精品解析：2026年陕西省商洛市部分学校中考一模九年级数学试卷

数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 如果西安市2026年2月的最高温度零上记作，那么该月的最低温度零下可记作（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由零上为正可得零下为负，直接对应即可得出答案． 【详解】解：∵零上记作，即零上温度记为正， ∴与零上意义相反的零下温度记为负，因此零下可记作． 2. 据新华社北京1月21日电，2025年我国人工智能核心产业规模约为万亿元．将数据万亿元用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，且比原来的整数位数少1，先将 “万亿元” 转化为数字，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：万亿元亿元元元． 3. 如图是一个花灯的立体图，它的俯视图可以近似看作（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上边看到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：它的俯视图可以近似看作 4. 如图，将一把直尺按如图所示叠放在一块三角形木板上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，再利用邻补角的性质解答即可求解． 【详解】解：如图，∵直尺的对边平行，， ， ． 5. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 6. 已知，是一次函数图象上的两点，且，，则该函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的性质判断出，再结合一次函数的性质即可得出结论． 【详解】∵，， ∴对于一次函数，随的增大而增大， ∴， 故一次函数的图象经过第一、三象限； ∵，， 故，两点在第二象限， 故一次函数的图象经过第二象限； 综上，一次函数的图象经过第一、二、三象限． 7. 如图，在中，为边延长线上一点，连接交对角线于点，过点作交于点．若，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：在中，， 设， ． ， ，． ， ． ， ，， ， ， ，即， 解得，（舍去）． ． 8. 在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的对称轴为直线，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 的值为 B. 抛物线不可能经过坐标原点 C. 的最大值为 D. 关于的方程在范围内有实数根，则 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项，二次函数图象的对称轴为直线，，，A选项不符合题意； B选项，，，当时，二次函数为，当时，，即当时，抛物线经过坐标原点，B选项不符合题意； C选项，，抛物线的对称轴为直线，当时，取得最小值，此时最小值为，C选项不符合题意； D选项，关于的方程在的范围内有实数根，当时，，；当时，，，，D选项符合题意． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 计算： ____________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根与立方根的运算法则进行计算即可． 【详解】解： =4-2 =2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，解题关键是熟记算术平方根和立方根定义，准确求出算术平方根和立方根． 10. 园艺工人计划用两种不同的花卉布置广场，设计方案时，用全等的圆点和全等的三角形分别代表万寿菊和一品红的盆数，按如图所示的规律摆放，则第个图形中花卉的总盆数为________．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】找到图中的规律解题即可． 【详解】解：本题图形分两部分，第一部分是用圆点表示的图形，数量规律是1，2，3，4，…； 第二部分是用三角形表示的部分，数量规律是，，，…， 第个图形中花卉的总盆数为． 11. 陕西富平柿饼霜厚肉糯、甜润无涩．某商家购进一批柿饼，以每盒22元的价格出售，每盒可获利，则该批柿饼的进价为每盒________元． 【答案】20 【解析】 【分析】设该柿饼的进价为每盒元，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设该柿饼的进价为每盒元，根据题意得： ， 解得， 答：该柿饼的进价为每盒元． 12. 如图，四边形内接于，是的三等分点，连接，．若，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】先根据弧的三等分点得到弧的度数关系，再利用圆周角定理、等腰三角形的性质求解． 【详解】解：如图，连接， ，根据圆心角等于圆周角的两倍， ， 是的三等分点， ， ， ， ． 13. 如图，已知菱形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，边与该反比例函数的图象交于点，连接，．若点的纵坐标为6，则与的面积之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形得，利用 “同底等高的三角形面积相等”将与的面积之和转化为菱形面积的一半，再通过反比例函数解析式求出点 A 坐标，进而计算菱形的面积即可求解． 【详解】解：如图，过点作交轴于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，轴，， ∴， ∴， ∵点的纵坐标为6， ∴点的纵坐标为6， ∵点在反比例函数的图象上， 将代入解析式得， 解得， ∴点，即，， 在中， ， ∴， ∴． 14. 如图，在边长为6的正方形中，，分别是边，上的点，，连接．若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转得到，通过全等三角形得到，根据正方形性质以及已知条件求解的长． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，得到， ，，， 四边形是边长为6的正方形， ， ， 三点共线， ， ， ， ， 又 ， ， ， 设，， ，，， ， 在中，，即， 解得，（不符合题意，舍去）， ． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 16. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】，原不等式组的所有整数解为1，2，3，4 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 原不等式组的解集为， 原不等式组的所有整数解为1，2，3，4． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 18. 如图，是的一条弦，请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】过点O作直线于点D，然后在直线上作，再作射线交于点C，即可． 【详解】解：如图，点即为所求． 19. 如图，在中，，，分别是边，，上的点，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和平行线的性质证明即可 【详解】证明：，， ，，， ， 在和中， ， ． 20. 以“逐梦冰雪，陕耀未来”为主题的陕西省第一届冬季运动会在榆林如期举办，某学校建议同学们利用寒假时间自主观看比赛．甲、乙两位同学计划从，，，四个赛场中随机选择一个去观看比赛． （1）甲同学选择赛场属于________事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） （2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两位同学选择不同赛场观看比赛的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】（1）根据随机事件的定义解题； （2）根据列表法解题即可． 【小问1详解】 解：甲同学选择A赛场属于随机事件； 【小问2详解】 解：根据题意，列表如下： 甲 乙 A B C D A B C D 由上表可知，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择不同赛场观看比赛的结果有12种， ． 21. 如图，小琪想测量广场边的图腾柱的高度，图腾柱外围有栅栏无法直接到达底部处进行测量．在对周边进行测量时，小琪发现图腾柱所在的广场比广场外的路面高，身高的小琪（）站在广场上图腾柱的另一侧，且距离点远的处，在处的灯光的照射下，小琪留在地面上的影长为，广场边沿留在路面上的影长为，已知点，，，，在同一条直线上，，，，广场与路面平行，求图腾柱的高度． 【答案】图腾柱的高度为 【解析】 【分析】运用两次相似三角形的性质，先利用求出与的比例关系，将用表示出来，再通过列出将都用表示再计算出的值即可求出的值． 【详解】解：， ． ，， ， ， ，即， ． ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 答：图腾柱的高度为． 22. 在某次虹吸实验中，水从高位容器通过虹吸管流入低位容器（如图①）．实验开始时，高位容器内水面高度一定，实验开始的短时间内，由于水流速度恒定，高位容器内水面高度随时间均匀下降，高位容器内水面高度与实验时间之间的关系如图②所示． （1）实验开始时，高位容器内水面高度为________； （2）求实验开始的短时间内，与之间的函数关系式； （3）若实验进行到第时，水流速度发生变化，求此时高位容器内的水面高度． 【答案】（1）30 （2） （3）此时高位容器内的水面高度为 【解析】 【分析】（1）通过图②函数与轴的交点即可解决， （2）用待定系数法即可求出与的函数关系式， （3）将代入第二小问求出的函数关系式求出即可． 【小问1详解】 解：观察图象可知实验开始时，高位容器同水面高度为； 【小问2详解】 设与之间的函数关系式为， 将，代入，得， 解得， 与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 当时，， 答：此时高位容器内的水面高度为． 23. 某地为了把草莓产业从“规模扩张”向“品质升级”转型，同时为农户提供更科学的种植技术指导，研究人员针对某核心草莓种植基地的试验棚开展专项抽样调查．科研人员从试验棚中随机选取颗草莓并测量其单果质量，数据如下（单位：克）： 通过对以上数据的分析整理，绘制了如下统计表： 组别 草莓单果质量（克） 频数 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________； （2）求这个数据的中位数和众数； （3）已知单颗质量满足的草莓为长势良好的草莓，若该试验棚里一共可以收获草莓约颗，估计长势良好的草莓的总质量为多少千克？ 【答案】（1）， （2）中位数为，众数为 （3）估计长势良好的草莓的总质量为千克 【解析】 【分析】（1）找出B组和E组的频数，即可求解； （2）根据中位数和众数的定义即可求解． （3）先求得的数据的平均数，再根据样本估计总体进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： 组有： ，共个，故 组有： ，共个，故 【小问2详解】 解：将个数据从小到大排序后第，个数据分别为，6， 中位数为， 个数据中，出现了次，出现的次数最多， 众数为23； 【小问3详解】 解：颗草莓中质量在之间的数据有：，，，，，，，，，， 满足的数据的平均数为（克）， （千克）， 答：估计长势良好的草莓的总质量为千克 24. 如图，是的直径，是的弦，连接，过点作的切线，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角得出，结合三角形的外角性质得出，推得，根据平行线的判定得出，根据切线的定义得出，根据平行线的性质即可证明； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，结合正切的定义得出，结合圆的概念和勾股定理，列出方程求出，求得，根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质即可求出． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． 【小问2详解】 如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故， 在中，， ∴， ∵的半径为， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得． 25. 在一次烟花大赛中，两个不同位置的发射台同时发射了特制的烟花弹，烟花弹的轨迹高度与水平距离之间的关系图象可近似看作抛物线，如图所示，以水平地面为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知如下信息： 烟花弹的发射点位于坐标原点，其爆炸最高点坐标为，落地点为； 烟花弹的发射点位于轴上点，其爆炸最高点坐标为． 设所有烟花弹轨迹的对称轴均垂直于水平地面，且均沿抛物线轨迹运动直至落地． （1）求烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式； （2）若将烟花弹的轨迹关于轴对称后，得到一条新的抛物线，点在抛物线上，轴，求点到点的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法解题即可； （2）根据待定系数法和轴对称的性质求出抛物线的表达式，求出点的坐标，将点的横坐标代入抛物线的表达式，进而解题． 【小问1详解】 解：烟花弹的发射点位于坐标原点，其爆炸最高点坐标为， 设烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为 ， 将代入表达式，得 ， 解得， 烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为 ； 【小问2详解】 解：烟花弹的爆炸最高点坐标为， 设烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为 将代入表达式，得 ， 解得， 烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为 ， 烟花弹的轨迹对应的抛物线与的轨迹对应的抛物线关于轴对称， 抛物线的表达式为 ， 如图， 为烟花弹的落地点，烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为 ， 令， 解得（不符合题意，舍去），， ， 轴，点在抛物线上， 设，则， 点到点的距离为． 26. 问题探究 （1）如图①，为的直径，且，为上一点，过点作于点，则的最大值为________； （2）如图②，在和中，，，连接，，若，求的长； 问题解决 （3）如图③，某植物园原计划设计四边形花卉园展示区，其中，，后根据实际需求，需要将四边形扩建为四边形，点在边的延长线上，连接，，，满足，，，且的面积最大，请问是否能扩建出满足要求的四边形？若能，请求出此时面积的最大值；若不能，请说明理由．（结果保留根号） 【答案】（1） （2） （3）能，最大值为 【解析】 【分析】（1）为上一点，，当为圆的半径时，取得最大值； （2）通过证明，利用直角三角形的边长比例关系求解； （3）先证明，再证明，作的外接圆，连接，，过点作于点，过点作于点，求得，即得面积的最大值． 【小问1详解】 解：如图①，当点与圆心重合时，的值最大，此时为的半径， 为的直径，， 的最大值为． 【小问2详解】 解：，， ， 在和中， ， ， 又， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：能扩建出满足要求的四边形． 理由如下： ， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ，， ， ∴， 如答案图②，延长至点，使，连接， ， ， ， ， 令和的交点为，则， 又∵， ，即， ， ， 作的外接圆，连接，，过点作于点，过点作于点， 则，， 在中，，， ， ， 当三点共线时，取等号， ， 面积的最大值为， 综上所述，面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 如果西安市2026年2月的最高温度零上记作，那么该月的最低温度零下可记作（ ） A. B. C. D. 2. 据新华社北京1月21日电，2025年我国人工智能核心产业规模约为万亿元．将数据万亿元用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 3. 如图是一个花灯的立体图，它的俯视图可以近似看作（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一把直尺按如图所示叠放在一块三角形木板上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是一次函数图象上的两点，且，，则该函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限 7. 如图，在中，为边延长线上一点，连接交对角线于点，过点作交于点．若，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的对称轴为直线，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 的值为 B. 抛物线不可能经过坐标原点 C. 的最大值为 D. 关于的方程在范围内有实数根，则 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 计算： ____________． 10. 园艺工人计划用两种不同的花卉布置广场，设计方案时，用全等的圆点和全等的三角形分别代表万寿菊和一品红的盆数，按如图所示的规律摆放，则第个图形中花卉的总盆数为________．（用含的代数式表示） 11. 陕西富平柿饼霜厚肉糯、甜润无涩．某商家购进一批柿饼，以每盒22元的价格出售，每盒可获利，则该批柿饼的进价为每盒________元． 12. 如图，四边形内接于，是的三等分点，连接，．若，则的度数为________． 13. 如图，已知菱形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，边与该反比例函数的图象交于点，连接，．若点的纵坐标为6，则与的面积之和为________． 14. 如图，在边长为6的正方形中，，分别是边，上的点，，连接．若，则的长为________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，是的一条弦，请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在中，，，分别是边，，上的点，，，．求证：． 20. 以“逐梦冰雪，陕耀未来”为主题的陕西省第一届冬季运动会在榆林如期举办，某学校建议同学们利用寒假时间自主观看比赛．甲、乙两位同学计划从，，，四个赛场中随机选择一个去观看比赛． （1）甲同学选择赛场属于________事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） （2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两位同学选择不同赛场观看比赛的概率． 21. 如图，小琪想测量广场边的图腾柱的高度，图腾柱外围有栅栏无法直接到达底部处进行测量．在对周边进行测量时，小琪发现图腾柱所在的广场比广场外的路面高，身高的小琪（）站在广场上图腾柱的另一侧，且距离点远的处，在处的灯光的照射下，小琪留在地面上的影长为，广场边沿留在路面上的影长为，已知点，，，，在同一条直线上，，，，广场与路面平行，求图腾柱的高度． 22. 在某次虹吸实验中，水从高位容器通过虹吸管流入低位容器（如图①）．实验开始时，高位容器内水面高度一定，实验开始的短时间内，由于水流速度恒定，高位容器内水面高度随时间均匀下降，高位容器内水面高度与实验时间之间的关系如图②所示． （1）实验开始时，高位容器内水面高度为________； （2）求实验开始的短时间内，与之间的函数关系式； （3）若实验进行到第时，水流速度发生变化，求此时高位容器内的水面高度． 23. 某地为了把草莓产业从“规模扩张”向“品质升级”转型，同时为农户提供更科学的种植技术指导，研究人员针对某核心草莓种植基地的试验棚开展专项抽样调查．科研人员从试验棚中随机选取颗草莓并测量其单果质量，数据如下（单位：克）： 通过对以上数据的分析整理，绘制了如下统计表： 组别 草莓单果质量（克） 频数 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________； （2）求这个数据的中位数和众数； （3）已知单颗质量满足的草莓为长势良好的草莓，若该试验棚里一共可以收获草莓约颗，估计长势良好的草莓的总质量为多少千克？ 24. 如图，是的直径，是的弦，连接，过点作的切线，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 25. 在一次烟花大赛中，两个不同位置的发射台同时发射了特制的烟花弹，烟花弹的轨迹高度与水平距离之间的关系图象可近似看作抛物线，如图所示，以水平地面为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知如下信息： 烟花弹的发射点位于坐标原点，其爆炸最高点坐标为，落地点为； 烟花弹的发射点位于轴上点，其爆炸最高点坐标为． 设所有烟花弹轨迹的对称轴均垂直于水平地面，且均沿抛物线轨迹运动直至落地． （1）求烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式； （2）若将烟花弹的轨迹关于轴对称后，得到一条新的抛物线，点在抛物线上，轴，求点到点的距离． 26. 问题探究 （1）如图①，为的直径，且，为上一点，过点作于点，则的最大值为________； （2）如图②，在和中，，，连接，，若，求的长； 问题解决 （3）如图③，某植物园原计划设计四边形花卉园展示区，其中，，后根据实际需求，需要将四边形扩建为四边形，点在边的延长线上，连接，，，满足，，，且的面积最大，请问是否能扩建出满足要求的四边形？若能，请求出此时面积的最大值；若不能，请说明理由．（结果保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $