精品解析：2025年陕西省商洛市山阳县中考一模数学试题

山阳县2025年初中学业水平监测试题（卷） 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的相反数是（ ） A. B. 17 C. D. 2. 下列几何体中，是三棱柱的是（ ） A. B. C. D. 3. 若的度数为，则的补角的度数为（ ） A B. C. D. 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（为常数）是正比例函数，且点，是该函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，的平分线交于点，过点作交于点，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 如图，内接于，是的直径，交于点，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象过点和，则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A. 函数图象开口向上 B. 当时，的值随值的增大而减小 C. 若点该二次函数图象上，则 D 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. ______． 10. 如图，在正五边形中，连接，交于点，是上一点，连接．若，则的度数为______． 11. 炔烃为分子中含有碳碳三键的碳氢化合物的总称，是一种不饱和的脂肪烃，在化工、材料、医药、能源等多个领域都有重要应用．如图①为乙炔的结构式，图②为丙炔的结构式，图③为丁炔的结构式，…，依此类推，当某种炔烃的分子式中碳原子的数量为10个时，则氢原子的个数为______个． 12. 如图，是反比例函数图象上的一点，是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，连接，，．若，，则的值为______． 13. 如图，在中，为的中点，为上一点，，连接，交于点，连接．若和的面积分别为，，则和的数量关系为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解不等式：． 16. 化简：． 17. 如图，在中，，为上一点，连接，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得与相似．（作出符合题意的一个点即可，保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在中，，分别是，的中点，连接，且，延长至点，使得，连接．求证：． 19. 在一个不透明的布袋中装有红、白两种颜色的小球共4个，这些小球除颜色外其他都相同，每次将小球搅匀后从中随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定在左右． （1）请估计袋子里红、白两种颜色的小球各有多少个？ （2）小华与小红计划周末外出游玩，小华想去大唐芙蓉园，小红则想去兵马俑景区，由于时间原因，仅能选择其中一个景区前往，因此小华提议用上述袋中的球通过摸球游戏来决定选择哪个景区．游戏规则：小华先从袋中摸出一个小球，记下颜色后，放回，搅匀后，小红再从袋中摸出一个小球；若两人摸出的小球颜色相同，则小华获胜，前往大唐芙蓉园；反之小红获胜，前往兵马俑景区，请用列表或画树状图的方法，求两人前往大唐芙蓉园的概率． 20. 如图，在的网格中，的顶点坐标分别为，，．将平移后得到，点，，的对应点分别为，，，且点与点关于原点对称． （1）请在图中画出； （2）连接，，求的面积． 21. 某校数学活动小组计划以测量两栋楼房之间的楼间距为主题开展实践活动（由于部分路面正在进行地铁建设，无法直接测量），活动记录表如下： 活动任务：测量两栋楼房之间的楼间距 活动过程 测量工具 如图①，无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，被广泛应用于测绘、航拍、农业、灾难救援等领域 测量方案 如图②，当无人机位于两栋楼正中间位置点的正上方高空处，测得点处的俯角为，点处的俯角为（参考数据：，，） 实地测量草图 备注 楼的高度为，楼的高度为，点，，在同一条直线上，，，均垂直于， 任务目标 求楼与之间的距离（结果保留1位小数） 请结合表中相关数据完成任务目标． 22. 近日，省委社会工作部决定在全省组织开展暖“新”志愿服务关爱行动，为积极响应活动，某校在校内开展志愿报名服务，为更好地了解志愿服务者的情况，某兴趣小组随机调查了50名报名的志愿者周末志愿服务时长进行统计，绘制了如下统计表： 组别 志愿服务时长 频数 组内学生的平均志愿服务时长 5 8 15 12 请根据以上信息，解答下列问题： （1）上表中______，这50名志愿者的志愿服务时长的中位数落在______组； （2）求这50名志愿者的志愿服务时长的平均数； （3）若报名的志愿者有200名，请估计志愿服务时长不低于的学生人数． 23. 已知在某年龄段内，学生的平均身高和年龄（岁）通常可以近似看作一次函数关系．经调查，某市10岁学生的平均身高为，14岁学生的平均身高为． （1）求与之间的函数关系式； （2）求该市15岁学生的平均身高为多少cm． 24. 如图，是直径，是的弦，为上一点，连接，，过点作交延长线于点，连接并延长交于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为10，，求的长． 25. 2025年全国室内田径大奖赛（第2站）在西安举办，来自全国运动员们，为观众呈现了一场速度与力量的较量．某学生观赛后深受感触，积极进行跳远训练，其起跳后的腾空路线可近似看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系．该学生在某次训练时，从地面上点起跳到落地的过程中，点与地面的距离为，与起跳点的水平距离为．训练时有两种起跳方式：直接从地面点起跳、借助起跳板从点起跳（点在轴上），竖直高度与水平距离之间的函数关系式分别为和．（假设两次跳远轨迹在同一平面内） （1）当该学生直接从起跳点起跳时，求落地点与起跳点之间的距离； （2）若该学生借助起跳板从点起跳，落地点与轴的距离相比从点起跳落地点与轴的距离增加，求该学生需要借助多高的起跳板可达到要求． 26. 问题情境 如图①，在矩形中，，连接，将绕点顺时针旋转得到，，的对应点分别为，． 数学思考 （1）如图①，在旋转过程中，当点落在边上时，的度数为______； 问题探究 （2）如图②，直线交直线于点，在旋转过程中，当时，求的长； 问题解决 （3）如图③，连接，为线段的中点，连接，直线交直线于点，在旋转过程中，是否存在最小值，若存在，求出的最小值以及此时的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山阳县2025年初中学业水平监测试题（卷） 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的相反数是（ ） A. B. 17 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反数的定义，直接求解即可． 【详解】解：相反数是17， 故选：B． 【点睛】本题主要考查相反数的定义，掌握“只有负号不同的两个数叫做互为相反数”是关键． 2. 下列几何体中，是三棱柱的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查常见几何体的识别，底面为三角形的柱体叫作三棱柱，由此直接判断即可得出答案． 【详解】解：A．选项中的图形为长方体，不合题意； B．选项中的图形为圆柱，不合题意； C．选项中的图形为三棱锥，不合题意； D．选项中的图形为三棱柱，符合题意； 故选D． 3. 若的度数为，则的补角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个角的补角度数，角度的计算．根据度数之和为180度的两个角互补进行求解即可． 【详解】解：的度数为， 的补角的度数为． 故选：A 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了积的乘方和幂的乘方，根据积的乘方和幂的乘方法则计算即可，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故选：． 5. 已知函数（为常数）是正比例函数，且点，是该函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的定义、性质以及利用函数解析式求函数上点的坐标，解题关键是熟练掌握正比例函数定义和性质． 根据正比例函数定义求解得到，计算，确定函数表达式为，将，代入，分别求出， ，比较得出 ． 【详解】函数是正比例函数， ，， 解得， ， 正比例函数的表达式为， 将，分别代入，得 ，， ． 故选：C． 6. 如图，在中，，，的平分线交于点，过点作交于点，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质、等腰三角形判定以及相似三角形的判定与性质，解题关键是利用角的等量关系得出，再借助相似三角形对应边成比例列方程求解的长度． 利用角平分线和平行线性质推出，得，再判定，根据相似三角形对应边成比例列出即可解答． 【详解】平分， ， ， ， ， ． ， ， ，即， 解得． 故选：B． 7. 如图，内接于，是的直径，交于点，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为．连接，根据“等边对等角”求得，进而根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到，又根据直径所对的圆周角为得到，从而根据角的和差即可解答． 【详解】解：连接， ，， ， ， 是的直径， ， ． 故选：C 8. 已知二次函数的图象过点和，则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A. 函数图象开口向上 B. 当时，的值随值的增大而减小 C. 若点在该二次函数图象上，则 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查二次函数的图象与性质．根据表格中所给数据，可求出抛物线的对称轴为直线，再对所给选项依次进行判断即可解决问题． 【详解】解：∵，∴函数图象开口向下，故A选项错误； ∵二次函数的图象过点和， ∴该二次函数图象的对称轴为直线， ∴当时，的值随值的增大，先增大后减小，故B选项错误； ∵二次函数图象的对称轴为直线，函数图象开口向下， ∴函数的最大值为， ∵点是二次函数图象上的点， ∴即， 故C选项正确； ∵二次函数图象过点和， ∴，， 消去，整理得，故D选项错误． 故选：C． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，先化简算术平方根，再运算减法，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 如图，在正五边形中，连接，交于点，是上一点，连接．若，则的度数为______． 【答案】47° 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质， 根据正五边形的性质得，，进而求出，然后根据三角形外角的性质求出，最后根据得出答案． 【详解】解：多边形为正五边形， ，， ． ∵是的外角， ． ， ． 故答案为：． 11. 炔烃为分子中含有碳碳三键的碳氢化合物的总称，是一种不饱和的脂肪烃，在化工、材料、医药、能源等多个领域都有重要应用．如图①为乙炔的结构式，图②为丙炔的结构式，图③为丁炔的结构式，…，依此类推，当某种炔烃的分子式中碳原子的数量为10个时，则氢原子的个数为______个． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律．在不同的结构式中找到C与H个数的关系，发现规律，写出代数式即可． 【详解】解：乙炔的化学式为， 由图②可得丙炔的化学式为， 由图③可得丁炔的化学式为， 依此规律，块烃的分子通式为，且为正整数， 当炔烃分子式中碳原子的数量为10个时，氢原子的个数为（个）． 故答案为：18． 12. 如图，是反比例函数图象上的一点，是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，连接，，．若，，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，等腰三角形的性质，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 过点作轴于点，由三线合一得到，则，而，再由建立方程求解即可． 【详解】解：过点作轴于点， ， ∴， ， 轴， ， ， 解得． 故答案为：4． 13. 如图，在中，为的中点，为上一点，，连接，交于点，连接．若和的面积分别为，，则和的数量关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 由得到，从而，根据相似三角形的性质得到，．过点作交于点，连接，因此，，可推出，进而，即可解答． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ，， ， ，为的中点， ， ， ， ， 过点作交于点，连接， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为： 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式先计算负整数指数幂以及化简绝对值和计算乘法，最后进行加减运算即可． 详解】解： ． 15. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，根据“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1”求出不等式的解集即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，先计算括号内的分式减法运算，再将除法转化为乘法，然后利用分式的乘法运算法则，结合因式分解化简即可求解． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在中，，为上一点，连接，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得与相似．（作出符合题意的一个点即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，相似三角形的判定． 由得到，因此作或即可得到与相似． 【详解】解：方法一：如图，点即为所求作． ∵， ∴， ∵， ∴． 方法二：如图，点即为所求作． ∵， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，在中，，分别是，的中点，连接，且，延长至点，使得，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，先根据，分别是，的中点，证明是的中位线，然后证明，即可作答． 【详解】证明：，分别是，的中点， ∴是的中位线， ， ， 和中， ， ∴， ． 19. 在一个不透明的布袋中装有红、白两种颜色的小球共4个，这些小球除颜色外其他都相同，每次将小球搅匀后从中随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定在左右． （1）请估计袋子里红、白两种颜色的小球各有多少个？ （2）小华与小红计划周末外出游玩，小华想去大唐芙蓉园，小红则想去兵马俑景区，由于时间原因，仅能选择其中一个景区前往，因此小华提议用上述袋中的球通过摸球游戏来决定选择哪个景区．