专题04 平面直角坐标系【重难点培优：知识梳理+6大题型+压轴真题】2025-2026学年人教版七年级下册数学重难点培优专题专练

**基本信息** 以坐标特征为核心，通过分类归纳（象限、对称等）、口诀提炼（平移规律）、方法总结（面积求法）构建系统性方法体系，知识逻辑从概念到应用层层递进，覆盖中考高频题型，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|系统归纳|坐标特征分类、平移口诀、面积直接/割补法|从点坐标概念生成，到平移/对称性质推导，再到距离/面积公式应用| |基础题型|10+基础题|坐标确定、平移作图技巧|对应坐标特征与平移规律的直接应用| |综合题型|5+综合题|面积割补法、动点运动过程分析|结合图形变换与动态问题，深化空间观念| |压轴真题|10+真题|跨知识综合应用|对接中考命题趋势，提升问题解决能力|

专题04 平面直角坐标系 重难点题型分类 【题型1：根据平面直角坐标中点的坐标特征求坐标 1】 【题型2：平面直角坐标中的平移 7】 【题型3：利用坐标确定物体的位置 13】 【题型4：在平面直角坐标系中作图 21】 【题型5：坐标系中图形面积问题 28】 【题型6：坐标系中动点问题 37】 【题型7：压轴真题 48】 根据平面直角坐标中点的坐标特征求坐标 1．在平面直角坐标系中，如果点在轴上，则点的坐标为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点在轴上， ∴，即， ∴点的坐标为． 2．已知点及第一象限的动点，且，设的面积为，当时，则点P的坐标为(    ) A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标；根据三角形面积公式及点在第一象限的条件求解，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：点、、构成的，以为底边，其长度为． 点到的垂直距离为，故面积公式为： 当时， 或 若，则，此时点为，在第一象限，符合条件 若，则，此时点为，在第四象限，不符合第一象限要求 选项C包含，但该点不在第一象限；选项B、D的坐标均含负数值，排除． 综上，唯一符合条件的点为，对应选项A． 故选：A． 3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴右侧，平行于x轴，且，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标，根据平面直角坐标系中点的坐标特征求解即可． 【详解】解：∵平行于x轴，点A的坐标为， ∴点B的纵坐标与点A相同，即， ∵， ∴ ，解得或， ∵点B在y轴右侧， ∴， ∴点B的坐标为， 故选：C． 4．已知点的坐标，且点到轴的距离是3，则点的坐标是______． 【答案】或 【分析】根据点到轴的距离等于点横坐标的绝对值，列出绝对值方程，求解的值，再代入计算得到点的坐标． 【详解】解：点到轴的距离是 或 解得或 当时，，． 此时点的坐标为； 当时，， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 5．若点到轴的距离为2，到轴的距离为3，且，则点P的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查点的坐标，点到坐标轴的距离． 由点到轴的距离为2，可得，由点到轴的距离为3，可得，结合，即可得点P的坐标． 【详解】解：∵点到轴的距离为2，到轴的距离为3， ∴，， ∴，， ∵， ∴，或， ∴点P的坐标为或． 故答案为：或． 6．已知点在第四象限，且点P到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则点P的坐标为 ___________ ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键．根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值确定出点的横坐标与纵坐标，即可得解． 【详解】解：点P在第四象限且到x轴距离为5，到y轴距离为3， ∴点P的横坐标是3，纵坐标是， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 7．方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，解答本题要掌握建立平面直角坐标系的方法．根据以点为原点重新建立直角坐标系，点的横坐标与纵坐标分别为点的横坐标与纵坐标的相反数解答即可． 【详解】解：在方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为，若以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为． 故答案为：． 8．已知点，解答下列各题． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标． (2)若点P到y轴的距离为3，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据x轴上的点纵坐标为0解答即可； （2）根据点P到y轴的距离为3，得出，求出m的值，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵点P到y轴的距离为3， ∴， 解得：或， 当时，，， ∴此时点P的坐标为； 当时，，， ∴此时点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 9．在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点P在x轴上时，求出点P的坐标； (2)当直线平行于x轴，且，求出点P的坐标； (3)若点P到x轴和y轴距离相等，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查坐标平面内图形性质与点坐标特点，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）点P在x轴上时，点P的纵坐标为零，据此列方程即可求解； （2）直线平行于x轴，即P点纵坐标等于A点纵坐标，据此列方程求解即可； （3）点P到x轴，y轴距离相等，即P点纵坐标的绝对值等于横坐标的绝对值，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， ， 此时， ∴点P的坐标为； （2）解：∵直线平行于x轴，且， ∴， 解得， 此时， ∴点P的坐标为； （3）解：点P到x轴，y轴距离相等， ∴， 或， 解得：或． 10．在平面直角坐标系中，对于点，，记，，将称为点A，B的横纵偏差，记为，即．若点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的横纵偏差，记为． (1)，， ①的值是 ； ②点K在y轴上，若，则点K的坐标是 ． (2)点P，Q在x轴上，点P在点Q的左侧，，点M的坐标为，求线段在x轴上运动时，直接写出的最小值及此时点P的坐标． 【答案】(1)①；②或 (2)的最小值为，此时点P的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形综合，理解新定义，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）①根据定义计算即可得出结果；②设点的坐标为，则，，再结合，得出，计算即可得出结果； （2）设，则，设线段上任意一点的坐标为，则，求出，则就是在区间上，与的差的绝对值的最大值，要使这个最大值最小，当离越远，越大，越大，当在附近，可能较大（接近，差接近），故可以让尽量远离，并且让的两个端点到的距离相等，分三种情况：当区间在轴的正半轴，即时，此时，最大值出现在端点，为或；当区间在轴的负半轴，，即时，此时，最大值出现在端点，为或，当时，分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵，， ∴，， ∴； ②∵点K在y轴上， ∴设点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； （2）解：∵点P在点Q的左侧，， ∴设，则， 设线段上任意一点的坐标为，则， ∵点M的坐标为， ∴， ∴就是在区间上， 与的差的绝对值的最大值， 要使这个最大值最小，当离越远，越大，越大，当在附近，可能较大（接近，差接近），故可以让尽量远离，并且让的两个端点到的距离相等， 当区间在轴的正半轴，即时，此时，最大值出现在端点，为或， 令， 解得， 此时，， 当区间在轴的负半轴，，即时，此时，最大值出现在端点，为或， 令， 解得， 此时，， 当时，，故该情况下无最小值， 综上所述，的最小值为，此时点P的坐标为或． 平面直角坐标中的平移 1．将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，点P恰好落在x轴上，则点P的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移的规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 由点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，知点P坐标为，再根据点P正好落在x轴上知，得出m的值，据此可得答案． 【详解】解：将点向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度得到点P， 则点P坐标为， 由点P正好落在x轴上知， 解得， 则， 点P坐标为， 故选： 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移，使得点A平移到点，则平移后点B的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据点平移到点可得该线段平移的方法，用这个平移方法即可得到平移后点B的坐标．本题考查了平移，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：点A的坐标为，点A平移到点， 故平移的方法为：向右平移2个单位，向上平移4个单位， 故将点向右平移2个单位，向上平移4个单位后，坐标为， 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移后，其中一个点的坐标变为，则另一个的坐标变为（ ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标系中点的平移规律，熟练掌握点的坐标平移规律是解题的关键．利用点平移的坐标变化规律横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，分两种情形分别求解． 【详解】解：分以下两种情况： ①若平移后坐标变为， 可知点向左平移个单位，向下平移个单位， 点坐标平移后变为； ②若平移后坐标变为， 可知点向左平移个单位，向上平移个单位， 点坐标平移后变为． 综上所述：另一个点的坐标为或． 故选：B． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，将线段平移至的位置，则的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质， 根据平移变换的规律解决问题即可． 【详解】解：由题意，线段向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到线段， ∴， ∴， 故答案为：2． 5．下图所示的“鱼”图案是将坐标为，，，，，，，的点用线段依次连接而成的． (1)若纵坐标保持不变，横坐标分别加上3，在上图中画出所得的图案． (2)若横坐标保持不变，纵坐标分别减去2，在上图中画出所得的图案． (3)通过以上两种变换，你发现了什么规律？请用简洁的语言加以概括． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)通过以上两种变换，我发现：横坐标（纵坐标）加上或减去n，图案形状不变，即向右（向上）或向左（向下）平移n个单位长度． 【分析】（1）（2）根据平移的规律即可得出答案； （3）根据（1）（2）中画出的相应图形，由图形可以得到两幅图形的位置关系，从而找到相应的规律． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：示例：通过以上两种变换，我发现：横坐标（纵坐标）加上或减去，图案形状不变，即向右（向上）或向左（向下）平移个单位长度． 【点睛】本题考查坐标与图形性质，主要利用了点的位置的确定，几何图形的变化，能根据题意画出图案是解题的关键． 6．如下图，将面积为的沿x轴正方向平移至的位置，相应的坐标如下图所示（a，b为常数），求： (1)点D，E的坐标． (2)四边形ACED的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1） 利用平移性质，由到的平移距离，确定平移后的坐标． （2） 由平移得，判定四边形为梯形，代入梯形面积公式计算． 【详解】（1）解：（1）∵沿轴正方向平移至的位置， ∴平移距离， ∴， ∴，． （2）（2）为直角三角形，面积为: 则， 由平移的性质，得， ∴四边形为梯形， ∴． 【点睛】本题考查了平移的性质、梯形的判定与面积计算，掌握平移前后对应点的坐标变化规律，以及利用梯形面积公式计算不规则图形面积是解题的关键． 7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，将进行平移，平移后点，，的对应点分别是点，,．点，点，点，点． (1)若，求的值； (2)若点，其中．直线交轴于点，且的面积为，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）从点和点的坐标确定平移方式，从而表示出点的坐标，对比后求出的值； （2）仿照（1）的解法，先确定平移方式，再求出，，则点，，从而判断出轴，因此点的坐标为．利用坐标计算出，，再结合的面积为，求出，从而得到，，，，因此． 【详解】（1）解：∵， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴平移方式为向右平移1个单位，再向下平移个单位， ∵点， ∴点的坐标为， ∴，， ∴，； （2）解：∵点，点， ∴平移方式为向右平移个单位，再向下平移个单位， ∵点， ∴点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴轴， ∴点的坐标为， ∴，， ∵， ∴，解得（负值，舍去）， ∴点，，， ∵点由点向右平移个单位，再向下平移个单位得到， ∴点， ∵，， ∴． 利用坐标确定物体的位置 1．五子棋的比赛规则：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子为获胜方．在如图所示的一盘棋中，若①的位置是，②的位置是，现轮到黑棋走，小明认为黑棋放在位置胜利；小亮认为黑棋放在位置胜利．下列说法正确的是（   ） A．小明、小亮均正确 B．小明、小亮均错误 C．小明正确，小亮错误 D．小明错误，小亮正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了用坐标系确定位置，根据题意建立适当平面直角坐标系进行求解是解决本题的关键．根据题意白棋①的位置是，黑棋②建立坐标系可确定原点的位置，依据题目所给规则进行判定即可得出答案． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，黑棋放在或位置就胜利了． ∴小明、小亮均正确， 故选：A． 2．在如图所示的象棋盘上，建立适当的平面直角坐标系，使“炮”位于点上，“相”位于点上，则“帅”位于点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标确定位置，先根据“炮”和“相”的坐标建立平面直角坐标系，从而得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可建立如图所示的平面直角坐标系： ∴“帅”位于点， 故选：A． 3．如图是一片桑叶标本，完整叶片呈宽卵形，顶端微尖，边缘有锯齿．将其放在平面直角坐标系中，若表示叶片顶端A、边缘B两点的坐标分别为、，则叶柄末端C点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据，的坐标确定出坐标轴的位置，点的坐标可得． 【详解】解：，两点的坐标分别为、， 得出坐标轴如图所示位置： ∴． 故答案为：． 4．如图是两艘舰艇的位置示意图，舰距离舰16海里，用方向和距离描述舰相对舰的位置为_____． 【答案】南偏西，海里处 【分析】本题考查用方向角和距离表示实际位置，根据方向角的表示方法，得到舰在舰的北偏东，距离海里处，进而得到舰相对舰的位置为南偏西，距离海里处，即可． 【详解】解：由图可知：舰在舰的北偏东，海里处， ∴舰相对舰的位置为南偏西，海里处； 故答案为：南偏西，海里处 5．你玩过五子棋吗？它的比赛规则是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格（设每个网格的边长为1）的格点处下一子，两人轮流下，只要连续的同色的5个棋子先排成一条直线（横、竖、斜均可）就算获胜．如图，是两位同学正在玩的一盘棋，若棋盘上白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． (1)请你根据题意，画出相应的平面直角坐标系； (2)在坐标系中找出坐标为的棋子，并在棋子上用数字3表示出来； (3)现轮到黑棋下，要使黑棋这一步要赢，请写出这一步黑棋的坐标； (4)求标有数字1，4，5的三枚棋子围成的三角形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)，表示见详解 (3)或 (4) 【分析】本题考查了坐标系的建立，利用坐标确定位置，确定坐标轴的位置是解题的关键． （1）根据白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为即可建立坐标系； （2）在坐标系中找到点即可； （3）根据比赛规则，只要连续的同色5个先成一条直线就算胜，即可找出黑棋要放置的位置坐标． （4）根据图形可得三角形的底边和高的长度，利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系； （2）解：坐标为的棋子如图所示； （3）解：要使黑棋这一步要赢，这一步黑棋的坐标为或； （4）解：棋子1，4，5构成的三角形的面积为． 6．如图是小华所在学校的平面示意图，图中的小方格都是边长为1个单位长度的正方形，1个单位长度表示．小华建立平面直角坐标系，得到生物园的坐标为，办公楼的坐标为，学校大门、教学楼、实验楼和操场的位置都在网格线的交点上． (1)在图中画出符合条件的平面直角坐标系； (2)用坐标表示下列位置：操场______，实验楼______； (3)若艺术楼在教学楼以东300米，再往北200米，请在图中标出来．（不必写坐标） 【答案】(1)平面直角坐标系见解析部分 (2)， (3)见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系的应用，熟练运用平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据题意，建立平面直角坐标系； （2）根据平面直角坐标系得到各点坐标； （3）在图中标出艺术楼点坐标即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图， （2）解：根据（1）中坐标系可得操场，实验楼； （3）解：艺术楼如图． 7．中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图①中“马”所在的位置可以直接走到点、处． (1)如果“帅”位于点，“相”位于点，则“马”所在的点的坐标为__________，点的坐标为__________，点的坐标为__________． (2)若“马”的位置在点，为了到达点，请按“马”走的规则，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示． 【答案】(1)，， (2)图见解析，． 【分析】此题考查坐标确定位置，能够将实际问题转化为平面直角坐标系中点的关系是解题的关键． （1）由“相”与“帅”的坐标，可得到答案； （2）路线不唯一，标出一种即可． 【详解】（1）解：如果“帅”位于点，“相”位于点，则“马”所在的点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，， （2）如图， 路线为：． 8．临黄河而知中国，临河洛而知华夏．洛阳因地制宜、科学规划实施“一中心六组团”城市发展战略，一座座地标性建筑点缀在历史、现代、未来3个城市轴线上，一个错落有致、疏密有度、古今辉映、山环水润，具有洛阳特色的城市格局跃然而现．下图是洛阳内部分建筑物的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形．若丽景门的坐标为，洛阳博物馆的坐标为． (1)请你根据题目条件在图中画出平面直角坐标系，并写出白马寺的坐标； (2)若洛邑古城的坐标为，龙门石窟的坐标为，请在图中标出洛邑古城和龙门石窟的位置． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系的应用，正确画出平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据题意画出平面直角坐标系，并写出白马寺的坐标； （2）根据坐标即可确定位置． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示．白马寺的坐标为； （2）解：洛邑古城和龙门石窟的位置如图所示． 9．作图计算 下面每个小正方形的边长表示，请你按要求填空或作图． (1)图中点记作(___________，___________)，那么点在点的___________方向，距离___________处； (2)以边所在的直线为对称轴画出三角形的轴对称图形，记作三角形①； (3)画出三角形向右平移四格后的图形，记作三角形②；在这个过程中，三角形扫过的面积是___________； (4)把三角形按的比画在合适的位置，记作三角形③； (5)如果把三角形绕边旋转一周形成了一个几何体，它的体积是___________．（取） 【答案】(1)4，3；正北，3； (2)见解析； (3)见解析，15； (4)见解析； (5)． 【分析】本题考查了平移，圆锥的体积等知识，解题的关键是： （1）根据图形可求解； （2）根据平移的性质画出图形即可求解； （3）根据平移的性质画出图形即可； （4）根据比例关系画出图形即可； （5）由圆锥的体积公式可求解． 【详解】（1）解：图中点记作，那么点在点的正北方向，距离处； 故答案为：4，3；正北，3； （2）解∶ 以边所在的直线为轴画出三角形的轴对称图形，记作三角形①． （3）解∶ 如图，画出三角形向右平移四格后的图形，记作三角形②； 在这个过程中，三角形扫过的面积， 故答案为：15； （4）解∶ 如图，把三角形按的比画在合适的位置，记作三角形③； （5）如果把三角形绕边旋转一周形成了一个（圆锥），它的体积， 故答案为：． 在平面直角坐标系中作图 1．如图，边长为1个单位长度的小正方形组成的方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上．已知，． (1)根据题意建立平面直角坐标系； (2)将向右平移3个单位，再向上平移5个单位得到，请画出；并写出点的坐标________ (3)在图中找一个格点D，连接使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析； (3)见解析 【分析】本题考查平移变换作图、平行线的性质、平面直角坐标系的定义，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据点A坐标可知，点A在轴上，原点在A点右侧3个单位长度处，即以点B为原点，为轴建立平面直角坐标系； （2）利用平移变换的性质得到点、、的位置，再依次连接即可； （3）取格点D，连接，使得即可． 【详解】（1）解：如图，平面直角坐标系即为所求； （2）解：如图，即为所求； 则的坐标为； （3）解：如图，取格点D，连接， ， ， 点D即为所求． 2．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出将先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后得到． (2)计算的面积． 【答案】(1)见解析 (2)5.5 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）把的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出向右平移5个单位，再向下平移4个单位的； (2)写出点，，的坐标：__________，__________，__________； (3)在外部能否找到一点，使且，如果能，请直接写出点的坐标，如果不能请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3) 【分析】（1）根据平移作出即可； （2）由图即可写出，，的坐标； （3）由，可得点的横坐标与点的相同，由，可得，则可得点的纵坐标，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由（1）图可得，，；． （3）解：，，，， 点的横坐标为4，， ， 点的纵坐标为3或， ∵点在的边上，不符合题意，舍去， 点的坐标为． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点的位置在网格点上，将点向下平移个单位到点，点的坐标为． (1)在平面直角坐标系中标出点，并直接写出点的坐标； (2)画出，并直接写出的面积； (3)若点在轴上，且的面积等于面积的一半，直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3)点的坐标为或 【分析】（1）把点向下平移个单位即可； （2）描出点，顺次连接、、即可画出，利用三角形面积公式求出的面积即可； （3）先求出的面积，分点在上方和下方两种情况，利用三角形面积公式求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求，由图知点坐标为． （2）解：如（1）中图，即为所求． 由坐标系可知，， ∵将点向下平移个单位到点，， ∴，，， ∴． （3）解：的面积等于面积的一半，， ∴， ∵点在轴上， ∴设， 如图所示： 当点在上方时，， 解得：， ∴； 当点在下方时，， 解得：， ∴； 综上所述：点的坐标为或． 5．如图，网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形，的位置如图所示． (1)写出点A、B、C的坐标：______，B_______，C________； (2)平移，使点移动到点． ①画出平移后的，其中点与点对应，点与点对应（不写画法，写出结论）； ②若点在内，其平移后的对应点为，写出的坐标：________．（用含，的代数式表示） 【答案】(1)，， (2)①图见解析 ②． 【分析】（）根据平面直角坐标系坐标的规则：横坐标左负右正、纵坐标下负上正，数格点可得的坐标； （）① 点移动到点的坐标变化，得出平移规则为向右平移个单位，向下平移个单位，根据对应关系，给坐标按平移规则计算得到坐标，连接即得到平移后的三角形；② 所有点都遵循相同的平移规律，点平移后横坐标加，纵坐标减，因此对应点坐标为． 【详解】（1）解：，，； （2）解：①点移动到点， 横坐标变化：，得：向右平移个单位， 纵坐标变化：，得：向下平移个单位， ∴平移后：， 平移后：， 平移后的三个顶点坐标为，，，连接三点即可得到平移后的三角形； ②∵平移，使点移动到点， ∴点在内，向右平移个单位，向下平移个单位， ∴． 坐标系中图形面积问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，且． (1)直接写出，的值和三角形的面积； (2)设与轴交于点，求三角形的面积； (3)如图2，连接，点在轴上，使三角形与三角形的面积相等，求的值； (4)如图3，点在四边形内部，使三角形的面积是三角形的面积的2倍，且三角形的面积是三角形的面积的2倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，完全平方公式和算术平方根的非负性，解一元一次方程求三角形的面积， 对于（1），根据平方和二次根式的非负性求出a，c，即可得出，再求出面积即可； 对于（2），先根据求出，进而得出答案； 对于（3），分三种情况根据面积相等列出方程，求出解，并判断即可； 对于（4），先根据求出点的纵坐标为2，再求出，然后根据求出，则答案可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得． ∵点， ∴点， 则， ∴； （2）解：∵ ， ∴， ， ； （3）解：①当点在线段上时， ，， 即， 解得：； 同理：当在点B上方时，， 解得：； 当在点下方时，， 解得：，不存在． 所以m的值为或8； （4）解：，理由如下： 过点作直线轴，交于，交轴于，交于， ∵， ， 即， 解得：， 因此点的纵坐标为2； 设点的坐标为， ， 解得：， ，同理， ． ， ， 解得：， ． 2．如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_______，_______，三角形的面积是_______； (2)点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 【答案】(1)3，2，3 (2)① ②，或， 【分析】本题考查坐标与图形，非负性，熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键： （1）非负性求出的值，面积公式求出三角形的面积即可； （2）①根据面积公式求出的长，即可求出点C的坐标；②根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出的面积，再根据面积公式求出的长，进而求出点坐标，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点坐标，然后根据三角形的面积等于，求出的长，进而求出点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积是； （2）①由（1）知：三角形的面积是3，， ∴， ∴； ∴； ②∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴或， ∴或． 3．综合与实践 【问题背景】 在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为． （1）求的面积． 【解决问题】 （2）若，，，求四边形的面积． 【深入探究】 （3）在（2）的条件下，过中点作直线轴交于点，求点的坐标． 【拓展延伸】 （4）在（2）的条件下，点的坐标为，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的3倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）9；（3）（4）或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形，数量掌握图形面积与点的坐标之间的关系是解题的关键． （1）根据点的坐标可得轴，点B到的距离为，据此根据三角形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求求出的面积，再求出A、B坐标，进而求出的面积即可得到答案； （3）先求出的长，则可得点N横坐标，根据列式求出的长即可得到答案； （4）求出的面积，进而得到四边形面积，则可得到三角形的面积，根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）∵点坐标为，点坐标为 ∴轴， ∵点坐标为， ∴点B到的距离为， ∴； （2）当，，时，，， ∴， ∴， ∴； （3）∵，点M是中点， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴点N的横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）∵，， ∴， ∴， ∵三角形的面积等于四边形面积的3倍， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，满足． (1)求、两点的坐标及的面积； (2)若点是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； (3)若是轴上方到轴的距离为6的一条直线，在直线上是否存在点，使的面积等于的面积，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)点的坐标为或； (3)存在这样的点，点坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形等知识； （1）由非负数的性质即可求得a，b的值，从而求得A、B的坐标及的面积； （2）设，由的面积为6，建立关于n的方程，求出n的值，即可求解； （3）设，由（1）知：；分点P位于y轴左侧，点P位于y轴右侧，两种情况考虑即可． 【详解】（1）解：由得：，， ，， ，， ，， ， （2）解：设， ， ， ， 或， 点的坐标为或． （3）解：存在，理由：设， 由（1）知：， ， 当P位于y轴左侧时，设直线交y轴于点D，如图； ， ， ， ； 当P位于y轴右侧时，过点P作轴于点D，如图； ， ， ， ； 存在这样的点，点坐标为或． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，其中a，b满足． (1)求的面积； (2)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等； (3)在y轴上是否存在一点Q，使得的面积与的面积相等？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点 (3)存在，点Q坐标为 或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质、解一元一次方程、绝对值，（1）利用非负数的性质求出a，b的值，再利用三角形面积公式计算即可． （2）设点，构建方程求出p的值即可． （3）如图，设交y轴于点N，设、，利用面积法求出点N的坐标，再利用面积法构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， 又，， ∴，， ∴，， 过点C作轴于点N， 点， ， ，， ∴， ∴． （2）解：设点． ∵， 解得或 ， 当时，与重合，不合题意，舍去， ∴点． （3）解：如图，连接，设交y轴于点N，设、， ∵， ， ， ∵， ∴， 解得或， ∴点Q坐标为或． 坐标系中动点问题 1．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、分别在轴、轴上，点在第一象限，点的坐标是，． (1)直接写出点、点的坐标． (2)点从原点出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为秒，探究下列问题： ①当为多少时，直线轴？ ②在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形的面积的？若能，请直接写出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由 【答案】(1)， (2)①；②， 【分析】此题主要考查了长方形的性质，长方形的面积公式，梯形的面积公式，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先求出点C的坐标，再利用矩形的性质求出点B的坐标； （2）①利用轴得出建立方程求解即可；②先求出长方形的面积，再表示出梯形的面积，进而建立方程求出时间t即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 四边形是长方形，点的坐标是， ， （2）解：①由题意得，， ， ，， 轴， ， 四边形是长方形， ， ， 当值为秒时，直线轴； ②，， ， 由运动知，，， ， ∴梯形的面积 ， 四边形的面积是长方形的面积的， ， ， ， ，． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点C、D的坐标． (2)连接，M为x轴上的一动点，若，求点M的坐标． (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），则与存在怎样的数量关系？请直接写出来． 【答案】(1)，； (2)或 (3)或或． 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，求点的坐标，角的和差． （1）利用平移变换的性质求解； （2）先求出的值，进而分情况讨论即可； （3）分三种情形：①如图1中，当点在直线的左侧时，②如图2中，当点在直线的左侧或直线上且在直线的右侧时，③如图3中，当点在直线的右侧时，分别求解即可． 【详解】（1）解：将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， 可得：，； （2）解：∵点A，B，的坐标分别为，， ∴， 设， ∵， 如图，当M在B左侧时， ， 解得：， 即； 如图，当M在B右侧时， ， 解得：， 即； （3）解：①如图1中，当点在直线的左侧或上时，， ∴； ②如图2中，当点在直线的右侧且在直线的右侧时，， ∴； ③如图3中，当点在直线的右侧时，， ∴； 综上所述，与的关系为：或或． 3．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)求点A，B，C的坐标． (2)当点P移动4秒时，请求出点P的坐标． (3)当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间． 【答案】(1)点A的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是． (2)点P的坐标是 (3)点P移动的时间是秒或秒． 【分析】本题考查坐标与图形的性质，非负性的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）利用非负数的性质可以求得的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标； （2）根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，可以得到当点P移动4秒时，点P的位置和点P的坐标； （3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可． 【详解】（1）解：∵a、b满足， ∴， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是． （2）解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动， ∴点P的路程：， ∵ ∴当点P移动4秒时，在线段上， 即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是． （3）解：由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况， 第一种情况，当点P在上时． 点P移动的时间是：（秒）， 第二种情况，当点P在上时， 点P移动的时间是：（秒）， 故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是秒或秒． 4．如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于B，轴于C，，且a，b满足． (1)直接写出点A，B，C的坐标 (2)如图1，点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正方向运动，点E从点B出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负方向运动，设运动时间为t，当时，求t的值； (3)如图2，将线段平移，使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上，点C的对应点为N，连接交y轴于点P，当时，求点N的坐标． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)． 【分析】本题考查平面直角坐标系中的点坐标，三角形面积计算以及图形平移相关知识，解题的关键是利用非负数性质求点坐标，根据三角形面积公式列方程求解，结合平移性质找坐标关系． （1）根据非负数的性质求出的值，进而得到点的坐标； （2）分别表示出和的面积，根据面积相等列方程求解； （3）设出平移距离，根据平移性质得到相关点坐标，再结合建立方程求出平移距离，从而得到点N的坐标． 【详解】（1）解：由题意可得： 且。 解得，， 轴于轴于， ； （2）解：时，，， ∴，， ∴， ， 当时，， ∴或， ∴或； （3）解：设，其中， 由平移可知， 若在第二象限，作轴于，连， ∴，， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵，∴， ∴， ∴， 同理．若在第三象限，， ∴， ∴， ∴． 5．长方形的位置如图所示，点的坐标为，点从点出发向点移动，速度为每秒1个单位；点同时从点出发向点移动，速度为每秒2个单位，设运动时间用表示． (1)直接写出点、的坐标； (2)证明在点、移动过程中，四边形的面积一直保持不变． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)证明见解析 【分析】本题考查坐标与图形的性质、割补法求四边形面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据点坐标的定义求解，即可解题； （2）根据列式计算，即可证明在点、移动过程中，四边形的面积一直保持不变． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：四边形的面积不变．证明如下： ∵ ． ∴四边形的面积不变． 6．如图1，在平面直角坐标系中，，且，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于C点． (1)请直接写出A，B，C三点的坐标． (2)P，Q为两动点，P，Q同时出发，其中点P从C点出发，在线段CB，上以3个单位长度每秒的速度沿着C→B→O运动，到达O点P停止运动；点Q从B点出发以1个单位长度每秒速度沿着线段向O点运动，到O点Q停止运动，设运动时间为t，当P在上时，t取何值时，P，Q，C三点构成的三角形面积为2？ (3)如图2，连接，点在线段上，且m，n满足，M到x轴的距离为1，点N在y轴负半轴上，连接交x轴于K点，记M，B，K三点构成的三角形面积为，记N，O，K三点构成的三角形面积分别记为，若，请直接写出N点的坐标． 【答案】(1)、， (2)当P在上时，取或或7时，，，三点构成的三角形面积为2； (3) 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，也考查了同学们综合运用所学知识的能力，是一道综合性较好的题目． （1）先利用非负性求出，进而得出点，坐标，利用垂直确定出点坐标； （2）由题意可得点运动的时间，点运动的时间，当时，分时，时两种情况，用含的式子表示出，分别求解即可； （3）连接，过M点作轴，垂直于x轴，根据的面积得到，，结合，得到的面积为16，从而可计算出的长，即可得到点N的坐标． 【详解】（1）解：， ，， ，， 、， 、， 过，两点分别做轴，轴的垂线交于点， ； （2）解：由题意得：，， 点运动的时间，点运动的时间， 当当P在上时，即， 此时点运动的距离，即，此时点在线段上， ①时，此时点在线段上，未到达点， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ，解得：或； ②时，此时点已到达点， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ，解得：； 当P在上时，取或或7时，，，三点构成的三角形面积为2； （3）解：如图，连接，过M点作轴，垂直于x轴， = ∵M到x轴的距离为1，M在第二象限， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 压轴真题 一、单选题 1．（25-26八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，某智能机器人P从站点出发，按照“能源探测路线”依次经过探测点“”进行信号采集（每秒一条直角边）．已知，，，设第n秒运动到点（n为正整数），探测点的位置规律如图所示，，，是按规律摆放的等腰直角三角形，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了点坐标的规律，通过观察可知，纵坐标每6个进行循环，先求出前面6个点的坐标，从中得出规律，再按规律写出结果即可． 【详解】解：由题意知，，，，，，， 由上可知，每个点的横坐标比序号少2，纵坐标每6个点依次为：1，0，1，0，，0这样循环， ∵， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中有点，第1次点A跳动至点，第2次点跳动至点，第3次点跳动至点，第4次点跳动至点，依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【分析】本题主要考查点坐标规律探索；根据题意得出规律：第次跳动至点，第次跳动至点，求出点与点的坐标，再计算距离即可． 【详解】解：第1次点A跳动至点， 第2次点跳动至点， 第3次点跳动至点， 第4次点跳动至点， 第5次点跳动至点， 第6次点跳动至点， ……， 第次跳动至点， 第次跳动至点， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴点与点之间的距离是：， 故选：A． 二、填空题 3．（2026八年级下·全国·专题练习）定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若，，则P，Q的“实际距离”为5．点A，B，C的坐标分别为，，．若点M满足到点A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标为 ． 【分析】本题考查了新定义实际距离的理解与应用，掌握将新定义转化为绝对值方程，并结合图形确定坐标范围以去掉绝对值符号是解题的关键． 先理解实际距离的定义，根据点到三点的实际距离相等，先确定的坐标范围，再结合图形位置去掉绝对值符号，建立方程求解． 【详解】如图，设． 由“实际距离”的定义和点到点的“实际距离”相等，得点在矩形区域内， ∴，，． 若要使到的“实际距离”相等， 由图可知点只能在点左侧、点上方的位置， ∴， 解得，， 则． 故答案为：． 4．（2026·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“可余点”．将某“可余点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“可余点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下． 若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则点的坐标为 ． 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，先分别计算余0，1，2的点的平移规律，然后分两种情况进行反方向平移求解即可． 【详解】解：根据已知：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位……，因此发现规律为： ①若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，先向右平移个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； ②若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，则按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； ③若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，则按照向左、向上，向左、向上不断重复的规律平移； 若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则按照“可余点”反向运动次即可，可以分为两种情况： 若按照②或③方式：则向右平移次，向下平移次即为“可余点”，则，即； 若按照①方式：则需要向下平移10次，向右平移9次，再向左平移1次，则，即， 综上：点的坐标为或 故答案为：或． 5．（25-26八年级上·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，点，，，轴，点Q的纵坐标为m，则有以下结论： ①当，点B是线段的中点； ②无论m取何值，都为定值； ③存在唯一一个m的值，使得； ④存在唯一一个m的值，使得． 其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标与线段长度的计算，根据点的坐标，分别计算相关线段长度，并判断各结论是否正确，①通过计算中点坐标验证；②直接计算长度；③④通过解绝对值方程判断解的个数． 【详解】解：点，，，轴，点Q的纵坐标为m，故， ①当时，，，，线段的中点坐标为，与点B坐标相同，故B是的中点，①正确； ②，为定值，与m无关，故②正确； ③，，设，即，解得（唯一解），故③正确； ④设，即，解得或，有两个解，故④错误． 综上所述，正确结论为①②③． 故答案为：①②③． 三、解答题 6．（25-26八年级上·山东淄博·月考）在平面直角坐标系中，对于点，记，将称为点A，B的横纵偏差，记为，即．若点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的横纵偏差，记为．例如：点，点，． (1) ①的值是 ； ②点K在x轴上，若，求点K的坐标． (2)点P，Q在y轴上，点P在点Q的上方， ，点M的坐标为． ①当点Q的坐标为时，则的值是 ． ②当线段在y轴上运动时，直接写出的最小值及此时点P的坐标． 【分析】本题考查了坐标与图形、一元一次方程的应用，理解定义是解此题的关键． （1）①根据定义计算即可得解；②设，根据定义得出关于的一元一次方程，解方程即可得解； （2）①设点为线段上任意一点，则，再根据定义计算即可得解；②设点，则，再根据定义计算即可得解． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， 则， 故答案是：3． ②∵，点K在x轴上，设， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得，或， ∴K的坐标是或． 故答案是：或； （2）解：①∵点P、Q在y轴上，点P在点Q的上方，，点Q的坐标为， ∴点P的坐标为， 设点为线段上任意一点，则； ∵点M的坐标为， ∴，， ∴； 由，可得； ∴， ∴的最大值是3， ∴． ②当点都在轴的正半轴上或都在轴的负半轴上时，如图， 则：或， 设点，则， ∴，， ∵当时，有最小值， 即时，有最小值， ∴或或（舍去），此时有最小值为3， ∴点P的坐标为或， 当点在轴的正半轴，点在轴的负半轴上时，如图， 则为的长为4， 综上：的最小值是3，此时点P的坐标是或． 7．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、．将线段先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接、． (1)直接写出坐标：点C（          ），点D（          ）； (2)M、N分别是线段、上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴正半轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请写出结论并说明理由． 【分析】本题考查坐标与图形变化–平移，掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． （1）根据点的坐标平移规律，即可求解； （2）设时间为t，根据轴，即M、N两点纵坐标相等，列方程，即可求解； （3）根据点P在x轴正半轴上的不同位置分为两种情况，结合三角形内角和以及四边形内角和，即可求解． 【详解】（1）解：将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， 可得，． （2）设秒后轴， 根据题意，可得， 解得， 经过秒后，轴． （3）①如图，当点在线段上（不与点B重合）时， ； ②如图，当点在点的右侧时，， ； 综上所述，可知与的关系为或． 8．（25-26八年级上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，C是第一象限的点，过C点作轴于点，点是y轴正半轴上的一点，且a，b满足，． (1)求A点，B点坐标； (2)求C点坐标； (3)点D为x轴上一点，若，求D点坐标； 【分析】本题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，点的坐标，坐标与图形，熟练掌握利用坐标求图形的面积是解题的关键． （1）利用算术平方根的非负性、绝对值的非负性、非负数的性质求出a、b值，即可得出结果； （2）根据梯形的面积公式求出的长，即可得出结果； （3）设点D的坐标为，分四 种情况：①当点D在上时，即，②当点D在x轴负半轴上时，即，③当点D在点A右边，且在直线下方，即时，④当点D在点A右边，且在直线上方，即时，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵ ∵，， ∴，， 解得：，， ∴，； （2）解：∵轴于点， ∴设点C的坐标为， ∵ ∴ ∴点C的坐标为． （3）解：设点D的坐标为， ∵，， ∴点关于点对称的对称点恰好在轴上，即直线与轴交于点， 分三种情况：①当点D在上时，即，如图， ∵ ∴ 解得： ∴点D的坐标为； ②当点D在x轴负半轴上时，即，如图， ∵ ∴ 解得：不符合题意，舍去； ③当点D在点A右边，且在直线下方，即时，如图， ∵ ∴ 解得：，不符合题意，舍去； ④当点D在点A右边，且在直线上方，即时，如图 ∵ ∴ 解得： ∴点D的坐标为； 综上，若，点D的坐标为或． 9．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标； (2)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】本题考查了算术平方根与绝对值的非负性，平移性质，一元一次方程的实际应用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据算术平方根与绝对值的非负性求出点B坐标，再结合平移性质进行求解，即可得到点C的坐标； （2）根据题意分以下两种情况讨论：当点P在线段上运动时，当点P在线段上运动时，再结合建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解： ， ， 解得， 点， ， 根据平移的性质可知：，，C，B两点的纵坐标相同，纵坐标都为3， ∵垂直x轴， ∴垂直x轴， ∴C，D两点的横坐标相同，横坐标都是4， 点C的坐标为； （2）解：存在， 根据题意分以下两种情况讨论： 当点P在线段上运动时，点P的坐标为，则，如图， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴； 当点P在线段上运动时，点P的坐标为，即，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴， ∴此时． 综上所述，当时，；当时，． 10．（25-26八年级上·福建厦门·期末）物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．均质等厚的板材（可抽象为平面图形）的重心位置可通过分割法计算，即将板材分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再计算组合图形的重心． 根据以下素材，探索完成任务． 素材一 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 若顶点坐标分别为，则中线交点坐标为 圆 几何中心 圆心 素材二 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： （1）建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系． （2）分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积． （3）确定这几个简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． （4）代入公式计算：把所有简单图形的重心坐标代入公式，计算出组合图形重心坐标，其中． 素材三 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形）， 可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为： 其中． 任务1：已知一块均匀梯形薄板，将其分割为一个矩形和一个直角三角形．矩形重心坐标为，直角三角形重心坐标为，若矩形面积为8，三角形面积为4，求梯形薄板的重心坐标． 任务2：如图，已知一块均匀薄板，由30块边长为的小正方形组成，求这块均匀薄板的重心坐标．（轴、轴1个单位长度表示） 任务3：如图，挖空部分为圆形，圆心坐标为，组合图形的重心坐标为，则挖空圆面积是_____；（取3） 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正确理解各个图形的重心坐标计算公式是解题的关键． 任务1：根据题干所给的公式直接带入计算求解即可； 任务2：先分别求出矩形、矩形、矩形重心坐标及面积，代入公式计算即可； 任务3：利用公式求出整体图形的面积以及重心坐标，假设挖空圆面积为,根据负面积法公式列出方程求解即可． 【详解】解：任务1：根据给出公式得， ， ∴梯形薄板的重心坐标为； 任务2：如下图，将圆图形进行分割， ∵矩形重心坐标为，即，面积为， 矩形重心坐标为，即，面积为， 矩形重心坐标为，即，面积为， ∴， ， ∴薄板的重心坐标为； 任务3：整体图形的面积为， 将图形分割成左侧的矩形和右侧的三角形， 矩形的重心坐标为，即，矩形的面积为； 三角形的重心坐标为，即，三角形的面积为； 整体图形的重心坐标为； 假设挖空圆面积为,根据公式可得， ， 解得， 故答案为：3． 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面直角坐标系知识梳理 1. 平面直角坐标系中点的坐标特征： 象限内的点 第一象限（+，+） 第二象限（－，+） 第三象限（－，－） 第四象限（+，－） 坐标轴上的点 x轴上的点：纵坐标为0，例（a，0） y轴上的点：横坐标为0，例（0，a） 平行点的坐标 平行于x轴：纵坐标相同，例（a，b）与（c，b） 平行于y轴：横坐标相同，例（a，b）与（a，c） 对称点的坐标 关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，例（a，b）与（a，－b） 关于y轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标相同，例（a，b）与（－a，b） 关于原点对称：横坐标、纵坐标互为相反数，例（a，b）与（－a，－b） 角平分线上点的坐标 第一、三象限角平分线：纵坐标与横坐标相等 第二、四象限的角平分线：纵坐标与横坐标互为相反数 点到坐标轴上的距离 （a，b）到x轴上的距离：纵坐标的绝对值——|a| （a，b）到y轴上的距离：横坐标的绝对值——|b| 右加左减 上加下减 2. 平面直角坐标系中点的平移：P（x，y） 向上平移a个单位长度 P（x，y+a） 向左平移a个单位长度 P（x－a，y） P（x+a，y） P（x，y－a） 向下平移a个单位长度 向右平移a个单位长度 3. 距离公式： 点A（x1，y1），B（x2，y2）的距离AB= 4. 中点公式： 点A（x1，y1），B（x2，y2）的中点为M，则M（，） 5. 平面直角坐标中三角形面积的求法： （1）直接法：三角形期中一边与坐标轴平行或在坐标轴上时可用A B C A B C O x y O x y E E S△ABC= AB·CE （2）割补法： E O x y A B C O x y D E A B C S△ABC=S矩形OEDB－S△ACE－S△BCD－S△AOB ; S△ABC=S梯形CEOB－S△ACE－S△AOB O x y A B C E O x y A B C S△ABC=S梯形AOEC+S△CEB－S△AOB ; S△ABC=S△ACO+S△BCO－S△AOB 重难点题型分类 【题型1：根据平面直角坐标中点的坐标特征求坐标 3】 【题型2：平面直角坐标中的平移 4】 【题型3：利用坐标确定物体的位置 6】 【题型4：在平面直角坐标系中作图 10】 【题型5：坐标系中图形面积问题 13】 【题型6：坐标系中动点问题 15】 【题型7：压轴真题 19】 根据平面直角坐标中点的坐标特征求坐标 1．在平面直角坐标系中，如果点在轴上，则点的坐标为（　　）． A． B． C． D． 2．已知点及第一象限的动点，且，设的面积为，当时，则点P的坐标为(    ) A． B． C．或 D． 3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴右侧，平行于x轴，且，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．已知点的坐标，且点到轴的距离是3，则点的坐标是______． 5．若点到轴的距离为2，到轴的距离为3，且，则点P的坐标为______． 6．已知点在第四象限，且点P到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则点P的坐标为 ___________ ． 7．方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为______． 8．已知点，解答下列各题． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标． (2)若点P到y轴的距离为3，求点P的坐标． 9．在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点P在x轴上时，求出点P的坐标； (2)当直线平行于x轴，且，求出点P的坐标； (3)若点P到x轴和y轴距离相等，求m的值． 10．在平面直角坐标系中，对于点，，记，，将称为点A，B的横纵偏差，记为，即．若点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的横纵偏差，记为． (1)，， ①的值是 ； ②点K在y轴上，若，则点K的坐标是 ． (2)点P，Q在x轴上，点P在点Q的左侧，，点M的坐标为，求线段在x轴上运动时，直接写出的最小值及此时点P的坐标． 根据平面直角坐标中平移和对称求坐标 1．将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，点P恰好落在x轴上，则点P的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移，使得点A平移到点，则平移后点B的坐标为（    ） A． B． C． D．或 3．在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移后，其中一个点的坐标变为，则另一个的坐标变为（ ） A． B．或 C．或 D． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，将线段平移至的位置，则的值为______． 5．下图所示的“鱼”图案是将坐标为，，，，，，，的点用线段依次连接而成的． (1)若纵坐标保持不变，横坐标分别加上3，在上图中画出所得的图案． (2)若横坐标保持不变，纵坐标分别减去2，在上图中画出所得的图案． (3)通过以上两种变换，你发现了什么规律？请用简洁的语言加以概括． 6．如下图，将面积为的沿x轴正方向平移至的位置，相应的坐标如下图所示（a，b为常数），求： (1)点D，E的坐标． (2)四边形ACED的面积． 7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，将进行平移，平移后点，，的对应点分别是点，,．点，点，点，点． (1)若，求的值； (2)若点，其中．直线交轴于点，且的面积为，请比较与的大小，并说明理由． 利用坐标确定物体的位置 1．五子棋的比赛规则：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子为获胜方．在如图所示的一盘棋中，若①的位置是，②的位置是，现轮到黑棋走，小明认为黑棋放在位置胜利；小亮认为黑棋放在位置胜利．下列说法正确的是（   ） A．小明、小亮均正确 B．小明、小亮均错误 C．小明正确，小亮错误 D．小明错误，小亮正确 2．在如图所示的象棋盘上，建立适当的平面直角坐标系，使“炮”位于点上，“相”位于点上，则“帅”位于点（   ） A． B． C． D． 3．如图是一片桑叶标本，完整叶片呈宽卵形，顶端微尖，边缘有锯齿．将其放在平面直角坐标系中，若表示叶片顶端A、边缘B两点的坐标分别为、，则叶柄末端C点的坐标为______． 4．如图是两艘舰艇的位置示意图，舰距离舰16海里，用方向和距离描述舰相对舰的位置为_____． 5．你玩过五子棋吗？它的比赛规则是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格（设每个网格的边长为1）的格点处下一子，两人轮流下，只要连续的同色的5个棋子先排成一条直线（横、竖、斜均可）就算获胜．如图，是两位同学正在玩的一盘棋，若棋盘上白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． (1)请你根据题意，画出相应的平面直角坐标系； (2)在坐标系中找出坐标为的棋子，并在棋子上用数字3表示出来； (3)现轮到黑棋下，要使黑棋这一步要赢，请写出这一步黑棋的坐标； (4)求标有数字1，4，5的三枚棋子围成的三角形的面积． 6．如图是小华所在学校的平面示意图，图中的小方格都是边长为1个单位长度的正方形，1个单位长度表示．小华建立平面直角坐标系，得到生物园的坐标为，办公楼的坐标为，学校大门、教学楼、实验楼和操场的位置都在网格线的交点上． (1)在图中画出符合条件的平面直角坐标系； (2)用坐标表示下列位置：操场______，实验楼______； (3)若艺术楼在教学楼以东300米，再往北200米，请在图中标出来．（不必写坐标） 7．中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图①中“马”所在的位置可以直接走到点、处． (1)如果“帅”位于点，“相”位于点，则“马”所在的点的坐标为__________，点的坐标为__________，点的坐标为__________． (2)若“马”的位置在点，为了到达点，请按“马”走的规则，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示． 8．临黄河而知中国，临河洛而知华夏．洛阳因地制宜、科学规划实施“一中心六组团”城市发展战略，一座座地标性建筑点缀在历史、现代、未来3个城市轴线上，一个错落有致、疏密有度、古今辉映、山环水润，具有洛阳特色的城市格局跃然而现．下图是洛阳内部分建筑物的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形．若丽景门的坐标为，洛阳博物馆的坐标为． (1)请你根据题目条件在图中画出平面直角坐标系，并写出白马寺的坐标； (2)若洛邑古城的坐标为，龙门石窟的坐标为，请在图中标出洛邑古城和龙门石窟的位置． 9．作图计算 下面每个小正方形的边长表示，请你按要求填空或作图． (1)图中点记作(___________，___________)，那么点在点的___________方向，距离___________处； (2)以边所在的直线为对称轴画出三角形的轴对称图形，记作三角形①； (3)画出三角形向右平移四格后的图形，记作三角形②；在这个过程中，三角形扫过的面积是___________； (4)把三角形按的比画在合适的位置，记作三角形③； (5)如果把三角形绕边旋转一周形成了一个几何体，它的体积是___________．（取） 在平面直角坐标系中作图 1．如图，边长为1个单位长度的小正方形组成的方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上．已知，． (1)根据题意建立平面直角坐标系； (2)将向右平移3个单位，再向上平移5个单位得到，请画出；并写出点的坐标________ (3)在图中找一个格点D，连接使． 2．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出将先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后得到． (2)计算的面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出向右平移5个单位，再向下平移4个单位的； (2)写出点，，的坐标：__________，__________，__________； (3)在外部能否找到一点，使且，如果能，请直接写出点的坐标，如果不能请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点的位置在网格点上，将点向下平移个单位到点，点的坐标为． (1)在平面直角坐标系中标出点，并直接写出点的坐标； (2)画出，并直接写出的面积； (3)若点在轴上，且的面积等于面积的一半，直接写出点的坐标． 5．如图，网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形，的位置如图所示． (1)写出点A、B、C的坐标：______，B_______，C________； (2)平移，使点移动到点． ①画出平移后的，其中点与点对应，点与点对应（不写画法，写出结论）； ②若点在内，其平移后的对应点为，写出的坐标：________．（用含，的代数式表示） 坐标系中图形面积问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，且． (1)直接写出，的值和三角形的面积； (2)设与轴交于点，求三角形的面积； (3)如图2，连接，点在轴上，使三角形与三角形的面积相等，求的值； (4)如图3，点在四边形内部，使三角形的面积是三角形的面积的2倍，且三角形的面积是三角形的面积的2倍，直接写出点的坐标． 2．如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_______，_______，三角形的面积是_______； (2)点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 3．综合与实践 【问题背景】 在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为． （1）求的面积． 【解决问题】 （2）若，，，求四边形的面积． 【深入探究】 （3）在（2）的条件下，过中点作直线轴交于点，求点的坐标． 【拓展延伸】 （4）在（2）的条件下，点的坐标为，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的3倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，满足． (1)求、两点的坐标及的面积； (2)若点是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； (3)若是轴上方到轴的距离为6的一条直线，在直线上是否存在点，使的面积等于的面积，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，其中a，b满足． (1)求的面积； (2)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等； (3)在y轴上是否存在一点Q，使得的面积与的面积相等？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 坐标系中动点问题 1．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、分别在轴、轴上，点在第一象限，点的坐标是，． (1)直接写出点、点的坐标． (2)点从原点出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为秒，探究下列问题： ①当为多少时，直线轴？ ②在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形的面积的？若能，请直接写出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由 2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点C、D的坐标． (2)连接，M为x轴上的一动点，若，求点M的坐标． (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），则与存在怎样的数量关系？请直接写出来． 3．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)求点A，B，C的坐标． (2)当点P移动4秒时，请求出点P的坐标． (3)当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间． 4．如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于B，轴于C，，且a，b满足． (1)直接写出点A，B，C的坐标 (2)如图1，点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正方向运动，点E从点B出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负方向运动，设运动时间为t，当时，求t的值； (3)如图2，将线段平移，使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上，点C的对应点为N，连接交y轴于点P，当时，求点N的坐标． 5．长方形的位置如图所示，点的坐标为，点从点出发向点移动，速度为每秒1个单位；点同时从点出发向点移动，速度为每秒2个单位，设运动时间用表示． (1)直接写出点、的坐标； (2)证明在点、移动过程中，四边形的面积一直保持不变． 6．如图1，在平面直角坐标系中，，且，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于C点． (1)请直接写出A，B，C三点的坐标． (2)P，Q为两动点，P，Q同时出发，其中点P从C点出发，在线段CB，上以3个单位长度每秒的速度沿着C→B→O运动，到达O点P停止运动；点Q从B点出发以1个单位长度每秒速度沿着线段向O点运动，到O点Q停止运动，设运动时间为t，当P在上时，t取何值时，P，Q，C三点构成的三角形面积为2？ (3)如图2，连接，点在线段上，且m，n满足，M到x轴的距离为1，点N在y轴负半轴上，连接交x轴于K点，记M，B，K三点构成的三角形面积为，记N，O，K三点构成的三角形面积分别记为，若，请直接写出N点的坐标． 压轴真题 一、单选题 1．（25-26八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，某智能机器人P从站点出发，按照“能源探测路线”依次经过探测点“”进行信号采集（每秒一条直角边）．已知，，，设第n秒运动到点（n为正整数），探测点的位置规律如图所示，，，是按规律摆放的等腰直角三角形，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中有点，第1次点A跳动至点，第2次点跳动至点，第3次点跳动至点，第4次点跳动至点，依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 二、填空题 3．（2026八年级下·全国·专题练习）定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若，，则P，Q的“实际距离”为5．点A，B，C的坐标分别为，，．若点M满足到点A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标为 ． 4．（2026·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“可余点”．将某“可余点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“可余点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下． 若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则点的坐标为 ． 5．（25-26八年级上·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，点，，，轴，点Q的纵坐标为m，则有以下结论： ①当，点B是线段的中点； ②无论m取何值，都为定值； ③存在唯一一个m的值，使得； ④存在唯一一个m的值，使得． 其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题 6．（25-26八年级上·山东淄博·月考）在平面直角坐标系中，对于点，记，将称为点A，B的横纵偏差，记为，即．若点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的横纵偏差，记为．例如：点，点，． (1) ①的值是 ； ②点K在x轴上，若，求点K的坐标． (2)点P，Q在y轴上，点P在点Q的上方， ，点M的坐标为． ①当点Q的坐标为时，则的值是 ． ②当线段在y轴上运动时，直接写出的最小值及此时点P的坐标． 7．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、．将线段先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接、． (1)直接写出坐标：点C（          ），点D（          ）； (2)M、N分别是线段、上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴正半轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请写出结论并说明理由． 8．（25-26八年级上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，C是第一象限的点，过C点作轴于点，点是y轴正半轴上的一点，且a，b满足，． (1)求A点，B点坐标； (2)求C点坐标； (3)点D为x轴上一点，若，求D点坐标； 9．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标； (2)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（25-26八年级上·福建厦门·期末）物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．均质等厚的板材（可抽象为平面图形）的重心位置可通过分割法计算，即将板材分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再计算组合图形的重心． 根据以下素材，探索完成任务． 素材一 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 若顶点坐标分别为，则中线交点坐标为 圆 几何中心 圆心 素材二 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： （1）建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系． （2）分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积． （3）确定这几个简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． （4）代入公式计算：把所有简单图形的重心坐标代入公式，计算出组合图形重心坐标，其中． 素材三 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形）， 可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为： 其中． 任务1：已知一块均匀梯形薄板，将其分割为一个矩形和一个直角三角形．矩形重心坐标为，直角三角形重心坐标为，若矩形面积为8，三角形面积为4，求梯形薄板的重心坐标． 任务2：如图，已知一块均匀薄板，由30块边长为的小正方形组成，求这块均匀薄板的重心坐标．（轴、轴1个单位长度表示） 任务3：如图，挖空部分为圆形，圆心坐标为，组合图形的重心坐标为，则挖空圆面积是_____；（取3） 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