专项训练04 解决问题（应用题）（30个题型讲练 共90题）尖子生考前冲刺-2026年小升初数学必刷考点分类真题培优练
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摘要：
**基本信息**
聚焦小升初30类高频应用题，以名校真题为载体，构建从概念理解到综合应用的递进训练体系，培养数学眼光与思维。
**专项设计**
|模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑|
|----|-----------|----------|----------|
|数与代数|15题型/45题|涵盖数的认识、运算、方程等，结合经济、行程等实际场景|从数的概念到运算规律，再到方程建模，形成完整知识链|
|图形与几何|7题型/21题|涉及平面立体图形测量、变换等，强调空间观念|从图形认识到测量计算，结合拼组与变换提升空间想象|
|统计与综合|8题型/24题|包含统计分析、可能性及规律探究，注重数据意识|从数据解读到概率判断，通过规律探究培养创新思维|
内容正文：
2026年六年级毕业数学二轮复习之压轴题考点分类必刷练真题汇编•全国通用
2026年六年级毕业数学必刷考点分类真题培优练『尖子生冲刺』
专项训练04 解决问题（应用题）
〔30个重点题型讲练 共90题〕在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。
专题说明 资料简介
同学你好，该份讲义优选2025年全国各地名校真题，模拟题。重点强化小升初高频考察点，提升解题技能，优选常考易错题型。该份检测卷非常适合考前冲刺拔尖使用。题目整体难度偏上，适合成绩中上及拔尖的学生。按照考点划分，方便自我学习批改，检测学习能力。解析版思路清晰，理解全面，进一步优化解题过程，梳理考察点。相信你在2026年毕业考试中考出满意成绩！
在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。
重点难点 题型归纳 压轴必刷
题型序列
题型名称
题型序列
题型名称
题型一
整数的认识
题型十六
列方程解含两个未知数的问题
题型二
小数的认识
题型十七
列方程解决稍复杂的实际问题
题型三
分数的认识
题型十八
比
题型四
百分数的认识
题型十九
比例
题型五
正负数的认识
题型二十
常见的量
题型六
整数的四则运算
题型二十一
典型应用题
题型七
小数的四则运算
题型二十二
平面图形的认识与测量
题型八
分数的四则运算
题型二十三
立体图形的认识与测量
题型九
百分数的四则运算
题型二十四
图形的拼组
题型十
运算定律与简便运算
题型二十五
图形与变换
题型十一
倍的运算
题型二十六
位置与方向
题型十二
用字母表示数
题型二十七
测量
题型十三
方程的解与解方程
题型二十八
统计
题型十四
列方程解含一个未知数的问题
题型二十九
可能性
题型十五
列方程解稍复杂的行程问题
题型三十
算式的规律
在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。
优中选优 题型讲练 压轴必刷
题型一 整数的认识
【典例精讲】（2025·河南新乡·小升初真题）李克强总理在十三届全国人大一次会议所作的政府工作报告中指出：从2013至2017年，我国国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元。现在，大陆人口约为13亿人。
(1)根据你的理解，把“82.7万亿”填写在下面的数位顺序表中。
数级
……
亿级
万级
个级
数位
…
…
…
…
千亿位
百亿位
十亿位
亿位
千万位
百万位
十万位
万位
千位
百位
十位
个位
(2)2017年国内生产总值比2013年增长了百分之几？（百分号前保留一位小数）
(3)2017年我国人均国内生产总值约为( )元。（结果保留整数）
【答案】(1)82700000000000
(2)53.1%
(3)63615
【思路引导】（1）2017年我国国内生产总值为82.7万亿元，根据数位顺序表的填写要求，需将该数值按数位展开。82.7万亿即82700000000000元，换算后在数位顺序表中填写如下：十万亿位：8，万亿位：2，千亿位：7，其余各位（亿位至个位）均为0；
（2）先用2017年国内生产总值减去2013年国内生产总值求出差值，再用差值除以2013年国内生产总值，求出值再用四舍五入的方法把结果保留三位小数，再化成百分数；
（3）82.7万亿改写成82700000000000，13亿改写成1300000000，将82700000000000与1300000000同时除以100000000去掉8个0，得827000与13，再用827000÷13求出值，然后用四舍五入的方法保留整数。
【规范解答】（1）
数级
……
亿级
万级
个级
数位
…
…
…
…
千亿位
百亿位
十亿位
亿位
千万位
百万位
十万位
万位
千位
百位
十位
个位
8
2
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
（2）（82.7－54）÷54
＝28.7÷54
＝0.531481…
≈0.531
0.531×100%＝53.1%
答：2017年国内生产总值比2013年增长了53.1%。
（3）82.7万亿＝82700000000000
13亿＝1300000000
82700000000000÷1300000000
＝（82700000000000÷100000000）÷（1300000000÷100000000）
＝827000÷13
＝63615.384615…
≈63615（元）
所以2017年我国人均国内生产总值约为63615元。
【变式训练1】（2024·重庆丰都·小升初真题）(1)探究：请你举出“两个相邻奇数相乘的例子”，再观察它们所得积末尾数字的特征。（例子要包含积末尾数字不同的情况。）
(2)发现：两个相邻奇数相乘，积末尾数字一定是( )、( )和( )。
(3)运用：下面三个数中，只有一个数是两个相邻奇数的积，它是（ ）。
A．337 B．1661 C．3363
(4)这两个奇数分别是( )和( )。
【答案】(1)见详解
(2) 3 5 9
(3)C
(4) 57 59
【思路引导】（1）通过列举具体例子，观察积的末尾数字特征；
（2）观察（1）中的例子，归纳、总结，写出发现的规律即可；
（3）运用（2）中发现的规律进行判断，看哪个选项符合规律即可判断；
（4）把（3）中的数字进行分解，分解成的两个连续奇数的乘积即可解答。
【规范解答】（1）如下所示：
1×3＝3
3×5＝15
5×7＝35
7×9＝63
9×11＝99
11×13＝143
……
（2）发现：两个相邻奇数相乘，积末尾数字一定是3、5和9。
（3）A．337的末尾是7，不是两个相邻奇数的积；
B．1661的末尾是1，不是两个相邻奇数的积；
C．3363的末尾是3，是两个相邻奇数的积。
故答案为：C
（4）3363＝3×19×59＝57×59
所以这两个奇数分别是57和59。
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）若一个四位正整数M的十位数字比个位数字大1，百位数字是千位数字与个位数字的平均数，则称这样的数为千丝数。把千丝数M的四个数字按从小到大的顺序从左到右进行排列后得到的新数叫作千丝数M的万缕数，例如：2598，其十位数字，百位数字，所以2598是千丝数，2589就是千丝数2598的万缕数，对于千丝数M，定义：。
(1)判断：4376________千丝数；7787________千丝数。（填“是”或者“不是”）
(2)请证明：任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除。
【答案】(1) 不是 是
(2)见详解
【思路引导】根据千丝数的定义，分别验证所给数的十位数字是否比个位数字大 1，以及百位数字是否等于千位数字与个位数字的平均数。
利用用字母表示数的方法，设个位数字和千位数字分别为未知数，根据定义表示出十位和百位数字，进而表示出这个四位数的值。通过代数运算计算该数与个位数字6倍的差，最后根据能被5整除的数的特征进行判断。
【规范解答】（1）对于 4376：
个位数字是6，十位数字是7，7＝6＋1，符合第一个条件；
千位数字是4，个位数字是6，它们的平均数是（4＋6）÷2＝5；
百位数字是 3，3≠5，不符合第二个条件。
所以4376不是千丝数。
对于 7787：
个位数字是7，十位数字是8，8＝7＋1，符合第一个条件；
千位数字是7，个位数字是7，它们的平均数是（7＋7）÷2＝7；
百位数字是7，7＝7，符合第二个条件。
所以7787是千丝数。
（2）证明：
设任意一个千丝数的个位数字是a，千位数字是b（b不能为0，且a＋b为偶数）。
根据千丝数的定义：
十位数字是a＋1；
百位数字是（a＋b）÷2。
这个千丝数M可以表示为：
千丝数与它的个位数字的6倍之差为：
因为1050b是5的倍数，55a是5的倍数，10也是5的倍数，
所以1050b＋55a＋10能被5整除。
即任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除。
【考点剖析】解题时注意明确千丝数的两个判定条件需要同时满足；设数字时，要注意各数位数字的取值范围：千位数字是1到9的整数，个位、十位、百位数字是0到9的整数，且百位数字需为整数。证明整除时，需将代数式整理为5与某个整数的乘积形式，确保变形过程的严谨性。
题型二 小数的认识
【典例精讲】（2025·河南信阳·小升初真题）学数学用数学，我们可以用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界。接下来让我们一起从数学的角度来研究健康生活方式中的计算问题。
（1）体质指数（BMI）是衡量人体胖瘦程度的标准。体质指数（BMI）＝体重÷（身高×身高）（其中，体重以千克为单位，身高以米为单位）。小明的爸爸体重为80千克，身高为1.60米，他的体质指数是多少？
（2）我国健康成年人的BMI正常范围在18.5至24之间，BMI在24至28之间被定义为超重，达到或超过28就是肥胖。小明爸爸的体质指数是否在正常范围？请说明理由。
【答案】（1）31.25
（2）不在正常范围；原因见详解
【思路引导】（1）根据体质指数（BMI）＝体重÷（身高×身高），代入小明爸爸的体重和身高，即可解答。
（2）再根据小明爸爸的体质指数（BMI）与正常范围比较，进而解答。
【规范解答】（1）80÷（1.60×1.60）
＝80÷2.56
＝31.25
答：他的体质指数是31.25。
（2）小明爸爸的体质指数不在正常范围。因为31.25＞28，小明爸爸的体质属于肥胖。
【变式训练1】 （2025·四川内江·小升初真题）“已空色相无花吐，为怕烟尘留叶遮”，作为“中国无花果之乡”，无花果产业是我县现代农业的主导产业之一，2024年我县无花果种植面积达5.2万亩，产量超5万吨，产值约6.9亿元，其中产值比2022年超出8%，2022年的产值约是多少亿元？（得数保留两位小数）
【答案】6.39亿元
【思路引导】已知2024年的产值比2022年增长8%，即2024年产值是2022年的（1＋8%）。已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法。所以用2024年的产值÷（1＋8%）即可求出2022年的产值。结果保留两位小数，需要看结果的千分位，四舍五入，即可解答。
【规范解答】6.9÷（1＋8%）
＝6.9÷1.08
≈6.39（亿元）
答：2022年的产值约是6.39亿元。
【变式训练2】（2024·宁夏石嘴山·小升初真题）如果长期背负过重物体，会导致腰痛及腿痛，严重的甚至会妨碍骨骼生长，儿童的负重最好不要超过体重的，小亮的体重是38千克，书包重6.5千克，小亮的书包超重了吗？
【答案】超重了
【思路引导】根据题意，将小亮的体重看作单位“1”，用小亮的体重乘，然后再与6.5千克比较即可。
【规范解答】385.7（千克）
5.7＜6.5
答：小亮的书包超重了。
题型三 分数的认识
【典例精讲】（2024·广东阳江·小升初真题）小明看一本300页的科技书，第一天看了它的，第二天看了它的20%，剩下的页数他计划3天看完。（注意：两个问题不能相同）
（1）提出一个最少需要2步计算的问题，再列出综合算式，不用计算。
问题：
列式：
（2）提出一个需要用除法计算的问题，再列出综合算式，不用计算。
问题：
列式：
【答案】（1）第一天和第二天一共看了多少页？ （＋20%）×300；（答案不唯一）
（2）剩下的页数，他平均每天看多少页？[300－300×（＋20%）]÷3
（答案不唯一）
【思路引导】（1）根据题意，提出问题为：第一天和第二天一共看了多少页？将这本书的总页数看作单位“1”，先用加上20%，求出第一天和第二天共看了这本书的几分之几，再用这个和乘300，据此列式解答；提问合理即可；
（2）根据题意，提出问题为：剩下的页数，他平均每天看多少页？将这本书的总页数看作单位“1”，先用300减去第一天和第二天一共看的页数，求出剩下的页数，再用差除以3，据此列式解答；提问合理即可。
【规范解答】（1）第一天和第二天一共看了多少页？
（＋20%）×300
＝0.45×300
＝135（页）
答：第一天和第二天一共看了135页。（答案不唯一）
（2）剩下的页数，他平均每天看多少页？
[300－（＋20%）×300]÷3
＝[300－0.45×300]÷3
＝[300－135]÷3
＝165÷3
＝55（页/天）
答：剩下的页数，他平均每天看55页。（答案不唯一）
【变式训练1】（2025·四川自贡·小升初真题）列出综合算式或方程，不计算。
一个直角三角形的三条边分别长分米、分米、分米，它的面积是多少平方分米？
【答案】
【思路引导】直角三角形中斜边的长度为三边中最长的边，通过这个可以判定两条直角边的长度，则直角三角形的面积为两条直角边长的一半即可求解。
【规范解答】
即两条直角边长为分米和分米
＝（平方分米）
答：它的面积是平方分米。
【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）元旦节即将来临，公司推出新款手镯，开始接单生产，该款手镯由两种金属按一定的重量比例构成，金属原来的成本为200元/克，金属原来的成本为150元/克，现由于市场价格波动，金属的成本上涨，金属的成本下跌到原来的，每克手镯现在的总成本比原来增加了37.5元。
(1)求手镯中金属和金属的重量比。
(2)手镯按原来的成本价格销售可获得的利润，现在，公司为了推出元旦礼盒，再投入现在总成本的做包装，这样，按现在的成本价格销售手镯，可获得的利润，求现在一个手镯的售价比原来一个手镯的售价上涨的百分比。
【答案】(1)
3∶1
(2)
19.25%
【思路引导】（1）分别将两种金属原来的成本看作单位“1”，那么金属A的新成本是原来成本的（1＋30%），金属B的新成本是原来成本的80%；求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，金属A的新成本＝金属A的原来成本×对应百分率，金属B的新成本＝金属B的原来成本×对应百分率。设每克手镯中金属A的重量为克，那么金属B的重量为克。手镯的总成本＝金属A的成本×金属A的重量＋金属B的成本×金属B的重量，根据等量关系“每克手镯现在的总成本－每克手镯原来的总成本＝每克手镯增加的成本”列出方程求出，再求出的值；最后根据比的意义写出两种金属的重量比，根据比的基本性质化成最简整数比。
（2）将原来每克手镯的总成本看作单位“1”，原来的售价是原来总成本的（1＋60%），所以每克手镯原来的售价＝每克手镯原来的总成本×（1＋60%）。每克材料现在的总成本＝每克手镯原来的总成本＋37.5；将每克材料现在的总成本看作单位“1”，投入包装成本后，每克手镯现在的总成本就是每克材料现在总成本的（1＋6%），即每克手镯现在的总成本＝每克材料现在的总成本×（1＋6%）。将每克手镯现在的总成本看作单位“1”，每克手镯现在的售价是每克手镯现在总成本的（1＋50%），每克手镯现在的售价＝每克手镯现在的总成本×（1＋50%）。然后将每克手镯原来的售价看作单位“1”，求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算，根据“（每克手镯现在的售价－每克手镯原来的售价）÷每克手镯原来的售价×100%”求出上涨的百分比。
【规范解答】（1）金属A上涨30%后的成本：
（元/克）
金属B下跌到原来的80%后的成本：
（元/克）
设每克手镯中金属A占克，则每克金属B占克。
（克）
金属A与金属B的重量比为：
答：手镯中金属A和金属B的重量比是3∶1。
（2）原来每克手镯的总成本：
（元）
原来每克手镯的售价：
（元）
现在每克手镯的材料总成本：
（元）
现在每克手镯含包装的总成本：
（元）
现在每克手镯的售价：
（元）
售价上涨的百分比：
答：现在一个手镯的售价比原来一个手镯的售价上涨19.25%。
题型四 百分数的认识
【典例精讲】（2025·上海闵行·小升初真题）正值实验西校建校二十周年校庆，学校利用暑假进行装修。每间教室内侧长9米、宽7米、高3米。地面铺地砖，天花板刷乳胶漆，四面墙刷防水漆（门窗和黑板不粉刷），门窗共有10平方米，黑板共有4平方米。
（1）每间教室内需要粉刷的总面积是多少？
（2）乳胶漆每平方米15元，防水漆每平方米12元，每间教室刷天花板和墙壁一共需要多少元？
（3）地砖是规格为50厘米×50厘米的正方形，每间教室需要铺多少块地砖？如果每块地砖损耗2%，实际需要买多少块？
【答案】（1）145平方米；（2）1929元；（3）258块
【思路引导】（1）根据不包括下底面的长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，求出不包括下底面的表面积再减去门窗和黑板的面积，即可求得每间教室内需要粉刷的总面积是多少。
（2）用长×宽×乳胶漆的单价＋（长×高×2＋宽×高×2－门窗和黑板的面积）×防水漆的单价，即可求得每间教室刷天花板和墙壁一共需要多少元。
（3）求得长方体的底面积即长×宽，单位换算成平方厘米，用底面积除以一块地砖的面积（正方形的面积＝边长×边长），求得需要用多少块砖，再用砖数×（1＋2%），计算时可以将百分数化成小数，算出结果若是小数需要进一，即可求得实际需要买多少块砖。
【规范解答】（1）9×7＋9×3×2＋7×3×2－（10＋4）
＝9×7＋9×3×2＋7×3×2－14
＝63＋54＋42－14
＝145（平方米）
答：每间教室内需要粉刷的总面积是145平方米。
（2）9×7×15 ＋[9×3×2＋7×3×2－（10＋4）]×12
＝9×7×15＋[9×3×2＋7×3×2×2－14]×12
＝9×7×15＋[54＋42－14]×12
＝9×7×15＋82×12
＝945＋984
＝1929（元）
答：每间教室刷天花板和墙壁一共需要1929元。
（3）50×50＝2500（平方厘米）
9×7＝63（平方米）
63平方米＝630000平方厘米
630000÷2500＝252（块）
252×（1＋2%）
＝252×1.02
≈258（块）
答：实际需要买258块。
【变式训练1】（2024·江苏无锡·小升初真题）国家统计局公布的数据显示，2023年我国粮食产量在2022年达到6865.3亿千克的基础上，进一步增产88.8亿千克，粮食产量连续9年站稳6500亿千克台阶。其中，作为口粮的小麦、稻谷等自给率超过98%。
结合以上信息回答下列问题：
（1）2023年我国粮食产量是（ ）亿千克，精确到十分位是（ ）亿吨。
（2）我国粮食产量在（ ）年第一次达到6500亿千克。
（3）请结合上下文解释一下“自给率超过98%”的含义，并用一句话说说为什么需要重视粮食的自给率？
【答案】（1）6954.1；7.0
（2）2015
（3）见详解
【思路引导】（1）已知2023年我国粮食产量在2022年达到6865.3亿千克的基础上，进一步增产88.8亿千克，那么用2022年我国粮食产量加上88.8，即可求出2023年我国粮食产量；然后根据进率“1吨＝1000千克”把单位换算成以“吨”作单位的数，再依据“四舍五入”法精确到十分位，即保留一位小数。
（2）已知2023年我国粮食产量连续9年站稳6500亿千克台阶，那么用2023减去9，再加上1，即可求出我国粮食产量第一次达到6500亿千克的年份。
（3）结合上下文解释“自给率超过98%”的含义，结合生活实际，说说需要重视粮食的自给率的原因，合理即可。
【规范解答】（1）6865.3＋88.8＝6954.1（亿千克）
6954.1亿千克＝6.9541亿吨≈7.0亿吨
2023年我国粮食产量是（6954.1）亿千克，精确到十分位是（7.0）亿吨。
（2）2023－9＋1＝2015（年）
我国粮食产量在（2015）年第一次达到6500亿千克。
（3）“自给率超过98%”表示国内生产的小麦、稻谷等口粮占总需求量的98%以上；需要重视粮食自给率是为了保障粮食安全，减少对外依赖，确保国家稳定。（答案不唯一）
【变式训练2】（2025·浙江温州·小升初真题）A、B两城相距580千米，两城之间有一个C城，客车从A城开往C城，货车从B城开往C城。客车行驶了90千米，货车行驶了B、C两城间的距离的60%，而且这时客车货车剩下的路程刚好相等。求A、C两城之间的距离。
【答案】230千米
【思路引导】根据题意，设A、C两城间的距离为x千米，那么B、C两城间的距离为（580－x）千米。再分别表示出客车剩余路程为x－90千米，货车剩余路程为（580－x）×（1－60%）千米；最后根据“客车剩余路程＝货车剩余路程”列出方程求解，从而得到A、C两城之间的距离。
【规范解答】解：设A、C两城间的距离为x千米，那么B、C两城间的距离为（580－x）千米。
x－90＝（1－60%）×（580－x）
x－90＝0.4×（580－x）
x－90＝232－0.4x
x－90＋0.4x＝232－0.4x＋0.4x
1.4x－90＝232
1.4x－90＋90＝232＋90
1.4x＝322
1.4x÷1.4＝322÷1.4
x＝230
答：A、C两城之间的距离是230千米。
【考点剖析】本题的关键是抓住“客车剩余路程=货车剩余路程”的等量关系，设A、C距离为x千米，用x表示出B、C距离和两车剩余路程，再列方程求解。
题型五 正负数的认识
【典例精讲】（2024·广西柳州·小升初真题）气温会随着海拔的升高而降低，海拔每升高100米，气温就下降0.6℃。5月爸爸去四川旅行，看到了“山顶白雪皑皑，山脚山花烂漫”的奇特景观。他在海拔约2500米的康定城时温度是20℃，攀登上海拔5500米的四姑娘山（二峰）山顶时，温度是多少℃？
