专项训练02 填空题（25个题型讲练 共75题）尖子生考前冲刺-2026年小升初数学必刷考点分类真题培优练

**基本信息** 聚焦小升初高频考点，覆盖25类填空题型，以真题典例带变式训练，构建从概念理解到综合应用的知识逻辑链，培养运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数与代数|13题型（42题）|含数的认识、运算、方程等，结合实际情境考查数感|从概念（整数/分数等）到运算（简便计算/方程），构建数与式的逻辑体系| |图形与几何|8题型（24题）|涉及平面/立体图形测量、变换等，突出空间观念|从图形认识到测量计算，结合变换与位置形成空间认知链| |统计与综合|4题型（9题）|含统计概率、规律探索及竞赛题，培养数据意识与推理能力|从基础统计到规律探究，衔接竞赛思维，体现知识综合应用|

2026年六年级毕业数学二轮复习之压轴题考点分类必刷练真题汇编•全国通用 2026年六年级毕业数学必刷考点分类真题培优练『尖子生冲刺』 专项训练02 填空题 〔25个重点题型讲练 共75题〕在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 专题说明 资料简介 同学你好，该份讲义优选2025年全国各地名校真题，模拟题。重点强化小升初高频考察点，提升解题技能，优选常考易错题型。该份检测卷非常适合考前冲刺拔尖使用。题目整体难度偏上，适合成绩中上及拔尖的学生。按照考点划分，方便自我学习批改，检测学习能力。解析版思路清晰，理解全面，进一步优化解题过程，梳理考察点。相信你在2026年毕业考试中考出满意成绩！ 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 重点难点 题型归纳 压轴必刷 题型序列 题型名称 题型序列 题型名称 题型一 整数的认识 题型十四 比 题型二 小数的认识 题型十五 比例 题型三 分数的认识 题型十六 典型应用题 题型四 百分数的认识 题型十七 平面图形的认识与测量 题型五 正负数的认识 题型十八 立体图形的认识与测量 题型六 整数的四则运算 题型十九 图形的拼组 题型七 小数的四则运算 题型二十 图形与变换 题型八 分数的四则运算 题型二十一 位置与方向 题型九 百分数的四则运算 题型二十二 常见的长度、面积、体积单位及换算 题型十 运算定律与简便运算 题型二十三 统计和概率 题型十一 倍的运算 题型二十四 探索规律 题型十二 用字母表示数 题型二十五 数学竟赛 题型十三 方程的解与解方程 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 优中选优 题型讲练 压轴必刷 题型一 整数的认识 【典例精讲】（2025·甘肃武威·小升初真题）2025年五一小长假期间，某市共接待游客466700人次，改写成以“万人次”作单位的数是( )万人次，实现旅游收入一亿七千四百万元，省略亿后面的尾数是( )亿元。 【变式训练1】（2025·西藏·小升初真题）m是两位数中最大的合数，n是两位数中最小的质数，m和n的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【变式训练2】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）因疫情原因，豆豆需向老师报告外出情况，他拨打了老师的电话号码27433619，结果他发现这是四个连续质数的积，则这四个连续质数后面连续四个质数的和是___________。 题型二 小数的认识 【典例精讲】（2025·河南商丘·小升初真题）阅读下面的信息，根据要求填空。日前，泉州市统计局发布《2018年泉州市国民经济和社会发展统计公报》，根据核算，泉州市土地面积约11015（    ），全市常住人口约8700500人。实现地区生产总值8467.98亿元，连续20年保持全省第一。 (1)在括号内填入合适的单位名称。 (2)横线上的数读作( )，改写成以“万”为单位的数是( )人。 (3)生产总值保留整数约是( )亿元。 【变式训练1】（2025·安徽合肥·小升初真题）比亚迪新能源技术的发展向全世界证明中国的科技力量。2024年比亚迪汽车的全球总销量为4272145辆，4272145读作( )，改成用“万”作单位的数是( )万，省略万后面的尾数约是( )万。 【变式训练2】（2024·重庆九龙坡·小升初真题）有一个算式，左边括号里都是整数，右边答案写出了四舍五入后的近似值：≈1.16，那么算式左边三个括号里面从左到右依次是( )。 题型三 分数的认识 【典例精讲】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一个分母是最小质数的真分数，分子增加4倍得到一个分数，分母加上8得到另一个分数，那么这两个分数的和是______。 【变式训练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）一根5米长的绳子，先减去它的，再减去米，还剩( )。 【变式训练2】（2025·湖北武汉·小升初真题）A×＝B×＝C÷＝D÷15（A、B、C、D为非0的正数）。最大的是( )，最小的是( )。 题型四 百分数的认识 【典例精讲】（2025·江西吉安·小升初真题）2025年1月17日，国家统计局发布了我国的人口数据，2024年我国总人口（不包括居住在31个省、自治区、直辖市的港澳台居民和外籍人员）为1408280000人。从年龄构成看，16至59岁人口数量为85798万人，占全国人口的比重为60.9%；60岁及以上人口数量为31031万人，占全国人口的22%，其中65岁及以上人口数量为22023万人，占全国人口的15.6%。“____”上的数读作( )，改写为省略“亿”后面的尾数是( )，“____”上的数读作( )；“____”上的数改成用“个”作单位的数是( )。 【变式训练1】（2025·湖南永州·小升初真题）。 【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）一件工作原计划6天完成，实际5天就完工，工作效率提高了( )%。 题型五 正负数的认识 【典例精讲】（2025·福建漳州·小升初真题）一艘潜水艇潜入海平面以下200米，记为﹣200米。这时如果一头鲸鱼在海洋中的高度记为﹣350米，那么这头鲸鱼在潜水艇的( )【选填“上”或“下”】方( )米处。 【变式训练1】（2025·四川遂宁·小升初真题）如图：点A表示的数是( )；直线上有一个点D与点C对称，对称轴正好经过“1”，点D表示的数是( )。 【变式训练2】（2025·上海闵行·小升初真题）数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是﹣3，原点为O，若点A和点B分别以每秒2个单位长度的速度和每秒5个单位长度的速度同时向右运动，t秒后，点A运动到点C，点B运动到点D，当OD＝2OC时，则t＝( )秒。 题型六 整数的四则运算 【典例精讲】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）乌龟和兔子进行1000米赛跑，兔子速度是乌龟速度的5倍，当它们从起点同时出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它500米，兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后10米，求兔子睡觉期间，乌龟跑了___________米。 【变式训练1】（2025·重庆江北·小升初真题）两个码头相距352千米，一船顺流而下，行完全程需要11小时。逆流而上，行完全程需要16小时，这条河水流速度是___________。 【变式训练2】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）汽车以每小时108千米的速度笔直地开往寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回声，已知声音的速度是每秒340米，听到回声时汽车离山谷的距离是___________米。 题型七 小数的四则运算 【典例精讲】（2025·湖北黄石·小升初真题）哥哥从家骑车去相距5千米的图书馆借书，如图所示，他从出发到回家( )分钟，他从图书馆返回时每分钟行( )千米。 【变式训练1】（2025·湖南长沙·小升初真题）小李同学从学校打出租车回家，起步价为10元（不超过3千米），之后每多1千米增加2元（不足1千米按1千米计算），小李一共付了18元，则小李学校到她家最多有( )千米。 【变式训练2】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）A的步行速度为每小时5千米，B的步行速度为每小时6千米，他们两人从甲地到乙地去。C骑自行车的速度是A的2倍，从乙地到甲地去，他们三人同时出发，在B、C相遇30分钟后，A又与C相遇，请问：C骑车从乙地到甲地需要______小时。 题型八 分数的四则运算 【典例精讲】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）某项工程，甲单独做需要30天完成，乙单独做需要20天完成。现在由甲、乙两队合作，中途甲队退出，余下的工程由乙队又做了5天才完成任务。如果做完这项工程共得工程款9000元，则甲队能得工程款______元。 【变式训练1】（2025·湖北武汉·小升初真题）定义△如下：①△（1）＝3，△（2）＝4；②，则△（6）×△（9）＝______。 【变式训练2】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）有两根长短不同的蜡烛，长度和为28cm，相同时间内，它们燃烧的长度相同。现将两根蜡烛同时点燃一段时间后，短蜡烛剩下的长度恰好是长蜡烛剩下长度的，而此时长蜡烛剩下的长度跟短蜡烛点燃前一样长，点燃前短蜡烛比长蜡烛短___________cm。 题型九 百分数的四则运算 【典例精讲】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）数学文化节的选手，平均分数是66分，其中男选手比女选手多50%，而女选手的平均分比男选手高25%，女选手的平均分数是______分。 【变式训练1】（2025·重庆渝北·小升初真题）容积不同的A、B两容器中都装有酒精溶液，A中的酒精浓度为72%，B中的酒精浓度为63%。若将A与B两容器中的酒精混合，混合后的浓度为68%；若A容器中的酒精用去50毫升，B容器中的酒精用去13毫升，再将两容器的剩余酒精混合，混合后的浓度为67%。A容器中原有酒精溶液____毫升。 【变式训练2】（2025·重庆北碚·小升初真题）某校六年级举行语文和数学竞赛，参加竞赛的人数占全年级总人数的，参加语文竞赛的人数占竞赛总人数的，参加数学竞赛的人数占竞赛总人数的，两项竞赛都参加的有21人，该校六年级共有______名学生。 题型十 运算定律与简便运算 【典例精讲】（2025·湖北武汉·小升初真题）计算______。 【变式训练1】（2025·湖北武汉·小升初真题）我们约定，自然数中能被3整除的数称为“三合数”，不能被3整除的数称为“三素数”，从1到20的自然数中任取一个“三合数”与一个“三素数”相乘得到84个乘积，则这84个乘积的和为______。 【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）＝( )。 题型十一 倍的运算 【典例精讲】（2025·四川绵阳·小升初真题）一盘草莓有20个左右，几位小朋友分，若每人分3个，则余下2个；若每人分4个，则差3个，这盘草莓有( )个。 【变式训练1】（2024·广东梅州·小升初真题）如图的竖式中，第二个乘数是45，则箭头所指的乙是甲的( )。 【变式训练2】（2024·河南南阳·小升初真题）如图，AD＝DB，AE＝EF＝FC。已知阴影部分的面积是5平方厘米，△BAC的面积是( )平方厘米。 题型十二 用字母表示数 【典例精讲】（2025·山东青岛·小升初真题）如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 (1)探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 (2)总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是( )。 (3)应用：像这样如果剪切20次，会分成( )段。 【变式训练1】（2025·浙江宁波·小升初真题）有一个长方体储碗柜，内部尺寸如图1。现在柜子里放置相同规格的碗，其中2只碗和6只碗叠起来的高度如图2所示。 (1)若有只碗叠起来，它的高度是( )cm（用含有字母的式子表示）。 (2)若按图所示摆放，这个储碗柜最多可摆放( )只这种规格的碗。 【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）我们用r（n）表示n的因数个数，比如r（20）＝6，满足r（n）＋r（n＋1）＝r（100）的正整数n且n＜100的所有取值的总和是______。 题型十三 方程的解与解方程 【典例精讲】（2025·重庆北碚·小升初真题）一个数的小数点向右移动两位，结果比原来增加了39.6，原来这个数是______。 【变式训练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）绵阳有一古寺叫圣水寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364个碗。圣水寺里的和尚一共有( )个。 【变式训练2】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）6条谜语让50人猜测，共猜对了178条。已知每人至少猜对2条，且猜对2条的有16人，猜对4条的有9人，猜对3条和5条的人数一样多，那么6条全猜对的有( )人。 题型十四 比 【典例精讲】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）甲走的路程比乙走的路程多，乙用的时间比甲用的时间少，那么甲、乙两人的速度之比是______。 【变式训练1】（2025·山东青岛·小升初真题）下图是两个完全相同的等腰直角三角形，甲和乙分别是等腰直角三角形的两种不同的内接正方形，则图中甲与乙的面积比是( )。 【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2点钟派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1小时。这位劳模在下午1点钟便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车赶往学校，在下午2点40分到达。汽车速度是劳模步行速度的______倍。 题型十五 比例 【典例精讲】（2025·重庆渝北·小升初真题）“宫、商、角、徵、羽”是我国古代音乐的基本音阶，基本音阶“徵”的发音管长度比基本音阶“宫”的发音管长，且“徵”的发音管长度∶“宫”的发音管长度，那么_____。 【变式训练1】（2025·新疆克拉玛依·小升初真题）甲、乙两人比赛120米滑雪，乙让甲先滑10秒。他们两人滑的路程与时间的关系如下图。 (1)在滑完全程中，( )滑行的路程和时间成正比例。 (2)前15秒，甲平均每秒滑行( )米；后50秒，甲平均每秒滑行( )米；甲滑完全程的平均速度是每秒( )米。 【变式训练2】（2025·广东湛江·小升初真题）把一幅地图上的线段比例尺改写成数值比例尺是( )；如果在这幅地图上量得甲、乙两地的距离是5cm，那么甲、乙两地的实际距离是( )km。 题型十六 典型应用题 【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有( )个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有( )个黑色圆片。 【变式训练1】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）从甲城到乙城，货车要行6小时，客车要行8小时，货车的速度与客车的速度的最简比是______。 【变式训练2】（2025·湖北武汉·小升初真题）小华5点半吃完晚饭，之后出门散步，并在六点半前回家，出发时看到分针与时针垂直，回来时分针与时针还是垂直，则小华散步的时长为______分钟。 题型十七 平面图形的认识与测量 【典例精讲】（2025·重庆江北·小升初真题）在一个圆形时钟的表面，为指针的旋转中心，表示秒针，表示分针，若现在的时间恰好是14点整，当的面积刚好达到最大值时，经过( )秒。 【变式训练1】（2025·重庆江北·小升初真题）如图，在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段，图中阴影部分的面积占整个图形面积的___________。 【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）如图，直角的斜边，以点为中心，将顺时针旋转，点分别到达点，则边扫过的面积（即图中阴影部分面积）是( )。（取3） 题型十八 立体图形的认识与测量 【典例精讲】（2025·山东青岛·小升初真题）《新华字典》的长、宽、高分别是10厘米、13厘米和3厘米，老师要用纸把2本《新华字典》包起来，要求包装方法最省纸，那么需要包装纸至少( )平方厘米。 【变式训练1】（2025·湖南长沙·小升初真题）一个用小正方体搭成的几何体，如图是从它的两个不同方向看到的形状，要符合这两个条件，最少需要__________块，最多需要__________块，共有__________种摆法。 【变式训练2】（2025·江苏淮安·小升初真题）冰冰和明明将两个体积相等的铁块，分别浸没在高度相等的甲、乙两个圆柱体水杯中，两铁块全部浸入水中，甲杯水面上升3厘米，乙杯水面上升了5厘米，甲乙两个水杯的容积之比是________。 题型十九 图形的拼组 【典例精讲】（2025·湖北十堰·小升初真题）如图，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm。D、E分别为BC、AC边上一点。现将三角形ABC沿线段AD对折，使得点E与点B重合。三角形ABC的面积是( )cm2，阴影部分三角形CDE的面积是( )cm2。 【变式训练1】（2025·浙江杭州·小升初真题）如下图操作，可以将一个正方形剪成一个特殊的三角形。那么( )°，∠2＝( )°。 【变式训练2】（2025·安徽合肥·小升初真题）如图，把底面直径为4厘米的圆柱切成若干等份，再拼成一个近似的长方体后，表面积比原来增加了20平方厘米，圆柱的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 题型二十 图形与变换 【典例精讲】（2025·甘肃武威·小升初真题）为落实“双减”政策，响应国家要求中小学生每天锻炼1小时的号召，某校开展了形式多样的“阳光体育运动”活动，该校阳光大课间活动从9：45分钟开始，10：10分结束，则大课间活动时间为( )小时，这期间钟面上的分钟旋转了( )度。 【变式训练1】（2024·安徽淮北·小升初真题）如图有( )条对称轴，如果每个圆的周长是25.12cm，长方形的面积是( )cm2。 【变式训练2】（2024·山东德州·小升初真题）如图，数线上的长方形长8厘米，宽4厘米，长方形以1厘米/秒的速度向右平移。当长方形运动4秒时，长方形与圆的重叠面积为( )平方厘米。 题型二十一 位置与方向 【典例精讲】．（2025·湖南长沙·小升初真题）由编号1~150的150名YMO小明星们组成的方阵，开始都面朝东方站立，第一次所有编号是1的倍数的小朋友向左转，第二次所有编号是2的倍数的小朋友再向左转，第三次所有编号是3的倍数的小朋友再向左转……最后一次所有编号是150的倍数的小朋友再向左转，最后所有小朋友中有______名小朋友面朝南方。 【变式训练1】（2025·上海闵行·小升初真题）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏西50°方向上，现测得∠AOB＝63°，此时客轮B在货轮O的( )方向。 【变式训练2】（2025·浙江杭州·小升初真题）著名数学家笛卡尔通过观察蜘蛛结网的动作，想到了用坐标来确定空间中的位置。他画了三条互相垂直的直线，用交点表示空间内的蜘蛛，从而发明了现代数学的基础工具之一——坐标系。例如，下图中蜘蛛原本在点A（4，5，3）的位置，现在爬到了点B( )的位置。 题型二十二 常见的长度、面积、体积单位及换算 【典例精讲】（2025·甘肃兰州·小升初真题）汽车厂按1∶20的比生产汽车模型，一辆轿车模型长24.3厘米，轿车的实际长度是( )米。 【变式训练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）一瓶雪碧有2.5L，一个杯子的容积是200mL，可以装( )杯，剩下( )L。 【变式训练2】（2025·河南郑州·小升初真题）用一张长6分米，宽3分米的长方形纸（厚度不计）围成一个容积最大的圆柱体，这个圆柱体的容积约为______升。（取3） 题型二十三 统计和概率 【典例精讲】（2025·湖北武汉·小升初真题）黑板上写着1至2025共2025个自然数，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自然数，在这个数所有可能的取值中，最大值为______。 【变式训练1】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）甲、乙、丙、丁四人参加某次数学竞赛。甲、乙两人的平均成绩为a分，他们两人的平均成绩比丙低了13分，比丁的成绩高了3分，那么他们四人的平均成绩为______分。（用含a的式子表示） 【变式训练2】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）某班学生去参加义务劳动，其中一组到果园去摘梨子，第一个进园的学生摘了1个梨子，第二个学生摘了2个，第三个学生摘了3个，……以此类推，后来的学生都比前面一个多摘1个梨子，这样恰好平均每个学生摘了11个梨子，请问这组学生的人数是___________人。 题型二十四 探索规律 【典例精讲】（2025·重庆江北·小升初真题）按下面规律铺黑白砖，第49幅图形中有______块黑瓷砖。 【变式训练1】（2025·湖南长沙·小升初真题）按照下面图形的变化规律画下去，第20个图形一共有__________个直角三角形。 【变式训练2】2025·重庆江北·小升初真题）请将填入图中的8个方格内，使得四个方格内的数，恰好等于它上方与之有公共边的两个方格内所填数的差。其中填7。 题型二十五 数学竟赛 【典例精讲】（2024·山东青岛·小升初真题）某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生，参加英语竞赛有120名女生，80名男生，已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生都参加了，那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生有________人。 【变式训练1】（2025·重庆渝北·小升初真题）甲、乙两运动员在长为100米的直道（、为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点，…；若甲跑步的速度为5米/秒，乙跑步的速度为4米/秒，则起跑后100秒内，两人相遇的次数为_________。 【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）如图，ABCD是边长为10厘米的正方形，AB是半圆的直径，则阴影部分的面积是( )平方厘米。（π取3.14） 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年六年级毕业数学二轮复习之压轴题考点分类必刷练真题汇编•全国通用 2026年六年级毕业数学必刷考点分类真题培优练『尖子生冲刺』 专项训练02 填空题 〔25个重点题型讲练 共75题〕在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 专题说明 资料简介 同学你好，该份讲义优选2025年全国各地名校真题，模拟题。重点强化小升初高频考察点，提升解题技能，优选常考易错题型。该份检测卷非常适合考前冲刺拔尖使用。题目整体难度偏上，适合成绩中上及拔尖的学生。按照考点划分，方便自我学习批改，检测学习能力。解析版思路清晰，理解全面，进一步优化解题过程，梳理考察点。相信你在2026年毕业考试中考出满意成绩！ 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 重点难点 题型归纳 压轴必刷 题型序列 题型名称 题型序列 题型名称 题型一 整数的认识 题型十四 比 题型二 小数的认识 题型十五 比例 题型三 分数的认识 题型十六 典型应用题 题型四 百分数的认识 题型十七 平面图形的认识与测量 题型五 正负数的认识 题型十八 立体图形的认识与测量 题型六 整数的四则运算 题型十九 图形的拼组 题型七 小数的四则运算 题型二十 图形与变换 题型八 分数的四则运算 题型二十一 位置与方向 题型九 百分数的四则运算 题型二十二 常见的长度、面积、体积单位及换算 题型十 运算定律与简便运算 题型二十三 统计和概率 题型十一 倍的运算 题型二十四 探索规律 题型十二 用字母表示数 题型二十五 数学竟赛 题型十三 方程的解与解方程 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 优中选优 题型讲练 压轴必刷 题型一 整数的认识 【典例精讲】（2025·甘肃武威·小升初真题）2025年五一小长假期间，某市共接待游客466700人次，改写成以“万人次”作单位的数是( )万人次，实现旅游收入一亿七千四百万元，省略亿后面的尾数是( )亿元。 【答案】 46.67 2 【思路引导】改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字；先写出横线上面的数，再省略“亿”后面的尾数，亿位后面千万位上的数进行四舍五入，再在数的末尾写上“亿”字，据此解答。 【规范解答】分析可知，466700人次改写成以“万人次”作单位的数是46.67万人次，一亿七千四百万元写作174000000元，省略亿后面的尾数是2亿元。 【变式训练1】（2025·西藏·小升初真题）m是两位数中最大的合数，n是两位数中最小的质数，m和n的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 11 99 【思路引导】大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数，叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；两个数的最大公因数是两个数公有的质因数的连乘积；最小公倍数是两个数公有的质因数和独有质因数的连乘积，据此解答。 【规范解答】两位数中最大的合数是99，两位数中最小的质数是11， 99÷11＝9，是倍数关系，所以99和11的最大公因数是11，最小公倍数是99。 【变式训练2】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）因疫情原因，豆豆需向老师报告外出情况，他拨打了老师的电话号码27433619，结果他发现这是四个连续质数的积，则这四个连续质数后面连续四个质数的和是___________。 【答案】370 【思路引导】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。 要找出四个连续质数的和，需要先将给定的数分解质因数，确定这四个连续质数，再找出它们后面连续的四个质数，最后计算这四个质数的和。 【规范解答】27433619是四个质数的积，它与5000的平方接近，5000与70的平方接近，所以，这四个质因数与70接近。 列出70左右的质数：67、71、73、79 67×71×73×79＝27433619 则四个连续质数为67，71，73，79 79后面连续四个质数是83、89、97、101 83＋89＋97＋101 ＝（83＋101）＋（89＋97） ＝184＋186 ＝370 题型二 小数的认识 【典例精讲】（2025·河南商丘·小升初真题）阅读下面的信息，根据要求填空。日前，泉州市统计局发布《2018年泉州市国民经济和社会发展统计公报》，根据核算，泉州市土地面积约11015（    ），全市常住人口约8700500人。实现地区生产总值8467.98亿元，连续20年保持全省第一。 (1)在括号内填入合适的单位名称。 (2)横线上的数读作( )，改写成以“万”为单位的数是( )人。 (3)生产总值保留整数约是( )亿元。 【答案】(1)平方千米/km2 (2) 八百七十万零五百 870.05万 (3)8468 【思路引导】（1）1公顷大约一个操场的大小，一平方千米大约是边长1000米的正方形大小，计量城市的土地面积，选用平方千米作单位。 （2）大数读法： 先分级；从右往左每四个数为一级，每级读法按照个级读法来读，后面加个万或亿字，中间有几个0都只读一个0，末尾的0都不读。改写成以“万”为单位的数在万位后面点上小数点即可。 （3）根据四舍五入的方法，看十分位上的数字进行取舍。 【规范解答】（1）泉州市土地面积约11015平方千米。 （2）读数时分级读，8700500分为万级870和个级0500，读作八百七十万零五百；改写成以“万”为单位的数是870.05万。 （3）8467.98的十分位是9，大于5，向个位进1； 即生产总值保留整数约是8468亿元。 【变式训练1】（2025·安徽合肥·小升初真题）比亚迪新能源技术的发展向全世界证明中国的科技力量。2024年比亚迪汽车的全球总销量为4272145辆，4272145读作( )，改成用“万”作单位的数是( )万，省略万后面的尾数约是( )万。 【答案】 四百二十七万二千一百四十五 427.2145 427 【思路引导】读数时，把数先分级，从高位读起，万级的数按照个级的读法去读，再在末尾加一个“万”字，每级末尾的0都不读，中间连续有几个0，都只读一个0； 将一个数改写成用“万”作单位的数，要先找到万位，再在万位的右下角点上一个小数点，然后添上“万”字即可； 四舍五入到万位，就是把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字。据此解答。 【规范解答】比亚迪新能源技术的发展向全世界证明中国的科技力量。2024年比亚迪汽车的全球总销量为4272145辆，4272145读作四百二十七万二千一百四十五，改成用“万”作单位的数是427.2145万，省略万后面的尾数约是427万。 【变式训练2】（2024·重庆九龙坡·小升初真题）有一个算式，左边括号里都是整数，右边答案写出了四舍五入后的近似值：≈1.16，那么算式左边三个括号里面从左到右依次是( )。 【答案】1、3、2（答案不唯一） 【思路引导】因为1.155到1.164之间所有数的四舍五入近似值都是1.16， 所以1.155≤≤1.164， 3、5、9的最小公倍数是45，则同时乘45整理可得： 51.975≤15×（）＋9×（）＋5×（）≤52.38 由于（）中填的都是正整数，因此15×（）＋9×（）＋5×（）＝52 因为15和5都是5的倍数，9×（）的结果要使得总和为52，52除以5商10余2，所以9×（）的个位数字应为2或7。 当9×3时，9×3＝27，52－27＝25，即15×1＋5×2＝25。 【规范解答】1.155≤≤1.164，同时乘45整理可得： 51.975≤15×（）＋9×（）＋5×（）≤52.38 因此15×（）＋9×（）＋5×（）＝52 可得：15×1＋9×3＋5×2＝52 验证 ＝ ＝ ≈1.16 符合条件，所以算式左边三个括号里面从左到右依次是1、3、2。（答案不唯一） 【考点剖析】本题的关键在于根据近似值确定取值范围，再结合整数条件，通过通分与倍数分析求解。 题型三 分数的认识 【典例精讲】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一个分母是最小质数的真分数，分子增加4倍得到一个分数，分母加上8得到另一个分数，那么这两个分数的和是______。 【答案】//2.6 【思路引导】分数的分母是最小质数的真分数，即分母是2，再根据真分数的意义“分子小于分母”可知原分数是； 原分数的分子增加4倍，则新分子是4＋1＝5，分母不变，可得出第一个新分数是； 原分数的分母加上8，则分母变成2＋8＝10，分子不变，即第二个新分数是； 把两个新分数相加，求出和即可。 【规范解答】＋ ＝＋ ＝ 【变式训练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）一根5米长的绳子，先减去它的，再减去米，还剩( )。 【答案】 【思路引导】求一个数的几分之几是多少，用乘法。已知：一根5米长的绳子，先减去它的，则先减去了米，再减去米，剩下绳子的长度＝（米），据此列式计算即可。 【规范解答】 （米） 所以一根5米长的绳子，先减去它的，再减去米，还剩米。 【变式训练2】（2025·湖北武汉·小升初真题）A×＝B×＝C÷＝D÷15（A、B、C、D为非0的正数）。最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 B A 【思路引导】假设A×＝B×＝C÷＝D÷15＝1，根据“因数＝积÷另一个因数”“被除数＝商×除数”，分别求出A、B、C、D的值，然后比较即可解答。 【规范解答】假设A×＝B×＝C÷＝D÷15＝1， A×＝1 A＝1÷ ＝1× ＝ B×＝1 B＝1÷ ＝1×20 ＝20 C÷＝1 C＝1×＝ D÷15＝1 D＝1×15＝15 20＞15＞＞，所以B＞D＞C＞A。 所以A×＝B×＝C÷＝D÷15（A、B、C、D为非0的正数）。最大的是B，最小的是A。 【考点剖析】本题的解题关键是运用赋值法，先假设A×＝B×＝C÷＝D÷15＝1的结果为1，再利用乘除逆运算分别算出A、B、C、D的具体数值，最后通过比较这些数值的大小，确定其中最大和最小的数。 题型四 百分数的认识 【典例精讲】（2025·江西吉安·小升初真题）2025年1月17日，国家统计局发布了我国的人口数据，2024年我国总人口（不包括居住在31个省、自治区、直辖市的港澳台居民和外籍人员）为1408280000人。从年龄构成看，16至59岁人口数量为85798万人，占全国人口的比重为60.9%；60岁及以上人口数量为31031万人，占全国人口的22%，其中65岁及以上人口数量为22023万人，占全国人口的15.6%。“____”上的数读作( )，改写为省略“亿”后面的尾数是( )，“____”上的数读作( )；“____”上的数改成用“个”作单位的数是( )。 【答案】 十四亿零八百二十八万； 14亿 百分之六十点九 220230000 【思路引导】（1）1408280000，按照大数的读法，从高位到低位一级一级读，亿级是14读“十四亿”，万级是0828读“零八百二十八万”，个级都是0不读； （2）省略“亿”后面的尾数，看千万位上的0，小于5则舍去，得到近似数。 （3）60.9%，百分数读法是先读“百分之”，再读数字“六十点九”。 （4）22023万改写成“个”作单位的数，因为1万＝10000，所以用22023乘10000，据此解答。 【规范解答】（1）1408280000读作：十四亿零八百二十八万； （2）1408280000≈14亿； （3）60.9%读作：百分之六十点九； （4）22023×10000＝220230000 【变式训练1】（2025·湖南永州·小升初真题）。 【答案】12；20；18；120 【思路引导】从已知的入手，根据分数与除法的关系，分子相当于被除数，分母相当于除数，根据商不变规律，被除数和除数同时乘2，即可求出除数为10时被除数的值； 根据分数与比的关系，分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，根据比的基本性质，前项和后项同时乘4，即可求出前项为24时后项的值； 根据分数的基本性质，分子和分母同时乘4，先求出分母为20时分子的值，再用求得的分子减去6，即可求出括号内的数； 分数化成小数，直接用分子除以分母，将求得的小数的小数点向右移动两位，再添上百分号即可。 【规范解答】＝6÷5＝（6×2）÷（5×2）＝12÷10； ＝6∶5＝（6×4）∶（5×4）＝24∶20； ＝，24－6＝18； ＝6÷5＝1.2＝120%； 即＝12÷10＝24∶20＝＝120%。 【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）一件工作原计划6天完成，实际5天就完工，工作效率提高了( )%。 【答案】20 【思路引导】把总工作量看成单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，即可分别求出计划和实际的工作效率，用实际的效率－原计划的效率，然后再除以原计划的效率，据此解题。 【规范解答】1÷5＝ 1÷6＝ （－）÷ ＝×6 ＝ ＝0.2＝20% 一件工作原计划6天完成，实际5天就完工，工作效率提高了20%。 题型五 正负数的认识 【典例精讲】（2025·福建漳州·小升初真题）一艘潜水艇潜入海平面以下200米，记为﹣200米。这时如果一头鲸鱼在海洋中的高度记为﹣350米，那么这头鲸鱼在潜水艇的( )【选填“上”或“下”】方( )米处。 【答案】 下 150 【思路引导】以海平面为0米，潜水艇记为﹣200米，表示在海平面以下200米；鲸鱼记为﹣350米，表示在海平面以下350米。由于﹣350 ＜ ﹣200，说明鲸鱼的位置比潜水艇更低于海平面，因此鲸鱼在潜水艇的下方。两者之间的垂直距离为350米减去200米，即150米。 【规范解答】潜水艇的高度为﹣200米，鲸鱼的高度为﹣350米。鲸鱼的高度数值更小，表示位置更低，因此鲸鱼在潜水艇的下方。 两者之间的距离：350－200 ＝ 150（米） 所以鲸鱼在潜水艇的下方150米处。 【变式训练1】（2025·四川遂宁·小升初真题）如图：点A表示的数是( )；直线上有一个点D与点C对称，对称轴正好经过“1”，点D表示的数是( )。 【答案】 ﹣1 1/ 【思路引导】数轴上原点（0点）左边的数表示负数，右边的数表示正数，点A在原点0左边表示1个单位长度，表示的数就是﹣1；数轴上有一个D点与C点对称，对称轴刚好经过1，说明D点在1的右边，由于C到1的距离是，那么D到1的距离也是，表示的数就是1。据此结合题意分析解答即可。 【规范解答】如图： 点A在0点的左边，所以点A表示的数是﹣1，点C表示的是，点D表示的数是1。 【变式训练2】（2025·上海闵行·小升初真题）数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是﹣3，原点为O，若点A和点B分别以每秒2个单位长度的速度和每秒5个单位长度的速度同时向右运动，t秒后，点A运动到点C，点B运动到点D，当OD＝2OC时，则t＝( )秒。 【答案】5/ 【思路引导】先求点C表示的数：点A初始表示的数是1，速度是每秒2个单位长度向右运动，根据路程＝速度×时间，t秒后点A运动的距离是2t个单位长度。所以点C表示的数为（1＋2t），那么OC的长度就是点C表示的数的绝对值，因为t≥0，1＋2t＞0，所以OC＝1＋2t。再求点D表示的数：点B初始表示的数是－3，速度是每秒5个单位长度向右运动，t秒后点B运动的距离是5t个单位长度。所以点D表示的数为－3＋5t，即5t－3，OD的长度就是点D表示的数的绝对值。当5t－3≥0，即t≥时，OD＝5t－3；当5t－3＜0，即t＜时，OD＝－（5t－3）＝3－5t。然后分情况列方程求解：当t≥时，因为OD＝2OC，所以方程为5t－3＝2×（1＋2t）。当t＜时，因为OD＝2OC，所以方程为3－5t＝2×（1＋2t）。分别解方程即可。 【规范解答】当t≥时， 5t－3＝2×（1＋2t） 解：5t－3＝2×1＋2×2t 5t－3＝2＋4t 5t－4t－3＝2 t－3＝2 t＝2＋3 t＝5 当t＜时， 3－5t＝2×（1＋2t） 解：3－5t＝2×1＋2×2t 3－5t＝2＋4t 3＝2＋4t＋5t 3－2＝4t＋5t 1＝9t 9t＝1 t＝1÷9 t＝ 数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是﹣3，原点为O，若点A和点B分别以每秒2个单位长度的速度和每秒5个单位长度的速度同时向右运动，t秒后，点A运动到点C，点B运动到点D，当OD＝2OC时，则t＝5或秒。 【考点剖析】题解题关键在于依据速度、时间与路程关系，确定点A、B运动t秒后在数轴上对应的点C、D所表示的数，进而得出OC、OD与t的关系。考虑点D表示数的正负性，分t≥和t＜两种情况，根据OD＝2OC这一关键等量关系列出方程并求解。 题型六 整数的四则运算 【典例精讲】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）乌龟和兔子进行1000米赛跑，兔子速度是乌龟速度的5倍，当它们从起点同时出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它500米，兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后10米，求兔子睡觉期间，乌龟跑了___________米。 【答案】 802 【思路引导】确定总路程与实际跑步路程，乌龟跑完全程1000米，兔子落后10米，求出兔子实际跑的距离，根据兔子速度是乌龟的5倍，求出在兔子跑步的时间内，乌龟跑的路程与兔子跑的路程之间的关系，乌龟一直在跑，其总路程由兔子跑步时乌龟跑的路程和“兔子睡觉时乌龟跑的路程两部分组成，用乌龟的总路程减去兔子跑步期间乌龟跑的路程，即为兔子睡觉期间乌龟跑的路程。 【规范解答】1000－10＝990（米） 因为兔子速度是乌龟速度的5倍，所以在相同时间内，令乌龟速度是1份，兔子速度是5份。 1×时间∶5×时间 ＝1∶5 ＝ 乌龟跑的路程是兔子的，兔子跑步期间乌龟跑的路程：990÷5＝198（米）。 1000−198＝802（米） 【变式训练1】（2025·重庆江北·小升初真题）两个码头相距352千米，一船顺流而下，行完全程需要11小时。逆流而上，行完全程需要16小时，这条河水流速度是___________。 【答案】5千米/小时 【思路引导】根据路程除以时间等于速度，分别求出这条船的顺水速度和逆水速度，然后求出它们的速度差，再除以2即可求出水流的速度。 【规范解答】（352÷11－352÷16）÷2 ＝（32－22）÷2 ＝10÷2 ＝5（千米/小时） 【变式训练2】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）汽车以每小时108千米的速度笔直地开往寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回声，已知声音的速度是每秒340米，听到回声时汽车离山谷的距离是___________米。 【答案】620 【思路引导】本题可先将汽车速度单位换算为米/秒，再分别计算出汽车在4秒内行驶的距离和声音在4秒内传播的距离，最后通过设听到回响时汽车离山谷的距离是x米，那么按喇叭时汽车离山谷的距离是（x＋120）米，根据声音传播的总路程与汽车行驶的路程和等于按喇叭时汽车到山谷距离的2倍，列出方程求解。 【规范解答】1千米＝1000米 1小时＝3600秒 108×1000÷3600 ＝108000÷3600 ＝30（米/秒） 30×4＝120（米） 340×4＝1360（米） 解：设听到回响时汽车离山谷的距离是x米，那么按喇叭时汽车离山谷的距离是（x＋120）米。 2（x＋120）＝120＋1360 2x＋2×120＝1480 2x＋240＝1480 2x＝1480－240 2x＝1240 x＝1240÷2 x＝620 听到回响时汽车离山谷的距离是620米。 【考点剖析】关键是先保证单位的统一，通过“路程和＝2倍初始距离”，将复杂的运动问题转化为简单的方程求解。 题型七 小数的四则运算 【典例精讲】（2025·湖北黄石·小升初真题）哥哥从家骑车去相距5千米的图书馆借书，如图所示，他从出发到回家( )分钟，他从图书馆返回时每分钟行( )千米。 【答案】 140 0.25 【思路引导】（1）图中横轴表示时间、纵轴表示路程，从折线统计图上可以得出哥哥从出发到回到家里，共用了140分钟。 （2）由图可知总路程是5千米，由返回时折线下降可知，所用时间是从120分钟到140分钟，先计算出所用时间，再根据路程÷时间＝速度，求出速度即可。 【规范解答】（1）他从出发到回家，共用了140分钟。 （2）140－120＝20（分钟） 5÷20＝0.25（千米/分） 【变式训练1】（2025·湖南长沙·小升初真题）小李同学从学校打出租车回家，起步价为10元（不超过3千米），之后每多1千米增加2元（不足1千米按1千米计算），小李一共付了18元，则小李学校到她家最多有( )千米。 【答案】7 【思路引导】起步价为10元（不超过3千米），小李一共付了18元，所以多出了8元，每多1千米增加2元（不足1千米按1千米计算），用8÷2可求出多出的路程，加上起步的3千米可求出总路程。 【规范解答】（18－10）÷2 ＝8÷2 ＝4（千米） 4＋3＝7（千米） 所以小李学校到她家最多有7千米。 【变式训练2】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）A的步行速度为每小时5千米，B的步行速度为每小时6千米，他们两人从甲地到乙地去。C骑自行车的速度是A的2倍，从乙地到甲地去，他们三人同时出发，在B、C相遇30分钟后，A又与C相遇，请问：C骑车从乙地到甲地需要______小时。 【答案】12 【思路引导】先用A的速度乘2求出C的速度，利用速度和×时间＝路程和，求出A、C半小时走的路程；这段路程就是B、C相遇时B比A多走的路程，用路程差÷速度差求出相遇时间；再用速度和×相遇时间求出全程，最后用路程÷速度，求出C走完全程的时间。注意单位换算，将30分钟转化为0.5小时。 【规范解答】C的速度：5×2＝10（千米/小时） B、C相遇时，A与B的路程差： （5＋10）×0.5 ＝15×0.5 ＝7.5（千米） B、C的相遇时间： 7.5÷（6－5） ＝7.5÷1 ＝7.5（小时） 甲乙两地的总路程： （6＋10）×7.5 ＝16×7.5 ＝120（千米） C从乙地到甲地的总时间：120÷10＝12（小时） 题型八 分数的四则运算 【典例精讲】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）某项工程，甲单独做需要30天完成，乙单独做需要20天完成。现在由甲、乙两队合作，中途甲队退出，余下的工程由乙队又做了5天才完成任务。如果做完这项工程共得工程款9000元，则甲队能得工程款______元。 【答案】2700 【思路引导】把这项工程的总工作量看作单位“1”，根据“工作总量÷工作时间＝工作效率”，先求出甲、乙两队的工作效率，再用乙的工作效率乘5求出乙单独做5天的工作量，接着用总工作量1减去乙单独做的工作量求出甲乙合作的工作量，再用合作的工作量除以甲乙两队的效率和求出合作的天数，然后用甲的工作效率乘合作天数求出甲完成的工作量，最后用总工程款9000元乘甲完成的工作量占比，即可求出甲队应得的工程款。 【规范解答】甲的工作效率：1÷30＝ 乙的工作效率：1÷20＝ 合作时间：（1－×5）÷（＋） ＝（1－）÷（＋） ＝÷ ＝×12 ＝9（天） 甲队能得工程款：×9×9000 ＝×9000 ＝2700（元） 【变式训练1】（2025·湖北武汉·小升初真题）定义△如下：①△（1）＝3，△（2）＝4；②，则△（6）×△（9）＝______。 【答案】1 【思路引导】根据△（1）＝3，△（2）＝4，，先依次计算出△（3）、△（4）、△（5）、△（6）、△（7）、△（8）、△（9）。 【规范解答】，， ，则， ，则， ，则， ，则， ，则。 △（6）×△（9）＝。 【变式训练2】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）有两根长短不同的蜡烛，长度和为28cm，相同时间内，它们燃烧的长度相同。现将两根蜡烛同时点燃一段时间后，短蜡烛剩下的长度恰好是长蜡烛剩下长度的，而此时长蜡烛剩下的长度跟短蜡烛点燃前一样长，点燃前短蜡烛比长蜡烛短___________cm。 【答案】4 【思路引导】设点燃前长蜡烛的长度为xcm，则短蜡烛的长度为（28－x）cm，通过设未知数，用未知数表示出长、短蜡烛剩下的长度以及长、短蜡烛燃烧的长度，并根据“燃烧长度相同”这一条件建立方程来求解。 【规范解答】解：设点燃前长蜡烛的长度为xcm，则短蜡烛的长度为（28－x）cm。 长蜡烛剩下的长度＝短蜡烛点燃前的长度＝（28－x）cm， 短蜡烛剩下的长度＝长蜡烛剩下长度的，即（28－x）cm， 长蜡烛燃烧的长度＝长蜡烛原长－长蜡烛剩下的长度＝x－（28－x）cm， 短蜡烛燃烧的长度＝短蜡烛原长－短蜡烛剩下的长度＝（28－x）－（28－x）cm。 相同时间内燃烧的长度相同，则： x－（28－x）＝（28－x）－（28－x） x－28＋x＝（28－x）×（1－） 2x－28＝（28－x）× 3（2x－28）＝28－x 3×2x－3×28＝28－x 6x－84＝28－x 6x＋x＝28＋84 7x＝112 x＝112÷7 x＝16 长蜡烛原长x＝16cm，短蜡烛原长28－16＝12（cm） 因此，点燃前短蜡烛比长蜡烛短：16－12＝4（cm） 【考点剖析】抓住“相同时间内燃烧长度相同”这一等量关系，通过设未知数分别表示出长、短蜡烛的原长、剩余长度，进而表示出燃烧长度，建立方程求解。 题型九 百分数的四则运算 【典例精讲】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）数学文化节的选手，平均分数是66分，其中男选手比女选手多50%，而女选手的平均分比男选手高25%，女选手的平均分数是______分。 【答案】75 【思路引导】假设女选手共2人，把女选手的人数看作单位“1”，则男选手人数是女选手的（1＋50%），用女选手的人数乘（1＋50%）即可求出男选手的人数。把男、女选手人数相加求出总人数，再用平均分数乘总人数求出总分数。 把男选手的平均分数看作单位“1”，则女选手的平均分数是男选手的（1＋25%），设男选手的平均分数为x分，则女选手的平均分数是（1＋25%）x分，“男选手的总分数＋女选手的总分数＝总分数”，据此列出方程，根据等式的性质求出x的值，即为男选手的平均分数，然后用男选手的平均分数乘（1＋25%）即可求出女选手的平均分数。 【规范解答】假设女选手有2人。 男选手人数：2×（1＋50%） ＝2×150% ＝2×1.5 ＝3（人） 总分数：66×（2＋3） ＝66×5 ＝330（分） 解：设男选手的平均分数为x分，则女选手的平均分数为（1＋25%）x分。 3x＋2×（1＋25%）x＝330 3x＋2×125%x＝330 3x＋2×1.25x＝330 3x＋2.5x＝330 5.5x＝330 5.5x÷5.5＝330÷5.5 x＝60 60×（1＋25%） ＝60×125% ＝60×1.25 ＝75（分） 【变式训练1】（2025·重庆渝北·小升初真题）容积不同的A、B两容器中都装有酒精溶液，A中的酒精浓度为72%，B中的酒精浓度为63%。若将A与B两容器中的酒精混合，混合后的浓度为68%；若A容器中的酒精用去50毫升，B容器中的酒精用去13毫升，再将两容器的剩余酒精混合，混合后的浓度为67%。A容器中原有酒精溶液____毫升。 【答案】110 【思路引导】根据题意分析，假设A、B两容器中的酒精体积分别是VA和VB，那么VA×72%＋VB×63%＝VA×68%＋VB×68%＝VA×（72%－68%）＝VB×（68%－63%），可得VA∶VB＝（68%－63%）∶（72%－68%）＝5%∶4%＝5∶4；设A容器中有酒精溶液5x毫升，B容器中有酒精溶液4x毫升，可得（5x－50）×72%＋（4x－13）×63%＝（5x－50）×67%＋（4x－13）×67%，解方程后再乘5即可求出A容器中的原有的酒精溶液的体积。 【规范解答】根据题意分析，假设A、B两容器中的酒精体分别是VA和VB，那么VA×72%＋VB×63%＝VA×68%＋VB×68%＝VA×（72%－68%）＝VB×68%－63%），可得VA∶VB＝（68%－63%）∶（72%－68%）＝5%∶4%＝5∶4； 解：设A容器中有酒精溶液5x毫升，B容器中有酒精溶液4x毫升。 （5x－50）×72%＋（4x－13）×63%＝（5x－50）×67%＋（4x－13）×67% （5x－50）×（72%－67%）＝（4x－13）×（67%－63%） （5x－50）×5%＝（4x－13）×4% （5x－50）×5＝（4x－13）×4 25x－250＝16x－52 25x－16x＝250－52 9x＝198 x＝22 22×5＝110（毫升） 所以A容器中原有酒精溶液110毫升。 【考点剖析】本题的关键是运用酒精溶液混合后酒精总质量不变从而求出两种溶液体积比，并结合使用后剩余溶液中酒精质量建立等量关系列方程解答。 【变式训练2】（2025·重庆北碚·小升初真题）某校六年级举行语文和数学竞赛，参加竞赛的人数占全年级总人数的，参加语文竞赛的人数占竞赛总人数的，参加数学竞赛的人数占竞赛总人数的，两项竞赛都参加的有21人，该校六年级共有______名学生。 【答案】450 【思路引导】先用（）求出两项竞赛都参加的21人占参加竞赛人数的分率，再用21除以这个分率求出参加竞赛的人数，最后用参加竞赛的人数除以20%就是六年级学生总数。 【规范解答】 （名） （名） 则该校六年级共有450名学生。 【考点剖析】遇到 “两项都参加 / 都选” 的题目，先算重叠部分占总数的分率，再用 “具体人数 ÷ 对应分率” 算总数，这是解决这类题的常用方法。 题型十 运算定律与简便运算 【典例精讲】（2025·湖北武汉·小升初真题）计算______。 【答案】 【思路引导】根据裂项消项公式：把原式通过拆分后转化为：，中间项经过抵消后保留的变为－（＋＋＋……＋），进一步变为－0.5×（），再把括号内的项根据进行拆分，得：－0.5×（），经过抵消变为－0.5×（），最后加上首项，再减去末项，通分计算即可。 【规范解答】 ＝ ＝－（＋＋＋……＋）－ ＝－0.5×（）－ ＝－0.5×（）－ ＝－×（）－ ＝－×－ ＝－－ ＝ ＝ ＝ ＝ 【变式训练1】（2025·湖北武汉·小升初真题）我们约定，自然数中能被3整除的数称为“三合数”，不能被3整除的数称为“三素数”，从1到20的自然数中任取一个“三合数”与一个“三素数”相乘得到84个乘积，则这84个乘积的和为______。 【答案】9261 【思路引导】先找出1到20的自然数里所有的“三合数”和“三素数”。三合数有：3、6、9、12、15、18；三素数有：1、2、4、5、7、8、10、11、13、14、16、17、19、20。所有乘积的和＝3×1＋3×2＋…＋3×20＋…＋18×19＋18×20，根据乘法分配律的逆运算，分别求出所有“三合数”与“三素数”的和，再相乘。 【规范解答】由分析可知，这84个乘积的和列式为： 3×1＋3×2＋…＋3×20＋…＋18×19＋18×20 ＝3×（1＋2＋4＋5＋7＋8＋10＋11＋13＋14＋16＋17＋19＋20）＋…＋18×（1＋2＋4＋5＋7＋8＋10＋11＋13＋14＋16＋17＋19＋20） ＝（3＋6＋9＋12＋15＋18）×（1＋2＋4＋5＋7＋8＋10＋11＋13＋14＋16＋17＋19＋20） ＝63×147 ＝9261 这84个乘积的和为9261。 【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）＝( )。 【答案】2 【思路引导】整数乘法运算定律在分数乘法中同样适用。乘法分配律：，先把2006×2008看作整体，再运用乘法分配律，计算即可。 【规范解答】 所以。 【考点剖析】运用乘法分配律是解题的关键。 题型十一 倍的运算 【典例精讲】（2025·四川绵阳·小升初真题）一盘草莓有20个左右，几位小朋友分，若每人分3个，则余下2个；若每人分4个，则差3个，这盘草莓有( )个。 【答案】17 【思路引导】若每人分3个，余2个，就是3的倍数加2，在20左右找出这样的数．若每人分4个，差3个，就是4的倍数减3，也在20左右找出这样的数。在这两组数中找到相同的数即可解答。据此解答。 【规范解答】如果每人分3个，余2个，则有可能是 3×5＋2 ＝15＋2 ＝17（个） 3×6＋2 ＝18＋2 ＝20（个） 3×7＋2 ＝21＋2 ＝23（个） 若每人分4个，差3个，则可能是 4×5－3 ＝20－3 ＝17（个） 4×6－3 ＝24－3 ＝21（个） 4×7－3 ＝28－3 ＝25（个） 因此这盘草莓有17个。 所以一盘草莓有20个左右，几位小朋友分，若每人分3个，则余下2个；若每人分4个，则差3个，这盘草莓有17个。 【变式训练1】（2024·广东梅州·小升初真题）如图的竖式中，第二个乘数是45，则箭头所指的乙是甲的( )。 【答案】8倍 【思路引导】由图可知：甲等于第一个因数乘5，乙等于第一个因数乘40，据此用40除以5求出乙是甲的几倍即可。 【规范解答】40÷5＝8 所以箭头所指的乙是甲的8倍。 【变式训练2】（2024·河南南阳·小升初真题）如图，AD＝DB，AE＝EF＝FC。已知阴影部分的面积是5平方厘米，△BAC的面积是( )平方厘米。 【答案】30 【思路引导】 如图，连接CD，因为AE＝EF＝FC，所以△DAC的面积等于△DEF面积的3倍；又因为AD＝DB，所以△BAC的面积为△DAC面积的2倍；已知△DEF的面积是5平方厘米，先计算出△DAC的面积，用△DAC的面积乘2，即为△BAC的面积。 【规范解答】 连接CD，因为AE＝EF＝FC， 所以S△DAC＝3×S△DEF＝3×5＝15（平方厘米）。 又因为AD＝DB， 所以S△BAC＝2×S△DAC＝2×15＝30（平方厘米）。 因此△BAC的面积是30平方厘米。 题型十二 用字母表示数 【典例精讲】（2025·山东青岛·小升初真题）如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 (1)探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 (2)总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是( )。 (3)应用：像这样如果剪切20次，会分成( )段。 【答案】(1)7；10 (2)b＝3a＋1 (3)61 【思路引导】（1）剪1次分成4段，剪2次分成（4＋3＝4＋3×1）段，剪3次分成（4＋3＋3＝4＋3×2）段。 （2）总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是b＝4＋3×（a－1）。 （3）应用：像这样如果剪切20次，就是当a＝20时，代入a和b的关系式，求出b即可。 【规范解答】（1）剪2次： 4＋3×1 ＝4＋3 ＝7（段） 剪3次： 4＋3×2 ＝4＋6 ＝10（段） 填数如下： （2）4＋3×（a－1） ＝4＋3a－3 ＝（3a＋1）段 因此剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系为b＝3a＋1。 （3）当a＝20时，代入b＝3a＋1得： 3×20＋1 ＝60＋1 ＝61（段） 【变式训练1】（2025·浙江宁波·小升初真题）有一个长方体储碗柜，内部尺寸如图1。现在柜子里放置相同规格的碗，其中2只碗和6只碗叠起来的高度如图2所示。 (1)若有只碗叠起来，它的高度是( )cm（用含有字母的式子表示）。 (2)若按图所示摆放，这个储碗柜最多可摆放( )只这种规格的碗。 【答案】(1)1.5n＋4.5 (2)75 【思路引导】（1）观察图2，6只碗叠起来的高度－2只碗叠起来的高度＝4只碗露出部分的高度，除以4求出叠起来1只碗露出部分的高度，2只碗叠起来的高度－1只碗露出部分的高度＝1只碗的高度，根据总高度＝（碗的数量－1）×1只碗露出部分的高度＋1只碗的高度，用字母表示出n只碗的高度即可； （2）根据第（1）题的分析，可得碗的数量＝（总高度－1只碗的高度）÷1只碗露出部分的高度＋1（结果用去尾法保留整数），求出每叠碗的数量，储碗柜的长÷碗的宽度＝沿长放的数量，储碗柜的宽÷碗的宽度＝沿宽放的数量，沿长放的数量×沿宽放的数量×每叠碗的数量＝这个储碗柜最多可摆放的数量，据此列式计算。 【规范解答】（1）（13.5－7.5）÷（6－2） ＝6÷4 ＝1.5（cm） 7.5－1.5＝6（cm） （n－1）×1.5＋6 ＝1.5n－1.5＋6 ＝（1.5n＋4.5）cm 若有只碗叠起来，它的高度是（1.5n＋4.5）cm。 （2）（13－6）÷1.5＋1 ＝7÷1.5＋1 ≈4＋1 ＝5（只） 60÷12＝5（只） 36÷12＝3（只） 5×3×5＝75（只） 这个储碗柜最多可摆放75只这种规格的碗。 【考点剖析】关键是看懂图示，先求出1只碗的高度。 【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）我们用r（n）表示n的因数个数，比如r（20）＝6，满足r（n）＋r（n＋1）＝r（100）的正整数n且n＜100的所有取值的总和是______。 【答案】145 【思路引导】需要找到所有的正整数，n＜100，满足r（n）＋r（n＋1）＝r（100），其中r（n）表示n的因数个数，先找出100的因数个数是9个，即r（100）＝9，因此要满足r（n）＋r（n＋1）＝9，由于9是奇数，因此n和n＋1必须一个为奇数、一个为偶数，即n和n＋1中一个为完全平方数，另一个不是，枚举所有可能情况：当 n是平方数时，检查n为1，4，9，16，25，36，49，64，81；当n＋1是完全平方数时，检查3，8，15，24，35，48，63，80，99，计算每组r（n）和r（n＋1），找出满足条件的即可解答。 【规范解答】100的因数有1、2、4、5、10、20、25、50、100，所以r（100）＝9，即r（n）＋r（n＋1）＝9，由于 9 是奇数，因此n和n＋1必须一个为奇数、一个为偶数，即n和n＋1中一个为完全平方数，另一个不是。 当 n是平方数时，检查n为1，4，9，16，25，36，49，64，81； 当n＝1时，r（1）＝1，r（2）＝2，1＋2＝3，不符合题意； 当n＝4时，r（4）＝3，r（5）＝2，3＋2＝5，不符合题意； 当n＝9时，r（9）＝3，r（10）＝4，3＋4＝7，不符合题意； 当n＝16时，r（16）＝5，r（17）＝2，5＋2＝7，不符合题意； 当n＝25时，r（25）＝3，r（26）＝4，3＋4＝7，不符合题意； 当n＝36时，r（36）＝9，r（37）＝2，9＋2＝11，不符合题意； 当n＝49时，r（49）＝3，r（50）＝6，3＋6＝9，符合题意； 当n＝64时，r（64）＝7，r（65）＝4，7＋4＝11，不符合题意； 当n＝81时，r（81）＝5，r（82）＝4，5＋4＝9，符合题意； 所以此时满足条件的为49和81。 当n＋1是完全平方数时，检查3，8，15，24，35，48，63，80； 当n＝3时，r（3）＝2，r（4）＝3，2＋3＝5，不符合题意； 当n＝8时，r（8）＝4，r（9）＝3，4＋3＝7，不符合题意； 当n＝15时，r（15）＝4，r（16）＝5，4＋5＝9，符合题意； 当n＝24时，r（24）＝8，r（25）＝3，8＋3＝11，不符合题意； 当n＝35时，r（35）＝4，r（36）＝9，4＋9＝13，不符合题意； 当n＝48时，r（48）＝10，r（49）＝3，10＋3＝13，不符合题意； 当n＝63时，r（63）＝6，r（64）＝7，6＋7＝13，不符合题意； 当n＝80时，r（80）＝10，r（81）＝5，10＋5＝15，不符合题意； 当n＝99时，r（99）＝6，r（100）＝9，6＋9＝15，不符合题意。 所以此时满足条件的为15。 综上，满足条件的 n为 15，49，81。 15＋49＋81 ＝64＋81 ＝145 所以所有取值的总和是145。 【考点剖析】找出100的所有因数是9个，结合题意推断出n和n＋1必须一个为奇数、一个为偶数，即n和n＋1中一个为完全平方数，另一个不是，枚举所有可能情况是解题的关键。 题型十三 方程的解与解方程 【典例精讲】（2025·重庆北碚·小升初真题）一个数的小数点向右移动两位，结果比原来增加了39.6，原来这个数是______。 【答案】 0.4 【思路引导】一个数的小数点向右移动两位，说明扩大到原来的100倍，设原数为x，则移动后的数为100x。根据题意，移动后的数比原数增加了39.6，即100x－x＝39.6。解方程即可求出原数。 【规范解答】解：设原来的数为x。 100x－x＝39.6 99x＝39.6 99x÷99＝39.6÷99 x＝0.4 所以原来这个数是0.4。 【变式训练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）绵阳有一古寺叫圣水寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364个碗。圣水寺里的和尚一共有( )个。 【答案】624 【思路引导】根据题意，设圣水寺里的和尚一共有个。已知3个和尚合吃一碗饭，则每个和尚吃碗饭，即吃饭用 个碗；4个和尚合分一碗汤，则每个和尚喝碗汤，即喝汤用 个碗；根据“一共用了364个碗”可得出等量关系：吃饭用碗的数量＋喝汤用碗的数量＝用碗的总数，据此列出方程，并求解。 【规范解答】解：设圣水寺里的和尚一共有个。 ＋ ＝364 ＋ ＝364 ＝364 ＝364÷ ＝364× ＝624 圣水寺里的和尚一共有624个。 【变式训练2】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）6条谜语让50人猜测，共猜对了178条。已知每人至少猜对2条，且猜对2条的有16人，猜对4条的有9人，猜对3条和5条的人数一样多，那么6条全猜对的有( )人。 【答案】5 【思路引导】由题意可得如下数量关系： 关系①：猜对3条、5条、6条一共的人数＝总人数－猜对2条的人数－猜对4条的人数， 关系②：猜对3条的人数＝猜对5条的人数， 关系③：猜对3条的人数×3＋猜对5条的人数×5＋猜对6条的人数×6＝总条数－猜对2条的人数×2－猜对4条的人数×4，设猜对3条的有人，猜对5条的有人，根据关系①可表示猜对6条的人数，再利用关系③列方程。 【规范解答】猜对3条、5条、6条一共的人数： 50－16－9＝25（人） 分别猜对3条、5条、6条的人一共猜对的总条数： 178－2×16－4×9 ＝178－32－36 ＝110（条） 解：设猜对3条的有人，猜对5条的有人，猜对6条的有（25－－）人。 猜对6条的人数： 25－10－10 ＝15－10 ＝5（人） 所以猜对6条的人数为5人。 题型十四 比 【典例精讲】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）甲走的路程比乙走的路程多，乙用的时间比甲用的时间少，那么甲、乙两人的速度之比是______。 【答案】10：9 【思路引导】利用假设法，把乙走的路程看作单位“1”，算出甲的路程；把甲用的时间看作单位“1”，算出乙用的时间。根据速度＝路程÷时间，分别算出甲和乙两人的速度。再求出他们的速度比。 【规范解答】把乙走的路程看作单位“1”，那么甲走的路程是（1＋）。 把甲用的时间看作单位“1”，那么乙用的时间是（1－）。 甲的速度：（1＋）÷1＝ 乙的速度：1÷（1－）＝ 甲乙两人的速度比： 【变式训练1】（2025·山东青岛·小升初真题）下图是两个完全相同的等腰直角三角形，甲和乙分别是等腰直角三角形的两种不同的内接正方形，则图中甲与乙的面积比是( )。 【答案】9∶8 【思路引导】 如图，连接小正方形的对角线，等腰直角三角形1、2的面积都是小正方形乙的，等腰直角三角形5的面积是正方形乙的，可以求出正方形乙占大三角形的比例；等腰直角三角形3、4的面积都是小正方形甲的，可以求出正方形甲占大三角形的比例。两个大三角形的面积相等，那么正方形甲和正方形乙的面积比即可求出。 【规范解答】若设正方形乙的面积为1，则大三角形的面积是：1＋＋＋＝，正方形乙占大三角形的比例为：1÷＝；因为小三角形3、4的面积和等于正方形甲的面积，所以正方形甲占大三角形的比例是；那么正方形甲和正方形乙的面积比为：∶＝（×18）∶（×18）＝9∶8。 【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2点钟派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1小时。这位劳模在下午1点钟便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车赶往学校，在下午2点40分到达。汽车速度是劳模步行速度的______倍。 【答案】8 【思路引导】分析题意，我们可以画图帮助分析，如下图，A是学校，C是工厂，B是相遇地点， 汽车从A到C往返需要1小时，从A到B往返要40分钟即小时，这说明AB＝AC，即也说明汽车从A到B要用40÷2＝20（分钟），而劳模由C到B要用1小时＋20分，即80分钟．是汽车的4倍，又知AB＝2BC，即汽车的路程是劳模的2倍，于是汽车的速度是劳模步行速度的4×2＝8倍。 【规范解答】汽车从A到B往返的时间是从A到C往返时间的：40÷60＝， 汽车从A到B往返的路程是从A到C往返路程的， 汽车从A到B用的时间：40÷2＝20（分钟）， 汽车从B到C用的时间：20÷2＝10（分钟）， 劳模从C到B用的时间：60＋20＝80（分钟）， 汽车时间是劳模时间的：10÷80＝， 所以汽车速度是劳模速度的8倍。 【考点剖析】此题主要根据汽车所用时间是劳模所用时间的几分之几，那么汽车速度就是劳模速度的几倍．只要求出从C到B汽车和劳模各用的时间，即可解决问题。 题型十五 比例 【典例精讲】（2025·重庆渝北·小升初真题）“宫、商、角、徵、羽”是我国古代音乐的基本音阶，基本音阶“徵”的发音管长度比基本音阶“宫”的发音管长，且“徵”的发音管长度∶“宫”的发音管长度，那么_____。 【答案】 【思路引导】首先依据“徵的发音管长度比宫长”，把宫的长度看作单位“1”，得出徵的长度为1＋＝，进而转化得到徵与宫的长度比为；接着结合题目给出的比例，根据比例的基本性质“内项积等于外项积”列出方程，求出未知数b的值。 【规范解答】徵与宫的长度比∶（1＋）＝＝ 所以。 【考点剖析】先是把“徵比宫长”的分数关系，转化为“徵∶宫＝4∶3”的最简整数比；接着借助比例的基本性质，把比例式转成方程求出未知数b的值。 【变式训练1】（2025·新疆克拉玛依·小升初真题）甲、乙两人比赛120米滑雪，乙让甲先滑10秒。他们两人滑的路程与时间的关系如下图。 (1)在滑完全程中，( )滑行的路程和时间成正比例。 (2)前15秒，甲平均每秒滑行( )米；后50秒，甲平均每秒滑行( )米；甲滑完全程的平均速度是每秒( )米。 【答案】(1)乙 (2) 【思路引导】在第一问中，根据正比例图像的特点，如果两个量成正比例关系，它们的图像是一条直线，也就是两个量的比值一定，由图可知，乙滑行的路程和时间成正比例；在第二问中，要计算甲每秒滑行多少米，要用前15秒滑行的总米数除以用的时间，按相同的方法求后50秒中，平均每秒滑行的米数，再用总米数除以总时间可计算出甲滑行全程的平均速度。 【规范解答】（1）乙滑行的路程和时间成正比例 （2）40÷15＝； （120-40）÷（65-15） ＝80÷50 ＝； 120÷65＝ 所以前15秒，甲平均每秒滑行米；后50秒，甲平均每秒滑行米；甲滑完全程的平均速度是每秒米。 【变式训练2】（2025·广东湛江·小升初真题）把一幅地图上的线段比例尺改写成数值比例尺是( )；如果在这幅地图上量得甲、乙两地的距离是5cm，那么甲、乙两地的实际距离是( )km。 【答案】 1∶4000000 200 【思路引导】根据线段比例尺可知，图上距离1cm表示实际距离40km。 根据比例尺＝图上距离∶实际距离，计算时需统一单位；再根据线段比例尺的含义，求图上5cm表示的实际距离，就是求5个40km是多少，用乘法计算。 【规范解答】1cm∶40km＝1∶4000000 40×5＝200（km） 这个线段比例尺写成数值比例尺是1∶4000000。如果在这幅地图上量得甲、乙两地的距离是5cm，那么甲、乙两地的实际距离是200km。 题型十六 典型应用题 【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有( )个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有( )个黑色圆片。 【答案】 26 10 【思路引导】1个黑圆时，白圆有6个； 2个黑圆时，白圆有6＋4＝6＋4×1＝6＋4×（2－1）＝10个； 3个黑圆时，白圆有6＋4＋4＝6＋4×2＝6＋4×（3－1）＝14个； …… n个黑圆时，白色圆片数为： 6＋4×（n－1） ＝6＋4n－4 ＝（4n＋2）个。 当白色圆片个数为42个时，即4n＋2＝42，解关于n的方程即可。 【规范解答】当有n个黑圆片时，白色圆片个数为（4n＋2）个 当n＝6时， 4n＋2 ＝4×6＋2 ＝24＋2 ＝26（个） 解：4n＋2＝42 4n＝42－2 4n＝40 n＝40÷4 n＝10 【变式训练1】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）从甲城到乙城，货车要行6小时，客车要行8小时，货车的速度与客车的速度的最简比是______。 【答案】 4∶3 【思路引导】本题考查比的应用以及行程问题中速度、时间、路程之间的关系。已知从甲城到乙城的路程一定，可以把这段路程看作单位“1”，根据“速度＝路程÷时间”分别表示出货车和客车的速度，再写出比并利用比的基本性质化简为最简整数比。 【规范解答】把甲城到乙城的路程看作单位“1”。 货车的速度： 客车的速度： 货车速度与客车速度的比： 货车的速度与客车的速度的最简比是 4∶3。 【变式训练2】（2025·湖北武汉·小升初真题）小华5点半吃完晚饭，之后出门散步，并在六点半前回家，出发时看到分针与时针垂直，回来时分针与时针还是垂直，则小华散步的时长为______分钟。 【答案】/ 【思路引导】在钟面上，分针每分钟走6°，时针每分钟走0.5°，分针与时针的速度差是6°－0.5°＝5.5°，出发时分针与时针垂直，即分针比时针超前90°，回家时分针与时针再次垂直，即分针落后时针90°，从出发到回来，分针相对于时针多走了90°＋90°＝180°，用多走的度数除以分针与时针的速度差即可解答。 【规范解答】（90°＋90°）÷（6°－0.5°） ＝180°÷5.5° ＝（分） 【考点剖析】关键是理解垂直关系对应的度数差以及分针与时针的速度关系，根据相对路程差除以速度差得到时间。 题型十七 平面图形的认识与测量 【典例精讲】（2025·重庆江北·小升初真题）在一个圆形时钟的表面，为指针的旋转中心，表示秒针，表示分针，若现在的时间恰好是14点整，当的面积刚好达到最大值时，经过( )秒。 【答案】 / 【思路引导】由题可知，在三角形AOB中，秒针OA和分针OB的长度固定，当两针互相垂直时，三角形面积最大；14点整，两针重合指向12，秒针比分针多走90°时两针垂直，钟面一圈360°，分为60小格，多走度数÷钟面度数×总格数＝多走格数；秒针每秒走1小格，分针每分钟走1小格，1分钟＝60秒，1格÷60秒＝分针速度；秒针速度－分针速度＝速度差，多走格数÷速度差＝经过时间。 【规范解答】90°÷360°×60＝15（格） 1÷60＝（格/秒） （格/秒） （秒） 【变式训练1】（2025·重庆江北·小升初真题）如图，在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段，图中阴影部分的面积占整个图形面积的___________。 【答案】 【思路引导】用割补法，从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形，将这两个直角三角形拼成一个长方形，据此可以解答。 【规范解答】见下图 观察拼成的长方形可知，图中涂色部分的面积占整个图形面积的。 【考点剖析】过顶点作三角形的高后拼成一个长方形是解决这个题目的关键所在。 【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）如图，直角的斜边，以点为中心，将顺时针旋转，点分别到达点，则边扫过的面积（即图中阴影部分面积）是( )。（取3） 【答案】75 【思路引导】根据题意，直角顺时针旋转了120°，则∠ABE＝120°；∠CBD＝180°－∠ABC＝180°－60°＝120°。 直角的面积与直角的面积相等。 阴影部分的面积＝以AB为半径、圆心角是120°的扇形面积＋直角的面积－直角的面积－以BC为半径、圆心角为120°的扇形面积 ＝以AB为半径、圆心角是120°的扇形面积－以BC为半径、圆心角为120°的扇形面积 扇形的面积＝πr2× 【规范解答】阴影部分面积：3×102×－3×52× ＝3×100×－3×25× ＝3×100×－3×25× ＝3××（100－25） ＝3××75 ＝1×75 ＝75 题型十八 立体图形的认识与测量 【典例精讲】（2025·山东青岛·小升初真题）《新华字典》的长、宽、高分别是10厘米、13厘米和3厘米，老师要用纸把2本《新华字典》包起来，要求包装方法最省纸，那么需要包装纸至少( )平方厘米。 【答案】536 【思路引导】要使包装纸最少，就要让面积最大的两个面重叠在一起，包装成一个长是10厘米，宽是13厘米，高是3×2＝6厘米的长方体。要求包装纸的面积就是求这个长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【规范解答】3×2＝6（厘米） （10×13＋10×6＋13×6）×2 ＝（130＋60＋78）×2 ＝（190＋78）×2 ＝268×2 ＝536（平方厘米） 【变式训练1】（2025·湖南长沙·小升初真题）一个用小正方体搭成的几何体，如图是从它的两个不同方向看到的形状，要符合这两个条件，最少需要__________块，最多需要__________块，共有__________种摆法。 【答案】 7 8 2 【思路引导】通过上面视图明确底层分布是第1、3列各2个、第2列1个，共5个小正方体；再看正面视图，可知第1、2列需要摆2层。由于上面视图里第1列有2个位置、第2列有1个位置，要满足最少块数，只需在第1列选1个位置、第2列选1个位置各摆1个（共2个），加上底层5个，最少共7块；要满足最多块数，则在第1列的2个位置、第2列的1个位置都摆上（共3个），加上底层5个，最多共8块。摆法数量需看第1列第2层的位置选择：第1列有2个位置可选，第2列固定1个位置，因此有2种摆法。 【规范解答】最少块数：底层块数＋第2层最少块数＝5＋（1＋1）＝7 最多块数：底层块数＋第2层最多块数＝5＋（2＋1）＝8 摆法数：第1列第2层的位置选择数（2种）×第2列第2层的位置选择数（1种）＝2×1＝2 最少需要7块，最多需要8块，共有2种摆法。 【考点剖析】先通过上面视图锁定底层的分布与数量，再结合正面视图明确各列的层数要求，最少块数是在满足层数的前提下“少放”第2层的小正方体，最多块数是“放满”第2层的所有可能位置；摆法数量则由第2层可选的位置组合决定。 【变式训练2】（2025·江苏淮安·小升初真题）冰冰和明明将两个体积相等的铁块，分别浸没在高度相等的甲、乙两个圆柱体水杯中，两铁块全部浸入水中，甲杯水面上升3厘米，乙杯水面上升了5厘米，甲乙两个水杯的容积之比是________。 【答案】5∶3 【思路引导】由于这两个铁块体积相同，甲杯水面上升3厘米，乙杯水面上升5厘米，设甲水杯的底面积（内）为S，则乙水杯的底面积（内）为S，再设甲、乙水杯高为h。根据圆柱的体积计算公式“V＝Sh”，分别求出甲、乙两个水杯的容积，再根据比的意义，即可写出甲、乙两个水杯的容积，再化成最简整数比。 【规范解答】解：设甲水杯的底面积（内）为S，则乙水杯的底面积（内）为S、乙水杯高为h。 Sh∶Sh ＝1： ＝（1×5）：（×5） ＝5∶3 答：甲、乙两个水杯的容积比是5∶3。 【考点剖析】这道题难点主要构建出甲乙两杯底面积的关系，根据圆柱体积的应用及比的基本性质化简。 题型十九 图形的拼组 【典例精讲】（2025·湖北十堰·小升初真题）如图，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm。D、E分别为BC、AC边上一点。现将三角形ABC沿线段AD对折，使得点E与点B重合。三角形ABC的面积是( )cm2，阴影部分三角形CDE的面积是( )cm2。 【答案】 24 6 【思路引导】三角形的面积＝底×高÷2，据此代入数据求出三角形ABC的面积。由于沿AD折叠，所以三角形AED和三角形ABD完全一样，即BD＝ED，AB＝AD＝6，则CE＝（10－6），根据图可知，三角形CDE、三角形AED、三角形ABD的高相等，可以设高为hcm，再根据三角形CDE、三角形AED、三角形ABD的面积之和等于三角形ABC的面积列出方程，再进一步求出高ED，最后根据阴影部分三角形CDE的底是CE，高是ED代入三角形的面积公式计算即可。 【规范解答】8×6÷2 ＝48÷2 ＝24（cm2） 所以三角形ABC的面积是24cm2。 由题图可知三角形CDE、三角形AED、三角形ABD的高相等； 解：设高为hcm。 6×h÷2＋6×h÷2＋（10－6）×h÷2＝24 3h＋3h＋2h＝24 8h＝24 8h÷8＝24÷8 h＝3 （10－6）×3÷2 ＝4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（cm2） 所以阴影部分三角形CDE的面积是6cm2。 【考点剖析】本题重点在于利用转化法求阴影三角形的高，由对折可知AE＝AB，进而可求得CE的长。由三角形CDE、三角形AED、三角形ABD的高相等，设高为hcm，再根据三角形CDE、三角形AED、三角形ABD的面积之和等于三角形ABC的面积列出方程，解得h，即可求得阴影部分三角形CDE的面积。 【变式训练1】（2025·浙江杭州·小升初真题）如下图操作，可以将一个正方形剪成一个特殊的三角形。那么( )°，∠2＝( )°。 【答案】 30 60 【思路引导】正方形的四个角都是直角，即90°，经过对折、斜折等操作后，通过观察图形可知，∠2所在的三角形是等边三角形，因为它的三条边长度相等，是正方形的边长折叠得到的，所以其三个内角均为60°，即∠2＝60°。 由折叠特点可知，∠1所在的三角形和下方空白的三角形完全相等，同时∠1等于∠2的一半，即60÷2＝30°。 【规范解答】根据分析可知： 如图操作，可以将一个正方形剪成一个特殊的三角形。那么30°，∠2＝60°。 【变式训练2】（2025·安徽合肥·小升初真题）如图，把底面直径为4厘米的圆柱切成若干等份，再拼成一个近似的长方体后，表面积比原来增加了20平方厘米，圆柱的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 87.92 62.8 【思路引导】根据圆柱体积公式的推导方法可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，拼成的近似长方体的表面积比圆柱的表面积增加了两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面半径，根据长方形的面积公式：，那么，把数据代入公式求出圆柱的高，再根据圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，圆柱的体积＝底面积×高，把数据代入公式解答。 【规范解答】求圆柱的高： 求圆柱表面积： 求圆柱体积： 所以，圆柱的表面积是平方厘米，体积是立方厘米。 题型二十 图形与变换 【典例精讲】（2025·甘肃武威·小升初真题）为落实“双减”政策，响应国家要求中小学生每天锻炼1小时的号召，某校开展了形式多样的“阳光体育运动”活动，该校阳光大课间活动从9：45分钟开始，10：10分结束，则大课间活动时间为( )小时，这期间钟面上的分钟旋转了( )度。 【答案】 150 【思路引导】经过时间＝结束时刻－开始时刻，再根据1时＝60分，低级单位换算成高级单位除以进率计算出结果。由钟面特点知：钟面上一大格30°，1小格6°，分钟走一大格5分钟，走1小格1分钟，据此计算填空。 【规范解答】10时10分－9时45分＝25分 ，则25分＝时 25×6°＝150° 所以该校阳光大课间活动从9：45分钟开始，10：10分结束，则大课间活动时间为小时，这期间钟面上的分钟旋转了150度。 【变式训练1】（2024·安徽淮北·小升初真题）如图有( )条对称轴，如果每个圆的周长是25.12cm，长方形的面积是( )cm2。 【答案】 2 128 【思路引导】根据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，据此即可解答。 根据图可知，圆的直径＝长方形的宽，圆的直径×2＝长方形的长，根据圆的周长＝π×直径，直径＝周长÷π，据此求出圆的直径，进而求出长方形的长，再根据长方形面积＝长×宽，据此求出长方形面积。 【规范解答】如图： ，有2条对称轴。 25.12÷3.14＝8（厘米） 8×2＝16（厘米） 8×16＝128（平方厘米） 有2条对称轴，如果每个圆的周长是25.12cm，长方形的面积是128cm2。 【变式训练2】（2024·山东德州·小升初真题）如图，数线上的长方形长8厘米，宽4厘米，长方形以1厘米/秒的速度向右平移。当长方形运动4秒时，长方形与圆的重叠面积为( )平方厘米。 【答案】6.28 【思路引导】依据题意结合图示可知，先确定长方形运动4秒时到达的位置，4秒后，长方形平移了4厘米，此时长方形的宽刚好和圆的直径重合，面积重叠部分为半圆，然后计算半圆的面积即可。 【规范解答】半径：4÷2＝2（厘米） 1×4＝4（厘米） 8＋4＝12（厘米） 所以长方形的右边的宽运动到12厘米处，重叠部分为半圆。 3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（平方厘米） 所以长方形与圆的重叠面积为6.28平方厘米。 题型二十一 位置与方向 【典例精讲】．（2025·湖南长沙·小升初真题）由编号1~150的150名YMO小明星们组成的方阵，开始都面朝东方站立，第一次所有编号是1的倍数的小朋友向左转，第二次所有编号是2的倍数的小朋友再向左转，第三次所有编号是3的倍数的小朋友再向左转……最后一次所有编号是150的倍数的小朋友再向左转，最后所有小朋友中有______名小朋友面朝南方。 【答案】7 【思路引导】每个小朋友左转的次数等于其编号的约数个数。初始面朝东方，每次左转方向变化：东→北→西→南→东，每4次左转方向循环一次。因此，最终方向取决于约数个数除以4的余数。面朝南方需要约数个数是3，或约数个数除以4余3。约数个数为奇数的编号必为完全平方数，因此只需检查1到150中的完全平方数，计算其约数个数并判断余数是否为3。 【规范解答】编号1~150中，完全平方数有12个：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144。计算每个平方数的约数个数并求模4余数： 1：约数个数1，1 ≠3 4：约数个数3，3 ＝3，符合 9：约数个数3，3 ＝3，符合 16：约数个数5，5÷ 4 ＝1……1，1 ≠3 25：约数个数3，3 ＝3，符合 36：约数个数9，9 ÷ 4 ＝2……1，1 ≠3 49：约数个数3，3 ＝3，符合 64：约数个数7，7÷ 4 ＝1……3，3＝3，符合 81：约数个数5，5 ÷ 4 ＝1……1，1 ≠3 100：约数个数9，9 ÷ 4 ＝2……1，1 ≠3 121：约数个数3，3 ＝3，符合 144：约数个数15，15÷ 4 ＝3……3，3 ＝3，符合 符合条件的有7个编号：4，9，25，49，64，121，144。因此，有7名小朋友面朝南方。 【变式训练1】（2025·上海闵行·小升初真题）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏西50°方向上，现测得∠AOB＝63°，此时客轮B在货轮O的( )方向。 【答案】北偏西67° 【思路引导】由于货轮O在灯塔A的南偏西50°方向，根据上北下南，左西右东可知，客轮B在货轮O的北偏西方向，但是这个度数和∠AOB以及50°成一个平角，用180°－50°－63°即可求出对应的度数，据此即可解答。 【规范解答】如图： 180°－50°－63°＝67° 此时客轮B在货轮O的北偏西67°方向。 【变式训练2】（2025·浙江杭州·小升初真题）著名数学家笛卡尔通过观察蜘蛛结网的动作，想到了用坐标来确定空间中的位置。他画了三条互相垂直的直线，用交点表示空间内的蜘蛛，从而发明了现代数学的基础工具之一——坐标系。例如，下图中蜘蛛原本在点A（4，5，3）的位置，现在爬到了点B( )的位置。 【答案】（2，3，3） 【思路引导】由图可知，点A在x轴方向对应的刻度为4，在y轴方向对应的刻度为5，在z轴方向对应的刻度为3，表示为（4，5，3），因此空间点的位置可以 （x轴坐标，y轴坐标，z轴坐标）表示，据此解答。 【规范解答】观察图形，点B在x轴方向对应的刻度为2，在y轴方向对应的刻度为3，在z轴方向对应的刻度为3，所以点B的位置为（2，3，3）。 综上，蜘蛛原本在点A（4，5，3）的位置，现在爬到了点B（2，3，3）的位置。 【考点剖析】空间中点的坐标由“x轴坐标、y轴坐标、z轴坐标”三部分组成，需分别读取点在三条互相垂直的坐标轴上对应的刻度值，再按“（x，y，z）”的格式组合即可确定坐标。 题型二十二 常见的长度、面积、体积单位及换算 【典例精讲】（2025·甘肃兰州·小升初真题）汽车厂按1∶20的比生产汽车模型，一辆轿车模型长24.3厘米，轿车的实际长度是( )米。 【答案】4.86 【思路引导】按1∶20的比生产汽车模型，即轿车模型长度是轿车实际长度的，把轿车的实际长度看作单位“1”，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用轿车模型长度除以即可求出轿车实际长度。计算时要将厘米换算成米（1米＝100厘米，低级单位换算成高级单位，需要除以进率）。 【规范解答】24.3÷ ＝24.3×20 ＝486（厘米） 486厘米＝486÷100＝4.86米 【变式训练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）一瓶雪碧有2.5L，一个杯子的容积是200mL，可以装( )杯，剩下( )L。 【答案】 12 0.1 【思路引导】根据1L＝1000mL，把2.5L转化为2500mL，再用雪碧的体积除以杯子的容积，商表示装的杯数，余数表示剩下的毫升数，最后换算成升即可。 【规范解答】2.5L＝2500mL 2500÷200＝12（杯）……100（mL） 100mL＝0.1L 所以可以装12杯，剩下0.1L。 【变式训练2】（2025·河南郑州·小升初真题）用一张长6分米，宽3分米的长方形纸（厚度不计）围成一个容积最大的圆柱体，这个圆柱体的容积约为______升。（取3） 【答案】9 【思路引导】长方形纸围圆柱体可围成两种形状的圆柱体： 情况1：以长方形的长6分米为圆柱的底面周长，宽3分米为圆柱的高； 情况2：以长方形的宽3分米为圆柱的底面周长，长6分米为圆柱的高； 先根据底面周长公式求出底面半径；再根据圆柱的体积公式，代入对应的半径和高的值算出体积；最后比较两种情况下体积的大小，选出容积较大的圆柱体即可。 【规范解答】情况1：以长方形的长6分米为圆柱的底面周长，宽3分米为圆柱的高： 6（2） ＝6（23） ＝66 ＝1（分米） 3 3 ＝33 ＝9（立方分米） 情况2：以长方形的宽3分米为圆柱的底面周长，长6分米为圆柱的高： 3（2） ＝3（23） ＝36 ＝0.5（分米） 3 6 ＝30.256 ＝4.5（立方分米） 9＞4.5，所以容积最大的圆柱体体积是9立方分米，又因为1立方分米＝1升，所以容积约为9升。 【考点剖析】这道题的易错点在于容易把长方形围成圆柱的两种情况考虑不全，同时还要注意通过底面周长求半径的这个思想转换，以及求圆柱体积时要分清不同情况下的半径和高的值，避免代入出错导致体积计算出错。 题型二十三 统计和概率 【典例精讲】（2025·湖北武汉·小升初真题）黑板上写着1至2025共2025个自然数，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自然数，在这个数所有可能的取值中，最大值为______。 【答案】2024 【思路引导】要想最后剩下的数最大，就要尽量擦去较小的数，保留较大的数。按照规则每次擦去两个数写上它们的平均数，依次从最小的数开始操作，逐步合并计算，最后就能得到最大的结果。 【规范解答】先求剩下数的最大，那么擦去的数应该尽量小，找到规律： 首先擦去1，3，写上2， 擦去2，2，写上2， 擦去2，4，写上3， 擦去3，5，写上4， 擦去4，6，写上5， …， 擦去2023，2025，写上2024， 所以剩下数的最大值为2024。 在这个数所有可能的取值中，最大值为2024。 【变式训练1】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）甲、乙、丙、丁四人参加某次数学竞赛。甲、乙两人的平均成绩为a分，他们两人的平均成绩比丙低了13分，比丁的成绩高了3分，那么他们四人的平均成绩为______分。（用含a的式子表示） 【答案】a＋2.5/2.5＋a 【思路引导】先根据甲、乙的平均成绩求出两人的总分，再根据甲、乙平均成绩与丙、丁成绩的数量关系，分别用含a的式子表示出丙和丁的成绩，最后求出四人的总成绩除以4，即可得到四人的平均成绩。 【规范解答】甲、乙两人的总成绩为：2a分 丙的成绩：（a＋13）分 丁的成绩：（a－3）分 4人总成绩：2a＋a＋13＋a－3 ＝（4a＋10）分 四人的平均成绩：（4a＋10）÷4 ＝4a÷4＋10÷4 ＝（a＋2.5）分 【变式训练2】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）某班学生去参加义务劳动，其中一组到果园去摘梨子，第一个进园的学生摘了1个梨子，第二个学生摘了2个，第三个学生摘了3个，……以此类推，后来的学生都比前面一个多摘1个梨子，这样恰好平均每个学生摘了11个梨子，请问这组学生的人数是___________人。 【答案】21 【思路引导】设这组学生是x人，则x个学生摘梨的总个数为1＋2＋3＋…＋（x－1）＋x个，观察发现这个算式的头尾相加、第二个数和倒数第二个数相加、第三个数和倒数第三个数相加……的和都是一样的，均为（1＋x），整个算式共有（x÷2）个（1＋x），即1＋2＋3＋…＋（x－1）＋x＝（1＋x）×x÷2；根据等量关系式：摘梨总数＝学生人数×平均每个学生摘梨数量，列出方程（1＋x）×x÷2＝11x，根据等式的基本性质求解。 【规范解答】解：设这组学生是x人。 （1＋x）×x÷2＝11x （1＋x）÷2＝11 1＋x＝11×2 1＋x＝22 x＝22－1 x＝21 因此，这组学生的人数是21人。 【考点剖析】通过设未知数，利用首尾相加简化总数量的表达式，通过平均数乘个数等于总量构建等量关系，列出方程求解。人数是大于0的，因此在解方程过程中同时除以x，解法合理。 题型二十四 探索规律 【典例精讲】（2025·重庆江北·小升初真题）按下面规律铺黑白砖，第49幅图形中有______块黑瓷砖。 【答案】148 【思路引导】根据图形可知，第一个图形中，黑颜色的正方形瓷砖有4块，可以写成3×1＋1；第二个图形中，黑颜色的正方形瓷砖有7块，可以写成3×2＋1；第三个图形中，黑颜色的正方形瓷砖有10块，可以写成3×3＋1；……由此可以得出一般规律，第n幅图形黑颜色的正方形瓷砖有（3n＋1）块，由此进行解答。 【规范解答】第n幅图形中有（3n＋1）块黑瓷砖。 当n＝49时 49×3＋1 ＝147＋1 ＝148（块） 【变式训练1】（2025·湖南长沙·小升初真题）按照下面图形的变化规律画下去，第20个图形一共有__________个直角三角形。 【答案】76 【思路引导】看图可知，第1个图形一共有0个直角三角形，0＝（1－1）×4；第2个图形一共有4个直角三角形，4＝（2－1）×4；第3个图形一共有8个直角三角形，8＝（3－1）×4……由此可知，直角三角形的个数＝（第几个图形就用几－1）×4，据此列式计算。 【规范解答】（20－1）×4 ＝19×4 ＝76（个） 第20个图形一共有76个直角三角形。 【变式训练2】2025·重庆江北·小升初真题）请将填入图中的8个方格内，使得四个方格内的数，恰好等于它上方与之有公共边的两个方格内所填数的差。其中填7。 【答案】见详解 【思路引导】只能是由减去得到的，由于a也是两数相减得到的，所以a不能是，只能是，可以确定、、三个数的位置，其中c+d=，并且只能是、、、这四种情况，进行分类讨论，求出最后的结果。 【规范解答】 当c取时，被重复使用，故排除； 当c取时，减不等于，故排除； 当c取时，减不等于，故排除； 当c取时，符合要求，且和可以调换位置。 题型二十五 数学竟赛 【典例精讲】（2024·山东青岛·小升初真题）某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生，参加英语竞赛有120名女生，80名男生，已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生都参加了，那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生有________人。 【答案】15 【思路引导】参加数学竞赛的男生和女生有（120＋80＝200）人，参加英语竞赛的男生和女生有（120＋80＝200）人，用参加数学竞赛和参加英语竞赛的人数总和减去该校参加竞赛的学生人数，求出两科都参加的人数；已知两科都参加的男生人数有75名，用两科都参加的人数减去两科都参加的男生人数，计算出两科都参加的女生人数；最后用参加数学竞赛的女生人数减去两科都参加的女生人数，所得差即为参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数。 【规范解答】两科都参加的学生人数： （120＋80＋120＋80）－260 ＝400－260 ＝140（人） 两科都参加的女生人数：140－75＝65（人） 80－65＝15（人） 因此参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生有15人。 【变式训练1】（2025·重庆渝北·小升初真题）甲、乙两运动员在长为100米的直道（、为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点，…；若甲跑步的速度为5米/秒，乙跑步的速度为4米/秒，则起跑后100秒内，两人相遇的次数为_________。 【答案】4 【思路引导】两人同时从A点出发，甲速度5米/秒，乙速度4米/秒。相遇包括相向而行和同向追及两种情况，但本题中主要考虑相向而行的相遇。每次相向而行的相遇时间间隔为100×2÷（5＋4）＝100÷9≈22.22秒，总时间100秒内可相遇100÷22.22≈4.5次，取整数部分为4次。 【规范解答】100×2÷（5＋4） ＝100×2÷9 ≈22.22（秒） 100÷22.22≈4.5（次） 次数为整数，所以取整数部分4次。 所以两人在100秒内相遇4次。 【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）如图，ABCD是边长为10厘米的正方形，AB是半圆的直径，则阴影部分的面积是( )平方厘米。（π取3.14） 【答案】17.875 【思路引导】阴影部分面积可通过“整体减部分”的思路计算阴影面积：将阴影所在的大三角形ABC视为“整体”，减去大三角形内的两个空白部分（小直角三角形、扇形），即可得到阴影面积。大三角形ABC是正方形的一半，小直角三角形的直角边等于半圆半径（正方形边长的一半），扇形是圆的（因圆心角为90°），通过圆面积公式计算。 【规范解答】计算三角形ABC的面积： （平方厘米） 计算小三角形面积： （厘米） （平方厘米） 计算扇形的面积： （平方厘米） 计算阴影部分面积： （平方厘米） 阴影部分的面积是17.875平方厘米。 【考点剖析】计算阴影面积常用“整体减空白”：先确定阴影所在的“整体区域”，再求出区域内空白部分的面积，相减即可快速得结果。 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $