专题05 二元一次方程组【重难点培优：知识梳理+7大题型+压轴真题】2025-2026学年人教版七年级下册数学重难点培优专题专练

**基本信息** 以消元思想为主线，整合换元法、含参问题等8类题型，通过典例提炼整体代换等技巧，构建从思想到应用的完整知识逻辑链，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|4点核心|消元思想、代入/加减消元法、换元法|从思想到方法，构建三元转化二元的推理链条| |换元法|7题|整体代换简化方程组|体现数学抽象与模型意识| |解的应用|8题|解的性质应用（相反数、和差关系）|强化解与参数的关联推理| |含参问题|24题|参数求解与解的关系分析|提升运算能力与逻辑思维| |同解/错解/整数解|5-7题/类|同解联立求解、错解参数还原、整数解枚举|突出方程解的本质与变式应用| |解三元一次方程组|5题|消元转化为二元方程组|延续消元思想的迁移应用| |压轴真题|8题|综合应用与创新题型|对接中考，培养应用意识与创新思维|

专题05 二元一次方程组重难点题型分类 【题型1：换元法解二元一次方程组 1】 【题型2：二元一次方程组解的应用 6】 【题型3：二元一次方程组含参问题 11】 【题型4：二元一次方程组同解问题 18】 【题型5：二元一次方程组错解问题 23】 【题型6：二元一次方程组整数解问题 27】 【题型7：解三元一次方程组 32】 【题型8：压轴真题 37】 换元法解二元一次方程组 1．若方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题运用整体换元的思想，根据二元一次方程组解的定义，将所求方程组中的整体部分对应原方程组的未知数，再根据原方程组的已知解列方程求解即可． 【详解】解：令，，则所求方程组可化为， ∵原方程组 的解为 ， ∴对于方程组，其解为， ∴， 解第一个方程得：，即， 解第二个方程得：， ∴所求方程组的解为 2．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二元一次方程组解的定义，通过对已知方程组变形，对比待解方程组的对应项即可求出解． 【详解】解：∵ 方程组的解是， ∴ 将代入方程组得    ， 将方程组两边同时除以，整理得，对比待解方程组， 可得． 3．关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，先将方程组变形为，再根据题意得到，即可求出最后结果． 【详解】解：方程组可变为：， ∵关于x．y的方程组的解为， ∴， 由①得：， 解得：， 由②得：， ∴方程组的解是， 故选：B． 4．已知：，是常数，若二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【分析】利用换元法将待求解方程组变形为与已知方程组结构相同的形式， 根据已知方程组的解得到关于新未知数的等量关系，求解即可得到结果． 【详解】解：设，，则待求解方程组可化为， 将方程组两边同时除以，得， 已知二元一次方程组的解是， ∴， 解得， 即， 解得． 5．若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则关于、的二元一次方程组的解是_____． 【答案】 【分析】将待求解方程组变形，利用同结构方程组的解的对应关系，得到关于新方程组未知数的关系，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程组的解为， ∴， 解得． 6．阅读探索，知识累积．解方程组． 解：设，，原方程组可变为 解方程组得：即，，所以．这种解方程组的方法叫换元法． (1)拓展提高 运用上述方法解下列方程组：； (2)能力运用 已知关于x，y的方程组的解为．直接写出关于m、n的方程组的解为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握换元法解方程组，是解题的关键． （1）利用换元法解方程组即可； （2）设，进而得到，求解即可． 【详解】（1）解：设，， 原方程可变为：， 解方程组得，即， 解得：； （2）解：原方程化为， 设则方程可化为， 则方程的解为，即， 解得：． 7．阅读材料： 善于思考的小亮同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形为，即③， 把方程①代入③，得，解得； 把代入方程①，得，所以方程组的解为． 请解决下列问题． (1)请模仿小亮同学用“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握“整体代换”法是解题的关键； （1）利用整体代换法进行求解即可； （2）把看成一个整体，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 将方程②变形为，即③． 把方程①代入③，得， 解得． 把代入方程①，得， 方程组的解为 （2）解：原方程组化为 ①②，得：， ． 二元一次方程组解的应用 1．如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”，若关于，的方程组是“关联方程组”，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，相反数的定义，把两个方程相加可得，再根据相反数的定义可得，据此即可求解，使用整体法解方程组是解题的关键． 【详解】解：， 得，， ∴， ∵互为相反数， ∴， ∴， 故选：． 2．已知关于，的方程组的解满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，根据二元一次方程组得解法得到，又，代入求值即可，熟练掌握知识点的应用及整体思想是解题的关键． 【详解】解： 得：， 又∵， ∴，解得：， 故选：． 3．关于x，y的方程组的解中x与y的差等于2，则m的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查已知二元一次方程组的解的情况，求参数的值，两个方程相加后，再根据解的情况，得到的一元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：， ，得： ∵x与y的差等于2， ∴， ∴， ∴； 故选C． 4．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当x与y互为相反数时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．利用二元一次方程的解及方程组的解定义判断即可． 【详解】解：①当时，方程组为 ①②得， 解得： 将代入②得， 解得： 方程组的解为：， ∴是方程的一个解，符合题意； ②关于，的方程组 ①②得， 解得： 将代入②得， 方程组的解为：， 当当x与y互为相反数时，， 解得：，故②不符合题意； ③，不论取什么实数，的值始终不变，③符合题意； ④当时，方程组的解为：， 则，④不符合题意． 所以以上四种说法中正确的有①③． 故选：B． 5．若关于x，y的方程组的解x与y互为相反数，则k的值为______． 【答案】1 【分析】本题主考查二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握方程组的解以及解二元一次方程组是解题的关键． 根据方程组的解x与y互为相反数，即可将替换成，解关于与的方程即可． 【详解】解：∵x与y互为相反数， ∴，即， 把代入，可得：， 解得：， 故答案为：1； 6．已知关于的二元一次方程组的解满足与的值之和等于6，则的值为___________． 【答案】8 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数． 先求出的值，再根据与的值之和等于6求解即可． 【详解】解：， 得， ∵与的值之和等于6， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查解二元一次方程组．读懂题意，理解“邻好关系”是解题关键． （1）由方程组中变形可得，即满足，说明该方程组的解，满足，即该方程组的解与具有“邻好关系”； （2）利用加减消元法求得，，得到，再根据“邻好关系”的定义，即得出，解出m的值即可． 【详解】（1）解：， 由②得：，即满足． ∴方程组的解，具有“邻好关系”； （2）解：方程组， 得：， 解得， 将代入得，， 解得， ∴． ∵方程组的解，具有“邻好关系”， ∴，即， ∴或． 8．已知关于x，y的方程组． (1)当时，的值为________； (2)若x和y互为相反数，求m的值； (3)无论m取何值，方程总有一个恒定不变的解，该解为________． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）把代入方程组，整理可得：，利用加减消元法解方程组求出，的值，然后代入计算即可； （2）由题意可知，和互为相反数，由此可得，即，把代入方程，可得，则，把的值代入方程，进而得出的值； （3）将方程整理为关于的等式，令的系数为，从而确定和的值即可． 【详解】（1）解：把代入方程组，可得 ， ，得：， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：∵和互为相反数， ，即， 把代入方程，得：， 解得：， ∴， 把，代入方程，得：， 解得：； （3）解：， ， ， 解得：， ∴无论取何值，方程总有一个恒定不变的解，该解为， 故答案为：． 二元一次方程组含参问题 1．若是关于x和y的二元一次方程的解，则a的值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得， 故选：A． 2．已知方程组的解满足x与y互为相反数，则k的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【详解】解：∵ ∴得：，即， ∵x，y互为相反数， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 3．若方程组的解中，则等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【详解】解：， 可得：， ∴同除可得：， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 4．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为 ． 【详解】解：， 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 5. 若是二元一次方程，则 ， 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 6. 当方程是二元一次方程时，则 ， ． 【详解】解：方程是二元一次方程， 且， 即①且②， ①②，得， ， 把代入①，， ． 故答案为：3，0． 7. 若是关于x，y的二元一次方程， ． 【详解】根据题意，得且． 解得或者，且． 所以． 故答案是：． 8. 已知是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【详解】解：是关于x、y的二元一次方程， ，，， ，， ， 故答案为：． 9. 若是关于和的二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【详解】解：把代入方程中得：， 解得：． 故答案为：2． 10. 已知是方程的一个解，则的值为 ． 【详解】解：把代入，得 ， 解得：， 故答案为：2． 11. 已知是方程的解，则代数式的值为 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴． 故答案为：2 12. 已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值是 ． 【详解】∵是二元一次方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为： 13. 已知方程组 的解是，则m，n的值是 ． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：． 14. 已知是二元一次方程组的解，则的值是 ． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 15. 已知，是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【详解】解：把代入方程组，得：， 解得：， ∴； 故答案为：9． 16. 若是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为 ． 【详解】解：把代入中得： ， 解得：， ， 故答案为：10． 17. 若方程组 的解满足，则等于 ． 【详解】解： 得：， ， ， 解得， 故答案为：5． 18. 当 时，方程组的解互为相反数． 【详解】解：由题意得，把代入方程得， 整理得， 把②代入①，得 ， ∴时，原方程组的解互为相反数， 故答案为：． 19. 已知关于x，y的方程组的解的和是k，则 ． 【详解】解：， ，得：， ∵， ∴， ∴，故答案为：． 20. 若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 【详解】解：方程两式相加得：， 即； 由于， 即， 解得：； 故答案为：2025． 21. 若二元一次方程组的解为，则 ． 【详解】解：将代入方程组， 得：， 得：， ， 故答案为：． 22. 若方程组中，的值与的值的和为3，则的值为 ． 【详解】解：将和联立， ， 解得， 将代入， ， 解得， 故答案为：． 23. 无论m为何值，关于x，y的方程组都有解，则 ． 【详解】解：， ，得， 即 ∴， ∵无论m为何值，方程组都有解， ∴，即， 且， ∴． 故答案为：6 24. 关于x，y的二元一次方程，当k取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是 ． 【详解】解：原方程可变形为：， 根据题意可知，该方程的解与k值无关； ∴，解得：， 故答案为：． 二元一次方程组同解问题 1．已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把两个方程组中不含未知数和含未知数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可． 【详解】解：关于，的方程组与有相同的解， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， ，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， 原方程组的解是， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， 解得：， ； 故选：C． 2．若关于的方程组和有相同的解，则的值是（ ） A．－1 B．1 C．－5 D．5 【答案】A 【分析】由题意可知方程组和有相同的解，由可得，代入可得a，b的值，即可求的值． 【详解】解：根据题意，则， 由得：，解得：， 把代入①得：， 解得：； 把代入，则， 解得：， ， 故选：A． 3．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题． 利用不含参的两个方程联立方程组求解，再代入含参方程列二元一次方程组后两式相加即可． 【详解】解：由题可列方程组， 解得， 把代入得， ①+②得， ， ． 故选：B． 4．已知方程组和方程组的解相同，则的值是_____． 【答案】 【分析】联立两方程组中不含与的方程形成新的方程组，求解新方程组得到与的值，代入剩下的方程求出与的值，最后代入求解即可． 【详解】解：联立得：， ①②得：，即， 把代入①得：， 将代入得， 将代入得， 联立得， 解得：，， 则． 5．若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，求a与b的值． 【答案】的值为4，的值为 【分析】先利用加减消元法求出第二个方程组的解，再代入第一个方程组，利用加减消元法解方程组即可得． 【详解】解：， ①②得：，解得， 将代入①得：，解得， ∴这个方程组的解为， ∵关于的方程组与关于的方程组有相同的解， ∴， ③④得：，解得， 将代入④得：，解得， ∴的值为4，的值为． 6．已知关于的方程和方程组有相同的解． (1)求它们相同的解； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组同解问题及代数式求值，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）因为两个方程及方程组有相同解，所以先联立不含的方程与，解方程组求相同解． （2）将（1）中求得的解代入含的方程，求出，再代入计算 ． 【详解】（1）解：联立方程 方程的两边同乘得 ① 方程的两边同乘得 ② 得： 把代入得： ∴相同的解为； （2）解：把代入得： ∴． 7．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）解方程组，利用加减消元法，很快可求得此方程组的解为______； （2）如何解方程组呢？我们可以把，看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______； 由此请你解决下列问题： 若关于，的方程组与有相同的解，求、的值． 【答案】（1）；（2）；，． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程组的意义，并利用整体思想解题是关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可得； （2）直接根据（1）的结论可得，由此即可得；根据两个方程组有相同的解求出，的值，继而求出的值即可得． 【详解】解：（1）， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 则方程组的解为， 故答案为：； （2）由（1）得：， 解得：， 即原方程组的解为， 故答案为：； ，的方程组与有相同的解， ， 解得：， 将代入方程得：，解得：， 将代入方程得：，解得：， 则，， 解得：，． 二元一次方程组错解问题 1．解方程组时，小郑正确解得，而小童只看错了，解得，则的值是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】正确解满足原方程组所有方程，小童只看错c，因此其解满足第一个方程，据此列出方程求解、、，再计算即可． 【详解】解：∵小郑的解是原方程组的正确解， ∴代入原方程组得， 解得，， ∵小童只看错，因此满足， ∴代入得， 整理得， 联立得方程组， 解得：，， ∴． 2．在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入中可求出a，b的值，再把a，b的值代入中，解关于x，y的方程组即可解答． 【详解】解：把代入中可得：， 解得， 把代入中可得，， 解得：． 3．小莹和小亮同时解关于，的方程组，小莹解得正确结果为，小亮因为抄错了，解得错误结果为，则______． 【答案】3 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把代入方程组得，再把代入方程组中第一个方程得，联立①②③，求出，，的值代入计算即可． 【详解】解：把代入方程组得， ∵是方程的一组解， ∴， 联立①②③，并解得， ∴， 故答案为：3． 