21.3.3正方形及其性质（第1课时）课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

21.3.3正方形及其性质（第1课时） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 知识分点练 夯基础 知识点 利用正方形的性质计算与正明 1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线平分一组对角 D．四条边相等 2．如图，正方形的对角线为菱形的一边，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形（），在其内部作正方形，若矩形的边，那么的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，度数是____． 6．如图，在正方形中，点，分别在，上，是等边三角形．求的度数． 7．如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连接，且． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 能力综合练 练思维 8．如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）． 9．如图，四边形是正方形，以为边在正方形内部作等边，连接，则______． 10．如图，在正方形中，，其外部有一个正方形，对角线的延长线经过点，． （1）对角线的长为___； （2）连接，点是的中点，点是边的中点，则线段的长为___． 11．如图，在正方形中，为边上一点，连接，作的垂直平分线交于G，交于，若，，则的长为______． 12．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 13．如图，在正方形中，分别为上的点，分别为的中点，连接并延长交于点． (1)求证：为的中点； (2)若，且，为中点，求的长． 14．如图1，点，分别是正方形的边、的中点，连接、 (1)求证： ①； ②； (2)将沿翻折得到，延长交的延长线于点，如图2，求证：是等腰三角形； 15．如图，正方形的对角线、交于点，是上一点，，垂足为．与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 16．如图1，已知正方形和正方形，点在边上，点在线段的延长线上．将正方形绕点按逆时针方向旋转，连接与直线交于点，如图2所示． (1)如图2，求证：； (2)请在下列①、②中任选一问进行证明． ①在旋转过程中，的度数不变； ②过点作于点于点，在旋转过程中，与之间的数量关系不变． 拓展探究练 提素养 17．综合与实践 【问题背景】小宁打算挑选一块正方形桌布装饰茶几．在非遗工坊，他被一块四边形壮锦吸引，便询问店员它的形状是否为正方形．店员向小宁展示：沿壮锦的一条对角线折叠，两边能完全重合，沿另一条对角线折叠，两边也能完全重合．小宁听后认为以上操作仍不能确定这块壮锦是否为正方形，店员随即拿出尺子，测量发现，这块壮锦的两条对角线相等，小宁随即买下． 根据以上信息，完成下面的解答： 【抽象建模】如图1，将壮锦抽象为四边形，对角线与相交于点O，先沿着折叠，点B与点D重合，再沿着折叠，点A与点C重合，； (1)请你判断：四边形______正方形（填写“是”或“不是”）； 【动手操作】如图2，在（1）的条件下，买下壮锦后为了进一步的装饰，小宁在边上取一点E，从点B到点E贴一条装饰带，他沿折叠壮锦，发现顶点A恰好落在对角线上的点F处，连接并延长，分别交装饰带于点G，交边于点H； (2)小宁观察到与的长度相等，请你帮小宁完成证明； 【拓展应用】 (3)如图3，在（2）的条件下，取的中点M，的中点N，连接，若，，请求出的长． 18．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形． (1)概念理解：下列四边形中：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形，是垂美四边形的是___________（填写序号）； (2)性质探究：如图1，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：与的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，且与相交于点，已知，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3.3正方形及其性质（第1课时） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 知识分点练 夯基础 知识点 利用正方形的性质计算与正明 1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线平分一组对角 D．四条边相等 【答案】A 【详解】解：A选项 正方形对角线相等，菱形对角线不一定相等，符合题意； B选项 正方形和菱形的对角线都互相垂直平分，不符合题意； C选项 正方形和菱形的对角线都平分一组对角，不符合题意； D选项 正方形和菱形的四条边都相等，不符合题意． 2．如图，正方形的对角线为菱形的一边，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质可知，由菱形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形 ，为对角线， ∴ 平分， ∴， ∵四边形为菱形， ∴． 3．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形（），在其内部作正方形，若矩形的边，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金矩形的定义求出的长，由矩形的性质和正方形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为黄金矩形（）， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 4．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 根据旋转的性质，， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积． 5．四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，度数是____． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得和，根据正六边形的性质可得其内角为，即，最后利用四边形的内角和为即可求的度数． 【详解】解：设与交于点， ∵四边形是正方形, ∴，, ∵以为边作一个正六边形， ∴正六边形的内角为， ∴． 在四边形中，由四边形内角和定理得：， 即， ∴． 6．如图，在正方形中，点，分别在，上，是等边三角形．求的度数． 【答案】 【分析】先证，得，结合，可得，在中利用直角两锐角互余即可求的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 7．如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连接，且． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，四边形内角和定理，勾股定理． （1）证明，可得，则矩形是正方形； （2）由已知得，则，再根据得； （3）分两种情况讨论：当与的夹角为时，点F在边上，，由四边形内角和定理得：；②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，可得． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：分以下两种情况讨论： ①当与的夹角为时，点F在边上，， ∴， 在四边形中，由四边形内角和定理得： ； ②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示： ∵，， ∴． 综上所述，的度数为或． 能力综合练 练思维 8．如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】利用正方形的性质证明，得出，再结合直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，，． 在和中， ， ． ． 在中，，， ． ． 点在的延长线上， ． 在中，． 9．如图，四边形是正方形，以为边在正方形内部作等边，连接，则______． 【答案】75 【分析】根据正方形的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，，所以，，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，即可求得答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， 解得． 10．如图，在正方形中，，其外部有一个正方形，对角线的延长线经过点，． （1）对角线的长为___； （2）连接，点是的中点，点是边的中点，则线段的长为___． 【答案】 【分析】（1）由四边形是正方形得，，再利用勾股定理即可求的长； （2）连接、，先通过证明得，再结合正方形对角线性质和勾股定理求出的长度，最后利用三角形中位线定理求出的长度． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴； （2）如图，连接，，交于点， ∵四边形和都是正方形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵是正方形的对角线交点， ∴，，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 11．如图，在正方形中，为边上一点，连接，作的垂直平分线交于G，交于，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】如图，连接，作于．则四边形是矩形，设，则，首先证明，推出 ，在中，根据，构建方程求出即可． 【详解】解：如图，连接，作于．则四边形是矩形， 设，则， 垂直平分，四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ∴． 12．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【答案】 /0.875 【分析】利用矩形的性质得，利用折叠的性质可得，当与重合时，设，则，在中，根据勾股定理可得； 连接，当四边形为正方形时，，由勾股定理得出，在中，利用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 当与重合时，由折叠可得， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 当四边形为正方形时，如图，连接， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 13．如图，在正方形中，分别为上的点，分别为的中点，连接并延长交于点． (1)求证：为的中点； (2)若，且，为中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证明即可证明结论成立； （2）连接．先求出，，然后由勾股定理求出，再利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点； （2）解：如图，连接． ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵为中点， ∴， ∴． ∵为的中点，为的中点 ∴是的中位线， ∴． 14．如图1，点，分别是正方形的边、的中点，连接、 (1)求证： ①； ②； (2)将沿翻折得到，延长交的延长线于点，如图2，求证：是等腰三角形； 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】（1）①利用证明即可； ②根据性质，结合互余的性质证明即可． （2）根据折叠的性质，得到；根据正方形性质，，继而得到，根据等角对等边证明即可． 【详解】（1）证明：①四边形是正方形， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ． ②由①得， ， 在中，， ， 在中，， ． （2）证明：四边形是正方形， ， ， 由翻折的性质可知，， 点在的延长线上， ， ， ， 是等腰三角形． 15．如图，正方形的对角线、交于点，是上一点，，垂足为．与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等角的余角相等，即可证明； （2）利用证明，根据全等三角形的性质即可得． 【详解】（1）证明：∵正方形的对角线、交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵正方形的对角线、交于点， ∴， ∵，即， ∵， ∴， ∴． 16．如图1，已知正方形和正方形，点在边上，点在线段的延长线上．将正方形绕点按逆时针方向旋转，连接与直线交于点，如图2所示． (1)如图2，求证：； (2)请在下列①、②中任选一问进行证明． ①在旋转过程中，的度数不变； ②过点作于点于点，在旋转过程中，与之间的数量关系不变． 【答案】(1)证明见解析 (2)选①证明见解析；选②证明见解析 【分析】（1）由正方形的性质得，进而可证，然后根据可证； （2）选①由对顶角相等得，由全等三角形的性质得，然后利用三角形内角和定理可证； 选②由得，，然后根据三角形面积公式可证结论成立． 【详解】（1）证明：∵在正方形和正方形中，， ，即， ； （2）解：选①证明：设与交于点 ， ， 在和中， ∵， ， 在旋转过程中，的度数不变 选②证明：如图， ， ，， ， ， 在旋转过程中，与之间的数量关系不变． 拓展探究练 提素养 17．综合与实践 【问题背景】小宁打算挑选一块正方形桌布装饰茶几．在非遗工坊，他被一块四边形壮锦吸引，便询问店员它的形状是否为正方形．店员向小宁展示：沿壮锦的一条对角线折叠，两边能完全重合，沿另一条对角线折叠，两边也能完全重合．小宁听后认为以上操作仍不能确定这块壮锦是否为正方形，店员随即拿出尺子，测量发现，这块壮锦的两条对角线相等，小宁随即买下． 根据以上信息，完成下面的解答： 【抽象建模】如图1，将壮锦抽象为四边形，对角线与相交于点O，先沿着折叠，点B与点D重合，再沿着折叠，点A与点C重合，； (1)请你判断：四边形______正方形（填写“是”或“不是”）； 【动手操作】如图2，在（1）的条件下，买下壮锦后为了进一步的装饰，小宁在边上取一点E，从点B到点E贴一条装饰带，他沿折叠壮锦，发现顶点A恰好落在对角线上的点F处，连接并延长，分别交装饰带于点G，交边于点H； (2)小宁观察到与的长度相等，请你帮小宁完成证明； 【拓展应用】 (3)如图3，在（2）的条件下，取的中点M，的中点N，连接，若，，请求出的长． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用折叠性质，得出对角线互相垂直且平分，先判定是菱形；再结合已知对角线相等，用对角线相等的菱形是正方形判定即可． （2）利用折叠得，结合正方形直角，用同角的余角相等推出一组等角；再利用正方形边长相等、直角相等，证，由全等对应边相等得． （3）由正方形边长、，用勾股定理求出；借助第二问全等，得、；用面积法求出高；利用中点定义，得、长度，算出；在中勾股求；由，在中，再用勾股定理求出． 【详解】（1）解：沿折叠，点B与点D重合， ∴垂直平分，即，． 沿折叠，点A与点C重合， ∴垂直平分，即，． ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形． （2）已知四边形是正方形， ∴，． ∵沿折叠，点A落在上的F处， ∴， ∴， ∴． 又∵在中，， ∴． 在和中： ∴， ∴． （3）解：∵四边形是正方形， ∴，． 在中，，， 由勾股定理得： 由， 得．， ∵点A恰好落在对角线上的点F处，连接并延长，分别交装饰带于点G，交边于点H； ∴ ∴ ∵M是的中点，N是的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵在中 ， ∴． 18．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形． (1)概念理解：下列四边形中：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形，是垂美四边形的是___________（填写序号）； (2)性质探究：如图1，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：与的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，且与相交于点，已知，求的长． 【答案】(1)①③ (2)；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据垂美四边形的定义进行判断即可； （2）根据勾股定理得出，，，，即可得出结论； （3）连接，，设交点为，根据勾股定理得出，证明，得出，证明，得出，根据解析（2）的结论可知，，求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：正方形的对角线互相垂直平分且相等； 矩形的对角线互相平分且相等； 菱形对角线互相垂直平分； 平行四边形的对角线互相平分； 因此是垂美四边形的是①③； （2）解：；理由如下： ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴； （3）解：连接，，如图所示：设交点为， ∵在中，，， ∴， ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 根据解析（2）的结论可知，， ∵，， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $