专项训练05 高频易错题（30个题型讲练 共90题）尖子生考前冲刺-2026年小升初数学必刷考点分类真题培优练
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摘要：
### 基本信息
聚焦小升初高频易错题，以30类核心题型为框架，精选2025年名校真题，通过典例精讲与变式训练，强化运算能力、空间观念和应用意识，适合尖子生冲刺突破。
### 专项设计
|模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑|
|----|-----------|----------|----------|
|数与代数|17题型（如整数认识、方程应用）|概念辨析与运算技巧结合|从数的认识到四则运算，再到方程与比的综合应用|
|图形与几何|10题型（如平面图形测量、图形变换）|空间观念与实际测量并重|从图形认识到测量计算，再到图形变换与拼组|
|统计与概率|2题型（统计、可能性）|数据分析与随机现象探究|从数据整理到可能性判断，培养数据意识|
|规律探究|1题型（算式规律）|归纳推理与模型构建|通过图形与算式规律，发展创新意识|
内容正文：
2026年六年级毕业数学二轮复习之压轴题考点分类必刷练真题汇编•全国通用
2026年六年级毕业数学必刷考点分类真题培优练『尖子生冲刺』
专项训练05 高频易错题
〔30个重点题型讲练 共90题〕在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。
专题说明 资料简介
同学你好，该份讲义优选2025年全国各地名校真题，模拟题。重点强化小升初高频考察点，提升解题技能，优选常考易错题型。该份检测卷非常适合考前冲刺拔尖使用。题目整体难度偏上，适合成绩中上及拔尖的学生。按照考点划分，方便自我学习批改，检测学习能力。解析版思路清晰，理解全面，进一步优化解题过程，梳理考察点。相信你在2026年毕业考试中考出满意成绩！
在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。
重点难点 题型归纳 压轴必刷
题型序列
题型名称
题型序列
题型名称
题型一
整数的认识
题型十六
列方程解含两个未知数的问题
题型二
小数的认识
题型十七
列方程解决稍复杂的实际问题
题型三
分数的认识
题型十八
比
题型四
百分数的认识
题型十九
比例
题型五
正负数的认识
题型二十
常见的量
题型六
整数的四则运算
题型二十一
典型应用题
题型七
小数的四则运算
题型二十二
平面图形的认识与测量
题型八
分数的四则运算
题型二十三
立体图形的认识与测量
题型九
百分数的四则运算
题型二十四
图形的拼组
题型十
运算定律与简便运算
题型二十五
图形与变换
题型十一
倍的运算
题型二十六
位置与方向
题型十二
计算器与复杂的运算
题型二十七
测量
题型十三
用字母表示数
题型二十八
统计
题型十四
方程的解与解方程
题型二十九
可能性
题型十五
列方程解含一个未知数的问题
题型三十
算式的规律
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优中选优 题型讲练 压轴必刷
题型一 整数的认识
【典例精讲】（2025·四川成都·小升初真题）下面说法中，正确的有（ ）。
①通常规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高出海平面8848.86m，其海拔高度记作﹢8848.86m；吐鲁番盆地的最低处低于海平面154.31m，其海拔高度记作﹣154.31m。
②一个自然数（0除外）不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。
③一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等，圆柱的高是6cm，那圆锥的高一定是18cm。
④甲、乙两人掷骰子决定胜负，大于3的面朝上甲赢，小于3的面朝上乙赢，这个规则是公平的。
A．1个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【思路引导】①通常规定海平面的海拔高度是0m，那么高于海平面的记作正，低于海平面的记作负。
②一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
③根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，圆柱的高h柱＝V÷S，圆锥的高h锥＝3V÷S，所以当圆柱和圆锥等体积等底面积时，圆锥的高是圆柱高的3倍。
④骰子的点数是1～6，数出大于3、小于3的面分别有几个，再比较，数量相同时，可能性相等，游戏规则公平；数量不相同时，数量多的赢的可能性大，游戏规则不公平。
【规范解答】①通常规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高出海平面8848.86m，其海拔高度记作﹢8848.86m；吐鲁番盆地的最低处低于海平面154.31m，其海拔高度记作﹣154.31m。原说法正确。
②一个自然数（0除外）不是奇数就是偶数，但1既不是质数也不是合数，所以“一个自然数不是质数就是合数”说法错误。
③6×3＝18（cm）
一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等，圆柱的高是6cm，那圆锥的高一定是18cm。原说法正确。
④1～6中，大于3的有4、5、6，共3个；小于3的有：1、2，共2个；
3＞2，大于3面朝上的可能性大，甲赢的可能性大，所以这个规则是不公平的。原说法错误。
综上所述，说法正确的是①③，有2个。
故答案为：D
【变式训练1】（2025·浙江杭州·小升初真题）表示一个四位整数，那么( )；如果是3的倍数，且a是一个奇数，那么a＝( )。
【答案】 5
【思路引导】已知表示一个四位整数，千位上是2，表示2个1000即2×1000；百位上是a，表示a个100即a×100，十位上是5，表示5个10即5×10；个位上是0，表示0个1即0×1。
如果是3的倍数，根据3的倍数特征“一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数”，再结合a是一个奇数即可能是1、3、5、7、9，逐一验证即可。
【规范解答】（）
如果是3的倍数，2＋a＋5＋0＝7＋a，且a是一个奇数，那么：
当a＝1时，7＋1＝8，不是3的倍数；
当a＝3时，7＋3＝10，不是3的倍数；
当a＝5时，7＋5＝12，是3的倍数；
当a＝7时，7＋7＝14，不是3的倍数；
当a＝9时，7＋9＝16，不是3的倍数。
填空如下：
表示一个四位整数，那么（）；如果是3的倍数，且a是一个奇数，那么a＝（5）。
【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）对于任意两个正整数，定义某种运算（用表示），当都是正偶数或正奇数时，当中一个为正奇数，一个为正偶数时，，则上述定义下，满足的不同数对，共有多少个？
【答案】15个
【思路引导】根据运算规则进行分类讨论：第一种情况是奇偶性相同（同奇或同偶），此时运算为加法，需找出和为12的正整数对；第二种情况是奇偶性不同（一奇一偶），此时运算为乘法，需找出积为12且奇偶性不同的正整数对，最后将两种情况的数量相加即可。
【规范解答】根据定义，分两种情况讨论：
（1）当都是正偶数或都是正奇数时，。
若均为奇数，满足条件的数对有：
（1，11），（3，9），（5，7），（7，5），（9，3），（11，1），共6个；
若均为偶数，满足条件的数对有：
（2，10），（4，8），（6，6），（8，4），（10，2），共5个。
此种情况共有：6＋5＝11（个）
（2）当中一个为正奇数，一个为正偶数时，。
积为12的正整数对有：（1，12），（2，6），（3，4），（4，3），（6，2），（12，1）；
筛选出奇偶性不同的数对：（1，12），（3，4），（4，3），（12，1），共4个。
此种情况共有4个。
综上所述，满足条件的不同数对共有：11＋4＝15（个）
答：满足的不同数对共有15个。
题型二 小数的认识
【典例精讲】（2025·湖北黄石·小升初真题）下面说法中，正确的有（ ）。
①一个两位小数的近似数是3.0，这个两位小数最大是2.99；
②一个自然数（0除外），不是奇数就是偶数，不是质数就是合数；
③一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等，圆柱的高是6cm，那圆锥的高一定是18cm；
④把26个苹果放进4个篮子中，其中至少有一个篮子中放入了8个苹果。
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【思路引导】①根据四舍五入规则，“四舍”时原数最大。据此求出满足小数的最大值，和题目比较。
②自然数（0除外）按能否被2整除分为奇数和偶数；按因数个数分为质数、合数和1，其中1既不是质数也不是合数。
③当圆柱和圆锥体积相等、底面积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍。
④先将26个苹果平均放入4个篮子，再通过分配余下的苹果，判断其中一个篮子中苹果数量。
【规范解答】①要使两位小数四舍五入后为3.0，其十分位为0，百分位最大为4，所以这个两位小数最大是3.04，而非2.99。因此，说法①错误。
②因为1既不是质数也不是合数，所以“不是质数就是合数”的说法错误。
③6×3＝18cm，因此，说法③正确。
④26÷4＝6（个）……2（个），即给每个篮子放6个后还余2个，余下的2个苹果无论放进哪个篮子，至少有一个篮子有6＋1＝7个苹果，而非8个。因此，说法④错误。
综上，只有说法③正确，即有1个说法正确。
【变式训练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）下列判断中，正确的有（ ）个。
①把2米长的铁丝截成5段，每段长0.4米。
②两个面积相等的梯形，不一定能拼成一个平行四边形。
③最简分数的分子和分母没有公因数。
④一个数乘上一个小数，所得的乘积一定比原来的数小。
⑤将小数点后面的0去掉，小数的大小有可能不变。
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【思路引导】①把2米长的铁丝截成5段，没有说“平均”截成5段，所以每段长度不一定是0.4米。
②两个面积相等的梯形，形状不一定相同，只有两个完全相同的梯形才能拼成平行四边形。
③最简分数的分子和分母互质，公因数只有1。
④一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数；任何数乘1都得它本身。
⑤根据小数的性质可知，去掉小数末尾的0，小数大小不变。
【规范解答】①没有说“平均”截成5段，所以每段长度不一定是0.4米，错误。
②两个面积相等的梯形，形状不一定相同，所以不一定能拼成一个平行四边形，正确。
③最简分数的分子和分母有公因数1，并非没有公因数，错误。
④一个数乘上一个小数，所得的乘积可能比原来的数大，例如2×1.5＝3，3＞2，错误。
⑤将小数点末尾的0去掉，小数的大小不变，例如3.10＝3.1。只有去掉小数末尾的0时大小不变，但题干中“有可能不变”的表述正确。
综上，②⑤正确，正确的有2个。
故答案为：B
【变式训练2】求24个偶数的平均数，保留一位小数的数是15.9，若保留两位小数的数应该是（ ）。
A．15.91 B．15.92 C．15.93 D．19.94
【答案】B
【思路引导】先求出这24偶数的平均数保留两位小数的最大值和最小值，这24个偶数的和一定为偶数，再根据“这组数据的和＝平均数×数据个数”求出满足条件的这24个偶数的和，最后利用“平均数＝这组数据的和÷数据个数”求出商保留两位小数的值，据此解答。
【规范解答】平均数保留一位小数的数是15.9，平均数保留两位小数的最小值为15.85，保留两位小数的最大值为15.94。
24个偶数和的最小值为：15.85×24＝380.4
24个偶数和的最大值为：15.94×24＝382.56
24个偶数的和一定为偶数，则24个偶数的和为382。
382÷24≈15.92
故答案为：B
【考点剖析】掌握平均数的意义和小数取近似数的方法是解答题目的关键。
题型三 分数的认识
【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）某项工程，A、B、C、D单独做分别需15天、30天、18天、45天。现在四人合作，但中途A休息1天、B休息2天、C休息3天。那么一共需要几天才能完工？
【答案】天
【思路引导】把总工程量看作单位“1”，总工程量÷工作时间＝工作效率，则A工作效率为，B工作效率为，C工作效率为，D工作效率为；设总工期为x天，则A工作（x－1）天，B工作（x－2）天，C工作（x－3）天，D工作x天；工作效率×工作时间＝工作量，各部分工作量之和＝总工程量，据此列方程解答。
【规范解答】解：设一共需要x天，则A工作（x－1）天，B工作（x－2）天，C工作（x－3）天，D工作x天。
答：一共需要天才能完工。
【变式训练1】（2025·湖南永州·小升初真题）。
【答案】12；20；18；120
【思路引导】从已知的入手，根据分数与除法的关系，分子相当于被除数，分母相当于除数，根据商不变规律，被除数和除数同时乘2，即可求出除数为10时被除数的值；
根据分数与比的关系，分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，根据比的基本性质，前项和后项同时乘4，即可求出前项为24时后项的值；
根据分数的基本性质，分子和分母同时乘4，先求出分母为20时分子的值，再用求得的分子减去6，即可求出括号内的数；
分数化成小数，直接用分子除以分母，将求得的小数的小数点向右移动两位，再添上百分号即可。
【规范解答】＝6÷5＝（6×2）÷（5×2）＝12÷10；
＝6∶5＝（6×4）∶（5×4）＝24∶20；
＝，24－6＝18；
＝6÷5＝1.2＝120%；
即＝12÷10＝24∶20＝＝120%。
【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）元旦节即将来临，公司推出新款手镯，开始接单生产，该款手镯由两种金属按一定的重量比例构成，金属原来的成本为200元/克，金属原来的成本为150元/克，现由于市场价格波动，金属的成本上涨，金属的成本下跌到原来的，每克手镯现在的总成本比原来增加了37.5元。
(1)求手镯中金属和金属的重量比。
(2)手镯按原来的成本价格销售可获得的利润，现在，公司为了推出元旦礼盒，再投入现在总成本的做包装，这样，按现在的成本价格销售手镯，可获得的利润，求现在一个手镯的售价比原来一个手镯的售价上涨的百分比。
【答案】(1)
3∶1
(2)
19.25%
【思路引导】（1）分别将两种金属原来的成本看作单位“1”，那么金属A的新成本是原来成本的（1＋30%），金属B的新成本是原来成本的80%；求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，金属A的新成本＝金属A的原来成本×对应百分率，金属B的新成本＝金属B的原来成本×对应百分率。设每克手镯中金属A的重量为克，那么金属B的重量为克。手镯的总成本＝金属A的成本×金属A的重量＋金属B的成本×金属B的重量，根据等量关系“每克手镯现在的总成本－每克手镯原来的总成本＝每克手镯增加的成本”列出方程求出，再求出的值；最后根据比的意义写出两种金属的重量比，根据比的基本性质化成最简整数比。
（2）将原来每克手镯的总成本看作单位“1”，原来的售价是原来总成本的（1＋60%），所以每克手镯原来的售价＝每克手镯原来的总成本×（1＋60%）。每克材料现在的总成本＝每克手镯原来的总成本＋37.5；将每克材料现在的总成本看作单位“1”，投入包装成本后，每克手镯现在的总成本就是每克材料现在总成本的（1＋6%），即每克手镯现在的总成本＝每克材料现在的总成本×（1＋6%）。将每克手镯现在的总成本看作单位“1”，每克手镯现在的售价是每克手镯现在总成本的（1＋50%），每克手镯现在的售价＝每克手镯现在的总成本×（1＋50%）。然后将每克手镯原来的售价看作单位“1”，求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算，根据“（每克手镯现在的售价－每克手镯原来的售价）÷每克手镯原来的售价×100%”求出上涨的百分比。
【规范解答】（1）金属A上涨30%后的成本：
（元/克）
金属B下跌到原来的80%后的成本：
（元/克）
设每克手镯中金属A占克，则每克金属B占克。
（克）
金属A与金属B的重量比为：
答：手镯中金属A和金属B的重量比是3∶1。
（2）原来每克手镯的总成本：
（元）
原来每克手镯的售价：
（元）
现在每克手镯的材料总成本：
（元）
现在每克手镯含包装的总成本：
（元）
现在每克手镯的售价：
（元）
售价上涨的百分比：
答：现在一个手镯的售价比原来一个手镯的售价上涨19.25%。
题型四 百分数的认识
【典例精讲】（2024·河北张家口·小升初真题）5÷（ ）＝25%＝（ ）∶40＝＝（ ）（填小数）＝（ ）折。
【答案】20；10；60；0.25；二五
【思路引导】从25%入手，根据除数＝被除数÷商，计算第一空；根据比的前项＝后项×比值，计算第二空；
把25%化成分母是100的分数再化简是，根据分数的基本性质，的分子、分母都乘15就是；把25%的小数点向左移动两位并去掉百分号就是0.25；根据折扣的意义25%就是二五折。
【规范解答】5÷25%＝20
40×25%＝10
25%＝＝，4×15＝60
25%＝0.25＝二五折
所以，5÷20＝25%＝10∶40＝＝0.25＝二五折。
【变式训练2】（2024·重庆石柱·小升初真题）成渝地区双城经济圈是我国西部地区发展水平最高、发展潜力较大的城镇化区域，是实现长江经济带和“一带一路”倡议的重要组成部分。数据显示，2023年成渝地区双城经济圈实现地区生产总值81986.7亿元。其中，重庆都市圈经济总量达二万四千六百三十二点六亿元，占重庆市比重76.7%；成都都市圈经济总量达27845.3亿元，占全省比重为46.3%。
(1)横线上的数读作( )；加点的数省略亿后面的尾数是( )元；波浪线上的数写作( )。
(2)76.7%表示( )。
(3)通过阅读分析上面的数据，你还发现了( )信息。
【答案】(1) 八万一千九百八十六点七 27845亿 24632.6
(2)重庆都市圈经济总量是重庆市经济总量的百分之七十六点七
(3)成渝地区双城经济圈发展规模及两都市圈在各自省市经济中的地位和贡献情况等。
【思路引导】（1）读数时，从高位开始读起，依次读出每一位即可；省略亿后面的尾数看千万位，按照四舍五入的方法省略尾数，再添加亿字即可；写数时，依次写出每个数位上的数字即可；
（2）由题可知，把重庆市经济总量看作单位“1”，重庆都市圈经济总量占重庆市经济总量的76.7%；
（3）题中还提到了成都都市圈经济总量及其在全省经济总量的占比、重庆都市圈经济总量及其在重庆市经济总量的占比，这体现了成渝地区的经济发展规模及其在各自省市经济中的地位和贡献情况等，答案不唯一，合理即可。
【规范解答】（1）横线上的数读作八万一千九百八十六点七；
加点的数省略亿后面的尾数是27845亿元；
波浪线上的数写作24632.6
（2）76.7%表示重庆都市圈经济总量是重庆市经济总量的76.7%。
（3）成渝地区双城经济圈发展规模及两都市圈在各自省市经济中的地位和贡献情况。（答案不唯一，合理即可）
【变式训练2】（2025·浙江温州·小升初真题）A、B两城相距580千米，两城之间有一个C城，客车从A城开往C城，货车从B城开往C城。客车行驶了90千米，货车行驶了B、C两城间的距离的60%，而且这时客车货车剩下的路程刚好相等。求A、C两城之间的距离。
【答案】230千米
【思路引导】根据题意，设A、C两城间的距离为x千米，那么B、C两城间的距离为（580－x）千米。再分别表示出客车剩余路程为x－90千米，货车剩余路程为（580－x）×（1－60%）千米；最后根据“客车剩余路程＝货车剩余路程”列出方程求解，从而得到A、C两城之间的距离。
【规范解答】解：设A、C两城间的距离为x千米，那么B、C两城间的距离为（580－x）千米。
x－90＝（1－60%）×（580－x）
x－90＝0.4×（580－x）
x－90＝232－0.4x
x－90＋0.4x＝232－0.4x＋0.4x
1.4x－90＝232
1.4x－90＋90＝232＋90
1.4x＝322
1.4x÷1.4＝322÷1.4
x＝230
答：A、C两城之间的距离是230千米。
【考点剖析】本题的关键是抓住“客车剩余路程=货车剩余路程”的等量关系，设A、C距离为x千米，用x表示出B、C距离和两车剩余路程，再列方程求解。
题型五 正负数的认识
【典例精讲】（2024·河北沧州·小升初真题）在﹢7、﹣6.6、、0、﹣12中，最大是( )；负数有( )个；正数有( )个；在﹢7和﹣12中，( )更接近0。
【答案】 ﹢7 2 2 ﹢7
【思路引导】正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，距离原点近的数大；0既不是正数，也不是负数。两个正数比较大小，距离原点远的数大。﹢7距离0有7个单位长度，﹣12距离0有12个单位长度，则﹢7更接近0。据此解答。
【规范解答】通过分析可得：
在﹢7、﹣6.6、、0、﹣12中，最大是﹢7；负数有﹣6.6，﹣12，一共有2个；正数有﹢7，，有2个；在﹢7和﹣12中，﹢7更接近0。
【变式训练1】（2024·河北邯郸·小升初真题）新疆维吾尔自治区是我国陆地面积最大的省级行政区，总面积约1664900平方千米。新疆天山东部有一个著名的盆地吐鲁番盆地，它的最低处艾丁湖洼地低于海平面154.31米，也是我国陆地的最低点。“火焰山”是吐鲁番著名的旅游景点之一，夏季地表温度最高可达881.3℃，是名副其实的“火焰山”。
(1)1664900读作( )，改写成用“万”作单位的数是( )万，保留一位小数约是( )万。
(2)低于海平面154.31米可以记作( )米；最高温度881.3°C可以记作( )℃。
【答案】(1) 一百六十六万四千九百 166.49 166.5
(2) ﹣154.31 ﹢881.3
【思路引导】（1）亿以内数的读法（含有两级的数的读法）读数之前，先分级。从个位起，每四个数位是一级。先读万级，再读个级。万级的数，要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字。改写成以“万”为单位的数，就是在万位后面加上小数点，去掉数字末尾的0，然后在小数的后面加上“万”字。对小数点后第二位四舍五入，取得近似数；
（2）把海平面记作0米，艾丁湖洼地低于海平面154.31米用负数表示。以0℃为基准，“火焰山”夏季地表最高温度881.3℃用正数表示。负数用负号﹣”标记，据此解答。
【规范解答】（1）1664900读作：一百六十六万四千九百；
1664900＝166.49万
1664900≈166.5万
1664900读作一百六十六万四千九百，改写成用“万”作单位的数是166.49万，保留一位小数约是166.5万。
（2）低于海平面154.31米记作：﹣154.31米；
最高温度881.3℃记作：﹢881.3℃。
【变式训练2】看图填空。
①（ ）是正数和负数的分界点。
②所有的正数都在0的（ ）边，所有的负数都在0的（ ）边。
③在直线上，距0点4个单位长度的点分别是（ ）和（ ）
④如果一个人从0点先向东走3米记作﹢3米到A点（单位长度是1米），那么这个人又走﹣5米到B点是什么意思？这时他距离出发点有多远？在直线上表示出来。
【答案】①0；
②右；左；
③﹢4；﹣4；
④向西走5米；2米；见详解
【思路引导】根据正、负数的意义，数的前面加有“﹢”号的数，就是正数，正数前面的“﹢”可以省略；数的前面加有“﹣”号的数，就是负数，0既不是正数也不是负数；在数轴上，正数在0的右边，负数在0的左边，所以0是正负数的分界点；在0的右边，距0点4个单位长度的点是﹢4；在0的左边，距0点4个单位长度的点是﹣4；正负数可以用来表示具有意义相反的两种量，如果向东走的米数记为正，则向西走的米数就记为负，据此解答即可。
【规范解答】①0是正数和负数的分界点；
②所有的正数都在0的右边，所有的负数都在0的左边；
③在直线上，距0点4个单位长度的点分别是﹣4和﹢4；
④这个人走﹣5米到B点表示向西走5米。
5－3＝2（米）
这时他距离出发点有2米。
如图：
题型六 整数的四则运算
【典例精讲】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）乌龟和兔子进行1000米赛跑，兔子速度是乌龟速度的5倍，当它们从起点同时出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它500米，兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后10米，求兔子睡觉期间，乌龟跑了___________米。
【答案】
802
【思路引导】确定总路程与实际跑步路程，乌龟跑完全程1000米，兔子落后10米，求出兔子实际跑的距离，根据兔子速度是乌龟的5倍，求出在兔子跑步的时间内，乌龟跑的路程与兔子跑的路程之间的关系，乌龟一直在跑，其总路程由兔子跑步时乌龟跑的路程和“兔子睡觉时乌龟跑的路程两部分组成，用乌龟的总路程减去兔子跑步期间乌龟跑的路程，即为兔子睡觉期间乌龟跑的路程。
【规范解答】1000－10＝990（米）
因为兔子速度是乌龟速度的5倍，所以在相同时间内，令乌龟速度是1份，兔子速度是5份。
1×时间∶5×时间
＝1∶5
＝
乌龟跑的路程是兔子的，兔子跑步期间乌龟跑的路程：990÷5＝198（米）。
1000−198＝802（米）
【变式训练1】（2025·湖南长沙·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。
（1）800－105÷7×30 （2）7.3＋7.3×99 （3） （4）
【答案】（1）350；（2）730；（3）5；（4）
【思路引导】（1）按照四则运算顺序，先算除法，再算乘法，最后算减法。
（2）把7.3看成7.3×1，提取公因数7.3，利用乘法分配律逆运算进行简算。
（3）先算乘法，再运用减法的性质进行简算（一个数连续减去两个数等于减去这两个数的和）；
（4）先算小括号内的减法，再算中括号内的乘法，最后算括号外的除法。
【规范解答】（1）800－105÷7×30
＝800－15×30
＝800－450
＝350
（2）7.3＋7.3×99
＝7.3×1＋7.3×99
＝7.3×（1＋99）
＝7.3×100
＝730
（3）
＝
＝
＝6－1
＝5
（4）
＝
＝
＝
＝
＝
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5公顷、7公顷，三个牧场上的草长得一样密，且生长得一样快。有两群牛，第一群牛先用2天将一号牧场的草吃完，再用5天将二号牧场的草吃完。在这7天里，第二群牛刚好将三号牧场的草吃完。如果第一群牛有15头，那么第二群牛有多少头？
【答案】15头
【思路引导】设一头牛一天吃的草量为1份，依题意可知，第一片牧场3公顷草地可供15头牛吃2天，因此1公顷的草地可供5头牛吃2天、那么5公项的草地可供25头牛吃2天，共吃了25×2＝50份，这50份中包括原有的草和2天生长的草；
另一方面，由题目条件，第二片牧场5公顷草地生长2天后可供15头牛吃5天，共吃了15×5＝75份，这75份中包括原有的草和7天生长的草。
因此5公顷草地上草的生长速度为每天（75－50）÷（7－2）＝5份，3公顷草地上原有草总量为50－5×2＝40份。
于是第三片牧场上草的生长速度为每天5÷5×7＝7份，原有草总量为40÷5×7＝56份.