4．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为．试计算的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组错解问题，关键是将解代入没看错的方程即可求出参数的值． 将代入，求得的值，将代入，求得的值，即可求出最后结果． 【详解】解：将代入，得， 解得， 将代入，得， 解得， ∴． 5．甲，乙两名同学解方程组．甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，二元一次方程组的错解复原问题： （1）根据题意可得甲求出的方程组的解满足方程②，乙求出的方程组的解满足方程①，据此可得，解之即可得到答案； （2）根据（1）所求，代值计算即可． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程①中的， ∴甲求出的方程组的解满足方程②， 同理乙求出的方程组的解满足方程①， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴ ． 6．已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解复原问题；甲看错了方程（1）中的 ，但其解满足方程（2）；乙看错了方程（2）中的 ，但其解满足方程（1）．分别代入对应方程求出 和 ，再解原方程组． 【详解】解：甲的解为 ，代入方程（2）得 解得： 乙的解为 ，代入方程（1）得 解得： 原方程组为 由 得 ， 代入另一方程得 解得： 代入 得 所以方程组的解为 二元一次方程组整数解问题 1．关于x，y的方程组，有正整数解，则正整数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了方程组的整数解，首先由第二个方程得到，代入第一个方程，求得，根据是3的正倍数即可求解． 【详解】解：， 由②得：，代入①得：， 则， ∵原方程组有正整数解， ∴则或或， 解得：或或， 为正整数， 则或， 则正整数的个数为2， 故选：C． 2．已知m为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数m的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，解不等式组，解题的关键是利用①②，求出，列出关于m的不等式组解题即可． 【详解】解：， ①②得：，即， ∵， ∴， 解得， ∴整数m的值为2024， 故选C． 3．已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则符合条件的整数的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法的计算是关键． 运用加减消元法，代入消元法解二元一次方程组，再根据解均为整数列式判定即可． 【详解】解：， 得，， 整理得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程组的解为， ∵方程组的解均为整数， ∴的值可为， ∴符合条件的整数的值有个， 故选：D ． 4．关于，的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是______． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先解方程组，二元一次方程组的解为正整数求出的值，再求和即可，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：， 解得， ∵，为正整数， ∴，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：． 5．已知方程组有非负整数解，则正整数m的值有______个． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组和非负整数解的应用．熟练掌握解二元一次方程组的方法和非负整数解的应用是解题的关键． 首先解含参方程组，得到，的表达式，再根据，是非负整数找出正整数的所有可能取值即可． 【详解】解：解方程组 得， ∵方程组的解是非负整数 ∴ 即， ∵方程组的解是非负整数，且为正整数， ∴和为非负整数， 由为非负整数可知，为8的正约数， ∵为正整数， ∴， ∴可取2，4，8， 解得可取1，3，7， 当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，不符合题意； 综上，正整数的值有1和3，共2个 故答案为：2． 6．关于x，y的方程组（n是常数）． (1)当 时，直接写出第一个方程的所有非负整数解； (2)当时，该方程组的解也满足，求m； (3)当时，如果方程组也有整数解，求整数m． 【答案】(1)， (2) (3)或0 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定的值是解题关键． （1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解； （2）先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案； （3）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵，为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为 ，； （2）∵根据题意可得， 解得， 将代入中， 解得 ； （3）当时，原方程组可化为， 由，可得 ， 整理可得， ∵方程组有整数解，且为整数， ∴或， 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）； 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）． 综上所述，整数的值为或0． 7．已知，关于x、y的二元一次方程组的解是正整数，求整数p的值． 【答案】5或7 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，通过加减消元法用p表示出x、y成为解题的关键． 先用含p的式子表示x和y，再根据题意得出整数p的值即可． 【详解】解： ②×3，得．③ ①-③，得，解得：， ②×5，得④ ④-①，得，解得：． ∵x，y是正整数， ∴，解得：． ∵p是整数， ∴p=5，6，7． 又∵x，y都是正整数， ∴当时，不合题意，舍去， ∴或7． 解三元一次方程组 1．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解三元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． （1）根据加减消元法求解即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ，得 ．④ ，得 ．⑤ ，得 ， 解得． 把代入④，得 ， 解得． 把代入③，得 ， 解得． 所以原方程组的解为 （2） ，得 ．④ ，得 ， 即．⑤ ④与⑤组成方程组，得 解得 将代入①，得 ， 解得． 所以原方程组的解为 2．解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三元一次方程组，主要掌握两种方法，“代入消元法” 和 “加减消元法”， （1）将两端乘以，与相减消去，然后与构成关于，的二元一次方程组，即可求解； （2）由得到，然后代入到和中，即可构成关于和的二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解：原方程组为， ， 将得， ， 和构成方程组为， ， 将得，依次代入可得， ． （2）原方程组为： ， 将代入到和式子可得， ， 解得和，代入式可得， ． 3．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法求解． 【详解】解：由得：， 解得：， 由得： ④， 将代入④得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 4．在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②−①得到③，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 【答案】(1)40 (2)1 【分析】本题考查利用“整体思想”和“消元、转化”方法解三元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可； （2）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可． 【详解】（1）解： 得， ， 将原方程变形成 ， 将③代入④，得，， ． （2）解：， ①+②得： ， 将原方程变形成： ， 将③代入④，得 ． 5．【学习材料】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例如：已知，求的值． 解：②①得，③ ③得， 所以，的值为3． 【类似迁移】 （1）已知，求的值． 【实际应用】 （2）学校运动会即将到来，六（2）班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元；六（2）班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？ 【答案】（1）18；（2）450元 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意并列得正确的方程组是解题的关键． （1）将两个方程相加后再两边同时除以2即可； （2）设买一条彩带需要x元，一个头饰需要y元，一面小红旗需要z元，根据题意列得方程组，然后整体求值即可． 【详解】解：（1）②+①得，③， 得，， 所以，的值为18； （2）设买一条彩带需要x元，一个头饰需要y元，一面小红旗需要z元， 由题可得， 得：， 所以，， 答：购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要450元． 压轴真题题型8 一、单选题 1．（25-26七年级上·河北唐山·月考）对于代数式，小明分别计算了当时该代数式的值，得到以下四个结论，嘉淇发现其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（   ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 【分析】本题考查了代数式的求值、解方程组，通过假设每个结论错误，验证其余三个结论是否一致，找出唯一矛盾的情况． 【详解】解：假设①错误，则②、③、④正确： 联立②和③：， 解得，，代入④得，矛盾，故①不可能错误． 假设②错误，则①、③、④正确： 联立①和③：， 解得，，代入④得，④正确，代入②得，仅②错误，符合题意． 假设③错误，则①、②、④正确： 联立①和②：， 解得，，代入④得，矛盾，故③不可能错误． 假设④错误，则①、②、③正确： 联立①和②：， 解得，，代入③得，矛盾，故④不可能错误． 综上，错误的结论是②． 故选：B． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）若关于，的方程组有正整数解，则符合条件的整数的和为（   ） A．8 B．7 C．3 D．2 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组的解的情况求参数，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 通过消元法得到，由y为正整数可知为6的正约数，代入验证x是否为正整数，从而确定符合条件的a值，并求其和． 【详解】解：原方程组为： 得： 得：， ， ∵ y为正整数， ∴为6的正约数，即， ∴ a的值为：， 分别代入求x： 当时，，代入：，解得，为正整数，符合； 当时，，代入：，解得，非整数，不符合； 当时，，代入：，解得，为正整数，符合； 当时，，代入：，解得，非整数，不符合． ∴符合条件的整数a为0和2，其和为． 故选：D． 3．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 二、填空题 4．（25-26七年级上·重庆·期末）我们规定，一个四位正整数，若满足，则称这个四位数为“倍分数”，例如：四位数5228，因为，所以5228是“倍分数”．按照这个规定，最大的“倍分数”是 ．一个“倍分数”将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记F（M）＝，Q（M）＝，若被7除余2，则满足条件的所有“倍分数”M中，最大值与最小值的和是 ． 【分析】本题考查了整式加减的应用，二元一次方程的解，数字类规律的探索，首先，根据“倍分数”的定义由得，然后判断出c为偶数，且，取，则，故，取，得；根据题意计算 和 ，代入表达式 ，化简后得到，再分情况当时与时，枚举 和可得所有满足条件的，计算出其和即可解答． 【详解】解：， ， ∵a、b、d均为整数，一定是偶数， ∴一定是整数， ∴c为偶数， ∵， ∴， 当数为最大的“倍分数”时，千位取最大的9， ， ， ， 令，则， ， 取，则，故 ，取最大的时，，得最大的“倍分数”是； 对于满足条件的，有，， ， ， ， ， ， ， 当时，， ∵被7除余2， 令（为整数）， ， ， 是7倍数， 由可知c为偶数，且， ， 经检验当或时，是7倍数， 当时，有，代入方程中，当，时有最小数， 当时，有，或， 将代入方程中，当，时有最大数； 当时，， ∵被7除余2， 令（为整数）， ， 是7倍数，即是7倍数， 由可知c为偶数，且，， 为偶数， ， 经检验当（是奇数，舍）时，是7倍数， 当时，有，或； 将代入方程中，当，时有最大数， 综上所述，最大数为8129，最小数为1141，和为， 故答案为：9289，． 三、解答题 5．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则所求方程组可化为，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 故方程组的解为； （3）解：设，，则可化简得， 关于，的二元一次方程组的解为， 的解，即有， 解得：． 故方程组的解为：． 6．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）定义运算：．数轴上点P从表示数m的点出发，以每秒2个单位向正方向运动，同时点Q从表示数n的点出发，以每秒1个单位向正方向运动．点P对应的数为p，点Q对应的数为q，运动时间为t秒． (1)若，求的值． (2)若，，，求运动时间t的值． (3)若，运动秒时，，直接写出的值． 【分析】（1）根据点P从出发，速度为每秒2单位，向正方向运动，可求得，再根据点Q从出发，速度为每秒1单位，向正方向运动，可求得，从而可求得； （2）先用t分别表示出p与q，从而可根据定义用t表示出，再当时，分，两种情况分别求解，当时，分，两种情况分别求解即可； （3）当运动秒时，，，根据，得出（①），（②），根据，得出（③），根据，得出（④），再得出（⑤），然后根据，联立⑤、③求得一组解，；，联立⑤和④求得第二组解：，． 【详解】（1）解：因为点P从出发，速度为每秒2单位，向正方向运动， 所以， 因为点Q从出发，速度为每秒1单位，向正方向运动， 所以， 当， 时， ； （2）解：因为，， 所以， ， 所以 因为， 所以， 当时， ， 若，即， 则， 解得：， ，符合； 若，即， 则， 解得：， ，符合； 当时， ， 若，则， 解得：，符合； 若，则， 解得：，不符合， 综上所述，t的值为11或15或； （3）解：当运动秒时，，， 因为， 所以， 所以或， 因为， 所以（①）， （②）， 若， 则， （③） 若， 则， 所以（④） 而由①得：（⑤） 情况一：， 由⑤得： 由③得： 令，则， 所以（）， （）， 将代入， 得 若，则，无解； 若，则， 解得：，符合； 将代入， 得， 将，代入， 得， 所以得一组解，； 若，则，无解； 情况二：，联立⑤和④， 所以， 所以或， 当时，无解； 当时，解得： 将代入， 解得：， 将，，代入， 得， 解得：， 所以得第二组解：，． 【点睛】本题考查了列代数式，已知字母的值，求代数式的值，动点问题（一元一次方程的应用），三元一次方程组的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 7．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）定义：关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c互不相同，且均不为0）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为____________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【分析】本题考查解二元一次方程组，理解题意并列出正确的方程组是解题的关键． （1）根据题意写出方程的“变更方程”后组成方程组，解方程组即可； （2）根据题意写出方程 “变更方程”，解得的值，再根据求得的值，将其代入中得到，，的关系，然后将其代入中计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得方程的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得 故答案为：； （2）解：根据题意可得的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得． 即 是二元一次方程的一个解， 即， 8．（25-26八年级上·山西运城·月考）阅读与思考下面是小明同学研究二元一次方程组时的笔记片段，请完成相应任务． 【概念理解】关于x，y的二元一次方程，若将的系数与常数互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． 【问题解决】（1）的“对称方程”为_____①____，并直接写出由它们组成的方程组的解：__②____． （2）若关于x，y的二元一次方程与其“对称方程”组成的方程组的解为，  求的平方根． 任务： (1)问题解决（1）中的①为_____，②应填_____． (2)问题解决（2）中的的平方根为_____． (3)由二元一次方程和其“对称方程”组成的方程组的解为，求和的值． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知方程组的解求参数． （1）根据“对称方程”的定义得到的“对称方程”，得到方程组，求解即可； （2）根据“对称方程”的定义得到的“对称方程”，得到方程组，将代入方程组得到新的方程组，求出m的值，即可求出的值，求其平方根即可； （3）根据题意得到方程组，将代入方程组得到新的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：根据“对称方程”的定义可知的“对称方程”为，由它们组成的方程组为， 解得：， 故答案为：，； （2）解：根据“对称方程”的定义可知的“对称方程”为， 由它们组成的方程组为， ∵解为， ∴ 得：，即， 将代入①得：， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：； （3）解：由二元一次方程和其“对称方程”组成的方程组为， ∵解为， ∴， 解得：． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二元一次方程组知识梳理 1. 解二元一次方程组的思想： 2. 解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 3. 换元法解二元一次方程组：核心是以整体代换的思想进行消元 4. 解三元一次方程组的思想： 三元一次方程组 消元 代入或加减 二元一次方程组 消元 代入或加减 一元一次方程组 重难点题型分类 【题型1：换元法解二元一次方程组 1】 【题型2：二元一次方程组解的应用 3】 【题型3：二元一次方程组含参问题 4】 【题型4：二元一次方程组同解问题 7】 【题型5：二元一次方程组错解问题 8】 【题型6：二元一次方程组整数解问题 9】 【题型7：解三元一次方程组 10】 【题型8：压轴真题 12】 换元法解二元一次方程组 1．若方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3．关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 4．已知：，是常数，若二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是______． 5．若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则关于、的二元一次方程组的解是_____． 6．阅读探索，知识累积．解方程组． 解：设，，原方程组可变为 解方程组得：即，，所以．这种解方程组的方法叫换元法． (1)拓展提高 运用上述方法解下列方程组：； (2)能力运用 已知关于x，y的方程组的解为．直接写出关于m、n的方程组的解为______． 7．阅读材料： 善于思考的小亮同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形为，即③， 把方程①代入③，得，解得； 把代入方程①，得，所以方程组的解为． 请解决下列问题． (1)请模仿小亮同学用“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 二元一次方程组解的应用 1．如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”，若关于，的方程组是“关联方程组”，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知关于，的方程组的解满足，则（    ） A． B． C． D． 3．关于x，y的方程组的解中x与y的差等于2，则m的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 4．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当x与y互为相反数时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 5．若关于x，y的方程组的解x与y互为相反数，则k的值为______． 6．已知关于的二元一次方程组的解满足与的值之和等于6，则的值为___________． 7．对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 8．已知关于x，y的方程组． (1)当时，的值为________； (2)若x和y互为相反数，求m的值； (3)无论m取何值，方程总有一个恒定不变的解，该解为________． 二元一次方程组含参问题 1．若是关于x和y的二元一次方程的解，则a的值是（    ） A．3 B．4 C． D． 2．已知方程组的解满足x与y互为相反数，则k的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 3．若方程组的解中，则等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 4．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为 ． 5. 若是二元一次方程，则 ， 6. 当方程是二元一次方程时，则 ， ． 7. 若是关于x，y的二元一次方程， ． 8. 已知是关于x、y的二元一次方程，则 ． 9. 若是关于和的二元一次方程的一个解，则的值为 ． 10. 已知是方程的一个解，则的值为 ． 11. 已知是方程的解，则代数式的值为 12. 已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值是 ． 13. 已知方程组 的解是，则m，n的值是 ． 14. 已知是二元一次方程组的解，则的值是 ． 15. 已知，是二元一次方程组的解，则的值为 ． 16. 若是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为 ． 17. 若方程组 的解满足，则等于 ． 18. 当 时，方程组的解互为相反数． 19. 已知关于x，y的方程组的解的和是k，则 ． 20. 若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 21. 若二元一次方程组的解为，则 ． 22. 若方程组中，的值与的值的和为3，则的值为 ． 23. 无论m为何值，关于x，y的方程组都有解，则 ． 24. 关于x，y的二元一次方程，当k取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是 ． 二元一次方程组同解问题 1．已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．若关于的方程组和有相同的解，则的值是（ ） A．－1 B．1 C．－5 D．5 3．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 4．已知方程组和方程组的解相同，则的值是_____． 5．若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，求a与b的值． 6．已知关于的方程和方程组有相同的解． (1)求它们相同的解； (2)求的值． 7．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）解方程组，利用加减消元法，很快可求得此方程组的解为______； （2）如何解方程组呢？我们可以把，看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______； 由此请你解决下列问题： 若关于，的方程组与有相同的解，求、的值． 二元一次方程组错解问题 1．解方程组时，小郑正确解得，而小童只看错了，解得，则的值是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 2．在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 3．小莹和小亮同时解关于，的方程组，小莹解得正确结果为，小亮因为抄错了，解得错误结果为，则______． 4．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为．试计算的值． 5．甲，乙两名同学解方程组．甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求，的值； (2)求的值． 6．已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 二元一次方程组整数解问题 1．关于x，y的方程组，有正整数解，则正整数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知m为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数m的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 3．已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则符合条件的整数的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 4．关于，的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是______． 5．已知方程组有非负整数解，则正整数m的值有______个． 6．关于x，y的方程组（n是常数）． (1)当 时，直接写出第一个方程的所有非负整数解； (2)当时，该方程组的解也满足，求m； (3)当时，如果方程组也有整数解，求整数m． 7．已知，关于x、y的二元一次方程组的解是正整数，求整数p的值． 解三元一次方程组 1．解下列方程组： (1) (2) 2．解下列三元一次方程组： (1) (2) 3．解方程组： 4．在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②−①得到③，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 5．【学习材料】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例如：已知，求的值． 解：②①得，③ ③得， 所以，的值为3． 【类似迁移】 （1）已知，求的值． 【实际应用】 （2）学校运动会即将到来，六（2）班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元；六（2）班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？ 压轴真题题型8 一、单选题 1．（25-26七年级上·河北唐山·月考）对于代数式，小明分别计算了当时该代数式的值，得到以下四个结论，嘉淇发现其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（   ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 2．（25-26八年级上·重庆·期中）若关于，的方程组有正整数解，则符合条件的整数的和为（   ） A．8 B．7 C．3 D．2 3．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 二、填空题 4．（25-26七年级上·重庆·期末）我们规定，一个四位正整数，若满足，则称这个四位数为“倍分数”，例如：四位数5228，因为，所以5228是“倍分数”．按照这个规定，最大的“倍分数”是 ．一个“倍分数”将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记F（M）＝，Q（M）＝，若被7除余2，则满足条件的所有“倍分数”M中，最大值与最小值的和是 ． 三、解答题 5．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 6．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）定义运算：．数轴上点P从表示数m的点出发，以每秒2个单位向正方向运动，同时点Q从表示数n的点出发，以每秒1个单位向正方向运动．点P对应的数为p，点Q对应的数为q，运动时间为t秒． (1)若，求的值． (2)若，，，求运动时间t的值． (3)若，运动秒时，，直接写出的值． 7．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）定义：关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c互不相同，且均不为0）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为____________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 8．（25-26八年级上·山西运城·月考）阅读与思考下面是小明同学研究二元一次方程组时的笔记片段，请完成相应任务． 【概念理解】关于x，y的二元一次方程，若将的系数与常数互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． 【问题解决】（1）的“对称方程”为_____①____，并直接写出由它们组成的方程组的解：__②____． （2）若关于x，y的二元一次方程与其“对称方程”组成的方程组的解为，  求的平方根． 任务： (1)问题解决（1）中的①为_____，②应填_____． (2)问题解决（2）中的的平方根为_____． (3)由二元一次方程和其“对称方程”组成的方程组的解为，求和的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $