专项训练06 挑战压轴题（31个题型讲练 共93题）尖子生考前冲刺-2026年小升初数学必刷考点分类真题培优练
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摘要：
**基本信息**
聚焦小升初数学压轴题，以31个重点题型（93题）构建从概念认知到综合应用的训练体系，融合数学眼光、思维与语言，提升尖子生解题能力。
**专项设计**
|模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑|
|----|-----------|----------|----------|
|数与代数|16题型|定义新运算、复杂方程、行程问题等|从数的认识到运算律，再到方程与比例的综合应用|
|图形与几何|8题型|面积体积计算、图形变换、位置确定|从平面到立体图形，结合测量与变换的空间观念培养|
|统计与概率|2题型|数据分析、可能性判断|通过真实情境发展数据意识与随机观念|
|规律与竞赛|5题型|算式规律、数学竞赛题|从规律探究到创新思维，提升问题解决能力|
内容正文：
2026年六年级毕业数学二轮复习之压轴题考点分类必刷练真题汇编•全国通用
2026年六年级毕业数学必刷考点分类真题培优练『尖子生冲刺』
专项训练06 挑战压轴题
〔31个重点题型讲练 共93题〕在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。
专题说明 资料简介
同学你好，该份讲义优选2025年全国各地名校真题，模拟题。重点强化小升初高频考察点，提升解题技能，优选常考易错题型。该份检测卷非常适合考前冲刺拔尖使用。题目整体难度偏上，适合成绩中上及拔尖的学生。按照考点划分，方便自我学习批改，检测学习能力。解析版思路清晰，理解全面，进一步优化解题过程，梳理考察点。相信你在2026年毕业考试中考出满意成绩！
在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。
重点难点 题型归纳 压轴必刷
题型序列
题型名称
题型序列
题型名称
题型一
整数的认识
题型十七
列方程解决稍复杂的实际问题
题型二
小数的认识
题型十八
比
题型三
分数的认识
题型十九
比例
题型四
百分数的认识
题型二十
常见的量
题型五
正负数的认识
题型二十一
典型应用题
题型六
整数的四则运算
题型二十二
平面图形的认识与测量
题型七
小数的四则运算
题型二十三
立体图形的认识与测量
题型八
分数的四则运算
题型二十四
图形的拼组
题型九
百分数的四则运算
题型二十五
图形与变换
题型十
运算定律与简便运算
题型二十六
位置与方向
题型十一
倍的运算
题型二十七
测量
题型十二
用字母表示数
题型二十八
统计
题型十三
方程的解与解方程
题型二十九
可能性
题型十四
列方程解含一个未知数的问题
题型三十
算式的规律
题型十五
列方程解解复杂的行程问题
题型三十一
数学竞赛
题型十六
列方程解含两个未知数的问题
在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。
优中选优 题型讲练 压轴必刷
题型一 整数的认识
【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）若一个四位正整数M的十位数字比个位数字大1，百位数字是千位数字与个位数字的平均数，则称这样的数为千丝数。把千丝数M的四个数字按从小到大的顺序从左到右进行排列后得到的新数叫作千丝数M的万缕数，例如：2598，其十位数字，百位数字，所以2598是千丝数，2589就是千丝数2598的万缕数，对于千丝数M，定义：。
(1)判断：4376________千丝数；7787________千丝数。（填“是”或者“不是”）
(2)请证明：任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除。
【答案】(1) 不是 是
(2)见详解
【思路引导】根据千丝数的定义，分别验证所给数的十位数字是否比个位数字大 1，以及百位数字是否等于千位数字与个位数字的平均数。
利用用字母表示数的方法，设个位数字和千位数字分别为未知数，根据定义表示出十位和百位数字，进而表示出这个四位数的值。通过代数运算计算该数与个位数字6倍的差，最后根据能被5整除的数的特征进行判断。
【规范解答】（1）对于 4376：
个位数字是6，十位数字是7，7＝6＋1，符合第一个条件；
千位数字是4，个位数字是6，它们的平均数是（4＋6）÷2＝5；
百位数字是 3，3≠5，不符合第二个条件。
所以4376不是千丝数。
对于 7787：
个位数字是7，十位数字是8，8＝7＋1，符合第一个条件；
千位数字是7，个位数字是7，它们的平均数是（7＋7）÷2＝7；
百位数字是7，7＝7，符合第二个条件。
所以7787是千丝数。
（2）证明：
设任意一个千丝数的个位数字是a，千位数字是b（b不能为0，且a＋b为偶数）。
根据千丝数的定义：
十位数字是a＋1；
百位数字是（a＋b）÷2。
这个千丝数M可以表示为：
千丝数与它的个位数字的6倍之差为：
因为1050b是5的倍数，55a是5的倍数，10也是5的倍数，
所以1050b＋55a＋10能被5整除。
即任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除。
【考点剖析】解题时注意明确千丝数的两个判定条件需要同时满足；设数字时，要注意各数位数字的取值范围：千位数字是1到9的整数，个位、十位、百位数字是0到9的整数，且百位数字需为整数。证明整除时，需将代数式整理为5与某个整数的乘积形式，确保变形过程的严谨性。
【变式训练1】（2025·湖南长沙·小升初真题）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出4个互不相同的数，分别记为a，b，c，d，则（a＋b）×（c＋d）是奇数的取法有______种。
【答案】960
【思路引导】（1）确定（a＋b）和（c＋d）为奇数的条件：根据奇数和偶数的运算性质：奇数×奇数＝奇数，偶数×任何数＝偶数，奇数×偶数＝偶数。因此（a＋b）×（c＋d）为奇数，需（a＋b）和（c＋d）均为奇数。又因为奇数＋偶数＝奇数，所以a、b中一个为奇数一个为偶数，c、d中一个为奇数一个为偶数。
（2）计算选2个奇数和2个偶数的组合数：1~9中奇数有5个（1、3、5、7、9），偶数有4个（2、4、6、8）。从5个奇数中选2个的组合数为种，从4个偶数中选2个的组合数为种。
（3）计算选出的4个数的排列方式：对于每组这样的4个数，分配它们到a、b、c、d使得a和b一奇一偶、c和d一奇一偶。
总分配方式为4！＝4×3×2×1＝24种。
其中，a和b同为奇数或同为偶数的分配方式：若a和b同为奇数，则从2个奇数中分配a和b有2！＝2×1＝2种方式；从2个偶数中分配c和d有2！＝ 2×1＝2种方式，共2！×2！＝2×2＝4种；同理a和b同为偶数也有4种，共8种。
因此，a和b一奇一偶的分配方式有24−8＝16种。
（4）计算总取法数：10×6×16＝960种。
【规范解答】根据分析可知：a、b中一个为奇数一个为偶数，c、d中一个为奇数一个为偶数。
从5个奇数中选2个的组合数为（种），
从4个偶数中选2个的组合数为（种），
选出的4个数的排列方式：用使得a和b一奇一偶、c和d一奇一偶总分配方式，减去a和b同为奇数或同为偶数的分配方式，即24−8＝16（种）
总取法数：10×6×16＝960（种）
因此，从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出4个互不相同的数，分别记为a，b，c，d，则（a＋b）×（c＋d）是奇数的取法有960种。
【考点剖析】本题核心是利用“奇数×奇数＝奇数”的性质，将问题转化为“选取2奇2偶并分配到两组‘一奇一偶’的和中”，需结合组合数（选数）、分配方式（分组）和排列数（组内顺序）综合计算。
【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）一个四位整数（千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d），若满足，那么，我们称这个四位整数为“k类等和数”。例如：3122是一个“4类等和数”，因为：，5417不是一个“k类等和数”，因为：，，。
(1)写出最小的“3类等和数”是___________，最大的“8类等和数”是___________。
(2)若一个四位整数是“k类等和数”，且满足，求满足条件的所有“k类等和数”的个数，并把它们写出来。
【答案】(1) 1203 8080
(2)1937、2828、3719
【思路引导】（1）要找最小的“3类等和数”，就让千位、十位尽量小，千位取1，算出百位是2，十位取0，算出个位是3，得到1203；要找最大的“8类等和数”，就让千位、十位尽量大，千位取8，算出百位是0，十位取8，算出个位是0，得到8080。
（2）已知前两位加后两位等于56，且千位加百位等于十位加个位，先看两个数相加的个位，只有b＋d＝16符合要求，再找出符合条件的b、d组合，算出对应的a、c，得到对应的数。
【规范解答】（1）最小的“3类等和数”：
千位最小取1，由a＋b＝3，得b＝3－1＝2；
十位最小取0，由c＋d＝3，得d＝3－0＝3，
所以这个数是1203。
最大的“8类等和数”：
千位最大取8，由a＋b＝8，得b＝8－8＝0；
十位最大取8，由c＋d＝8，得d＝8－8＝0，
所以这个数是8080。
（2）因为
则b＋d＝6或16
b＝0，d＝6（不符合要求）
b＝1，d＝5（不符合要求）
b＝2，d＝4（不符合要求）
b＝3，d＝3（不符合要求）
b＝4，d＝2（不符合要求）
b＝5，d＝1（不符合要求）
b＝6，d＝0（不符合要求）
b＝7，d＝9，a＝3，c＝1，即3719
b＝8，d＝8，a＝2，c＝2，即2828
b＝9，d＝7，a＝1，c＝3，即1937
答：满足条件的所有"k类等和数"的个数是3，分别是3719、2828、1937。
题型二 小数的认识
【典例精讲】（2024·重庆九龙坡·小升初真题）有一个算式，左边括号里都是整数，右边答案写出了四舍五入后的近似值：≈1.16，那么算式左边三个括号里面从左到右依次是( )。
【答案】1、3、2（答案不唯一）
【思路引导】因为1.155到1.164之间所有数的四舍五入近似值都是1.16，
所以1.155≤≤1.164，
3、5、9的最小公倍数是45，则同时乘45整理可得：
51.975≤15×（）＋9×（）＋5×（）≤52.38
由于（）中填的都是正整数，因此15×（）＋9×（）＋5×（）＝52
因为15和5都是5的倍数，9×（）的结果要使得总和为52，52除以5商10余2，所以9×（）的个位数字应为2或7。
当9×3时，9×3＝27，52－27＝25，即15×1＋5×2＝25。
【规范解答】1.155≤≤1.164，同时乘45整理可得：
51.975≤15×（）＋9×（）＋5×（）≤52.38
因此15×（）＋9×（）＋5×（）＝52
可得：15×1＋9×3＋5×2＝52
验证
＝
＝
≈1.16
符合条件，所以算式左边三个括号里面从左到右依次是1、3、2。（答案不唯一）
【考点剖析】本题的关键在于根据近似值确定取值范围，再结合整数条件，通过通分与倍数分析求解。
【变式训练1】求24个偶数的平均数，保留一位小数的数是15.9，若保留两位小数的数应该是（ ）。
A．15.91 B．15.92 C．15.93 D．19.94
【答案】B
【思路引导】先求出这24偶数的平均数保留两位小数的最大值和最小值，这24个偶数的和一定为偶数，再根据“这组数据的和＝平均数×数据个数”求出满足条件的这24个偶数的和，最后利用“平均数＝这组数据的和÷数据个数”求出商保留两位小数的值，据此解答。
【规范解答】平均数保留一位小数的数是15.9，平均数保留两位小数的最小值为15.85，保留两位小数的最大值为15.94。
24个偶数和的最小值为：15.85×24＝380.4
24个偶数和的最大值为：15.94×24＝382.56
24个偶数的和一定为偶数，则24个偶数的和为382。
382÷24≈15.92
故答案为：B
【考点剖析】掌握平均数的意义和小数取近似数的方法是解答题目的关键。
【变式训练2】（2025·广西贵港·小升初真题）我们已学习了许多关于“数”的知识，下面关于“数”的描述正确的是（ ）。
A．整数、小数和分数的加法运算本质上具有一致性，都是相同计数单位个数的累加
B．一个两位小数的近似数是5.0，这个两位小数最大是4.99
C．同时是2、3、5倍数的最小三位数是150
【答案】A
【思路引导】A．整数加减法的计算法则是相同数位对齐，从个位开始加减；
小数加减法的计算法则是小数点对齐，即相同数位对齐，从最低位开始加减；
异分母分数加减法的计算法则是先通分，把不同分数单位的分数化成相同分数单位的分数即同分母的分数，再计算。
B．要考虑5.0是一个两位小数的近似数，有两种情况：
“四舍”得到的5.0，有5.01、5.02、5.03、5.04，其中最大是5.04；
“五入”得到的5.0，有4.95、4.96、4.97、4.98、4.99，其中最小是4.95。
C．同时是2、3、5倍数的数个位上是0，且各个数位上数字之和是3的倍数，找出满足条件的最小三位数即可。
【规范解答】A．整数、小数和分数的加法运算本质上具有一致性，都是相同计数单位个数的累加，原说法正确。
B．一个两位小数的近似数是5.0，根据四舍五入，这个两位小数最大是5.04，不是4.99，原说法错误。
C．同时是2、3、5倍数的最小三位数是120，不是150，原说法错误。
故答案为：A
题型三 分数的认识
【典例精讲】（2025·重庆江北·小升初真题）元旦节即将来临，公司推出新款手镯，开始接单生产，该款手镯由两种金属按一定的重量比例构成，金属原来的成本为200元/克，金属原来的成本为150元/克，现由于市场价格波动，金属的成本上涨，金属的成本下跌到原来的，每克手镯现在的总成本比原来增加了37.5元。
(1)求手镯中金属和金属的重量比。
(2)手镯按原来的成本价格销售可获得的利润，现在，公司为了推出元旦礼盒，再投入现在总成本的做包装，这样，按现在的成本价格销售手镯，可获得的利润，求现在一个手镯的售价比原来一个手镯的售价上涨的百分比。
【答案】(1)
3∶1
(2)
19.25%
【思路引导】（1）分别将两种金属原来的成本看作单位“1”，那么金属A的新成本是原来成本的（1＋30%），金属B的新成本是原来成本的80%；求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，金属A的新成本＝金属A的原来成本×对应百分率，金属B的新成本＝金属B的原来成本×对应百分率。设每克手镯中金属A的重量为克，那么金属B的重量为克。手镯的总成本＝金属A的成本×金属A的重量＋金属B的成本×金属B的重量，根据等量关系“每克手镯现在的总成本－每克手镯原来的总成本＝每克手镯增加的成本”列出方程求出，再求出的值；最后根据比的意义写出两种金属的重量比，根据比的基本性质化成最简整数比。
（2）将原来每克手镯的总成本看作单位“1”，原来的售价是原来总成本的（1＋60%），所以每克手镯原来的售价＝每克手镯原来的总成本×（1＋60%）。每克材料现在的总成本＝每克手镯原来的总成本＋37.5；将每克材料现在的总成本看作单位“1”，投入包装成本后，每克手镯现在的总成本就是每克材料现在总成本的（1＋6%），即每克手镯现在的总成本＝每克材料现在的总成本×（1＋6%）。将每克手镯现在的总成本看作单位“1”，每克手镯现在的售价是每克手镯现在总成本的（1＋50%），每克手镯现在的售价＝每克手镯现在的总成本×（1＋50%）。然后将每克手镯原来的售价看作单位“1”，求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算，根据“（每克手镯现在的售价－每克手镯原来的售价）÷每克手镯原来的售价×100%”求出上涨的百分比。
【规范解答】（1）金属A上涨30%后的成本：
（元/克）
金属B下跌到原来的80%后的成本：
（元/克）
设每克手镯中金属A占克，则每克金属B占克。
（克）
金属A与金属B的重量比为：
答：手镯中金属A和金属B的重量比是3∶1。
（2）原来每克手镯的总成本：
（元）
原来每克手镯的售价：
（元）
现在每克手镯的材料总成本：
（元）
现在每克手镯含包装的总成本：
（元）
现在每克手镯的售价：
（元）
售价上涨的百分比：
答：现在一个手镯的售价比原来一个手镯的售价上涨19.25%。
【变式训练1】（2025·湖北武汉·小升初真题）小华5点半吃完晚饭，之后出门散步，并在六点半前回家，出发时看到分针与时针垂直，回来时分针与时针还是垂直，则小华散步的时长为______分钟。
【答案】/
【思路引导】在钟面上，分针每分钟走6°，时针每分钟走0.5°，分针与时针的速度差是6°－0.5°＝5.5°，出发时分针与时针垂直，即分针比时针超前90°，回家时分针与时针再次垂直，即分针落后时针90°，从出发到回来，分针相对于时针多走了90°＋90°＝180°，用多走的度数除以分针与时针的速度差即可解答。
【规范解答】（90°＋90°）÷（6°－0.5°）
＝180°÷5.5°
＝（分）
【考点剖析】关键是理解垂直关系对应的度数差以及分针与时针的速度关系，根据相对路程差除以速度差得到时间。
【变式训练2】（2025·四川绵阳·小升初真题）有一个最简分数，把分数的分子加上分母，分母也加上分母，所得的新分数是原分数的10倍，这个最简分数是( )。
【答案】
【思路引导】假设这个最简分数是，则把分数的分子加上分母，分母也加上分母，得到的新分数是也就是，又知“新分数是原分数的10倍”，则＝，根据这个等式计算出a与b的比，最后根据这个分数是最简分数分析即可。
【规范解答】设原分数是，则＝。
即＝，根据分数的基本性质将等式的左边分母化成2a，也就是＝，
所以，，
所以∶b＝19∶1，是最简分数，即这个最简分数是。
【考点剖析】先灵活设数，然后求出a、b之比，再根据是最简分数可得，比的前后项分别是这个分数的分母和分子，进而求出这个分数。
题型四 百分数的认识
【典例精讲】（2025·浙江温州·小升初真题）A、B两城相距580千米，两城之间有一个C城，客车从A城开往C城，货车从B城开往C城。客车行驶了90千米，货车行驶了B、C两城间的距离的60%，而且这时客车货车剩下的路程刚好相等。求A、C两城之间的距离。
【答案】230千米
【思路引导】根据题意，设A、C两城间的距离为x千米，那么B、C两城间的距离为（580－x）千米。再分别表示出客车剩余路程为x－90千米，货车剩余路程为（580－x）×（1－60%）千米；最后根据“客车剩余路程＝货车剩余路程”列出方程求解，从而得到A、C两城之间的距离。
【规范解答】解：设A、C两城间的距离为x千米，那么B、C两城间的距离为（580－x）千米。
x－90＝（1－60%）×（580－x）
x－90＝0.4×（580－x）
x－90＝232－0.4x
x－90＋0.4x＝232－0.4x＋0.4x
1.4x－90＝232
1.4x－90＋90＝232＋90
1.4x＝322
1.4x÷1.4＝322÷1.4
x＝230
答：A、C两城之间的距离是230千米。
【考点剖析】本题的关键是抓住“客车剩余路程=货车剩余路程”的等量关系，设A、C距离为x千米，用x表示出B、C距离和两车剩余路程，再列方程求解。
【变式训练1】（2025·湖北襄阳·小升初真题）计算。
999×274＋6274
【答案】23； ；93；4007；280000
【思路引导】先去括号，然后利用加法交换律和减法的性质化为（9＋8……＋4）－（×4＋×5＋……＋×9），然后利用乘法分配律将×4＋×5＋……＋×9＝×（4＋5＋……＋9），4＋9＝13，5＋8＝13，6＋7＝13，所以4＋5＋…＋9就是3个13相加，然后计算即可；
首先将10.375＝10＋0.375，然后再将0.375写成分数也就是，然后再多次利用乘法分配律进行简算；
将带分数换算成假分数后再计算；
将2004拆分成2003＋1，然后再利用加法交换律，乘法分配律进行简算；
999＝1000－1，所以999×274＋6274＝（1000－1）×274＋6274，然后再利用乘法分配律进行计算即可。
【规范解答】（9－×4）＋（8－×5）＋……＋（4－×9）
＝9－×4＋8－×5＋……＋4－×9
＝（9＋8……＋4）－（×4＋×5＋……＋×9）
＝13×3－×（4＋5＋……＋9）
＝39－×（13×3）
＝39－×39
＝39－16
＝23
＝×（10＋0.375）＋
＝×（10＋）＋
＝×10＋×＋
＝×10＋×＋
＝×10＋×（＋）
＝＋×96
＝＋36
＝
＝
＝21＋31＋41
＝52＋41
＝93
＝2004×2004－2003×2003
＝（2003＋1）×（2003＋1）－2003×2003
＝（2003＋1）×2003＋（2003＋1）－2003×2003
＝2004×2003＋2004－2003×2003
＝2004×2003－2003×2003＋2004
＝2003×（2004－2003）＋2004
＝2003×1＋2004
＝2003＋2004
＝4007
999×274＋6274
＝（1000－1）×274＋6274
＝1000×274－274＋6274
＝274000＋6274－274
＝274000＋（6274－274）
＝274000＋6000
＝280000
【考点剖析】本题主要是利用乘法运算律，以及分数小数之间的互化进行简算。
【变式训练2】一辆汽车从甲地开往乙地，一段时间后，已经行驶的路程和剩下的路程比是3∶2。又行驶了24千米后，剩下了全程的20%。甲地到乙地一共有多少千米？
【答案】120千米
【思路引导】把甲地到乙地的全程看作单位“1”，已经行驶的路程和剩下的路程比是3∶2，即已行的路程占全程的；又行驶了24千米后，剩下了全程的20%，此时已行的路程占全程的（1－20%）；那么又行驶的24千米占全程的（1－20%－），单位“1”未知，用除法计算，求出甲地到乙地的距离。
【规范解答】24÷（1－20%－）
＝24÷（0.8－0.6）
＝24÷0.2
＝120（千米）
答：甲地到乙地一共有120千米。
【考点剖析】本题考查百分数、分数、比混合的题型，关键是把比转化成分数，找出单位“1”，单位“1”未知，用具体的量除以它对应的分率，求出单位“1”。
题型五 正负数的认识
【典例精讲】看图填空。
①（ ）是正数和负数的分界点。
②所有的正数都在0的（ ）边，所有的负数都在0的（ ）边。
③在直线上，距0点4个单位长度的点分别是（ ）和（ ）
④如果一个人从0点先向东走3米记作﹢3米到A点（单位长度是1米），那么这个人又走﹣5米到B点是什么意思？这时他距离出发点有多远？在直线上表示出来。
【答案】①0；
②右；左；
③﹢4；﹣4；
④向西走5米；2米；见详解
【思路引导】根据正、负数的意义，数的前面加有“﹢”号的数，就是正数，正数前面的“﹢”可以省略；数的前面加有“﹣”号的数，就是负数，0既不是正数也不是负数；在数轴上，正数在0的右边，负数在0的左边，所以0是正负数的分界点；在0的右边，距0点4个单位长度的点是﹢4；在0的左边，距0点4个单位长度的点是﹣4；正负数可以用来表示具有意义相反的两种量，如果向东走的米数记为正，则向西走的米数就记为负，据此解答即可。
【规范解答】①0是正数和负数的分界点；
②所有的正数都在0的右边，所有的负数都在0的左边；
③在直线上，距0点4个单位长度的点分别是﹣4和﹢4；
④这个人走﹣5米到B点表示向西走5米。
5－3＝2（米）
这时他距离出发点有2米。
如图：
【变式训练1】聪聪和明明进行百米赛跑，他们同时从起点开跑（如下图），当聪聪跑到终点时，明明跑到了A点，聪聪与明明跑步的速度比是( )∶( )；照这样的速度，假设聪聪退到B点开始起跑，就能和明明同时跑到终点，则B点的位置可以表示为( )米。
【答案】 5 4 ﹣25
【思路引导】根据题意，聪聪跑了100m时，明明跑了80m，由于二人跑的时间相同，所以他们的路程比就等于二人的速度比；根据倍比问题的解题思路，用明明跑的路程除以4乘5，可以计算出聪聪跑的路程，再用聪聪跑的路程减去100，可以出B点到起点的距离，由于B点在起点的左面可以用负数表示，所以B点的位置需要用负数表示。
【规范解答】聪聪与明明跑步的速度比是100∶80＝5∶4；
100÷4×5－100
＝25×5－100
＝125－100
＝25（米）
由于B点在起点的左面可以用负数表示，所以B点的位置可以表示为﹣25米。
【考点剖析】本题解题关键是理解：由于二人跑的时间相同，所以他们的路程比就等于二人的速度比；根据倍比问题的解题思路，求出聪聪跑的路程，理解正数和负数可以表示相反意义的量。
【变式训练2】尤西、沙米、新奇的家都和学校在一条直线上，如果将学校的位置记作0米，那么尤西家在学校东边＋150米处，从尤西家出发，向西走600米到新奇家，向东走240米到沙米家。新奇和沙米家如何用正负数表示？他们两家相距多远？
【答案】新奇家﹣450米，沙米家＋390米；840米
【思路引导】尤西家在学校东边＋150米处，说明是以东为正，以西为负。从尤西家出发，向西走600米到新奇家，向东走240米到沙米家，那么表示新奇家是：＋150﹣600＝﹣450米，表示沙米家是：＋150＋240＝＋390米，他们两家相距390－（﹣450）＝840米。
【规范解答】＋150﹣600＝﹣450
＋150＋240＝＋390
390－（﹣450）＝840（米）
答：新奇家用正负数表示是﹣450米，沙米家用正负数表示是＋390米，他们两家相距840米。
【考点剖析】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负。
题型六 整数的四则运算
【典例精讲】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）汽车以每小时108千米的速度笔直地开往寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回声，已知声音的速度是每秒340米，听到回声时汽车离山谷的距离是___________米。
【答案】620
【思路引导】本题可先将汽车速度单位换算为米/秒，再分别计算出汽车在4秒内行驶的距离和声音在4秒内传播的距离，最后通过设听到回响时汽车离山谷的距离是x米，那么按喇叭时汽车离山谷的距离是（x＋120）米，根据声音传播的总路程与汽车行驶的路程和等于按喇叭时汽车到山谷距离的2倍，列出方程求解。
【规范解答】1千米＝1000米
1小时＝3600秒
108×1000÷3600
＝108000÷3600
＝30（米/秒）
30×4＝120（米）
340×4＝1360（米）
解：设听到回响时汽车离山谷的距离是x米，那么按喇叭时汽车离山谷的距离是（x＋120）米。
2（x＋120）＝120＋1360
2x＋2×120＝1480
2x＋240＝1480
2x＝1480－240
2x＝1240
x＝1240÷2
x＝620
听到回响时汽车离山谷的距离是620米。
【考点剖析】关键是先保证单位的统一，通过“路程和＝2倍初始距离”，将复杂的运动问题转化为简单的方程求解。
【变式训练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友，如果每人分3颗，就会余下糖果17颗；如果每人分5颗，就会缺少糖果13颗。幼儿园小班有多少小朋友？这些糖果共有多少颗？
【答案】15人；62颗
【思路引导】第一次每人分3颗，第二次每人分5颗，第二次比第一次每人多5－3＝2（颗），因此每人多2颗，原来余17颗就变为少13颗，两次的分配差额是（17＋13）颗，可以用“总差额÷每人两次差额＝人数”，据此解答．
【规范解答】（17＋13）÷（5－3）
＝30÷2
＝15（人）
15×3＋17
＝45＋17
＝62（颗）
【考点剖析】此题在求人数时，运用了关系式：（盈数＋亏数）÷两次分物数量的差＝分物份数（人数）。
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5公顷、7公顷，三个牧场上的草长得一样密，且生长得一样快。有两群牛，第一群牛先用2天将一号牧场的草吃完，再用5天将二号牧场的草吃完。在这7天里，第二群牛刚好将三号牧场的草吃完。如果第一群牛有15头，那么第二群牛有多少头？
【答案】15头
【思路引导】设一头牛一天吃的草量为1份，依题意可知，第一片牧场3公顷草地可供15头牛吃2天，因此1公顷的草地可供5头牛吃2天、那么5公项的草地可供25头牛吃2天，共吃了25×2＝50份，这50份中包括原有的草和2天生长的草；
另一方面，由题目条件，第二片牧场5公顷草地生长2天后可供15头牛吃5天，共吃了15×5＝75份，这75份中包括原有的草和7天生长的草。
因此5公顷草地上草的生长速度为每天（75－50）÷（7－2）＝5份，3公顷草地上原有草总量为50－5×2＝40份。
于是第三片牧场上草的生长速度为每天5÷5×7＝7份，原有草总量为40÷5×7＝56份.
那么要7天把第三片草地吃完共需要吃 56＋7×7＝ 105份草。
因此第二群牛共有105÷7＝15头。
【规范解答】设一头牛一天吃的草量为1份：
5×5×2＝50（份）
15×5＝75（份）
（75－50）÷（7－2）
＝25÷5
＝5（份）
50－5×2
＝50－10
＝40（份）
5÷5×7
＝1×7
＝7（份）
40÷5×7
＝8×7
＝56（份）
56＋7×7
＝56＋49
＝105（份）
105÷7＝15（头）
答：第二群牛有15头。
【考点剖析】主要根据等量关系式，（牛的头数×吃草较多的天数－牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数）＝草地每天新长草量。牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数＝草地原有的草，进行计算。
题型七 小数的四则运算
【典例精讲】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）A的步行速度为每小时5千米，B的步行速度为每小时6千米，他们两人从甲地到乙地去。C骑自行车的速度是A的2倍，从乙地到甲地去，他们三人同时出发，在B、C相遇30分钟后，A又与C相遇，请问：C骑车从乙地到甲地需要______小时。
【答案】12
【思路引导】先用A的速度乘2求出C的速度，利用速度和×时间＝路程和，求出A、C半小时走的路程；这段路程就是B、C相遇时B比A多走的路程，用路程差÷速度差求出相遇时间；再用速度和×相遇时间求出全程，最后用路程÷速度，求出C走完全程的时间。注意单位换算，将30分钟转化为0.5小时。
【规范解答】C的速度：5×2＝10（千米/小时）
B、C相遇时，A与B的路程差：
（5＋10）×0.5
＝15×0.5
＝7.5（千米）
B、C的相遇时间：
7.5÷（6－5）
＝7.5÷1
＝7.5（小时）
甲乙两地的总路程：
（6＋10）×7.5
＝16×7.5
＝120（千米）
C从乙地到甲地的总时间：120÷10＝12（小时）
【变式训练1】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）甲、乙两位学生第1天自学的时间相同，若从第2天起，甲每天比前一天增加自学时间1小时，乙每天比前一天减少自学时间1小时，则乙自学8天的时间仅相当于甲自学4天的时间。问：甲第1天自学的时间是______分钟。
【答案】510
【思路引导】从第2天起，甲每天增加自学时间1小时，乙每天减少自学时间1小时，乙自学8天的总时间等于甲自学4天的总时间，先分别求出甲4天多学的总时间、乙8天少学的总时间，两者之和对应第一天自学时间的×天数差，由此求出第一天的自学时间，然后根据1时＝60分钟进行单位换算。
【规范解答】甲4天比第一天多学的时间：
0＋1＋2＋3＝6（小时）
乙8天比第一天少学的时间：
0＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（小时）
总时间对应天数差：
28＋6＝34（小时）
8－4＝4（天）
第一天自学时间：
34÷4＝8.5（小时）
8.5×60＝510（分钟）
第1天自学的时间是510分钟。
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）据了解，火车票按“”的方法来确定。已知A站至H站总里程数为1500千米，全程参考价为180元。下表是沿途各站至H站的里程数：
车站名
A
B
C
D
E
F
G
H
各站至H站的里程数（单位：千米）
1500
1130
910
622
402
219
72
例如，要确定从B站至E站火车票价，其票价为：（元）。
（1）求A站至F站的火车票价（结果精确到1元）；
（2）旅客王大妈乘火车去女儿家，上车过两站后拿着火车票问乘务员：我快到站了吗？乘务员看到王大妈手中票价66元，马上说下一站就到了。请问王大妈实际乘车的里程数是多少千米？在哪两个站之间？（要求写出解答过程）。
【答案】（1）154元
（2）550千米；从D站上车到G站下车
【思路引导】（1）A站至F站的里程数＝A站至H站的里程数－F站至H站的里程数，据此代入题干公式计算，结果精确到1元，则是根据十分位上的数字进行四舍五入。
（2）设实际乘车里程数为x千米，根据票价公式建立方程求解x。再根据x的值和各站至H站的里程数，确定距离为550千米的区间。结合“上车过两站后”和“下一站就到了”的条件，推断上车站和下车站。
【规范解答】（1）1500－219＝1281（千米）
火车票价为：＝＝153.72 ≈ 154（元）
答：A站至F站的火车票价约是154元。
（2）解：设实际乘车里程数为x千米。
＝66
＝99000
550
实际乘车里程数为550千米。
查表，各站至H站的里程数：D站622千米，G站72千米。D站至G站的距离为：
622－72＝550（千米）
王大妈上车过两站后，乘务员说下一站就到了。若从D站上车，经过E站和F站后，即将到达G站。
答：王大妈实际乘车的里程数是550千米，从D站上车到G站下车。
【考点剖析】本题第一问只需要算出里程数，代入票价公式计算即可，第二问给出票价，要进行逆推，所以列方程解更容易理解，求得里程数之后再根据表中的里程数推测出上、下站。
题型八 分数的四则运算
【典例精讲】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）计算题。
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
【答案】（1）；（2）2；
（3）80；（4）42
（5）；（6）126
（7）x＝1.4；（8）x＝7
【思路引导】（1）先算小括号里的减法，再算中括号里的除法， 接着算中括号里的加法，最后算中括号外的乘法。
（2），先算小括号的减法，再算中括号的除法，算出结果变成0.4×［×2.5］×26，再根据乘法交换律和结合律变成（0.4×2.5）×（×26）使得计算简便。
（3）先变成（×3.6＋3.6×）÷÷，再根据乘法分配律变成3.6×（＋）÷÷再计算。
（4）先根据乘法分配律变成10.5×12.9－3.3×8.9－7.2×（16.3－7.4）。然后根据数字特点灵活运用乘法分配律进行简算即可。
（5）算式整理成－＋－＋－＋－，再根据加法交换律，结合律以及带符号搬家。变成（＋）＋（＋）－（＋）－（＋）再计算。
（6）根据积不变的规律分数小数互化，将算式整理成2013×，再根据乘法分配律写成2013×，使得计算简便。
（7）先把方程化简成10x＝14，再根据等式的性质解方程。
（8）根据比例的基本性质把方程写成（x－1）＝5×18%，再根据等式的性质解方程即可。
【规范解答】（1）
＝［（－）÷＋4］×
＝［（－）÷＋4］×
＝［×＋4］×
＝［＋4］×
＝×
＝
（2）
＝0.4×［÷×2.5］×26
＝0.4×［××2.5］×26
＝0.4×［×2.5］×26
＝（0.4×2.5）×（×26）
＝1×2
＝2
（3）
＝（×3.6＋3.6×）÷÷
＝3.6×（＋）
＝3.6×10÷÷
＝36××
＝80
（4）
＝10.5×12.9－3.3×8.9－7.2×（16.3－7.4）
＝10.5×12.9－3.3×8.9－7.2×8.9
＝10.5×12.9－8.9×（3.3＋7.2）
＝10.5×12.9－8.9×10.5
＝10.5×（12.9－8.9）
＝10.5×4
＝42
（5）
＝－＋－＋－＋－
＝（＋）＋（＋）－（＋）－（＋）
＝＋－－
＝（－－）＋
＝＋
＝
（6）
＝2013×
＝2013×
＝2013×
＝2013×
＝2013×
＝126
（7）
解：4x－4＋2＝6［5－3－x］
4x－4＋2＝30－18－6x
4x＋6x＝30－18＋4－2
10x＝14
x＝14÷10
x＝1.4
（8）
解：（x－1）＝5×18%
x－＝5×0.18
x＝0.9＋
x＝1.05
x＝1.05÷
x＝1.05÷0.15
x＝7
【考点剖析】根据算式和数字的特点灵活选择计算方法。
【变式训练1】（2025·重庆·小升初真题）算一算。
【答案】4；243.75；；；363456342；5.4；2007006；；
【思路引导】首先把2013×2012−2012×2011−2011×2010＋2010×2009转化为（2013×2012−2012×2011）−（2011×2010－2010×2009），然后再根据乘法分配律进行简便运算；
把转化为再计算；
先把转化为假分数，再把分子2004×2005＋2004利用乘法分配律简算转化为2004×2006，然后把除法转化为乘法，约分即可得出结果；
先把带分数拆成整数和分数的和，然后再分别算出整数的和与分数的和，最后再把它们的和加起来即可求出结果；
把2019×20202020和2002×20192019分别拆成2019×2020×10001和2002×2019×10001，然后根据乘法分配律进行简便运算；
先根据乘法分配律计算（−）×4.8，再计算中括号里面的，最后计算加法；
首先把＋＋……＋拆成（2003＋2002）×（2003－2002）＋（2001＋2000）×（2001－2000）……＋（3＋2）×（3－2）＋，然后计算可得4005＋4001＋……＋5＋1，再用（4005－1）÷4×（4005＋5）÷2＋1，最后计算即可得出结果；
首先把转化为（2003＋3）×（2003－1），然后计算得出2006×2002，再把2006×2002转化为2×（1003×1001），然后再约分即可得出结果；
先把转化为，转化为，转化为，转化为，转化为，转化为，转化为，然后再计算即可得出结果。
【规范解答】
＝2012×（2013－2011）－2010×（2011－2009）
＝2012×2－2010×2
＝（2012－2010）×2
＝2×2
＝4
＝
＝975×0.25
＝243.75
＝2004÷
＝2004÷
＝2004÷
＝2004×
＝
＝（1＋2＋3＋……＋20）＋（）
＝
＝210＋
＝
＝2019×2020×10001－2002×2019×10001
＝（2019×2020－2002×2019）×10001
＝2019×（2020－2002）×10001
＝2019×18×10001
＝36342×10001
＝363456342
＝
＝
＝3.6＋1.8
＝5.4
＝（）＋（）＋……＋（）＋
＝（2003＋2002）×（2003－2002）＋（2001＋2000）×（2001－2000）＋……＋（3＋2）×（3－2）＋1
＝4005＋4001＋……＋5＋1
＝（4005－1）÷4×（4005＋5）÷2＋1
＝4004÷4×4010÷2＋1
＝1001×4010÷2＋1
＝4014010÷2＋1
＝2007005＋1
＝2007006
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）星星小学原计划种杨树、柳树和槐树共1500棵，植树开始后，当种了杨树总数的和30棵柳树后，又临时运来15棵槐树，这时剩下的3种树的棵数恰好相等，问原计划要栽植这三种树各多少棵？
【答案】825棵；360棵；315棵
【思路引导】植树开始后，当种了杨树总数的和30棵柳树后，又临时运来15棵槐树，这时剩下的3种树的棵数恰好相等，可以将杨树分为5份，以这样的一份为一个单位，则：杨树＝5份；柳树＝（5－3）份＋30棵；槐树＝（5－3）份－15棵，则（2＋2＋5）份的树的棵数为（1500－30＋15）棵，这样就可以求出每份的棵数，最后再分别求出每种树的棵数。
【规范解答】将杨树分为5份，以这样的一份为一个单位，则：
杨树＝5份；
柳树＝（5－3）份＋30棵＝2份＋30棵；
槐树＝（5－3）份－15棵＝2份－15棵，
则一份为：
（1500－30＋15）÷（2＋2＋5）
＝1485÷9
＝165（棵）
杨树＝5×165＝825（棵）
柳树＝165×2＋30＝360（棵）
槐树＝165×2－15＝315（棵）
答：原计划要栽植这三种树分别是825棵、360棵，315棵。
题型九 百分数的四则运算
【典例精讲】（2025·重庆江北·小升初真题）甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62%，如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%。第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了多少升？
【答案】甲取12升，乙取30升
【思路引导】混合后纯酒精含量为62%，则甲、乙两种酒精体积比为（62－58）∶（72－62）＝2∶5；每种酒精取的数量比原来都多15升，混合后纯酒精含量为63.25%，则甲、乙两种酒精体积比为（63.25－58）∶（72－63.25）＝3∶5。设第一次混合时，甲、乙两种酒精应各取2x升、5x升，则可列方程为（2x＋15）∶（5x＋15）＝3∶5，求出x的值，进一步得出2x、5x的值即可。
【规范解答】解：第一次混合时甲种酒精用量是乙种酒精用量的体积比（62%－58%）∶（72%－62%）＝2∶5
第二次混合时甲种酒精用量是乙种酒精用量的体积比（63.25%－58%）∶（72%－63.25%）＝3∶5
设第一次混合时，甲、乙两种酒精应各取2x升、5x升。
（2x＋15）∶（5x＋15）＝3∶5
5（2x＋15）＝3（5x＋15）
10x＋75＝15x＋45
75－45＝15x－10x
5x＝30
x＝30÷5
x＝6
甲种酒精：2×6＝12（升）
乙种酒精：5×6＝30（升）
答：第一次混合时，甲种酒精取了12升，乙种酒精取了30升。
【考点剖析】解题时由原来溶液质量的比例巧妙设未知数x，用含有x的代数式表示新溶剂质量，根据题中所给的溶剂质量关系设一个未知数表示另一个未知数，将题目简单化。
【变式训练1】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）某市职工医疗保险规定：职工因病住院医疗费用补偿设起付线，如果甲医院的起付线是500元，500元以内的个人支付，超过起付线并且不超过2000元的部分按80%补偿，2000元以上的部分按75%补偿，其余自付。王叔叔7月份因病在甲医院住院，医疗费用补偿后，个人实际支付3300元，补偿多少元？
【答案】8700元
【思路引导】先确定总医疗费用是否超过2000元，再分阶段计算个人支付的各部分，即计算500元到2000元部分的个人支付金额、超过2000元部分的个人支付金额、超过2000元的总医疗费用，进而求出总费用，最后用总医疗费用减去个人实际支付金额，计算出补偿金额。
【规范解答】2000－500＝1500 （元）
1500×（1－80%）
＝1500×20%
＝1500×0.2
＝300（元）
3300－500－300
＝2800－300
＝2500 （元）
2500÷（1－75%）
＝2500÷25%
＝2500÷0.25
＝10000（元）
2000＋10000＝12000 （元）
12000－3300＝8700 （元）
答：补偿了8700元。
【考点剖析】这道题解题关键在于按医疗费用的不同区间，明确个人支付比例，再通过个人实际支付金额倒推总费用，最后求出补偿金额。
【变式训练2】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一水果店主分两批购进某一种水果。第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元。由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少25%。
(1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？
(2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值。
【答案】(1)
第一批水果的单价是 20 元，第二批水果的单价是 30 元。
(2)
30
【思路引导】（1）设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为 元。
根据总价÷单价＝数量，第一批数量为箱，第二批数量为箱。第二批数量比第一批少 25%，以第一批的数量为单位“1”，则第二批数量等于第一批数量的 。据此列方程求解。
（2）先根据（1）中的单价得出第一批的数量是120箱，且第一批无损耗则收入是4800元；
第二批的数量90箱，但是出现了20%的损耗，即售出数量为购进数量的 ，则只能卖出72箱。售价下降 ，即售价为元。总收入减去总成本 等于利润 1716 元，列方程求解 。
【规范解答】（1）解：设第一批购进每箱单价为 元，则第二批每箱单价为 元。：
第二批单价：（元）
答：第一批水果的单价是 20 元，第二批水果的单价是 30 元。
（2） （箱）
（元）
（箱）
（箱）
2400＋2700＝5100（元）
a=30
答： 的值是 30。
题型十 运算定律与简便运算
【典例精讲】（2025·重庆江北·小升初真题）计算。
【答案】
；196；
9；；
11111；；
10001；
【思路引导】先统一形式，把小数、带分数、百分数都转化为分数，除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数，将除法转化为乘法，再运用乘法分配律简算。
将带分数转化为假分数，再运用乘法分配律简算。
先统一形式，把带分数转化为假分数，除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数，将除法转化为乘法，再运用乘法分配律简算括号里面的，最后算括号外面的乘法。
观察分母的规律，将每一项拆分为两个分数的差，，拆分后中间项全部抵消，仅剩首尾两项相减，快速得到结果。
观察分子的5个数，每一位的数字之和都是（1＋2＋3＋4＋5），因此分子可转化为（1＋2＋3＋4＋5）×11111，然后约分直接得到结果。
将算式分组，前3个分母为2的倍数的分数为一组，后5个分母为31的倍数的分数为一组；分别计算两组的和，再将结果相加，简化通分计算。
用换元法简化大数运算，设a＝20182017，b＝20192018，将原式转化为（a＋1）b－a（b＋1），展开后相抵消，仅剩b－a，直接计算两数的差即可。
分两部分分别化简，第一部分将带分数化为假分数，将除法转化为乘法，再运用公式（a＋b）×（a－b）＝a2－b2简化分母，约分后得到结果；第二部分将带分数拆分为整数和分数，运用乘法分配律简算；最后将两部分结果相加，得到最终结果。
【规范解答】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝99＋49＋48
＝148＋48
＝196
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝9
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝11111
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
设a＝20182017，b＝20192018。
＝（a＋1）b－a（b＋1）
＝ab＋b－ab－a
＝b－a
＝20192018－20182017
＝10001
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【变式训练1】（2025·湖南长沙·小升初真题）计算题。
【答案】；48.5；
【思路引导】按照运算顺序进行计算。
先把第二个括号的带分数化成小数，之后运用乘法交换律，计算第一个乘数和最后一个括号的结果，再把第一个括号里的数按照带符号搬家，小数结合计算出结果，最后运用乘法分配律即可简便运算。
把带分数写成整数与分数的加法，再根据加法结合律，整数与整数相加，分数与分数相加，再把分数相加的部分按照裂项法即可求解。
【规范解答】×÷7÷×1.5
＝×÷7÷×
＝×××
＝××
＝×
＝
×（17.54－＋0.06）×（6.45－）
＝×（17.54＋0.06－）×（－）
＝×（17.6－）×
＝××（17.6－）
＝3×（17.6－）
＝3×17.6－3×
＝52.8－4.3
＝48.5
＋＋＋＋
＝1＋＋2＋＋3＋＋4＋＋5＋
＝1＋2＋3＋4＋5＋＋＋＋＋
＝（1＋2＋3＋4＋5）＋（＋＋＋＋）
＝15＋[×（1－）＋×（－）＋×（－）＋×（－）＋×（－）]
＝15＋×[（1－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）]
＝15＋×[1－＋－＋－＋－＋－]
＝15＋×[1－]
＝15＋×
＝15＋
＝
【变式训练2】（2025·河南新乡·小升初真题）能简便计算的简便计算。
（1）
（2）
（3）…
【答案】（1）10
（2）13.5
（3）
【思路引导】（1）在既有中括号，又有小括号的计算中，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的；
（2）在几个乘法算式相加的计算中，如果有一个因数是相同的，可以利用乘法分配律进行简便计算，即；
（3）在一长串的算式中，可以先化简，然后观察它们的规律，最后进行作答。
【规范解答】（1）
（2）
（3）
题型十一 倍的运算
【典例精讲】有酒精含量为的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为的溶液，如果再稀释到，那么还需要加水的数量是上次加的水量的（ ）倍。
A．1.5 B．2 C．3 D．2.5
【答案】A
【思路引导】假设36%的酒精溶液100克，那么含酒精100×36%＝36克，是不变的；30%的浓度的酒精溶液是36÷30%＝120克，比100克多了20克水；24%的浓度的酒精溶液是36÷24%＝150克，比100克多了50克水；第1次加了20克，第2次又加了50－20＝30克，第2次加水质量÷第1次加水质量即可。
【规范解答】假设36%的酒精溶液100克。
含酒精100×36%＝36（克）
36÷30%－100
＝36÷0.3－100
＝120－100
＝20（克）
（36÷24%－100－20）÷20
＝（36÷0.24－100－20）÷20
＝（150－100－20）÷20
＝30÷20
＝1.5
还需要加水的数量是上次加的水量的1.5倍。
故答案为：A
【考点剖析】关键是理解百分率的意义，掌握百分率的求法，明确稀释前后酒精的质量不变是解答本题的关键。
【变式训练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）已知甲数是乙数的4倍，乙数是丙数的多3，已知丙数是18，则甲数为（ ）。
A．15 B．60 C．68 D．40
【答案】B
【思路引导】求一个数的几分之几是多少，用乘法。已知：乙数是丙数的多3，则丙数×＋3＝乙数，又知：甲数是乙数的4倍，所以乙数×4＝甲数，据此列式计算即可。
【规范解答】
＝12＋3
＝15
15×4＝60
已知甲数是乙数的4倍，乙数是丙数的多3，已知丙数是18，则甲数为60。
故答案为：B
【变式训练2】（2025·江西南昌·小升初真题）中国的制造业发达，被称为“世界工厂”，而美国是世界上最大的消费市场，中国的很多产品都卖到了美国。2025年4月，美国对中国产品征收高关税，发动贸易战。
（1）中国的华兴玩具厂生产一件毛绒玩具的成本是60元，加上20%的利润，就是厂家的出厂价，再出口到美国，就还要再加价75%（含关税54%、运输成本和美国商家获取的利润等）。这件毛绒玩具在美国卖多少钱？
（2）这件毛绒玩具如果在美国生产，由于供应链不完整和工人的工资高，再按中国毛绒玩具在美国的售价出售，美国的工厂还要亏损10%，美国工厂的生产成本是多少元？约是中国生产成本的几倍？
【答案】（1）126元
（2）140元，约2.33倍
【思路引导】（1）把生产一件毛绒玩具的成本看作单位“1”，则出厂价是成本价的1＋20%，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法解答，求出厂价列式为：60×（1＋20%），再把出厂价看作单位“1”，则出口到美国的价格是出厂价的1＋75%，求这件毛绒玩具在美国卖多少钱，列式为：60×（1＋20%）×（1＋75%）。
（2）设在美国生产的成本价是x元，把在美国生产的成本价看作单位“1”，则在美国的售价是成本价的1－10%，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法解答，用成本价×（1－10%）就是在美国的售价，等于126元，据此列方程为：x×（1－10%）＝126，解方程求出美国工厂的生产成本是多少元，再根据求一个数是另一个数的几倍，用这个数除以另一个数解答，用美国工厂的生产成本除以在中国的生产成本即可解答。
【规范解答】（1）60×（1＋20%）×（1＋75%）
＝60×1.2×1.75
＝72×1.75
＝126（元）
答：这件毛绒玩具在美国卖126元。
（2）解：设美国工厂的生产成本是x元。
x×（1－10%）＝126
0.9x＝126
x＝126÷0.9
x＝140
140÷60≈2.33
答：美国工厂的生产成本是140元，约是中国生产成本的2.33倍。
题型十二 用字母表示数
【典例精讲】（2025·湖北武汉·小升初真题）奥地利数学家皮克（Pick）发现，在网格中，顶点均在格点的多边形面积S可以由多边形内部格点数i和边界格点数b计算得到，请你观察下列图形，探索S与i和b之间的关系。
(1)观察图形，补全表格。
图形
①
②
③
④
⑤
i
0
2
2
6
______
b
6
10
6
6
______
S
2
6
4
______
12
(2)观察①、③、④可以发现，每增加i时，面积增加______。
观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加______。
根据上述发现，可得：S＝______。（用含i和b的式子表示）
(3)根据你发现的结论计算图形的面积。
【答案】(1)见详解
(2) 1 /0.5 i＋b－1
(3)21
【思路引导】（1）先观察图形⑤，数出内部格点数i和边界格点数b；观察前几个图形，可以把图形④当作是两个相等的梯形，上底是1，下底是3，高是2，计算图形④的面积S。
（2）对比①、③、④的i和S的变化量，得出每增加i时面积的变化值；对比②和③、④和⑤的b和S的变化量，得出b每增加1时面积的变化值；再结合这两个变化规律，推导S关于i和b的表达式。
（3）先确定目标图形的内部格点数i和边界格点数b，再代入（2）中推导的公式计算面积。
【规范解答】（1）
图形
①
②
③
④
⑤
i
0
2
2
6
6
b
6
10
6
6
14
S
2
6
4
8
12
（2）①：图形①、③、④的边界格点b都是6，每增加i，面积对应增加1；
即观察①、③、④可以发现，每增加i时，面积增加1。
②：图形②和③的内部格点i都是2，b增加4时面积增加2，因此b每增加1，面积增加；
观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加。
③：2＝0＋×6－1＝3－1
6＝2＋×10－1＝2＋5－1
12＝6＋×14－1＝6＋7－1
根据上述发现，可得：S＝i＋b－1。
（3）由图可知i＝15，b＝14：
S＝15＋×14－1
＝15＋7－1
＝21
答：图形的面积为21。
【变式训练1】（2025·湖南长沙·小升初真题）我们用r（n）表示n的因数个数，比如r（20）＝6，满足r（n）＋r（n＋1）＝r（100）的正整数n且n＜100的所有取值的总和是______。
【答案】145
【思路引导】需要找到所有的正整数，n＜100，满足r（n）＋r（n＋1）＝r（100），其中r（n）表示n的因数个数，先找出100的因数个数是9个，即r（100）＝9，因此要满足r（n）＋r（n＋1）＝9，由于9是奇数，因此n和n＋1必须一个为奇数、一个为偶数，即n和n＋1中一个为完全平方数，另一个不是，枚举所有可能情况：当 n是平方数时，检查n为1，4，9，16，25，36，49，64，81；当n＋1是完全平方数时，检查3，8，15，24，35，48，63，80，99，计算每组r（n）和r（n＋1），找出满足条件的即可解答。
【规范解答】100的因数有1、2、4、5、10、20、25、50、100，所以r（100）＝9，即r（n）＋r（n＋1）＝9，由于 9 是奇数，因此n和n＋1必须一个为奇数、一个为偶数，即n和n＋1中一个为完全平方数，另一个不是。
当 n是平方数时，检查n为1，4，9，16，25，36，49，64，81；
当n＝1时，r（1）＝1，r（2）＝2，1＋2＝3，不符合题意；
当n＝4时，r（4）＝3，r（5）＝2，3＋2＝5，不符合题意；
当n＝9时，r（9）＝3，r（10）＝4，3＋4＝7，不符合题意；
当n＝16时，r（16）＝5，r（17）＝2，5＋2＝7，不符合题意；
当n＝25时，r（25）＝3，r（26）＝4，3＋4＝7，不符合题意；
当n＝36时，r（36）＝9，r（37）＝2，9＋2＝11，不符合题意；
当n＝49时，r（49）＝3，r（50）＝6，3＋6＝9，符合题意；
当n＝64时，r（64）＝7，r（65）＝4，7＋4＝11，不符合题意；
当n＝81时，r（81）＝5，r（82）＝4，5＋4＝9，符合题意；
所以此时满足条件的为49和81。
当n＋1是完全平方数时，检查3，8，15，24，35，48，63，80；
当n＝3时，r（3）＝2，r（4）＝3，2＋3＝5，不符合题意；
当n＝8时，r（8）＝4，r（9）＝3，4＋3＝7，不符合题意；
当n＝15时，r（15）＝4，r（16）＝5，4＋5＝9，符合题意；
当n＝24时，r（24）＝8，r（25）＝3，8＋3＝11，不符合题意；
当n＝35时，r（35）＝4，r（36）＝9，4＋9＝13，不符合题意；
当n＝48时，r（48）＝10，r（49）＝3，10＋3＝13，不符合题意；
当n＝63时，r（63）＝6，r（64）＝7，6＋7＝13，不符合题意；
当n＝80时，r（80）＝10，r（81）＝5，10＋5＝15，不符合题意；
当n＝99时，r（99）＝6，r（100）＝9，6＋9＝15，不符合题意。
所以此时满足条件的为15。
综上，满足条件的 n为 15，49，81。
15＋49＋81
＝64＋81
＝145
所以所有取值的总和是145。
【考点剖析】找出100的所有因数是9个，结合题意推断出n和n＋1必须一个为奇数、一个为偶数，即n和n＋1中一个为完全平方数，另一个不是，枚举所有可能情况是解题的关键。
【变式训练2】（2025·北京丰台·小升初真题）如图是由3个半圆组成的图形，图中阴影部分的周长是（ ）厘米。
A． B．3aπ C． D．3aπ＋6a
【答案】B
【思路引导】通过观察图形可知，阴影部分的周长分为三部分，分别是直径为a、直径为2a，直径为（a＋2a）的圆周长一半的和，根据圆的周长公式：，分别把数据代入公式算出各自周长，相加后再除以2即可得解。
【规范解答】π×a＝πa（厘米）
π×2a＝2πa（厘米）
π×（a＋2a）
＝π×3a
＝3aπ（厘米）
（πa＋2πa＋3aπ）÷2
＝（3aπ＋3aπ）÷2
＝6aπ÷2
＝3aπ（厘米）
图中阴影部分的周长是3aπ厘米。
故答案为：B
【考点剖析】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
题型十三 方程的解与解方程
【典例精讲】2025·重庆沙坪坝·小升初真题）6条谜语让50人猜测，共猜对了178条。已知每人至少猜对2条，且猜对2条的有16人，猜对4条的有9人，猜对3条和5条的人数一样多，那么6条全猜对的有( )人。
【答案】5
【思路引导】由题意可得如下数量关系：
关系①：猜对3条、5条、6条一共的人数＝总人数－猜对2条的人数－猜对4条的人数，
关系②：猜对3条的人数＝猜对5条的人数，
关系③：猜对3条的人数×3＋猜对5条的人数×5＋猜对6条的人数×6＝总条数－猜对2条的人数×2－猜对4条的人数×4，设猜对3条的有人，猜对5条的有人，根据关系①可表示猜对6条的人数，再利用关系③列方程。
【规范解答】猜对3条、5条、6条一共的人数：
50－16－9＝25（人）
分别猜对3条、5条、6条的人一共猜对的总条数：
178－2×16－4×9
＝178－32－36
＝110（条）
解：设猜对3条的有人，猜对5条的有人，猜对6条的有（25－－）人。
猜对6条的人数：
25－10－10
＝15－10
＝5（人）
所以猜对6条的人数为5人。
【变式训练1】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）两个两位数的乘积是806，欢欢在抄题时，将其中一个因数个位上的“6”丢掉了，结果算出的积是62，则这两个因数中较小的那个因数是______。
【答案】26
【思路引导】把十位数字和另一个因数设为未知数，等量关系：（十位数字×10＋个位数字）×另一个因数＝806，由此列出方程，计算出错误的积是62，再把“十位数字×另一个因数＝62”代入方程求出另一个因数，然后根据“因数＝积÷另一个因数”求出另外一个两位数，最后比较大小确定较小的那个因数。
【规范解答】解：设十位上的数字为，另一个因数为，根据错误的乘积62得出。
806÷31＝26
因为26＜31，所以这两个因数中较小的那个因数是26。
【变式训练2】（2025·四川绵阳·小升初真题）妈妈给红红一些钱去买贺卡，有甲、乙、丙三种贺卡，甲种卡每张0.5元，丙种卡每张1.2元，用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张，买乙种卡要比买丙种卡多买6张，妈妈给红红多少钱？乙种卡每张多少钱？
【答案】12元；0.75元
【思路引导】把用这些钱可以买丙种卡的数量设为未知数，用含有字母的式子分别表示出用这些钱可以买甲种卡和乙种卡的数量，妈妈给红红的总钱数不变，等量关系式：甲种卡的数量×甲种卡的单价＝丙种卡的数量×丙种卡的单价，列方程求出用这些钱可以买丙种卡的数量，妈妈给红红的总钱数＝丙种卡的数量×丙种卡的单价，乙种卡的单价＝妈妈给红红的总钱数÷乙种卡的数量，据此解答。
【规范解答】解：设用这些钱可以买张丙种卡，则可以买张乙种卡，可以买张甲种卡。
10＋6＝16（张）
1.2×10＝12（元）
12÷16＝0.75（元）
答：妈妈给红红12元，乙种卡每张0.75元。
【考点剖析】分析题意准确设出未知数并抓住题目中的不变量列出方程是解答题目的关键。
题型十四 列方程解含一个未知数的问题
【典例精讲】（2025·重庆江北·小升初真题）李师傅以1元钱3个苹果的价格买进苹果若干个，以1元钱2个苹果的价格将这些苹果卖出，卖出一半后，因为苹果降价只能以2元钱7个苹果的价格将剩下的苹果卖出。不过最后他不仅赚了24元钱，还剩下了1个苹果，那么他买了个___________苹果。
【答案】408
【思路引导】明确各阶段苹果单价：买入时1元3个，每个成本元；前半段1元2个，每个售价元；后半段2元7个，每个售价元。
设他买了个苹果。
总成本为：
分段算收入：前半段卖个，收入；
后半段卖出个，收入（）×＝
根据“总收入－总成本＝24”的等量关系列方程解答即可。
【规范解答】解：设李师傅买了个苹果。
＋－＝24
＝24
＝24
＝24
＝24＋
＝24＋
＝
＝
＝
＝
【考点剖析】本题核心是分段计算收入，注意“卖出一半后剩1个”对后半段卖出数量的影响，再通过“利润＝总收入－总成本”建立方程求解。
【变式训练1】（2025·重庆江北·小升初真题）果园里的荔枝获得丰收，第一天摘了全部荔枝的又10筐，第二天摘了余下的又3筐，这样还剩下63筐荔枝没有摘，则共有荔枝___________筐。
【答案】180
【思路引导】第二天：摘了余下的又3筐，由剩63筐可知“63＋3是第一天摘完后余下的（1－）”，先算第一天摘完后余下多少筐。
设总筐数为筐，第一天摘了，余下的为，再根据余下的由“总筐数－第一天摘的＝第一天摘后余下的”列出方程并解答。
【规范解答】第一天摘完后余下：
（63＋3）÷（1－）
＝66÷
＝66×
＝110（筐）
解：设总筐数为筐。
【考点剖析】解题关键是倒推法，抓住“第二天剩余量”对应“第一天摘完后余下的分率”计算出第一天摘完后余下量，再根据“总筐数－第一天摘的＝第一天摘后余下的”列出方程解答。
【变式训练2】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）某班学生去参加义务劳动，其中一组到果园去摘梨子，第一个进园的学生摘了1个梨子，第二个学生摘了2个，第三个学生摘了3个，……以此类推，后来的学生都比前面一个多摘1个梨子，这样恰好平均每个学生摘了11个梨子，请问这组学生的人数是___________人。
【答案】21
【思路引导】设这组学生是x人，则x个学生摘梨的总个数为1＋2＋3＋…＋（x－1）＋x个，观察发现这个算式的头尾相加、第二个数和倒数第二个数相加、第三个数和倒数第三个数相加……的和都是一样的，均为（1＋x），整个算式共有（x÷2）个（1＋x），即1＋2＋3＋…＋（x－1）＋x＝（1＋x）×x÷2；根据等量关系式：摘梨总数＝学生人数×平均每个学生摘梨数量，列出方程（1＋x）×x÷2＝11x，根据等式的基本性质求解。
【规范解答】解：设这组学生是x人。
（1＋x）×x÷2＝11x
（1＋x）÷2＝11
1＋x＝11×2
1＋x＝22
x＝22－1
x＝21
因此，这组学生的人数是21人。
【考点剖析】通过设未知数，利用首尾相加简化总数量的表达式，通过平均数乘个数等于总量构建等量关系，列出方程求解。人数是大于0的，因此在解方程过程中同时除以x，解法合理。
题型十五 列方程解解复杂的行程问题
【典例精讲】（2025·河南郑州·小升初真题）小张和父亲搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷。在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站。随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达了火车站，已知公共汽车的平均速度是40千米/时，问小张家到火车站有多远？
【答案】90千米
【思路引导】根据题意，剩下的路程乘公共汽车比乘出租车多用（30＋15）分钟，即小时。根据时间＝路程÷速度，分别算出剩下的路程乘公共汽车的时间和乘出租车的时间。根据乘公共汽车的时间－乘出租车的时间＝多用的时间列方程解决。
【规范解答】解：设小张家到火车站的路程是3千米。
3－＝2（千米）
40×2＝80（千米/时）
45分钟＝小时
答：小张家到火车站有90千米。
【考点剖析】根据“继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站。随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达了火车站”。 剩下的路程乘公共汽车比乘出租车多用（30＋15）分钟，即小时。
【变式训练1】（2025·北京·小升初真题）小仓鼠的学校距家有800米。平时它放学后总是慢悠悠地滚着它的仓鼠球回家，每分钟滚40米。有一天，它路过香喷喷的瓜子铺时，实在忍不住钻进去狂嗑了3分钟瓜子！结果它突然想起——回家晚了会被仓鼠妈妈发现！于是它立刻开启“疯狂滚球模式”，以每分钟60米的速度冲刺回家，最终竟然和平常到家的时间一模一样！小仓鼠的学校离瓜子铺有多少米？
【答案】440米
【思路引导】根据“时间＝路程÷速度”，按照正常每分钟滚40米的速度，小仓鼠回家需要800÷40＝20分钟；而如果嗑了3分钟瓜子后还和平常到家的时间一模一样，则路上共花了20－3＝17分钟；可设小仓鼠的学校离瓜子铺有x米，则瓜子铺离小仓鼠家有（800－x）米，小仓鼠从学校到瓜子铺的速度是每分钟40米，用时分钟，而小仓鼠从瓜子铺到家的速度是每分钟60米，用时分钟，可列方程为＋＝17，解方程即可解答。
【规范解答】解：设小仓鼠的学校离瓜子铺有x米，则瓜子铺离小仓鼠家有（800－x）米。
800÷40－3
＝20－3
＝17（分钟）
＋＝17
×120＋×120＝17×120
3x＋2×（800－x）＝2040
3x＋1600－2x＝2040
x＋1600＝2040
x＋1600－1600＝2040－1600
x＝440
答：小仓鼠的学校离瓜子铺有440米。
【考点剖析】本题考查行程问题，解题关键在于理解提速节省的时间＝吃瓜子的时间。
【变式训练2】（2025·辽宁鞍山·小升初真题）汽车从甲地开往乙地，第一小时行驶了全程的，第二小时行驶了余下路程的少10千米，接下来又行驶了前两个小时行驶路程的，恰好到达乙地，甲、乙两地之间相距多少千米？
【答案】225千米
【思路引导】设甲、乙两地之间相距x千米；第一小时行驶的路程为x千米。
第二小时后余下的路程为x－x＝x千米；第二小时行驶的路程为（x×－10）千米；
用甲、乙两地之间相距减去第一小时行驶的路程－第二小时行驶的路程，即两小时后剩下的路程为x－x－（x×－10）千米；
