第14节 二次函数的图象和性质-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

第一部分基础过关 第14节二次函数的图象和性质 考点分析 广东近五年真题分析 考点 2021 2022 2023 2024 2025 题9,3分 二次函数的图象及性质 题10,3分 题8,3分 题10,3分 待定系数法求二次 题23(1)，5分 题15,3分 函数的解析式 a,b,c,b2-4ac符号的确定 题10,3分 二次函数图象的平移规律 题12,4分 二次函数与一次、 二次方程的关系 二次函数的应用 题22(2)，4分 题18,7分 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义 2.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系 数与图象形状和对称轴的关系 课标要求 3.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相 应的实际问题 4.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求 一元二次方程的近似解 知识梳理 知识点☑二次函数的定义 !写以题点知 核心笔记 1.已知关于x的函数y=(m-1)x2+x是二次函 一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的 数，则 函数叫做二次函数 写特别提醒：当b=0或c=0或b,c同时为0时，也是二 次函数 知识点2二次函数的图象及性质 写以题点知 2.(改编)如图，二次函数y=a(x+4)2+k的图象与x轴交于A(-6,0),B两点，则 下列说法正确的是 A.a<0 B.点B的坐标为(-4,0) B 10 C.当x>-4时，y随x的增大而增大 D.图象的对称轴为直线x=4 65 了新课标中考宝典·数学（广东专用版〉 写核心笔记 2 抛物线 y=ax2 y=ax2+c y=a(x-h)2 y=ax2+bx+c 4ac-b2 y=a(x-h)2+k y=ax+ 2a 4a 当a>0时，开口向上，并向上无限延伸 开口方向 当a<0时，开口向下，并向下无限延伸 顶点坐标 (0,0) (0,c) (h,0) (h,k) b 4ac-b2 2a’4a 对称轴 y轴 y轴 直线x=h 直线x=h 直线x二-6 2a x=0时， x=0时， x=h时， x=h时， a>0 x=- 最 Ymin=0 ymin=c ymin=0 ymin=h b时，yn 4ac-b2 2 4a 值 x=0时， x=0时， x=h时， x=h时， a<0 b 4ac-b2 x=- Ymax=0 Ymax=c Ymax=0 Ymax =h 时，ymax 2a 4a 在对称轴左侧，y随x的增大而减小 a>0 增 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 减 性 在对称轴左侧，y随x的增大而增大 a<0 在对称轴右侧，y随x的增大而减小 知识点3待定系数法求二次函数的解析式 写以题点知 3.一个二次函数，当x=0时，y=-5;当x=-1时，4.若二次函数图象的顶点坐标为(2，-1)，且过点 y=-4;当x=-2时，y=5,则这个二次函数的 (0,3),则该二次函数的解析式为 解析式是 ( A.y=4x2+3x-5 B.y=2x2+x+5 Ay=2(x-2)2-1 B.y=(x+2)2-1 C.y=2x2-x+5 D.y=2x2+x-5 C.y=(x-2)2-1 D.y=-(x-2)2-1 写核心笔记 已知条件 设解析式的形式 待定系数法求解析式 已知顶，点(h,k)+其他，点坐标 顶点式：y=a(x-h)2+k 已知与x轴的两个交点（(x1,0),（x2,0)+ 联立方程，得出结果，再代 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) 其他，点坐标 回所设解析式 已知任意三个，点坐标 般式：y=ax2+bx+c 66 第一部分基础过关口 知识点4a,b,c,b2-4ac符号的确定 !国以题点知 5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a,b,c满足 A.a<0,b<0,c<0 B.a>0,b<0,c<0 C.a<0,b>0,c>0 D.a>0,b<0,c>0 写核心笔记 ★2.a,b决定对称轴的位置 抛物线y=ax2+bx+c ★1.a决定抛物线的开口方向和开口大小 (1)|a相同台抛物线的形状相同) 上正 (2)a>0曰抛物线的开口向上 ② 下负 (3)a<0台抛物线的开口向下 b 抛物线y=a2+bx+c的对称轴为直线x= 2a 特别提醒：a还决定开口大小，即|a|越大，开口 越小 （1)a与b同号台对称轴在y轴的左侧1左同 (2)a与b异号曰对称轴在y轴的右侧) 右异 (3)b=0曰对称轴就是y轴 ★3.c决定抛物线与y轴的交，点位置 ★4.b2-4ac的符号决定抛物线与x轴的交点个数 抛物线y=a2+bx+c,当x=0时，y=c,即抛物线 (1)b2-4ac>0曰抛物线与x轴有2个交点； 与y轴的交点坐标为(0，c) (2)b2-4ac=0曰抛物线与x轴有1个交点； (1)c>0曰抛物线与y轴相交于正半轴， 上正 (3)b2-4ac<0曰抛物线与x轴没有交，点. (2)c=0曰抛物线与y轴相交于原，点 下负 (3)c<0→抛物线与y轴相交于负半轴」 知识点⑤二次函数图象的平移规律 !写以题点知 写核心知识 6.将抛物线y=2(x-1)2+3向 平移前的解析式 移动方向(m>0) 平移后的解析式 简记 左平移1个单位长度，再向 下平移3个单位长度，平移 向左平移m个单位长度 y=a(x-h+m)2+k 左“+” 后所得抛物线的解析式为 向右平移m个单位长度 y=a(x-h-m)2+k 右“_” ( y=a(x-h)2+k A.y=2x2 向上平移m个单位长度 y=a(x-h)2+k+m 上“+” B.y=2x2+6 向下平移m个单位长度 y=a(x-h)2+k-m 下“-” C.y=2(x-2)2 D.y=2(x-2)2+6 67 了新课标中考宝典·数学（广东专用版） 知识点⑥二次函数与一元二次方程的关系 g以题点知 7.(改编)抛物线y=(x-3)2-4与x轴的交点个数是 A.2个 B.1个 C.0个 D.不能确定 8.(改编)已知抛物线y=x2-2x+1与x轴的交点坐标是(1,0)，则一元二次方程x2-2x+1=0的解 是 例题精讲 考点①二次函数的图象和性质 常考题型：(1)根据二次函数的性质判断对错；(2)求二次函数的最值 例1(2024·贵州)如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x:变1 已知抛物线y=ax2+bx+c(a, 轴的一个交点的横坐标是-3，顶点坐标为(-1,4)，则下列 b,c为常数，a≠0)的顶点坐 说法正确的是 ( 标为(-2,5)，与y轴的交点 Y 在x轴上方，下列结论正确 （-1,4) 的是 ( A.抛物线开口向下 -3 07 B.c<0 A.二次函数图象的对称轴是直线x=1 C.与x轴只有一个交点 D.4a-2b+c=5 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C.当x<-1时，y随x的增大而减小 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 点拨本题要理解二次函数的图象和性质 考点2待定系数法求二次函数的解析式 例2(2023·大庆节选)如图所示，在平面直角坐标系 变2如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2, 中，抛物线与x轴分别交于A(3,0),C(-1,0)两 5),与x轴相交于B(-1,0),C(3,0)两 点，抛物线与y轴的交点为 点.求抛物线的函数解析式. B(0,-3).求抛物线的解析式. 点拨本题利用待定系数法求二次函数的解析式，需 要结合已知条件选择合适的解析式形式： 68 第一部分基础过关 广东中考 1.(2020·广东)把函数y=(x-1)2+2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为 A.y=x2+2 B.y=(x-1)2+1 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-1)2+3 Y个B 2.(2023·广东)如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B 在y轴上，则ac的值为 ( A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 3.(2025·广东)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(c,0),但不经过原点，则该二次函数的解 析式可以是 (写出一个即可) 4.（2022·广东)如图，抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A,B 两点，A(1,0),AB=4,点P为线段AB上的动点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q. (1)求该抛物线的解析式； (2)求△CPQ面积的最大值，并求此时点P的坐标 命题新考向 1.【跨学科】（应用意识，运算能力）(2023·山西模拟)生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活 性会随温度的升高逐渐增强.在最适温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围，酶的活性又随温度的 升高逐渐减弱，甚至会失去活性.现已知某种酶的活性值y(单位：IU)与温度x(单位：℃)的关系可以 近似用二次函数y= 2+14+142来表示，则当温度为最适宜温度时，该种酶的活性值为 IU. 69 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 2.【数学文化】（模型观念、应用意识、运算能力）(2021·广东)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利 用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三 历长分别为a,bc,记Dat+厕其面积S=p(p0)p-b(p-0).这个公式也被称为海伦-秦九 韶公式.若p=5,c=4,则此三角形面积的最大值为 A.√5 B.4 C.25 D.5 3.【综合实践】（模型观念、应用意识、运算能力）(2024·浉河区二模) 某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察，刹车 距离。 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”.刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用， 行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离， 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时， 对它的刹车性能进行测试.兴趣小组成员记录其中一组数据如下表： 刹车后行驶的时间t/s 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y/m 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y(单位：m)与刹车后行驶的时间t(单位：s)之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车 完全停止 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)汽车刹车4s后，行驶了多长距离？ (3)若汽车司机发现正前方80处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下 是否会撞到抛锚的车？试说明理由、 70 >请完成课时作业P28-29习题D(台品c(点am 将x=品代人y= 是中，得y=am, 函数y-兰的图象必经过点C, (2)解：点B(1,2)在直线y=ax上，∴a=2,y=2x, ∴点A的横坐标为1，点C的纵坐标为2， :函数y=冬的图象经过点A,C,C(冬，2)，A1,k), D(会k),DC=k-2, ,把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E, ·BE=BC= 2 -1,∠BED=∠BCD=90°， DE 如答图1，过点D作DH⊥ y轴，过点B作BF⊥y轴， AD∥x轴，∴H,A,D三 点共线， .∠HED+∠BEF=90°， ∠BEF+∠EBF=90°， .∠HED=∠EBF, :∠DHE=∠EFB=90°， .△DHE∽△EFB, :.DH_HE_DE 答图1 EF BF BE =2, BF-1,DH-冬HE-2,EF-冬HF-2+ 4 又易知，HF=DC, 2+套-t-2k-9, (3)解：把矩形ABCD沿 BD折叠，点C的对应点为 H-- (E E,当点E,A重合时，AC ⊥BD, 四边形ABCD为矩形， ∴.四边形ABCD为正方形 ∠ABP=∠DBC=45°， .'AB=BC=CD=DA= sin45=AP,AP-PC= AP 答图2 BP=2AC,BP⊥AC, :BC∥x轴，∴直线y=ax为一，三象限的角平分线， :.y=x, 当⊙O过点B时，如答图2所示，过点D作DH∥x轴交y 轴于点H, .AD∥x轴， .H,A,D三点共线， .以点O为圆心，AC长为半径作⊙O,OP=3√2， .OP=OB+BP=AC+BP=2AP+AP=3AP=3√2， .AP=√2 ..AB=AD=J2AP=2,BD=2AP=22,BO=AC= 2AP=22, AB∥y轴，.△DHOD△DAB, 8-器-品四四2-2， 2√2 参考答宋 .HO=HD=4,.HA=HD-DA=4-2=2, A(2,4),.k=2X4=8, 当⊙O过点A时，根据A,C关于直线OD对称知，⊙O必 过点C,如答图3所示，连接AO,CO,过点D作DH∥x轴 交y轴于点H, AO =OC AC,. △AOC为等边三角形， OP⊥AC,.∠AOP= A(E) 3×60=30r. AP=tam30°X0p=图 3 X3√2=√6=PD,AC= BD=2AP=2√6， 答图3 .AB=AD=√2AP=2 3,OD=OP+PD=3√2+√6， :AB,轴，.△DHO∽△DAB,:HC_DH_DO ABADBD' :H0_DH_32+6 2√5252√6 .HO=HD=3+3,∴.HA=HD-DA=3+√3-23 =3-3, .A(3-√3,3+√3)，.k=(3-√3)X(3+√3)=6. .当⊙O与△ABC的边有交点时，k的取值范围为6≤k ≤≤8. 第14节二次函数的图象和性质 知识梳理 【以题点知】 1.m≠12.C3.A4.C5.D6.A7.A8.x1=x2 =1 例题精讲 例1D变1D 例2解：根据题意设抛物线的解析式为y=a(x+1) (x一3)，把B(0,-3)代入，得-3=一3a,则a=1, 抛物线的解析式为y=x2一2x一3. 变2解：由题意得 (4a-2b+c=5, a-b+c=0, 9a+3b+c=0, a=1, 解得(b=一2， 1c=-3, ∴.抛物线的函数解析式为y=x2一2x一3. 广东中考 1.C2.B3.y=-x2+x十2（答案不唯一） 4.解：(1)点A(1,0),AB=4,.点B的坐标为（一3,0）， 将点A(1,0),B(一3,0)代入函数解析式，得 0=1+b+c:解得6=2， 0=9-3b+c, c=-3, .抛物线的解析式为y=x2十2x一3； (2)由(1)得抛物线的解析式为y=x2+2x一3，顶点式为 y=(x十1)2一4，则点C坐标为（一1，一4），由B(一3,0)， C(-1,-4)可求直线BC的解析式为y=一2x一6， 由A(1,0),C(一1，一4)可求直线AC的解析式为y=2x -2,.PQ∥BC, 设直线PQ的解析式为y=一2x十n,与x轴的交点为 p号小2肾@，》 新课标中考宝典数学（广东专用版） :点P在线段AB上-3<号<1， ∴n的取值范围为一6<n<2,则S△cp阳=S△cpA一S△Arm =2×(1-g)×4-2×(1-2)×(2"）=-gm +2)2+2, 当n=-2时，即P(-1,0)时，S△cQ最大，最大值为2. 命题新考向 1.2402.C 3.解：(1)设y=at2十bt十c,将(0,0)，(1,27)，(2,48)代人， c=0, a=-3, 得(a十b十c=27,解得(b=30, 4a+2b+c=48, c=0, ,∴.y关于t的函数解析式为y=一3t2+30t 经检验，该解析式符合题意； (2)当t=4时，y=一3×42+30×4=72 答：汽车刹车4s后，行驶了72m; (3)不会.理由如下：：y=-3t2+30t=-3(t-5)2+75, ∴.当t=5时，汽车停下，行驶了75m, 75<80,.该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车 第15节函数的综合应用 知识梳理 【以题点知】 1.解：(1)描点如答图所示； y/cm 195 190 185 180 175 170 165 160 155 150 0'2223242526272829x/cm 答图 (2)由表中数据可知y随x的增大而均匀增大， ∴.选择y=ax十b(a≠0)比较合适. 将点(23,156)，(24,163)代人y=a.x+b,得 (23a十b=156'解得a=’6 24a+b=163, ∴.该函数的解析式为y=7x一5. 将表中其余数据代入检验，均符合此函数解析式； (3)当x=25.8时，y=7×25.8-5=175.6. .估计这个人的身高为175.6cm 2.解：(1)设香蕉的进价是x元/千克，橙子的进价是y元/ 千克， 根据题意，得2工十3)46，解得工二8， x+2y=28, y=10 答：香蕉的进价是8元/千克，橙子的进价是10元/千克； (2)设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获 得的总利润为w元，则购进(1000一m)千克橙子，根据题 意，得w=(12-8)m+(15-10)(1000-m), 即w=一m+5000, 一1<0，∴.w随m的增大而减小， 又".350≤m≤450， ∴.当m=350时，w取得最大值，最大值为一350十5000 4650(元) 答：总利润的最大值是4650元 3.解：(1)设y与x之间的函数解析式为y=(>0), 将(4,32)代入，得32=冬，则6=4X32=128 :y与x之间的函数解析式为y= 128 x>0): （2②将a,80)代入y-128得80-128， 128 a ∴.a=1.6, 实际意义：当面条的横截面面积为1.6mm2时，面条的总 长度为80m. 4.解：(1)由题意，得抛物线的对称轴为直线x一1，且经过点 (0,10)和(3,7). 设抛物线的解析式为y=ax2十bx十10(a≠0)，则有 8 解得/a-1, b=2, 9a+3b+10=7, y关于x的函数解析式为y=一x2十2x十10； (2)令y=0,则-x2+2x+10=0,解得x1=1+√/11，x2 =1-√/11. .运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为 (1+√1I)m. 5.解：(1)：栅栏总长为80m,.x十y十x=80. y=80-2x,S=y·x=(80-2x)x=-2x2+80x. (2)能 令S=750,则-2x2+80x=750,即x2-40x+375=0,解 得x1=25,x2=15. ,墙长为42m,.0<80-2x≤42，解得19≤x<40 .x=25. 故矩形实验田的面积S能达到750m2,此时x的值为25. 广东中考 1.(1)解：设猪肉粽每盒的进价为a元，则豆沙粽每盒的进价 为(a-10)元.根据题意，得 800-00都得a-40,经检酸a-0是方程的解，且 符合题意.∴.a-10=30. 答：猪肉粽每盒的进价为40元，豆沙粽每盒的进价为 30元. (2)解：由题意得，当x=50时，每天可售100盒 当猪肉粽每盒售x元时，每天可售[100一2(x一50)]盒，每 盒的利润为(x一40)元。 .y=(x-40)·[100-2(x-50)]=-2x2+280x- 8000. 配方，得y=-2(x-70)2+1800. .50≤x≤65， ∴.当x=65时，y取最大值，且最大值为1750. .y=-2x2十280x-8000(50≤x≤65)，最大利润为 1750元. 答：最大利润为1750元. 2.解：设每吨降价x万元，每天的利润为心万元， 由题意得，w=(5-x-2)(100+50x)=-50x2+50x+ 300= -50(-2）广+312.5 :-50<0,当x=2时，w有最大值，最大值为312.5， .5-x=4.5. 答：当定价为每吨4.5万元时，利润最大，最大值为312.5 万元. 命题新考向 20 1.解：(1)h=