那么要7天把第三片草地吃完共需要吃 56＋7×7＝ 105份草。
因此第二群牛共有105÷7＝15头。
【规范解答】设一头牛一天吃的草量为1份：
5×5×2＝50（份）
15×5＝75（份）
（75－50）÷（7－2）
＝25÷5
＝5（份）
50－5×2
＝50－10
＝40（份）
5÷5×7
＝1×7
＝7（份）
40÷5×7
＝8×7
＝56（份）
56＋7×7
＝56＋49
＝105（份）
105÷7＝15（头）
答：第二群牛有15头。
【考点剖析】主要根据等量关系式，（牛的头数×吃草较多的天数－牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数）＝草地每天新长草量。牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数＝草地原有的草，进行计算。
题型七 小数的四则运算
【典例精讲】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）计算。
（1） （2）
（3） （4）
（5）
（6）
【答案】（1）；
（2）5.25；
（3）；
（4）4.755；
（5）；
（6）。
【思路引导】（1）本题可用乘法分配律简便计算：先用括号内两项分别乘21，消去分母简化计算，最后算加法。
（2）从最内层小括号开始逐层计算；先算除法，再依次算小括号、中括号；百分数75%＝，最后从左到右算加减。
（3）先统一数的形式：带分数、小数全部化成分数，从内到外逐层算括号，再依次计算乘除。
（4）严格遵循运算顺序：先算小括号内除法→小括号减法→中括号加法→乘法→最终减法。
（5）先化简第一项算式，再统一提取公因数，逆用乘法分配律简便计算。
（6）拆分4个模块分步计算：带分数化简、中括号乘法、凑整简便运算、小数分数统一后乘法分配律计算，最后全部合并求和。
【规范解答】（1）
＝
＝
＝
（2）
＝
＝
＝
＝
＝
＝
（3）
＝
（4）
（5）
（6）
【变式训练1】（2025·湖北黄石·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。
0.73×8.5－7.3×0.74＋73×0.9% （654＋546＋465）÷37
【答案】37.5；2.46；45
【思路引导】先算小括号里面的除法，再算小括号里面的加法，然后算中括号里面的减法，最后算括号外面的除法；
按照乘法分配律计算；
先算小括号里面的加法，再算除法。
【规范解答】
＝10÷[－（2＋0.4）]
＝10÷[－2.4]
＝10÷
＝10
＝37.5
0.73×8.5－7.3×0.74＋73×0.9%
＝0.73×8.5－0.73×7.4＋0.73×0.9
＝0.73×（8.5－7.4＋0.9）
＝0.73×（1.1＋0.9）
＝0.73×2
＝2.46
（654＋546＋465）÷37
＝1665÷37
＝45
【变式训练2】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）A的步行速度为每小时5千米，B的步行速度为每小时6千米，他们两人从甲地到乙地去。C骑自行车的速度是A的2倍，从乙地到甲地去，他们三人同时出发，在B、C相遇30分钟后，A又与C相遇，请问：C骑车从乙地到甲地需要______小时。
【答案】12
【思路引导】先用A的速度乘2求出C的速度，利用速度和×时间＝路程和，求出A、C半小时走的路程；这段路程就是B、C相遇时B比A多走的路程，用路程差÷速度差求出相遇时间；再用速度和×相遇时间求出全程，最后用路程÷速度，求出C走完全程的时间。注意单位换算，将30分钟转化为0.5小时。
【规范解答】C的速度：5×2＝10（千米/小时）
B、C相遇时，A与B的路程差：
（5＋10）×0.5
＝15×0.5
＝7.5（千米）
B、C的相遇时间：
7.5÷（6－5）
＝7.5÷1
＝7.5（小时）
甲乙两地的总路程：
（6＋10）×7.5
＝16×7.5
＝120（千米）
C从乙地到甲地的总时间：120÷10＝12（小时）
题型八 分数的四则运算
【典例精讲】（2025·湖南永州·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。
（1） （2）3.28×37＋6.4×32.8－328×1%
（3） （4）
【答案】（1）；（2）328；
（3）8.6；（4）
【思路引导】（1）先算小括号内减法，再算中括号内乘法，最后算括号外除法。
（2）利用积不变规律，将6.4×32.8转化为3.28×64，328×1%转化为3.28×1，再利用乘法分配律提取相同因数，简化计算。
（3）先将除法转化为分数形式，再利用减法的性质，简化运算。
（4）利用除法与乘法的关系，将除法转化为乘法，再利用乘法分配律提取相同因数，简化计算。
【规范解答】（1）
＝
＝
＝
＝
＝
（2）3.28×37＋6.4×32.8－328×1%
＝3.28×37＋64×3.28－3.28×1
＝3.28×（37＋64－1）
＝3.28×100
＝328
（3）
＝
＝
＝9.6－1
＝8.6
（4）
＝
＝
＝
＝
【变式训练1】（2025·四川达州·小升初真题）脱式计算，能简算的要简算。
【答案】400；8.6
8；
1.52；1970
【思路引导】（1）先根据乘法分配律把括号内的算式进行简算，再算括号外的除法；
（2）先算除法、乘法，再根据减法的性质进行简算；
（3）先把百分数、小数化成分数，再根据乘法分配律的逆运算进行简算；
（4）先算小括号里的加法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的乘法；
（5）先算括号里的除法，再算括号里的减法，最后算括号外的乘法；
（6）先根据积不变的规律把改写成，把改写成，再根据乘法分配律的逆运算进行简算。
【规范解答】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【变式训练2】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）计算题。
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
【答案】（1）；（2）2；
（3）80；（4）42
（5）；（6）126
（7）x＝1.4；（8）x＝7
【思路引导】（1）先算小括号里的减法，再算中括号里的除法， 接着算中括号里的加法，最后算中括号外的乘法。
（2），先算小括号的减法，再算中括号的除法，算出结果变成0.4×［×2.5］×26，再根据乘法交换律和结合律变成（0.4×2.5）×（×26）使得计算简便。
（3）先变成（×3.6＋3.6×）÷÷，再根据乘法分配律变成3.6×（＋）÷÷再计算。
（4）先根据乘法分配律变成10.5×12.9－3.3×8.9－7.2×（16.3－7.4）。然后根据数字特点灵活运用乘法分配律进行简算即可。
（5）算式整理成－＋－＋－＋－，再根据加法交换律，结合律以及带符号搬家。变成（＋）＋（＋）－（＋）－（＋）再计算。
（6）根据积不变的规律分数小数互化，将算式整理成2013×，再根据乘法分配律写成2013×，使得计算简便。
（7）先把方程化简成10x＝14，再根据等式的性质解方程。
（8）根据比例的基本性质把方程写成（x－1）＝5×18%，再根据等式的性质解方程即可。
【规范解答】（1）
＝［（－）÷＋4］×
＝［（－）÷＋4］×
＝［×＋4］×
＝［＋4］×
＝×
＝
（2）
＝0.4×［÷×2.5］×26
＝0.4×［××2.5］×26
＝0.4×［×2.5］×26
＝（0.4×2.5）×（×26）
＝1×2
＝2
（3）
＝（×3.6＋3.6×）÷÷
＝3.6×（＋）
＝3.6×10÷÷
＝36××
＝80
（4）
＝10.5×12.9－3.3×8.9－7.2×（16.3－7.4）
＝10.5×12.9－3.3×8.9－7.2×8.9
＝10.5×12.9－8.9×（3.3＋7.2）
＝10.5×12.9－8.9×10.5
＝10.5×（12.9－8.9）
＝10.5×4
＝42
（5）
＝－＋－＋－＋－
＝（＋）＋（＋）－（＋）－（＋）
＝＋－－
＝（－－）＋
＝＋
＝
（6）
＝2013×
＝2013×
＝2013×
＝2013×
＝2013×
＝126
（7）
解：4x－4＋2＝6［5－3－x］
4x－4＋2＝30－18－6x
4x＋6x＝30－18＋4－2
10x＝14
x＝14÷10
x＝1.4
（8）
解：（x－1）＝5×18%
x－＝5×0.18
x＝0.9＋
x＝1.05
x＝1.05÷
x＝1.05÷0.15
x＝7
【考点剖析】根据算式和数字的特点灵活选择计算方法。
题型九 百分数的四则运算
【典例精讲】2025·山东菏泽·小升初真题）有一个商店把某件商品按进价加价30%作为定价，可是总是卖不出去，后来老板按定价减价30%以91元出售，很快就卖掉了，则这次生意的盈亏情况为（ ）。
A．赚了6元 B．亏了6元 C．亏了9元 D．赚了9元
【答案】C
【思路引导】把进价看作单位“1”，那么定价就是进价的（1＋30%）；再将定价看作单位“1”，减价后是定价的（1－30%）；根据“求一个数的百分之几是多少，用乘法计算”计算出减价后的价格占进价的（1＋30%）×（1－30%）＝；根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”用91除以即可计算进价为100元；进价大于售价，所以是亏损，用进价减去售价即可计算亏损的价格。
【规范解答】（1＋30%）×（1－30%）
＝（1＋）×（1－）
＝
＝
＝
＝100（元）
100＞91
100－91＝9（元）
所以这次生意亏了9元。
有一个商店把某件商品按进价加价30%作为定价，可是总是卖不出去，后来老板按定价减价30%以91元出售，很快就卖掉了，则这次生意的盈亏情况为亏了9元。
故答案为：C
【变式训练1】（2025·福建宁德·小升初真题）下面说法中，正确的是（ ）。
①当a÷b＝5（a、b均为不等于0的整数）时，则a和b的最小公倍数是a，最大公因数是b。
②某学校的篮球社团成员中，男生人数比女生多20%，则女生人数比男生少20%。
③今年的端午节正好在儿童节的前一天，由此可知，今年的端午节是5月31日。
④袋子里有红、黄两种颜色的球若干个，小军摸完放回，连续9次都是摸到红球，那么，小军在第10次一定会摸到黄球。
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
【答案】D
【思路引导】①设a＝10，则b＝2，由此即可确定a和b的最大公因数和最小公倍数。
②设某学校的篮球社团成员中，女生有100人，则男生人数为100×（1＋20%）。求女生比男生少百分之几，（男生人数－女生人数）÷男生人数×100%，即可求得女生人数比男生少百分之几。
③易知儿童节是6月1日，则可计算出今年儿童节的前一天的端午节的日期。
④袋子里有红、黄两种颜色的球若干个，所以即使连续9次都是摸到红球，第10次摸到红球和黄球都有可能。
以此即可做出选择。
【规范解答】①设a＝10，则b＝10÷5＝2。因为10和2的最大公因数为2，最小公倍数为10，所以a和b的最小公倍数是a，最大公因数是b，①正确。
②设某学校的篮球社团成员中，女生人数为100人，则男生人数为100×（1＋20%）＝120（人）。
（120－100）÷120×100%
＝20÷120×100%
≈16.7%
所以女生人数比男生大约少16.7%，②错误。
③因为今年的端午节正好在儿童节的前一天，儿童节为6月1日，所以今年的端午节是5月31日，③正确。
④袋子里有红、黄两种颜色的球若干个，小军摸完放回，连续9次都是摸到红球，那么，小军在第10次可能摸到黄球，也有可能摸到红球，④错误。
所以正确的是①③。
故答案为：D
【变式训练2】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）某市职工医疗保险规定：职工因病住院医疗费用补偿设起付线，如果甲医院的起付线是500元，500元以内的个人支付，超过起付线并且不超过2000元的部分按80%补偿，2000元以上的部分按75%补偿，其余自付。王叔叔7月份因病在甲医院住院，医疗费用补偿后，个人实际支付3300元，补偿多少元？
【答案】8700元
【思路引导】先确定总医疗费用是否超过2000元，再分阶段计算个人支付的各部分，即计算500元到2000元部分的个人支付金额、超过2000元部分的个人支付金额、超过2000元的总医疗费用，进而求出总费用，最后用总医疗费用减去个人实际支付金额，计算出补偿金额。
【规范解答】2000－500＝1500 （元）
1500×（1－80%）
＝1500×20%
＝1500×0.2
＝300（元）
3300－500－300
＝2800－300
＝2500 （元）
2500÷（1－75%）
＝2500÷25%
＝2500÷0.25
＝10000（元）
2000＋10000＝12000 （元）
12000－3300＝8700 （元）
答：补偿了8700元。
【考点剖析】这道题解题关键在于按医疗费用的不同区间，明确个人支付比例，再通过个人实际支付金额倒推总费用，最后求出补偿金额。
题型十 运算定律与简便运算
【典例精讲】（2025·河南商丘·小升初真题）仔细审题，怎么简便怎么算。
6090－630÷6×5 14.32－7.8＋1.68－3.2
【答案】5565；5；6；
；950；2018
【思路引导】计算6090－630÷6×5时，四则混合运算先算乘除，再算减法。
计算14.32－7.8＋1.68－3.2时，用带符号搬家和减法性质凑整简化。
计算时，用乘法分配律a×（b＋c）＝a×b＋a×c，拆分后分别计算再求和。
计算时，先小数0.52化分数，再将除法变乘法后得，再按照先算括号里面的，后算括号外面的乘法，最后再算减法。
计算时，先算括号内除法，再算括号内减法，最后算括号外除法。
计算时，将除法变乘法，再用乘法分配律的逆运算提取相同因数2018。
【规范解答】（1）6090－630÷6×5
（2）14.32－7.8＋1.68－3.2
（3）
＝6
（4）
（5）
（6）
【变式训练1】（2025·山东青岛·小升初真题）计算下列各题。
92.7－18.5＋7.3－81.5
【答案】0；7.55；120；；6；
【思路引导】（1）根据带符号搬家，将算式转化成92.7＋7.3－18.5－81.5，再结合减法的性质，将连减转化成减去两个数的和，进而简便计算；
（2）将小数0.25化成分数，再根据分数四则运算法则，依次进行计算即可；
（3）根据乘法分配律将算式进行去括号，进而简便计算；
（4）根据分数四则运算法则依次进行计算即可；
（5）将分数和60%都化成小数，再根据乘法分配律逆运算进行简便计算；
（6）根据分数四则运算法则依次进行计算即可；
【规范解答】92.7－18.5＋7.3－81.5
＝92.7＋7.3－18.5－81.5
＝（92.7＋7.3）－（18.5＋81.5）
＝100－100
＝0
＝7.55
＝52＋68
＝120
＝6
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）计算题。
【答案】；48.5；
【思路引导】按照运算顺序进行计算。
先把第二个括号的带分数化成小数，之后运用乘法交换律，计算第一个乘数和最后一个括号的结果，再把第一个括号里的数按照带符号搬家，小数结合计算出结果，最后运用乘法分配律即可简便运算。
把带分数写成整数与分数的加法，再根据加法结合律，整数与整数相加，分数与分数相加，再把分数相加的部分按照裂项法即可求解。
【规范解答】×÷7÷×1.5
＝×÷7÷×
＝×××
＝××
＝×
＝
×（17.54－＋0.06）×（6.45－）
＝×（17.54＋0.06－）×（－）
＝×（17.6－）×
＝××（17.6－）
＝3×（17.6－）
＝3×17.6－3×
＝52.8－4.3
＝48.5
＋＋＋＋
＝1＋＋2＋＋3＋＋4＋＋5＋
＝1＋2＋3＋4＋5＋＋＋＋＋
＝（1＋2＋3＋4＋5）＋（＋＋＋＋）
＝15＋[×（1－）＋×（－）＋×（－）＋×（－）＋×（－）]
＝15＋×[（1－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）]
＝15＋×[1－＋－＋－＋－＋－]
＝15＋×[1－]
＝15＋×
＝15＋
＝
题型十一 倍的运算
【典例精讲】（2025·江西南昌·小升初真题）中国的制造业发达，被称为“世界工厂”，而美国是世界上最大的消费市场，中国的很多产品都卖到了美国。2025年4月，美国对中国产品征收高关税，发动贸易战。
（1）中国的华兴玩具厂生产一件毛绒玩具的成本是60元，加上20%的利润，就是厂家的出厂价，再出口到美国，就还要再加价75%（含关税54%、运输成本和美国商家获取的利润等）。这件毛绒玩具在美国卖多少钱？
（2）这件毛绒玩具如果在美国生产，由于供应链不完整和工人的工资高，再按中国毛绒玩具在美国的售价出售，美国的工厂还要亏损10%，美国工厂的生产成本是多少元？约是中国生产成本的几倍？
【答案】（1）126元
（2）140元，约2.33倍
【思路引导】（1）把生产一件毛绒玩具的成本看作单位“1”，则出厂价是成本价的1＋20%，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法解答，求出厂价列式为：60×（1＋20%），再把出厂价看作单位“1”，则出口到美国的价格是出厂价的1＋75%，求这件毛绒玩具在美国卖多少钱，列式为：60×（1＋20%）×（1＋75%）。
（2）设在美国生产的成本价是x元，把在美国生产的成本价看作单位“1”，则在美国的售价是成本价的1－10%，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法解答，用成本价×（1－10%）就是在美国的售价，等于126元，据此列方程为：x×（1－10%）＝126，解方程求出美国工厂的生产成本是多少元，再根据求一个数是另一个数的几倍，用这个数除以另一个数解答，用美国工厂的生产成本除以在中国的生产成本即可解答。
【规范解答】（1）60×（1＋20%）×（1＋75%）
＝60×1.2×1.75
＝72×1.75
＝126（元）
答：这件毛绒玩具在美国卖126元。
（2）解：设美国工厂的生产成本是x元。
x×（1－10%）＝126
0.9x＝126
x＝126÷0.9
x＝140
140÷60≈2.33
答：美国工厂的生产成本是140元，约是中国生产成本的2.33倍。
【变式训练1】（2024·河南郑州·小升初真题）甲、乙两人骑车分别从桥头和桥尾同时出发相向而行。与此同时，一列火车车头正好到达桥头，准备上桥，60秒后，火车车尾恰好超过甲，且火车车头恰好与乙相遇；又过了60秒，火车车尾恰好离开桥尾，此时甲、乙恰好相遇。
（1）桥长是车长的几倍？
（2）从火车车尾上桥到火车车头到达桥尾共用多少时间？
【答案】（1）2倍
（2）40秒
【思路引导】（1）根据题意，120秒时两人相遇，所以60秒时两人相距相当于半个桥长，据此解答。
（2）120秒时，火车恰好走了一个车长和桥长，即3个车长；从火车车尾到火车车头到达桥尾，火车恰好走了一个桥长减去车长即1个车长的距离；所以共用了（120÷3）秒。据此解答。
【规范解答】（1）60＋60＝120（秒）
所以60秒时两人相距相当于半个桥长。因此桥长恰好是车长的2倍。
答：桥长是车长的2倍。
（2）120÷3＝40（秒）
答：从火车车尾上桥到火车车头到达桥尾共用40秒。
【变式训练2】有酒精含量为的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为的溶液，如果再稀释到，那么还需要加水的数量是上次加的水量的（ ）倍。
A．1.5 B．2 C．3 D．2.5
【答案】A
【思路引导】假设36%的酒精溶液100克，那么含酒精100×36%＝36克，是不变的；30%的浓度的酒精溶液是36÷30%＝120克，比100克多了20克水；24%的浓度的酒精溶液是36÷24%＝150克，比100克多了50克水；第1次加了20克，第2次又加了50－20＝30克，第2次加水质量÷第1次加水质量即可。
【规范解答】假设36%的酒精溶液100克。
含酒精100×36%＝36（克）
36÷30%－100
＝36÷0.3－100
＝120－100
＝20（克）
（36÷24%－100－20）÷20
＝（36÷0.24－100－20）÷20
＝（150－100－20）÷20
＝30÷20
＝1.5
还需要加水的数量是上次加的水量的1.5倍。
故答案为：A
【考点剖析】关键是理解百分率的意义，掌握百分率的求法，明确稀释前后酒精的质量不变是解答本题的关键。
题型十二 计算器与复杂的运算
【典例精讲】（2024·湖北襄阳·小升初真题）一个计算器的数字键“4”坏了，陈娟要计算248×5.6，可以用下面（ ）计算出正确的得数。
A．280×5.6 B．258×5.6－10
C．250×5.6－11.2 D．238×5.6＋5.6
【答案】C
【思路引导】根据题意，计算器的数字键“4”坏了，250与248相差2，所以可以把248化为250－2，原式化为：（250－2）×5.6；再根据乘法分配律，原式化为：250×5.6－2×5.6，进而解答。
【规范解答】248×5.6
＝（250－2）×5.6
＝250×5.6－2×5.6
＝250×5.6－11.2
一个计算器的数字键“4”坏了，陈娟要计算248×5.6，可以用250×5.6－11.2计算出正确的得数。
故答案为：C
【变式训练1】（2024·山东潍坊·小升初真题）聪聪在用计算器计算一个四位数乘525时，错误地将525输成了25，接下来，输入（ ）可以避免结果错误。
A．“×5” B．“×500” C．“＋500” D．“×21”
【答案】D
【思路引导】根据题意，用计算器计算一个四位数乘525时，错误地将525输成了25，因为525÷25＝21，即525＝25×21，所以接下来，输入“×21”可以避免结果错误，据此解答即可。
【规范解答】525÷25＝21
接下来，输入“×21”可以避免结果错误。
故答案为：D
【变式训练2】（2024·重庆云阳·小升初真题）在用计算器计算12×28时，数字“8”不灵了，可以按照（ ）这样算。
A．12×4×7 B．12×20＋12×8 C．12×30－2 D．10×28＋2×28
【答案】A
【思路引导】在计算器上计算12×28，但数字键“8”坏了，因此不能使用任何包含数字“8”的输入。需要从选项中找出一个不依赖“8”键且计算结果正确的方法。
【规范解答】A．12×4×7：
28化为4×7；
12×28
＝12×（4×7）
＝12×4×7
12×28化为12×4×7，符合题意。
B．12×20＋12×8：
把28化为20＋8
12×28
＝12×（20＋8）
＝12×20＋12×8
由于数字“8”不灵了，12×28不能化为12×20＋12×8，不符合题意。
C．12×30－2
把28化为30－2；
12×28
＝12×（30－2）
＝12×30－12×2
12×28不能化为12×30－2，不符合题意。
D．10×28＋2×28
把12化为10＋2；
12×28
＝（10＋2）×28
＝10×28＋2×28
由于数字“8”不灵了，12×28不能化为10×28＋2×28，不符合题意。
在用计算器计算12×28时，数字“8”不灵了，可以按照12×4×7这样算。
故答案为：A
题型十三 用字母表示数
【典例精讲】（2025·浙江杭州·小升初真题）中国工程师从蜂巢获得灵感，采用六边形布局建设5G基站，既能节省资源，又能实现信号无缝覆盖。这种布局中，基站数量随着层数增加呈现特定规律，如下所示：
序号
①
②
③
……
图形
……
每层新增数
6
12
……
（1）根据信息中的规律，填空
第一层总基站数：1个
第二层总基站数：1＋6＝7个
第三层总基站数：7＋12＝19个
第四层新增基站数：________个，总基站数：________个
第五层新增基站数：________个，总基站数：________个
第n层新增基站数规律：________（用含n的式子表示）个
（2）如果第n层总基站数的规律符合关系式3n（n－1）＋1，那么该地区按照此规律建到第8层，总基站数是多少个？
【答案】（1）18，37；
24，61；
6（n－1）
（2）169个
【思路引导】（1）根据信息可将已知算式转换成如下形式：
第二层总基站数为：1＋6×1＝7个；
第三层总基站数为：7＋6×2＝19个；
由此可知每新增一层，新增的基站数为：6×（层数－1）；
所以第四层新增基站数为：6×（4－1）＝18个，总基站数为：19＋18＝37个；
第五层新增基站数为：6×（5－1）＝24个，总基站数为：37＋24＝61个；
……
所以第n层新增基站数为：6×（n－1）个。
（2）把n＝8代入关系式3n（n－1）＋1计算即可。
【规范解答】（1）根据分析可知：
每新增一层，新增的基站数为：6×（层数－1）；
6×（4－1）
＝6×3
＝18（个）
19＋18＝37（个）
所以第四层新增基站数：18个，总基站数：37个；
