第7节 一元二次方程及其应用-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

例题精讲 例1B变1D例2m>4且m≠6变2-1 例3C变3D 例4解：去分母，得5(x一1)一(x+1)=0, 去括号，得5x-5-x-1=0, 移项，合并同类项，得4x=6, 3 系数化为1，得x=2, 检验：将x=是代人zx十1)(2-1D中，得受× 3 (侵+)（停-）-号o, 则原分式方程的解为x=是。 变4解：去分母，得16十(x+2)(x一2)=（x+2) ·(x十2)， 去括号，得16十x2-4=x2十4x十4， 移项、合并同类项，得一4x=一8， 系数化为1，得x=2, 检验：当x=2时，(x十2)(x一2)=0， .x=2是原方程的增根， .原方程无解 广东中考 1.D2.A 3.解：原方程去分母，得x=6x一15，解得x=3,检验：当x= 3时，x(2x一5)≠0， 故原方程的解为x=3. 4.解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以 一个数（或式子），等式仍然成立； 小李的解答过程不正确，正确解答如下： 1-x 1 x-2-2-x -2,1-x=-1-2(x-2),1-x=-1-2x +4,一x十2x=-1+4-1,解得x=2, 经检验，x=2是增根，∴原方程无解. 命题新考向 1.C2.B 第7节一元二次方程及其应用 知识梳理 【以题点知】 1.A2.C3.A4.4-2 5.解：原方程可变形为(x+1)(x一3)=0， ∴.x十1=0或x-3=0, ,x1=一1，x2=3. 6.D7.A8.D9.C10.B 【核心笔记】 知识点4 1.一个2.a.x2+bx+c=0 知识点2 (1)两个不相等(2)两个相等(3)没有 知识点4 1.(1)审(2)设(3)列(4)解(5)验(6)答 2.(4)(a-2x)(b-2x)(a-x)(b-x) 例题精讲 例12024变11例2D变2D 例3解：移项，得x2-6x=-2,配方，得x2-6x十32=一2 十32，(x-3)2=7, 两边开平方，得x一3=士√7， x1=3+√7，x2=3-√7 变3(1)三 (2)解：二次项系数化为1，得x2十2x一4=0， 参考苔宋 移项，得x2十2x=4, 配方，得x+2x+1=4+1,即(x+1)2=5,由此，可得 x+1=士√5， 所以，x1=-1+5,x2=-1-√5. 广东中考 1.A2.23.14.有两个不相等的实数根 5-日或好 6.解：(1)根据题意，得△=（一2）2一4(4一m)>0,解得m >3: (2).m>3, .m-3>0, m÷m21.m-3 1m2 2 m+1 (1-m)(1+m),2,m-3 m-3 m-1‘m+1 =-2. 命题新考向 1.解：x2+4x十5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1, (x十2)2≥0，∴当x=一2时，(x+2)2的值最小，最 小值是0，∴.(x+2)2+1≥1， .当(x十2)2=0时，(x十2)2+1的值最小，最小值 是1， .x2十4x十5的最小值是1. (1)31(2)1大-4 (3)-x2+3x+y+8=0,y=x2-3x-8, x+y=x2-2x-8=(x-1)2-9, ,(x-1)2≥0，∴.(x-1)2-9≥-9，即x十y≥-9. .当x=1时，x十y取得最小值为一9. 2.-i 第8节一元一次不等式（组）及其应用 知识梳理 【以题点知】 1.D2.B3.A4.B 5.解：去分母，得x-1-3>0, 移项，得x>4. 6.C7.D8.79.B 10.5或6 【核心笔记】 知识点1 2.(1)不变>(2)不变>>(3)改变<< 知识点2 1.一个1 2.去分母去括号移项合并同类项系数化成1 知识点3 1.一元一次不等式公共部分 2.(1)每个不等式 例题精讲 例1D变1D例2A变2C例3D变3B 例4A 2(x+2)>x+3,① 变4解： <，@ 解不等式①，得x>一1， 13 解不等式②，得x<3, -3-10123 答图 在同一条数轴上表示不等式①②的解集如答图， 原不等式组的解集是一1<x<3,了新课标中考宝典·数学（广东专用版） 第7节一元二次方程及其应用 考点分析 广东近五年真题分析 考点 2021 2022 2023 2024 2025 一元二次方程及其解法 题14,4分 题14,3分 一元二次方程的根的判别式 题13,3分 题13,3分 一元二次方程的 根与系数的关系 一元二次方程的实际应用 题7,3分 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程 解的意义，经历估计方程解的过程 2.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程 课标要求 3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等 4.了解一元二次方程的根与系数的关系 5.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 知识梳理 知识点①一元二次方程及其解法 写以题点知 :1.用配方法解方程x2+8x+7=0,则配方正确的是 A.(x+4)2=9 B.(x-4)2=9 C.(x-8)2=16 D.(x+8)2=57 2.一元二次方程x2-9=0的根为 A.x=3 B.x=-3 C.x=3或x=-3 D.x=0 3.用公式法解方程4x2+12x+3=0,得 A.x=-3±6 B.x=3±6 C.x=-3±23 2 D.x=3t23 2 4.若x=2是关于x的方程x2-c=0的一个根，则常数c=,这个方程的另一个根为x= 28 第一部分基础过关 5.解方程：x2-2x-3=0. 核心笔记 ★1.定义：只含有 未知数的整式方程，并且未知数的最高次数是2的方程叫一元二次方程。 ★2.一般形式： (a,b,c是常数，a≠0). ★3.常用解法与步骤 (1)直接开平方法：形如x=p或(mx+n)=p(p≥0)的一元二次方程，由直接开平方可得x=D或mx+n=±p; (2)配方法：将一元二次方程配成形如(x+)2=p的形式，再利用直接开平方法求解； （3)公式法：形如ar+bre=0(a+0)的方程，求根公式是=-4(6-4c≥0； 2a (4)因式分解法：容易变形为形如(x-a)(x-b)=0的形式. 知识点2一元二次方程的根的判别式 国以题点知 国核心笔记 6.方程x2-3x-1=0的根的情况是 一元二次方程根的判别式：△=b2-4ac. A.没有实数根 (1)△>0曰原方程有 的实数根； B.有一个实数根 (2)△=0曰原方程有 的实数根； C.有两个相等的实数根 (3)△<0曰原方程 实数根 D.有两个不相等的实数根 反之也成立！ 7.若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相 写特别提醒：△≥0方程有实数根 等的实数根，则k的取值范围是 ( A.k>-1 B.k≥-1 C.k≤1 D.k<1 知识点3一元二次方程的根与系数的关系 写以题点知 写核心笔记 8.已知x1,x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两根，则 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0) b x1+x2+2x1x2的值为 ( 的两根分别为x1和2，则x1+=0x1=a a A.-2 B.-1 C.1 D.2 知识点4一元二次方程的实际应用 写以题点知 9.一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百 分率为 ( A.20% B.22% C.25% D.28% 10.一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有 A.9人 B.10人 C.12人 D.15人 29 了新课标中考宝典·数学（广东专用版〉 核心笔记 ★1.列一元二次方程解应用题的“六字诀” (1) :理解题意，明确未知量、已知量及它们之间的数量关系； (2) :根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； (3) :根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程； (4) :准确求出方程的根； (5) :检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题； (6) :写出答案 ★2.主要题型 (1)增长（下降）率问题： 设a为变化前的量，n为变化次数，b为变化后的量. 当x为平均增长率时，则a(1+x)”=b;当x为平均下降率时，则a(1-x)”=b. (2)销售利润问题： 利润=售价-进价；总利润=单件利润销售量， (3)循环问题： ①摆手、单循环赛总次数：n(n,)(n为人教或参寒队数)： 2 ②互送礼物总份数：n(n-1)(n为人数). (4)面积问题： 如图1，设阴影部分的宽为x,则S室白= 如图2、图3，设阴影部分的宽为x,则S堂白= 图2 例题情拼 考点匐①一元二次方程的根 例1 若关于x的一元二次方程ax2+bx+3=0(a变1已知关于x的方程(m+3)x2+x+m2+2m-3=0 ≠0)的一个根是x=1,则代数式2021-a-b 的一个根为0，另一个根不为0，则m的值为 的值为 点拨本题根据方程的根的含义得到a,b的关 系式 考点2一元二次方程的根的判别式 例2若关于x的方程2x2+4x+c=0没有实数变2 等腰三角形的三边长分别为a,b,4,且a,b 根，则c的值可能为 ( 是关于x的一元二次方程x2-12x+k+2=0的 A.0 B.1 C.2 D.3 两根，则k的值为 ( 点拔本题根据一元二次方程的根的判别式得 A.30 B.34或30 到关于c的不等式： C.36或30 D.34 30 第一部分基础过关 考点③一元二次方程及其解法 例3解一元二次方程：x2-6x+2=0. 点拨本题根据方程特点，可以选择配方法或者公式法 变3(2023·新华区校级模拟)下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 解：2x2+4x-8=0. 二次项系数化为1，得x2+2x-4=0,…第一步 移项，得x2+2x=4,…第二步 配方，得x2+2x+4=4+4,即(x+2)2=8,…第三步 由此，可得x+2=±22，…第四步 所以，x1=-2+22,x2=-2-22.…第五步 (1)小明同学解题过程中，从第 步开始出现错误； (2)请给出正确的解题过程 广东中考 1.(2025·广东)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工 业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6,7两个月产 值的月均增长率为x,可列出的方程为 A.2500(1+x)2=9100 B.2500(1-x)2=9100 C.2500(1-2x)2=9100 D.2500(1+2x)2=9100 2.(2024·深圳)一元二次方程x2-3x+a=0的一个獬为x=1,则a= 3.(2024·广东)已知若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根，则c= 4.（2025·广东)不解方程，判断一元二次方程2x2+x-1=0的根的情况是 5.(2024·广州)定义新运算：a⑧b= ra2-b,a≤0， 例如：-2⑧4=(-2)2-4=0,2⑧3=-2+3=1.若x81 -a+b,a>0. 3 4 ,则x的值为 31 了新课标中考宝典·数学（广东专用版〉 6.(2024·广州)关于x的方程x2-2x+4-m=0有两个不等的实数根， (1)求m的取值范围； 1-m2.m-1,m-3 (2)化简：1m-32m+1 命题新考向 1.【易错题】（数学运算）(2024春·普宁市期末)上数学课时，张老师在讲完全平方公式(a±b)2=a2± 2αb+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值.同学们经过交 流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1, (x+2)2≥0，.当x=-2时，(x+2)2的值最小，最小值是0，∴.(x+2)2+1≥1， .当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1， x2+4x+5的最小值是1. 请你根据上述方法，解答下列各题. (1)知识再现：当x=时，代数式x2-6x+10的最小值是 (2)知识运用：若y=-x2+2x-5,当x= 时，y有最 (填“大”或“小”)值，这个值是 (3)知识拓展：若-x2+3x+y+8=0,求x+y的最小值. 2.【教材拓展】（数学运算）我们知道，一元二次方程x=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于- 1,如果我们规定一个新数“”使它满足2=-1（即x2=-1有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以 与新数“”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有=i,2=-1,3=2·i=-i, =(2)2=1,…,那么2m= 32 >请完成课时作业P14-15习题