第15节 函数的综合应用-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

第一部分基础过关 第15节 函数的综合应用 考点分析 广东近五年真题分析 考点 2021 2022 2023 2024 2025 次函数的综合应用 题20,9分 题23(2)， 反比例函数的综合应用 题13,3分 10分 二次函数的综合应用 题22(2)，4分 题18,7分 1.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析 2.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值 课标要求 3.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函 数值的意义 4.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论 知识硫理 知识点 利用函数知识点解应用题 写以题点知 一、一次函数模型 :1.(2024·广州)一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学兴趣小组收集了 大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一 个函数关系，部分数据如下表： y/cmA 195 190 185 180 脚长x/cm…23 2425262728 175 170 身高y/cm…156163170177184191 … 165 160 155 150 02223242526272829x/cm 图1 图2 (1)在图1中描出表中数据对应的点(x,y); (2)根据表中数据，从y=ax+b(a≠0)和y=(k≠0)中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高 和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； 71 00 新课标中考宝典·数学（广东专用版） (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8c,请根据(2)中求出的函数解析式，估计这 个人的身高 2.(2025春·章贡区期末)2025年春节即将来临，某商场为满足顾客需求，计划购进一批香蕉和橙子 已购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元， (1)请问香蕉和橙子的进价分别是多少元/千克？ (2)该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克，已知香蕉的售价为12元/千克，橙子的售价为 15元/千克，其中香蕉的进货量不低于350千克，且不高于450千克.在可以全部售出的情况 下，清问总利润的最大值是多少？ 72 第一部分 基础过关 二、反比例函数模型 3.(2023·贵阳模拟)山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食文化 的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉被称为“煮饼”）.厨师将一定质 量的面团做成拉面时，面条的总长度y(m)是面条横截面面积x(mm)的反比例函数，其图象经过 A(4,32),B(a,80)两点（如图） y/m (1)求y与x之间的函数解析式； 100 (2)求a的值，并解释它的实际意义 80 20 0 5 x/mm 三、二次函数模型 4.(2023·兰州)一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的 运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y()与离起跳点A的水平距 离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到 10m 台支柱 最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m. (1)求y关于x的函数解析式； (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长 73 0 新课标中考宝典·数学（广东专用版）》 5.(2024·湖北)如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠 42m 墙的矩形实验田，墙长为42，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田 实验田 与墙垂直的一边长为x(单位：m),与墙平行的一边长为y(单位：m),面 积为S(单位：m2). (1)直接写出y与x,S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围). (2)矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求出x的值；如果不能，请说明理由. :国核心笔记 ★1.利用函数知识，点解应用题的一般步骤： (1)弄清题意和题目中的数量关系，找出等量关系（函数关系）； (2)设定实际问题中的变量，建立变量之间的函数关系； (3)列函数解析式，抓住题目中有关等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式； (4)利用函数的性质解决问题. ★2.几类函数模型：(1)一次函数模型y=x+b(k≠0)；(2)反比例函数模型y=仁(k≠0)；(3)二次函数模 型y=ax2+bx+c(a≠0) 东中考 1.