第一小时和第二小时行驶了x＋（x×－10）千米；
接下来又行驶了前两个小时行驶路程的，恰好到达乙地，即行驶了[x＋（x×－10）]×千米；
汽车行驶两小时后的路程＝接下来又行驶了前两个小时行驶路程的，据此列方程：x－x－（x×－10）＝[x＋（x×－10）]×，解方程，即可解答。
【规范解答】解：设甲、乙两地之间相距x千米。
x－x－（x×－10）＝[x＋（x×－10）]×
x－x－（x－10）＝[x＋（x－10）]×
x－x－x＋10＝[x＋x－10]×
x－x＋10＝[x＋x－10]×
x－x＋10＝[x－10]×
x＋10＝x×－10×
x＋10＝x－8
x－x＝10＋8
x－x＝18
x＝18
x＝18÷
x＝18×
x＝225
答：甲、乙两地之间相距225千米。
【考点剖析】明确两小时后剩下的与汽车行驶前两小时的之间的关系，是解答本题的关键。
题型十六 列方程解含两个未知数的问题
【典例精讲】（2025·湖北武汉·小升初真题）妈妈今年74岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子32岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为40岁，那么儿子今年______岁。
【答案】46
【思路引导】先求妈妈从40岁到74岁经过的年数为74－40＝34年，设当女儿年龄是儿子的时，儿子为3x岁、女儿为2x岁，则今年儿子为（3x＋34）岁、女儿为（2x＋34）岁；当儿子32岁时，距离今年的年数为（3x＋34）－32＝3x＋2年，即3x＋2年前，此时女儿的年龄为（2x＋34）－（3x＋2）＝32－x岁，妈妈的年龄为74－（3x＋2）＝72－3x岁，根据“此时妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁”的条件，列出方程72－3x＝2（32－x）＋4，解方程得x＝4，因此儿子今年的年龄为3×4＋34＝46岁。
【规范解答】74－40＝34（岁）
解：设当年儿子为3x岁、女儿为2x岁，则今年儿子为（3x＋34）岁、女儿为（2x＋34）岁。
72－3x＝2（32－x）＋4
72－3x＝64－2x＋4
72－3x＋3x＝64－2x＋4＋3x
72＝68＋x
68＋x＝72
68＋x－68＝72－68
x＝4
3×4＋34
＝12＋34
＝46（岁）
儿子今年46岁。
【变式训练1】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）数学文化节的选手，平均分数是66分，其中男选手比女选手多50%，而女选手的平均分比男选手高25%，女选手的平均分数是______分。
【答案】75
【思路引导】假设女选手共2人，把女选手的人数看作单位“1”，则男选手人数是女选手的（1＋50%），用女选手的人数乘（1＋50%）即可求出男选手的人数。把男、女选手人数相加求出总人数，再用平均分数乘总人数求出总分数。
把男选手的平均分数看作单位“1”，则女选手的平均分数是男选手的（1＋25%），设男选手的平均分数为x分，则女选手的平均分数是（1＋25%）x分，“男选手的总分数＋女选手的总分数＝总分数”，据此列出方程，根据等式的性质求出x的值，即为男选手的平均分数，然后用男选手的平均分数乘（1＋25%）即可求出女选手的平均分数。
【规范解答】假设女选手有2人。
男选手人数：2×（1＋50%）
＝2×150%
＝2×1.5
＝3（人）
总分数：66×（2＋3）
＝66×5
＝330（分）
解：设男选手的平均分数为x分，则女选手的平均分数为（1＋25%）x分。
3x＋2×（1＋25%）x＝330
3x＋2×125%x＝330
3x＋2×1.25x＝330
3x＋2.5x＝330
5.5x＝330
5.5x÷5.5＝330÷5.5
x＝60
60×（1＋25%）
＝60×125%
＝60×1.25
＝75（分）
【变式训练2】（2025·上海闵行·小升初真题）某学校5月开展校园科技节，已知六年级（1）班和（2）班各有48人，两个班各有一部分同学参加了模型比赛，其中（1）班参加人数的2倍比（2）班没参加的人数多5人，而（2）班参加的人数比（1）班没参加的人数的一半还少1人。求这两个班各有多少人参加模型比赛？
【答案】六年级（1）班20人；六年级（2）班13人
【思路引导】已知六年级（1）班和（2）班各有48人，（1）班参加人数的2倍比（2）班没参加的人数多5人，设（1）班参加比赛的人数为x人，则（2）班没参加比赛的人数为（2x－5）人，用总人数减去没参加比赛的人数即可表示出（2）班参加比赛的人数为48－（2x－5）；
又已知（2）班参加比赛的人数比（1）班没参加比赛的人数的一半还少1人，则（2）班参加比赛人数也可表示为（48－x）－1，所以可列方程为48－（2x－5）＝（48－x）－1，求出x的值即为六年级（1）班参加模型比赛的人数，再将x的值代入48－（2x－5）中求出结果即为（2）班参加模型比赛的人数。
【规范解答】解：设六年级（1）班参加的人数为x人。
48－（2x－5）＝（48－x）－1
48－（2x－5）＝×48－x－1
48－2x＋5＝24－x－1
53－2x＝23－x
53－2x＋x＝23－x＋x
53－x＝23
53－x＋x＝23＋x
23＋x＝53
23＋x－23＝53－23
x＝30
x×＝30×
x＝20
48－（2x－5）
＝48－（2×20－5）
＝48－（40－5）
＝48－35
＝13
答：六年级（1）班有20人参加模型比赛，六年级（2）班有13人参加模型比赛。
【考点剖析】用“每班都是48人”这个固定总数，以及通过两种不同的关系分别表示出六年级（2）班参加比赛的人数，据此列出方程；先将方程化简，再根据等式的基本性质逐步求解出x的值，最终求解问题。
题型十七 列方程解决稍复杂的实际问题
【典例精讲】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来得及刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40平方米墙面。每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米墙面。求每个房间需要粉刷的墙面面积。
【答案】52平方米
【思路引导】设每个房间需要粉刷的墙面面积为x平方米。3名一级技工一天粉刷的总面积是8个房间的面积减去未刷的50平方米，因此每名一级技工一天的粉刷面积为（8个房间总面积－50）÷3；5名二级技工一天粉刷的总面积是10个房间的面积加上多刷的40平方米，因此每名二级技工一天的粉刷面积为（10个房间总面积＋40）÷5。每名一级技工一天粉刷面积－二级技工一天粉刷面积＝10，据此列出方程，先化简，再根据等式的性质求解出x的值即可解答。
【规范解答】解：设每个房间需要粉刷的墙面面积是x平方米。
（8x－50）÷3－（10x＋40）÷5＝10
x－－2x－8＝10
x－2x－－8＝10
x－x－－＝10
x－＝10
x－＋＝10＋
x＝
x×＝×
x＝52
答：每个房间需要粉刷的墙面面积是52平方米。
【变式训练1】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一个三位正数M，其各位数字均不为零且互不相等，若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如123的“团结数”为。
(1)请求出427的“团结数”。
(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，且各位数字互不相等（，）。若N的“团结数”与N之差为24，求N的值。
【答案】(1)286
(2)218或284
【思路引导】首先要理解“团结数”的定义，即从三位数的百位、十位、个位数字中任选两个组成新的两位数并求和。
①直接按照定义计算427的“团结数”。
②先根据定义表示出N的“团结数”，再根据“团结数”与N之差为24列出方程求解。
【规范解答】（1）根据“团结数”的定义，从427的百位数字4、十位数字2、个位数字7中任选两个组成新的两位数，有42、47、24、27、74、72。
将这些两位数求和：
答：427的“团结数”是286。
（2）求N的“团结数”，从2、a、b中任选两个组成新的两位数，有2a、2b、a2、ab、b2、ba。
将这些两位数求和：
因为N百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，所以N可以表示为。
因为N的“团结数”与N之差为24，所以可列方程：
因为a、b为整数且，，，，。
通过试值法，当时，，，，。
此时，，。
当时，，，，。
此时，，。
答：N的值为218或284。
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）星期日，小丫骑自行车去同学A，B，C三家玩，如果她从A出发经过B到C，共行10千米；如果从B出发，经过C到A，共行13千米；如果从C出发，经过A到B，共行11千米。两同学家之间最短的距离是______千米。
【答案】4
【思路引导】根据题意，设A与B之间的距离为AB千米，B与C之间的距离为BC千米，C与A之间的距离为CA千米。由三种路径可得方程：AB＋BC＝10，BC＋CA＝13，CA＋AB＝11。将三个方程相加，得到2（AB＋BC＋CA）＝34，从而求出AB＋BC＋CA＝17。然后分别减去每个方程，求出AB、BC、CA的值，最后比较得出最短距离。
【规范解答】由题意得：
AB＋BC＝10（①）
BC＋CA＝13（②）
CA＋AB＝11（③）
将①、②、③相加：
（AB＋BC）＋（BC＋CA）＋（CA＋AB）＝10＋13＋11
2AB＋2BC＋2CA＝34
2（AB＋BC＋CA）＝34
AB＋BC＋CA＝17（④）
用④减去①：
（AB＋BC＋CA）－（AB＋BC）＝17－10
CA＝7，用④减去②：
（AB＋BC＋CA）－（BC＋CA）＝17－13
AB＝4
用④减去③：
（AB＋BC＋CA）－（CA＋AB）＝17－11
BC＝6
因此，AB＝4千米，BC＝6千米，CA＝7千米。两同学家之间最短的距离是AB＝4千米。
星期日，小丫骑自行车去同学A，B，C三家玩，如果她从A出发经过B到C，共行10千米；如果从B出发，经过C到A，共行13千米；如果从C出发，经过A到B，共行11千米。两同学家之间最短的距离是4千米。
【考点剖析】解答本题的关键是明确三次距离相加的和除以2，等于AB＋BC＋CA的和。
题型十八 比
【典例精讲】（2025·甘肃兰州·小升初真题）聪聪的妈妈做摊饼时发现，面、水的质量比是时，摊饼的口感最好。聪聪也想做这样的摊饼，她不能按下面第（ ）种方法确定面和水的用量。
A．每1kg面需要800g水。 B．用同样大的碗盛面、水，盛满面、盛满水的碗数比是5∶4。
C．保证面的质量是水的质量的1.25倍。 D．无论面、水的质量是多少，面一定要比水多200g。
【答案】D
【思路引导】根据题意可知，面和水的质量比是固定的比例关系，据此逐项分析各个选项即可。
【规范解答】A．每1kg面需要800g水。
1kg∶800g
＝1kg∶0.8kg
符合1∶0.8的比例，方法正确。
B．同样大的碗盛面、水，盛满面、盛满水的碗数比是5∶4。
5∶4
＝（5÷5）∶（4÷5）
＝1∶0.8
符合1∶0.8的比例，方法正确。
C．保证面的质量是水的质量的1.25倍。
1∶0.8
＝1÷0.8
＝1.25
也就是面的质量是水的1.25倍，方法正确。
D．无论面、水的质量是多少，面一定要比水多200g。
这不是比例关系，不能保证面和水质量比是1∶0.8，方法错误。
她不能按“无论面、水的质量是多少，面一定要比水多200g”的方法确定面和水的用量。
【变式训练1】（2025·重庆江北·小升初真题）从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是多少千克？
【答案】
6千克
【思路引导】两块合金互换后含铜率一样，说明两块合金里“两种原合金的比”完全相同。两块原合金总重量是10千克和15千克，它们的比是。所以10千克的新合金里，“原10千克剩余的量∶原15千克切量”也得是2∶3，总份数是5份，对应10千克，每份是2千克，原15千克的量（也就是切下的重量）是3份，即千克。
【规范解答】＝（10÷5）∶（15÷5）＝2∶3
（份）
答：切下的一块重量是6千克。
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）星期天早晨8：30，小萍骑电动车从家出发前往和谐广场。12分钟后，妈妈开车去追小萍，在距家6千米的地方追上了小萍。这时，妈妈收到一个电话，需要回家收个快递，于是立即掉头回家，拿到快递后没有停留（接快递时间忽略不计），立刻又回头去追小萍，妈妈再次追上小萍的时候，距家18千米，问：妈妈第二次追上小萍的时间是几时几分？
【答案】9时42分
【思路引导】先看路程：妈妈第一次追上到第二次追上，小萍走了12千米，妈妈走了24千米，相同时间内妈妈路程是小萍的2倍，所以妈妈速度是小萍的2倍。
路程相同时，速度与时间成反比，走同样6千米，小萍用时是妈妈的2倍，时间差12分钟，说明小萍走6千米用24分钟，妈妈用12分钟。
小萍速度：6÷24＝0.25千米/分，走18千米总用时：18÷0.25＝72分钟。
出发时间8时30分，加72分钟即为最终时间。
【规范解答】速度比：妈妈速度∶小萍速度＝（6＋18）∶（18－6）＝24∶12＝2∶1
小萍走6千米用时：12×2＝24（分钟）
小萍速度：6÷24＝0.25（千米/分钟）
小萍走18千米总用时18÷0.25＝72（分钟）
最终时间：8时30分＋72分＝8时30分＋1时12分＝9时42分
答：妈妈第二次追上小萍的时间是9时42分。
【考点剖析】本题关键是利用相同时间内的路程比得出速度倍数关系，再结合时间差求出小萍速度与总用时。
题型十九 比例
【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。
（1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。
（2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。
【答案】（1）A；B
（2）烧杯底面积是20平方厘米；注满水槽所用的时间是180秒
【思路引导】（1）观察图②，注水初期仅向烧杯注水，当烧杯刚好注满时，后续注水开始使水槽水面上升，此转折点为点A，故点A表示烧杯中刚好注满水。
当水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐时，后续注水的“有效底面积”变为水槽底面积（因烧杯已被水覆盖），水面上升速度改变，此转折点为点B，故点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。
（2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。
由图2知，当注水18秒时，烧杯刚好注满，此时烧杯容积等于注水体积，根据容积＝底面积×高，注水体积＝注水速度×时间（匀速注水情况），得到S＝18v；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），即100＝90V，因为90V=5×18V则有100＝5S，两边同时约掉，即可求出烧杯底面积S。
由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5，当注水速度一定时，此时体积比等于时间比，把烧杯的体积看成1份，水槽一半的体积就是5份，用水槽的底面积乘此时的高度10厘米，再除以5就可以得到烧杯的体积，即：100×10÷5＝200（立方厘米），再根据注水速度＝注水体积÷时间，得到注水速度，即200÷18＝（立方厘米/秒）；再用水槽的总体积除以注水速度，得到注满水槽所用时间，即100×20÷＝180（秒）。
【规范解答】（1）根据分析，可知：
图②中，点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。
（2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。
由图②知，当注水18秒时，烧杯刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），于是S＝18V，100＝90V，
因为90V=5×18V，则有100＝5S，
所以S＝100÷5＝20（平方厘米）
由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5，
烧杯的体积：100×10÷5＝200（立方厘米）
注水速度：200÷18＝（立方厘米/秒）
注满水槽所用时间：
100×20÷
＝2000÷
＝2000×
＝180（秒）
答：烧杯的底面积为20平方厘米，注满水槽所用的时间为180秒。
【考点剖析】本题核心是利用恒定流量下“体积与时间成正比”的关系，结合图像转折点的实际意义（注满烧杯、水面平齐），通过建立方程求解未知量。关键在于理解不同注水阶段的“有效底面积”变化，从而关联体积、时间和底面积的关系。
【变式训练1】（2025·湖北武汉·小升初真题）有两袋大米共重440千克，甲袋米吃了，乙袋米吃了，这时甲袋米的重量与乙袋米的重量之比为8∶5，问甲袋米原来重（ ）千克。
A．240 B．200 C．220 D．180
【答案】A
【思路引导】设甲袋米原来重千克，则乙袋米原来重千克，根据剩下的甲袋米的重量与乙袋米的重量之比为8∶5，可列出比例，求出的数值，即甲袋米原来的重量。
【规范解答】设甲袋米原来重千克，则乙袋米原来重千克，根据题意列式：
所以甲袋米原来的重量为240千克。
故答案为：A
【考点剖析】在解决含比值的方程时，核心是先利用比例的基本性质将比例式转化为普通方程，再通过等式的基本性质求解方程。
【变式训练2】（2025·重庆渝北·小升初真题）“宫、商、角、徵、羽”是我国古代音乐的基本音阶，基本音阶“徵”的发音管长度比基本音阶“宫”的发音管长，且“徵”的发音管长度∶“宫”的发音管长度，那么_____。
【答案】
【思路引导】首先依据“徵的发音管长度比宫长”，把宫的长度看作单位“1”，得出徵的长度为1＋＝，进而转化得到徵与宫的长度比为；接着结合题目给出的比例，根据比例的基本性质“内项积等于外项积”列出方程，求出未知数b的值。
【规范解答】徵与宫的长度比∶（1＋）＝＝
所以。
【考点剖析】先是把“徵比宫长”的分数关系，转化为“徵∶宫＝4∶3”的最简整数比；接着借助比例的基本性质，把比例式转成方程求出未知数b的值。
题型二十 常见的量
【典例精讲】（2025·重庆江北·小升初真题）在一个圆形时钟的表面，为指针的旋转中心，表示秒针，表示分针，若现在的时间恰好是14点整，当的面积刚好达到最大值时，经过( )秒。
【答案】
/
【思路引导】由题可知，在三角形AOB中，秒针OA和分针OB的长度固定，当两针互相垂直时，三角形面积最大；14点整，两针重合指向12，秒针比分针多走90°时两针垂直，钟面一圈360°，分为60小格，多走度数÷钟面度数×总格数＝多走格数；秒针每秒走1小格，分针每分钟走1小格，1分钟＝60秒，1格÷60秒＝分针速度；秒针速度－分针速度＝速度差，多走格数÷速度差＝经过时间。
【规范解答】90°÷360°×60＝15（格）
1÷60＝（格/秒）
（格/秒）
（秒）
【变式训练1】（2025·河南郑州·小升初真题）2023年小坤的生日是星期六，那么2028年小坤的生日是（ ）。
A．星期五 B．星期六 C．星期天 D．星期五或星期六
【答案】D
【思路引导】年份（非整百的年份）能被4整除，那么就是闰年，不能被4整除，就是平年。所以2023年是平年，2024年是闰年，2025年是平年，2026年是平年，2027年平年，2028年是闰年。平年2月有28天，全年365天；闰年2月有29天，全年366天；
如果小坤的生日在2月28日之前，那么到2028年生日还有：（365＋366＋365＋365＋365）天，一周有7天，用总天数除以7，得出有多少周，余数有几天，则从星期六往后推算几天，得出2028年小坤生日星期几；
如果小坤的生日在2月28日之后，那么到2028年生日还有：（366＋365＋365＋365＋366）天，一周有7天，用总天数除以7，得出有多少周，余数有几天，则从星期六往后推算几天，得出2028年小坤生日星期几；据此分析即可
【规范解答】①当小坤的生日在2月28日之前：
365＋366＋365＋365＋365
＝731＋365＋365＋365
＝1096＋365＋365
＝1461＋365
＝1826（天）
1826÷7＝260（周）……6（天）
星期六往后数6天是星期五，则2028年小坤的生日是星期五。
②当小坤的生日在2月28日之后：
366＋365＋365＋365＋366
＝731＋365＋365＋366
＝1096＋365＋366
＝1461＋366
＝1827（天）
1827÷7＝261（周）
则2028年小坤的生日是星期六。
故答案为：D
【考点剖析】从2023年小坤的生日那天到2028年的生日那天，中间有多少天是解题的关键，所以根据小坤生日在2月28日之前和之后来分类讨论。
【变式训练2】（2025·重庆渝北·小升初真题）一辆汽车往线路上运送电线杆，从出发点装车，每次拉4根，线路上每两根电线杆间的距离为50米，共运了两次。装卸结束后返回原地共用了3小时，其中装一次车用30分钟，卸一根电线杆用5分钟，汽车运行时的平均速度是每小时24千米，则从出发点到第一根电线杆的距离是多少千米？
【答案】7.75千米
【思路引导】首先，需要计算汽车的行驶时间，可以通过总时间减去装车和卸车的时间得到。然后通过汽车的平均速度和行驶时间计算出总路程。接下来，需要计算每趟的路程，这包括从出发点到第一根电线杆的距离、第一根到第四根电线杆的距离、以及第四根到第八根电线杆的距离。最后，通过总路程减去每趟的路程，然后除以趟数，得到从出发点到第一根电线杆的距离。
【规范解答】总时间为3小时，装一次车用30分钟，卸一根电线杆用5分钟。
因此，装车和卸车的总时间为：
2×30＋2×4×5
＝60＋40
＝100（分钟）
100分钟＝小时
汽车的行驶时间为：（小时）
汽车行驶的总路程为：（千米）
第一趟和第二趟，起点到第一根电线杆跑了2次，所以第一根到第四根的距离来回共：
（4－1）×50×2
＝3×50×2
＝300（米）
300米＝0.3千米
第二趟，第四根到第八根的距离来回共：
4×50×2＝400（米）
400米＝0.4千米
所以起点到第一根的距离为：
（32－0.3－0.3－0.4）÷4
＝31÷4
＝7.75（千米）
答：从出发点到第一根电线杆的距离是7.75千米。
【考点剖析】解题的关键是分析每次运输电线杆的路程情况，算出汽车行驶的总时间和总路程。
题型二十一 典型应用题
【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）如果一个数从左到右各个数位上的数字依次增大，我们将这样的数就称之为“上升数”。把所有四位数的“上升数”从小到大排列，第40个“上升数”是（ ）。
A．1279 B．1389 C．1459 D．1567
【答案】C
【思路引导】由于四位数，那么千位上最小的是1，百位数是2，十位上是3，那么个位上的数要比3大，有6种情况；当千位和百位不变，十位是4的时候，个位有5种情况；当十位是5的时候，有4种情况，当十位是6的时候，有3种情况，当十位是7的时候，有2种情况，当十位是8的时候，有1种情况；当千位上是1，百位上是3，十位上是4的时候，个位上有5种情况，十位数是5的时候，个位有4种情况，十位数是6的时候，个位有3种情况，十位是7的时候，个位有2种情况，十位是8的时候，个位有1种情况，此时一共是6＋5＋4＋3＋2＋1＋5＋4＋3＋2＋1＝36种情况，当千位是1，百位是4，那么十位是5的时候，个位有4种情况，36＋4＝40，正好是第40个，也就是个位最大数字9的时候，即1459。
【规范解答】根据分析可知，如果一个数从左到右各个数位上的数字依次增大，我们将这样的数就称之为“上升数”。把所有四位数的“上升数”从小到大排列，第40个“上升数”是1459。
故答案为：C
【考点剖析】本题主要考查搭配问题，关键是要找出规律，确定千位，百位、十位上的数，据此找出规律。
【变式训练1】（2025·湖南长沙·小升初真题）物流运输车要在A城市和B城市之间进行往返，计划以同样的速度行驶。因天气原因，从A城市出发前往B城市，车速降为原来的，结果晚了112.5分钟；从B城市返回A城市时，按原计划的速度行驶270千米后，将车速度降低了，结果晚了3小时到达A城市。A、B两座城市之间的距离是多少？
【答案】1350千米
【思路引导】从A城市出发前往B城市，车速降为原来的，则去时速度∶原来车速＝8∶9，则去时时间∶原来时间＝9∶8，晚的时间112.5分钟除以份数（9－8）再乘原来时间的份数8即可运算原来的时间；
返回时车速度降低了，则回来车速∶原来车速＝4∶5，则回来时间∶原来时间＝5∶4，则用晚点时间份数（5－4）再乘原来时间对应的份数4份即可求出原来的时间，先以原速行驶270千米，剩余距离以降速行驶，并基于晚点时间3小时推导，用距离270千米除以时间差即可求出原来的车速，用原来的车速乘原来的行驶时间即可求出距离。
【规范解答】112.5÷（9－8）×8
＝112.5÷1×8
＝900（分钟）
3×60÷（5－4）×4
＝180÷1×4
＝720（分钟）
270÷（900－720）
＝270÷180
＝1.5（千米/分钟）
1.5×900＝1350（千米）
答：A、B两城相距1350千米。
【考点剖析】路程一定时，速度与时间成反比。
【变式训练2】（2025·重庆渝北·小升初真题）甲、乙两人在同一条椭圆形跑道上做特殊训练。他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑。每人跑完第一圈到达出发点后，立即回头加速跑第二圈。跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度提高了，已知甲、乙两人第二次相遇点距第一次相遇点190米。这条椭圆形跑道长多少米？
【答案】
400米
【思路引导】根据题意：第一圈乙速是甲速的；甲第二圈速度提高，乙第二圈速度提高。同时同地反向出发，跑完第一圈后回头跑第二圈，存在“反向跑→同向跑”的运动状态变化。且第二次相遇点距第一次相遇点190米，需通过路程比定位两次相遇点的位置，再结合距离差求跑道长。先设甲第一圈速度为基准值，推导两人各阶段速度；再分“第一次相遇”“跑完第一圈”“第二次相遇”三个阶段，计算各阶段的路程与位置；最后通过两次相遇点的位置差求解。
【规范解答】设椭圆形跑道长度为S，乙速是甲速的，设甲跑第一圈的速度为，则乙跑第一圈的速度为。
第一次相遇（反向跑）
两人反向跑，速度比，路程比与速度比一致。
总路程为S，则甲跑了S，乙跑了S。
第一次相遇点：距离出发点S处。
跑完第一圈的位置与速度变化
甲跑第一圈的时间：，此时乙跑的路程：，还剩跑完第一圈。
乙跑完剩余的时间：。
甲第二圈速度：
在时间内甲跑第二圈的路程：。
此时状态：甲在第二圈处（往回跑），乙回到出发点，开始跑第二圈，乙第二圈速度：
两人变为相向跑（甲向出发点跑，乙向甲的反方向跑）。
第二次相遇（相向跑）
两人此时的距离：，速度和为。
相遇时间：。
乙在时间内跑的路程：。
第二次相遇点：距离出发点（乙的起跑方向）。
结合距离差求跑道长
答：椭圆形跑道长度为400米。
【考点剖析】行程问题中，时间相同时，路程比等于速度比。环形跑道中出现“回头跑”时，需拆分“跑第一圈”“跑第二圈”的阶段，分别分析速度、路程、位置的变化，避免整体分析导致的逻辑混乱。两次相遇点的距离需结合跑道的环形特性，以“出发点”为基准，统一位置表述，再计算差值建立方程，这是解环形跑道相遇问题的关键步骤。
题型二十二 平面图形的认识与测量
【典例精讲】（2025·重庆江北·小升初真题）下图中四边形ABCD是梯形，四边形ABED是平行四边形，已知部分面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是___________平方厘米。
【答案】4
【思路引导】此题需要添加一条辅助线，先连接AE，根据平行四边形两个已知部分的面积计算出平行四边形的面积，再求出三角形AED的面积，三角形AED的面积等于与它等底等高的平行四边形，即平行四边形ABED的面积的一半。由题意可知，三角形AED和三角形ACD是等底等高的三角形，面积相等。阴影部分的面积等于三角形ACD的面积减去8。
【规范解答】如图：平行四边形ABED的面积是16＋8＝24（平方厘米）
连接AE，三角形AED的面积是24÷2＝12（平方厘米）
四边形ABCD是梯形，所以AD∥BC，所以三角形AED和三角形ACD是等底等高的三角形，面积相等。
阴影部分的面积是12－8＝4（平方厘米）
【考点剖析】此题考查以下两个核心知识点：
1.三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半，即平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形；
2.平行线间的距离处处相等，因此以平行线间线段为底的三角形的高相等，等底等高的三角形面积相等。
【变式训练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）求阴影部分的面积是多少平方分米？
【答案】25.12平方分米
【思路引导】通过观察图形可知，阴影部分的面积可用四分之一圆与空白的半圆的面积差来求。正方形的边长是8分米，则四分之一圆的半径为8分米，空白的半圆的直径为8分米，半径为（8÷2）分米；再根据圆的面积S＝πr2，分别计算四分之一圆的面积和空白的半圆的面积，最后相减得到阴影部分的面积。
【规范解答】3.14×82×
＝3.14×64×
＝200.96×
＝50.24（平方分米）
3.14×（8÷2）2×
＝3.14×42×
＝3.14×16×
＝50.24×
＝25.12（平方分米）
50.24－25.12＝25.12（平方分米）
所以，阴影部分的面积是25.12平方分米。
【考点剖析】通过将不规则的阴影部分转化为熟悉的规则图形的面积差是解答本题的关键。
【变式训练2】（2025·浙江宁波·小升初真题）如图，圆的半径为4dm，四边形OABC为梯形，求阴影部分的面积？
【答案】45.12dm2
【思路引导】阴影部分的面积等于圆面积加上右下角不规则图形的面积，右下角不规则图形的面积等于直角梯形的面积减去圆面积，根据“梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2以及圆面积＝πr2”即可解答本题。
【规范解答】×3.14×42＋（4＋6）×4÷2－
＝3×3.14×4＋10×2－3.14×4
＝37.68＋20－12.56
＝45.12（dm2）
阴影部分的面积是45.12dm2。
【考点剖析】阴影部分的面积等于圆面积加上右下角不规则图形的面积，右下角不规则图形的面积等于直角梯形的面积减去圆面积。
题型二十三 立体图形的认识与测量
【典例精讲】（2025·重庆渝北·小升初真题）有一个像如图那样的长方体容器，现在以每秒0.75升的速度向这个容器注水，容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将容器隔为A、B两个部分，B部分有一个洞，水按一定的流量往下漏，图①是表示从注水开始A部分的水的高度变化的图像，回答下面的问题：
（1）求图①中D表示的数；
（2）从B的洞中每秒钟流出来多少升水；
（3）求图①中P、Q表示的数。
【答案】（1）15
（2）0.3升
（3）P：54；Q：30
【思路引导】（1）将注水速度0.75升转化为立方厘米，因为1升等于1000立方厘米，所以0.75升为0.75×1000＝750立方厘米。前15秒注入的水的体积为：750×15＝11250（立方厘米）。A部分的长是25厘米，宽是30厘米，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，可得A部分水的高度D为：11250÷（25×30）＝15（厘米）。
（2）15秒到30秒，共30－15＝15秒，注入的水的体积为：750×15＝11250（立方厘米），因为1升＝1000立方厘米，即11250÷1000＝11.25升。B部分的长是15厘米，宽是30厘米，高度上升了15厘米，B中存水的体积为：15×30×15＝6750（立方厘米），即6750÷1000＝6.75升。那么漏出的水的体积为：11.25－6.75＝4.5（升）。所以每秒钟漏出的水量为：4.5÷15＝0.3（升）。
（3）求P的值：已知D是15厘米，从15到24厘米，上升的高度是24－15＝9厘米，那么上升的体积是（25＋15）×30×9＝10800立方厘米，即10800÷1000＝10.8升。B的洞每秒漏水为0.3升，每秒实际注水为0.75－0.3＝0.45升，要注满10.8升水所用的时间为10.8÷0.45＝24秒，再加上30秒就是P所示的时间，即24＋30＝54秒。
求Q的值：从54秒到70秒，用时70－54＝16秒。注入的水的体积为0.45×16＝7.2升，即7.2×1000＝7200立方厘米，容器的底面积是（25＋15）×30＝1200平方厘米，所以水上升的高度为7200÷1200＝6（厘米）。所以Q为24＋6＝30（厘米）。
【规范解答】（1）1升＝1000立方厘米
0.75×1000＝750立方厘米
750×15＝11250（立方厘米）
11250÷（25×30）
＝11250÷750
＝15（厘米）
答：图①中D表示的数是15。
（2）30－15＝15（秒）
750×15＝11250（立方厘米）
11250÷1000＝11.25（升）
15×30×15＝6750（立方厘米）
6750÷1000＝6.75（升）
11.25－6.75＝4.5（升）
4.5÷15＝0.3（升）
答：从B的洞中每秒钟流出来0.3升水。
（3）P：24－15＝9（厘米）
（25＋15）×30×9
＝40×30×9
＝1200×9
＝10800（立方厘米）
10800÷1000＝10.8（升）
0.75－0.3＝0.45（升）
10.8÷0.45＝24（秒）
24＋30＝54（秒）
Q：70－54＝16（秒）
0.45×16＝7.2（升）
7.2×1000＝7200（立方厘米）
（25＋15）×30
＝40×30
＝1200（平方厘米）
7200÷1200＝6（厘米）
24＋6＝30（厘米）
答：图①中P表示的数是54，Q表示的数是30。
【考点剖析】本题通过分析注水图像，结合长方体体积公式，分别对A、B部分的注水、漏水情况进行分析计算。先根据A部分早期注水情况求出D，再根据B部分单独注水时的情况求出漏水速度，最后根据A、B相通后的注水情况求出P，根据容器结构求出Q。
【变式训练1】（2025·浙江宁波·小升初真题）下图展示了一款饮料纸杯的设计图，纸张厚度以及连接处忽略不计。
根据图中信息，解决下列问题。（计算结果用含的算式表示）
（1）制作一个这样的纸杯，使用的纸张面积是多少平方厘米？
（2）用这款纸杯能装下400毫升的饮料吗？请通过计算说明理由。
【答案】（1）平方厘米
（2）这款纸杯能装下400毫升的饮料，见详解。
【思路引导】（1）对于展开图中的扇形，大圆半径为10厘米＋20厘米，小圆半径为20厘米，根据圆心角的度数确定这个扇形面积是整个大圆的几分之几即，杯身的面积＝，则杯身侧面展开面积＋底面圆面积即可知道使用的纸张面积；
（2）纸杯的容积＝大圆锥体积－小圆锥体积，利用比例可知大圆锥的高，大圆锥的底面半径为9厘米的一半，小圆锥的底面半径为6厘米的一半，据此即可求解纸杯的容积，再与400毫升比较即可知道这款纸杯是否能装下400毫升的饮料。
【规范解答】（1）
答：制作一个这样的纸杯，使用的纸张面积是平方厘米。
（2）9÷2＝4.5（厘米）
6÷2＝3（厘米）
因为
所以
纸杯体积：
因为
答：这个杯子能装下400毫升的饮料。
【考点剖析】求解扇形的面积，通过扇形对应的圆心角构建扇形与圆形的关系，扇形的面积＝。
【变式训练2】（2025·浙江宁波·小升初真题）有一个长方体储碗柜，内部尺寸如图1。现在柜子里放置相同规格的碗，其中2只碗和6只碗叠起来的高度如图2所示。
(1)若有只碗叠起来，它的高度是( )cm（用含有字母的式子表示）。
(2)若按图所示摆放，这个储碗柜最多可摆放( )只这种规格的碗。
【答案】(1)1.5n＋4.5
(2)75
【思路引导】（1）观察图2，6只碗叠起来的高度－2只碗叠起来的高度＝4只碗露出部分的高度，除以4求出叠起来1只碗露出部分的高度，2只碗叠起来的高度－1只碗露出部分的高度＝1只碗的高度，根据总高度＝（碗的数量－1）×1只碗露出部分的高度＋1只碗的高度，用字母表示出n只碗的高度即可；
（2）根据第（1）题的分析，可得碗的数量＝（总高度－1只碗的高度）÷1只碗露出部分的高度＋1（结果用去尾法保留整数），求出每叠碗的数量，储碗柜的长÷碗的宽度＝沿长放的数量，储碗柜的宽÷碗的宽度＝沿宽放的数量，沿长放的数量×沿宽放的数量×每叠碗的数量＝这个储碗柜最多可摆放的数量，据此列式计算。
【规范解答】（1）（13.5－7.5）÷（6－2）
＝6÷4
＝1.5（cm）
7.5－1.5＝6（cm）
（n－1）×1.5＋6
＝1.5n－1.5＋6
＝（1.5n＋4.5）cm
若有只碗叠起来，它的高度是（1.5n＋4.5）cm。
（2）（13－6）÷1.5＋1
＝7÷1.5＋1
≈4＋1
＝5（只）
60÷12＝5（只）
36÷12＝3（只）
5×3×5＝75（只）
这个储碗柜最多可摆放75只这种规格的碗。
【考点剖析】关键是看懂图示，先求出1只碗的高度。
题型二十四 图形的拼组
【典例精讲】（2025·河南郑州·小升初真题）如下图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长1厘米的正方体，做成一种玩具，它的表面积是( )平方厘米。
【答案】120
【思路引导】正方体的表面积＝6×边长×边长，代入计算出正方体原表面积，因为前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长1厘米的正方体，相当于每个小正方体的地方都增加了4个面，每个面的面积＝边长×边长。
【规范解答】正方体的表面积：
6×4×4
＝24×4
＝96（平方厘米）
6个小正方体增加的面积：
6×4×1×1
＝24×1×1
＝24×1
＝24（平方厘米）
96＋24＝120（平方厘米）
所以它的表面积是120平方厘米。
【考点剖析】本题考查了正方体的表面积，点睛之处在于，在挖掉一个小正方体后，需要弄清楚与之前对比表面积是增加了还是减少了，因为挖进去后的正方体有5个面，所以实际上对比之前增加了4个面，所以表面积会等于原表面积加上6个正方体增加的面，也就是24个小正方形。
【变式训练1】（2025·吉林长春·小升初真题）阅读理解：一张长方形纸片，剪下一个正方形，剩下一个长方形，称为第一次操作；在剩下的长方形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个长方形，称为第二次操作；……；若在第n次操作后，剩下的长方形为正方形，则称原长方形为n阶奇异长方形，如图1，长方形ABCD中，若AB＝3，BC＝9，则称长方形ABCD为2阶奇异长方形。
（1）判断与操作：如图2，长方形ABCD长为7，宽为3，它是奇异长方形吗？如果是，请写出它是几阶奇异长方形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由。
（2）探究与计算：已知长方形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异长方形，请画出长方形ABCD及裁剪线的所有可能的示意图，并在图的下方写出a的值。（备注：请同学自己画出相应的长方形ABCD及裁剪线的示意图）
【答案】（1）它是4阶奇异长方形，画图见详解：
（2）见详解
【思路引导】（1）按“每次剪去正方形（边长＝剩余长方形的宽）”的规则操作，直到剩下正方形，统计操作次数。
（2）3阶操作后剩正方形，需逆向推导（从第3次操作后的正方形，反向推每次操作前的长方形边长）。
【规范解答】（1）第1次：长7、宽3，剪边长为3的正方形，剩余长方形长3、宽；
第2次：长4、宽3，剪边长为3的正方形，剩余长方形长3、宽；
第3次：长3、宽1，剪边长为1的正方形，剩余长方形长1、宽；
第4次：长2、宽1，剪边长为1的正方形，剩余长方形为边长1的正方形；
共操作4次，是4阶奇异长方形。
画图如下：
（2）裁剪的示意图如下：
【考点剖析】本题是四边形综合题，考查了长方形性质，正方形性质，寻找规律的应用，主要考查学生的变换能力，注意要分类讨论。
【变式训练2】（2025·湖北武汉·小升初真题）我市游泳健身中心的室内泳池长50米，宽 25米。
（1）最浅处水深1.2米，最深处水深1.6米。
（2）“泳池的容积是多少立方米？”对这一数学问题以下两位同学展开了讨论。
请根据他们的思考过程解决问题。
①小朱同学：“它不是一个长方体，但可以通过割或补的方法（如下图），就可以变成长方体了。所以它的容积大小范围就在（ ）立方米和（ ）立方米之间。”
②小峰同学：“两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体（如下图）。这样就能计算出它的容积啦。”
请根据小峰的方法计算该泳池的容积。
【答案】①1500；2000
②1750立方米
【思路引导】①根据长方体的体积＝长×宽×高；割去一部分是指使该泳池变成高为泳池最浅处水深1.2米的长方体，底面积不变；则该长方体体积为50×25×1.2＝1500（立方米）
补上一部分是指使该泳池变成高为泳池最深处水深1.6米的长方体，底面积不变；则该长方体体积为50×25×1.6＝2000（立方米）
泳池体积最小为：被割去一部分之后的体积，最大为：被补上一部分之后的体积，所以它的容积大小范围就在1500立方米和2000立方米之间。
②两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体，则该长方体的高为1.6＋1.2＝2.8米，底面积不变；则该长方体体积为50×25×2.8＝3500（立方米），再用长方体的体积除以2即可求出泳池的容积。
【规范解答】①50×25×1.2
＝1250×1.2
＝1500（立方米）
50×25×1.6
＝1250×1.6
＝2000（立方米）
所以它的容积大小范围就在1500立方米和2000立方米之间。
②1.6＋1.2＝2.8（米）
50×25×2.8
＝1250×2.8
＝3500（立方米）
3500÷2＝1750（立方米）
答：泳池的容积是1750立方米。
【考点剖析】本题的解题关键是灵活运用长方体的体积（容积）公式解决实际问题。
题型二十五 图形与变换
【典例精讲】（2025·河南郑州·小升初真题）图每个小正方形的边长为1厘米，请按要求填空或作图。
（1）图中点C的位置可以用数对（______，______）表示。
（2）请将图中三角形ABC绕点C逆时针旋转90度，画出旋转后的图形。
（3）上题三角形ABC旋转时，点A转动了______厘米。
（4）以边为中心轴三角形旋转一周，旋转后得到的立体图形体积是______立方厘米。
【答案】（1）（2，5）
（2）见详解
（3）6.28
（4）50.24
【思路引导】（1）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。
（2）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。
（3）点A转动了半径4厘米的圆周长的，根据圆的周长＝2×圆周率×半径，求出圆的周长，再乘即可。
（4）以边为中心轴三角形旋转一周，旋转后得到的立体图形是圆锥，圆锥的半径4厘米，高3厘米，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式计算即可。
【规范解答】（1）图中点C的位置可以用数对（2，5）表示。
（2）
（3）2×3.14×4×
＝6.28×（4×）
＝6.28×1
＝6.28（厘米）
上题三角形ABC旋转时，点A转动了6.28厘米。
（4）3.14×42×3÷3
＝3.14×16×3÷3
＝50.24（立方厘米）
旋转后得到的立体图形体积是50.24立方厘米。
【变式训练1】下面每个小正方形的边长表示1厘米，请按要求完成下列各题。
（1）三角形顶点A用数对表示是（ ， ），顶点B用数对表示是（ ， ）。
（2）把三角形ABC向下平移5格，再向左平移4格，画出平移后的图形。
（3）把三角形ABC按2∶1放大，画出放大后的图形。
（4）画出三角形ABC绕C点顺时针旋转90°的图形。
（5）把三角形ABC绕AC轴旋转一周形成的物体是（ ），体积是（ ）立方厘米。
【答案】（1）（10，5）；（13，7）
（2）见详解
（3）见详解
（4）见详解
（5）圆锥；12.56
【思路引导】（1）用数对表示位置，数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；三角形顶点A在第10列第5行，顶点B在第13列第7行，用数对表示出顶点A、B的位置。
（2）根据平移的特征，将三角形ABC的各顶点分别先向下平移5格，再向左平移4格，依次连接即可得到平移后的图形。
（3）三角形ABC按2∶1放大，即三角形ABC的各边都扩大到原来的2倍，由此求出放大后三角形的底和高，画出放大后的三角形。
（4）根据旋转的特征，将三角形ABC绕C点顺时针旋转90°，点C位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。
（5）把三角形ABC绕AC轴旋转一周形成的物体是圆锥，那么AC等于圆锥的高，BC等于圆锥的底面半径；根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求出这个圆锥的体积。
【规范解答】（1）三角形顶点A用数对表示是（10，5），顶点B用数对表示是（13，7）。
（2）把三角形ABC向下平移5格，再向左平移4格，平移后的图形如图中红色三角形；
（3）放大后的三角形的底是：3×2＝6（厘米）
放大后的三角形的高是：2×2＝4（厘米）
放大后的图形如图中绿色三角形。
（4）三角形ABC绕C点顺时针旋转90°后的图形如图中蓝色三角形。
（5）把三角形ABC绕AC轴旋转一周形成的物体是圆锥；
圆锥的体积：
×3.14×22×3
＝3.14×4
＝12.56（立方厘米）
【考点剖析】掌握用数对表示位置、作平移后的图形、作旋转后的图形、作放大图形的作图方法，以及明确直角三角形旋转成圆锥，圆锥的底面半径和高与直角三角形直角边的关系，然后运用圆锥体积公式列式计算。
【变式训练2】根据要求填一填，画一画。（每个小正方形边长表示1厘米）
（1）点A用数对表示是（ ），点A在点B的（ ）偏（ ）（ ）°方向上。
（2）将三角形绕点C顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形。旋转后点A用数对表示是（ ）。
（3）设计一个轴对称图形，面积与上图的三角形面积相等。
（4）过长方形其中一条边上的某一点画一条线段，把长方形分成一个三角形和一个梯形，使它们的面积比为1∶3。
【答案】（1）（6，8），东，北45°；
（2）（10，4）画图见详解；
（3）（4）见详解
【思路引导】（1）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，即可用数对表示出点A的位置。根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以点B的位置为观测点，即可确定点A的方向。
（2）根据旋转的特征，三角形ABC绕点C顺时针旋转90°，点C的位置不动，这个图形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。根据旋转后点A所在的列、行，即可用数对表示出点A的位置。
（3）画法不唯一。根据三角形的面积计算公式“S＝ah”，长方形面积计算公式“S＝ab”，画一个长与三角形底相等，宽为三角形高的，其面积与三角形面积相等，且长方形为轴对称图形，过对边中点的直线，就是它的对称轴。
（4）画法不唯一。根据梯形面积计算公式“S＝（a＋b）h”、三角形的面积计算公式“S＝ah”，把长方形一组对边的长度之和平均分成（1＋3）份，用除法求出1份（三角形底）的长度，再用乘法求出3份（梯形上、下底之和）的长度，三角形面积与梯形的面积之比就是1∶3。
【规范解答】（1）点A用数对表示是（6，8），点A在点B的东偏 北45°方向上。
（2）将三角形绕点C顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形（下图蓝色部分）。旋转后点A用数对表示是（10，4）。
（3）设计一个轴对称图形，面积与上图的三角形面积相等（下图红色部分，画法不唯一）。
（4）过长方形其中一条边上的某一点画一条线段，把长方形分成一个三角形和一个梯形，使它们的面积比为1∶3（下图红色线段）。
【考点剖析】此题考查的知识点：数对与位置、根据方向确定物体的位置、作旋转一定度数后的图形、轴对称图形的特征、三角形面积的计算、梯形面积的计算等。
题型二十六 位置与方向
【典例精讲】（2025·浙江杭州·小升初真题）著名数学家笛卡尔通过观察蜘蛛结网的动作，想到了用坐标来确定空间中的位置。他画了三条互相垂直的直线，用交点表示空间内的蜘蛛，从而发明了现代数学的基础工具之一——坐标系。例如，下图中蜘蛛原本在点A（4，5，3）的位置，现在爬到了点B( )的位置。
【答案】（2，3，3）
【思路引导】由图可知，点A在x轴方向对应的刻度为4，在y轴方向对应的刻度为5，在z轴方向对应的刻度为3，表示为（4，5，3），因此空间点的位置可以 （x轴坐标，y轴坐标，z轴坐标）表示，据此解答。
【规范解答】观察图形，点B在x轴方向对应的刻度为2，在y轴方向对应的刻度为3，在z轴方向对应的刻度为3，所以点B的位置为（2，3，3）。
综上，蜘蛛原本在点A（4，5，3）的位置，现在爬到了点B（2，3，3）的位置。
【考点剖析】空间中点的坐标由“x轴坐标、y轴坐标、z轴坐标”三部分组成，需分别读取点在三条互相垂直的坐标轴上对应的刻度值，再按“（x，y，z）”的格式组合即可确定坐标。
【变式训练1】（1）小明家在学校（ ）偏（ ）度的方向上，距离是600米，这幅图的比例尺是（ ）。（图上距离测量结果取整厘米数）
（2）少年宫在小明家正东面的方向上，距离是750米，请在图中画出少年宫的位置。
【答案】（1）西；南45；1∶30000
（2）见详解
【思路引导】（1）以学校为观测点，图上的“上北下南，左西右东”为准，经过测量，小明家在学校西偏南45度的方向上，图上距离是2厘米；根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，求出为幅图的比例尺；注意单位的换算：1米＝100厘米。
（2）以小明家为观测点，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，求出少年宫与小明家的图上距离，根据方向和距离，确定少年宫在图上的位置。
【规范解答】（1）经过测量可得：小明家在学校西偏南45度的方向上；（答案不唯一）
图上距离为2厘米（以实际测量为准）；
比例尺是：
2厘米∶600米
＝2厘米∶（600×100）厘米
＝2∶60000
＝（2÷2）∶（60000÷2）
＝1∶30000
（2）750米＝75000厘米
75000×＝2.5（厘米）
少年宫到小明家的图上距离为2.5厘米。
以小明家为观测中心，少年宫在小明家正东方向2.5厘米处，少年宫的位置如图所示。
（以实际测量为准）
【考点剖析】本题考查位置与方向的相关知识，找准观测点，根据方向和距离确定位置；灵活运用图上距离、实际距离、比例尺之间的关系，利用比例尺画图。
【变式训练2】根据新华社资料显示，在疫情防控常态背景下，旅游消费呈现出显著的本地化、小半径特征，周边游、本地游、露营成为今年“微度假”主流。
假期，奇奇随爸爸妈妈和朋友一起去郊区露营，并策划了一个定向越野活动。
（1）通过实地考察，越野项目是从帐篷的位置出发，向北偏东45°方向跑210米，到一棵大树下插上小红旗，记为点A，请在如图中标出点A；再跑到点B（L，6），拍照打卡，请在如图中标出点B。最后按原路返回帐篷的位置。（小正方形的边长为1个单位长度，代表实际距离50米，对角线是1.4个单位长度，代表实际距离70米。）
（2）请在横线上描述出从点B返回帐篷位置的路线： 。
（3）奇奇发现很多帐篷从侧面观察都近似于三角形，这是因为三角形具有（ ）性。
【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）稳定
【思路引导】（1）以图上方向“上北下南，左西右东”为准，以帐篷的位置为观测点，即可确定大树的方向；根据帐篷与大树相距210米，每条小方格的对角线为70米，则画（210÷70）个对角线的长度，即可确定大树的位置。根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，即可确定拍照打卡的位置。
（2）以点B的位置为观测点，即确定点A的方向，根据点B到点A的格数及每格代表的实际距离计算出点B与点A的距离；根方向的相对性质，以帐篷的位置为观测点看A与以A的位置看帐篷的位置方向完全相反，所偏的度数及距离不变。
（3）帐篷从侧面观察都近似于三角形，是因为三角形具有稳定性质。
【规范解答】（1）210÷70＝3（个）
如图：
（2）50×3＝150（米）
从点B返回帐篷位置的路线：从点B向西走150米到达点A，再向南偏西45°方向走210米到达帐篷。
（3）奇奇发现很多帐篷从侧面观察都近似于三角形，这是因为三角形具有稳定性。
【考点剖析】本题考查用数对表示位置、根据方向和距离确定物体的位置、描述路线图、三角形的稳定性。
题型二十七 测量
【典例精讲】（2025·河南郑州·小升初真题）用一张长6分米，宽3分米的长方形纸（厚度不计）围成一个容积最大的圆柱体，这个圆柱体的容积约为______升。（取3）
【答案】9
【思路引导】长方形纸围圆柱体可围成两种形状的圆柱体：
情况1：以长方形的长6分米为圆柱的底面周长，宽3分米为圆柱的高；
情况2：以长方形的宽3分米为圆柱的底面周长，长6分米为圆柱的高；
先根据底面周长公式求出底面半径；再根据圆柱的体积公式，代入对应的半径和高的值算出体积；最后比较两种情况下体积的大小，选出容积较大的圆柱体即可。
【规范解答】情况1：以长方形的长6分米为圆柱的底面周长，宽3分米为圆柱的高：
6（2）
＝6（23）
＝66
＝1（分米）
3 3
＝33
＝9（立方分米）
情况2：以长方形的宽3分米为圆柱的底面周长，长6分米为圆柱的高：
3（2）
＝3（23）
＝36
＝0.5（分米）
3 6
＝30.256
＝4.5（立方分米）
9＞4.5，所以容积最大的圆柱体体积是9立方分米，又因为1立方分米＝1升，所以容积约为9升。
【考点剖析】这道题的易错点在于容易把长方形围成圆柱的两种情况考虑不全，同时还要注意通过底面周长求半径的这个思想转换，以及求圆柱体积时要分清不同情况下的半径和高的值，避免代入出错导致体积计算出错。
【变式训练1】（2025·湖北十堰·小升初真题）小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是10厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米）
【答案】1570毫升
【思路引导】瓶子的容积等于瓶子正放时的水的体积加上瓶子倒放时上面空的部分的体积，这两部分都是圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h解决。1立方厘米＝1毫升。
【规范解答】10÷2＝5（厘米）
3.14×52×15＋3.14×52×（30－25）
＝3.14×25×15＋3.14×25×（30－25）
＝3.14×25×15＋3.14×25×5
＝1177.5＋392.5
＝1570（立方厘米）
1570立方厘米＝1570毫升
答：这个瓶子的容积是1570毫升。
【考点剖析】瓶子的容积等于水的体积加上空的部分的体积，把瓶子倒放时，空的部分正好是圆柱，根据圆柱体积公式。算出水的体积和空的部分的体积之和就是瓶子的容积。
【变式训练2】（2025·吉林长春·小升初真题）有一个像如图①那样的长方体容器，现在以每秒0.75升的速度向这个容器注水。容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将容器隔为A、B两个部分。B部分有一个洞，水按一定的流量往下漏。图②是表示从注水开始A部分的水的高度变化的图象。回答下面的问题：
（1）求图②中D表示的数；
（2）从B的洞中每秒钟流出多少升水；
（3）图②中P表示的数为（ ），Q表示的数为（ ）。
【答案】（1）15
（2）0.3升
（3）54；30
【思路引导】（1）1升＝1000立方厘米，先将注水速度0.75升换算成750立方厘米。由图②可知，用750×15计算出前15秒注入A部分的水的体积，根据“长方体的体积＝长×宽×高”代入A部分的长、宽和前15秒注入A部分的水的体积，即可计算高度D表示的数。
（2）由图②可知，从第15秒到第30秒之间，A部分高度保持不变，B部分开始边蓄水边漏水，注水时间为15秒，注入的水的体积为750×15立方厘米，用30×15×15求出B部分的水上升到挡板高度时的体积，再用750×15减30×15×15即可计算出15秒内漏掉的水，用漏掉的水除以15即可计算洞中每秒流出的水（注意单位换算）；
（3）由图②可知，用（24－15）计算出第30秒到第P秒长方体容器内整体上升的高度为9厘米，长方体容器的长为（25＋15）厘米，宽为30厘米，用（25＋15）×30×9计算出第30秒到第P秒长方体容器内水上升的体积为10800立方厘米即10.8升；根据“注水速度－流出的速度＝实际注水速度”计算出长方体容器每秒实际储存的水为0.45升；用10.8÷0.45可计算注10.8升水所用的时间为24秒；最后用24加30就是P所表示的时间数54。
从54秒到70秒，用时16秒。注入的水的体积为0.45×16＝7.2升即7200立方厘米，用7200除以容器的底面积即可求出第54秒到第70秒上升的高度，再加上24即可求Q表示的数。据此解答。
【规范解答】（1）0.75升＝750立方厘米
750×15÷（25×30）
＝750×15÷750
＝750÷750×15
＝1×15
＝15（厘米）
答：图②中D表示的数是15。
（2）（750×15－30×15×15）÷15
＝（11250－6750）÷15
＝4500÷15
＝300（立方厘米）
300立方厘米＝0.3升
答：从B的洞中每秒钟流出0.3升水。
（3）（25＋15）×30×（24－15）
＝40×30×9
＝10800（立方厘米）
10800立方厘米＝10.8升
0.75－0.3＝0.45（升）
10.8÷0.45＋30
＝24＋30
＝54（秒）
即P表示的数为54。
（70－54）×0.45
＝16×0.45
＝7.2（升）
7.2升＝7200立方厘米
7200÷[（25＋15）×30]＋24
＝7200÷[40×30]＋24
＝7200÷1200＋24
＝6＋24
＝30（厘米）
即Q表示的数为30。
图②中P表示的数为54，Q表示的数为30。
【考点剖析】本题通过分析注水图象，结合长方体体积公式，分别对A、B部分的注水、漏水情况进行分析计算。重点分析图②中每个时间段内容器内水量的变化。
题型二十八 统计
【典例精讲】赵师傅向下图所示的空容器（由上、下两个圆柱组成）中匀速注油，注满结束。注油过程中，容器中油的高度与所用时间的关系如图所示。
(1)把下面的大圆柱注满需( )分钟。
(2)上面小圆柱高( )厘米。
(3)如果下面的大圆柱底面积是48平方厘米，那么大圆柱的体积是多少立方厘米？上面小圆柱的底面积是多少平方厘米？
【答案】(1)
(2)30
(3)960立方厘米；16平方厘米
【思路引导】（1）根据图像的高度判断，两段图像分别对应的是向大圆柱和小圆柱注油的过程；图像发生转折的时间，即为大圆柱注满的时间。
（2）用最终高度减去大圆柱注满的高度，即可求出小圆柱的高；
（3）根据圆柱的体积＝底面积×高，求出大圆柱的体积即可。先用大圆柱的体积除以注满大圆柱的时间，计算出注油的速度，即每分钟注油的多少立方厘米；再计算出注满小圆柱所用的时间，二者相乘即可得出小圆柱的体积；最后用小圆柱的体积除以小圆柱的高度，求出小圆柱的底面积。
【规范解答】（1）由图可知，前一段油的高度较低，所对应的是向大圆柱注油的过程。图像在分钟处发生了转折，即为大圆柱注满的时间。
（2）由图可知，后一段油的高度较高，所对应的是向小圆柱注油的过程。整个容器注满时的高度是50厘米，大圆柱注满的高度是20厘米，所以小圆柱高是50－20＝30（厘米）。
（3）大圆柱的体积：48×20＝960（立方厘米）
小圆柱的底面积：
=
=
=480（立方厘米）
480÷30＝16（平方厘米）
答：大圆柱的体积是960立方厘米，上面小圆柱的底面积是16平方厘米。
【考点剖析】本题主要考查根据图像获取信息的能力，通过分析图像中油的高度与时间的关系，确定大、小圆柱的高度。难点在于抓住“匀速注油”这一点，通过每分钟注油量，由大圆柱体积计算出小圆柱的体积，进而求出其底面积。
【变式训练1】（2025·浙江宁波·小升初真题）某日，王师傅开车上班的路上，经历了三种不同路况。下图1是已行的路程中三种路况占比统计图，下图2表示已行路程与时间的关系图。请根据图中信息解决下列问题。
（1）王师傅在通畅路段的速度是1.5千米／分，他以这样的速度共行驶了多少分钟？
（2）当王师傅开到处时，发现离上班时间只有7分钟了，如果余下的3千米路程还是这种严重拥堵的路状，王师傅会迟到吗？
【答案】（1）18分钟
（2）会迟到
【思路引导】（1）观察折线统计图，折线往上坡度越陡表示道路越通畅，折线往上坡度越缓表示道路越拥堵，由此可知已行的路程中三种路况是先通畅再轻度拥堵，最后严重拥堵。将已行的路程看作单位“1”，已行的路程×通畅路段对应百分率＝通畅路段的路程，通畅路段的路程÷对应速度＝通畅路段的行驶时间；
（2）将已行的路程看作单位“1”，1－通畅路段对应百分率－轻度拥堵路段对应百分率＝严重拥堵对应百分率，已行的路程×严重拥堵对应百分率＝严重拥堵路段的路程，终点时间－起点时间＝经过时间，据此计算出严重拥堵路段的行驶时间，严重拥堵路段的路程÷严重拥堵路段的行驶时间＝严重拥堵路段的行驶速度，严重拥堵路段的行驶速度×离上班还剩的时间＝可行驶路程，与余下的路程比较即可。
【规范解答】（1）45×60%÷1.5
＝45×0.6÷1.5
＝27÷1.5
＝18（分钟）
答：他以这样的速度共行驶了18分钟。
（2）45×（1－60%－28%）
＝45×0.12
＝5.4（千米）
5.4÷（53－38）
＝5.4÷15
＝0.36（千米/分钟）
0.36×7＝2.52（千米）
2.52＜3
答：王师傅会迟到。
【考点剖析】关键是看懂扇形和折线统计图，根据统计图中提供的信息找到解决问题需要的条件。
【变式训练2】（2024·福建厦门·小升初真题）《墨子•经下》中提到：“沉，荆之贝（具）也。则沉浅，非荆浅也，若易五之一。”这是我国最早有关浮力的记载。为了调查物体沉入水里的过程中浮力的变化情况，安安进行以下实验：
实验材料：底面半径2厘米的圆柱铁块、底面半径6厘米的圆柱容器（有出水口）、弹簧测力计、烧杯、水。
实验步骤：如图1，将适量水倒入容器中，此时水面高度与出水口持平，将空烧杯放置出水口处正下方；再将圆柱铁块绑在弹簧测力计下，然后将圆柱铁块从容器正上方（离地面18厘米处）向下缓慢移动，浸入水中。如图2，记录弹簧测力计的示数F拉力与铁块下降的高度的统计图。
（当铁块入水前，F拉力＝G重力；当铁块入水后，F拉力＝G重力－F浮力）
（1）观察上述实验，该铁块在刚好完全浸入水时，所受的浮力是（ ）N。
（2）实验的铁块的体积是多少立方厘米？（π取3.14）
（3）安安实验时，当弹簧测力计的示数是5.6N（F拉力＝5.6N）时，此时烧杯内的水有多少毫升？（π取3.14）
【答案】（1）0.8
（2）75.36立方厘米
（3）18.84毫升
【思路引导】（1）从图中可知，铁块的重力是5.8N，铁块下降12厘米时正好完全浸入水中，根据F浮力＝ G重力－F拉力，求出此时铁块所受的浮力，据此解答。
（2）根据题意和图意可知，铁块的体积等于底面半径是2厘米，高是（12－6）厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出铁块的体积。
（3）开始实验前，圆柱形容器内的水面高度与出水口持平，当把铁块缓慢浸入水中，溢出的水会流入容器右边的烧杯内，则浸入水中铁块的体积等于烧杯内水的体积；
当弹簧测力计的示数是5.6N时，铁块受到的浮力是5.8－5.6＝0.2N，由第一题可知，铁块完全浸入水时所受的浮力是0.8N，此时铁块下降了6厘米；据此求出铁块所受浮力0.2N时铁块下降的高度；然后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出此时烧坏内水的体积，并根据“1立方厘米＝1毫升”换算单位。
【规范解答】（1）5.8－5＝0.8（N）
答：该铁块在刚好完全浸入水时，所受的浮力是0.8N。
（2）3.14×22×（12－6）
＝3.14×4×6
＝75.36（立方厘米）
答：实验的铁块的体积是75.36立方厘米。
（3）5.8－5.6＝0.2（N）
6÷（0.8÷0.2）
＝6÷4
＝1.5（厘米）
3.14×22×1.5
＝3.14×4×1.5
＝18.84（立方厘米）
18.84立方厘米＝18.84毫升
答：此时烧杯内的水有18.84毫升。
【考点剖析】看懂弹簧测力计的示数F拉力与铁块下降的高度的关系图，从中获取信息，灵活运用圆柱的体积公式求解。
题型二十九 可能性
【典例精讲】把10—29这20个数分别写在20张完全相同的纸条上，做成纸团放在盒中混合，然后从中任意摸出一个纸团。那么：
①摸到质数与摸到合数的可能性一样大；( )
②摸到奇数与摸到偶数的可能性一样大；( )
③一定摸到比10大的数。( )
【答案】 × √ ×
【思路引导】①10—29这20个数中质数有：11、13、17、19、23、29共6个，合数有：10、12、14、15、16、18、20、21、22、24、25、26、27、28共14个，所以摸到质数小于摸到合数的可能性；
②10—29这20个数中奇数有：11、13、15、17、19、21、23、25、27、29共10个，偶数有10、12、14、16、18、20、22、24、26、28共10个，所以摸到奇数与摸到偶数的可能性相等；
③纸条上的20个数字包含了10，所以摸到的数有可能等于10。
【规范解答】①10—29这20个数中质数有6个，合数有14个，所以摸到质数小于摸到合数的可能性，所以“摸到质数与摸到合数的可能性一样大”的说法不正确。
故答案为：×
②10—29这20个数中奇数有10个，偶数有10个，所以摸到奇数与摸到偶数的可能性一样大，原说法正确。
故答案为：√
③10—29这20个数中包含了10，摸到的数有可能等于10，所以“一定摸到比10大的数”的说法不正确
故答案为：×
【考点剖析】解答此题的关键是找出10—29这些数中质数、偶数、奇数的个数，然后根据可能性的求法进行解答。
【变式训练1】在一个盒子中有除颜色外均相同的10个红球，8个绿球和一些黑球，从里面拿出一个球，拿出绿球的可能性小于，那么至少有( )个黑球。
【答案】7
【思路引导】假设摸出绿球的可能性等于，即盒子中球的总个数的是绿球的个数，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出盒子中球的总个数，然后减去盒子中红球和绿球的个数，即为盒子中黑球的个数；因为拿出绿球的可能性小于，所以用求出的黑球个数加1即可。
【规范解答】（个）
（个）
（个）
即，要使拿出绿球的可能性小于，那么至少有7个黑球。
【考点剖析】解答本题的关键在于理解：当摸出绿球的可能性等于时黑球的个数加1即为所求黑球的最小个数。
【变式训练2】（2025·湖北十堰·小升初真题）一个骰子六个面上分别有数字1，2，3，4，5，6，任意抛两次，上面的数字和是（ ）的可能性大。
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【思路引导】可以把选项中的几种情况列出来是由几加几构成的，第一个加数是第一个骰子，第二个加数是第二个骰子，据此分析：数字和是6的情况有：1＋5；2＋4；3＋3；4＋2；5＋1；有5种情况；数字和是7的情况有：1＋6；2＋5；3＋4；4＋3；5＋2；6＋1；有6种情况；数字和是8的情况有2＋6；3＋5；4＋4；5＋3；6＋2；有5种情况；数字和是9的情况有3＋6；4＋5；5＋4；6＋3；有4种情况；所以出现数字和是7的可能性大，据此解答。
【规范解答】根据分析可知，一个骰子六个面上分别有数字1，2，3，4，5，6，任意抛两次，上面的数字和是7的可能性大。
故答案为：B
【考点剖析】解答本题的关键是明确数字出现的次数多少。
题型三十 算式的规律
【典例精讲】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…。依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，点、、…在一条直线上，则点P从0跳动( )次可到达的位置。
【答案】903
【思路引导】看图可知，点P从0跳动6次到达的位置，6＝1＋2＋3；点P从0跳动21次到达的位置，21＝1＋2＋3＋4＋5＋6；……由此可知，跳动次数为从1开始连续整数的和，是从1开始连续3个整数的和，是从1开始连续（2×3）个整数的和，是从1开始连续（3×3）个整数的和……是从1开始连续（4×3）个整数的和，由此可知，是从1开始连续（14×3）个整数的和，即跳动的次数。
【规范解答】14×3＝42
1＋2＋3＋…＋41＋42
＝（1＋42）×42÷2
＝43×42÷2
＝43×21
＝903（次）
【变式训练1】（2025·湖南长沙·小升初真题）观察表一，寻找规律。表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，则表格中a＝______；b＝______；c＝______。
【答案】 18 30 15
【思路引导】1. 表一规律推导：观察表一，第1行是1，2，3，4...（第1行第n列数为n），第2行是2，4，6，8...（第2行第n列数为2n），第3行是3，6，9，12...（第3行第n列数为3n）……由此得出核心规律：表一中第m行第n列的数＝（行号与列号的乘积）同时，每一行的数公差为行号m，每一列的数公差为列号n。
2. 求a（表二）：表二数字排布为“12在上，15在中间，a在下”。12是第3行第4列或第4行第3列（3×4＝12），15是第3行第5列或第5行第3列（3×5＝15）（同一行，公差为3），15也属于第5列，a是第3行第6列（或第6行第3列），按“行号×列号”计算得出结果即可。
3. 求b（表三）：表三数字排布为“20和24同行，25和b同行，20和25同列”。20是第4行第5列（4×5＝20），24是第4行第6列（4×6＝24，该行公差为4）；25是第5行第5列（5×5＝25，该列公差为5），因此b是第5行第6列，按规律计算得出结果即可。
4. 求c（表四）：表四数字排布为“8和c差一行，c和20同列”。结合答案特征，8为第2行（或第4行），20为第4列（或第5列），故c为第3行第5列（或第5行第3列），按“行号×列号”计算得出结果即可。
【规范解答】1.计算a：第3行第6列：3×6＝18（或第6行第3列：6×3＝18）。故a＝18。
2.计算b：第5行第6列：5×6＝30。故b＝30。
3.计算c：第3行第5列：3×5＝15（或第5行第3列：5×3＝15）。故c＝15。
【考点剖析】解决数表规律题的核心是先推导行、列通用表达式（如本题“行号×列号”），再结合截取部分的数字排布确定目标数的行、列位置，最后代入计算；若数字有多种位置可能，需通过排布特征筛选唯一解。
【变式训练2】（2025·北京昌平·小升初真题）密码学中的数学规律。
密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学。在密码学中，加密前的信息称为“明文”，加密后的信息称为“密文”。
请你根据下面的倍恩回答问题：
字母按规律加密后会得到新字母，如：
明文A→密文D 明文ONE→密文RQH 明文TWO→密文WZR
①观察字母的变化，你能发现加密规律吗？把你的发现写在下面空白处。
②用规律加密和解密。
加密：明文PANDA→密文 ；解密：密文IULHQG→明文 。
③你发现了吗？用上面的规律加密时会遇到一个问题，例如明文W加密后会得到密文Z，但是X、Y、Z加密后没有与之对应的字母了，聪明的密码学者想到了一个办法：明文X→密文A，明文Y→密文B。按照这样的加密规律，密文CRR→明文是 。（你可以在上面的字母表中写一写，画一画）
【答案】①密文字母是明文字母向右移动3个位置后对应的字母，明文字母是密文字母向左移动3个位置后对应的字母。
②SDQGD；FRIEND
③ZOO
【思路引导】（1）首先观察字母变化的规律，总结加密方法。
通过对比明文字母和密文字母的位置关系，发现每个明文字母在字母表中向右移动3个位置得到密文字母。例如：A（第1位）→D（第4位）；O（第15位）→R（第18位）；T（第20位）→W（第23位）。
同理明文字母是密文字母向左移动3个位置后对应的字母，据此写出规律。
（2）应用规律进行加密和解密即可。
（3）解密时，当字母左移3位超出字母表范围时，从字母表末尾Z再开始循环：C（第3位）左移3位→Z（第26位），R（第18位）左移3位→O（第15位），据此解答。
【规范解答】（1）我发现的加密规律是：密文字母是明文字母向右移动3个位置后对应的字母，明文字母是密文字母向左移动3个位置后对应的字母。
（2）加密：将明文PANDA的每个字母向右移动3个位置：P→S，A→D，N→Q，D→G，A→D，所以明文PANDA→密文SDQGD；
解密：密文IULHQG的每个字母分别向左移动3个位置：I→F，U→R，L→I，H→E，Q→N，G→D，所以密文IULHQG→明文FRIEND。
（3）根据解密规律以及当字母左移3位超出字母表范围时，从字母表末尾Z再开始循环原则，题目密文字母对应明文字母如下：C→Z，R→O ，R→O，所以密文CRR→明文是ZOO。
（写一写，画一画见字母表中）
【考点剖析】这道题的难点在于需要从有限例子中归纳出“字母向右数3位”的加密规则，同时还要掌握字母表循环逻辑，并完成加密到解密的逆向思维转换。
题型三十一 数学竞赛
【典例精讲】对于一个自然数，用与这个数互质且大于2的最小自然数替换这个数，称为一次“互质替换”，在黑板上任意写出一个大于2025的自然数，反复进行“互质替换”，最多经过______次“互质替换”首次出现3。
【答案】2
【思路引导】明确“互质替换”的含义。根据不同类型自然数判断“互质替换”的情况，确定最多经过的“互质替换”次数
【规范解答】根据“互质替换”的定义，每次替换得到的数是与原数互质且大于 2 的最小自然数。我们要找大于2的自然数，首先考虑3。
第一步：判断何时替换结果为3。如果当前的数不是3的倍数，那么它与3的公因数只有 1，即它们互质。因为3是大于2的最小自然数，所以替换后的结果就是3。如果当前的数是3的倍数，那么它与3的公因数至少有3，即它们不互质。所以替换后的结果一定不是 3。
第二步：分析替换过程。 情况一：如果在黑板上写出的数不是3的倍数。根据第一步的分析，经过1次“互质替换”，得到的数就是3。
情况二：如果在黑板上写出的数是3的倍数。第一次替换：因为原数是3的倍数，所以替换后的数与原数互质，那么这个替换后的数一定不是3的倍数（否则它们就有公因数3）；第二次替换：因为第一次替换后的数不是3的倍数，根据第一步的分析，它与3互质，所以第二次替换得到的数就是3。
第三步：得出结论，无论起始数是多少，只要它是3的倍数，最多经过2次替换就能得到 3；如果它不是3的倍数，经过1次替换就能得到3。 题目要求“最多”经过多少次，且起始数大于2025，找到大于 2025 且是 3 的倍数的数，例如 2028，所以最多经过2次。
【变式训练1】（2025·湖南长沙·小升初真题）如图，三角形ABC的面积为10，AD与BF交于点E，且，求图中阴影部分的面积和。
【答案】4
【思路引导】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE＝ED，连接DF，可知（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分面积转化为求三角形BDF的面积。
【规范解答】连接DF，如下图：
因为AE＝ED
所以，
又因为（BD占2份，DC占1份）
所以（和等高）
所以（，即）
所以（）
又因为
所以
所以
阴影部分的总面积是4。
【考点剖析】需牢记：①等底等高三角形面积相等；②等高时，三角形面积比等于底的比。
【变式训练3】（2025·湖南长沙·小升初真题）有这样一个数字游戏，将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字分别填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增大。当数字3和4固定在图示所示的位置时，x代表的数字是__________，此时按游戏规则填写空格，所有可能出现的结果共有__________种。
【答案】 2 6
【思路引导】先看x的位置，它在4的上方，因此x要小于4，同时x在第1行且需大于左侧数字，结合第2行第1列是3，左侧只能是1，所以x只能是2；确定x＝2后，剩余数字为1，5，6，7，8，9，其中第1行第1列固定为1，再结合行、列递增的限制，枚举剩余数字的合法排列，最终得出共有6种可能的结果。
【规范解答】x需满足“小于4且大于左侧数字”，结合第2行第1列是3，确定x＝2；
剩余数字按“行、列递增”枚举，可得共6种合法排列如下。
x代表的数字是2，所有可能出现的结果共有6种。
【考点剖析】先通过位置的大小关系锁死1和2这两个固定数字，再以第3列和第3行为核心，同时满足行、列双递增规则，从剩余数字中按“大—中—小”的顺序有序赋值，即可不重不漏地枚举所有6种合法排列。
试卷第2页，共121页
试卷第2页，共33页
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$2026年六年级毕业数学二轮复习之压轴题考点分类必刷练真题汇编•全国通用
2026年六年级毕业数学必刷考点分类真题培优练『尖子生冲刺』
专项训练06 挑战压轴题
〔31个重点题型讲练 共93题〕在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。
专题说明 资料简介
同学你好，该份讲义优选2025年全国各地名校真题，模拟题。重点强化小升初高频考察点，提升解题技能，优选常考易错题型。该份检测卷非常适合考前冲刺拔尖使用。题目整体难度偏上，适合成绩中上及拔尖的学生。按照考点划分，方便自我学习批改，检测学习能力。解析版思路清晰，理解全面，进一步优化解题过程，梳理考察点。相信你在2026年毕业考试中考出满意成绩！
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重点难点 题型归纳 压轴必刷
题型序列
题型名称
题型序列
题型名称
题型一
整数的认识
题型十七
列方程解决稍复杂的实际问题
题型二
小数的认识
题型十八
比
题型三
分数的认识
题型十九
比例
题型四
百分数的认识
题型二十
常见的量
题型五
正负数的认识
题型二十一
典型应用题
题型六
整数的四则运算
题型二十二
平面图形的认识与测量
题型七
小数的四则运算
题型二十三
立体图形的认识与测量
题型八
分数的四则运算
题型二十四
图形的拼组
题型九
百分数的四则运算
题型二十五
图形与变换
题型十
运算定律与简便运算
题型二十六
位置与方向
题型十一
倍的运算
题型二十七
测量
题型十二
用字母表示数
题型二十八
统计
题型十三
方程的解与解方程
题型二十九
可能性
题型十四
列方程解含一个未知数的问题
题型三十
算式的规律
题型十五
列方程解解复杂的行程问题
题型三十一
数学竞赛
题型十六
列方程解含两个未知数的问题
在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。
优中选优 题型讲练 压轴必刷
题型一 整数的认识
【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）若一个四位正整数M的十位数字比个位数字大1，百位数字是千位数字与个位数字的平均数，则称这样的数为千丝数。把千丝数M的四个数字按从小到大的顺序从左到右进行排列后得到的新数叫作千丝数M的万缕数，例如：2598，其十位数字，百位数字，所以2598是千丝数，2589就是千丝数2598的万缕数，对于千丝数M，定义：。
(1)判断：4376________千丝数；7787________千丝数。（填“是”或者“不是”）
(2)请证明：任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除。
【变式训练1】（2025·湖南长沙·小升初真题）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出4个互不相同的数，分别记为a，b，c，d，则（a＋b）×（c＋d）是奇数的取法有______种。
【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）一个四位整数（千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d），若满足，那么，我们称这个四位整数为“k类等和数”。例如：3122是一个“4类等和数”，因为：，5417不是一个“k类等和数”，因为：，，。
(1)写出最小的“3类等和数”是___________，最大的“8类等和数”是___________。
(2)若一个四位整数是“k类等和数”，且满足，求满足条件的所有“k类等和数”的个数，并把它们写出来。
题型二 小数的认识
【典例精讲】（2024·重庆九龙坡·小升初真题）有一个算式，左边括号里都是整数，右边答案写出了四舍五入后的近似值：≈1.16，那么算式左边三个括号里面从左到右依次是( )。
【变式训练1】求24个偶数的平均数，保留一位小数的数是15.9，若保留两位小数的数应该是（ ）。
A．15.91 B．15.92 C．15.93 D．19.94
【变式训练2】（2025·广西贵港·小升初真题）我们已学习了许多关于“数”的知识，下面关于“数”的描述正确的是（ ）。
A．整数、小数和分数的加法运算本质上具有一致性，都是相同计数单位个数的累加
B．一个两位小数的近似数是5.0，这个两位小数最大是4.99
C．同时是2、3、5倍数的最小三位数是150
题型三 分数的认识
【典例精讲】（2025·重庆江北·小升初真题）元旦节即将来临，公司推出新款手镯，开始接单生产，该款手镯由两种金属按一定的重量比例构成，金属原来的成本为200元/克，金属原来的成本为150元/克，现由于市场价格波动，金属的成本上涨，金属的成本下跌到原来的，每克手镯现在的总成本比原来增加了37.5元。
(1)求手镯中金属和金属的重量比。
(2)手镯按原来的成本价格销售可获得的利润，现在，公司为了推出元旦礼盒，再投入现在总成本的做包装，这样，按现在的成本价格销售手镯，可获得的利润，求现在一个手镯的售价比原来一个手镯的售价上涨的百分比。
【变式训练1】（2025·湖北武汉·小升初真题）小华5点半吃完晚饭，之后出门散步，并在六点半前回家，出发时看到分针与时针垂直，回来时分针与时针还是垂直，则小华散步的时长为______分钟。
【变式训练2】（2025·四川绵阳·小升初真题）有一个最简分数，把分数的分子加上分母，分母也加上分母，所得的新分数是原分数的10倍，这个最简分数是( )。
题型四 百分数的认识
【典例精讲】（2025·浙江温州·小升初真题）A、B两城相距580千米，两城之间有一个C城，客车从A城开往C城，货车从B城开往C城。客车行驶了90千米，货车行驶了B、C两城间的距离的60%，而且这时客车货车剩下的路程刚好相等。求A、C两城之间的距离。
【变式训练1】（2025·湖北襄阳·小升初真题）计算。
999×274＋6274
【变式训练2】一辆汽车从甲地开往乙地，一段时间后，已经行驶的路程和剩下的路程比是3∶2。又行驶了24千米后，剩下了全程的20%。甲地到乙地一共有多少千米？
题型五 正负数的认识
【典例精讲】看图填空。
①（ ）是正数和负数的分界点。
②所有的正数都在0的（ ）边，所有的负数都在0的（ ）边。
③在直线上，距0点4个单位长度的点分别是（ ）和（ ）
④如果一个人从0点先向东走3米记作﹢3米到A点（单位长度是1米），那么这个人又走﹣5米到B点是什么意思？这时他距离出发点有多远？在直线上表示出来。
【变式训练1】聪聪和明明进行百米赛跑，他们同时从起点开跑（如下图），当聪聪跑到终点时，明明跑到了A点，聪聪与明明跑步的速度比是( )∶( )；照这样的速度，假设聪聪退到B点开始起跑，就能和明明同时跑到终点，则B点的位置可以表示为( )米。
【变式训练2】尤西、沙米、新奇的家都和学校在一条直线上，如果将学校的位置记作0米，那么尤西家在学校东边＋150米处，从尤西家出发，向西走600米到新奇家，向东走240米到沙米家。新奇和沙米家如何用正负数表示？他们两家相距多远？
题型六 整数的四则运算
【典例精讲】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）汽车以每小时108千米的速度笔直地开往寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回声，已知声音的速度是每秒340米，听到回声时汽车离山谷的距离是___________米。
【变式训练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友，如果每人分3颗，就会余下糖果17颗；如果每人分5颗，就会缺少糖果13颗。幼儿园小班有多少小朋友？这些糖果共有多少颗？
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5公顷、7公顷，三个牧场上的草长得一样密，且生长得一样快。有两群牛，第一群牛先用2天将一号牧场的草吃完，再用5天将二号牧场的草吃完。在这7天里，第二群牛刚好将三号牧场的草吃完。如果第一群牛有15头，那么第二群牛有多少头？
题型七 小数的四则运算
【典例精讲】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）A的步行速度为每小时5千米，B的步行速度为每小时6千米，他们两人从甲地到乙地去。C骑自行车的速度是A的2倍，从乙地到甲地去，他们三人同时出发，在B、C相遇30分钟后，A又与C相遇，请问：C骑车从乙地到甲地需要______小时。
【变式训练1】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）甲、乙两位学生第1天自学的时间相同，若从第2天起，甲每天比前一天增加自学时间1小时，乙每天比前一天减少自学时间1小时，则乙自学8天的时间仅相当于甲自学4天的时间。问：甲第1天自学的时间是______分钟。
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）据了解，火车票按“”的方法来确定。已知A站至H站总里程数为1500千米，全程参考价为180元。下表是沿途各站至H站的里程数：
车站名
A
B
C
D
E
F
G
H
各站至H站的里程数（单位：千米）
1500
1130
910
622
402
219
72
例如，要确定从B站至E站火车票价，其票价为：（元）。
（1）求A站至F站的火车票价（结果精确到1元）；
（2）旅客王大妈乘火车去女儿家，上车过两站后拿着火车票问乘务员：我快到站了吗？乘务员看到王大妈手中票价66元，马上说下一站就到了。请问王大妈实际乘车的里程数是多少千米？在哪两个站之间？（要求写出解答过程）。
题型八 分数的四则运算
【典例精讲】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）计算题。
（1） （2）
（2） （4）
（5） （6）
（7） （8）
【变式训练1】（2025·重庆·小升初真题）算一算。
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）星星小学原计划种杨树、柳树和槐树共1500棵，植树开始后，当种了杨树总数的和30棵柳树后，又临时运来15棵槐树，这时剩下的3种树的棵数恰好相等，问原计划要栽植这三种树各多少棵？
题型九 百分数的四则运算
【典例精讲】（2025·重庆江北·小升初真题）甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62%，如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%。第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了多少升？
【变式训练1】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）某市职工医疗保险规定：职工因病住院医疗费用补偿设起付线，如果甲医院的起付线是500元，500元以内的个人支付，超过起付线并且不超过2000元的部分按80%补偿，2000元以上的部分按75%补偿，其余自付。王叔叔7月份因病在甲医院住院，医疗费用补偿后，个人实际支付3300元，补偿多少元？
【变式训练2】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一水果店主分两批购进某一种水果。第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元。由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少25%。
(1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？
(2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值。
题型十 运算定律与简便运算
【典例精讲】（2025·重庆江北·小升初真题）计算。
【变式训练1】（2025·湖南长沙·小升初真题）计算题。
【变式训练2】（2025·河南新乡·小升初真题）能简便计算的简便计算。
（1） （2）
（3） …
题型十一 倍的运算
【典例精讲】有酒精含量为的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为的溶液，如果再稀释到，那么还需要加水的数量是上次加的水量的（ ）倍。
A．1.5 B．2 C．3 D．2.5
【变式训练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）已知甲数是乙数的4倍，乙数是丙数的多3，已知丙数是18，则甲数为（ ）。
A．15 B．60 C．68 D．40
【变式训练2】（2025·江西南昌·小升初真题）中国的制造业发达，被称为“世界工厂”，而美国是世界上最大的消费市场，中国的很多产品都卖到了美国。2025年4月，美国对中国产品征收高关税，发动贸易战。
（1）中国的华兴玩具厂生产一件毛绒玩具的成本是60元，加上20%的利润，就是厂家的出厂价，再出口到美国，就还要再加价75%（含关税54%、运输成本和美国商家获取的利润等）。这件毛绒玩具在美国卖多少钱？
（2）这件毛绒玩具如果在美国生产，由于供应链不完整和工人的工资高，再按中国毛绒玩具在美国的售价出售，美国的工厂还要亏损10%，美国工厂的生产成本是多少元？约是中国生产成本的几倍？
题型十二 用字母表示数
【典例精讲】（2025·湖北武汉·小升初真题）奥地利数学家皮克（Pick）发现，在网格中，顶点均在格点的多边形面积S可以由多边形内部格点数i和边界格点数b计算得到，请你观察下列图形，探索S与i和b之间的关系。
(1)观察图形，补全表格。
图形
①
②
③
④
⑤
i
0
2
2
6
______
b
6
10
6
6
______
S
2
6
4
______
12
(2)观察①、③、④可以发现，每增加i时，面积增加______。
观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加______。
根据上述发现，可得：S＝______。（用含i和b的式子表示）
(3)根据你发现的结论计算图形的面积。
【变式训练1】（2025·湖南长沙·小升初真题）我们用r（n）表示n的因数个数，比如r（20）＝6，满足r（n）＋r（n＋1）＝r（100）的正整数n且n＜100的所有取值的总和是______。
【变式训练2】（2025·北京丰台·小升初真题）如图是由3个半圆组成的图形，图中阴影部分的周长是（ ）厘米。
A． B．3aπ C． D．3aπ＋6a
题型十三 方程的解与解方程
【典例精讲】2025·重庆沙坪坝·小升初真题）6条谜语让50人猜测，共猜对了178条。已知每人至少猜对2条，且猜对2条的有16人，猜对4条的有9人，猜对3条和5条的人数一样多，那么6条全猜对的有( )人。
【变式训练1】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）两个两位数的乘积是806，欢欢在抄题时，将其中一个因数个位上的“6”丢掉了，结果算出的积是62，则这两个因数中较小的那个因数是______。
【变式训练2】（2025·四川绵阳·小升初真题）妈妈给红红一些钱去买贺卡，有甲、乙、丙三种贺卡，甲种卡每张0.5元，丙种卡每张1.2元，用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张，买乙种卡要比买丙种卡多买6张，妈妈给红红多少钱？乙种卡每张多少钱？
题型十四 列方程解含一个未知数的问题
【典例精讲】（2025·重庆江北·小升初真题）李师傅以1元钱3个苹果的价格买进苹果若干个，以1元钱2个苹果的价格将这些苹果卖出，卖出一半后，因为苹果降价只能以2元钱7个苹果的价格将剩下的苹果卖出。不过最后他不仅赚了24元钱，还剩下了1个苹果，那么他买了个___________苹果。
【变式训练1】（2025·重庆江北·小升初真题）果园里的荔枝获得丰收，第一天摘了全部荔枝的又10筐，第二天摘了余下的又3筐，这样还剩下63筐荔枝没有摘，则共有荔枝___________筐。
【变式训练2】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）某班学生去参加义务劳动，其中一组到果园去摘梨子，第一个进园的学生摘了1个梨子，第二个学生摘了2个，第三个学生摘了3个，……以此类推，后来的学生都比前面一个多摘1个梨子，这样恰好平均每个学生摘了11个梨子，请问这组学生的人数是___________人。
题型十五 列方程解解复杂的行程问题
【典例精讲】（2025·河南郑州·小升初真题）小张和父亲搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷。在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站。随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达了火车站，已知公共汽车的平均速度是40千米/时，问小张家到火车站有多远？
【变式训练1】（2025·北京·小升初真题）小仓鼠的学校距家有800米。平时它放学后总是慢悠悠地滚着它的仓鼠球回家，每分钟滚40米。有一天，它路过香喷喷的瓜子铺时，实在忍不住钻进去狂嗑了3分钟瓜子！结果它突然想起——回家晚了会被仓鼠妈妈发现！于是它立刻开启“疯狂滚球模式”，以每分钟60米的速度冲刺回家，最终竟然和平常到家的时间一模一样！小仓鼠的学校离瓜子铺有多少米？
【变式训练2】（2025·辽宁鞍山·小升初真题）汽车从甲地开往乙地，第一小时行驶了全程的，第二小时行驶了余下路程的少10千米，接下来又行驶了前两个小时行驶路程的，恰好到达乙地，甲、乙两地之间相距多少千米？
题型十六 列方程解含两个未知数的问题
【典例精讲】（2025·湖北武汉·小升初真题）妈妈今年74岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子32岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为40岁，那么儿子今年______岁。
【变式训练1】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）数学文化节的选手，平均分数是66分，其中男选手比女选手多50%，而女选手的平均分比男选手高25%，女选手的平均分数是______分。
【变式训练2】（2025·上海闵行·小升初真题）某学校5月开展校园科技节，已知六年级（1）班和（2）班各有48人，两个班各有一部分同学参加了模型比赛，其中（1）班参加人数的2倍比（2）班没参加的人数多5人，而（2）班参加的人数比（1）班没参加的人数的一半还少1人。求这两个班各有多少人参加模型比赛？
题型十七 列方程解决稍复杂的实际问题
【典例精讲】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来得及刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40平方米墙面。每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米墙面。求每个房间需要粉刷的墙面面积。
【变式训练1】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一个三位正数M，其各位数字均不为零且互不相等，若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如123的“团结数”为。
(1)请求出427的“团结数”。
(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，且各位数字互不相等（，）。若N的“团结数”与N之差为24，求N的值。
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）星期日，小丫骑自行车去同学A，B，C三家玩，如果她从A出发经过B到C，共行10千米；如果从B出发，经过C到A，共行13千米；如果从C出发，经过A到B，共行11千米。两同学家之间最短的距离是______千米。
题型十八 比
【典例精讲】（2025·甘肃兰州·小升初真题）聪聪的妈妈做摊饼时发现，面、水的质量比是时，摊饼的口感最好。聪聪也想做这样的摊饼，她不能按下面第（ ）种方法确定面和水的用量。
A．每1kg面需要800g水。 B．用同样大的碗盛面、水，盛满面、盛满水的碗数比是5∶4。
C．保证面的质量是水的质量的1.25倍。 D．无论面、水的质量是多少，面一定要比水多200g。
【变式训练1】（2025·重庆江北·小升初真题）从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是多少千克？
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）星期天早晨8：30，小萍骑电动车从家出发前往和谐广场。12分钟后，妈妈开车去追小萍，在距家6千米的地方追上了小萍。这时，妈妈收到一个电话，需要回家收个快递，于是立即掉头回家，拿到快递后没有停留（接快递时间忽略不计），立刻又回头去追小萍，妈妈再次追上小萍的时候，距家18千米，问：妈妈第二次追上小萍的时间是几时几分？
题型十九 比例
【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。
（1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。
（2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。
【变式训练1】（2025·湖北武汉·小升初真题）有两袋大米共重440千克，甲袋米吃了，乙袋米吃了，这时甲袋米的重量与乙袋米的重量之比为8∶5，问甲袋米原来重（ ）千克。
A．240 B．200 C．220 D．180
【变式训练2】（2025·重庆渝北·小升初真题）“宫、商、角、徵、羽”是我国古代音乐的基本音阶，基本音阶“徵”的发音管长度比基本音阶“宫”的发音管长，且“徵”的发音管长度∶“宫”的发音管长度，那么_____。
题型二十 常见的量
【典例精讲】（2025·重庆江北·小升初真题）在一个圆形时钟的表面，为指针的旋转中心，表示秒针，表示分针，若现在的时间恰好是14点整，当的面积刚好达到最大值时，经过( )秒。
【变式训练1】（2025·河南郑州·小升初真题）2023年小坤的生日是星期六，那么2028年小坤的生日是（ ）。
A．星期五 B．星期六 C．星期天 D．星期五或星期六
【变式训练2】（2025·重庆渝北·小升初真题）一辆汽车往线路上运送电线杆，从出发点装车，每次拉4根，线路上每两根电线杆间的距离为50米，共运了两次。装卸结束后返回原地共用了3小时，其中装一次车用30分钟，卸一根电线杆用5分钟，汽车运行时的平均速度是每小时24千米，则从出发点到第一根电线杆的距离是多少千米？
题型二十一 典型应用题
【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）如果一个数从左到右各个数位上的数字依次增大，我们将这样的数就称之为“上升数”。把所有四位数的“上升数”从小到大排列，第40个“上升数”是（ ）。
A．1279 B．1389 C．1459 D．1567
【变式训练1】（2025·湖南长沙·小升初真题）物流运输车要在A城市和B城市之间进行往返，计划以同样的速度行驶。因天气原因，从A城市出发前往B城市，车速降为原来的，结果晚了112.5分钟；从B城市返回A城市时，按原计划的速度行驶270千米后，将车速度降低了，结果晚了3小时到达A城市。A、B两座城市之间的距离是多少？
【变式训练2】（2025·重庆渝北·小升初真题）甲、乙两人在同一条椭圆形跑道上做特殊训练。他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑。每人跑完第一圈到达出发点后，立即回头加速跑第二圈。跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度提高了，已知甲、乙两人第二次相遇点距第一次相遇点190米。这条椭圆形跑道长多少米？
题型二十二 平面图形的认识与测量
【典例精讲】（2025·重庆江北·小升初真题）下图中四边形ABCD是梯形，四边形ABED是平行四边形，已知部分面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是___________平方厘米。
【变式训练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）求阴影部分的面积是多少平方分米？
【变式训练2】（2025·浙江宁波·小升初真题）如图，圆的半径为4dm，四边形OABC为梯形，求阴影部分的面积？
题型二十三 立体图形的认识与测量
【典例精讲】（2025·重庆渝北·小升初真题）有一个像如图那样的长方体容器，现在以每秒0.75升的速度向这个容器注水，容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将容器隔为A、B两个部分，B部分有一个洞，水按一定的流量往下漏，图①是表示从注水开始A部分的水的高度变化的图像，回答下面的问题：
（1）求图①中D表示的数；
（2）从B的洞中每秒钟流出来多少升水；
（3）求图①中P、Q表示的数。
【变式训练1】（2025·浙江宁波·小升初真题）下图展示了一款饮料纸杯的设计图，纸张厚度以及连接处忽略不计。
根据图中信息，解决下列问题。（计算结果用含的算式表示）
（1）制作一个这样的纸杯，使用的纸张面积是多少平方厘米？
（2）用这款纸杯能装下400毫升的饮料吗？请通过计算说明理由。
【变式训练2】（2025·浙江宁波·小升初真题）有一个长方体储碗柜，内部尺寸如图1。现在柜子里放置相同规格的碗，其中2只碗和6只碗叠起来的高度如图2所示。
(1)若有只碗叠起来，它的高度是( )cm（用含有字母的式子表示）。
(2)若按图所示摆放，这个储碗柜最多可摆放( )只这种规格的碗。
题型二十四 图形的拼组
【典例精讲】（2025·河南郑州·小升初真题）如下图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长1厘米的正方体，做成一种玩具，它的表面积是( )平方厘米。
【变式训练1】（2025·吉林长春·小升初真题）阅读理解：一张长方形纸片，剪下一个正方形，剩下一个长方形，称为第一次操作；在剩下的长方形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个长方形，称为第二次操作；……；若在第n次操作后，剩下的长方形为正方形，则称原长方形为n阶奇异长方形，如图1，长方形ABCD中，若AB＝3，BC＝9，则称长方形ABCD为2阶奇异长方形。
（1）判断与操作：如图2，长方形ABCD长为7，宽为3，它是奇异长方形吗？如果是，请写出它是几阶奇异长方形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由。
（2）探究与计算：已知长方形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异长方形，请画出长方形ABCD及裁剪线的所有可能的示意图，并在图的下方写出a的值。（备注：请同学自己画出相应的长方形ABCD及裁剪线的示意图）
【变式训练2】（2025·湖北武汉·小升初真题）我市游泳健身中心的室内泳池长50米，宽 25米。
（1）最浅处水深1.2米，最深处水深1.6米。
（2）“泳池的容积是多少立方米？”对这一数学问题以下两位同学展开了讨论。
请根据他们的思考过程解决问题。
①小朱同学：“它不是一个长方体，但可以通过割或补的方法（如下图），就可以变成长方体了。所以它的容积大小范围就在（ ）立方米和（ ）立方米之间。”
②小峰同学：“两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体（如下图）。这样就能计算出它的容积啦。”
请根据小峰的方法计算该泳池的容积。
题型二十五 图形与变换
【典例精讲】（2025·河南郑州·小升初真题）图每个小正方形的边长为1厘米，请按要求填空或作图。
（1）图中点C的位置可以用数对（______，______）表示。
（2）请将图中三角形ABC绕点C逆时针旋转90度，画出旋转后的图形。
（3）上题三角形ABC旋转时，点A转动了______厘米。
（4）以边为中心轴三角形旋转一周，旋转后得到的立体图形体积是______立方厘米。
【变式训练1】下面每个小正方形的边长表示1厘米，请按要求完成下列各题。
（1）三角形顶点A用数对表示是（ ， ），顶点B用数对表示是（ ， ）。
（2）把三角形ABC向下平移5格，再向左平移4格，画出平移后的图形。
（3）把三角形ABC按2∶1放大，画出放大后的图形。
（4）画出三角形ABC绕C点顺时针旋转90°的图形。
（5）把三角形ABC绕AC轴旋转一周形成的物体是（ ），体积是（ ）立方厘米。
【变式训练2】根据要求填一填，画一画。（每个小正方形边长表示1厘米）
（1）点A用数对表示是（ ），点A在点B的（ ）偏（ ）（ ）°方向上。
（2）将三角形绕点C顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形。旋转后点A用数对表示是（ ）。
（3）设计一个轴对称图形，面积与上图的三角形面积相等。
（4）过长方形其中一条边上的某一点画一条线段，把长方形分成一个三角形和一个梯形，使它们的面积比为1∶3。
题型二十六 位置与方向
【典例精讲】（2025·浙江杭州·小升初真题）著名数学家笛卡尔通过观察蜘蛛结网的动作，想到了用坐标来确定空间中的位置。他画了三条互相垂直的直线，用交点表示空间内的蜘蛛，从而发明了现代数学的基础工具之一——坐标系。例如，下图中蜘蛛原本在点A（4，5，3）的位置，现在爬到了点B( )的位置。
【变式训练1】（1）小明家在学校（ ）偏（ ）度的方向上，距离是600米，这幅图的比例尺是（ ）。（图上距离测量结果取整厘米数）
（2）少年宫在小明家正东面的方向上，距离是750米，请在图中画出少年宫的位置。
【变式训练2】根据新华社资料显示，在疫情防控常态背景下，旅游消费呈现出显著的本地化、小半径特征，周边游、本地游、露营成为今年“微度假”主流。
假期，奇奇随爸爸妈妈和朋友一起去郊区露营，并策划了一个定向越野活动。
（1）通过实地考察，越野项目是从帐篷的位置出发，向北偏东45°方向跑210米，到一棵大树下插上小红旗，记为点A，请在如图中标出点A；再跑到点B（L，6），拍照打卡，请在如图中标出点B。最后按原路返回帐篷的位置。（小正方形的边长为1个单位长度，代表实际距离50米，对角线是1.4个单位长度，代表实际距离70米。）
（2）请在横线上描述出从点B返回帐篷位置的路线： 。
（3）奇奇发现很多帐篷从侧面观察都近似于三角形，这是因为三角形具有（ ）性。
题型二十七 测量
【典例精讲】（2025·河南郑州·小升初真题）用一张长6分米，宽3分米的长方形纸（厚度不计）围成一个容积最大的圆柱体，这个圆柱体的容积约为______升。（取3）
【变式训练1】（2025·湖北十堰·小升初真题）小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是10厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米）
【变式训练2】（2025·吉林长春·小升初真题）有一个像如图①那样的长方体容器，现在以每秒0.75升的速度向这个容器注水。容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将容器隔为A、B两个部分。B部分有一个洞，水按一定的流量往下漏。图②是表示从注水开始A部分的水的高度变化的图象。回答下面的问题：
（1）求图②中D表示的数；
（2）从B的洞中每秒钟流出多少升水；
（3）图②中P表示的数为（ ），Q表示的数为（ ）。
题型二十八 统计
【典例精讲】赵师傅向下图所示的空容器（由上、下两个圆柱组成）中匀速注油，注满结束。注油过程中，容器中油的高度与所用时间的关系如图所示。
(1)把下面的大圆柱注满需( )分钟。
(2)上面小圆柱高( )厘米。
(3)如果下面的大圆柱底面积是48平方厘米，那么大圆柱的体积是多少立方厘米？上面小圆柱的底面积是多少平方厘米？
【变式训练1】（2025·浙江宁波·小升初真题）某日，王师傅开车上班的路上，经历了三种不同路况。下图1是已行的路程中三种路况占比统计图，下图2表示已行路程与时间的关系图。请根据图中信息解决下列问题。
（1）王师傅在通畅路段的速度是1.5千米／分，他以这样的速度共行驶了多少分钟？
（2）当王师傅开到处时，发现离上班时间只有7分钟了，如果余下的3千米路程还是这种严重拥堵的路状，王师傅会迟到吗？
【变式训练2】（2024·福建厦门·小升初真题）《墨子•经下》中提到：“沉，荆之贝（具）也。则沉浅，非荆浅也，若易五之一。”这是我国最早有关浮力的记载。为了调查物体沉入水里的过程中浮力的变化情况，安安进行以下实验：
实验材料：底面半径2厘米的圆柱铁块、底面半径6厘米的圆柱容器（有出水口）、弹簧测力计、烧杯、水。
实验步骤：如图1，将适量水倒入容器中，此时水面高度与出水口持平，将空烧杯放置出水口处正下方；再将圆柱铁块绑在弹簧测力计下，然后将圆柱铁块从容器正上方（离地面18厘米处）向下缓慢移动，浸入水中。如图2，记录弹簧测力计的示数F拉力与铁块下降的高度的统计图。
（当铁块入水前，F拉力＝G重力；当铁块入水后，F拉力＝G重力－F浮力）
（1）观察上述实验，该铁块在刚好完全浸入水时，所受的浮力是（ ）N。
（2）实验的铁块的体积是多少立方厘米？（π取3.14）
（3）安安实验时，当弹簧测力计的示数是5.6N（F拉力＝5.6N）时，此时烧杯内的水有多少毫升？（π取3.14）
题型二十九 可能性
【典例精讲】把10—29这20个数分别写在20张完全相同的纸条上，做成纸团放在盒中混合，然后从中任意摸出一个纸团。那么：
①摸到质数与摸到合数的可能性一样大；( )
②摸到奇数与摸到偶数的可能性一样大；( )
③一定摸到比10大的数。( )
【变式训练1】在一个盒子中有除颜色外均相同的10个红球，8个绿球和一些黑球，从里面拿出一个球，拿出绿球的可能性小于，那么至少有( )个黑球。
【变式训练2】（2025·湖北十堰·小升初真题）一个骰子六个面上分别有数字1，2，3，4，5，6，任意抛两次，上面的数字和是（ ）的可能性大。
A．6 B．7 C．8 D．9
题型三十 算式的规律
【典例精讲】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…。依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，点、、…在一条直线上，则点P从0跳动( )次可到达的位置。
【变式训练1】（2025·湖南长沙·小升初真题）观察表一，寻找规律。表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，则表格中a＝______；b＝______；c＝______。
【变式训练2】（2025·北京昌平·小升初真题）密码学中的数学规律。
密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学。在密码学中，加密前的信息称为“明文”，加密后的信息称为“密文”。
请你根据下面的倍恩回答问题：
字母按规律加密后会得到新字母，如：
明文A→密文D 明文ONE→密文RQH 明文TWO→密文WZR
①观察字母的变化，你能发现加密规律吗？把你的发现写在下面空白处。
②用规律加密和解密。
加密：明文PANDA→密文 ；解密：密文IULHQG→明文 。
③你发现了吗？用上面的规律加密时会遇到一个问题，例如明文W加密后会得到密文Z，但是X、Y、Z加密后没有与之对应的字母了，聪明的密码学者想到了一个办法：明文X→密文A，明文Y→密文B。按照这样的加密规律，密文CRR→明文是 。（你可以在上面的字母表中写一写，画一画）
题型三十一 数学竞赛
【典例精讲】对于一个自然数，用与这个数互质且大于2的最小自然数替换这个数，称为一次“互质替换”，在黑板上任意写出一个大于2025的自然数，反复进行“互质替换”，最多经过______次“互质替换”首次出现3。
【变式训练1】（2025·湖南长沙·小升初真题）如图，三角形ABC的面积为10，AD与BF交于点E，且，求图中阴影部分的面积和。
【变式训练3】（2025·湖南长沙·小升初真题）有这样一个数字游戏，将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字分别填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增大。当数字3和4固定在图示所示的位置时，x代表的数字是__________，此时按游戏规则填写空格，所有可能出现的结果共有__________种。
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