精品解析：甘肃武威市天祝藏族自治县第一中学2025-2026学年高二下学期第二阶段考试数学试题

2025~2026学年度第二学期第二阶段考试 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：湘教版选择性必修第一册第1章，选择性必修第二册第1章~第2章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点是曲线上一点，则P处的瞬时变化率为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接瞬时变化率计算公式即可得到答案. 【详解】曲线在点处的瞬时变化率为， 故选：B． 2. 在等差数列中，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的等差中项求得结果. 【详解】在等差数列中，，解得. 故选：C. 3. 已知空间向量与共线，则（ ） A. -6 B. 6 C. -4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】因为空间向量与共线， 不妨设，则，所以，解之得， 则. 故选：B 4. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】, 故向量在向量上的投影向量为， 故选：D 5. 设正项等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. 31 B. 32 C. 63 D. 65 【答案】C 【解析】 【分析】先求得公比，再由等比数列前项和公式计算． 【详解】数列的公比为，则由，，得， 解得（舍去，因为数列是正项等比数列）， 所以， 故选：C． 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数是奇函数判断A，根据特殊值判断D，根据函数单调性判断B，C. 【详解】为奇函数，排除选项A； 排除选项D； 当时，必有0，所以排除选项B，C正确. 故选：C. 7. 如图，已知四棱锥平面，底面是矩形，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意，根据向量的线性运算即可求解. 【详解】,， 所以， 所以， 所以 . 故选：A. 8. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，转化为恒成立，令，得到，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 因为在上单调递增，有恒成立， 整理为， 令，可得， 由二次函数的单调性，则满足，可得， 即实数的取值范围为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，对每一选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，，故A正确； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误． 故选：ABC 10. 已知函数，若函数恰有两个零点，则c可以为（ ） A. B. 6 C. 4 D. 2 【答案】AC 【解析】 【分析】求导可得函数的单调区间，进而求得极小值与极大值，根据函数恰有两个零点，可得满足的条件，求解即可. 【详解】或， 在和上单调递增，在上单调递减， ， 由函数恰有两个零点，可得且或且， 解得或．即实数c的值是或4． 故选：AC. 11. 记为数列的前n项和，已知，，设m为整数，且对任意，，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. m的最小值为6 D. m的最小值为7 【答案】BD 【解析】 【分析】由数列与的关系可得，再结合等比数列的通项可得的通项公式，从而可得的通项公式，即可判断A、B；利用错位相减法求出，结合范围即可判断C、D． 【详解】选项A：因为，，所以， 当时，，故， 且不满足上式， 故数列的通项公式为，故A错误； 选项B：由A推导的结论得当时，， 即当时，，从而有， 故数列是以2为公比的等比数列，故B正确； 选项C、D：设，则， 当时，由A推导的结论得， 故，① 从而，② 由①-②得 整理可得， 由于，所以，又， 所以符合题设条件的的最小值为7．故C错误，D正确． 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解. 【详解】因为，所， 所以曲线在处切线方程为 ，即． 故答案为： 13. 在等比数列中，，且，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据等比数列的性质求出，再对所求式子求和，利用等比数列的性质求值. 【详解】因为在等比数列中，，所以，解得， 设等比数列的公比为， 则数列是首项为，公比为的等比数列，其前7项和为 . 由等比数列的性质可知，所以. 故答案为：3 14. 在空间直角坐标系中，已知点，，，为的边上的高，则_____． 【答案】## 【解析】 【详解】依题意，，，，， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为；极大值为32，极小值为0 （2）最大值为32，最小值为0 【解析】 【分析】（1）根据导函数的正负可确定的单调区间；根据单调性可知极大值为，极小值为，代入求得结果； （2）根据（1）可得极大值和极小值，再求端点值对应函数值，可得最大值和最小值. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， 令，解得或. 当或时，；当时，， 所以函数的单调递增区间为：，； 单调递减区间为：； 当时，函数取极大值，且极大值为； 当时，函数取极小值，且极小值为； 【小问2详解】 由（1）知，在区间上， 当时，函数有极大值，且极大值为； 当时，函数取极小值，且极小值为； 又因为，. 所以函数在区间上的最大值为32，最小值为0. 16. 已知正项递增数列为等比数列，满足，，数列满足． （1）求，的通项公式； （2）数列满足，求的前n项的和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出公比，即可求出的通项公式，再代入得到的通项公式； （2）由（1）可得，再利用错位相减法计算即可． 【小问1详解】 设等比数列的公比为，又， ，又，且为递增数列， ，解得或（舍去）， ，解得， ，； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 则， 所以 ， 解得． 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，为的中点，，. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）如图，取的中点，连， ， ∵，， ∴ ∵在直角梯形中， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴ ∵平面，平面，， ∴平面， （2）. 【解析】 【分析】(1) 将线面平行转化为线线平行证明；作辅助线,取的中点，连，,证明即可； （2）根据题目可知PA、PB、PD两两垂直，可建立空间直角坐标系，利用平面法向量求解出二面角的余弦值，进一步求解出正弦值. 【详解】（1）略 （2）∵平面，， ∴， ，两两垂直，以为原点， ，，向量方向分别为轴，轴， 轴建立如图所示空间直角坐标系. 各点坐标如下：，，，， 设平面的法向量为 由，， 有,取，则，， 即 设平面的法向量为 由，，有， 取 ，则，，即 所以 故二面角的正弦值为. 【点睛】本题考查了线面平行的判定以及空间向量在立体几何中求二面角的应用，属于中档题目，解题中由于要计算各个点的空间坐标以及平面法向量的坐标，计算比较繁杂，对运算能力要求较高，需要准确计算. 18. 已知数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的通项公式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据通项与前项和的关系得到，再根据等比数列通项公式求解； （2）利用累加法和错位相减法求解. 【小问1详解】 ∵， ∴时，， ∴时，，即， 又， ∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴． 【小问2详解】 ∵，∴， ∴， 令，设数列的前n项和为， ①， ②， ①-②得， ∴， ∴，又，∴， ∴时，，又符合上式， ∴． 19. 已知函数. （1）求函数的最大值； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）若函数在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析的单调性，进而求得函数的最大值； （2）根据题意，在上恒成立，参变分离后，通过（1）中所求，即可求得参数的范围； （3）将转化为在上恒成立，构造函数，讨论该函数的单调性，进而根据不同单调性的情况，分析是否在区间上恒成立，从而求得参数的范围. 【小问1详解】 ，定义域为，， 令，得，当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，且最大值为. 【小问2详解】 因为函数在上单调递减，所以在上恒成立， 即在上恒成立，即， 由（1）可知，的最大值为1，所以，即， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 若函数在上恒成立，即在成立， 所以在上恒成立， 令， 则， 因为，所以当时，在上恒成立， 所以函数在上单调递增，所以，所以时不符合题意； 当时，令， ①当时，即时，则恒成立， 即在上恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，所以时符合题意； ②当时，即时，令， 则， 因为，所以， 所以当时，，所以在上恒成立， 即函数在上单调递增，所以当时，， 所以时，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期第二阶段考试 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：湘教版选择性必修第一册第1章，选择性必修第二册第1章~第2章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点是曲线上一点，则P处的瞬时变化率为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 2. 在等差数列中，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知空间向量与共线，则（ ） A. -6 B. 6 C. -4 D. 4 4. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 设正项等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. 31 B. 32 C. 63 D. 65 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知四棱锥平面，底面是矩形，且，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若函数恰有两个零点，则c可以为（ ） A. B. 6 C. 4 D. 2 11. 记为数列的前n项和，已知，，设m为整数，且对任意，，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. m的最小值为6 D. m的最小值为7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为____________． 13. 在等比数列中，，且，则______． 14. 在空间直角坐标系中，已知点，，，为的边上的高，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）求函数在上的最值. 16. 已知正项递增数列为等比数列，满足，，数列满足． （1）求，的通项公式； （2）数列满足，求的前n项的和． 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，为的中点，，. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 18. 已知数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的通项公式． 19. 已知函数. （1）求函数的最大值； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）若函数在上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $