21.3.3正方形的判定（第2课时）课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

21.3.3正方形的判定（第2课时） 知识分点练 夯基础 知识点 正方形的判定 1．下列说法正确的是（   ） A．对角线相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一组邻边互相垂直的矩形是正方形 【答案】C 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项，∵对角线相等的平行四边形是矩形，不是正方形，∴A选项说法错误； B选项，∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是正方形，∴B选项说法错误； C选项，∵矩形本身对角线相等，对角线互相垂直的矩形符合正方形判定定理，∴对角线互相垂直的矩形是正方形，C选项说法正确； D选项，∵矩形四个角都是直角，任意邻边本来就互相垂直，因此有一组邻边互相垂直的矩形仍是矩形，不一定是正方形，∴D选项说法错误． 2．已知在中，．添加一个条件，使得四边形为正方形．添加的条件可以为（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件推出四边形是菱形，再结合正方形的判定定理逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， A、菱形对边相等，是菱形原本就成立的性质，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误； B、菱形对角线平分内角，平分是菱形原本就成立的性质，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误； C、根据正方形的判定，对角线相等的菱形是正方形， ∴添加，可判定菱形是正方形，正确； D、平行四边形对角相等，原本就成立，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误． 3．在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．①填 B．②填 C．③填 D．④填 【答案】A 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、添加，无法使平行四边形变为菱形，故符合题意； B、添加，可以使菱形变为正方形，故不符合题意； C、添加，可以使平行四边形变为矩形，故不符合题意； D、添加，可以使矩形变为正方形，故不符合题意． 4．如图，在中，．添加一个条件，能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、正方形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，平分， 又∵， ∴四边形是菱形； A：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意； B：四边形是菱形，当时，四边形是正方形，故该选项符合题意； C：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意； D：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意． 故选：B ． 5．如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形的面积为，，求点到线段的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形即可解决问题； （2）由正方形的面积公式求得，进而得到，由四边形是菱形得到，，菱形的面积，由勾股定理求得，根据菱形的面积公式即可求得答案． 【详解】（1）证明：菱形的对角线和交于点， ，，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形是正方形； （2）解：正方形的面积为， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积， 在中，， 设点到线段的距离为， ， 即， ． 即点到线段的距离为． 6．已知：如图，在中，，、的平分线相交于点，，，垂足分别为、．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】先根据三个直角证明四边形是矩形，再利用角平分线的性质证明邻边相等，从而根据有一组邻边相等的矩形是正方形完成证明． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形． 过点作于点， ∵平分，，， ∴． ∵平分，，， ∴． ∴， ∴矩形是正方形． 能力综合练 练思维 7．如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结，那么： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当分别是中点时，四边形是正方形． 则下列结论中正确的有 _____________． 【答案】①②③ 【分析】根据全等三角形判定定理，平行四边形判定定理，菱形，矩形，正方形判定定理逐项判定即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②正确； 连接，如图所示： 当时，四边形是菱形， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故③正确； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 当分别是中点时，不能证明两边相等，如图所示： 故④错误； 综上所述，结论正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质，涉及平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定、正方形的判定，解题的关键是熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质． 8．如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）． 【答案】①②或①③（填写一组即可） 【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题的关键． 根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可． 【详解】解：当选择①；②时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； 当选择①；③时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； 当选择②；③， 由于四边形是平行四边形，若或， 均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴选择①②或①③均可以， 故答案为：①②或①③（填写一组即可）． 9．如图，在平行四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使平行四边形 是正方形，则需添加的一个条件是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定、正方形的判定，因为平行四边形中，，根据对角线相等的平行四边形可证四边形是矩形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，再添加一组邻边相等即可证明四边形是正方形． 