周长等于 在正方形纸板ABCD上剪下 (2)等腰三角形一条边长为4，周长为10，它 机翼状纸板（阴影部分），点 的另两边长分别等于 E在对角线BD上. (3)等腰三角形的一个角是40°，它的另外两 【数学理解】 个角的度数是 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组 (4)在△ABC中，AB=AC,AD是BC边的中线 成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程； 若AB=5,BC=6,则AD的长度为 (2)若裁剪过程中满足DE=DA,求“机翼变2(2020·广东)如图，在△ABC 角”∠BAE的度数. 中，点D,E分别是AB,AC边 上的点，BD=CE,∠ABE= ∠ACD,BE与CD相交于点 F.求证：△ABC是等腰三角形 点拨抓住正方形边相等、对角线平分内角的性 质，利用三角形全等的性质，根据等边对等角以 及三角形的内角和即可求解。 考点2直角三角形的性质和判定 例2（人教版八下P34题1改编)△ABC的三 变3(2025·德阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 边长分别是a,b,c,下列条件中，不能判定 90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF △ABC是直角三角形的是 处，使EF恰好过边AB的中点D,连接CD,若 A.a=5,b=12,c=13 CD=1,则GE= B.a:b:c=1:W3:2 C.a2+b2=c2 D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 点拨利用勾股定理的逆定理和三角形的内角 和公式即可解决。 A.3 B.2 C.1 D. 96 第一部分基础过关 考点③等边三角形的性质和判定 常考题型：(1)根据等边三角形的性质求线段长；(2)根据等边三角形的性质求角 例3如图1，在△ABC中，点D,E分别为AB,变4如图，在菱形ABCD中， AC上一点，CD,BE相交于点O. ∠B=60°，点E,F分别在 (1)若△ABC为等边三角形，且BD=AE, 边BC,CD上，且∠EAF= 求∠DOB的度数； 60°，连接EF. (2)如图2，在△ABC中，AB>AC,若BD= (1)求证：△AEF是等边三角形； CE,∠BCD=∠CBE,K为射线CD上 (2)当AB=2时，求△AEF周长的最小值. 一点，CK=BE.求证：BD=BK 图1 图2 97 点拨利用三角形全等的判定及性质做题。 0加 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 广东中考 1.(2025·广东)如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点A,C分别作 AEDC,CE∥AB,AE与CE相交于点E.现有以下命题： 命题l:若连接BE交CA于点F,则SACFR=2 SACEF; 命题2：若连接ED,则ED⊥AC; 命题3：若连接ED,则ED=BC. 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例. 2.（2025·惠州·二模)如图，在△ABC中，过点A作直线MN,过点B作BN⊥MN 于点N,过点C作CM⊥MN于点M,且AC平分∠BAM,∠ABC=∠CNM. (1)若∠BAN=47°，求∠ACM的度数； (2)求证：CN=BC 98 第一部分 基础过关 3.（2025·深圳)综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形 【抽象定义】以等腰三角形的腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶 角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”.如图2，△ABC 中，AB=AC,AC=AD,∠D=∠BAC.此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“伴随三角形” 【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB=AC,AD=CD,∠D=∠BAC.求： ①AD与BC的位置关系为 ②AC AD·BC(填“>”“<”或“=”). 【方法应用】①如图4，若AC=BC,将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE,点D恰好落在BC边上，求 证：四边形ABDE是双等四边形； 3 ②如图5，在等腰三角形ABC中，AC=BC,cosB=亏，AB=5,在平面内找一点D,使四边形ABCD是 以△ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长；若不存在，请说明理由 图 图2 图3 图5 备用图 99 口新课标中考宝典·数学（广东专用版） 命题新考向 1.【传统文化】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自 B 根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看做一个圆柱体，因 丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其 末端恰好到达点B处，则葛藤的最短长度是 尺 2.【创新意识】(2024·威海) 【感悟】如图1，在△ABE中，点C,D在边BE上，AB=AE,BC=DE. 求证：∠BAC=∠EAD 图2 图3 【应用】(1)如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D,点E(点D在点E的左侧)，使得∠BAC= ∠EAD,且DE=BC(不写作法，保留作图痕迹)； (2)如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D,在直线BC上取一点E,使得∠CDE=∠BAC,且 DE=AB(不写作法，保留作图痕迹). 100 >请完成课时作业P38-39习题