第6节 分式方程及其应用-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

0 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 第6节分式方程及其应用 考点分析 广东近五年真题分析 考点 2021 2022 2023 2024 2025 解分式方程 题9,3分 题16,7分 分式方程的应用 题22(1)，4分 题17,7分 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程 课标要求 解的意义，经历估计方程解的过程 2.掌握等式的基本性质；能解可化为一元一次方程的分式方程 知识梳理 知识点①分式方程的定义及其解法 g以题点知 核心笔记 1下列关于x的方程：①之--10，② ★1.分式方程：分母中含有未知数的方程叫做 25 600 方程. ★2.解分式方程： t30③+1=5 400 4 ,④%，其中是分式方程 (1)基本思路：将分式方程转化为整式方程. 2x x (2)基本步骤： 的有 ① 在方程两边都乘以各分母的 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ,约去分母，将分式方程化为 整式方程； 2,将关于x的分式方程3 一>二2=，去分母后听 ②解这个整式方程； ③检验：把整式方程的根代入最简公分母，如果 得整式方程正确的是 ( 最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原 A.3(2-x)-2(x-2)=5B.3-2(x-2)=-5 分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程 的解，是一个增根，应舍去； C.-3-2(x-2)=5 D.3-2(x-2)=5 ④写出原方程的根 3.已知关丁：的方程2号的解是x=1,则a 1 概括：一化、二解、三检验 ★3.增根问题可按如下步骤进行： 的值为 (1)让最简公分母为确定增根； (2)化分式方程为 方程； 4.若关于x的方程x+ x-2 =1有增根，则m的值是 (3)把增根代入 方程即可求得相关字母的值 ★4.分式方程的增根与无解的区分：分式方程的增根与 无解并非同一概念： (1)分式方程的增根是去分母后的整式方程的根， 也是使原分式方程分母为0的根， (2)分式方程无解的原因有两个： ①去分母后的整式方程无解； ②整式方程的解使最简公分母为0. 24 第一部分基础过关 知识点2分式方程的应用 :g以题点知 核心笔记 5.甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多 ★1.分式方程的实际应用： 加工2个这种零件，甲加工25个这种零件所 (1)审清题意，并 用的时间与乙加工20个这种零件所用的时间 (2)找出 ,并列出分式方程； 相等，求乙每小时加工多少个这种零件. (3)解这个分式方程； (4)检验根； (5)写答案， ★2.分式方程的应用题与整式方程的应用题类似，不同 的是要注意检验（双检）： (1)检验所求的解是否为所列分式方程的解（增根 应舍去)； (2)检验所求的解是否符合题意. 例题情讲 考点①分式方程的解及有意义的条件 例1 已知关于x的分式方程x+m =3的解是 i 变1 x-2 将方程1=得去分母，两边同乘（一1） 2x x=3,则m的值为 后的式子为 ( A.3 B.-3 C.-1 D.1 A.1-1=-2x B.x-1-1=-2x 点拨本题根据方程的解的含义即可求解， C.1-(x-1)=2x D.1-(x-1)=-2x 考点2根据方程的解的情况求字母的取值范围 例2 若关于x的分式方程3x x-2 =2的解是正数， 变2 (2024·海淀期末)若分式方程+1=2的解 x+a 则m的取值范围是 是x=3,则a= 点拨 本题隐含了此解使得分式方程有意义： 例3 如果关于x的分式方程 2+m+1 -5+5-x =1无变3 分式方程23 =0的解为 x-55-x 解，则m的值为 A.-2 B.2 C.5 D.无解 A.-5 B.3 C.1 D.-1 点拨分式方程无解有两种情况：①整式方程本 身无解；②分式方程产生增根 25 了新课标中考宝典·数学（广东专用版） 考点3分式方程的解法 -- 例4(2024·毫州二模)解方程：：20 =0变4(2024·榆阳区一模)解方程”4 1=+2 16 x-2 点拨本题要根据分式方程的解题步骤求解，注 意先将分母进行因式分解，最后要代入最简公分 母检验 东中考 1.(2024·广东)方程 23 -3 的解是 A.x=-3 B.x=-9 C.x=3 D.x=9 2.（2025·深圳)某社区要植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比 原计划少了3棵.若设原计划人数为x,则下列方程正确的是 A.6060 3 B 6060=3 0 60 C. D x 2x 2x x 2x60 x+3 2x60 x-3 3.(2024·广州)解方程：2x-5x 13 26 第一部分基础过关 4(2025·广东)在解分式方程2-2时，小车的解法如下： 第一步：1 .x-2=2 -2 (x-2)-2, 第二步：1-x=-1-2, 第三步：-x=-1-2-1, 第四步：x=4。 第五步：检验：当x=4时，x-2≠0. 第六步：.原分式方程的解为x=4. 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确.若不正确， 请写出你的解答过程. 命题新考向 1.【数学文化】（数学运算）如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所 著.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准 与一株椽.”大意是现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么 少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋 顶以支持屋顶盖材料的木杆)设这批椽有x株，则符合题意的方程是 6210=3 A 6210=3 B x-1 C.3(x-1)=6210 D.3(x-1)= 6210 x-1 2.【新考法】（数学运算）如图，实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克.如何处理能 将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍.晓华根据这一情景中的数量关系列出方程3× 1010 150150- ，则未知数x表示的意义是 A.增加的水量 B.蒸发掉的水量 C.加入的食盐量 D.减少的食盐量 >请完成课时作业P12-13习题 27新课标中考宝典数学（广东专用版） =2a+1, 把a=5代人，原式=2×5+1=11. 命题新考向 1.(1)2(2)-3 第4节二次根式 知识梳理 【以题点知】 1.D2.B3.A4.√6+25.A6.C7.41 8.解：原式=2√5一√5一(1+√3) =23-3-1-3 =-1. 9.解：原式=(x-y)2+xy =(25)2+2 =20+2 =22. 【核心笔记】 知识点1 2.被开方数a≥03.(1)分母分母中无根号 例题精讲 例1C变1B例2士3变2(1)B(2)D 例3解：原式=5+√6. 变3解：原式= x(x-1) x-2(x-2)(x+2) =x-1×(x-2)(x+2) x-2X- x(x-1) =x+2 x 将x-反-2代入中2，得22+2_-E-1 x √2-2 广东中考 1.B 2.解：原式=23+1+5-2X号 =3W3, 命题新考向 1.A2.74 第二章方程（组）与不等式（组）》 第5节一次方程（组）及其应用 知识梳理 【以题点知】 1.C2.D3.A4.C5.-1 6.解：去分母，得3(4x一3)-15=5(2x一2)， 去括号，得12x一9一15=10x-10, 移项，得12x-10x=24-10, 合并同类项，得2x=14, 方程两边同除以2，得x=7. 7.D8.(1).C(2)1 62y92 ①X2,得2x-2y=2,③ ②+③，得5x=10,解得x=2, 把x=2代入①中，得2-y=1,解得y=1, 所以原方程组的解为{工=2， y=1. 10.3411.210 【核心笔记】 知识点1 1.相等b士c2.(1)bc 知识点2 1.一个13.(1)最小公倍数(2)变号(5)系数 知识点3 1.两个2.两个相同未知数3.公共解 知识点4 1.(2)设未知数(3)列方程(4)解方程 例题精讲 例1A变1C例2A变2A例3C变3B 例4A 变4解：去分母，得2(2x-1)=2x十1-2×6， 去括号，得4x-2=2x十1-12， 移项，得4x一2x=1一12十2， 合并同类项，得2x=一9， 9 系数化为1，得x=一2· 例5解：设甲种商品的定价为每件x元，则乙种商品的定价 为每件y元， 限聚题套得低十： 每格亿0 答：甲、乙两种商品的定价分别为每件150元、50元. 变5解：设甲的骑行速度为xkm/h,乙的骑行速度为 y km/h, 10.10 60x+60y=12, 根据题意，得 10,=sg-10 10+4 12 路化仁致 答：甲的骑行速度为24km/h,乙的骑行速度 为48km/h. 广东中考 1.(1)4(2)A2.A 3.解：设每个篮球x元，每个足球y元，由题意，得 -”0政+0o6010 （三个方程组任选一个即可).解得x=60, y=50. 答：每个篮球60元，每个足球50元. 命题新考向 1.D2.D 第6节 分式方程及其运用 知识梳理 【以题点知】 1B2B8.-14-号 5.解：设乙每小时加工x个这种零件，则甲每小时加工(x十 2)个这种零件， 根据题意，得25。=20 x十2x 解得x=8,经检验，x=8是所列 方程的解，且符合题意， 答：乙每小时加工8个这种零件」 【核心笔记】 知识点1 1.分式2.①去分母最小公倍数3.(1)0(2)整式 (3)整式 知识点2 1.(1)设未知数(2)等量关系 例题精讲 例1B变1D例2m>4且m≠6变2-1 例3C变3D 例4解：去分母，得5(x一1)一(x+1)=0, 去括号，得5x-5-x-1=0, 移项，合并同类项，得4x=6, 3 系数化为1，得x=2, 检验：将x=是代人zx十1)(2-1D中，得受× 3 (侵+)（停-）-号o, 则原分式方程的解为x=是。 变4解：去分母，得16十(x+2)(x一2)=（x+2) ·(x十2)， 去括号，得16十x2-4=x2十4x十4， 移项、合并同类项，得一4x=一8， 系数化为1，得x=2, 检验：当x=2时，(x十2)(x一2)=0， .x=2是原方程的增根， .原方程无解 广东中考 1.D2.A 3.解：原方程去分母，得x=6x一15，解得x=3,检验：当x= 3时，x(2x一5)≠0， 故原方程的解为x=3. 4.解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以 一个数（或式子），等式仍然成立； 小李的解答过程不正确，正确解答如下： 1-x 1 x-2-2-x -2,1-x=-1-2(x-2),1-x=-1-2x +4,一x十2x=-1+4-1,解得x=2, 经检验，x=2是增根，∴原方程无解. 命题新考向 1.C2.B 第7节一元二次方程及其应用 知识梳理 【以题点知】 1.A2.C3.A4.4-2 5.解：原方程可变形为(x+1)(x一3)=0， ∴.x十1=0或x-3=0, ,x1=一1，x2=3. 6.D7.A8.D9.C10.B 【核心笔记】 知识点4 1.一个2.a.x2+bx+c=0 知识点2 (1)两个不相等(2)两个相等(3)没有 知识点4 1.(1)审(2)设(3)列(4)解(5)验(6)答 2.(4)(a-2x)(b-2x)(a-x)(b-x) 例题精讲 例12024变11例2D变2D 例3解：移项，得x2-6x=-2,配方，得x2-6x十32=一2 十32，(x-3)2=7, 两边开平方，得x一3=士√7， x1=3+√7，x2=3-√7 变3(1)三 (2)解：二次项系数化为1，得x2十2x一4=0， 参考苔宋 移项，得x2十2x=4, 配方，得x+2x+1=4+1,即(x+1)2=5,由此，可得 x+1=士√5， 所以，x1=-1+5,x2=-1-√5. 广东中考 1.A2.23.14.有两个不相等的实数根 5-日或好 6.解：(1)根据题意，得△=（一2）2一4(4一m)>0,解得m >3: (2).m>3, .m-3>0, m÷m21.m-3 1m2 2 m+1 (1-m)(1+m),2,m-3 m-3 m-1‘m+1 =-2. 命题新考向 1.解：x2+4x十5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1, (x十2)2≥0，∴当x=一2时，(x+2)2的值最小，最 小值是0，∴.(x+2)2+1≥1， .当(x十2)2=0时，(x十2)2+1的值最小，最小值 是1， .x2十4x十5的最小值是1. (1)31(2)1大-4 (3)-x2+3x+y+8=0,y=x2-3x-8, x+y=x2-2x-8=(x-1)2-9, ,(x-1)2≥0，∴.(x-1)2-9≥-9，即x十y≥-9. .当x=1时，x十y取得最小值为一9. 2.-i 第8节一元一次不等式（组）及其应用 知识梳理 【以题点知】 1.D2.B3.A4.B 5.解：去分母，得x-1-3>0, 移项，得x>4. 6.C7.D8.79.B 10.5或6 【核心笔记】 知识点1 2.(1)不变>(2)不变>>(3)改变<< 知识点2 1.一个1 2.去分母去括号移项合并同类项系数化成1 知识点3 1.一元一次不等式公共部分 2.(1)每个不等式 例题精讲 例1D变1D例2A变2C例3D变3B 例4A 2(x+2)>x+3,① 变4解： <，@ 解不等式①，得x>一1， 13 解不等式②，得x<3, -3-10123 答图 在同一条数轴上表示不等式①②的解集如答图， 原不等式组的解集是一1<x<3,