【详解】解：平行四边形中，， 四边形是矩形， 当时， 根据有一组邻边相等的矩形是正方形， 可知四边形是正方形． 故答案为：(答案不唯一)． 10．如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是正方形．其中，正确的有__________．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据平行四边形平行四边形、菱形、矩形的判定，即可求解， 本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：①∵， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②若， ∴平行四边形是矩形；故②正确； ③若平分， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴； ∴平行四边形是菱形；故③正确； ④若； ∴平分； ∴结合③可得平行四边形是菱形；故④错误； 所以正确的结论是①②③， 故答案为：①②③． 11．如图，在矩形中，的角平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证；． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）先证明四边形是矩形， 再根据角平分线的性质得出，即可求证； （）证明即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴ ， ∵于点， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵于点， ∴ ， ∵平分，， 又∵， ∴， ∴． 12．如图，在中，，点为其内一点，且，分别平分．若于点，于点，则四边形是正方形吗请说明理由． 【答案】四边形为正方形,理由见解析 【分析】此题考查了正方形的判定，以及角平分线定理；过作垂直于点，由三个角为直角的四边形为矩形得到四边形为矩形，由为角平分线，利用角平分线定理得到，同理得到，等量代换得到，利用邻边相等的矩形为正方形即可得证． 【详解】解：：四边形是正方形，理由如下： 过作，交于点，    ， 四边形为矩形， 平分，，， ； 平分，，， ， ， 四边形为正方形． 13．综合探究 (1)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点，当 时，四边形为正方形； (2)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点． 当 时，四边形为矩形； 当 时，四边形为菱形． (3)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点．若，，试判断四边形的形状并加以证明． 【答案】(1)， (2)； (3)四边形为正方形，证明见解析 【分析】本题主要考查中位线的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，以及正方形的判定． （1）由中位线的性质先推出四边形是平行四边形，当时，证明四边形是菱形，再由，证明菱形是正方形； （2）由中位线的性质先推出四边形是平行四边形，当时，证明四边形是矩形；当时，证明四边形是菱形； （3）由中位线的性质先推出四边形是平行四边形，再由，证明四边形为菱形，最后由证明菱形为正方形． 【详解】（1）解：∵在四边形中，，，，分别为，，，的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为；，； （2）解：∵在四边形中，，，，分别为，，，的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 当时，可得， ∴四边形是矩形； 当时，可得， ∴四边形是菱形； （3）解：四边形为正方形． 证明：∵在四边形中，，，，分别为，，，的中点 ∴，，，， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， 四边形为菱形， ∵，，， ， ∴， ， ∴菱形为正方形． 14．如图1，在矩形中，平分交于点，作于． (1)求证：四边形是正方形． (2)【问题探究】如图2，连接交于．发现：用勾股定理去探究与有何关系，并说明理由． (3)【学以致用】若，，请求出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的判定证明即可； （2）连接交于O，设，利用勾股定理求解即可； （3）根据（2）的结论求解即可； 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形 ∴， ∵， ∴ ∴四边形是矩形 ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形. （2）解：；理由如下： 连接交于O,设， ∵四边形是正方形 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，由 可知 ∴， ∴； 15．已知在四边形中，，，平分，交边于点． (1)如图，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； (2)如果，， ①如图，时，求的度数； ②当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②或 【分析】（）先证明四边形是矩形，进而根据即可求证； （）①过点作于点，可得四边形是矩形，得，再利用勾股定理得 ，即得是等腰直角三角形，得到，再根据角平分线的定义即可求解；②分和两种情况，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）①解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴； ②当时，如图所示，过点作的延长线于点， ∵ ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ， 解得， ∴； 当时，如图所示，过点作于点， 设，则 ，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴是 的角平分线， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上，当是直角三角形时，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 拓展探究练 提素养 16．正方形中，，为对角线上一动点，连接、，在边上取一点，作矩形． (1)①求证：矩形为正方形； ②连接，若，求的长； (2)取中点，连接，则最小值为________． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①设，结合正方形的性质和三角形外角的性质可得，由矩形的性质可得．容易证明，则，，用三角形的内角和定理可计算出，则，命题得证； ②由可得，，进而可计算出，则，利用勾股定理计算出，进而求出的长； （2）连接，过点作的垂线，交直线于点，容易证明，则，因此是等腰直角三角形，计算得，由垂线段最短可得，就是的最小值． 【详解】（1）解：①证明：设， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴矩形为正方形； ②∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴； （2）解：如图，连接，过点作的垂线，交直线于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∵垂线段最短， ∴， ∴当点与点重合时，取得最小值． 17．问题解决：如图1在矩形中，点E，F分别在边上，于点G． (1)求证：四边形是正方形； (2)延长到点H，使得，判断的形状，并说明理由． (3)类比迁移：如图2；在菱形中，点E，F分别在边上，与相交于点G，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)是等腰三角形，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查矩形，正方形，菱形，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识的判定和性质是关键． （1）根据矩形的性质，证明，得，结合正方形的判定方法“一组邻边相等的矩形是正方形”即可求证； （2）证明，结合（1）即可求证； （3）如图所示，延长到点H，使得，连接，证明，可得是等边三角形，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； （2）解：是等腰三角形，理由如下， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得到， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：如图所示，延长到点H，使得，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 18．【问题解决】如图1，在矩形中，点，分别在，C边上，，于点．      （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 【类比迁移】 如图2，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长． 【答案】证明见解析； 是等腰三角形，理由见解析； 类比迁移：． 【分析】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，解决本题的关键是做辅助线构造三角形全等． （1）利用可证，根据全等三角形的性质可知，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可证结论成立； （2）由（1）可知，根据全等三角形的性质可知，又因为，所以，根据正方形的性质可知，所以是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可证，所以是等腰三角形； 【类比迁移】延长到点，使得，连接，利用可证，根据全等三角形的性质可得：，，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 矩形是正方形． （2）是等腰三角形， 理由如下： 四边形是正方形 ， 即， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； 【类比迁移】解：如下图所示，延长到点，使得，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， 在和中，， ， ，， 又， ， ， 是等边三角形， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3.3正方形的判定（第2课时） 知识分点练 夯基础 知识点 正方形的判定 1．下列说法正确的是（   ） A．对角线相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一组邻边互相垂直的矩形是正方形 2．已知在中，．添加一个条件，使得四边形为正方形．添加的条件可以为（    ） A． B．平分 C． D． 3．在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．①填 B．②填 C．③填 D．④填 4．如图，在中，．添加一个条件，能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形的面积为，，求点到线段的距离． 6．已知：如图，在中，，、的平分线相交于点，，，垂足分别为、．求证：四边形是正方形． 能力综合练 练思维 7．如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结，那么： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当分别是中点时，四边形是正方形． 则下列结论中正确的有 _____________． 8．如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）． 9．如图，在平行四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使平行四边形 是正方形，则需添加的一个条件是________． 10．如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是正方形．其中，正确的有__________．（只填序号） 11．如图，在矩形中，的角平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证；． 12．如图，在中，，点为其内一点，且，分别平分．若于点，于点，则四边形是正方形吗请说明理由． 13．综合探究 (1)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点，当 时，四边形为正方形； (2)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点． 当 时，四边形为矩形； 当 时，四边形为菱形． (3)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点．若，，试判断四边形的形状并加以证明． 14．如图1，在矩形中，平分交于点，作于． (1)求证：四边形是正方形． (2)【问题探究】如图2，连接交于．发现：用勾股定理去探究与有何关系，并说明理由． (3)【学以致用】若，，请求出的长． 15．已知在四边形中，，，平分，交边于点． (1)如图，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； (2)如果，， ①如图，时，求的度数； ②当是直角三角形时，求的长． 拓展探究练 提素养 16．正方形中，，为对角线上一动点，连接、，在边上取一点，作矩形． (1)①求证：矩形为正方形； ②连接，若，求的长； (2)取中点，连接，则最小值为________． 17．问题解决：如图1在矩形中，点E，F分别在边上，于点G． (1)求证：四边形是正方形； (2)延长到点H，使得，判断的形状，并说明理由． (3)类比迁移：如图2；在菱形中，点E，F分别在边上，与相交于点G，，求的长． 18．【问题解决】如图1，在矩形中，点，分别在，C边上，，于点．      （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 【类比迁移】 如图2，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $