专题09《正方形的综合问题》（挑战压轴题）-2024-2025学年人教版数学八年级下册专题培优满分特训卷

2024-2025学年人教版数学八年级下册专题培优满分特训卷-挑战压轴题 专题09《正方形的综合问题》 试题满分：100分 检测时间：120分钟 难度系数：0.41（难度较大） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题2分）（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形……如此进行下去，得到四边形．给出下列结论：①四边形是矩形；②四边形是菱形；③四边形的周长是；④四边形的面积是．其中，正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形中各边长的长度关系规律，然后对选项作出分析判断： 【完整解答】解：①连接，， ∵在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴（矩形的两条对角线相等）； ∴（三角形的中位线定理）， ∴四边形是菱形； 同理继续连接，四边形是矩形； 故①②正确； ③每次连接新四边形，其边长是上一个四边形对应边长的一半, 经过次连接得到四边形 ，根据中位线的性质得， ， ， ∴四边形的周长是，故③正确； ④∵四边形中，，，且， ∴； 由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 四边形的面积是，故④正确； 综上所述，①②③④正确． 故选：D． 【考点点拨】本题考查了中点四边形、平行四边形的判定、三角形的中位线定理、菱形和矩形的判定与性质，解题的关键是理清题意，熟练并灵活运用所学知识点解题． 2．（本题2分）（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，正方形边长为6，点在上，点在上，且分别是的中点，连接，则长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．连接，取中点，连接，并延长交于点，可得为的中位线，则，再由勾股定理求解． 【完整解答】解：连接，取中点，连接，并延长交于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（本题2分）（24-25八年级下·山东潍坊·期中）在同一平面内，如果两个多边形（含内部）有除边界以外的公共点；则称两多边形有“公共部分”．如图，若正方形由9个边长为1的小正方形镶嵌而成，另有一个边长为1的正方形与这9个小正方形中的m个有“公共部分”，则m的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【思路点拨】本题考查了正方形的性质，根据正方形的对角线是边长的倍，确定镶嵌中的两个顶点在小正方形的内部时m值最大是解题的关键，作出图形更形象直观． 根据公共部分的定义，让小正方形的对角线与9个小正方镶嵌的图形中的边上，且使两个顶点在小正方形内部即可得到m的最大值． 【完整解答】解：如图所示，小正方形与9个小正方形有“公共部分”是的m的值最大，为6． 故选：C． 4．（本题2分）（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在正方形中，点E，F分别是对角线，上的点，连接，，，若，且，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理．熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键．先证明，从而证得，再证明，得，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【完整解答】解：设对角线、相交于点， 四边形是正方形， ，，， ， ，， ， ∴， 在和中， ， ， ， ∴， 故选：D． 5．（本题2分）（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点D为x轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，作轴于H，连接．证明，得出，即，推出点在的角平分线所在直线上运动，作，则是等腰直角三角形，由正方形的性质可得，求出，即可得解． 【完整解答】解：如图，作轴于H，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在的角平分线所在直线上运动， 作于M，则是等腰直角三角形， ∵正方形，， ∴， ∴，即的最小值为， 故选：B． 6．（本题2分）（24-25八年级下·湖北·期中）如图，在正方形中，对角线，交于点O，平分交于E，点M为的中点，连接并延长分别交，于点N，R下列结论：①是等腰三角形；②；③平分；④是等边三角形，正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【思路点拨】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定，由正方形性质结合平分得到，然后得到，即可证明①正确；结合点M为的中点和等腰三角形得到，，即可证明②正确；过作于，于，证明，得到得到③正确；由可得不可能是等边三角形，④错误． 【完整解答】解：∵正方形， ∴，，，，， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故①正确； ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故②正确； 过作于，于，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； 故③正确； ∵， ∴， ∴不可能是等边三角形， 故④错误， 综上所述，正确的是①②③， 故选：B． 7．（本题2分）（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，在边长为2的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（  ） A． B． C． D．4 【答案】C 【思路点拨】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，连接，利用转化线段得到，则通过作点关于对称点，连接交于点，利用勾股定理求出长即可，解题的关键是理解两条线段最短距离问题，都转化为一条线段． 【完整解答】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 的最小值等于的最小值， 如图，作点关于的对称点，连接，则，，三点共线，连接，与的交点即为所求的点， 根据对称性可知，， ， 在中，，，由勾股定理得， 的最小值为， 故选：C． 8．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，正方形的边长为，点与点分别为射线，上一点，且，连接，并交于点，点为边上一点，，连接，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】如图，取中点，根据正方形的性质推得，并证，根据全等三角形的性质得到，求得，推出直角中有，连接，当点在上时，线段长度的值最小，过作于，根据勾股定理得到，再由即可得解． 【完整解答】解：如图，取中点， 四边形是正方形， ，， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是中点， ， 连接，当点在上时，线段长度的值最小，过作于， 即， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 即线段长度的最小值为． 故选：． 【考点点拨】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、矩形的判定与性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是正确作出辅助线． 9．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，分别以为边向外作正方形，正方形，正方形．若直线交于点N，过点M作交于点K，过点H作与分别交于点P、Q．则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是勾股定理应用、正方形的性质及矩形判定与性质，先由勾股定理得出，再由正方形的性质推出四边形都是矩形，再由矩形的性质得出，延长交于O，延长交于L，则，，可证，继而得出四边形是矩形，可得，同理可得，四边形是矩形，，即可求解四边形的面积． 【完整解答】解：在中，，， 由勾股定理得， ， 四边形都是正方形， 则四边形的四个角都是，四条对边平行且相等， ∴， ∴四边形为矩形， 延长交于点O，延长交于L， 则，如图所示， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴． ∴， 同理可证，． ∴， ∵， 已证四边形是矩形，且四边形为正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 同理可证，四边形为矩形， ∴， ∴， ， ∴四边形的面积为： ． 故选：C． 10．（本题2分）（22-23八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长交边于点，连接则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边 A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】A 【思路点拨】①根据翻折变换的性质和正方形的性质可证可得,再证可得,然后根据线段的和差及等量代换即可判断；②通过证明，由平行线的判定可得；③分别求出与的面积比较即可；④先求得即可判断． 【完整解答】解：∵四边形为正方形，将沿对折至， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵, ∴, ∴, ∴，即①正确； ∵，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴． 又∵； ∴， ∴， ∴，即②正确； ∵， ∴，即③正确； ∵， 又∵， ∴， ∴，即④正确． 综上，正确的有①②③④． 故选：A． 【考点点拨】本题主要考查了翻折变换的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定、三角形的面积计算等知识点，灵活运用数形结合思想与方程思想是解题的关键． 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分． 11．（本题2分）（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图，在正方形中，E为边上一点，，．F为对角线上一动点（不与点B，D重合），过点F分别作于点M，于点N，连接，，则的最小值为 ． 【答案】13 【思路点拨】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，连接、，由四边形为矩形，得，由正方形的对称性得，即知，故当最小时，最小，此时、、共线，的最小值即为的长，由，，可得，从而的最小值为13． 【完整解答】解：连接、，如图： ∵四边形是正方形， ∴，， ，，， 四边形为矩形， ， 四边形是正方形， 由正方形的对称性可得， ， ， 当最小时，最小，此时、、共线，的最小值即为的长，如图： ∵， ， 的最小值为13， 故答案为：13． 12．（本题2分）（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，在边长为4的正方形中，Q是边上的一点，且，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，连接，给出下列结论： ①的最小值为2；②；③周长的最小值为6． 其中正确的结论有： ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】②③/③② 【思路点拨】本题主要考查了正方形的性质，勾股定，矩形的性质与判定等等，连接，当时，即时，的最小值等于，即可判定①；延长交于点，由，，即可判定②；连接交于P，此时最小，最小值为长，则周长最小，利用勾股定理求出的长，即可求出周长最小值，即可判定③． 【完整解答】解：连接， ∵正方形 ∴，， ∴ ∵于点E，于点F， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴当最小时，最小， 则当时，即时， 的最小值等于，故①错误； 延长交于点， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∵于点F， ∴，， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， 在和中，，， ； 在和中，，， ，故②正确； 连接交于P，如图， ∵正方形， ∴点A与点B关于对称， ∴， ∴ 根据两点之间线段最短可得，此时最小，最小值为长， ∵周长，， ∴最小时，周长最小， 在中，， ∴周长最小值． 故③正确． 故答案为：②③． 13．（本题2分）（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，在中，，，．分别以，，为边在的同侧作正方形，，，四块阴影部分的面积分别为，，，，则等于 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，正确进行计算是解题关键． 先证明得到，进一步证明，由此求解即可． 【完整解答】解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 如图所示，可知， ∴， ，，， 由勾股定理可得， ∴， ， ， ∵，，， ∴， ， 故答案为：． 14．（本题2分）（2024·河北邯郸·二模）如图，将两块不同的等腰直角三角板和三角板放置在正方形中，直角顶点重合，点分别在边上，，若较小的斜边长为，则的长为 ，较长的斜边长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解方程，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 分别过作的平行线，作交于点，连接，证明，再证明，可得，设，然后根据勾股定理得到，因为，得到，求出，即可得到答案． 【完整解答】如图，分别过作的平行线，作交于点，连接， ∵四边形是正方形， ， ， ∴四边形都是矩形， ， 由题意可知：， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设， ， ，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 解得， ， ， 故答案为：． 15．（本题2分）（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形的两条对角线分别为和，且满足，，那么依次连接它的各边中点得到的四边形的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了中点四边形的性质．学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判定和矩形的判定进行证明，是一道综合题． 由三角形中位线的性质，可判定且，同理，得且．继而可证得四边形为平行四边形，． 再由证明为矩形，即可求出四边形的面积． 【完整解答】证明：∵分别为的中点， ∴且． ∵分别为的中点， ∴且． ∴且． 同理，得且． ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴． ∴四边形为矩形． ∴ 即四边形的面积为． 故答案为： 16．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，，点E为边上一点，连接，点G在上，以为边作等边，点F落在上，M为中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，垂线段最短，直角三角形的性质，以为边构造等边三角形，连接，，过作于，先由等边三角形证明，得到，再根据斜边中线得到，即可证明，得到，所以点当点E在上运动，且点F落在上时，点M在上运动，且，根据垂线段最短可得当时，最小，利用直角三角形的性质即可求解． 【完整解答】解：∵正方形， ∴，， 如图，以为边构造等边三角形，连接，，过作于， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当点E在上运动时，点M在上运动，当时，最小， ∵， ∴最小值， 故答案为：． 17．（本题2分）（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，正方形的边长为3，在的延长线上存在两个动点、（点在点的左侧），以为边作正方形，且与正方形在延长线的同侧．在线段上有一动点，过点作，射线恒过点、射线恒过点．连接，点是的中点，连接、，若，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】延长至，使，连接，连接并延长交于点，连接，，延长交于点，证明是线段的垂直平分线，推出，利用直角三角形的性质求得，推出，当三点共线时， 的最小值为的长，据此求解即可． 【完整解答】解：延长至，使，连接，连接并延长交于点，连接，，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∴， ∵，， ∴是等腰三角形， ∴和都是等腰三角形， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 当三点共线时，， ∴的最小值为的长， ∵四边形和都是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， 故答案为：． 【考点点拨】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直垂直平分线的判定和性质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 18．（本题2分）（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长交于点，连接，下列结论：①垂直平分；②；③；④，其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【思路点拨】由正方形和折叠的性质可得，，证明可得，即可由线段垂直平分线的性质判断①；由，，可得，，设，则，，在中由勾股定理得，得，可得，即可判断②；利用三角形的面积公式可得，即可判断③；由，可得即可判断④； 【完整解答】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴垂直平分，故①正确； ∵，， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵，，， ∴，故③错误； ∵，， ∴，， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的结论为①②④， 故答案为：①②④． 【考点点拨】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键． 19．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在长方形中，，，点是上的一点，且．点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点．设点运动时间为，若三角形的面积为，则的值为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查了长方形的性质、三角形面积公式的运用、动点问题、分类讨论等知识点，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键． 分三种情况：当点在上，则，当点在上，当点在上，分别画出图形求出结果即可． 【完整解答】解：四边形是长方形， ，，， 点是上的一点，且， ，， 当点在上，则， ， ， 解得：； 当点在上，如图1所示， ， 则， ， 当点在上时，不存在的情况； 当点在上，如图所示， ，， ， 解得：， 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 20．（本题2分）（2023·广东深圳·二模）如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点M，N分别在边，上，且，连接交于，若，则 ．    【答案】10 【思路点拨】过点O作于点E，过点P作于点F，作于点G， 根据正方形的性质，先证明，再结合正方形的性质，和勾股定理，计算的长度，最后计算即可． 【完整解答】解：根据题意， ∵正方形的边长为6，对角线，相交于点O， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， 过点O作于点E， ∵，， ∴， ∴， 过点P作于点F，作于点G， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， ∴， 设， 则， ， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理，得，， 解得， ∴， 解得， 故， ∴， 故答案为：10．    【考点点拨】本题考查了正方形的判定和性质，等腰三角形三线合一性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，非负数的性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 三、解答题：本大题共8小题，共60分． 21．（本题6分）（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由四边形和四边形是正方形，可得，，，从而得到，然后利用即可证明结论； （2）如图所示，连接交于点，计算出、，根据勾股定理即可求出的长． 【完整解答】（1）解：由四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中： ， ， ． （2）解：如图，连接交于点， ， ， ， ． 22．（本题6分）（24-25八年级下·广东广州·期中）阅读下面的材料： 小明遇到一个问题：如图1，在中，分别交于点，交于点，已知，，，求的值．小明发现，过点作，交的延长线于点，构造，经过推理和计算能够使问题得到解决． (1)请按照上述思路完成小明遇到的问题； (2)参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：如图2，四边形是平行四边形，四边形是正方形，，求的度数． 【答案】(1)8 (2) 【思路点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是做辅助线构造平行四边形． （1）过点作，交的延长线于点，得出四边形是平行四边形，证明是直角三角形，再利用勾股定理求解即可； （2）连接,根据条件得出四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的性质得出是等边三角形，利用等边三角形的角和正方形对角线构成的角即可求出答案． 【完整解答】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∵， ∴，即， 在中，由勾股定理得， ； （2）解：如图，连接, ∵四边形是平行四边形，四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴是等边三角形 ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ． 23．（本题8分）（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，矩形的对角线相交于点． (1)尺规作图：请在右侧作出点，使四边形是菱形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，请解决以下问题： ①当时，求菱形的周长； ②当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①20；②四边形为正方形，理由见解析 【思路点拨】本题考查尺规作复杂图形，矩形的性质，菱形的性质与判定，正方形的判定，勾股定理．熟练掌握矩形的性质，菱形的性质与判定是解题的关键． （1）分别以点B、C为圆心为半径画弧，两弧相交于E，连接，即可； （2）①根据矩形的性质及勾股定理确定，，再由菱形的性质即可求解； ②根据题意得出，再由菱形的性质确定，利用正方形的判定即可得出结果． 【完整解答】（1）解：如图所示，四边形即为所求作的菱形． （2）①∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵菱形， ∴周长为：； ②∵， ∴， ∵菱形， ∴， ∴四边形为正方形． 24．（本题8分）（24-25九年级下·江西南昌·阶段练习）追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成填空，并完成题（2）： （1）如图1，把一个长方形纸片按如图方式折一下，得到四边形是___________；（填“特殊的四边形”的名称） 拓展应用 （2）如图2，将图（1）中的长方形纸片过点的直线折叠，使得点恰好落在上的处，为折痕．若，求． 【答案】（1）正方形；（2）． 【思路点拨】（1）由长方形的性质得，由折叠的性质得，，进而可证明四边形是正方形； （2）先证明和为等腰三角形，在中，求出，在Rt中，求出，进而可求出的长． 【完整解答】解：（1）∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形； （2）四边形为正方形， ． ， ， ． 又沿着直线翻折到， ， ． 和为等腰三角形． 又四边形是长方形， ， ． 在中，， ， 在中，， ． 【考点点拨】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，掌握折叠的性质是解答本题的关键． 25．（本题8分）（24-25八年级下·湖北黄石·期中）【问题提出】 如图1， E是菱形边上一点， 是等腰三角形，，，探究 与的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2， 当时，直接写出的大小：______； （2）再探究一般情形，如图1，求 与的数量关系； 【问题拓展】 （3）将图1特殊化，如图3，当时， ，．求菱形的面积． 【答案】（1）（2）（3） 【思路点拨】（1）在上截取，易得为等腰三角形，进而求出，证明，得到，进而求出的度数即可； （2）在上截取，易得为等腰三角形，进而求出的度数，证明，得到，进而求出的度数即可； （3）过点作，设，证明为等边三角形，三线合一结合勾股定理求出的值，再利用菱形的面积公式进行求解即可． 【完整解答】解：（1）在上截取， ∵正方形， ∴， ∴，即：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （2）在上截取， ∵菱形， ∴，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， ∵， ∴设， ∴， ∵菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：（负值舍去）； ∴， ∴菱形的面积为． 【考点点拨】本题考查正方形的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 26．（本题8分）（24-25八年级下·江苏苏州·期中）数学实验课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处． 根据以上操作，当点在上时，如图1，___________． （2）深入探究 如图2，延长交于点，连接．改变点在上的位置（点不与点重合），判断的大小，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当是的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】（1）（2），理由见详解（3）或 【思路点拨】本题主要考查了几何问题，涉及到正方形的性质和翻折的性质、直角三角形三角函数比，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确理解题意和灵活运用所学的知识是解题的关键． （1）利用翻折性质和直角三角形的三角函数比即可求解； （2）利用翻折性质和正方形的性质得出，得到对应角相等，然后利用相等的角得出即可求解； （3）利用翻折的性质和，分类假设，表示出相关的线段长度，利用勾股定理列出方程求解即可． 【完整解答】解：（1）∵四边形是正方形， 由翻折的性质可得，， 在中，， 即， 故答案为：； （2），理由如下， 由翻折的性质和正方形的性质可得， ， ， ∴在和中， 又∵ 即； （3）①当时，， 设，由翻折性质得， 由（2）得 ∴ 在中，由勾股定理得， 即 解得，， ∴； ②当时，， 假设，由翻折性质得， 由（2）得 ∴ 在中，由勾股定理得， 即 解得，， ∴； 综上，或． 27．（本题8分）（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在正方形中经常会出现翻折等变换，可通过、等全等条件构造两个三角形全等．如图1，正方形中，E是边上一点，将折叠至位置，延长交边于点F，可证出． (1)如图2，点M、N分别在正方形的边、边上，将正方形沿折叠，点C对应点E落在边上，点B对应点为点F，线段交边于点G，若，证明：． (2)如图2，在（1）条件下连接，则 ． (3)如图3，M为正方形边中点，将沿折叠至，连接，作交延长线于点H，若求线段长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】（1）连接，根据余角的性质证明，根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，证明，得出，根据，即可得出答案； （3）过点A作于点E，延长，，交于点F，延长，交于点G，连接，证明，得出，，证明，得出，证明，得出，，根据勾股定理求出，根据，即可得出，最后求出x的值即可． 【完整解答】（1）证明：连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， 根据折叠可知：垂直平分，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点A作于点E，延长，，交于点F，延长，交于点G，连接，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【考点点拨】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 28．（本题8分）（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）我们定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形叫做至善四边形．如图1，且，则四边形是至善四边形． (1)下列四边形一定是至善四边形的有__________． ①平行四边形；②矩形；③菱形：④正方形； (2)如图2，四边形为至善四边形，，，，求的长及的度数． (3)如图3，正方形中，为中点，在右边作等边，为中点，连接交于点，交于点，求线段与的数量关系． 【答案】(1)④ (2)的长为，的度数为 (3) 【思路点拨】（1）根据至善四边形的定义及特殊平行四边形的性质进行判断即可； （2）如图，延长至点，使，根据至善四边形的定义推出，证明，得，，证明为等边三角形，即可得出答案； （3）延长至点，使得，连接，证明，得，，推出是等腰直角三角形，得，证明为等边三角形，得，，进一步推出是等腰直角三角形，得，在中，由和可得结论． 【完整解答】（1）解：①平行四边形的对角相等邻角互补，对边相等，它的对角不一定互补，邻边不一定相等，故平行四边形不是至善四边形； ②矩形四个内角是直角，对边相等，它的对角互补，但邻边不一定相等，故矩形不是至善四边形； ③菱形对角相等邻角互补，四边相等，它的一组邻边相等，但对角不一定互补，故菱形不是至善四边形； ④正方形四个内角是直角，四边相等，它的对角互补且有一组邻边相等，故正方形是至善四边形； 故答案为：④； （2）如图，延长至点，使， ∴， ∵四边形为至善四边形，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴的长为，的度数为； （3）延长至点，使得，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴，即，， ∵为等边三角形，为的中点， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【考点点拨】本题是四边形的综合题，考查了新定义，特殊平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点．正确理解新定义、通过作辅助线构造全等三角形、直角三角形是解题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级下册专题培优满分特训卷-挑战压轴题 专题09《正方形的综合问题》 试题满分：100分 检测时间：120分钟 难度系数：0.41（难度较大） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题2分）（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形……如此进行下去，得到四边形．给出下列结论：①四边形是矩形；②四边形是菱形；③四边形的周长是；④四边形的面积是．其中，正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（本题2分）（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，正方形边长为6，点在上，点在上，且分别是的中点，连接，则长为（　　） A． B． C． D． 3．（本题2分）（24-25八年级下·山东潍坊·期中）在同一平面内，如果两个多边形（含内部）有除边界以外的公共点；则称两多边形有“公共部分”．如图，若正方形由9个边长为1的小正方形镶嵌而成，另有一个边长为1的正方形与这9个小正方形中的m个有“公共部分”，则m的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（本题2分）（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在正方形中，点E，F分别是对角线，上的点，连接，，，若，且，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．（本题2分）（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点D为x轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 6．（本题2分）（24-25八年级下·湖北·期中）如图，在正方形中，对角线，交于点O，平分交于E，点M为的中点，连接并延长分别交，于点N，R下列结论：①是等腰三角形；②；③平分；④是等边三角形，正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④ 7．（本题2分）（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，在边长为2的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（  ） A． B． C． D．4 8．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，正方形的边长为，点与点分别为射线，上一点，且，连接，并交于点，点为边上一点，，连接，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，分别以为边向外作正方形，正方形，正方形．若直线交于点N，过点M作交于点K，过点H作与分别交于点P、Q．则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 10．（本题2分）（22-23八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长交边于点，连接则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边 A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分． 11．（本题2分）（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图，在正方形中，E为边上一点，，．F为对角线上一动点（不与点B，D重合），过点F分别作于点M，于点N，连接，，则的最小值为 ． 12．（本题2分）（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，在边长为4的正方形中，Q是边上的一点，且，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，连接，给出下列结论： ①的最小值为2；②；③周长的最小值为6． 其中正确的结论有： ．（把你认为正确结论的序号都填上） 13．（本题2分）（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，在中，，，．分别以，，为边在的同侧作正方形，，，四块阴影部分的面积分别为，，，，则等于 ． 14．（本题2分）（2024·河北邯郸·二模）如图，将两块不同的等腰直角三角板和三角板放置在正方形中，直角顶点重合，点分别在边上，，若较小的斜边长为，则的长为 ，较长的斜边长为 ． 15．（本题2分）（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形的两条对角线分别为和，且满足，，那么依次连接它的各边中点得到的四边形的面积为 ． 16．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，，点E为边上一点，连接，点G在上，以为边作等边，点F落在上，M为中点，连接，则的最小值为 ． 17．（本题2分）（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，正方形的边长为3，在的延长线上存在两个动点、（点在点的左侧），以为边作正方形，且与正方形在延长线的同侧．在线段上有一动点，过点作，射线恒过点、射线恒过点．连接，点是的中点，连接、，若，则的最小值为 ． 18．（本题2分）（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长交于点，连接，下列结论：①垂直平分；②；③；④，其中正确的是 ． 19．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在长方形中，，，点是上的一点，且．点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点．设点运动时间为，若三角形的面积为，则的值为 ． 20．（本题2分）（2023·广东深圳·二模）如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点M，N分别在边，上，且，连接交于，若，则 ．    三、解答题：本大题共8小题，共60分． 21．（本题6分）（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．（本题6分）（24-25八年级下·广东广州·期中）阅读下面的材料： 小明遇到一个问题：如图1，在中，分别交于点，交于点，已知，，，求的值．小明发现，过点作，交的延长线于点，构造，经过推理和计算能够使问题得到解决． (1)请按照上述思路完成小明遇到的问题； (2)参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：如图2，四边形是平行四边形，四边形是正方形，，求的度数． 23．（本题8分）（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，矩形的对角线相交于点． (1)尺规作图：请在右侧作出点，使四边形是菱形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，请解决以下问题： ①当时，求菱形的周长； ②当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 24．（本题8分）（24-25九年级下·江西南昌·阶段练习）追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成填空，并完成题（2）： （1）如图1，把一个长方形纸片按如图方式折一下，得到四边形是___________；（填“特殊的四边形”的名称） 拓展应用 （2）如图2，将图（1）中的长方形纸片过点的直线折叠，使得点恰好落在上的处，为折痕．若，求． 25．（本题8分）（24-25八年级下·湖北黄石·期中）【问题提出】 如图1， E是菱形边上一点， 是等腰三角形，，，探究 与的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2， 当时，直接写出的大小：______； （2）再探究一般情形，如图1，求 与的数量关系； 【问题拓展】 （3） 将图1特殊化，如图3，当时， ，．求菱形的面积． 26．（本题8分）（24-25八年级下·江苏苏州·期中）数学实验课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处． 根据以上操作，当点在上时，如图1，___________． （2）深入探究 如图2，延长交于点，连接．改变点在上的位置（点不与点重合），判断的大小，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当是的三等分点时，请直接写出的长． 27．（本题8分）（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在正方形中经常会出现翻折等变换，可通过、等全等条件构造两个三角形全等．如图1，正方形中，E是边上一点，将折叠至位置，延长交边于点F，可证出． (1)如图2，点M、N分别在正方形的边、边上，将正方形沿折叠，点C对应点E落在边上，点B对应点为点F，线段交边于点G，若，证明：． (2)如图2，在（1）条件下连接，则 ． (3)如图3，M为正方形边中点，将沿折叠至，连接，作交延长线于点H，若求线段长． 28．（本题8分）（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）我们定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形叫做至善四边形．如图1，且，则四边形是至善四边形． (1)下列四边形一定是至善四边形的有__________． ①平行四边形；②矩形；③菱形：④正方形； (2)如图2，四边形为至善四边形，，，，求的长及的度数． (3)如图3，正方形中，为中点，在右边作等边，为中点，连接交于点，交于点，求线段与的数量关系． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$