游戏规则：小华先从袋中摸出一个小球，记下颜色后，放回，搅匀后，小红再从袋中摸出一个小球；若两人摸出的小球颜色相同，则小华获胜，前往大唐芙蓉园；反之小红获胜，前往兵马俑景区，请用列表或画树状图的方法，求两人前往大唐芙蓉园的概率． 【答案】（1）红球有1个，白球有3个 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，已知概率求数量，用频率估计概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得摸到红色小球的概率为，再根据概率计算公式求出红球的数量，进而求出白球的数量即可得到答案； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人前往大唐芙蓉园的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定在左右， ∴摸到红色小球的概率为， （个），（个）， 估计袋子中红球有1个，白球有3个； 【小问2详解】 解：将红球记为，白球分别记为，，，列表如下： 小华 小红 由上表可知，共有16种等可能的结果，其中两个小球颜色相同的结果有10种， ． 20. 如图，在的网格中，的顶点坐标分别为，，．将平移后得到，点，，的对应点分别为，，，且点与点关于原点对称． （1）请在图中画出； （2）连接，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）11 【解析】 【分析】本题考查了点关于原点对称的坐标变化规律、图形的平移以及利用割补法求三角形面积，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质． （1）由点与点关于原点对称，得，然后得平移规律是：向右平移个单位，向下平移个单位， 按照此平移规律求、，依次连接这三点，即可． （2）根据割补法求解即可． 【小问1详解】 解：画出如图所示； 【小问2详解】 点与点关于原点对称， 点的坐标为， 平移方式为将向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度， 点的坐标为， ． 21. 某校数学活动小组计划以测量两栋楼房之间的楼间距为主题开展实践活动（由于部分路面正在进行地铁建设，无法直接测量），活动记录表如下： 活动任务：测量两栋楼房之间的楼间距 活动过程 测量工具 如图①，无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，被广泛应用于测绘、航拍、农业、灾难救援等领域 测量方案 如图②，当无人机位于两栋楼正中间位置点的正上方高空处，测得点处的俯角为，点处的俯角为（参考数据：，，） 实地测量草图 备注 楼的高度为，楼的高度为，点，，在同一条直线上，，，均垂直于， 任务目标 求楼与之间的距离（结果保留1位小数） 请结合表中相关数据完成任务目标． 【答案】60.6m 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 先作，作，求出，再说明为等腰直角三角形，可得，然后设，表示，最后根据得出方程，求出解即可． 【详解】解：如答案图，过点A作于点，交于点，过点作于点， 楼高为，楼高为， ． ， ∴为等腰直角三角形， ． 设， ． ， ， ， ， 解得， ， 楼与之间的距离约为． 22. 近日，省委社会工作部决定在全省组织开展暖“新”志愿服务关爱行动，为积极响应活动，某校在校内开展志愿报名服务，为更好地了解志愿服务者的情况，某兴趣小组随机调查了50名报名的志愿者周末志愿服务时长进行统计，绘制了如下统计表： 组别 志愿服务时长 频数 组内学生的平均志愿服务时长 5 8 15 12 请根据以上信息，解答下列问题： （1）上表中______，这50名志愿者的志愿服务时长的中位数落在______组； （2）求这50名志愿者的志愿服务时长的平均数； （3）若报名志愿者有200名，请估计志愿服务时长不低于的学生人数． 【答案】（1）10；D （2） （3）108名 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，中位数，平均数，用样本估计总体数量． （1）将50减去其他各组的频数，即可求出a的值，根据中位数的定义求出中位数，即可解答； （2）根据加权平均数的计算方法计算即可； （3）将总体200乘以样本中服务时长不低于的学生比例，即可解答． 【小问1详解】 解： ， 中位数为这50个数据从小到大（或从大到小）排列后，位于第25，26位数据的平均数， ，， ∴第25，26位数据位于D组， 中位数落在组． 故答案为：10， 【小问2详解】 解：， 这50名志愿者的志愿服务时长的平均数为； 【小问3详解】 解：（名）， 估计志愿服务时长不低于的学生人数为108名． 23. 已知在某年龄段内，学生的平均身高和年龄（岁）通常可以近似看作一次函数关系．经调查，某市10岁学生的平均身高为，14岁学生的平均身高为． （1）求与之间的函数关系式； （2）求该市15岁学生的平均身高为多少cm． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，求一次函数值， 对于（1），将两组数值代入关系式得出方程组，求出解即可； 对于（2），将代入关系式求出解即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将，代入， 得， 解得， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：令，得， 该市15岁学生平均身高为． 24. 如图，是的直径，是的弦，为上一点，连接，，过点作交延长线于点，连接并延长交于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为10，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）15 【解析】 【分析】（1）连接，利用平行线的判定定理证明，求得，据此即可证明是的切线； （2）连接，，证明，推出，利用勾股定理求得，推出是等边三角形，在中，利用正切函数求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接，， 由（1）知，是的切线， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为10，， ， ， 解得（负值已舍去）， 在中，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 25. 2025年全国室内田径大奖赛（第2站）在西安举办，来自全国的运动员们，为观众呈现了一场速度与力量的较量．某学生观赛后深受感触，积极进行跳远训练，其起跳后的腾空路线可近似看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系．该学生在某次训练时，从地面上点起跳到落地的过程中，点与地面的距离为，与起跳点的水平距离为．训练时有两种起跳方式：直接从地面点起跳、借助起跳板从点起跳（点在轴上），竖直高度与水平距离之间的函数关系式分别为和．（假设两次跳远轨迹在同一平面内） （1）当该学生直接从起跳点起跳时，求落地点与起跳点之间的距离； （2）若该学生借助起跳板从点起跳，落地点与轴的距离相比从点起跳落地点与轴的距离增加，求该学生需要借助多高的起跳板可达到要求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是根据已知条件确定二次函数的表达式． （1）先根据点的坐标为求出直接从点起跳时的二次函数表达式，再令求出落地点的横坐标，进而得到落地点与起跳点的距离． （2）先求出从点起跳时落地点坐标，再根据条件得到从点起跳时落地点坐标，代入函数表达式求出的值，即起跳板的高度． 【小问1详解】 解：由题意可知，点的坐标为， 该学生站在点起跳时，与之间的函数关系式为， 将点，代入， 得， 解得， 该学生站在点起跳，与之间的函数关系式为， 当时，， 解得（舍去）或， 当该学生直接从起跳点起跳时，落地点与起跳点之间距离为； 【小问2详解】 解：由题意可知，从点起跳时，落地点与点的水平距离为， 落地点的坐标为， 由（1）知，， 该学生站在起跳板上起跳时，抛物线的表达式为， 将点代入， 得， 解得， 该学生站在起跳板上起跳时，抛物线的表达式为， 当时，， 该学生需要借助高的起跳板可达到要求． 26. 问题情境 如图①，在矩形中，，连接，将绕点顺时针旋转得到，，的对应点分别为，． 数学思考 （1）如图①，在旋转过程中，当点落在边上时，的度数为______； 问题探究 （2）如图②，直线交直线于点，在旋转过程中，当时，求的长； 问题解决 （3）如图③，连接，为线段的中点，连接，直线交直线于点，在旋转过程中，是否存在最小值，若存在，求出的最小值以及此时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）的最小值为，此时的长度为． 【解析】 【分析】（1）四边形是矩形，将绕点顺时针旋转得到，则，在中，，则，所以，由此即可求解； （2）如答案图①，点在线段上，，可得，可证，则，所以，由此即可求解； （3）如答案图②，取的中点，连接，可得，，点在以为圆心，的长为半径的半圆上，连接，则，则当点，，三点共线时，的最小值为，如答案图③，点在上，过点作于点，延长交于点，可证，则，即，解得，由，可证，得，则，解得，由此即可求解． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ，， 将绕点顺时针旋转得到， ， ，， 点在边上， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2）如答案图①，点在线段上，， ， ， 与重合， ， ， ， ， ； （3）存在，理由如下， 如答案图②，取的中点，连接， 是的中点，是的中点， ，， 点在以为圆心，的长为半径的半圆上，连接， ，，为的中点， ， ， ， ， 当点，，三点共线时，的最小值为， 如答案图③，点在上， ， 过点作于点，延长交于点， ，，， 四边形是矩形， ， ，，， ， ，即， 解得， ， ， ， ， ， ，， ，即， ， 解得， 的最小值为，此时的长度为． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，线段最小值的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$