(2021·广东)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传 统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用 6000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100 盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒 (1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； 74 第一部分基础过关 (2)设猪肉棕每盒售价x元(50≤x≤65)，y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于 x的函数解析式并求最大利润. 2.(2024·广东)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首 位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外.若按每吨5万元出售， 平均每天可售出100吨.市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨.该果商如何定 价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值.（题中“元”为人民币） 命题新考向 1.【跨学科】（应用意识、运算能力）(2024·台州)如图，科学课上，同学用自制密度计测量液体的密 度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)是液体的密度p(单位：gcm3) 的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h=20cm (1)h关于p的函数解析式为 (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25cm,求该种液体的密度p. >请完成课时作业P30-31习题 75新课标中考宝典数学（广东专用版） :点P在线段AB上-3<号<1， ∴n的取值范围为一6<n<2,则S△cp阳=S△cpA一S△Arm =2×(1-g)×4-2×(1-2)×(2"）=-gm +2)2+2, 当n=-2时，即P(-1,0)时，S△cQ最大，最大值为2. 命题新考向 1.2402.C 3.解：(1)设y=at2十bt十c,将(0,0)，(1,27)，(2,48)代人， c=0, a=-3, 得(a十b十c=27,解得(b=30, 4a+2b+c=48, c=0, ,∴.y关于t的函数解析式为y=一3t2+30t 经检验，该解析式符合题意； (2)当t=4时，y=一3×42+30×4=72 答：汽车刹车4s后，行驶了72m; (3)不会.理由如下：：y=-3t2+30t=-3(t-5)2+75, ∴.当t=5时，汽车停下，行驶了75m, 75<80,.该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车 第15节函数的综合应用 知识梳理 【以题点知】 1.解：(1)描点如答图所示； y/cm 195 190 185 180 175 170 165 160 155 150 0'2223242526272829x/cm 答图 (2)由表中数据可知y随x的增大而均匀增大， ∴.选择y=ax十b(a≠0)比较合适. 将点(23,156)，(24,163)代人y=a.x+b,得 (23a十b=156'解得a=’6 24a+b=163, ∴.该函数的解析式为y=7x一5. 将表中其余数据代入检验，均符合此函数解析式； (3)当x=25.8时，y=7×25.8-5=175.6. .估计这个人的身高为175.6cm 2.解：(1)设香蕉的进价是x元/千克，橙子的进价是y元/ 千克， 根据题意，得2工十3)46，解得工二8， x+2y=28, y=10 答：香蕉的进价是8元/千克，橙子的进价是10元/千克； (2)设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获 得的总利润为w元，则购进(1000一m)千克橙子，根据题 意，得w=(12-8)m+(15-10)(1000-m), 即w=一m+5000, 一1<0，∴.w随m的增大而减小， 又".350≤m≤450， ∴.当m=350时，w取得最大值，最大值为一350十5000 4650(元) 答：总利润的最大值是4650元 3.解：(1)设y与x之间的函数解析式为y=(>0), 将(4,32)代入，得32=冬，则6=4X32=128 :y与x之间的函数解析式为y= 128 x>0): （2②将a,80)代入y-128得80-128， 128 a ∴.a=1.6, 实际意义：当面条的横截面面积为1.6mm2时，面条的总 长度为80m. 4.解：(1)由题意，得抛物线的对称轴为直线x一1，且经过点 (0,10)和(3,7). 设抛物线的解析式为y=ax2十bx十10(a≠0)，则有 8 解得/a-1, b=2, 9a+3b+10=7, y关于x的函数解析式为y=一x2十2x十10； (2)令y=0,则-x2+2x+10=0,解得x1=1+√/11，x2 =1-√/11. .运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为 (1+√1I)m. 5.解：(1)：栅栏总长为80m,.x十y十x=80. y=80-2x,S=y·x=(80-2x)x=-2x2+80x. (2)能 令S=750,则-2x2+80x=750,即x2-40x+375=0,解 得x1=25,x2=15. ,墙长为42m,.0<80-2x≤42，解得19≤x<40 .x=25. 故矩形实验田的面积S能达到750m2,此时x的值为25. 广东中考 1.(1)解：设猪肉粽每盒的进价为a元，则豆沙粽每盒的进价 为(a-10)元.根据题意，得 800-00都得a-40,经检酸a-0是方程的解，且 符合题意.∴.a-10=30. 答：猪肉粽每盒的进价为40元，豆沙粽每盒的进价为 30元. (2)解：由题意得，当x=50时，每天可售100盒 当猪肉粽每盒售x元时，每天可售[100一2(x一50)]盒，每 盒的利润为(x一40)元。 .y=(x-40)·[100-2(x-50)]=-2x2+280x- 8000. 配方，得y=-2(x-70)2+1800. .50≤x≤65， ∴.当x=65时，y取最大值，且最大值为1750. .y=-2x2十280x-8000(50≤x≤65)，最大利润为 1750元. 答：最大利润为1750元. 2.解：设每吨降价x万元，每天的利润为心万元， 由题意得，w=(5-x-2)(100+50x)=-50x2+50x+ 300= -50(-2）广+312.5 :-50<0,当x=2时，w有最大值，最大值为312.5， .5-x=4.5. 答：当定价为每吨4.5万元时，利润最大，最大值为312.5 万元. 命题新考向 20 1.解：(1)h= （2)把A=25代入h=20,得25=20， ,解得p=0.8. 答：该种液体的密度p为0.8g/cm3. 第16节二次函数综合题 知识梳理 【以题点知】 (1)解：将B(0,-4),C(2,0)代入y=ax2+x+m, 得m-一4， m=-4, 4a+2+m=0,解得1 a=2' “税物线的解斩式为y=名十：一4 (2)解：存在.“y=2x+x-4= 2(x +1)、9 2 .对称轴为直线x=一1. 如答图1，点A与点C关于对称轴 对称，故直线AB与直线x=一1的 交点即为使得DB+DC的值最小的 答图1 D'点. 设直线AB的解析式为y=kx十b, 把点A(-4,0),点B(0,-4)代入y=x+b,得 0=二4+b解得二-1， -4=b, b=一4， ∴直线AB的解析式为y=一x-4,当x=-1时，y=一3， .点D'(-1,-3), AB=√OA+OBz=√4+4=42，DB+DC的最小 值=AB=4√2 (3)解：存在，如答图2，过点E作EF∥y 轴交x轴于点G,交AB于点G. 设点E(,2+t-4)则F(t,-t -4)(-4<t<0), 1 SAAIE=SAAFF十SABEF=2·EF ·AG+·EF,OG=},EP 1 答图2 ·OA =[--0-(分+4-4]4=--红=- +2)2+4, .当t=一2时，SAABE的值最大， 此时点E(-2,-4). 广东中考 1.解：(1)令4x一12=2x2-8x十6，解得x1=x2=3.当x=3 时，4x-12=2x2-8x+6=0, ∴.二次函数y=ax2十bx十c的图象经过点(3,0). :二次函数y=ax2+bx十c的图象必过点(-1,0)， a-b+c=0, 9a+3b+c=0'解得{6二二a， .y=a.x2-2ax-3a.即4x-12≤ax2-2ax-3a, 即可看成二次函数y=ax2一2ax一3a的图象与一次函数 y=4x一12的图象仅有一个交点，且整体位于y=4x一12 的图象上方. ∴.a>0..4x一12=ax2一2ax一3a有两个相等的实数根. 将4x-12=a.x2-2ax-3a化为一般式，得ax2-(2a十 4)x+12-3a=0, .△=0..(2a+4)2-4a(12-3a)=0..(a-1)2=0. .a=1..b=-2a=-2,c=-3a=-3.y=x2-2x-3; 9 参考答宋 (2)由(1)可知二次函数为y=x2-2x-3. .A(3,0),C(0,-3).设M(m,m2-2m-3),N(n,0). ①当AC为对角线时， xA十xc=xM十xN, (ya+yc=yM+yN, :3t0=m+n, 0+(-3)=m2-2m-3十0. 解得m1=0(舍去)，m2 =2. ∴.n=1,即N1(1,0). ②当AM为对角线时， |xA十xM=xC十xN, ya+yM=yc+yN, 3十m=0+2, 0+m2-2m-3=-3+0,1 解得m1=0(舍去)，m2=2. .n=5,即N2(5,0). ③当AN为对角线时，ZA十工v=xe十xN, yA+yN=yc十yM, /3+n=0+m, (0+0=-3+m2-2m-3. 解得m1=1十√7，m2=1-√7. .n=7-2或n=-2-√7 .N2(7-2,0),N4(-2-√7,0). 综上所述，点N的坐标为(1,0)或(5,0)或 (7-2,0)或(-2-7,0). ,解：)当y=0时，号x号x+2=0,解得z1=1,x2 =5. 点A在点B的左侧，∴A,B两点的坐标分别为A(1, 0),B(5,0). 当x=0时，y=2,∴.点C的坐标为(0,2). 设直线BC的函数解析式为y=kx十b, 把B6,0,C0,2)代入y=x+b,得6-0， 2 解得 k=一5’ b=2, .直线BC的函数解析式为y=一 (2)如答图，过点M作ME⊥x轴 交BC于点E, 点B的坐标为(5,0)，点C的坐 标为(0,2)，∴.OB=5,OC=2. 在Rt△OBC中，根据勾股定理可C 得BC=√29. B :M为直线BC下方抛物线上一 M 点，其横坐标为m,ME⊥x轴交 答图 BC于点E, 点M的坐标为(m,名m-号m+2,点E的坐标 为(a,号m+. ME=m+2-(m-号m+2)= 2 5m2+2m. 2 ME∥y轴，.∠DEM=∠BCO, &sin∠Bco=sin∠DEM-BC_5Y29 29 在RtADEM中，∠MDE=90,Sin∠DEM-Py DM-ME·m∠DEM-g(←号+m）-