【答案】2℃
【思路引导】用5500减去2500求出从康定城到四姑娘山（二峰）山顶时海拔升高的高度，再除以100求出海拔升高的高度里有多少个100米，有多少个100米就有多少0.6摄氏度，据此求出下降的温度，再用20摄氏度减去下降的温度即可解答。
【规范解答】（5500－2500）÷100×0.6
＝3000÷100×0.6
＝30×0.6
＝18（℃）
20℃－18℃＝2℃
答：山顶是2℃。
【变式训练1】（2024·山东济南·小升初真题）如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1厘米，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合。
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为（ ）厘米。
（2）图中点A所表示的数是（ ），点B所表示的数是（ ）。
（3）由题（1）（2）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：
一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请问爷爷现在多少岁了？
【答案】（1）5
（2）10；15
（3）75岁
【思路引导】（1）根据题意和图意可知，5～20相当于木棒AB长度的3倍，据此用除法求出木棒AB的长度。
（2）图中点A所表示的数等于5加上AB的长度，点B表示的数是20减去AB的长度。
（3）把A点看作小红的年龄，B点看作爷爷的年龄，那么AB的长度就是小红与爷爷的年龄差。
“若爷爷是小红现在年龄”看作B点移动到A点，“小红还要35年才出生”，则小红的年龄向左移动与AB相等的长度，因为还未出生，所以此时小红的年龄对应的数是﹣35；
“若小红是爷爷现在的年龄”看作A点移动到B点，“爷爷已经130岁”，则此时爷爷的年龄向右移动与AB相等的长度，此时爷爷的年龄对应的数是130；
那么﹣35与130相差（130＋35），相当于AB长度的3倍，据此用除法求出AB的长度，也就是爷爷比小红大的年龄，再用130减去两人的年龄差，求出爷爷现在的年龄。
【规范解答】（1）三根木棒长是：20－5＝15（厘米）
木棒长为：15÷3＝5（厘米）
由此可得到木棒长为（5）厘米。
（2）5＋5＝10
20－5＝15
图中点A所表示的数是（10），点B所表示的数是（15）。
（3）爷爷比小红大：
（130＋35）÷3
＝165÷3
＝55（岁）
爷爷的年龄：
130－55＝75（岁）
答：爷爷现在75岁。
【变式训练2】（2024·山东德州·小升初真题）为了解人们平时最喜欢哪种支付方式，某公司每年都随机调查本公司固定数量的员工，统计他们平时最喜欢使用的支付方式（每人选择1项）。下面是相关的统计情况，请仔细观察下面两个统计图并回答问题。
（1）公司2023年调查的总人数是（ ）人。
（2）观察上面的折线统计图，可以看出该公司员工最喜欢使用微信平台支付的人数呈（ ）趋势。
（3）2023年最喜欢使用微信平台支付的人数比最喜欢使用支付宝平台支付的人数多百分之几？
（4）淘淘的妈妈在微信平台支付账单明细中显示﹢66.00表示进账66.00元，则支出150.70元应显示（ ）元。
【答案】（1）300；（2）上升；（3）110%；（4）﹣150.70
【思路引导】（1）根据折线统计图，可以得出2023年最喜欢微信支付的人有189人，根据扇形统计图，得出占了公司员工的63%，以公司员工的总人数为单位“1”，已知一个数的百分比是多少，求这个数用除法；
（2）观察折线统计图，发现该公司员工最喜欢微信支付方式的人数呈上升趋势；
（3）从扇形统计图中，得出喜欢支付宝支付占了公司总人数的30%，根据求一个数的百分之几用乘法，得出喜欢支付宝支付的人数，从折线统计图中已知了最喜欢微信支付的人数，最后根据求一个数比另外一个数多或者少百分之几用（大数－小数）÷单位“1”。
（4）此题中进账和支出是一组相反意义的量，进账记作正，支出就记作负。
【规范解答】（1）189÷63%＝300（人）
则公司2023年调查的总人数是300人。
（2）该公司员工最喜欢使用微信平台支付的人数呈上升趋势。
（3）300×30%＝90（人）
（189－90）÷90×100%
＝99÷90×100%
＝110%
答：2023年最喜欢使用微信平台支付的人数比最喜欢使用支付宝平台支付的人数多110%。
（4）则支出150.70元应显示﹣150.70元。
题型六 整数的四则运算
【典例精讲】（2025·重庆·小升初真题）自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级台阶？
【答案】
150级
【思路引导】本题属于行程问题中的扶梯问题。扶梯的总级数是固定的，等于人走的级数加上扶梯在这段时间内自动运行的级数。男孩和女孩走的级数不同，所用时间也不同，但扶梯总级数相等。通过计算两人走的级数差和对应的时间差，可以求出扶梯每分钟运行的级数，再用男孩（女孩）的速度与扶梯速度之和乘时间，进而求出扶梯的总级数。
【规范解答】男孩走的级数：20×5＝100（级）
女孩走的级数：15×6＝90（级）
两人走的级数差：100－90＝10（级）
两人用的时间差：6－5＝1（分钟）
扶梯每分钟运行的级数：10÷1＝10（级）
扶梯共有级数：（20＋10）×5＝30×5＝150（级）
答：该扶梯共有150级台阶。
【变式训练1】（2025·河南商丘·小升初真题）校长：“厂长你好！我们预订500套桌椅做好了吗？”
厂长：“还没有，我们已经做了6天，平均每天做52套，请放心，我们一定按时交货。”
校长：“现在我们学校要提前开学，你们再做2天能完成剩余的任务吗？”
厂长：“行，我们保证按你们的要求完成任务。”
根据以上信息，算一算厂家最后2天平均每天至少要做多少套才能按时完成任务。
【答案】94套
【思路引导】先用“每天做的套数×天数”算出6天一共做了多少套，再用总预订数减去已做的得到剩余要做的套数，最后用剩余套数除以剩下的天数，就能得出最后2天平均每天至少要做的套数。
【规范解答】
＝188÷2
（套）
答：厂家最后2天平均每天至少要做94套才能按时完成任务。
1【变式训练2】（2025·河南郑州·小升初真题）电商时代迅猛来袭，为了刺激网上消费、各个电商推出免费送电子红包的活动，小南积攒了1元、2元、3元…10元的电子红包各4个，电子红包使用方法如下：
（1）电子红包仅限于11月11日当天使用。
（2）电子红包不能单独使用，每次必须凑成15元支付。
小南在11月11日网购，支付若干次电子红包后，还剩4个电子红包没有使用，其中三个电子红包分别是3元、5元和9元，剩下的一个电子红包是多少元？
【答案】8元
【思路引导】先求出这些红包一共有多少钱，就是求出1到10这些数字之和再乘4； 知道剩余的四个红包中有3个分别是3元、5元和9元，那么红包总钱数减去（3＋5＋9），所得差就是支付的与剩下的红包钱数之和，再除以15，所得余数就是剩下红包的钱数。
【规范解答】（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）×4
＝55×4
＝220（元）
220－（3＋5＋9）
＝220－17
＝203（元）
203÷15＝13（次）⋯⋯8（元）
答：剩下的一个电子红包是8元。
【考点剖析】本题涉及到对有余数除法的考查，关键是先算出总钱数，减去已知的未使用红包，再除以每次支付的钱数，最后的余数即为解。
题型七 小数的四则运算
【典例精讲】（2025·湖北黄石·小升初真题）李叔叔有一辆大型SUV汽车，汽车油箱的容积为80升，加92号汽油。有一天他开车时发现油箱里只剩下25%的汽油了，这时他需要多少元才能将油箱加满？
燃油标号
价格/（元/升）
柴油
6.43
92号汽油
6.75
95号汽油
7.19
【答案】405元
【思路引导】根据题意可知，汽车需要加92号汽油，查表可知其单价为6.75元/升。油箱容积为80升，剩余25%，把油箱容积看作单位“1”，则需加油的体积占油箱容积的（1－25%）。依据“总价＝单价×数量”的数量关系，先求出需加油的体积，再计算所需费用。
【规范解答】80×（1－25%）×6.75
＝80×0.75×6.75
＝60×6.75
＝405（元）
答：这时他需要405元才能将油箱加满。
【变式训练1】一个圆锥形沙堆，底面周长是12.56米，高是1.5米。如果每立方米沙子重2吨，这堆沙子有多少吨？
【答案】12.56吨
【思路引导】圆锥底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，圆锥体积＝底面积×高÷3，圆锥形沙堆体积×每立方米沙子吨数＝这堆沙子吨数。
【规范解答】3.14×（12.56÷3.14÷2）2×1.5÷3×2
＝3.14×22×1.5÷3×2
＝3.14×4×1.5÷3×2
＝6.28×2
＝12.56（吨）
答：这堆沙子有12.56吨。
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）据了解，火车票按“”的方法来确定。已知A站至H站总里程数为1500千米，全程参考价为180元。下表是沿途各站至H站的里程数：
车站名
A
B
C
D
E
F
G
H
各站至H站的里程数（单位：千米）
1500
1130
910
622
402
219
72
例如，要确定从B站至E站火车票价，其票价为：（元）。
（1）求A站至F站的火车票价（结果精确到1元）；
（2）旅客王大妈乘火车去女儿家，上车过两站后拿着火车票问乘务员：我快到站了吗？乘务员看到王大妈手中票价66元，马上说下一站就到了。请问王大妈实际乘车的里程数是多少千米？在哪两个站之间？（要求写出解答过程）。
【答案】（1）154元
（2）550千米；从D站上车到G站下车
【思路引导】（1）A站至F站的里程数＝A站至H站的里程数－F站至H站的里程数，据此代入题干公式计算，结果精确到1元，则是根据十分位上的数字进行四舍五入。
（2）设实际乘车里程数为x千米，根据票价公式建立方程求解x。再根据x的值和各站至H站的里程数，确定距离为550千米的区间。结合“上车过两站后”和“下一站就到了”的条件，推断上车站和下车站。
【规范解答】（1）1500－219＝1281（千米）
火车票价为：＝＝153.72 ≈ 154（元）
答：A站至F站的火车票价约是154元。
（2）解：设实际乘车里程数为x千米。
＝66
＝99000
550
实际乘车里程数为550千米。
查表，各站至H站的里程数：D站622千米，G站72千米。D站至G站的距离为：
622－72＝550（千米）
王大妈上车过两站后，乘务员说下一站就到了。若从D站上车，经过E站和F站后，即将到达G站。
答：王大妈实际乘车的里程数是550千米，从D站上车到G站下车。
【考点剖析】本题第一问只需要算出里程数，代入票价公式计算即可，第二问给出票价，要进行逆推，所以列方程解更容易理解，求得里程数之后再根据表中的里程数推测出上、下站。
题型八 分数的四则运算
【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）小夏星期六看了《水浒传》的，星期天又看了剩下的，最后还剩140页没有看，这本书一共有多少页。
【答案】336页
【思路引导】把这本书的总页数看作单位“1”。先根据第一天看的页数占总页数的分率，求出第一天看完后剩余页数占总页数的分率；再根据第二天看的页数占剩余页数的分率，求出第二天看的页数对应总页数的分率；随后求出最终剩余页数占总页数的分率，该分率与剩余的实际页数相对应，最后根据“对应量÷对应分率＝单位‘1’的量”，用除法计算出这本书的总页数。
【规范解答】计算第一天看完后剩余页数占总页数的分率：1－＝
计算第二天看的页数占总页数的分率：×＝
计算最终剩余页数占总页数的分率：1－－＝＝＝
计算这本书的总页数：140÷＝140×＝336（页）
答：这本书一共有 336 页。
【变式训练1】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）将一条公路平均分给甲、乙两个工程队修筑。甲队已修的与剩下的比是2∶1，乙队已修的与剩下的比是5∶2，这条公路已修了全长的几分之几？
【答案】
【思路引导】把这条公路的全长看作单位“1”，平均分给甲、乙两个工程队，那么两队分到的任务占全长的；
已知甲队已修的与剩下的比是2∶1，即甲队已修了甲队任务的，那么甲队已修的是全长的的；根据分数乘法的意义求出甲队已修了全长的几分之几；
已知乙队已修的与剩下的比是5∶2，即乙队已修了乙队任务的，那么乙队已修的是全长的的；根据分数乘法的意义求出乙队已修了全长的几分之几；
最后用加法求出甲、乙两队一共修了全长的几分之几。
【规范解答】甲、乙队分到的任务占全长的：1÷2＝
甲队已修了全长的：
×
＝×
＝
乙队已修了全长的：
×
＝×
＝
一共修了：
＋
＝＋
＝
答：这条公路已修了全长的。
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）星星小学原计划种杨树、柳树和槐树共1500棵，植树开始后，当种了杨树总数的和30棵柳树后，又临时运来15棵槐树，这时剩下的3种树的棵数恰好相等，问原计划要栽植这三种树各多少棵？
【答案】825棵；360棵；315棵
【思路引导】植树开始后，当种了杨树总数的和30棵柳树后，又临时运来15棵槐树，这时剩下的3种树的棵数恰好相等，可以将杨树分为5份，以这样的一份为一个单位，则：杨树＝5份；柳树＝（5－3）份＋30棵；槐树＝（5－3）份－15棵，则（2＋2＋5）份的树的棵数为（1500－30＋15）棵，这样就可以求出每份的棵数，最后再分别求出每种树的棵数。
【规范解答】将杨树分为5份，以这样的一份为一个单位，则：
杨树＝5份；
柳树＝（5－3）份＋30棵＝2份＋30棵；
槐树＝（5－3）份－15棵＝2份－15棵，
则一份为：
（1500－30＋15）÷（2＋2＋5）
＝1485÷9
＝165（棵）
杨树＝5×165＝825（棵）
柳树＝165×2＋30＝360（棵）
槐树＝165×2－15＝315（棵）
答：原计划要栽植这三种树分别是825棵、360棵，315棵。
题型九 百分数的四则运算
【典例精讲】（2025·重庆·小升初真题）某信用社将10800元分为两部分同时贷给甲、乙两人。一部分以年利率9.5%贷给甲，另一部分以年利率8.5%贷给乙，甲、乙两人一年后同时交来的利息恰好相等。甲、乙各贷款多少元？
【答案】
甲贷款5100元，乙贷款5700元
【思路引导】本题考查百分数应用中的利息问题及列方程解决问题。根据利息计算公式“利息＝本金×利率×存期”，已知总贷款额为10800元，甲、乙两人的年利率分别为9.5%和8.5%，存期均为1年，且两人产生的利息相等。可以设甲贷款的本金为未知数，用总本金减去甲的本金表示出乙的本金，根据两人利息相等这一等量关系列出方程求解。
【规范解答】解：设甲贷款元，则乙贷款元。
乙贷款：（元）
答：甲贷款5100元，乙贷款5700元。
【变式训练1】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）从有关方面获悉，在我市农村已经实行了农民新型合作医疗保险制度。享受医保的农民可在规定的医院就医并按规定标准报销部分医疗费用。下表是医疗费用报销的标准：
医疗费用范围
门诊
住院
0—5000元
5001—20000元
20000元以上
每年报销比例标准
30%
30%
40%
50%
（说明：住院医疗费用的报销分段计算。如：某人住院医疗费用共30000元，则5000元按30%报销，15000元按40%报销、余下的10000元按50%报销，题中涉及到的医疗费用指允许报销的医疗费用）
(1)某农民在2008年门诊看病自己共支付医疗费280元，则他在这一年中门诊医疗费共花费多少元？
(2)某农民一年内实际住院医疗费为18000元，则他应自付医疗费多少元？
(3)若某农民一年内因本人住院按标准报销医疗费15000元，则该农民当年实际医疗费用共多少元？
【答案】(1)400元
(2)11300元
(3)35000元
【思路引导】（1）把总费用看作单位“1”，门诊费用按30%的比例报销，也就是个人需要承担总费用的70%，用自付金额除以个人承担的占比，就能算出总门诊医疗费。
（2）把18000元的总费用拆成两段计算：第一段是0到5000元的部分，按30%报销，用5000元乘30%算出这部分的报销金额；第二段是5001到18000元的部分，共13000元，按40%报销，用13000元乘40%算出这部分的报销金额；把两段的报销金额相加，得到总的报销费用；最后用总住院费用减去总报销费用，就得到了个人需要自付的医疗费。
（3）0到5000元的部分，用5000元乘30%算出最多可报销1500元；5001到20000元的部分，用15000元乘40%算出最多可报销6000元；前两段加起来最多可报销7500元，总报销金额是15000元，说明费用超过了20000元。用总报销金额减去前两段的报销总额，得到第三段的报销金额；再用第三段的报销金额除以50%的报销比例，算出第三段对应的实际费用；最后把前两段的最高费用20000元，加上第三段的实际费用，就得到了总的实际医疗费用。
【规范解答】（1）280÷（1－30%）
＝280÷70%
＝280÷0.7
＝400（元）
答：他在这一年中门诊医疗费共花费400元。
（2）5000×30%＋（18000－5000）×40%
＝5000×0.3＋13000×0.4
＝1500＋5200
＝6700（元）
18000－6700＝11300（元）
答：他应自付医疗费11300元。
（3）5000×30%＝5000×0.3＝1500（元）
（20000－5000）×40%
＝15000×40%
＝15000×0.4
＝6000（元）
15000－1500－6000
＝13500－6000
＝7500（元）
7500÷50%＝7500÷0.5＝15000（元）
20000＋15000＝35000（元）
答：该农民当年实际医疗费用共35000元。
【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62%，如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%。第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了多少升？
【答案】甲取12升，乙取30升
【思路引导】混合后纯酒精含量为62%，则甲、乙两种酒精体积比为（62－58）∶（72－62）＝2∶5；每种酒精取的数量比原来都多15升，混合后纯酒精含量为63.25%，则甲、乙两种酒精体积比为（63.25－58）∶（72－63.25）＝3∶5。设第一次混合时，甲、乙两种酒精应各取2x升、5x升，则可列方程为（2x＋15）∶（5x＋15）＝3∶5，求出x的值，进一步得出2x、5x的值即可。
【规范解答】解：第一次混合时甲种酒精用量是乙种酒精用量的体积比（62%－58%）∶（72%－62%）＝2∶5
第二次混合时甲种酒精用量是乙种酒精用量的体积比（63.25%－58%）∶（72%－63.25%）＝3∶5
设第一次混合时，甲、乙两种酒精应各取2x升、5x升。
（2x＋15）∶（5x＋15）＝3∶5
5（2x＋15）＝3（5x＋15）
10x＋75＝15x＋45
75－45＝15x－10x
5x＝30
x＝30÷5
x＝6
甲种酒精：2×6＝12（升）
乙种酒精：5×6＝30（升）
答：第一次混合时，甲种酒精取了12升，乙种酒精取了30升。
【考点剖析】解题时由原来溶液质量的比例巧妙设未知数x，用含有x的代数式表示新溶剂质量，根据题中所给的溶剂质量关系设一个未知数表示另一个未知数，将题目简单化。
题型十 运算定律与简便运算
【典例精讲】（2024·安徽阜阳·小升初真题）泉北小学学校图书馆需要购买《安徒生童话》和《简笔画大全》各25本，王校长带1000元够吗？
【答案】够
【思路引导】单价×数量＝总价，《安徒生童话》单价×本数＋《简笔画大全》单价×本数＝需要的总钱数，两种书的钱数相加，再与带的钱数比较即可，计算时可以利用乘法分配律进行简算。
【规范解答】13×25＋27×25
＝（13＋27）×25
＝40×25
＝1000（元）
1000＝1000
答：王校长带1000元够。
【变式训练1】（2024·河南郑州·小升初真题）邢家豆腐的“豆痕传统制作技艺”在2014年入选中国第四批国家级非物质文化进产代表性项目名录。这意味着邢家豆腐不仅是一种美味的食品，还承载着丰富的文化价值，是中国传统文化的重要组成部分。邢家豆腐的单价是12元/千克，奶奶买了14千克准备带回去分给亲朋好友，买这些豆腐一共要花了多少钱？
下面是淘淘计算“14×12＝？”想到的三种算法：
方法①应用的运算律是（ ），方法②应用的运算律是（ ），方法③中箭头所指表示的是（ ）。
【答案】168元；
乘法结合律；乘法分配律；140
【思路引导】根据总价＝单价×数量，代入数据计算即可。
①14×12
＝14×（4×3）
＝（14×4）×3
＝56×3
＝168
根据a×b×c＝a×（b×c），利用乘法的结合律。
②14×12
＝14×（10＋2）
＝14×10＋14×2
＝140＋28
＝168
利用了乘法的分配律，a×（b＋c）＝a×b＋a×c
③14×10＝140
【规范解答】14×12＝168（元）
答：买这些豆腐一共要花了168元。
则方法①应用的运算律是乘法结合律，方法②应用的运算律是乘法分配律，方法③中箭头所指表示的是140。
【变式训练2】（2024·河北石家庄·小升初真题）2023年某款新能源汽车的实际提车价格是12.8万元，其中汽车销售企业优惠了0.52万元，国家补贴了3.48万元。2024年政府新能源汽车补贴的时代已经过去，汽车销售企业实行了新的优惠措施（如图），请你计算一下，在2024年购买这款新能源汽车需要多少万元？
【答案】13.6万元
【思路引导】根据题意，用汽车的实际提车价格加上汽车销售企业优惠的价钱，再加上国家补贴的钱数，即是2023年某款新能源汽车的售价；
2024年新的优惠措施是：每满1万元减2000元；用除法求出2023年某款新能源汽车的售价里面有几个1万元，就减去几个2000元，即是2024年购买这款新能源汽车需要的钱数。
【规范解答】12.8＋0.52＋3.48
＝12.8＋（0.52＋3.48）
＝12.8＋4
＝16.8（万元）
16.8÷1＝16（个）……0.8（万元）
16×2000＝32000（元）
32000元＝3.2万元
16.8－3.2＝13.6（万元）
答：在2024年购买这款新能源汽车需要13.6万元。
题型十一 倍的运算
【典例精讲】（2025·江西南昌·小升初真题）中国的制造业发达，被称为“世界工厂”，而美国是世界上最大的消费市场，中国的很多产品都卖到了美国。2025年4月，美国对中国产品征收高关税，发动贸易战。
（1）中国的华兴玩具厂生产一件毛绒玩具的成本是60元，加上20%的利润，就是厂家的出厂价，再出口到美国，就还要再加价75%（含关税54%、运输成本和美国商家获取的利润等）。这件毛绒玩具在美国卖多少钱？
（2）这件毛绒玩具如果在美国生产，由于供应链不完整和工人的工资高，再按中国毛绒玩具在美国的售价出售，美国的工厂还要亏损10%，美国工厂的生产成本是多少元？约是中国生产成本的几倍？
【答案】（1）126元
（2）140元，约2.33倍
【思路引导】（1）把生产一件毛绒玩具的成本看作单位“1”，则出厂价是成本价的1＋20%，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法解答，求出厂价列式为：60×（1＋20%），再把出厂价看作单位“1”，则出口到美国的价格是出厂价的1＋75%，求这件毛绒玩具在美国卖多少钱，列式为：60×（1＋20%）×（1＋75%）。
（2）设在美国生产的成本价是x元，把在美国生产的成本价看作单位“1”，则在美国的售价是成本价的1－10%，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法解答，用成本价×（1－10%）就是在美国的售价，等于126元，据此列方程为：x×（1－10%）＝126，解方程求出美国工厂的生产成本是多少元，再根据求一个数是另一个数的几倍，用这个数除以另一个数解答，用美国工厂的生产成本除以在中国的生产成本即可解答。
【规范解答】（1）60×（1＋20%）×（1＋75%）
＝60×1.2×1.75
＝72×1.75
＝126（元）
答：这件毛绒玩具在美国卖126元。
（2）解：设美国工厂的生产成本是x元。
x×（1－10%）＝126
0.9x＝126
x＝126÷0.9
x＝140
140÷60≈2.33
答：美国工厂的生产成本是140元，约是中国生产成本的2.33倍。
【变式训练1】（2025·重庆梁平·小升初真题）如图，线段1的长度用“1”表示（可用学具帮助分析）。那么：
（1）线段2的长度用哪个数表示？为什么？（写出你的做法和结果）
（2）已知线段3的长度是线段2的4倍，从这个角度思考，线段3的长度用哪个数表示？为什么？（写出你的想法和结果）
【答案】（1）；见详解
（2）；见详解
【思路引导】（1）线段1的长度用“1” 表示，把线段1按线段2的长度平均分，看能分成几份，线段2的长度占1份，根据分数的意义可得出线段2的长度表示的数。
（2）已知线段3的长度是线段2的4倍，根据求一个数的几倍是多少，用乘法求出线段3的长度。
【规范解答】（1）如图：
答：线段2的长度用表示。因为把线段1按线段2的长度平均分，可以分成6份，所以线段2相当于线段1的。
（2）×4＝
答：线段3的长度用表示。因为线段3的长度是线段2的4倍，用线段2的长度乘4，即是线段3的长度。
【变式训练2】一位科技发明家被约到科学会议室作报告，科技站通知发明家在某时刻等候汽车接他，这位发明家还想到一件事要办理，不等小汽车来就提前出门了，沿着接他的小汽车行驶路线走，行了30分钟，正好遇到来接他的小汽车，然后乘车往科学会议室结果比约定的时刻提前10分钟到达，问：
（1）这位科技发明家比约定时刻提前多少分钟出门？
（2）小汽车的速度是这位科技发明家步行速度的多少倍？
【答案】（1）35分钟
（2）6倍
【思路引导】（1）根据题意，这位科技发明家比约定的时刻提前10分钟到达，即汽车一个单程可节约10÷2＝5分钟，加上这位科技发明家已行的时间即可解答。
（2）已知这位科技发明家步行30分钟的路程，小汽车只需5分钟，用除法，即可求出小汽车的速度是步行速度的倍数。
【规范解答】（1）30＋10÷2
＝30＋5
＝35（分钟）
答：这位科技发明家比约定时刻提前35分钟出门。
（2）30÷5＝6
答：小汽车的速度是这位科技发明家步行速度的6倍。
【考点剖析】读懂题意，注意汽车的行程是双程的，求出单程节约的时间是解题的关键。
题型十二 用字母表示数
【典例精讲】（2025·福建宁德·小升初真题）如下图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人。
(1)观察上图，根据规律将表格补充完整。
餐桌数量
1
2
3
4
5
…
可坐人数
4
6
8
…
(2)按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐( )。
【答案】(1)见详解
(2)2n＋2
【思路引导】根据题意，先分析1张、2张、3张餐桌的可坐人数规律：1张餐桌坐4人，2张坐6人（比1张多2人），3张坐8人（比2张多2人），可知每增加1张餐桌，可坐人数增加2人。
（1）4张餐桌的可坐人数是3张的8人加2人，5张是4张的人数再加2人；
（2）从规律中抽象出n张餐桌的表达式，1张时2×1＋2＝4，2张时2×2＋2＝6，依此类推可得通用公式，据此解答。
【规范解答】（1）综上所述可得：4张餐桌可坐人数：8＋2＝10
5张餐桌可坐人数：10＋2＝12
（2）推导n张餐桌的表达式：由规律可知，n张餐桌可坐人数为
2×n＋2＝2n＋2；
综上所述可得，按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐2n＋2
【变式训练1】（2025·浙江杭州·小升初真题）中国工程师从蜂巢获得灵感，采用六边形布局建设5G基站，既能节省资源，又能实现信号无缝覆盖。这种布局中，基站数量随着层数增加呈现特定规律，如下所示：
序号
①
②
③
……
图形
……
每层新增数
6
12
……
（1）根据信息中的规律，填空
第一层总基站数：1个
第二层总基站数：1＋6＝7个
第三层总基站数：7＋12＝19个
第四层新增基站数：________个，总基站数：________个
第五层新增基站数：________个，总基站数：________个
第n层新增基站数规律：________（用含n的式子表示）个
（2）如果第n层总基站数的规律符合关系式3n（n－1）＋1，那么该地区按照此规律建到第8层，总基站数是多少个？
【答案】（1）18，37；
24，61；
6（n－1）
（2）169个
【思路引导】（1）根据信息可将已知算式转换成如下形式：
第二层总基站数为：1＋6×1＝7个；
第三层总基站数为：7＋6×2＝19个；
由此可知每新增一层，新增的基站数为：6×（层数－1）；
所以第四层新增基站数为：6×（4－1）＝18个，总基站数为：19＋18＝37个；
第五层新增基站数为：6×（5－1）＝24个，总基站数为：37＋24＝61个；
……
所以第n层新增基站数为：6×（n－1）个。
（2）把n＝8代入关系式3n（n－1）＋1计算即可。
【规范解答】（1）根据分析可知：
每新增一层，新增的基站数为：6×（层数－1）；
6×（4－1）
＝6×3
＝18（个）
19＋18＝37（个）
所以第四层新增基站数：18个，总基站数：37个；
6×（5－1）
＝6×4
＝24（个）
37＋24＝61（个）
所以第五层新增基站数：24个，总基站数：61个。
当层数为n时，新增基站数为6×（n－1）＝6（n－1）。
所以第四层新增基站数：18个，总基站数：37个；
第五层新增基站数：24个，总基站数：61个；
第n层新增基站数规律：6（n－1）（用含n的式子表示）个。
（2）当n＝8时，
3n（n－1）＋1
＝3×8×（8－1）＋1
＝3×8×7＋1
＝24×7＋1
＝168＋1
＝169（个）
答：总基站数是169个。
【变式训练2】（2025·重庆渝北·小升初真题）某中学六年级1班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两种品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价25元。经洽谈后，甲店每买一副球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠，该班需球拍5副，乒乓球盒（≥5）。
（1）请问在甲店购买应付多少元？在乙店购买应付多少元？（用含有的代数式表示）
（2）若＝20，去哪家购买更划算？请说明理由。
【答案】（1）甲店：（375＋25）元；乙店：（450＋22.5）元
（2）甲店；理由见详解
【思路引导】（1）甲店：每买一副球拍赠送一盒乒乓球，购买5副球拍赠送5盒乒乓球，还需额外购买（－5）盒乒乓球，则在甲店购买应付钱数＝每副球拍的定价×球拍数量＋每盒乒乓球定价×还需购买的盒数，据此用含字母的式子表示数量关系。
乙店：全部按定价的九折优惠，即总费用为球拍和乒乓球的总金额乘90%；则在乙店购买应付钱数＝（每副球拍的定价×5＋每盒乒乓球定价×盒数）×90%，据此用含字母的式子表示数量关系。
（2）把若＝20代入上一题在甲店、乙店购买应付钱数的式子中，分别计算出得数，再比较，得出去哪家购买更划算。
【规范解答】（1）甲店：100×5＋25（－5）＝500＋25－125＝（375＋25）元
乙店：（100×5＋25）×90%＝（500＋25）×0.9＝（450＋22.5）元
答：在甲店购买应付（375＋25）元，在乙店购买应付（450＋22.5）元。
（2）当＝20时
375＋25
＝375＋25×20
＝375＋500
＝875（元）
450＋22.5
＝450＋22.5×20
＝450＋450
＝900（元）
875＜900
答：去甲店购买更划算。因为在甲店购买需875元，在乙店购买需900元，甲店的费用更低。
题型十三 方程的解与解方程
【典例精讲】（2025·海南省直辖县级单位·小升初真题）海亮小学合唱队和舞蹈组两个兴趣小组一共有48人，合唱队人数是舞蹈组的。舞蹈组有多少人？（用方程解答）
【答案】28人
【思路引导】根据“合唱队人数是舞蹈组的”，可以设舞蹈组有人，则合唱队有 人；
根据“合唱队和舞蹈组两个兴趣小组一共有48人”可得出等量关系：舞蹈组的人数＋合唱队的人数＝合唱队和舞蹈组的总人数，据此列出方程，并求解。
【规范解答】解：设舞蹈组有人，则合唱队有 人。
＋ ＝48
＝48
＝48÷
＝48×
＝28
答：舞蹈组有28人。
【变式训练1】（2025·浙江杭州·小升初真题）中国北斗卫星导航系统是我国自主研制的全球卫星导航系统，目前在轨卫星有50颗，比全球定位系统（GPS）卫星数量的少6颗。全球定位系统（GPS）有几颗卫星？（用方程解）
【答案】98颗
【思路引导】在轨卫星有50颗，比全球定位系统（GPS）卫星数量的少6颗。可得出等量关系：全球定位系统（GPS）卫星的数量×－6＝目前在轨卫星的数量，设全球定位系统（GPS）有颗卫星，列方程为 －6＝50，然后解方程即可。
【规范解答】解：设全球定位系统（GPS）有颗卫星。
－6＝50
＝50＋6
＝56
＝56÷
＝56×
＝98
答：全球定位系统（GPS）有98颗卫星。
【变式训练2】（2025·四川绵阳·小升初真题）妈妈给红红一些钱去买贺卡，有甲、乙、丙三种贺卡，甲种卡每张0.5元，丙种卡每张1.2元，用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张，买乙种卡要比买丙种卡多买6张，妈妈给红红多少钱？乙种卡每张多少钱？
【答案】12元；0.75元
【思路引导】把用这些钱可以买丙种卡的数量设为未知数，用含有字母的式子分别表示出用这些钱可以买甲种卡和乙种卡的数量，妈妈给红红的总钱数不变，等量关系式：甲种卡的数量×甲种卡的单价＝丙种卡的数量×丙种卡的单价，列方程求出用这些钱可以买丙种卡的数量，妈妈给红红的总钱数＝丙种卡的数量×丙种卡的单价，乙种卡的单价＝妈妈给红红的总钱数÷乙种卡的数量，据此解答。
【规范解答】解：设用这些钱可以买张丙种卡，则可以买张乙种卡，可以买张甲种卡。
10＋6＝16（张）
1.2×10＝12（元）
12÷16＝0.75（元）
答：妈妈给红红12元，乙种卡每张0.75元。
【考点剖析】分析题意准确设出未知数并抓住题目中的不变量列出方程是解答题目的关键。
题型十四 列方程解含一个未知数的问题
【典例精讲】（2025·湖北黄石·小升初真题）有着3500多年历史的盘龙城遗址是我国商代前期的城址，是武汉的城市之根。盘龙城国家考古遗址公园的核心保护区面积为1.39平方千米，比公园规划占地面积的多0.08平方千米，公园规划占地面积是多少平方千米？（列方程解答）
【答案】6.55平方千米
【思路引导】根据题意，把公园规划占地面积看作单位“1”，它是未知量，适合设为x。根据题意，找出等量关系：公园规划占地面积×＋0.08＝核心保护区面积，据此列出方程求解。
【规范解答】解：设公园规划占地面积是x平方千米。
x＋0.08＝1.39
x＋0.08－0.08＝1.39－0.08
x＝1.31
x×5＝1.31×5
x＝6.55
答：公园规划占地面积是6.55平方千米。
【变式训练1】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）由甲地到乙地前的路是高速公路，后的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地。A车在高速公路和普通公路的行驶速度都是80千米/时；B车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时，A、B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在高速公路上距离丙地40千米处相遇，甲、乙两地之间的距离是多少？
【答案】252千米
【思路引导】把甲、乙两地的总路程看作3份，其中高速公路占2份、普通公路占1份，设1份路程为x千米，总路程就是3x千米；A车从甲地出发，在高速公路上行驶了（2x－40）千米，速度是80千米/时，所以A车行驶时间为（2x－40）÷80；B车从乙地出发，先走完1份普通公路x千米（速度70千米/时），再在高速公路上行驶40千米（速度100千米/时），所以B车行驶时间为x÷70 ＋ 40÷100；因为两车同时出发、相遇时行驶时间相等，所以可以列出等式（2x－40）÷80＝x÷70 ＋ 40÷100，解方程求出x的值后，再算3x求出总路程。
【规范解答】解：设1份路程为x千米，总路程就是3x千米。
（2x－40）÷80＝x÷70＋40÷100
＝＋
×560＝×560＋×560
（2x－40）×7＝8x＋224
14x－280＝8x＋224
14x－280＋280－8x＝8x＋224＋280－8x
6x＝504
6x÷6＝504÷6
x＝84
3×84＝252（千米）
答：甲、乙两地之间的距离是252千米。
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）某游乐场在开门前有400人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的。一个入场口每分钟可以进来10个游客，如果开放4个入场口，20分钟就没有人排队了。现在开放6个入场口，那么开门后多少分钟后就没有人排队了？
【答案】10分钟
【思路引导】先计算出开放4个入场口，20分钟进入的总人数，总人数减去开门前排队等待的400人，就是20分钟内新来的游客数量。再用得到的数量除以20分钟，就是每分钟新来的游客数。设开门后分钟就没人排队，列方程：10×6＝400＋（每分钟新来的游客数量×20），代入数值，解方程即可。
【规范解答】4×10×20＝800（人）
800－400＝400（人）
400÷20＝20（人/分钟）
解：设开门后分钟就没人排队，由题意列方程
答：开门后10分钟后就没有人排队了。
【考点剖析】本题要重点区分“原有量”与“新增量”，开门前的400人是固定的“原有量”，开门后每分钟新来的游客是持续增长的“新增量”，不能将两者混为一谈直接计算。
题型十五 列方程解稍复杂的行程问题
【典例精讲】（2024·重庆渝北·小升初真题）甲、乙两人同时从A地出发去B地，5分钟后，甲返回A地去取东西，没有停留，继续步行去B地，如果从两人同时出发开始计时，那么35分钟后两人同时到达，已知甲每分钟所走路程比乙每分钟所走路程的2倍少30米，求A、B两地的距离为多少米？
【答案】1750米
【思路引导】分析题目，甲35分钟走的总路程比乙35分钟走的总路程多2个甲5分钟走的路程，设乙每分钟走x米，则甲每分钟走（2x－30）米，根据等量关系式：乙的速度×乙的时间＋甲的速度×5×2＝甲的速度×甲的时间，据此列出方程35x＋5×2×（2x－30）＝35（2x－30），再进一步解出方程即可得到乙的速度，再根据速度×时间＝路程求出A、B两地的距离即可。
【规范解答】解：设乙每分钟走x米，则甲每分钟走（2x－30）米。
35x＋5×2×（2x－30）＝35（2x－30）
35x＋10（2x－30）＝70x－1050
35x＋20x－300＝70x－1050
70x－35x－20x＝1050－300
15x＝750
x＝50
35×50＝1750（米）
答：A、B两地的距离为1750米。
【变式训练1】（2025·河南郑州·小升初真题）小张和父亲搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷。在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站。随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达了火车站，已知公共汽车的平均速度是40千米/时，问小张家到火车站有多远？
【答案】90千米
【思路引导】根据题意，剩下的路程乘公共汽车比乘出租车多用（30＋15）分钟，即小时。根据时间＝路程÷速度，分别算出剩下的路程乘公共汽车的时间和乘出租车的时间。根据乘公共汽车的时间－乘出租车的时间＝多用的时间列方程解决。
【规范解答】解：设小张家到火车站的路程是3千米。
3－＝2（千米）
40×2＝80（千米/时）
45分钟＝小时
答：小张家到火车站有90千米。
【考点剖析】根据“继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站。随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达了火车站”。 剩下的路程乘公共汽车比乘出租车多用（30＋15）分钟，即小时。
【变式训练2】（2025·北京·小升初真题）小仓鼠的学校距家有800米。平时它放学后总是慢悠悠地滚着它的仓鼠球回家，每分钟滚40米。有一天，它路过香喷喷的瓜子铺时，实在忍不住钻进去狂嗑了3分钟瓜子！结果它突然想起——回家晚了会被仓鼠妈妈发现！于是它立刻开启“疯狂滚球模式”，以每分钟60米的速度冲刺回家，最终竟然和平常到家的时间一模一样！小仓鼠的学校离瓜子铺有多少米？
【答案】440米
【思路引导】根据“时间＝路程÷速度”，按照正常每分钟滚40米的速度，小仓鼠回家需要800÷40＝20分钟；而如果嗑了3分钟瓜子后还和平常到家的时间一模一样，则路上共花了20－3＝17分钟；可设小仓鼠的学校离瓜子铺有x米，则瓜子铺离小仓鼠家有（800－x）米，小仓鼠从学校到瓜子铺的速度是每分钟40米，用时分钟，而小仓鼠从瓜子铺到家的速度是每分钟60米，用时分钟，可列方程为＋＝17，解方程即可解答。
【规范解答】解：设小仓鼠的学校离瓜子铺有x米，则瓜子铺离小仓鼠家有（800－x）米。
800÷40－3
＝20－3
＝17（分钟）
＋＝17
×120＋×120＝17×120
3x＋2×（800－x）＝2040
3x＋1600－2x＝2040
x＋1600＝2040
x＋1600－1600＝2040－1600
x＝440
答：小仓鼠的学校离瓜子铺有440米。
【考点剖析】本题考查行程问题，解题关键在于理解提速节省的时间＝吃瓜子的时间。
题型十六 列方程解含两个未知数的问题
【典例精讲】2025·重庆沙坪坝·小升初真题）某机械厂加工车间有84名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或者小齿轮10个，已知1个大齿轮与2个小齿轮刚好配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
【答案】20名；64名
【思路引导】设安排x名工人加工大齿轮，则（84－x）名工人加工小齿轮，根据“小齿轮总数＝2×大齿轮总数”的配套关系，列出方程10（84－x）＝2×16x，解方程求出加工大齿轮的工人数，进而求出加工小齿轮的工人数。
【规范解答】解：设安排x名工人加工大齿轮，则（84－x）名工人加工小齿轮。
10（84－x）＝2×16x
840－10x＝32x
840－10x＋10x＝32x＋10x
840＝42x
42x＝840
42x÷42＝840÷42
x＝20
84－20＝64（人）
答：安排20名工人加工大齿轮，64名工人加工小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套。
【变式训练1】（2025·重庆·小升初真题）爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁。当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁。现在三个人的年龄各是多少岁？
【答案】爸爸40岁，哥哥14岁，妹妹10岁
【思路引导】设当妹妹9岁时，哥哥的年龄为x岁，则此时爸爸的年龄为3x岁，爸爸比哥哥大2x岁，哥哥比妹妹大（x－9）岁；当爸爸34岁时，哥哥年龄为（34－2x）岁，妹妹年龄为（34－2x）－（x－9）＝（43－3x）岁，根据哥哥年龄是妹妹的2倍列方程34－2x＝2（43－3x），解得x＝13，此时妹妹9岁、哥哥13岁、爸爸39岁，三人年龄和为61岁，现在年龄和64岁，比61岁多3岁，经过3÷3＝1年，现在妹妹9＋1＝10岁，哥哥13＋1＝14岁，爸爸39＋1＝40岁。
【规范解答】解：设妹妹9岁时，哥哥x岁，爸爸3x岁。
34－2x＝2（43－3x）
34－2x＝86－6x
34－2x＋6x＝86－6x＋6x
34＋4x＝86
34＋4x－34＝86－34
4x＝52
4x÷4＝52÷4
x＝13
此时爸爸：3×13＝39（岁）
三人年龄和：9＋13＋39＝61（岁）
64－61＝3（岁）
3÷3＝1（年）
妹妹现在的年龄：9＋1＝10（岁）
哥哥现在的年龄：13＋1＝14（岁）
爸爸现在的年龄：39＋1＝40（岁）
答：现在爸爸的年龄是40岁，哥哥的年龄是14岁，妹妹的年龄是10岁。
【变式训练2】（2025·上海闵行·小升初真题）某学校5月开展校园科技节，已知六年级（1）班和（2）班各有48人，两个班各有一部分同学参加了模型比赛，其中（1）班参加人数的2倍比（2）班没参加的人数多5人，而（2）班参加的人数比（1）班没参加的人数的一半还少1人。求这两个班各有多少人参加模型比赛？
【答案】六年级（1）班20人；六年级（2）班13人
【思路引导】已知六年级（1）班和（2）班各有48人，（1）班参加人数的2倍比（2）班没参加的人数多5人，设（1）班参加比赛的人数为x人，则（2）班没参加比赛的人数为（2x－5）人，用总人数减去没参加比赛的人数即可表示出（2）班参加比赛的人数为48－（2x－5）；
又已知（2）班参加比赛的人数比（1）班没参加比赛的人数的一半还少1人，则（2）班参加比赛人数也可表示为（48－x）－1，所以可列方程为48－（2x－5）＝（48－x）－1，求出x的值即为六年级（1）班参加模型比赛的人数，再将x的值代入48－（2x－5）中求出结果即为（2）班参加模型比赛的人数。
【规范解答】解：设六年级（1）班参加的人数为x人。
48－（2x－5）＝（48－x）－1
48－（2x－5）＝×48－x－1
48－2x＋5＝24－x－1
53－2x＝23－x
53－2x＋x＝23－x＋x
53－x＝23
53－x＋x＝23＋x
23＋x＝53
23＋x－23＝53－23
x＝30
x×＝30×
x＝20
48－（2x－5）
＝48－（2×20－5）
＝48－（40－5）
＝48－35
＝13
答：六年级（1）班有20人参加模型比赛，六年级（2）班有13人参加模型比赛。
【考点剖析】用“每班都是48人”这个固定总数，以及通过两种不同的关系分别表示出六年级（2）班参加比赛的人数，据此列出方程；先将方程化简，再根据等式的基本性质逐步求解出x的值，最终求解问题。
题型十七 列方程解决稍复杂的实际问题
【典例精讲】（2025·上海闵行·小升初真题）实验西校的辩论队在各大辩论比赛中屡创佳绩。一场辩论赛分为立论、驳论、自由辩论、总结陈词四个环节，总时长30分钟。已知总结陈词需要4分钟，立论时间比驳论时间多2分钟，且立论和总结陈词的时间总和等于自由辩论时间。求立论、驳论、自由辩论各环节的时间。（列方程解应用题）
【答案】立论8分钟；驳论6分钟；自由辩论12分钟
【思路引导】设驳论时间为x分钟，立论时间比驳论多2分钟，故立论时间为（x＋2）分钟；立论和总结陈词的时间总和等于自由辩论时间，总结陈词4分钟，故自由辩论时间为（x＋2＋4）分钟。四个环节总时长30分钟，则立论时间＋驳论时间＋自由辩论时间＋总结陈词时间＝30，据此列方程为：（x＋2）＋x＋（x＋2＋4）＋4＝30，然后解方程即可。
【规范解答】解：设驳论时间为x分钟。
（x＋2）＋x＋（x＋2＋4）＋4＝30
x＋2＋x＋x＋2＋4＋4＝30
3x＋12＝30
3x＋12－12＝30－12
3x＝18
3x÷3＝18÷3
x＝6
6＋2＝8（分钟）
6＋2＋4＝12（分钟）
答：立论8分钟，驳论6分钟，自由辩论12分钟。
【变式训练1】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来得及刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40平方米墙面。每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米墙面。求每个房间需要粉刷的墙面面积。
【答案】52平方米
【思路引导】设每个房间需要粉刷的墙面面积为x平方米。3名一级技工一天粉刷的总面积是8个房间的面积减去未刷的50平方米，因此每名一级技工一天的粉刷面积为（8个房间总面积－50）÷3；5名二级技工一天粉刷的总面积是10个房间的面积加上多刷的40平方米，因此每名二级技工一天的粉刷面积为（10个房间总面积＋40）÷5。每名一级技工一天粉刷面积－二级技工一天粉刷面积＝10，据此列出方程，先化简，再根据等式的性质求解出x的值即可解答。
【规范解答】解：设每个房间需要粉刷的墙面面积是x平方米。
（8x－50）÷3－（10x＋40）÷5＝10
x－－2x－8＝10
x－2x－－8＝10
x－x－－＝10
x－＝10
x－＋＝10＋
x＝
x×＝×
x＝52
答：每个房间需要粉刷的墙面面积是52平方米。
【变式训练2】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一个三位正数M，其各位数字均不为零且互不相等，若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如123的“团结数”为。
(1)请求出427的“团结数”。
(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，且各位数字互不相等（，）。若N的“团结数”与N之差为24，求N的值。
【答案】(1)286
(2)218或284
【思路引导】首先要理解“团结数”的定义，即从三位数的百位、十位、个位数字中任选两个组成新的两位数并求和。
①直接按照定义计算427的“团结数”。
②先根据定义表示出N的“团结数”，再根据“团结数”与N之差为24列出方程求解。
【规范解答】（1）根据“团结数”的定义，从427的百位数字4、十位数字2、个位数字7中任选两个组成新的两位数，有42、47、24、27、74、72。
将这些两位数求和：
答：427的“团结数”是286。
（2）求N的“团结数”，从2、a、b中任选两个组成新的两位数，有2a、2b、a2、ab、b2、ba。
将这些两位数求和：
因为N百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，所以N可以表示为。
因为N的“团结数”与N之差为24，所以可列方程：
因为a、b为整数且，，，，。
通过试值法，当时，，，，。
此时，，。
当时，，，，。
此时，，。
答：N的值为218或284。
题型十八 比
【典例精讲】（2025·湖北黄石·小升初真题）王军将山里的水果通过直播的形式进行销售。原来销售量是2000kg，现在销售量增加了540%。销售的桔子、苹果和柿子的重量比是1∶4∶5，现在的销售量中苹果有多少千克？
【答案】5120千克
【思路引导】1.首先根据原来的销售量和增加的百分率，求出现在的销售总量。现在的销售量是原来的销售量乘（1＋增加的百分率）。
2. 然后根据桔子、苹果和柿子的重量比，求出苹果占现在销售总量的几分之几。
3. 最后用现在的销售总量乘苹果所占的分率，即可求出现在的销售量中苹果的重量。
【规范解答】2000×（1＋540%）×
＝2000×（1＋5.4）×
＝2000×6.4×
＝12800×
＝5120（千克）
答：现在的销售量中苹果有5120kg。
【变式训练1】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们的工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是甲、乙两人合做6天完成了工程的，因甲中途有事，由乙、丙合作2天，完成了余下工程的，之后三人合做5天完成了这项工程。如果按完成工作量的多少来付酬，每人应得多少元？
【答案】
甲应得330元，乙应得910元，丙应得560元
【思路引导】把这项工程总量看作单位“1”。首先根据三个阶段的工作情况，分别求出甲乙合作、乙丙合作、三人合作的工作效率之和。其次，利用工作效率之和求出甲、乙、丙各自单独的工作效率。然后，统计每人参与工作的总天数，计算出每人完成的工作量。最后，根据三人完成工作量的比，按比例分配1800元工资。
【规范解答】设这项工程总量为1。
甲、乙工作效率之和：
余下工程：
乙、丙完成的工作量：
乙、丙工作效率之和：
三人完成的工作量：
甲、乙、丙工作效率之和：
甲的工作效率：
乙的工作效率：
丙的工作效率：
甲完成的工作量：
乙完成的工作量：
丙完成的工作量：
三人工作量之比：
总份数：
甲应得工资：（元）
乙应得工资：（元）
丙应得工资：（元）
答：甲应得330元，乙应得910元，丙应得560元。
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）星期天早晨8：30，小萍骑电动车从家出发前往和谐广场。12分钟后，妈妈开车去追小萍，在距家6千米的地方追上了小萍。这时，妈妈收到一个电话，需要回家收个快递，于是立即掉头回家，拿到快递后没有停留（接快递时间忽略不计），立刻又回头去追小萍，妈妈再次追上小萍的时候，距家18千米，问：妈妈第二次追上小萍的时间是几时几分？
【答案】9时42分
【思路引导】先看路程：妈妈第一次追上到第二次追上，小萍走了12千米，妈妈走了24千米，相同时间内妈妈路程是小萍的2倍，所以妈妈速度是小萍的2倍。
路程相同时，速度与时间成反比，走同样6千米，小萍用时是妈妈的2倍，时间差12分钟，说明小萍走6千米用24分钟，妈妈用12分钟。
小萍速度：6÷24＝0.25千米/分，走18千米总用时：18÷0.25＝72分钟。
出发时间8时30分，加72分钟即为最终时间。
【规范解答】速度比：妈妈速度∶小萍速度＝（6＋18）∶（18－6）＝24∶12＝2∶1
小萍走6千米用时：12×2＝24（分钟）
小萍速度：6÷24＝0.25（千米/分钟）
小萍走18千米总用时18÷0.25＝72（分钟）
最终时间：8时30分＋72分＝8时30分＋1时12分＝9时42分
答：妈妈第二次追上小萍的时间是9时42分。
【考点剖析】本题关键是利用相同时间内的路程比得出速度倍数关系，再结合时间差求出小萍速度与总用时。
题型十九 比例
【典例精讲】（2025·福建宁德·小升初真题）如图，王老师驾驶纯电动新能源汽车匀速从A市途经B城到C市。
信息一：王老师从A市出发，以80千米/时的速度行驶了1.5小时到达B城；
信息二：AB两地路程比BC两地路程远20千米；
信息三：当汽车行驶20千米时，耗电量是3.5千瓦时。
(1)A市到C市的路程是多少千米？
(2)假设每千米的耗电量不变，当耗电量达到28千瓦时，这辆汽车行驶了多少千米？（用比例解）
【答案】(1)220千米
(2)160千米
【思路引导】（1）已知速度为80千米/时，行驶时间为1.5小时，根据：路程＝速度×时间，求出AB段的路程。已知AB两地路程比BC两地路程远20千米，用AB段的路程减去20千米，求出BC段的路程。用AB段路程加上BC段路程，求出总路程。
（2）已知每千米的耗电量不变，则汽车行驶的路程和耗电量成正比例关系。设耗电量达到28千瓦时对应的行驶路程为x千米， 根据正比例关系，“行驶20千米的耗电量”与“20千米”的比值，和“耗电量28千瓦时”与“x千米”的比值相等，据此列出比例方程并解方程，求出对应的行驶路程。
【规范解答】（1）80×1.5＝120（千米）
120－20＝100（千米）
120＋100＝220（千米）
答：A市到C市的路程是220千米。
（2）解：设当耗电量达到28千瓦时，这辆汽车行驶了x千米。
3.5x＝20×28
3.5x＝560
3.5x÷3.5＝560÷3.5
x＝160
答：当耗电量达到28千瓦时，这辆汽车行驶了160千米。
【变式训练1】（2025·湖北武汉·小升初真题）如图是小刚从家出发乘坐出租车去展览馆的路线图（途经文化馆）。出租车在3千米以内（含3千米）的起步价是8元，以后路程每增加1千米车费就增加1.4元。请你算一算，小刚去展览馆一共需要多少元出租车费？
【答案】45.8元
【思路引导】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，可求得小刚家到展览馆的实际距离，然后将这个距离的长度单位换算为千米，3千米内收费8元，超过部分每千米1.4元，求出相应的租车费用，据此作答即可。
【规范解答】
＝6÷
＝6×500000
＝3000000（厘米）
3000000厘米＝30千米
8＋1.4×（30－3）
＝8＋1.4×27
＝8＋37.8
＝45.8（元）
答：小刚去展览馆一共需要45.8元出租车费。
【变式训练2】2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。
（1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。
（2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。
【答案】（1）A；B
（2）烧杯底面积是20平方厘米；注满水槽所用的时间是180秒
【思路引导】（1）观察图②，注水初期仅向烧杯注水，当烧杯刚好注满时，后续注水开始使水槽水面上升，此转折点为点A，故点A表示烧杯中刚好注满水。
当水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐时，后续注水的“有效底面积”变为水槽底面积（因烧杯已被水覆盖），水面上升速度改变，此转折点为点B，故点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。
（2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。
由图2知，当注水18秒时，烧杯刚好注满，此时烧杯容积等于注水体积，根据容积＝底面积×高，注水体积＝注水速度×时间（匀速注水情况），得到S＝18v；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），即100＝90V，因为90V=5×18V则有100＝5S，两边同时约掉，即可求出烧杯底面积S。
由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5，当注水速度一定时，此时体积比等于时间比，把烧杯的体积看成1份，水槽一半的体积就是5份，用水槽的底面积乘此时的高度10厘米，再除以5就可以得到烧杯的体积，即：100×10÷5＝200（立方厘米），再根据注水速度＝注水体积÷时间，得到注水速度，即200÷18＝（立方厘米/秒）；再用水槽的总体积除以注水速度，得到注满水槽所用时间，即100×20÷＝180（秒）。
【规范解答】（1）根据分析，可知：
图②中，点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。
（2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。
由图②知，当注水18秒时，烧杯刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），于是S＝18V，100＝90V，
因为90V=5×18V，则有100＝5S，
所以S＝100÷5＝20（平方厘米）
由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5，
烧杯的体积：100×10÷5＝200（立方厘米）
注水速度：200÷18＝（立方厘米/秒）
注满水槽所用时间：
100×20÷
＝2000÷
＝2000×
＝180（秒）
答：烧杯的底面积为20平方厘米，注满水槽所用的时间为180秒。
【考点剖析】本题核心是利用恒定流量下“体积与时间成正比”的关系，结合图像转折点的实际意义（注满烧杯、水面平齐），通过建立方程求解未知量。关键在于理解不同注水阶段的“有效底面积”变化，从而关联体积、时间和底面积的关系。
题型二十 常见的量
【典例精讲】（2025·江西吉安·小升初真题）2023年1月1日起，万安县启动“智慧停车服务收费”工作，服务定价如下：
路内、人行道停车位30分钟内免费，首小时2元，1小时后1元/小时，不足1小时按1小时收费，收费时段：7：30—19：30，全天13元封顶；
停车场1小时内免费，1小时后1元/小时，不足1小时按1小时收费，全天18元封顶，停车场实行24小时收费制，滚动叠加。
阅读上面材料，解答下列问题：
(1)晚饭后，小文爸爸开车去超市买了一些生活用品，他在路内停车位的时间是18：55～19：30，此次应缴( )元停车费。
(2)上周六，小李一家去赣州游玩。上午8：30把车停在了高铁站收费停车场，然后乘坐高铁去赣州，当天晚上从赣州回来后8：20把车开出停车场，此次停车费是多少？
【答案】(1)2元
(2)11元
【思路引导】解答这道题的关键是算出小文爸爸和小李停车的总时长，然后按照路内停车位和停车场收费标准求出应缴的费用。
（1）小文爸爸在路内停车位的时间是18：55～19：30，用19时30分－18时55分＝35分，分析这个停车时间所属的收费区间，确定具体费用。
（2）小李在停车场停车的时间是上午8：30至晚上8：20，将晚上8：20化为24时记时法是20：20。用20时20分－8时30分＝11时50分，分析这个停车时间所属的收费区间，确定具体费用。
【规范解答】（1）19时30分－18时55分＝35分，35分大于30分小于1小时，按首小时2元收费。
所以小文爸爸应缴2元停车费。
（2）20时20分－8时30分＝11时50分，不足1小时按1小时收费。
所以11时50分按12小时收费。
因停车场1小时内免费，1小时后1元/小时。
（元）
答：小李此次的停车费是11元。
【变式训练1】（2025·西藏·小升初真题）平措和乐乐周末参加“快乐奔跑•我能行”活动，8：20两人从自己家出发前往活动现场集合。他们的家到活动现场的距离之和为1.75千米，平措平均每分钟走40米。8：45两人同时到达活动现场。
（1）乐乐平均每分钟走多少米？
（2）两人9：00同时从活动起点同方向出发，乐乐平均每分钟跑200米，平措的速度是乐乐的1.2倍，多长时间两人相距120米？
【答案】（1）30米；（2）3分钟
【思路引导】（1）利用相遇问题公式：速度和＝路程和÷相遇时间，相遇时间＝两人到达时间出发时间，计算二人速度和，再减去平措的速度，就是乐乐的速度；
（2）利用追及问题公式：速度差＝平措速度乐乐速度，追及时间＝路程差÷速度差，计算即可。
【规范解答】（1）8时45分－8时20分＝25分钟
1.75千米＝1750米
1750÷25－40
＝70－40
＝30（米/分）
答：乐乐平均每分钟走30米。
（2）120÷（200×1.2－200）
＝120÷（240－200）
＝120÷40
＝3（分钟）
答：3分钟两人相距120米。
【变式训练2】（2024·浙江宁波·小升初真题）王师傅做了一个底面积为240平方厘米的铁质圆锥零件，为了防止生锈，把它缓缓放入一个长方体油漆缸中，并完全浸没。由于操作不当，油漆缸底部受损开裂，一段时间后开始渗漏，直至油漆全部漏完。油漆高度随时间变化如图所示：
（1）圆锥零件浸入油漆缸（ ）分钟后开始渗漏。
（2）求铁质圆锥的高度是多少厘米？
（3）油漆平均每分钟漏掉多少立方厘米？
【答案】（1）10
（2）15厘米
（3）300立方厘米
【思路引导】（1）从液面高度与时间的关系图中可知，9：00开始往长方体油漆缸里放入圆锥零件，9：00～9：05，液面高度上升；9：05～9：10，液面高度不变；9：10～9：30，液面高度下降。
由此可知，9：10液面开始渗漏，用开始渗漏的时刻减去放入圆锥零件的时刻，即可求出圆锥零件浸入油漆缸几分钟后开始渗漏。
（2）把一个铁质圆锥零件完全浸没在长方体油漆缸中，液面高度由15厘米上升到18厘米，上升了（18－15）厘米；液面上升部分的体积就是这个圆锥零件的体积；
先根据长方体的体积＝长×宽×高，求出液面上升部分的体积，即圆锥零件的体积；
再根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，据此求出圆锥零件的高度。
（3）从图中可知，9：10油漆开始渗漏，9：30油漆全部漏完，用时20分钟；
长方体油漆缸长20厘米、宽20厘米、液面高15厘米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出油漆的体积；
用油漆的体积除以渗漏的时间，即可求出油漆平均每分钟漏掉的体积。
【规范解答】（1）9时10分－9时＝10（分钟）
圆锥零件浸入油漆缸（10）分钟后开始渗漏。
（2）液面上升部分的体积：
20×20×（18－15）
＝20×20×3
＝1200（立方厘米）
圆锥的高：
1200×3÷240
＝3600÷240
＝15（厘米）
答：铁质圆锥的高度是15厘米。
（3）9时30分－9时10分＝20（分钟）
20×20×15
＝400×15
＝6000（立方厘米）
6000÷20＝300（立方厘米）
答：油漆平均每分钟漏掉300立方厘米。
【考点剖析】从液面高度与时间的关系图中获取信息，如：放入圆锥零件后液面上升的高，每段时间液面的变化情况等；灵活运用长方体的体积公式、圆锥的体积公式是解题的关键。
题型二十一 典型应用题
【典例精讲】（2025·河南新乡·小升初真题）甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小时行50千米，途中甲车因故障停驶48分钟，乙车开出5.3小时后两车在途中相遇。A、B两地相距多少千米？
【答案】454千米
【思路引导】先根据“1小时＝60分钟”把48分钟转化为0.8小时，甲车的行驶时间为（5.3－0.8）小时，再根据“路程＝速度×时间”求出相遇时甲车行驶的路程和乙车行驶的路程，最后相加求出总路程。
【规范解答】1小时＝60分钟
48÷60＝0.8（小时）
42×（5.3－0.8）＋50×5.3
＝42×4.5＋50×5.3
＝189＋265
＝454（千米）
答：A、B两地相距454千米。
【变式训练1】（2025·山东青岛·小升初真题）代驾已成为热门，让更多不方便的人群多一点安全，下面是“e代驾”公司的收费标准。
收费标准
时间段
起步价格
里程费
07：00~23：59
9.9元（含2公里）
每公里4元
超过12公里
每公里加收1.5元
00：00~06：59
18元（含3公里）
等候费：免费等候10分钟，超出后1元/分钟
(1)有一天晚上，王叔叔在外就餐后向该公司叫了一个代驾，将车开到7千米（公里）远的家用车库，王叔叔应付多少代驾费？
(2)某天凌晨，李叔叔也向该公司叫了一个代驾，共支付代驾费81.5元（无等候费），此次代驾行驶了多少千米？
【答案】(1)29.9元
(2)17千米
【思路引导】（1）王叔叔晚上叫的代驾，起步价是9.9元，超过2公里的部分为5公里，这部分需要支付（5×4）元，最后利用加法求出一共需要支付多少钱；
（2）李叔叔凌晨叫的代驾，起步价是18元。将总共的代驾费减去18元，求出超过3千米部分付了多少钱。将12千米减去3千米，将差乘4元，求出12千米超过3千米的部分需要支付多少元。对比发现，实际超过3千米部分付的钱比12千米超过3千米部分付的钱多，说明代驾路程大于12千米。这部分的单价是（4＋1.5）元，将超过12千米部分的钱除以（4＋1.5），求出超过12千米多少千米，再将其加上12千米，即可求出此次代驾行驶了多少千米。
【规范解答】（1）9.9＋（7－2）×4
＝9.9＋5×4
＝9.9＋20
＝29.9（元）
答：王叔叔应付29.9元代驾费。
（2）81.5－18＝63.5（元）
（12－3）×4
＝9×4
＝36（元）
63.5＞36，说明代驾路程超过12千米。
（63.5－36）÷（4＋1.5）
＝27.5÷5.5
＝5（千米）
12＋5＝17（千米）
答：此次代驾行驶了17千米。
【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）从A村到B村必须经过C村，其中A村至C村为上坡路，C村至B村为下坡路，A村至B村的总路程为20千米。某人骑自行车从A村到B村用了2小时，再从B村返回A村又用了1小时45分。已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍。求A、C之间的路程及自行车上坡时的速度。
【答案】12千米；8千米/时
【思路引导】某人从A村到B村，再返回A村，共用时间2＋＝（小时），去时的下坡路＋来时的下坡路＝全程，去时的上坡路＋来时的上坡路＝全程，即20千米。所以上坡和下坡各行了20千米，下坡时的速度是上坡时速度的2倍，根据按比分配，算出上坡时间为×＝（小时），根据路程÷时间＝速度，用为20除以算出上坡速度。再根据上、下坡速度的关系，求出下坡的速度。假设都是下坡的路程，那么从A村到B村的2小时应该行驶16乘2千米。与实际的20千米相减，算出相差的千米数。再除以相差的速度（16－8），求得从A到C所用时间。最后根据速度×时间＝路程，算出A、C之间的路程。
【规范解答】2＋＝（小时）
×
＝×
＝（小时）
20÷＝8（千米/时）
8×2＝16（千米/时）
假设都是下坡的路程。
（16×2－20）÷（16－8）
＝（32－20）÷8
＝12÷8
＝（小时）
8×＝12（千米）
答：求A、C之间的路程是12千米。自行车上坡时的速度是8千米/时。
题型二十二 平面图形的认识与测量
【典例精讲】（2025·湖北黄石·小升初真题）健身房内有一个圆柱形沙包，量得沙包的底面直径是40厘米，高是1.2米。在一次训练中，沙子全部流到地上形成了一个高50厘米的近似圆锥形沙堆，这个沙堆的占地面积是多少平方米？（结果保留两位小数）
【答案】约0.90平方米
【思路引导】圆柱的体积＝底面积（S＝πr2）×高，据此先求出圆柱形沙包的体积，也就是圆锥形沙堆的体积；再根据圆锥的体积＝Sh，得出沙堆的占地面积＝圆锥形沙堆的体积÷（×沙堆的高），据此解答即可。注意单位的统一，1米＝100厘米，结果保留两位小数，看小数点后第三位小数，根据“四舍五入法”取舍。
【规范解答】40厘米＝0.4米
50厘米＝0.5米
沙堆的体积：3.14×（0.4÷2）2×1.2
＝3.14×0.22×1.2
＝3.14×0.04×1.2
＝0.1256×1.2
＝0.15072（立方米）
沙堆的占地面积：
0.15072÷（×0.5）
＝0.15072÷÷0.5
＝0.15072×3÷0.5
＝0.45216÷0.5
＝0.90432
≈0.90（平方米）
答：这个沙堆的占地面积约是0.90平方米。
【变式训练1】（2025·河南商丘·小升初真题）图形与操作。
(1)按要求在图中画一画。
(2)计算变化后图形中阴影部分的面积。
(3)你能求出原图中阴影部分的周长吗？试一试。
【答案】(1)见详解
(2)8平方厘米
(3)20.56厘米
【思路引导】（1）先确定旋转中心为O点，根据阴影①绕O点逆时针旋转90°，阴影②绕O点顺时针旋转90°的方向和度数，画出旋转后的图形。
（2）变化后阴影部分的面积是一个等腰直角三角形，两条直角边分别是正方形的边长，根据三角形的面积公式可计算出阴影部分面积。
（3）原图中阴影部分的周长是一个直径为4cm的圆的周长，依据圆的周长公式为计算出圆的周长，最后加上两条4厘米的线段长度得到阴影部分的周长。
【规范解答】（1）见下图
（2）4×4÷2
＝16÷2
＝8（平方厘米）
所以，变化后图形中阴影部分的面积8平方厘米。
（3）3.14×4＋4×2
＝12.56＋8
＝20.56（厘米）
原图中阴影部分的周长是20.56厘米。
【考点剖析】关键点是知道并发现将①和②通过旋转后阴影部分的面积变成一个等腰直角三角形。
【变式训练2】（2025·四川绵阳·小升初真题）如图，正方形ABCD的边长为4厘米，点E在BC上，四边形BEFG也是正方形，以点B为圆心，BA长为半径画弧AC。连接AF、CF，试求图中阴影部分的面积。
【答案】12.56平方厘米
【思路引导】观察图形可知：阴影部分面积＝扇形ABC的面积＋梯形FGBC的面积－三角形AGF的面积，且扇形的面积＝圆的面积，圆的半径等于线段BA的长度也就是4厘米，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2，设小正方形BEFG的边长是a厘米，分别表示出其他各部分的面积，代入数据计算即可。
【规范解答】设小正方形BEFG的边长是a厘米
三角形AGF的面积：
（平方厘米）
梯形FGBC的面积：
（平方厘米）
所以三角形AGF的面积和梯形FGBC的面积相等。
阴影部分的面积
＝扇形ABC的面积＋梯形FGBC的面积－三角形AGF的面积
＝扇形ABC的面积
＝4×3.14
＝12.56（平方厘米）
答：阴影部分的面积是12.56平方厘米。
【考点剖析】本题采用“设而不求”的思想，将小正方形的边长设为a厘米，分别表示出其余各部分的面积，进而发现规律解出本题。
题型二十三 立体图形的认识与测量
【典例精讲】（2025·湖北黄石·小升初真题）张亮在一个长方体的玻璃容器中装了一些水，他把一块底面半径为4厘米的圆柱形铁块完全浸没在水中，发现水面上升了8厘米，把铁块提起5厘米时，这时水面下降了2厘米。（如图所示，玻璃厚度忽略不计）（π取3）
(1)圆柱形铁块露出水面部分的体积是多少？
(2)圆柱形铁块的体积占玻璃容器容积的百分之几？
【答案】(1)240立方厘米
(2)26.67%
【思路引导】（1）求这个铁块露出水面部分的体积是多少，就是求底面半径是4厘米，高是5厘米的圆柱体的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高即可解答；
（2）求这个铁块的体积占玻璃容器容积的百分之几，就可以求上升了8厘米的高度是长方体的玻璃容器高度的百分之几，所以用除法即可解答。
【规范解答】（1）1）3××5
＝3×（4×4）×5
＝3×16×5
＝48×5
＝240（立方厘米）
答：圆柱形铁块露出水面部分的体积是240立方厘米。
（2）8÷30×100%
＝×100%
≈26.67%
答：圆柱形铁块的体积占玻璃容器容积的26.67%。
【变式训练1】赵师傅向下图所示的空容器（由上、下两个圆柱组成）中匀速注油，注满结束。注油过程中，容器中油的高度与所用时间的关系如图所示。
(1)把下面的大圆柱注满需( )分钟。
(2)上面小圆柱高( )厘米。
(3)如果下面的大圆柱底面积是48平方厘米，那么大圆柱的体积是多少立方厘米？上面小圆柱的底面积是多少平方厘米？
【答案】(1)
(2)30
(3)960立方厘米；16平方厘米
【思路引导】（1）根据图像的高度判断，两段图像分别对应的是向大圆柱和小圆柱注油的过程；图像发生转折的时间，即为大圆柱注满的时间。
（2）用最终高度减去大圆柱注满的高度，即可求出小圆柱的高；
（3）根据圆柱的体积＝底面积×高，求出大圆柱的体积即可。先用大圆柱的体积除以注满大圆柱的时间，计算出注油的速度，即每分钟注油的多少立方厘米；再计算出注满小圆柱所用的时间，二者相乘即可得出小圆柱的体积；最后用小圆柱的体积除以小圆柱的高度，求出小圆柱的底面积。
【规范解答】（1）由图可知，前一段油的高度较低，所对应的是向大圆柱注油的过程。图像在分钟处发生了转折，即为大圆柱注满的时间。
（2）由图可知，后一段油的高度较高，所对应的是向小圆柱注油的过程。整个容器注满时的高度是50厘米，大圆柱注满的高度是20厘米，所以小圆柱高是50－20＝30（厘米）。
（3）大圆柱的体积：48×20＝960（立方厘米）
小圆柱的底面积：
=
=
=480（立方厘米）
480÷30＝16（平方厘米）
答：大圆柱的体积是960立方厘米，上面小圆柱的底面积是16平方厘米。
【考点剖析】本题主要考查根据图像获取信息的能力，通过分析图像中油的高度与时间的关系，确定大、小圆柱的高度。难点在于抓住“匀速注油”这一点，通过每分钟注油量，由大圆柱体积计算出小圆柱的体积，进而求出其底面积。
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？
【答案】60立方厘米
【思路引导】根据左图可知，甲容器中装水的体积是甲容器体积的一半，根据长方体的体积公式V＝abh，即可求出水的体积；将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使甲、乙两个容器中的水面高度相同，此时水的总体积不变。用甲容器中水的体积除以甲、乙容器的底面积之和，即可求出此时水面的高度；再根据长方体的体积公式V＝abh，求出乙容器中水的体积，即是从甲容器倒出的水的体积，据此进行解答。
【规范解答】甲容器中水的体积：10×3×10÷2
＝30×10÷2
＝300÷2
＝150（立方厘米）
底面积之和：10×3＋5×4
＝30＋20
＝50（平方厘米）
高：150÷50＝3（厘米）
乙容器中水的体积：5×4×3
＝20×3
＝60（立方厘米）
答：需要从甲容器中倒出60立方厘米的水。
【考点剖析】本题的核心是抓住两个不变量：一是水的总体积不变，二是最终甲、乙容器中水面的高度相同。利用这两个条件，才能将“倒出部分水”的问题，转化为“总体积÷总底面积＝共同高度”的简单计算。
题型二十四 图形的拼组
【典例精讲】（2025·浙江宁波·小升初真题）小海在研究圆柱的体积时，用了不同的方法来推导。
(1)方法一：把圆柱等分成若干份，拼出近似的长方体，如图所示。并且分三步推导求出圆柱的体积：
①长方体的高与圆柱的高相等，长相当于圆柱的( )，宽相当于圆柱的( )。
②长方体的体积＝________________。
③所以圆柱的体积＝________________。
(2)方法二：根据“面动成体”，圆柱可以看成是无数个等圆的叠加（如图）。它的厚度就是圆柱的高，“体积＝底面积×高”。按照这样的方法，下面不能用“底面积×高”求体积的是图（ ）。
A． B． C． D．
【答案】(1) 底面周长的一半 半径 长×宽×高 πr2h
(2)D
【思路引导】（1）在推导圆柱的体积公式时，把圆柱等分成若干份，拼出近似的长方体。圆柱与长方体相比，体积不变，圆柱的底面积相当于长方体的底面积，高相当于长方体的高，长方体的“长”对应圆柱底面周长的一半， “宽”对应圆柱的半径，因为长方体的体积＝长×宽×高，所以圆柱体积＝底面周长的一半×半径×高，用字母表示为V＝πr2h。
（2）“面动成体”是说一个平面图形沿着某个方向运动，形成立体图形。当立体图形的底面积不变时，它的体积可以用“底面积×高”来计算（因为可以看成无数个相同底面积的面叠加，厚度对应高）。观察以下四个选项的图形，如果上底面积和下底面积是一样的，就可以用这个公式，如果上底面积和下底面积不一样，则不能用。
【规范解答】（1）①长方体的高与圆柱的高相等，长相当于圆柱的（底面周长的一半），宽相当于圆柱的（半径）。
②长方体的体积＝长×宽×高
③圆柱的体积＝πr×r×h＝πr2h
（2）A．圆柱的底面是圆形，且上下底面完全相同（底面积不变），则能用“底面积×高”求体积；
B．立体图形是圆柱，底面是圆形，上下底面相同，同理，圆柱底面积不变，能用“底面积×高”求体积；
C．立体图形的底面是五边形，且上下底面完全相同（底面积不变），可以看出是无数个相同的五边形底面叠加，厚度是高，能用“底面积×高”求体积；
D．立体图形是圆台，圆台的上下底面是大小不同的圆形（底面积不相同），因为底面积在变化，不能看成无数个相同底面积的面叠加，所以圆台不能用“底面积×高”求体积。
故答案为：D
【变式训练1】（2025·浙江宁波·小升初真题）下图中明明用6个体积是1立方厘米的小正方体，测量了长方体木块的长、宽、高。请根据图中信息算一算。
（1）这个长方体木块的表面积是多少平方厘米？
（2）如果把这个长方体木块削成一个圆柱，能削成的圆柱体积最大是多少立方厘米？
【答案】（1）52平方厘米；
（2）14.13立方厘米
【思路引导】小正方体体积是1立方厘米，只有1×1×1＝1（立方厘米），则小正方体的棱长为1厘米。由图可知，长方体长是4个小正方体棱长，1×4＝4（厘米）；长方体宽是3个小正方体棱长，1×3＝3（厘米）；长方体高是2个小正方体棱长，1×2＝2（厘米）。
（1）长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据进行计算即可算出这个长方体木块的表面积。
（2）以长方体的长与宽这个面为底，以长方体的高为圆柱的高，这样可以削成一个体积最大的圆柱，则半径是3÷2＝1.5（厘米），高是2厘米，代入公式：，计算即可解答。
【规范解答】（1）1×4＝4（厘米），1×3＝3（厘米），1×2＝2（厘米）。
（4×3＋4×2＋3×2）×2
＝（12＋8＋6）×2
＝26×2
＝52（平方厘米）
答：这个长方体木块的表面积是52平方厘米。
（2）3.14×（3÷2）2×2
＝3.14×1.52×2
＝3.14×2.25×2
＝7.065×2
＝14.13（立方厘米）
答：削成的圆柱体积最大是14.13立方厘米。
【考点剖析】根据图示，可以先找出长方体长宽高分别是多少厘米，计算长方体表面积。要削成一个体积最大的圆柱，需要以长方体长与高这个面为底，以长方体宽为圆柱的高，代入圆柱体体积公式，就可以计算出削成的体积最大的圆柱。
【变式训练2】（2024·江苏常州·小升初真题）陈爷爷家的老屋要翻建，从老屋上拆下一根圆柱形的木料（如图）。
（1）这根木料的侧面有一层斑驳的红漆，原来刷红漆的部分有多少平方厘米？
（2）现在要把这根木料加工成方木（横截面为正方形），这根方木的体积最大是多少立方厘米？合多少立方分米？
【答案】（1）17584平方厘米；（2）78400立方厘米；78.4立方分米
【思路引导】（1）刷红漆部分的面积就是圆柱的侧面积，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此计算即可解答；
（2）根据题意，把圆柱形木材加工成最大的方木，方木底面正方形的对角线等于圆的直径，把这个正方形看作完全相同的两个三角形，每个三角形的底等于直径，高等于半径，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，求出方木的底面积，然后根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。
【规范解答】（1）3.14×28×200
＝87.92×200
＝17584（平方厘米）
答：原来刷红漆的部分有17584平方厘米。
（2）28×（28÷2）÷2×2×200
＝28×14÷2×2×200
＝392÷2×2×200
＝196×2×200
＝392×200
＝78400（立方厘米）
78400立方厘米＝78.4立方分米
答：这根方木的体积最大是78400立方厘米，合78.4立方分米。
【考点剖析】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是明白：方木底面正方形的对角线等于圆的直径，把这个正方形看作完全相同的两个三角形。
题型二十五 图形与变换
【典例精讲】（2024·湖北荆州·小升初真题）
（1）图中点A用数对（4，1）表示，点B的位置用数对（ ）表示，点C的位置用数对（4，4）表示，在图中标出点C的位置并画出三角形ABC。
（2）画出三角形ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形。
（3）把三角形ABC按2∶1放大，在方格纸上画出放大后的图形。
【答案】（1）（7，1）；图见详解
（2）图见详解
（3）图见详解
【思路引导】（1）用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此用数对表示点B的位置；
根据点C的数对，在图中标出点C的位置，连接点A、B、C，画出三角形ABC。
（2）根据旋转的特征，将三角形ABC绕点C逆时针旋转90°，点C位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。
（3）三角形ABC按2∶1放大，那么三角形 ABC 的每条边的长度乘2，AB放大后是3×2＝6格，AC放大后是3×2＝6格，据此画出放大后的图形。
【规范解答】（1）点B的位置用数对（7，1）表示，点C在图中的位置以及三角形ABC，如下图。
（2）三角形ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形，如下图。
（3）三角形ABC按2∶1放大后的图形，如下图。
【变式训练1】（2024·湖北襄阳·小升初真题）如图。
①以图中的虚线为对称轴作△ABC的轴对称图形，与点B对应的点称为B′，B′所在的位置是（ ）。
②将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形。
③将△ABC按3∶1放大，则放大后的三角形面积是（ ）平方厘米。
【答案】①画图见详解；B′所在位置（3，6）
②画图见详解；
③36
【思路引导】①轴对称：以虚线为对称轴，根据“对称点到对称轴的距离相等”，测量原B点到对称轴的水平距离，在对称轴另一侧找到等距离位置，确定B′坐标。
②旋转：旋转中心为A点，保持A点不动，将AB、AC线段按顺时针方向旋转90°，依据“旋转后对应线段长度不变、夹角为90°”确定B、C旋转后的位置，连接三点得到旋转图形。
③放大：按3∶1放大，三角形的底和高同时扩大到原来的3倍。先根据网格确定原三角形的底和高，算出原面积；再依据“面积扩大倍数为边长扩大倍数的平方（32＝9倍）”，求出放大后的面积。
【规范解答】①
B′所在的位置是（3，6）。
②
③将△ABC按3∶1放大，则三角形的底和高同时扩大到原来的3倍，面积扩大到原来的9倍。根据图示，△ABC的底4厘米，高2厘米，得△ABC的面积：
4×2÷2
＝8÷2
＝4（平方厘米）
按3∶1放大后的面积：4×9＝36（平方厘米）
放大后的三角形面积是36平方厘米。
【变式训练2】下面每个小正方形的边长表示1厘米，请按要求完成下列各题。
（1）三角形顶点A用数对表示是（ ， ），顶点B用数对表示是（ ， ）。
（2）把三角形ABC向下平移5格，再向左平移4格，画出平移后的图形。
（3）把三角形ABC按2∶1放大，画出放大后的图形。
（4）画出三角形ABC绕C点顺时针旋转90°的图形。
（5）把三角形ABC绕AC轴旋转一周形成的物体是（ ），体积是（ ）立方厘米。
【答案】（1）（10，5）；（13，7）
（2）见详解
（3）见详解
（4）见详解
（5）圆锥；12.56
【思路引导】（1）用数对表示位置，数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；三角形顶点A在第10列第5行，顶点B在第13列第7行，用数对表示出顶点A、B的位置。
（2）根据平移的特征，将三角形ABC的各顶点分别先向下平移5格，再向左平移4格，依次连接即可得到平移后的图形。
（3）三角形ABC按2∶1放大，即三角形ABC的各边都扩大到原来的2倍，由此求出放大后三角形的底和高，画出放大后的三角形。
（4）根据旋转的特征，将三角形ABC绕C点顺时针旋转90°，点C位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。
（5）把三角形ABC绕AC轴旋转一周形成的物体是圆锥，那么AC等于圆锥的高，BC等于圆锥的底面半径；根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求出这个圆锥的体积。
【规范解答】（1）三角形顶点A用数对表示是（10，5），顶点B用数对表示是（13，7）。
（2）把三角形ABC向下平移5格，再向左平移4格，平移后的图形如图中红色三角形；
（3）放大后的三角形的底是：3×2＝6（厘米）
放大后的三角形的高是：2×2＝4（厘米）
放大后的图形如图中绿色三角形。
（4）三角形ABC绕C点顺时针旋转90°后的图形如图中蓝色三角形。
（5）把三角形ABC绕AC轴旋转一周形成的物体是圆锥；
圆锥的体积：
×3.14×22×3
＝3.14×4
＝12.56（立方厘米）
【考点剖析】掌握用数对表示位置、作平移后的图形、作旋转后的图形、作放大图形的作图方法，以及明确直角三角形旋转成圆锥，圆锥的底面半径和高与直角三角形直角边的关系，然后运用圆锥体积公式列式计算。
题型二十六 位置与方向
【典例精讲】（2025·河南新乡·小升初真题）下图是一张中国象棋的棋盘，可以看成是由个方格组成的。
(1)若的位置是（0，4），你能指出的位置吗？
(2)从现在的位置，下一步可能走到什么位置？这样的位置有几个？请指出它们的坐标。
(3)若对方的不动，至少需要几步才能吃掉对方的，请在棋盘上画出马的行进路线，并标出每一步的落点坐标。
【答案】(1)（4，3）
(2)8个，（3，1），（5，1），（6，2），（2，2），（6，4），（2，4），（5，5），（3，5）
(3)4步，见详解
【思路引导】（1）根据已知信息判断题目用数对表示位置的规则，即第一个数字是列还是行；
（2）根据中国象棋马的走法规则：马走日，马走到“日”字斜对的顶点处，如图：；
（3）按照马走日的行进规则，去相所在的位置。
【规范解答】（1）
，根据图示以及的位置是（0，4），可知第一个数字表示的是行，第二个数字表示的是列，马在第4行第3列，所以位置是（4，3）
答：马（4，3）。
（2）因为马在棋盘中间，它周围能与马形成“日”字斜对角的有8个，所以这样的位置有8个，位置分别是：（3，1），（5，1），（6，2），（2，2），（6，4），（2，4），（5，5），（3，5）如图：
答：共8个位置，位置分别是：（3，1），（5，1），（6，2），（2，2），（6，4），（2，4），（5，5），（3，5）。
（3）马只能走“日”字斜对角，4步即可到达相（7，8）的位置把相吃掉，如图：
（走法不唯一）
答：至少需要4步才能吃掉对方的相。
【变式训练1】（2025·浙江宁波·小升初真题）西大河公园是镇海新增的高颜值公园。点A是公园其中一个入口，点B是智能骑车点，点C是体能检测站。从点A观察，它的北偏西30°是点C，而从点B观察，它的正北方向就是点C。
（1）请在图中确定点C的位置。【保留作图痕迹】
（2）如果AB的距离是320米，那么AC的距离是多少米？【提示：测量结果保留整厘米数】（用比例解答）
（3）小镇和小海分别从点B和点C处出发，朝点A处匀速行走。4分钟后，小镇到达点A处，小海刚好走了AC的。两人的步行速度相差多少？
【答案】（1）见详解
（2）640米
（3）40米/分
【思路引导】（1）地图上按上北下南左西右东确定方向，结合角度，画出北偏西30°的直线，再过B点作AB的垂线，与北偏西30°的直线相交的点就是C点；
（2）先分别测量出AB和AC的图上距离；根据“图上距离∶实际距离＝比例尺（一定）”，比值一定，则图上距离与实际距离成正比例，据此列出正比例方程，解答即可；
（3）根据速度＝路程÷时间，用小镇走的路程（AB的长度）除以步行的时间4分钟，求出小镇的速度；
把AC的全长看作单位“1”，4分钟小海走了AC全长的，单位”1”已知，用AC的全长乘，求出小海4分钟走的路程；再用小海4分钟走的路程除以步行的时间4分钟，求出小海的速度；最后用减法求出两人的步行速度的差即可。
【规范解答】
（1）
（2）测量AB的图上距离是3厘米，AC的图上距离是6厘米。（以实际测量为准）
解：设AC的距离是x米。
3∶320＝6∶x
3x＝320×6
3x＝1920
3x÷3＝1920÷3
x＝640
答：AC的距离是640米。
（3）320÷4＝80（米/分）
640×÷4
＝480÷4
＝120（米/分）
120－80＝40（米/分）
答：两人的步行速度相差40米/分。
【考点剖析】本题较为综合，关键是正确作图，掌握用比例解决问题的方法，理解分数乘法的意义，以及速度、时间和路程之间的关系。
【变式训练2】根据要求填一填，画一画。（每个小正方形边长表示1厘米）
（1）点A用数对表示是（ ），点A在点B的（ ）偏（ ）（ ）°方向上。
（2）将三角形绕点C顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形。旋转后点A用数对表示是（ ）。
（3）设计一个轴对称图形，面积与上图的三角形面积相等。
（4）过长方形其中一条边上的某一点画一条线段，把长方形分成一个三角形和一个梯形，使它们的面积比为1∶3。
【答案】（1）（6，8），东，北45°；
（2）（10，4）画图见详解；
（3）（4）见详解
【思路引导】（1）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，即可用数对表示出点A的位置。根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以点B的位置为观测点，即可确定点A的方向。
（2）根据旋转的特征，三角形ABC绕点C顺时针旋转90°，点C的位置不动，这个图形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。根据旋转后点A所在的列、行，即可用数对表示出点A的位置。
（3）画法不唯一。根据三角形的面积计算公式“S＝ah”，长方形面积计算公式“S＝ab”，画一个长与三角形底相等，宽为三角形高的，其面积与三角形面积相等，且长方形为轴对称图形，过对边中点的直线，就是它的对称轴。
（4）画法不唯一。根据梯形面积计算公式“S＝（a＋b）h”、三角形的面积计算公式“S＝ah”，把长方形一组对边的长度之和平均分成（1＋3）份，用除法求出1份（三角形底）的长度，再用乘法求出3份（梯形上、下底之和）的长度，三角形面积与梯形的面积之比就是1∶3。
【规范解答】（1）点A用数对表示是（6，8），点A在点B的东偏 北45°方向上。
（2）将三角形绕点C顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形（下图蓝色部分）。旋转后点A用数对表示是（10，4）。
（3）设计一个轴对称图形，面积与上图的三角形面积相等（下图红色部分，画法不唯一）。
（4）过长方形其中一条边上的某一点画一条线段，把长方形分成一个三角形和一个梯形，使它们的面积比为1∶3（下图红色线段）。
【考点剖析】此题考查的知识点：数对与位置、根据方向确定物体的位置、作旋转一定度数后的图形、轴对称图形的特征、三角形面积的计算、梯形面积的计算等。
题型二十七 测量
【典例精讲】（2025·湖南永州·小升初真题）一个饮料瓶内饮料的高度是6厘米，将这瓶饮料的瓶盖拧紧倒置（如图），空余部分的高度是10厘米。已知这个饮料瓶的容积是672毫升，则瓶内的饮料有多少升？
【答案】0.252升
【思路引导】饮料瓶的容积等于正放时饮料的体积加上倒置时空余部分的体积，且这两部分的底面积相同，因此可将饮料瓶的总容积看作底面积相同、高6＋10＝16（厘米）的圆柱的体积；已知饮料瓶的容积是672毫升，根据“1毫升＝1立方厘米，圆柱的体积＝底面积×高”，先进行单位转化，求出饮料瓶的底面积，进而用底面积乘饮料的高求出饮料的体积，最后根据1000毫升＝1升进行单位转化即可。
【规范解答】672毫升＝672立方厘米
672÷（6＋10）
＝672÷16
＝42（平方厘米）
42×6＝252（立方厘米）
252立方厘米＝0.252升
答：瓶内的饮料有0.252升。
【变式训练1】（2025·浙江杭州·小升初真题）张老师测量一颗钢球体积的过程如下图：
（1）将400立方厘米的水倒进一个容量为1升的大杯子中；
（2）将5颗相同的钢球放入水中，结果水没满；
（3）再将一颗同样的钢球放入水中，结果水满溢出。
根据以上过程，推测这样一颗钢球的体积的范围。
【答案】 100立方厘米＜单颗钢球体积＜120立方厘米
【思路引导】首先统一单位：1升＝1000立方厘米，杯子中原有水400立方厘米，因此杯子剩余空间为：1000－400＝600（立方厘米）。
先分析5颗钢球的体积范围：
放入5颗钢球后水没满，说明5颗钢球的体积小于剩余空间，即：5×单颗钢球体积小于600立方厘米。
可得：单颗钢球体积小于600÷5＝120（立方厘米）
再分析6颗钢球的体积范围：
放入6颗钢球后水溢出，说明6颗钢球的体积大于剩余空间，即：6×单颗钢球体积大于600立方厘米。
可得：单颗钢球体积大于600÷6＝100（立方厘米）
据此推出结论即可。
【规范解答】立方厘米
（立方厘米）。
5颗钢球的体积小于剩余空间，可得单颗钢球体积小于：
600÷5＝120（立方厘米）
6颗钢球的体积大于剩余空间，可得单颗钢球体积大于：
600÷6＝100（立方厘米）
这样一颗钢球的体积范围是： 100立方厘米＜单颗钢球体积＜120立方厘米。
【变式训练2】（2025·吉林长春·小升初真题）有一个像如图①那样的长方体容器，现在以每秒0.75升的速度向这个容器注水。容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将容器隔为A、B两个部分。B部分有一个洞，水按一定的流量往下漏。图②是表示从注水开始A部分的水的高度变化的图象。回答下面的问题：
（1）求图②中D表示的数；
（2）从B的洞中每秒钟流出多少升水；
（3）图②中P表示的数为（ ），Q表示的数为（ ）。
【答案】（1）15
（2）0.3升
（3）54；30
【思路引导】（1）1升＝1000立方厘米，先将注水速度0.75升换算成750立方厘米。由图②可知，用750×15计算出前15秒注入A部分的水的体积，根据“长方体的体积＝长×宽×高”代入A部分的长、宽和前15秒注入A部分的水的体积，即可计算高度D表示的数。
（2）由图②可知，从第15秒到第30秒之间，A部分高度保持不变，B部分开始边蓄水边漏水，注水时间为15秒，注入的水的体积为750×15立方厘米，用30×15×15求出B部分的水上升到挡板高度时的体积，再用750×15减30×15×15即可计算出15秒内漏掉的水，用漏掉的水除以15即可计算洞中每秒流出的水（注意单位换算）；
（3）由图②可知，用（24－15）计算出第30秒到第P秒长方体容器内整体上升的高度为9厘米，长方体容器的长为（25＋15）厘米，宽为30厘米，用（25＋15）×30×9计算出第30秒到第P秒长方体容器内水上升的体积为10800立方厘米即10.8升；根据“注水速度－流出的速度＝实际注水速度”计算出长方体容器每秒实际储存的水为0.45升；用10.8÷0.45可计算注10.8升水所用的时间为24秒；最后用24加30就是P所表示的时间数54。
从54秒到70秒，用时16秒。注入的水的体积为0.45×16＝7.2升即7200立方厘米，用7200除以容器的底面积即可求出第54秒到第70秒上升的高度，再加上24即可求Q表示的数。据此解答。
【规范解答】（1）0.75升＝750立方厘米
750×15÷（25×30）
＝750×15÷750
＝750÷750×15
＝1×15
＝15（厘米）
答：图②中D表示的数是15。
（2）（750×15－30×15×15）÷15
＝（11250－6750）÷15
＝4500÷15
＝300（立方厘米）
300立方厘米＝0.3升
答：从B的洞中每秒钟流出0.3升水。
（3）（25＋15）×30×（24－15）
＝40×30×9
＝10800（立方厘米）
10800立方厘米＝10.8升
0.75－0.3＝0.45（升）
10.8÷0.45＋30
＝24＋30
＝54（秒）
即P表示的数为54。
（70－54）×0.45
＝16×0.45
＝7.2（升）
7.2升＝7200立方厘米
7200÷[（25＋15）×30]＋24
＝7200÷[40×30]＋24
＝7200÷1200＋24
＝6＋24
＝30（厘米）
即Q表示的数为30。
图②中P表示的数为54，Q表示的数为30。
【考点剖析】本题通过分析注水图象，结合长方体体积公式，分别对A、B部分的注水、漏水情况进行分析计算。重点分析图②中每个时间段内容器内水量的变化。
题型二十八 统计
【典例精讲】（2025·山东青岛·小升初真题）高科技给我们的生活带来便利的同时，也给一些不法分子提供了可乘之机，他们的电信诈骗手段越来越难以防范。为了防止人们上当受骗，某公司开展了“经历最多的诈骗方式”的调查活动。经过整理分析后，绘制成了两个统计图。
(1)把上面的两个统计图补充完整。
(2)为了防止诈骗，你想对身边的人说些什么？
【答案】(1)见详解
(2)加强自我防范意识，保护好个人信息，不点击未知链接，不轻信陌生来电。（答案不唯一）
【思路引导】（1）把调查总人数看作单位“1”，根据“总人数＝QQ诈骗人数÷其对应百分比”计算出调查的总人数。根据“经历虚假中奖人数＝总人数×25%”计算出该类别的人数，进而补充条形统计图；根据“经历电话欠费诈骗百分比＝经历电话欠费诈骗人数÷总人数×100%”计算出其百分比，再结合各部分百分比之和为100%，算出经历微信诈骗的百分比，补充扇形统计图。
（2）为了防止诈骗，结合统计图中的信息，写出自己的想法，合理即可。
【规范解答】（1）调查总人数：20÷10%＝20÷0.1＝200（人）
经历虚假中奖诈骗的人数：200×25%＝200×0.25＝50（人）
经历电话欠费诈骗的人数：200－90－50－20＝40（人）
经历电话欠费诈骗的人数占调查总人数的百分比：40÷200×100%＝0.2×100%＝20%
经历微信诈骗的人数占调查总人数的百分比：1－10%－25%－20%＝45%
统计图如下：
（2）想对身边的人说：加强自我防范意识，保护好个人信息，不点击未知链接，不轻信陌生来电。（答案不唯一）
【变式训练1】（2025·甘肃兰州·小升初真题）端午节是我国传统节日之一。端午节有一些特定的节日习俗，如划龙舟、包粽子等。某小学在端午节前随机调查了学生对端午节习俗的了解情况（了解程度分：A．很了解；B．比较了解；C．了解较少；D．不了解），并根据调查结果绘制了两幅统计图。
(1)这次活动一共调查了( )名学生。
(2)画出“了解较少”的直条。
(3)以“很了解”的人数为单位“1”，“不了解”的人数比“很了解”的少( )%。
(4)该小学共有学生1000人，根据统计结果推算，“不了解”的学生共有( )人。
【答案】(1)200
(2)见详解
(3)75%
(4)80
【思路引导】（1）扇形统计图表示的是每一项占整体的百分比，总和是“1”，条形统计图表示的是每一项的具体人数，总和是调查的总人数；综合观察两个统计图，求调查总人数是求单位“1”，找人数和该项占整体的百分率都已知量，用人数÷该项占比＝总人数（单位“1”）；
（2）总人数－其它三项的人数和＝C项人数；
（3）求一个数比另一个数少百分之几，用两个数相差的部分÷单位“1”计算；
（4）学校总人数是单位“1”，总人数ד不了解”人数占比＝“不了解”的学生总数。
【规范解答】（1）A项有64人，A项占比32%，则调查总人数为：
64÷32%
＝64÷0.32
＝200（人）
（2）200－（64＋70＋16）
＝200－150
＝50（人）
（3）“不了解”的人数比“很了解”的少（ ）%。”就是求少的人数占“很了解”人数的百分之几：
（64－16）÷64×100%
＝48÷64×100%
＝0.75×100%
＝75%
（4）“不了解”的人数占调查总人数的百分率为：
16÷200×100%
＝0.08×100%
＝8%
1000人的8%是“不了解”的人数：
1000×8%
＝1000×0.08
＝80（人）
【变式训练2】（2025·浙江宁波·小升初真题）某日，王师傅开车上班的路上，经历了三种不同路况。下图1是已行的路程中三种路况占比统计图，下图2表示已行路程与时间的关系图。请根据图中信息解决下列问题。
（1）王师傅在通畅路段的速度是1.5千米／分，他以这样的速度共行驶了多少分钟？
（2）当王师傅开到处时，发现离上班时间只有7分钟了，如果余下的3千米路程还是这种严重拥堵的路状，王师傅会迟到吗？
【答案】（1）18分钟
（2）会迟到
【思路引导】（1）观察折线统计图，折线往上坡度越陡表示道路越通畅，折线往上坡度越缓表示道路越拥堵，由此可知已行的路程中三种路况是先通畅再轻度拥堵，最后严重拥堵。将已行的路程看作单位“1”，已行的路程×通畅路段对应百分率＝通畅路段的路程，通畅路段的路程÷对应速度＝通畅路段的行驶时间；
（2）将已行的路程看作单位“1”，1－通畅路段对应百分率－轻度拥堵路段对应百分率＝严重拥堵对应百分率，已行的路程×严重拥堵对应百分率＝严重拥堵路段的路程，终点时间－起点时间＝经过时间，据此计算出严重拥堵路段的行驶时间，严重拥堵路段的路程÷严重拥堵路段的行驶时间＝严重拥堵路段的行驶速度，严重拥堵路段的行驶速度×离上班还剩的时间＝可行驶路程，与余下的路程比较即可。
【规范解答】（1）45×60%÷1.5
＝45×0.6÷1.5
＝27÷1.5
＝18（分钟）
答：他以这样的速度共行驶了18分钟。
（2）45×（1－60%－28%）
＝45×0.12
＝5.4（千米）
5.4÷（53－38）
＝5.4÷15
＝0.36（千米/分钟）
0.36×7＝2.52（千米）
2.52＜3
答：王师傅会迟到。
【考点剖析】关键是看懂扇形和折线统计图，根据统计图中提供的信息找到解决问题需要的条件。
题型二十九 可能性
【典例精讲】（2024·重庆城口·小升初真题）六（6）班同学体重情况如下表。
体重/kg
30
33
36
39
42
45
48
人数
3
5
5
10
8
6
3
（1）六（6）班大部分同学的体重是多少？
（2）六（6）班同学的平均体重是多少？（只列式不计算）
（3）如果把全班同学编号，随意抽取一名学生，该生体重在39千克及以下的可能性大，还是在42千克及以上的可能性大？
【答案】（1）39千克
（2）（30×3＋33×5＋36×5＋39×10＋42×8＋45×6＋48×3）÷（3＋5＋5＋10＋8＋6＋3）
（3）39千克及以下
【思路引导】（1）要确定大部分同学的体重，需找出人数最多的体重值，人数最多的体重就代表了大部分同学的体重情况。
（2）求平均体重，根据平均数的定义，要用总体重除以总人数。总体重是各体重值与对应人数乘积的总和，总人数是各体重对应人数之和。
（3）要比较抽到不同体重范围学生的可能性大小，需分别计算体重在39千克及以下和42千克及以上的人数，人数多的那一组被抽到的可能性就大。
【规范解答】（1）观察表格可知，体重39千克对应的人数10人最多。
答：六（6）班大部分同学的体重是39千克。
（2）（30×3＋33×5＋36×5＋39×10＋42×8＋45×6＋48×3）÷（3＋5＋5＋10＋8＋6＋3）
＝（90＋165＋180＋390＋336＋270＋144）÷40
＝1575÷40
＝39.375（千克）
答：六（6）班同学的平均体重是39.375千克。列式为：（30×3＋33×5＋36×5＋39×10＋42×8＋45×6＋48×3）÷（3＋5＋5＋10＋8＋6＋3）
（3）体重在39千克及以下的人数：3＋5＋5＋10＝23（人）
体重在42千克及以上的人数：8＋6＋3＝17（人）
23人＞17人
答：该生体重在39千克及以下的可能性大。
【变式训练1】（2025·四川达州·小升初真题）某市举行小学生足球比赛，共有14个队参加，比赛采用单循环制（每两个队都要赛一场）。
(1)比赛开始前通过“掷硬币”的方式让双方队长挑边，猜中的一方选择上半场的进攻方向，你觉得公平吗？为什么？
(2)共要举行多少场比赛？
【答案】(1)公平；正面或反面出现的可能性相等。
(2)91场
【思路引导】（1）判断“掷硬币”是否公平，需说明双方猜中的可能性是否相等；
（2）计算单循环比赛场次，需依次计算各队比赛场次并求和。
【规范解答】（1）硬币只有正反两面，双方队长猜中的结果只有两种可能（正面或反面），每种结果出现的可能性相等，所以这种方式是公平的。
（2）第一个球队要比13场，第二个球队要比12场，第三个球队要比11场……
13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1
＝（13＋1）×13÷2
＝14×13÷2
＝182÷2
＝91（场）
答：共要举行91场比赛。
【变式训练2】一个仅装有球的不透明布袋里共有5个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，4，5.从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，两次摸出的球的编号之和为奇数的可能性超吗？请说明理由。
【答案】不超；理由见详解
【思路引导】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小。
【规范解答】两次摸出的球的编号之和为奇数的情况有12种：
两次摸出的两个球是1和2或2和1；
两次摸出的两个球是1和4或4和1；
两次摸出的两个球是2和3或3和2；
两次摸出的两个球是4和3或3和4；
两次摸出的两个球是4和5或5和4；
两次摸出的两个球是2和5或5和2；
摸出的两个球共有5×5＝25种情况，
12÷25＝48 %
48 %＜50 %
所以两次摸出的球的编号之和为奇数的可能性不超。
【考点剖析】本题主要考查了组合和概率的求法的运用。两次摸出的球的编号之和为奇数的情况数是关键。
题型三十 算式的规律
【典例精讲】（2025·甘肃兰州·小升初真题）多功能教室里有一些同样的凳子，每个凳子的高度都是45厘米。搞卫生时，奇奇和明明将凳子摞了起来（如下图），并记录了凳子的总高度和凳子数量的变化情况（如下表）。
凳子数量/个
1
2
3
4
……
总高度/cm
45
51
57
63
……
(1)如果继续摆下去，7个凳子的总高度是( )厘米。
(2)凳子的数量与总高度成正比例关系吗？为什么？
【答案】(1)81
(2)不成正比例关系。因为凳子的数量与总高度的比值不一定。
【思路引导】（1）先观察表格里凳子数量和总高度的变化，发现1个凳子高45厘米，每增加1个凳子，总高度增加6厘米，由此得出总高度的计算公式：总高度＝45＋6×（凳子数量－1），再把凳子数量7代入公式，即可求出7个凳子的总高度。
（2）正比例关系的定义：两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，则成正比例关系。接着计算不同数量凳子对应的总高度与数量的比值，发现这些比值不固定，因此判断凳子的数量与总高度不成正比例关系。
【规范解答】（1）45＋6×（7－1）
＝45＋6×6
＝45＋36
＝81（厘米）
（2）1个凳子：45÷1＝45
2个凳子：51÷2＝25.5
3个凳子：57÷3＝19
答：不成正比例关系。因为凳子的数量与总高度的比值不一定。
【变式训练1】（2024·河南鹤壁·小升初真题）观察下面的算式：
32－1＝4×2＝8
42－1＝5×3＝15
72－1＝8×6＝48
92－1＝10×8＝80
（1）根据你发现的规律，再写一道这样的算式。
（2）运用这个规律计算101×99。
【答案】（1）52－1＝6×4＝24
（2）9999
【思路引导】（1）观察32－1＝4×2＝8可得：4＝3＋1，2＝3－1，4和2相差2。
可将算式改写成：32－1＝（3＋1）×（3－1）＝4×2＝8
那么42－1＝5×3＝15可改写成：42－1＝（4＋1）×（4－1）＝5×3＝15
72－1＝8×6＝48可改写成：72－1＝（7＋1）×（7－1）＝8×6＝48
92－1＝10×8＝80可改写成：92－1＝（9＋1）×（9－1）＝10×8＝80
可得规律：n2－1＝（n＋1）×（n－1），据此写出这样的算式即可。
（2）101和99相差2，101＝100＋1，99＝100－1，根据算式的规律n2－1＝（n＋1）×（n－1），可得101×99＝（100＋1）×（100－1）＝1002－1，据此求解即可。
【规范解答】（1）根据分析可得规律：n2－1＝（n＋1）×（n－1）
52－1＝6×4＝24（答案不唯一）
（2）101×99
＝（100＋1）×（100－1）
＝1002－1
＝10000－1
＝9999
【变式训练2】（2025·北京昌平·小升初真题）密码学中的数学规律。
密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学。在密码学中，加密前的信息称为“明文”，加密后的信息称为“密文”。
请你根据下面的倍恩回答问题：
字母按规律加密后会得到新字母，如：
明文A→密文D 明文ONE→密文RQH 明文TWO→密文WZR
①观察字母的变化，你能发现加密规律吗？把你的发现写在下面空白处。
②用规律加密和解密。
加密：明文PANDA→密文 ；解密：密文IULHQG→明文 。
③你发现了吗？用上面的规律加密时会遇到一个问题，例如明文W加密后会得到密文Z，但是X、Y、Z加密后没有与之对应的字母了，聪明的密码学者想到了一个办法：明文X→密文A，明文Y→密文B。按照这样的加密规律，密文CRR→明文是 。（你可以在上面的字母表中写一写，画一画）
【答案】①密文字母是明文字母向右移动3个位置后对应的字母，明文字母是密文字母向左移动3个位置后对应的字母。
②SDQGD；FRIEND
③ZOO
【思路引导】（1）首先观察字母变化的规律，总结加密方法。
通过对比明文字母和密文字母的位置关系，发现每个明文字母在字母表中向右移动3个位置得到密文字母。例如：A（第1位）→D（第4位）；O（第15位）→R（第18位）；T（第20位）→W（第23位）。
同理明文字母是密文字母向左移动3个位置后对应的字母，据此写出规律。
（2）应用规律进行加密和解密即可。
（3）解密时，当字母左移3位超出字母表范围时，从字母表末尾Z再开始循环：C（第3位）左移3位→Z（第26位），R（第18位）左移3位→O（第15位），据此解答。
【规范解答】（1）我发现的加密规律是：密文字母是明文字母向右移动3个位置后对应的字母，明文字母是密文字母向左移动3个位置后对应的字母。
（2）加密：将明文PANDA的每个字母向右移动3个位置：P→S，A→D，N→Q，D→G，A→D，所以明文PANDA→密文SDQGD；
解密：密文IULHQG的每个字母分别向左移动3个位置：I→F，U→R，L→I，H→E，Q→N，G→D，所以密文IULHQG→明文FRIEND。
（3）根据解密规律以及当字母左移3位超出字母表范围时，从字母表末尾Z再开始循环原则，题目密文字母对应明文字母如下：C→Z，R→O ，R→O，所以密文CRR→明文是ZOO。
（写一写，画一画见字母表中）
【考点剖析】这道题的难点在于需要从有限例子中归纳出“字母向右数3位”的加密规则，同时还要掌握字母表循环逻辑，并完成加密到解密的逆向思维转换。
试卷第2页，共121页
试卷第2页，共33页
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$2026年六年级毕业数学二轮复习之压轴题考点分类必刷练真题汇编•全国通用
2026年六年级毕业数学必刷考点分类真题培优练『尖子生冲刺』
专项训练04 解决问题（应用题）
〔30个重点题型讲练 共90题〕在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。
专题说明 资料简介
同学你好，该份讲义优选2025年全国各地名校真题，模拟题。重点强化小升初高频考察点，提升解题技能，优选常考易错题型。该份检测卷非常适合考前冲刺拔尖使用。题目整体难度偏上，适合成绩中上及拔尖的学生。按照考点划分，方便自我学习批改，检测学习能力。解析版思路清晰，理解全面，进一步优化解题过程，梳理考察点。相信你在2026年毕业考试中考出满意成绩！
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重点难点 题型归纳 压轴必刷
题型序列
题型名称
题型序列
题型名称
题型一
整数的认识
题型十六
列方程解含两个未知数的问题
题型二
小数的认识
题型十七
列方程解决稍复杂的实际问题
题型三
分数的认识
题型十八
比
题型四
百分数的认识
题型十九
比例
题型五
正负数的认识
题型二十
常见的量
题型六
整数的四则运算
题型二十一
典型应用题
题型七
小数的四则运算
题型二十二
平面图形的认识与测量
题型八
分数的四则运算
题型二十三
立体图形的认识与测量
题型九
百分数的四则运算
题型二十四
图形的拼组
题型十
运算定律与简便运算
题型二十五
图形与变换
题型十一
倍的运算
题型二十六
位置与方向
题型十二
用字母表示数
题型二十七
测量
题型十三
方程的解与解方程
题型二十八
统计
题型十四
列方程解含一个未知数的问题
题型二十九
可能性
题型十五
列方程解稍复杂的行程问题
题型三十
算式的规律
在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。
优中选优 题型讲练 压轴必刷
题型一 整数的认识
【典例精讲】（2025·河南新乡·小升初真题）李克强总理在十三届全国人大一次会议所作的政府工作报告中指出：从2013至2017年，我国国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元。现在，大陆人口约为13亿人。
(1)根据你的理解，把“82.7万亿”填写在下面的数位顺序表中。
数级
……
亿级
万级
个级
数位
…
…
…
…
千亿位
百亿位
十亿位
亿位
千万位
百万位
十万位
万位
千位
百位
十位
个位
(2)2017年国内生产总值比2013年增长了百分之几？（百分号前保留一位小数）
(3)2017年我国人均国内生产总值约为( )元。（结果保留整数）
【变式训练1】（2024·重庆丰都·小升初真题）(1)探究：请你举出“两个相邻奇数相乘的例子”，再观察它们所得积末尾数字的特征。（例子要包含积末尾数字不同的情况。）
(2)发现：两个相邻奇数相乘，积末尾数字一定是( )、( )和( )。
(3)运用：下面三个数中，只有一个数是两个相邻奇数的积，它是（ ）。
A．337 B．1661 C．3363
(4)这两个奇数分别是( )和( )。
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）若一个四位正整数M的十位数字比个位数字大1，百位数字是千位数字与个位数字的平均数，则称这样的数为千丝数。把千丝数M的四个数字按从小到大的顺序从左到右进行排列后得到的新数叫作千丝数M的万缕数，例如：2598，其十位数字，百位数字，所以2598是千丝数，2589就是千丝数2598的万缕数，对于千丝数M，定义：。
(1)判断：4376________千丝数；7787________千丝数。（填“是”或者“不是”）
(2)请证明：任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除。
题型二 小数的认识
【典例精讲】（2025·河南信阳·小升初真题）学数学用数学，我们可以用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界。接下来让我们一起从数学的角度来研究健康生活方式中的计算问题。
（1）体质指数（BMI）是衡量人体胖瘦程度的标准。体质指数（BMI）＝体重÷（身高×身高）（其中，体重以千克为单位，身高以米为单位）。小明的爸爸体重为80千克，身高为1.60米，他的体质指数是多少？
（2）我国健康成年人的BMI正常范围在18.5至24之间，BMI在24至28之间被定义为超重，达到或超过28就是肥胖。小明爸爸的体质指数是否在正常范围？请说明理由。
【变式训练1】 （2025·四川内江·小升初真题）“已空色相无花吐，为怕烟尘留叶遮”，作为“中国无花果之乡”，无花果产业是我县现代农业的主导产业之一，2024年我县无花果种植面积达5.2万亩，产量超5万吨，产值约6.9亿元，其中产值比2022年超出8%，2022年的产值约是多少亿元？（得数保留两位小数）
【变式训练2】（2024·宁夏石嘴山·小升初真题）如果长期背负过重物体，会导致腰痛及腿痛，严重的甚至会妨碍骨骼生长，儿童的负重最好不要超过体重的，小亮的体重是38千克，书包重6.5千克，小亮的书包超重了吗？
题型三 分数的认识
【典例精讲】（2024·广东阳江·小升初真题）小明看一本300页的科技书，第一天看了它的，第二天看了它的20%，剩下的页数他计划3天看完。（注意：两个问题不能相同）
（1）提出一个最少需要2步计算的问题，再列出综合算式，不用计算。
问题：
列式：
（2）提出一个需要用除法计算的问题，再列出综合算式，不用计算。
问题：
列式：
【变式训练1】（2025·四川自贡·小升初真题）列出综合算式或方程，不计算。
一个直角三角形的三条边分别长分米、分米、分米，它的面积是多少平方分米？
【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）元旦节即将来临，公司推出新款手镯，开始接单生产，该款手镯由两种金属按一定的重量比例构成，金属原来的成本为200元/克，金属原来的成本为150元/克，现由于市场价格波动，金属的成本上涨，金属的成本下跌到原来的，每克手镯现在的总成本比原来增加了37.5元。
(1)求手镯中金属和金属的重量比。
(2)手镯按原来的成本价格销售可获得的利润，现在，公司为了推出元旦礼盒，再投入现在总成本的做包装，这样，按现在的成本价格销售手镯，可获得的利润，求现在一个手镯的售价比原来一个手镯的售价上涨的百分比。
题型四 百分数的认识
【典例精讲】（2025·上海闵行·小升初真题）正值实验西校建校二十周年校庆，学校利用暑假进行装修。每间教室内侧长9米、宽7米、高3米。地面铺地砖，天花板刷乳胶漆，四面墙刷防水漆（门窗和黑板不粉刷），门窗共有10平方米，黑板共有4平方米。
（1）每间教室内需要粉刷的总面积是多少？
（2）乳胶漆每平方米15元，防水漆每平方米12元，每间教室刷天花板和墙壁一共需要多少元？
（3）地砖是规格为50厘米×50厘米的正方形，每间教室需要铺多少块地砖？如果每块地砖损耗2%，实际需要买多少块？
【变式训练1】（2024·江苏无锡·小升初真题）国家统计局公布的数据显示，2023年我国粮食产量在2022年达到6865.3亿千克的基础上，进一步增产88.8亿千克，粮食产量连续9年站稳6500亿千克台阶。其中，作为口粮的小麦、稻谷等自给率超过98%。
结合以上信息回答下列问题：
（1）2023年我国粮食产量是（ ）亿千克，精确到十分位是（ ）亿吨。
（2）我国粮食产量在（ ）年第一次达到6500亿千克。
（3）请结合上下文解释一下“自给率超过98%”的含义，并用一句话说说为什么需要重视粮食的自给率？
【变式训练2】（2025·浙江温州·小升初真题）A、B两城相距580千米，两城之间有一个C城，客车从A城开往C城，货车从B城开往C城。客车行驶了90千米，货车行驶了B、C两城间的距离的60%，而且这时客车货车剩下的路程刚好相等。求A、C两城之间的距离。
题型五 正负数的认识
【典例精讲】（2024·广西柳州·小升初真题）气温会随着海拔的升高而降低，海拔每升高100米，气温就下降0.6℃。5月爸爸去四川旅行，看到了“山顶白雪皑皑，山脚山花烂漫”的奇特景观。他在海拔约2500米的康定城时温度是20℃，攀登上海拔5500米的四姑娘山（二峰）山顶时，温度是多少℃？
【变式训练1】（2024·山东济南·小升初真题）如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1厘米，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合。
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为（ ）厘米。
（2）图中点A所表示的数是（ ），点B所表示的数是（ ）。
（3）由题（1）（2）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：
一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请问爷爷现在多少岁了？
【变式训练2】（2024·山东德州·小升初真题）为了解人们平时最喜欢哪种支付方式，某公司每年都随机调查本公司固定数量的员工，统计他们平时最喜欢使用的支付方式（每人选择1项）。下面是相关的统计情况，请仔细观察下面两个统计图并回答问题。
（1）公司2023年调查的总人数是（ ）人。
（2）观察上面的折线统计图，可以看出该公司员工最喜欢使用微信平台支付的人数呈（ ）趋势。
（3）2023年最喜欢使用微信平台支付的人数比最喜欢使用支付宝平台支付的人数多百分之几？
（4）淘淘的妈妈在微信平台支付账单明细中显示﹢66.00表示进账66.00元，则支出150.70元应显示（ ）元。
题型六 整数的四则运算
【典例精讲】（2025·重庆·小升初真题）自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级台阶？
【变式训练1】（2025·河南商丘·小升初真题）校长：“厂长你好！我们预订500套桌椅做好了吗？”
厂长：“还没有，我们已经做了6天，平均每天做52套，请放心，我们一定按时交货。”
校长：“现在我们学校要提前开学，你们再做2天能完成剩余的任务吗？”
厂长：“行，我们保证按你们的要求完成任务。”
根据以上信息，算一算厂家最后2天平均每天至少要做多少套才能按时完成任务。
1【变式训练2】（2025·河南郑州·小升初真题）电商时代迅猛来袭，为了刺激网上消费、各个电商推出免费送电子红包的活动，小南积攒了1元、2元、3元…10元的电子红包各4个，电子红包使用方法如下：
（1）电子红包仅限于11月11日当天使用。
（2）电子红包不能单独使用，每次必须凑成15元支付。
小南在11月11日网购，支付若干次电子红包后，还剩4个电子红包没有使用，其中三个电子红包分别是3元、5元和9元，剩下的一个电子红包是多少元？
题型七 小数的四则运算
【典例精讲】（2025·湖北黄石·小升初真题）李叔叔有一辆大型SUV汽车，汽车油箱的容积为80升，加92号汽油。有一天他开车时发现油箱里只剩下25%的汽油了，这时他需要多少元才能将油箱加满？
燃油标号
价格/（元/升）
柴油
6.43
92号汽油
6.75
95号汽油
7.19
【变式训练1】一个圆锥形沙堆，底面周长是12.56米，高是1.5米。如果每立方米沙子重2吨，这堆沙子有多少吨？
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）据了解，火车票按“”的方法来确定。已知A站至H站总里程数为1500千米，全程参考价为180元。下表是沿途各站至H站的里程数：
车站名
A
B
C
D
E
F
G
H
各站至H站的里程数（单位：千米）
1500
1130
910
622
402
219
72
例如，要确定从B站至E站火车票价，其票价为：（元）。
（1）求A站至F站的火车票价（结果精确到1元）；
（2）旅客王大妈乘火车去女儿家，上车过两站后拿着火车票问乘务员：我快到站了吗？乘务员看到王大妈手中票价66元，马上说下一站就到了。请问王大妈实际乘车的里程数是多少千米？在哪两个站之间？（要求写出解答过程）。
题型八 分数的四则运算
【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）小夏星期六看了《水浒传》的，星期天又看了剩下的，最后还剩140页没有看，这本书一共有多少页。
【变式训练1】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）将一条公路平均分给甲、乙两个工程队修筑。甲队已修的与剩下的比是2∶1，乙队已修的与剩下的比是5∶2，这条公路已修了全长的几分之几？
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）星星小学原计划种杨树、柳树和槐树共1500棵，植树开始后，当种了杨树总数的和30棵柳树后，又临时运来15棵槐树，这时剩下的3种树的棵数恰好相等，问原计划要栽植这三种树各多少棵？
题型九 百分数的四则运算
【典例精讲】（2025·重庆·小升初真题）某信用社将10800元分为两部分同时贷给甲、乙两人。一部分以年利率9.5%贷给甲，另一部分以年利率8.5%贷给乙，甲、乙两人一年后同时交来的利息恰好相等。甲、乙各贷款多少元？
【变式训练1】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）从有关方面获悉，在我市农村已经实行了农民新型合作医疗保险制度。享受医保的农民可在规定的医院就医并按规定标准报销部分医疗费用。下表是医疗费用报销的标准：
医疗费用范围
门诊
住院
0—5000元
5001—20000元
20000元以上
每年报销比例标准
30%
30%
40%
50%
（说明：住院医疗费用的报销分段计算。如：某人住院医疗费用共30000元，则5000元按30%报销，15000元按40%报销、余下的10000元按50%报销，题中涉及到的医疗费用指允许报销的医疗费用）
(1)某农民在2008年门诊看病自己共支付医疗费280元，则他在这一年中门诊医疗费共花费多少元？
(2)某农民一年内实际住院医疗费为18000元，则他应自付医疗费多少元？
(3)若某农民一年内因本人住院按标准报销医疗费15000元，则该农民当年实际医疗费用共多少元？
题型十 运算定律与简便运算
【典例精讲】（2024·安徽阜阳·小升初真题）泉北小学学校图书馆需要购买《安徒生童话》和《简笔画大全》各25本，王校长带1000元够吗？
【变式训练1】（2024·河南郑州·小升初真题）邢家豆腐的“豆痕传统制作技艺”在2014年入选中国第四批国家级非物质文化进产代表性项目名录。这意味着邢家豆腐不仅是一种美味的食品，还承载着丰富的文化价值，是中国传统文化的重要组成部分。邢家豆腐的单价是12元/千克，奶奶买了14千克准备带回去分给亲朋好友，买这些豆腐一共要花了多少钱？
下面是淘淘计算“14×12＝？”想到的三种算法：
方法①应用的运算律是（ ），方法②应用的运算律是（ ），方法③中箭头所指表示的是（ ）。
【变式训练2】（2024·河北石家庄·小升初真题）2023年某款新能源汽车的实际提车价格是12.8万元，其中汽车销售企业优惠了0.52万元，国家补贴了3.48万元。2024年政府新能源汽车补贴的时代已经过去，汽车销售企业实行了新的优惠措施（如图），请你计算一下，在2024年购买这款新能源汽车需要多少万元？
题型十一 倍的运算
【典例精讲】（2025·江西南昌·小升初真题）中国的制造业发达，被称为“世界工厂”，而美国是世界上最大的消费市场，中国的很多产品都卖到了美国。2025年4月，美国对中国产品征收高关税，发动贸易战。
（1）中国的华兴玩具厂生产一件毛绒玩具的成本是60元，加上20%的利润，就是厂家的出厂价，再出口到美国，就还要再加价75%（含关税54%、运输成本和美国商家获取的利润等）。这件毛绒玩具在美国卖多少钱？
（2）这件毛绒玩具如果在美国生产，由于供应链不完整和工人的工资高，再按中国毛绒玩具在美国的售价出售，美国的工厂还要亏损10%，美国工厂的生产成本是多少元？约是中国生产成本的几倍？
【变式训练1】（2025·重庆梁平·小升初真题）如图，线段1的长度用“1”表示（可用学具帮助分析）。那么：
（1）线段2的长度用哪个数表示？为什么？（写出你的做法和结果）
（2）已知线段3的长度是线段2的4倍，从这个角度思考，线段3的长度用哪个数表示？为什么？（写出你的想法和结果）
【变式训练2】一位科技发明家被约到科学会议室作报告，科技站通知发明家在某时刻等候汽车接他，这位发明家还想到一件事要办理，不等小汽车来就提前出门了，沿着接他的小汽车行驶路线走，行了30分钟，正好遇到来接他的小汽车，然后乘车往科学会议室结果比约定的时刻提前10分钟到达，问：
（1）这位科技发明家比约定时刻提前多少分钟出门？
（2）小汽车的速度是这位科技发明家步行速度的多少倍？
题型十二 用字母表示数
【典例精讲】（2025·福建宁德·小升初真题）如下图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人。
(1)观察上图，根据规律将表格补充完整。
餐桌数量
1
2
3
4
5
…
可坐人数
4
6
8
…
(2)按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐( )。
【变式训练1】（2025·浙江杭州·小升初真题）中国工程师从蜂巢获得灵感，采用六边形布局建设5G基站，既能节省资源，又能实现信号无缝覆盖。这种布局中，基站数量随着层数增加呈现特定规律，如下所示：
序号
①
②
③
……
图形
……
每层新增数
6
12
……
（1）根据信息中的规律，填空
第一层总基站数：1个
第二层总基站数：1＋6＝7个
第三层总基站数：7＋12＝19个
第四层新增基站数：________个，总基站数：________个
第五层新增基站数：________个，总基站数：________个
第n层新增基站数规律：________（用含n的式子表示）个
（2）如果第n层总基站数的规律符合关系式3n（n－1）＋1，那么该地区按照此规律建到第8层，总基站数是多少个？
【变式训练2】（2025·重庆渝北·小升初真题）某中学六年级1班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两种品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价25元。经洽谈后，甲店每买一副球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠，该班需球拍5副，乒乓球盒（≥5）。
（1）请问在甲店购买应付多少元？在乙店购买应付多少元？（用含有的代数式表示）
（2）若＝20，去哪家购买更划算？请说明理由。
题型十三 方程的解与解方程
【典例精讲】（2025·海南省直辖县级单位·小升初真题）海亮小学合唱队和舞蹈组两个兴趣小组一共有48人，合唱队人数是舞蹈组的。舞蹈组有多少人？（用方程解答）
【变式训练1】（2025·浙江杭州·小升初真题）中国北斗卫星导航系统是我国自主研制的全球卫星导航系统，目前在轨卫星有50颗，比全球定位系统（GPS）卫星数量的少6颗。全球定位系统（GPS）有几颗卫星？（用方程解）
【变式训练2】（2025·四川绵阳·小升初真题）妈妈给红红一些钱去买贺卡，有甲、乙、丙三种贺卡，甲种卡每张0.5元，丙种卡每张1.2元，用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张，买乙种卡要比买丙种卡多买6张，妈妈给红红多少钱？乙种卡每张多少钱？
题型十四 列方程解含一个未知数的问题
【典例精讲】（2025·湖北黄石·小升初真题）有着3500多年历史的盘龙城遗址是我国商代前期的城址，是武汉的城市之根。盘龙城国家考古遗址公园的核心保护区面积为1.39平方千米，比公园规划占地面积的多0.08平方千米，公园规划占地面积是多少平方千米？（列方程解答）
【变式训练1】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）由甲地到乙地前的路是高速公路，后的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地。A车在高速公路和普通公路的行驶速度都是80千米/时；B车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时，A、B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在高速公路上距离丙地40千米处相遇，甲、乙两地之间的距离是多少？
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）某游乐场在开门前有400人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的。一个入场口每分钟可以进来10个游客，如果开放4个入场口，20分钟就没有人排队了。现在开放6个入场口，那么开门后多少分钟后就没有人排队了？
题型十五 列方程解稍复杂的行程问题
【典例精讲】（2024·重庆渝北·小升初真题）甲、乙两人同时从A地出发去B地，5分钟后，甲返回A地去取东西，没有停留，继续步行去B地，如果从两人同时出发开始计时，那么35分钟后两人同时到达，已知甲每分钟所走路程比乙每分钟所走路程的2倍少30米，求A、B两地的距离为多少米？
【变式训练1】（2025·河南郑州·小升初真题）小张和父亲搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷。在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站。随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达了火车站，已知公共汽车的平均速度是40千米/时，问小张家到火车站有多远？
【变式训练2】（2025·北京·小升初真题）小仓鼠的学校距家有800米。平时它放学后总是慢悠悠地滚着它的仓鼠球回家，每分钟滚40米。有一天，它路过香喷喷的瓜子铺时，实在忍不住钻进去狂嗑了3分钟瓜子！结果它突然想起——回家晚了会被仓鼠妈妈发现！于是它立刻开启“疯狂滚球模式”，以每分钟60米的速度冲刺回家，最终竟然和平常到家的时间一模一样！小仓鼠的学校离瓜子铺有多少米？
题型十六 列方程解含两个未知数的问题
【典例精讲】2025·重庆沙坪坝·小升初真题）某机械厂加工车间有84名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或者小齿轮10个，已知1个大齿轮与2个小齿轮刚好配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
【变式训练1】（2025·重庆·小升初真题）爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁。当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁。现在三个人的年龄各是多少岁？
【变式训练2】（2025·上海闵行·小升初真题）某学校5月开展校园科技节，已知六年级（1）班和（2）班各有48人，两个班各有一部分同学参加了模型比赛，其中（1）班参加人数的2倍比（2）班没参加的人数多5人，而（2）班参加的人数比（1）班没参加的人数的一半还少1人。求这两个班各有多少人参加模型比赛？
题型十七 列方程解决稍复杂的实际问题
【典例精讲】（2025·上海闵行·小升初真题）实验西校的辩论队在各大辩论比赛中屡创佳绩。一场辩论赛分为立论、驳论、自由辩论、总结陈词四个环节，总时长30分钟。已知总结陈词需要4分钟，立论时间比驳论时间多2分钟，且立论和总结陈词的时间总和等于自由辩论时间。求立论、驳论、自由辩论各环节的时间。（列方程解应用题）
【变式训练1】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来得及刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40平方米墙面。每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米墙面。求每个房间需要粉刷的墙面面积。
【变式训练2】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一个三位正数M，其各位数字均不为零且互不相等，若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如123的“团结数”为。
(1)请求出427的“团结数”。
(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，且各位数字互不相等（，）。若N的“团结数”与N之差为24，求N的值。
题型十八 比
【典例精讲】（2025·湖北黄石·小升初真题）王军将山里的水果通过直播的形式进行销售。原来销售量是2000kg，现在销售量增加了540%。销售的桔子、苹果和柿子的重量比是1∶4∶5，现在的销售量中苹果有多少千克？
【变式训练1】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们的工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是甲、乙两人合做6天完成了工程的，因甲中途有事，由乙、丙合作2天，完成了余下工程的，之后三人合做5天完成了这项工程。如果按完成工作量的多少来付酬，每人应得多少元？
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）星期天早晨8：30，小萍骑电动车从家出发前往和谐广场。12分钟后，妈妈开车去追小萍，在距家6千米的地方追上了小萍。这时，妈妈收到一个电话，需要回家收个快递，于是立即掉头回家，拿到快递后没有停留（接快递时间忽略不计），立刻又回头去追小萍，妈妈再次追上小萍的时候，距家18千米，问：妈妈第二次追上小萍的时间是几时几分？
题型十九 比例
【典例精讲】（2025·福建宁德·小升初真题）如图，王老师驾驶纯电动新能源汽车匀速从A市途经B城到C市。
信息一：王老师从A市出发，以80千米/时的速度行驶了1.5小时到达B城；
信息二：AB两地路程比BC两地路程远20千米；
信息三：当汽车行驶20千米时，耗电量是3.5千瓦时。
(1)A市到C市的路程是多少千米？
(2)假设每千米的耗电量不变，当耗电量达到28千瓦时，这辆汽车行驶了多少千米？（用比例解）
【变式训练1】（2025·湖北武汉·小升初真题）如图是小刚从家出发乘坐出租车去展览馆的路线图（途经文化馆）。出租车在3千米以内（含3千米）的起步价是8元，以后路程每增加1千米车费就增加1.4元。请你算一算，小刚去展览馆一共需要多少元出租车费？
【变式训练2】2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。
（1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。
（2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。
题型二十 常见的量
【典例精讲】（2025·江西吉安·小升初真题）2023年1月1日起，万安县启动“智慧停车服务收费”工作，服务定价如下：
路内、人行道停车位30分钟内免费，首小时2元，1小时后1元/小时，不足1小时按1小时收费，收费时段：7：30—19：30，全天13元封顶；
停车场1小时内免费，1小时后1元/小时，不足1小时按1小时收费，全天18元封顶，停车场实行24小时收费制，滚动叠加。
阅读上面材料，解答下列问题：
(1)晚饭后，小文爸爸开车去超市买了一些生活用品，他在路内停车位的时间是18：55～19：30，此次应缴( )元停车费。
(2)上周六，小李一家去赣州游玩。上午8：30把车停在了高铁站收费停车场，然后乘坐高铁去赣州，当天晚上从赣州回来后8：20把车开出停车场，此次停车费是多少？
【变式训练1】（2025·西藏·小升初真题）平措和乐乐周末参加“快乐奔跑•我能行”活动，8：20两人从自己家出发前往活动现场集合。他们的家到活动现场的距离之和为1.75千米，平措平均每分钟走40米。8：45两人同时到达活动现场。
（1）乐乐平均每分钟走多少米？
（2）两人9：00同时从活动起点同方向出发，乐乐平均每分钟跑200米，平措的速度是乐乐的1.2倍，多长时间两人相距120米？
【变式训练2】（2024·浙江宁波·小升初真题）王师傅做了一个底面积为240平方厘米的铁质圆锥零件，为了防止生锈，把它缓缓放入一个长方体油漆缸中，并完全浸没。由于操作不当，油漆缸底部受损开裂，一段时间后开始渗漏，直至油漆全部漏完。油漆高度随时间变化如图所示：
（1）圆锥零件浸入油漆缸（ ）分钟后开始渗漏。
（2）求铁质圆锥的高度是多少厘米？
（3）油漆平均每分钟漏掉多少立方厘米？
题型二十一 典型应用题
【典例精讲】（2025·河南新乡·小升初真题）甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小时行50千米，途中甲车因故障停驶48分钟，乙车开出5.3小时后两车在途中相遇。A、B两地相距多少千米？
【变式训练1】（2025·山东青岛·小升初真题）代驾已成为热门，让更多不方便的人群多一点安全，下面是“e代驾”公司的收费标准。
收费标准
时间段
起步价格
里程费
07：00~23：59
9.9元（含2公里）
每公里4元
超过12公里
每公里加收1.5元
00：00~06：59
18元（含3公里）
等候费：免费等候10分钟，超出后1元/分钟
(1)有一天晚上，王叔叔在外就餐后向该公司叫了一个代驾，将车开到7千米（公里）远的家用车库，王叔叔应付多少代驾费？
(2)某天凌晨，李叔叔也向该公司叫了一个代驾，共支付代驾费81.5元（无等候费），此次代驾行驶了多少千米？
【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）从A村到B村必须经过C村，其中A村至C村为上坡路，C村至B村为下坡路，A村至B村的总路程为20千米。某人骑自行车从A村到B村用了2小时，再从B村返回A村又用了1小时45分。已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍。求A、C之间的路程及自行车上坡时的速度。
题型二十二 平面图形的认识与测量
【典例精讲】（2025·湖北黄石·小升初真题）健身房内有一个圆柱形沙包，量得沙包的底面直径是40厘米，高是1.2米。在一次训练中，沙子全部流到地上形成了一个高50厘米的近似圆锥形沙堆，这个沙堆的占地面积是多少平方米？（结果保留两位小数）
【变式训练1】（2025·河南商丘·小升初真题）图形与操作。
(1)按要求在图中画一画。
(2)计算变化后图形中阴影部分的面积。
(3)你能求出原图中阴影部分的周长吗？试一试。
【变式训练2】（2025·四川绵阳·小升初真题）如图，正方形ABCD的边长为4厘米，点E在BC上，四边形BEFG也是正方形，以点B为圆心，BA长为半径画弧AC。连接AF、CF，试求图中阴影部分的面积。
题型二十三 立体图形的认识与测量
【典例精讲】（2025·湖北黄石·小升初真题）张亮在一个长方体的玻璃容器中装了一些水，他把一块底面半径为4厘米的圆柱形铁块完全浸没在水中，发现水面上升了8厘米，把铁块提起5厘米时，这时水面下降了2厘米。（如图所示，玻璃厚度忽略不计）（π取3）
(1)圆柱形铁块露出水面部分的体积是多少？
(2)圆柱形铁块的体积占玻璃容器容积的百分之几？
【变式训练1】赵师傅向下图所示的空容器（由上、下两个圆柱组成）中匀速注油，注满结束。注油过程中，容器中油的高度与所用时间的关系如图所示。
(1)把下面的大圆柱注满需( )分钟。
(2)上面小圆柱高( )厘米。
(3)如果下面的大圆柱底面积是48平方厘米，那么大圆柱的体积是多少立方厘米？上面小圆柱的底面积是多少平方厘米？
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？
题型二十四 图形的拼组
【典例精讲】（2025·浙江宁波·小升初真题）小海在研究圆柱的体积时，用了不同的方法来推导。
(1)方法一：把圆柱等分成若干份，拼出近似的长方体，如图所示。并且分三步推导求出圆柱的体积：
①长方体的高与圆柱的高相等，长相当于圆柱的( )，宽相当于圆柱的( )。
②长方体的体积＝________________。
③所以圆柱的体积＝________________。
(2)方法二：根据“面动成体”，圆柱可以看成是无数个等圆的叠加（如图）。它的厚度就是圆柱的高，“体积＝底面积×高”。按照这样的方法，下面不能用“底面积×高”求体积的是图（ ）。
A． B． C． D．
【变式训练1】（2025·浙江宁波·小升初真题）下图中明明用6个体积是1立方厘米的小正方体，测量了长方体木块的长、宽、高。请根据图中信息算一算。
（1）这个长方体木块的表面积是多少平方厘米？
（2）如果把这个长方体木块削成一个圆柱，能削成的圆柱体积最大是多少立方厘米？
【变式训练2】（2024·江苏常州·小升初真题）陈爷爷家的老屋要翻建，从老屋上拆下一根圆柱形的木料（如图）。
（1）这根木料的侧面有一层斑驳的红漆，原来刷红漆的部分有多少平方厘米？
（2）现在要把这根木料加工成方木（横截面为正方形），这根方木的体积最大是多少立方厘米？合多少立方分米？
题型二十五 图形与变换
【典例精讲】（2024·湖北荆州·小升初真题）
（1）图中点A用数对（4，1）表示，点B的位置用数对（ ）表示，点C的位置用数对（4，4）表示，在图中标出点C的位置并画出三角形ABC。
（2）画出三角形ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形。
（3）把三角形ABC按2∶1放大，在方格纸上画出放大后的图形。
【变式训练1】（2024·湖北襄阳·小升初真题）如图。
①以图中的虚线为对称轴作△ABC的轴对称图形，与点B对应的点称为B′，B′所在的位置是（ ）。
②将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形。
③将△ABC按3∶1放大，则放大后的三角形面积是（ ）平方厘米。
【变式训练2】下面每个小正方形的边长表示1厘米，请按要求完成下列各题。
（1）三角形顶点A用数对表示是（ ， ），顶点B用数对表示是（ ， ）。
（2）把三角形ABC向下平移5格，再向左平移4格，画出平移后的图形。
（3）把三角形ABC按2∶1放大，画出放大后的图形。
（4）画出三角形ABC绕C点顺时针旋转90°的图形。
（5）把三角形ABC绕AC轴旋转一周形成的物体是（ ），体积是（ ）立方厘米。
题型二十六 位置与方向
【典例精讲】（2025·河南新乡·小升初真题）下图是一张中国象棋的棋盘，可以看成是由个方格组成的。
(1)若的位置是（0，4），你能指出的位置吗？
(2)从现在的位置，下一步可能走到什么位置？这样的位置有几个？请指出它们的坐标。
(3)若对方的不动，至少需要几步才能吃掉对方的，请在棋盘上画出马的行进路线，并标出每一步的落点坐标。
【变式训练1】（2025·浙江宁波·小升初真题）西大河公园是镇海新增的高颜值公园。点A是公园其中一个入口，点B是智能骑车点，点C是体能检测站。从点A观察，它的北偏西30°是点C，而从点B观察，它的正北方向就是点C。
（1）请在图中确定点C的位置。【保留作图痕迹】
（2）如果AB的距离是320米，那么AC的距离是多少米？【提示：测量结果保留整厘米数】（用比例解答）
（3）小镇和小海分别从点B和点C处出发，朝点A处匀速行走。4分钟后，小镇到达点A处，小海刚好走了AC的。两人的步行速度相差多少？
【变式训练2】根据要求填一填，画一画。（每个小正方形边长表示1厘米）
（1）点A用数对表示是（ ），点A在点B的（ ）偏（ ）（ ）°方向上。
（2）将三角形绕点C顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形。旋转后点A用数对表示是（ ）。
（3）设计一个轴对称图形，面积与上图的三角形面积相等。
（4）过长方形其中一条边上的某一点画一条线段，把长方形分成一个三角形和一个梯形，使它们的面积比为1∶3。
题型二十七 测量
【典例精讲】（2025·湖南永州·小升初真题）一个饮料瓶内饮料的高度是6厘米，将这瓶饮料的瓶盖拧紧倒置（如图），空余部分的高度是10厘米。已知这个饮料瓶的容积是672毫升，则瓶内的饮料有多少升？
【变式训练1】（2025·浙江杭州·小升初真题）张老师测量一颗钢球体积的过程如下图：
（1）将400立方厘米的水倒进一个容量为1升的大杯子中；
（2）将5颗相同的钢球放入水中，结果水没满；
（3）再将一颗同样的钢球放入水中，结果水满溢出。
根据以上过程，推测这样一颗钢球的体积的范围。
【变式训练2】（2025·吉林长春·小升初真题）有一个像如图①那样的长方体容器，现在以每秒0.75升的速度向这个容器注水。容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将容器隔为A、B两个部分。B部分有一个洞，水按一定的流量往下漏。图②是表示从注水开始A部分的水的高度变化的图象。回答下面的问题：
（1）求图②中D表示的数；
（2）从B的洞中每秒钟流出多少升水；
（3）图②中P表示的数为（ ），Q表示的数为（ ）。
题型二十八 统计
【典例精讲】（2025·山东青岛·小升初真题）高科技给我们的生活带来便利的同时，也给一些不法分子提供了可乘之机，他们的电信诈骗手段越来越难以防范。为了防止人们上当受骗，某公司开展了“经历最多的诈骗方式”的调查活动。经过整理分析后，绘制成了两个统计图。
(1)把上面的两个统计图补充完整。
(2)为了防止诈骗，你想对身边的人说些什么？
【变式训练1】（2025·甘肃兰州·小升初真题）端午节是我国传统节日之一。端午节有一些特定的节日习俗，如划龙舟、包粽子等。某小学在端午节前随机调查了学生对端午节习俗的了解情况（了解程度分：A．很了解；B．比较了解；C．了解较少；D．不了解），并根据调查结果绘制了两幅统计图。
(1)这次活动一共调查了( )名学生。
(2)画出“了解较少”的直条。
(3)以“很了解”的人数为单位“1”，“不了解”的人数比“很了解”的少( )%。
(4)该小学共有学生1000人，根据统计结果推算，“不了解”的学生共有( )人。
【变式训练2】（2025·浙江宁波·小升初真题）某日，王师傅开车上班的路上，经历了三种不同路况。下图1是已行的路程中三种路况占比统计图，下图2表示已行路程与时间的关系图。请根据图中信息解决下列问题。
（1）王师傅在通畅路段的速度是1.5千米／分，他以这样的速度共行驶了多少分钟？
（2）当王师傅开到处时，发现离上班时间只有7分钟了，如果余下的3千米路程还是这种严重拥堵的路状，王师傅会迟到吗？
题型二十九 可能性
【典例精讲】（2024·重庆城口·小升初真题）六（6）班同学体重情况如下表。
体重/kg
30
33
36
39
42
45
48
人数
3
5
5
10
8
6
3
（1）六（6）班大部分同学的体重是多少？
（2）六（6）班同学的平均体重是多少？（只列式不计算）
（3）如果把全班同学编号，随意抽取一名学生，该生体重在39千克及以下的可能性大，还是在42千克及以上的可能性大？
【变式训练1】（2025·四川达州·小升初真题）某市举行小学生足球比赛，共有14个队参加，比赛采用单循环制（每两个队都要赛一场）。
(1)比赛开始前通过“掷硬币”的方式让双方队长挑边，猜中的一方选择上半场的进攻方向，你觉得公平吗？为什么？
(2)共要举行多少场比赛？
【变式训练2】一个仅装有球的不透明布袋里共有5个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，4，5.从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，两次摸出的球的编号之和为奇数的可能性超吗？请说明理由。
题型三十 算式的规律
【典例精讲】（2025·甘肃兰州·小升初真题）多功能教室里有一些同样的凳子，每个凳子的高度都是45厘米。搞卫生时，奇奇和明明将凳子摞了起来（如下图），并记录了凳子的总高度和凳子数量的变化情况（如下表）。
凳子数量/个
1
2
3
4
……
总高度/cm
45
51
57
63
……
(1)如果继续摆下去，7个凳子的总高度是( )厘米。
(2)凳子的数量与总高度成正比例关系吗？为什么？
【变式训练1】（2024·河南鹤壁·小升初真题）观察下面的算式：
32－1＝4×2＝8
42－1＝5×3＝15
72－1＝8×6＝48
92－1＝10×8＝80
（1）根据你发现的规律，再写一道这样的算式。
（2）运用这个规律计算101×99。
【变式训练2】（2025·北京昌平·小升初真题）密码学中的数学规律。
密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学。在密码学中，加密前的信息称为“明文”，加密后的信息称为“密文”。
请你根据下面的倍恩回答问题：
字母按规律加密后会得到新字母，如：
明文A→密文D 明文ONE→密文RQH 明文TWO→密文WZR
①观察字母的变化，你能发现加密规律吗？把你的发现写在下面空白处。
②用规律加密和解密。
加密：明文PANDA→密文 ；解密：密文IULHQG→明文 。
③你发现了吗？用上面的规律加密时会遇到一个问题，例如明文W加密后会得到密文Z，但是X、Y、Z加密后没有与之对应的字母了，聪明的密码学者想到了一个办法：明文X→密文A，明文Y→密文B。按照这样的加密规律，密文CRR→明文是 。（你可以在上面的字母表中写一写，画一画）
试卷第2页，共121页
试卷第2页，共33页
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