6×（5－1）
＝6×4
＝24（个）
37＋24＝61（个）
所以第五层新增基站数：24个，总基站数：61个。
当层数为n时，新增基站数为6×（n－1）＝6（n－1）。
所以第四层新增基站数：18个，总基站数：37个；
第五层新增基站数：24个，总基站数：61个；
第n层新增基站数规律：6（n－1）（用含n的式子表示）个。
（2）当n＝8时，
3n（n－1）＋1
＝3×8×（8－1）＋1
＝3×8×7＋1
＝24×7＋1
＝168＋1
＝169（个）
答：总基站数是169个。
【变式训练1】（2025·安徽合肥·小升初真题）y所在的位置如图，则算出的结果所在的位置在（ ）。
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【思路引导】根据分数除法的计算方法，除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数，由此计算出的结果，然后再确定其所在位置。
【规范解答】根据分析：
根据数轴可知，的位置在C处。
故答案为：C
【变式训练2】（2025·重庆渝北·小升初真题）我们把“个相同的数相乘”记为，例如。
(1)请计算：________，__________。
(2)观察下列等式：
由以上规律，我们可以猜：
_______。
(3)计算：。
【答案】（1）64；625
（2）
（3）
【思路引导】（1）根据“个相同的数相乘”记为，将写成6个2相乘，写成4个5相乘，计算即可；
（2）观察
……
可知算式左边为乘到1的连续次方数减1的和，结果为（）；
（3）利用（2）的规律，符合的形式，其中＝3，n＝2011，根据结论 ，可得（3－1）（）＝，根据等式的性质2，两边同时÷（3－1），计算即可。
【规范解答】（1）2×2×2×2×2×2＝64，5×5×5×5＝625。
（2）
（3）根据分析，可得：
（3－1）（）＝
解：（3－1）（）÷（3－1）＝（）÷（3－1）
＝
【考点剖析】关键是理解“个相同的数相乘”记为，总结出第（2）题的规律，根据总结出的规律，运用等式的性质，求出第（3）题的结果。
题型十四 方程的解与解方程
【典例精讲】（2025·河北石家庄·小升初真题）解方程/比例。
【答案】；
【思路引导】（1）先化简等式左边的式子，再把转化为小数1.2，再根据等式的性质2，等式两边同时除以0.8即可得解；
（2）根据比例的基本性质，将比例变为方程：，计算出等式右边的式子后，再根据等式的性质2，等式两边同时除以0.4即可得解。
【规范解答】
解：
解：
【变式训练1】（2025·河南开封·小升初真题）解方程或解比例。
∶4＝x∶2.5
【答案】；；
【思路引导】根据等式的性质1和2，两边同时加，再同时减4.5，最后同时除以0.6计算即可。
根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积），把比例改写为的形式，再根据等式的性质2（等式两边同时除以4）求解。
先计算方程左边，再根据等式的性质2（等式两边同时除以0.3）算出方程的解。
【规范解答】
解：
②
解：
③
解：
【变式训练2】（2025·四川绵阳·小升初真题）妈妈给红红一些钱去买贺卡，有甲、乙、丙三种贺卡，甲种卡每张0.5元，丙种卡每张1.2元，用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张，买乙种卡要比买丙种卡多买6张，妈妈给红红多少钱？乙种卡每张多少钱？
【答案】12元；0.75元
【思路引导】把用这些钱可以买丙种卡的数量设为未知数，用含有字母的式子分别表示出用这些钱可以买甲种卡和乙种卡的数量，妈妈给红红的总钱数不变，等量关系式：甲种卡的数量×甲种卡的单价＝丙种卡的数量×丙种卡的单价，列方程求出用这些钱可以买丙种卡的数量，妈妈给红红的总钱数＝丙种卡的数量×丙种卡的单价，乙种卡的单价＝妈妈给红红的总钱数÷乙种卡的数量，据此解答。
【规范解答】解：设用这些钱可以买张丙种卡，则可以买张乙种卡，可以买张甲种卡。
10＋6＝16（张）
1.2×10＝12（元）
12÷16＝0.75（元）
答：妈妈给红红12元，乙种卡每张0.75元。
【考点剖析】分析题意准确设出未知数并抓住题目中的不变量列出方程是解答题目的关键。
题型十五 列方程解含一个未知数的问题
【典例精讲】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）由甲地到乙地前的路是高速公路，后的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地。A车在高速公路和普通公路的行驶速度都是80千米/时；B车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时，A、B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在高速公路上距离丙地40千米处相遇，甲、乙两地之间的距离是多少？
【答案】252千米
【思路引导】把甲、乙两地的总路程看作3份，其中高速公路占2份、普通公路占1份，设1份路程为x千米，总路程就是3x千米；A车从甲地出发，在高速公路上行驶了（2x－40）千米，速度是80千米/时，所以A车行驶时间为（2x－40）÷80；B车从乙地出发，先走完1份普通公路x千米（速度70千米/时），再在高速公路上行驶40千米（速度100千米/时），所以B车行驶时间为x÷70 ＋ 40÷100；因为两车同时出发、相遇时行驶时间相等，所以可以列出等式（2x－40）÷80＝x÷70 ＋ 40÷100，解方程求出x的值后，再算3x求出总路程。
【规范解答】解：设1份路程为x千米，总路程就是3x千米。
（2x－40）÷80＝x÷70＋40÷100
＝＋
×560＝×560＋×560
（2x－40）×7＝8x＋224
14x－280＝8x＋224
14x－280＋280－8x＝8x＋224＋280－8x
6x＝504
6x÷6＝504÷6
x＝84
3×84＝252（千米）
答：甲、乙两地之间的距离是252千米。
【变式训练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）绵阳有一古寺叫圣水寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364个碗。圣水寺里的和尚一共有( )个。
【答案】624
【思路引导】根据题意，设圣水寺里的和尚一共有个。已知3个和尚合吃一碗饭，则每个和尚吃碗饭，即吃饭用 个碗；4个和尚合分一碗汤，则每个和尚喝碗汤，即喝汤用 个碗；根据“一共用了364个碗”可得出等量关系：吃饭用碗的数量＋喝汤用碗的数量＝用碗的总数，据此列出方程，并求解。
【规范解答】解：设圣水寺里的和尚一共有个。
＋ ＝364
＋ ＝364
＝364
＝364÷
＝364×
＝624
圣水寺里的和尚一共有624个。
【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）李师傅以1元钱3个苹果的价格买进苹果若干个，以1元钱2个苹果的价格将这些苹果卖出，卖出一半后，因为苹果降价只能以2元钱7个苹果的价格将剩下的苹果卖出。不过最后他不仅赚了24元钱，还剩下了1个苹果，那么他买了个___________苹果。
【答案】408
【思路引导】明确各阶段苹果单价：买入时1元3个，每个成本元；前半段1元2个，每个售价元；后半段2元7个，每个售价元。
设他买了个苹果。
总成本为：
分段算收入：前半段卖个，收入；
后半段卖出个，收入（）×＝
根据“总收入－总成本＝24”的等量关系列方程解答即可。
【规范解答】解：设李师傅买了个苹果。
＋－＝24
＝24
＝24
＝24
＝24＋
＝24＋
＝
＝
＝
＝
【考点剖析】本题核心是分段计算收入，注意“卖出一半后剩1个”对后半段卖出数量的影响，再通过“利润＝总收入－总成本”建立方程求解。
题型十六 列方程解含两个未知数的问题
【典例精讲】（2024·辽宁沈阳·小升初真题）某园林的水域面积是陆地面积的35%，水域面积比陆地面积少78公顷，这个园林的陆地面积是多少公顷？（用方程解）
【答案】120公顷
【思路引导】设这个园林的陆地面积是x公顷，把园林的陆地面积看作单位“1”，水域面积是陆地面积的35%，单位“1”已知，根据百分数乘法的意义得出水域面积为35%x公顷；已知水域面积比陆地面积少78公顷，得出等量关系：陆地面积－水域面积＝78公顷，据此列出方程，求出方程的解。
【规范解答】解：设这个园林的陆地面积是x公顷。
x－35%x＝78
0.65x＝78
0.65x÷0.65＝78÷0.65
x＝120
答：这个园林的陆地面积是120公顷。
【变式训练1】（2024·浙江宁波·小升初真题）甬舟铁路是一条连接宁波市与舟山市的高速铁路，全长77千米，其中“甬舟号”盾构机和“定海号”盾构机要用100天的时间合作开凿一段长2200米的隧道。已知“甬舟号”盾构机每天挖的长度是“定海号”的120%，“定海号”每天挖多长？
【答案】10米
【思路引导】根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用2200÷100，求出“甬舟号”盾构机与“定海号”每天挖的长度和；设“定海号”每天挖x米，已知“甬舟号”盾构机每天挖的长度是“定海号”的120%，则“甬舟号”每天挖120%x米，“甬舟号”盾构机每天挖的长度＋“定海号”每天挖的长度＝“甬舟号”盾构机与“定海号”每天挖的长度和；列方程：x＋120%x＝2200÷100，解方程，即可解答。
【规范解答】解：设“定海号”每天挖x米，则“甬舟号”每天挖120%x米。
x＋120%x＝2200÷100
2.2x＝22
x＝22÷2.2
x＝10
答：“定海号”每天挖10米。
【变式训练2】（2025·湖北武汉·小升初真题）妈妈今年74岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子32岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为40岁，那么儿子今年______岁。
【答案】46
【思路引导】先求妈妈从40岁到74岁经过的年数为74－40＝34年，设当女儿年龄是儿子的时，儿子为3x岁、女儿为2x岁，则今年儿子为（3x＋34）岁、女儿为（2x＋34）岁；当儿子32岁时，距离今年的年数为（3x＋34）－32＝3x＋2年，即3x＋2年前，此时女儿的年龄为（2x＋34）－（3x＋2）＝32－x岁，妈妈的年龄为74－（3x＋2）＝72－3x岁，根据“此时妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁”的条件，列出方程72－3x＝2（32－x）＋4，解方程得x＝4，因此儿子今年的年龄为3×4＋34＝46岁。
【规范解答】74－40＝34（岁）
解：设当年儿子为3x岁、女儿为2x岁，则今年儿子为（3x＋34）岁、女儿为（2x＋34）岁。
72－3x＝2（32－x）＋4
72－3x＝64－2x＋4
72－3x＋3x＝64－2x＋4＋3x
72＝68＋x
68＋x＝72
68＋x－68＝72－68
x＝4
3×4＋34
＝12＋34
＝46（岁）
儿子今年46岁。
题型十七 列方程解决稍复杂的实际问题
【典例精讲】（2024·河南郑州·小升初真题）加工一批零件，原计划每天加工140个，正好按期完成任务。由于改进了生产技术，实际每天加工160个，这样，不仅提前3天完成加工任务，而且还多加工了40个。那么他们实际加工零件多少个？
【答案】3680个
【思路引导】假设他们计划加工零件x个，根据原计划的工作时间－3＝实际的工作时间，再根据工作时间＝工作量÷工作效率，列出方程，即可解答。
【规范解答】解：设他们计划加工零件x个。
160x＝140×（x＋520）
160x＝140x＋72800
160x－140x＝72800
20x＝72800
x＝72800÷20
x＝3640
3640＋40＝3680（个）
答：他们实际加工零件3680个。
【变式训练1】（2024·河南南阳·小升初真题）某学校数学课外兴趣小组，上学期男生人数占，这学期增加21名女生后，男生人数就只占了，这个兴趣小组现在共有学生多少名？
【答案】75名
【思路引导】根据题意，设某学校数学课外兴趣小组上学期的总人数为人；已知上学期男生人数占，即上学期男生有 人；已知这学期增加21名女生，即本学期总人数为（＋21）人；已知这学期男生人数只占，即本学期男生人数为（＋21）人；
根据题意可知，本学期和上学期男生的人数没有变化，据此得出等量关系：上学期男生人数＝本学期男生人数，根据等量关系列出方程，求出方程的解，即上学期的总人数，再加上本学期新增的女生人数，求出这个兴趣小组现在的总人数。
【规范解答】解：设某学校数学课外兴趣小组上学期的总人数为人。
＝（＋21）
＝ ＋
－ ＝
－ ＝
＝
＝÷
＝×
＝54
现在总人数：54＋21＝75（名）
答：这个兴趣小组现在共有学生75名。
【变式训练2】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一个三位正数M，其各位数字均不为零且互不相等，若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如123的“团结数”为。
(1)请求出427的“团结数”。
(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，且各位数字互不相等（，）。若N的“团结数”与N之差为24，求N的值。
【答案】(1)286
(2)218或284
【思路引导】首先要理解“团结数”的定义，即从三位数的百位、十位、个位数字中任选两个组成新的两位数并求和。
①直接按照定义计算427的“团结数”。
②先根据定义表示出N的“团结数”，再根据“团结数”与N之差为24列出方程求解。
【规范解答】（1）根据“团结数”的定义，从427的百位数字4、十位数字2、个位数字7中任选两个组成新的两位数，有42、47、24、27、74、72。
将这些两位数求和：
答：427的“团结数”是286。
（2）求N的“团结数”，从2、a、b中任选两个组成新的两位数，有2a、2b、a2、ab、b2、ba。
将这些两位数求和：
因为N百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，所以N可以表示为。
因为N的“团结数”与N之差为24，所以可列方程：
因为a、b为整数且，，，，。
通过试值法，当时，，，，。
此时，，。
当时，，，，。
此时，，。
答：N的值为218或284。
题型十八 比
【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）A、B、C、D四人一起完成一件工作，D做了一天就因病请假了，结果A做了6天，B做了5天，C做了4天，作为休息的代价，D拿出60元给A、B、C三人作为报酬，若按天数计算劳务费，则这60元中A分（ ）元。
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】C
【思路引导】根据题意可知：他们一共做了（6＋5＋4＋1）天，那么平均算下来一个人做（6＋5＋4＋1）÷4＝4天； D做了一天因病请假，就少做了（4－1）天，则A多做了（6－4）天、B多做了（5－4）天，那么60元是给多做天数的报酬； 用60元除以多做的天数求出每天的报酬费，再乘A多做的天数即可得到应该分给A的钱数。
【规范解答】一共做的天数：6＋5＋4＋1＝16（天）
平均每人做的天数：16÷4＝4（天）
A多做的天数：6－4＝2（天）
B多做的天数：5－4＝1（天）
一共多做的天数：2＋1＝3（天）
A应分：60÷3×2
＝20×2
＝40（元）
【变式训练1】（2025·湖南长沙·小升初真题）实验小学举行庆“六一”男女大合唱，原计划合唱队中女生人数占合唱队总人数的，后来考虑到合唱效果，将增加5名男生，这时女生与男生人数的比是。合唱队原有女生多少名？
【答案】30名
【思路引导】女生人数没变。将总人数看作单位“1”，原男生人数占总人数的（1－）。将女生人数看作单位“1”，原男生对应分率÷女生对应分率＝原男生人数占女生人数的几分之几，计算得原男生人数占女生人数的。根据增加5名男生，这时女生与男生人数的比是，可得这时男生人数占女生人数的，增加的男生人数占女生人数的（－），增加的男生人数÷对应分率＝女生人数，据此列式解答。
【规范解答】（1－）÷
＝÷
＝×
＝
5÷（－）
＝5÷
＝5×6
＝30（名）
答：合唱队原有女生30名。
【考点剖析】关键是确定单位“1”，理解比的意义，根据部分数量÷对应分率＝整体数量，计算出女生人数。
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）星期天早晨8：30，小萍骑电动车从家出发前往和谐广场。12分钟后，妈妈开车去追小萍，在距家6千米的地方追上了小萍。这时，妈妈收到一个电话，需要回家收个快递，于是立即掉头回家，拿到快递后没有停留（接快递时间忽略不计），立刻又回头去追小萍，妈妈再次追上小萍的时候，距家18千米，问：妈妈第二次追上小萍的时间是几时几分？
【答案】9时42分
【思路引导】先看路程：妈妈第一次追上到第二次追上，小萍走了12千米，妈妈走了24千米，相同时间内妈妈路程是小萍的2倍，所以妈妈速度是小萍的2倍。
路程相同时，速度与时间成反比，走同样6千米，小萍用时是妈妈的2倍，时间差12分钟，说明小萍走6千米用24分钟，妈妈用12分钟。
小萍速度：6÷24＝0.25千米/分，走18千米总用时：18÷0.25＝72分钟。
出发时间8时30分，加72分钟即为最终时间。
【规范解答】速度比：妈妈速度∶小萍速度＝（6＋18）∶（18－6）＝24∶12＝2∶1
小萍走6千米用时：12×2＝24（分钟）
小萍速度：6÷24＝0.25（千米/分钟）
小萍走18千米总用时18÷0.25＝72（分钟）
最终时间：8时30分＋72分＝8时30分＋1时12分＝9时42分
答：妈妈第二次追上小萍的时间是9时42分。
【考点剖析】本题关键是利用相同时间内的路程比得出速度倍数关系，再结合时间差求出小萍速度与总用时。
题型十九 比例
【典例精讲】（2025·湖北武汉·小升初真题）填一填、画一画。
（1）图中点A用数对（4，1）表示，点B的位置用数对（ ）表示，点C的位置用数对（4，4）表示，在图中标出点C的位置并画出三角形ABC。
（2）画出三角形ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形。
（3）把三角形ABC按2∶1放大，在方格纸上画出放大后的图形。
【答案】（1）（7，1）；见详解
（2）（3）见详解
【思路引导】（1）用数对表示位置时，第一个数表示所在列，第二个数表示所在行。点B在第7列第1行，用数对表示为（7，1）；点C的数对位置是（4，4），说明点C在第4列第4行，据此先找出点C，再将A、B、C三点依次连接，画出三角形ABC。
（2）将三角形各边绕着点C都逆时针旋转90°，则C点不动，旋转后的三角形与原三角形各边对应成垂直关系，画出旋转后的图形；
（3）三角形按照2∶1放大，将三角形ABC各边都扩大到原来的2倍，画出放大后的图形。
【规范解答】（1）点B的位置用数对（7，1）表示。
如图：
（2）（3）如图：
【变式训练1】（2025·江西上饶·小升初真题）（1）在图中分别描出下面各点。
A（5，5）、B（9，5）、C（7，7）D（5，7）
（2）按顺序依次连接A、B、C、D成封闭图形；
（3）画出图形ABCD绕点A顺时针旋转90°的图形；
（4）如果图形ABCD是按1∶2000的比例尺画出的平面图形，它实际的面积是多少平方米？（1格代表1厘米）
【答案】（1）（2）（3）见详解
（4）2400平方米
【思路引导】（1）用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，据此在图中分别描出各点即可。
（2）按顺序依次连接A、B、C、D成封闭图形即可。
（3）根据图形旋转的方法，点A不动，画出图形ABCD绕点A顺时针旋转90°的图形即可。
（4）根据“图上距离∶比例尺＝实际距离”，求出实际的上底、下底和高的长度，然后结合梯形的面积公式解答即可。
【规范解答】（1）（2）（3）如图：
（4）实际的上底是：2÷＝2×2000＝4000（厘米）
4000厘米＝40米
实际的下底是：4÷＝4×2000＝8000（厘米）
8000厘米＝80米
实际的高是：2÷＝2×2000＝4000（厘米）
4000厘米＝40米
它实际的面积是：
（40＋80）×40÷2
＝4800÷2
＝2400（平方米）
答：它实际的面积是2400平方米。
【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62%，如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%。第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了多少升？
【答案】甲取12升，乙取30升
【思路引导】混合后纯酒精含量为62%，则甲、乙两种酒精体积比为（62－58）∶（72－62）＝2∶5；每种酒精取的数量比原来都多15升，混合后纯酒精含量为63.25%，则甲、乙两种酒精体积比为（63.25－58）∶（72－63.25）＝3∶5。设第一次混合时，甲、乙两种酒精应各取2x升、5x升，则可列方程为（2x＋15）∶（5x＋15）＝3∶5，求出x的值，进一步得出2x、5x的值即可。
【规范解答】解：第一次混合时甲种酒精用量是乙种酒精用量的体积比（62%－58%）∶（72%－62%）＝2∶5
第二次混合时甲种酒精用量是乙种酒精用量的体积比（63.25%－58%）∶（72%－63.25%）＝3∶5
设第一次混合时，甲、乙两种酒精应各取2x升、5x升。
（2x＋15）∶（5x＋15）＝3∶5
5（2x＋15）＝3（5x＋15）
10x＋75＝15x＋45
75－45＝15x－10x
5x＝30
x＝30÷5
x＝6
甲种酒精：2×6＝12（升）
乙种酒精：5×6＝30（升）
答：第一次混合时，甲种酒精取了12升，乙种酒精取了30升。
【考点剖析】解题时由原来溶液质量的比例巧妙设未知数x，用含有x的代数式表示新溶剂质量，根据题中所给的溶剂质量关系设一个未知数表示另一个未知数，将题目简单化。
题型二十 常见的量
【典例精讲】（2025·辽宁沈阳·小升初真题）北京时间2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船发射成功。2024年4月26日5时04分，在轨执行任务的神舟十七号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组入驻“天宫”。神舟十八号载人飞船从发射成功到航天员入驻“天宫”经过了（ ）。
A．7时55分 B．8时5分 C．9时5分 D．12时5分
【答案】B
【思路引导】一天有24小时，24时是当天的结束，也是第二天的开始（0时）。用24时减去发射时间20时59分得出4月25日经过的时间。从4月26日0时到4月26日5时04分，用结束时间5时04分减去开始时间0时得出4月26日经过的时间，最后把两段时间相加即可解答。
【规范解答】24时－20时59分＝3小时1分钟
4月26日时间：从0时到5时04分，共5小时4分钟
3小时1分钟＋5小时4分钟＝8小时5分钟。
神舟十八号载人飞船从发射成功到航天员入驻“天宫”经过了8小时5分钟。
故答案为：B
【变式训练1】（2025·四川内江·小升初真题）某游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元：方式二，办理会员年卡，一次缴纳240元会员费，每次游泳另外收费14元（一年内有效）。李叔叔游泳锻炼的计划是一年，每月两次。他选择哪种方式更划算？
【答案】方式二
【思路引导】方式一的总费用为单次费用乘次数；方式二的总费用为单次费用乘次数，再加上会员费；比较两种付费方式的总费用，最后选择总费用最少的付费方式即可。
【规范解答】方式一：一年＝12个月
12×2×30
＝24×30
＝720（元）
方式二：一年＝12个月
12×2×14＋240
＝24×14＋240
＝336＋240
＝576（元）
因为576元＜720元，所以方式二更划算。
答：他选择方式二更划算。
【变式训练2】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）甲、乙两位学生第1天自学的时间相同，若从第2天起，甲每天比前一天增加自学时间1小时，乙每天比前一天减少自学时间1小时，则乙自学8天的时间仅相当于甲自学4天的时间。问：甲第1天自学的时间是______分钟。
【答案】510
【思路引导】从第2天起，甲每天增加自学时间1小时，乙每天减少自学时间1小时，乙自学8天的总时间等于甲自学4天的总时间，先分别求出甲4天多学的总时间、乙8天少学的总时间，两者之和对应第一天自学时间的×天数差，由此求出第一天的自学时间，然后根据1时＝60分钟进行单位换算。
【规范解答】甲4天比第一天多学的时间：
0＋1＋2＋3＝6（小时）
乙8天比第一天少学的时间：
0＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（小时）
总时间对应天数差：
28＋6＝34（小时）
8－4＝4（天）
第一天自学时间：
34÷4＝8.5（小时）
8.5×60＝510（分钟）
第1天自学的时间是510分钟。
题型二十一 典型应用题
【典例精讲】（2025·江西吉安·小升初真题）某城市的士票价为：租单程3km以内8元，超过3km的部分每千米2.5元；如果租往返每千米2元。下面表示租单程时路程与收费的关系和表示租往返时路程与收费的关系的是（ ）。
A．③① B．③② C．①② D．④②
【答案】A
【思路引导】租单程时路程与收费：3千米以内无论远近，都收费8元，图象应是平行于横轴的一条线段；超过3km的部分每千米2.5元，随着路程的增加，收费也不断增加，图象是一条直线；所以图象③是正确的。
租往返时路程与收费：租往返每千米2元，随着路程的增加，收费也不断增加，图象是一条直线，所以图象①是正确的。
【规范解答】图象③符合租单程时路程与收费的关系，图象①符合租往返时路程与收费的关系。
故答案为：A
【变式训练1】（2025·江西吉安·小升初真题）2023年1月1日起，万安县启动“智慧停车服务收费”工作，服务定价如下：
路内、人行道停车位30分钟内免费，首小时2元，1小时后1元/小时，不足1小时按1小时收费，收费时段：7：30—19：30，全天13元封顶；
停车场1小时内免费，1小时后1元/小时，不足1小时按1小时收费，全天18元封顶，停车场实行24小时收费制，滚动叠加。
阅读上面材料，解答下列问题：
(1)晚饭后，小文爸爸开车去超市买了一些生活用品，他在路内停车位的时间是18：55～19：30，此次应缴( )元停车费。
(2)上周六，小李一家去赣州游玩。上午8：30把车停在了高铁站收费停车场，然后乘坐高铁去赣州，当天晚上从赣州回来后8：20把车开出停车场，此次停车费是多少？
【答案】(1)2元
(2)11元
【思路引导】解答这道题的关键是算出小文爸爸和小李停车的总时长，然后按照路内停车位和停车场收费标准求出应缴的费用。
（1）小文爸爸在路内停车位的时间是18：55～19：30，用19时30分－18时55分＝35分，分析这个停车时间所属的收费区间，确定具体费用。
（2）小李在停车场停车的时间是上午8：30至晚上8：20，将晚上8：20化为24时记时法是20：20。用20时20分－8时30分＝11时50分，分析这个停车时间所属的收费区间，确定具体费用。
【规范解答】（1）19时30分－18时55分＝35分，35分大于30分小于1小时，按首小时2元收费。
所以小文爸爸应缴2元停车费。
（2）20时20分－8时30分＝11时50分，不足1小时按1小时收费。
所以11时50分按12小时收费。
因停车场1小时内免费，1小时后1元/小时。
（元）
答：小李此次的停车费是11元。
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）物流运输车要在A城市和B城市之间进行往返，计划以同样的速度行驶。因天气原因，从A城市出发前往B城市，车速降为原来的，结果晚了112.5分钟；从B城市返回A城市时，按原计划的速度行驶270千米后，将车速度降低了，结果晚了3小时到达A城市。A、B两座城市之间的距离是多少？
【答案】1350千米
【思路引导】从A城市出发前往B城市，车速降为原来的，则去时速度∶原来车速＝8∶9，则去时时间∶原来时间＝9∶8，晚的时间112.5分钟除以份数（9－8）再乘原来时间的份数8即可运算原来的时间；
返回时车速度降低了，则回来车速∶原来车速＝4∶5，则回来时间∶原来时间＝5∶4，则用晚点时间份数（5－4）再乘原来时间对应的份数4份即可求出原来的时间，先以原速行驶270千米，剩余距离以降速行驶，并基于晚点时间3小时推导，用距离270千米除以时间差即可求出原来的车速，用原来的车速乘原来的行驶时间即可求出距离。
【规范解答】112.5÷（9－8）×8
＝112.5÷1×8
＝900（分钟）
3×60÷（5－4）×4
＝180÷1×4
＝720（分钟）
270÷（900－720）
＝270÷180
＝1.5（千米/分钟）
1.5×900＝1350（千米）
答：A、B两城相距1350千米。
【考点剖析】路程一定时，速度与时间成反比。
题型二十二 平面图形的认识与测量
【典例精讲】（2025·湖北黄石·小升初真题）健身房内有一个圆柱形沙包，量得沙包的底面直径是40厘米，高是1.2米。在一次训练中，沙子全部流到地上形成了一个高50厘米的近似圆锥形沙堆，这个沙堆的占地面积是多少平方米？（结果保留两位小数）
【答案】约0.90平方米
【思路引导】圆柱的体积＝底面积（S＝πr2）×高，据此先求出圆柱形沙包的体积，也就是圆锥形沙堆的体积；再根据圆锥的体积＝Sh，得出沙堆的占地面积＝圆锥形沙堆的体积÷（×沙堆的高），据此解答即可。注意单位的统一，1米＝100厘米，结果保留两位小数，看小数点后第三位小数，根据“四舍五入法”取舍。
【规范解答】40厘米＝0.4米
50厘米＝0.5米
沙堆的体积：3.14×（0.4÷2）2×1.2
＝3.14×0.22×1.2
＝3.14×0.04×1.2
＝0.1256×1.2
＝0.15072（立方米）
沙堆的占地面积：
0.15072÷（×0.5）
＝0.15072÷÷0.5
＝0.15072×3÷0.5
＝0.45216÷0.5
＝0.90432
≈0.90（平方米）
答：这个沙堆的占地面积约是0.90平方米。
【变式训练1】（2025·湖北黄石·小升初真题）学校操场是一个长方形，画在比例尺是1∶2000的平面图上，长是3厘米，宽是2厘米，学校操场实际面积是( )平方米。
【答案】2400
【思路引导】比例尺1∶2000表示图上1厘米代表实际距离2000厘米，2000厘米＝20米，即图上1厘米代表实际20米。
先根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”求出实际长和宽的长度
再根据“长方形面积＝长×宽”计算即可。
【规范解答】2000厘米＝20米
3×20＝60（米）
2×20＝40（米）
60×40＝2400（平方米）
所以这个操场的实际面积是2400平方米。
【考点剖析】
【变式训练2】（2025·四川绵阳·小升初真题）如图，正方形ABCD的边长为4厘米，点E在BC上，四边形BEFG也是正方形，以点B为圆心，BA长为半径画弧AC。连接AF、CF，试求图中阴影部分的面积。
【答案】12.56平方厘米
【思路引导】观察图形可知：阴影部分面积＝扇形ABC的面积＋梯形FGBC的面积－三角形AGF的面积，且扇形的面积＝圆的面积，圆的半径等于线段BA的长度也就是4厘米，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2，设小正方形BEFG的边长是a厘米，分别表示出其他各部分的面积，代入数据计算即可。
【规范解答】设小正方形BEFG的边长是a厘米
三角形AGF的面积：
（平方厘米）
梯形FGBC的面积：
（平方厘米）
所以三角形AGF的面积和梯形FGBC的面积相等。
阴影部分的面积
＝扇形ABC的面积＋梯形FGBC的面积－三角形AGF的面积
＝扇形ABC的面积
＝4×3.14
＝12.56（平方厘米）
答：阴影部分的面积是12.56平方厘米。
【考点剖析】本题采用“设而不求”的思想，将小正方形的边长设为a厘米，分别表示出其余各部分的面积，进而发现规律解出本题。
题型二十三 立体图形的认识与测量
【典例精讲】（2025·福建宁德·小升初真题）下图是测量1颗铁球体积的实验过程。①将200毫升的水倒入一个容量为500毫升的杯子里；②将5颗相同的铁球放入水中，水没有满；③再放入1颗相同的铁球，结果水满溢出。根据以上过程，推测1颗这样的铁球体积大约（ ）。
A．大于40立方厘米，小于45立方厘米 B．大于45立方厘米，小于50立方厘米
C．大于50立方厘米，小于60立方厘米 D．大于60立方厘米，小于70立方厘米
【答案】C
【思路引导】先把毫升换算成立方厘米。根据题意，将5颗相同的铁球放入水中，结果水没有满，可知5颗铁球的体积要小于500－200＝300立方厘米；那么1颗铁球的体积就小于300÷5＝60立方厘米；
再将1颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出，可知6颗铁球的体积要大于500－200＝300立方厘米；那么1颗铁球的体积就大于300÷6＝50立方厘米，据此推测出1颗铁球的体积范围。
【规范解答】500毫升＝500立方厘米；200毫升＝200立方厘米
根据分析可知：
1颗铁球的体积小于：
（500－200）÷5
＝300÷5
＝60（立方厘米）
1颗铁球的体积大于：
（500－200）÷6
＝300÷6
＝50（立方厘米）
推测1颗这样的铁球体积大约大于50立方厘米，小于60立方厘米。
故答案为：C
【变式训练1】（2025·江西吉安·小升初真题）按要求在下面的方格图中画图并完成填空。（每个小方格的边长表示1cm。）
(1)画出①号图形向下平移5格后的图形；
(2)画出①号图形绕A点逆时针旋转90°后的图形；
(3)分别画出从上面、前面、左面看右图的图形；
(4)以点（19，11）为圆心画一个直径6cm的圆，并标出圆心。
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
(4)见详解
【思路引导】（1）作平移后的图形步骤：找点－找出构成图形的关键点；定方向、距离－确定平移方向和平移距离；画线－过关键点沿平移方向画出平行线；定点－由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置；连点－连接对应点。
（2）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。
（3）从上面看有3行，前边2行并排各3个小正方形，后边1行靠左2个小正方形；从前面看有3列，左边1列3个小正方形，中间1列1个小正方形，右边1列2个小正方形；从左面看有3行，下边1行3个小正方形，中间1行靠左2个小正方形，上边1行靠左1个小正方形。
（4）数对的第一个数表示列，第二个数表示行，据此确定圆心的位置，直径÷2＝半径。画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。
【规范解答】（1）作图如下：
（2）作图如下：
（3）作图如下：
（4）6÷2＝3（cm）、作图如下：
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？
【答案】60立方厘米
【思路引导】根据左图可知，甲容器中装水的体积是甲容器体积的一半，根据长方体的体积公式V＝abh，即可求出水的体积；将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使甲、乙两个容器中的水面高度相同，此时水的总体积不变。用甲容器中水的体积除以甲、乙容器的底面积之和，即可求出此时水面的高度；再根据长方体的体积公式V＝abh，求出乙容器中水的体积，即是从甲容器倒出的水的体积，据此进行解答。
【规范解答】甲容器中水的体积：10×3×10÷2
＝30×10÷2
＝300÷2
＝150（立方厘米）
底面积之和：10×3＋5×4
＝30＋20
＝50（平方厘米）
高：150÷50＝3（厘米）
乙容器中水的体积：5×4×3
＝20×3
＝60（立方厘米）
答：需要从甲容器中倒出60立方厘米的水。
【考点剖析】本题的核心是抓住两个不变量：一是水的总体积不变，二是最终甲、乙容器中水面的高度相同。利用这两个条件，才能将“倒出部分水”的问题，转化为“总体积÷总底面积＝共同高度”的简单计算。
题型二十四 图形的拼组
【典例精讲】（2024·陕西西安·小升初真题）把一根长3分米的圆钢锯成2段后，表面积增加12.56平方分米，它原来的体积是( )立方分米。
【答案】18.84
【思路引导】把一根长3分米的圆钢锯成2段，产生了两个截面，增加的表面积就是两个截面的面积，用增加的表面积除以2求出截面的面积，也就是圆钢的底面积，再乘圆钢原来的长即可求出原来的体积。
【规范解答】12.56÷2×3
＝6.28×3
＝18.84（立方分米）
所以它原来的体积是18.84立方分米。
【变式训练1】（2024·陕西咸阳·小升初真题）一根高是20分米的圆柱形木块截下5分米后，表面积比原来减少了157平方分米，原来这根圆柱形木块的表面积是（ ）平方分米。
A．314 B．942 C．1256 D．785
【答案】D
【思路引导】减少的表面积，就是截下部分的圆柱的侧面积；根据圆柱的侧面积公式S侧＝Ch＝2πrh，C＝S侧÷h，r＝C÷π÷2，代入数据求出底面半径；再将数据代入圆柱的表面积公式：S表＝S侧＋2S底，S底＝πr2计算即可。
【规范解答】157÷5＝31.4（分米）
31.4÷3.14÷2＝5（分米）
2×3.14×52＋2×3.14×5×20
＝2×3.14×25＋2×3.14×5×20
＝157＋628
＝785（平方分米）
原来这根圆柱形木块的表面积是785平方分米。
故答案为：D。
【变式训练2】（2025·吉林长春·小升初真题）阅读理解：一张长方形纸片，剪下一个正方形，剩下一个长方形，称为第一次操作；在剩下的长方形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个长方形，称为第二次操作；……；若在第n次操作后，剩下的长方形为正方形，则称原长方形为n阶奇异长方形，如图1，长方形ABCD中，若AB＝3，BC＝9，则称长方形ABCD为2阶奇异长方形。
（1）判断与操作：如图2，长方形ABCD长为7，宽为3，它是奇异长方形吗？如果是，请写出它是几阶奇异长方形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由。
（2）探究与计算：已知长方形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异长方形，请画出长方形ABCD及裁剪线的所有可能的示意图，并在图的下方写出a的值。（备注：请同学自己画出相应的长方形ABCD及裁剪线的示意图）
【答案】（1）它是4阶奇异长方形，画图见详解：
（2）见详解
【思路引导】（1）按“每次剪去正方形（边长＝剩余长方形的宽）”的规则操作，直到剩下正方形，统计操作次数。
（2）3阶操作后剩正方形，需逆向推导（从第3次操作后的正方形，反向推每次操作前的长方形边长）。
【规范解答】（1）第1次：长7、宽3，剪边长为3的正方形，剩余长方形长3、宽；
第2次：长4、宽3，剪边长为3的正方形，剩余长方形长3、宽；
第3次：长3、宽1，剪边长为1的正方形，剩余长方形长1、宽；
第4次：长2、宽1，剪边长为1的正方形，剩余长方形为边长1的正方形；
共操作4次，是4阶奇异长方形。
画图如下：
（2）裁剪的示意图如下：
【考点剖析】本题是四边形综合题，考查了长方形性质，正方形性质，寻找规律的应用，主要考查学生的变换能力，注意要分类讨论。
题型二十五 图形与变换
【典例精讲】（2025·河北石家庄·小升初真题）如图所示，每个方格的边长表示1cm。请按照要求画一画，填一填。
（1）图①中的平行四边形沿高分成了两部分，把其中的三角形向（ ）平移（ ）格，平行四边形就变成了长方形；请根据提示画出这个平行四边形变形后的长方形，再画出这个长方形按1∶2缩小后的图形。
（2）画出图②的另一半，使它成为轴对称图形。形成的轴对称图形面积是（ ）cm2。
（3）把图③绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。旋转后和点B对应的点的位置用数对表示是（，）。
【答案】（1）右；8；作图见详解
（2）作图见详解；10
（3）作图见详解；（16，3）
【思路引导】（1）要想知道图形平移的方向和格数，只要观察图上一点是怎么平移的就可以。作平移后的图形步骤：找点－找出构成图形的关键点；定方向、距离－确定平移方向和平移距离；画线－过关键点沿平移方向画出平行线；定点－由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置；连点－连接对应点。把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n。
（2）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此计算出面积。
（3）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。
【规范解答】（1）图①中的平行四边形沿高分成了两部分，把其中的三角形向右平移8格，平行四边形就变成了长方形；作图如下：
（2）作图如下：
（4＋6）×2÷2
＝10×2÷2
＝10（cm2）
形成的轴对称图形面积是10cm2。
（3）
旋转后和点B对应的点的位置用数对表示是（16，3）。
【变式训练1】（2025·江西南昌·小升初真题）
（1）用数对表示梯形①中B、D点的位置，B（ ， ）、D（ ， ）。
（2）画出将图形①绕A点顺时针旋转90°后的图形②。
（3）画出将图形①向右平移10格的图形③。
（4）在图形③的下面画出将图形③放大2倍后的图形④。
（5）如果每小格的边长表示1厘米，则图形①的面积是（ ），图形④的面积是（ ）。
【答案】（1）（5，9）；（3，12）；
（2）（3）（4）见详解；
（5）9平方厘米；36平方厘米
【思路引导】（1）用数对表示物体的位置时，括号里面先写列数，再写行数，中间用逗号隔开，即（列数，行数）；
（2）根据题目要求确定旋转中心（A点）、旋转方向（顺时针）、旋转角度（90°），分析所作图形，找出构成图形的关键边，按一定的方向和角度分别找出各关键边的对应边，最后依次连接组成封闭图形，即可得到图形②；
（3）找出构成图形的关键点，确定平移方向（向右）和平移距离（10格），由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置，依次连接各对应点，即可得到图形③；
（4）图形③的上底是2格，放大后上底是2×2＝4格，图形③的下底是4格，放大后下底是4×2＝8格，图形③的高是3格，放大后高是3×2＝6格，根据原图画出放大后的图形，并标注图形④；
（5）根据图中梯形上底、下底、高的长度，利用“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”求出图形①和图形④的面积，据此解答。
【规范解答】（1）分析可知，B点在第5列第9行，用数对表示为（5，9），D点在第3列第12行，用数对表示为（3，12）。
（2）（3）（4）作图如下：
（5）图形①的面积：（2＋4）×3÷2
＝6×3÷2
＝18÷2
＝9（平方厘米）
图形④的面积：（4＋8）×6÷2
＝12×6÷2
＝72÷2
＝36（平方厘米）
所以，图形①的面积是9平方厘米，图形④的面积是36平方厘米。
【变式训练2】下面每个小正方形的边长表示1厘米，请按要求完成下列各题。
（1）三角形顶点A用数对表示是（ ， ），顶点B用数对表示是（ ， ）。
（2）把三角形ABC向下平移5格，再向左平移4格，画出平移后的图形。
（3）把三角形ABC按2∶1放大，画出放大后的图形。
（4）画出三角形ABC绕C点顺时针旋转90°的图形。
（5）把三角形ABC绕AC轴旋转一周形成的物体是（ ），体积是（ ）立方厘米。
【答案】（1）（10，5）；（13，7）
（2）见详解
（3）见详解
（4）见详解
（5）圆锥；12.56
【思路引导】（1）用数对表示位置，数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；三角形顶点A在第10列第5行，顶点B在第13列第7行，用数对表示出顶点A、B的位置。
（2）根据平移的特征，将三角形ABC的各顶点分别先向下平移5格，再向左平移4格，依次连接即可得到平移后的图形。
（3）三角形ABC按2∶1放大，即三角形ABC的各边都扩大到原来的2倍，由此求出放大后三角形的底和高，画出放大后的三角形。
（4）根据旋转的特征，将三角形ABC绕C点顺时针旋转90°，点C位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。
（5）把三角形ABC绕AC轴旋转一周形成的物体是圆锥，那么AC等于圆锥的高，BC等于圆锥的底面半径；根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求出这个圆锥的体积。
【规范解答】（1）三角形顶点A用数对表示是（10，5），顶点B用数对表示是（13，7）。
（2）把三角形ABC向下平移5格，再向左平移4格，平移后的图形如图中红色三角形；
（3）放大后的三角形的底是：3×2＝6（厘米）
放大后的三角形的高是：2×2＝4（厘米）
放大后的图形如图中绿色三角形。
（4）三角形ABC绕C点顺时针旋转90°后的图形如图中蓝色三角形。
（5）把三角形ABC绕AC轴旋转一周形成的物体是圆锥；
圆锥的体积：
×3.14×22×3
＝3.14×4
＝12.56（立方厘米）
【考点剖析】掌握用数对表示位置、作平移后的图形、作旋转后的图形、作放大图形的作图方法，以及明确直角三角形旋转成圆锥，圆锥的底面半径和高与直角三角形直角边的关系，然后运用圆锥体积公式列式计算。
题型二十六 位置与方向
【典例精讲】（2025·陕西榆林·小升初真题）如图，点O的位置用数对表示是（4，10），每个小正方形的边长表示1厘米。按要求画图。
（1）画出将三角形①轮廓点的数对的第一个数不变，第二个数除以2后的图形。
（2）画出将三角形①绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形。
（3）画出将三角形①按2∶1的比放大后的图形。
（4）画出一个与三角形①面积相等的平行四边形。
【答案】见详解
【思路引导】（1）用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行。
将三角形①轮廓点的数对的第一个数不变即列不变，第二个数除以2即行数除以2，得出新的数对，连接后形成新图形。
（2）根据旋转的特征，将三角形①绕点O按顺时针方向旋转90°，点O位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。
（3）按2∶1的比放大三角形①，则三角形①的底和高都乘2，即是放大后三角形的底和高，据此画出放大后的三角形。
（4）要画一个与三角形①面积相等的平行四边形，先根据三角形的面积＝底×高÷2，求出三角形①的面积；再根据平行四边形的面积＝底×高，得出平行四边形的底和高，据此画出这个平行四边形。
【规范解答】（1）点O（4，10），新数对为（4，5）；
原（8，10）的新数对为（8，5）；
原（7，12）的新数对为（7，6）；
据此画出新的三角形，如下图。
（2）将三角形①绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形，如下图。
（3）放大后三角形的底为：4×2＝8（厘米）
放大后三角形的高为：2×2＝4（厘米）
画出一个底为8厘米、高为4厘米的三角形，如下图。
（4）三角形①的面积：4×2÷2＝4（平方厘米）
平行四边形的面积：2×2＝4（平方厘米）
画一个底为2厘米、高为2厘米的平行四边形。
如图：
（平行四边形画法不唯一）
【变式训练1】（2025·江苏无锡·小升初真题）下图每个小正方形的边长表示1厘米，请按要求完成如下操作。
（1）画出轴对称图形的另一半。
（2）画出三角形ABC绕点B顺时针旋转90°后的图形，旋转后点C点的位置用数对表示为（ ）。这个三角形的面积是（ ）平方厘米。
（3）画一个直径是4厘米的圆，圆心O在C点南偏东45°方向。
（4）按1∶2的比在图中画出长方形缩小后的图形，缩小后的长方形面积是原来长方形面积的。
【答案】（1）见详解
（2）作图见详解；（10，4）；
（3）作图见详解
（4）作图见详解；
【思路引导】（1）画轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。
（2）旋转图形的作图方法：根据题目要求确定旋转中心（点B）、旋转方向（顺时针）、旋转角度（90°）；分析所作图形，找出构成图形的关键边；按一定的方向和角度分别找出各关键边的对应边；最后依次连接组成封闭图形。画图后根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，确定点C的位置。因图上每个小正方形的边长表示1厘米，观察可知，三角形的底为3厘米，高为3厘米，根据，代入数据计算可得三角形面积。
（3）以点C为观测点，根据上北下南，左西右东确定方向，在此方向上找出任意一点作为圆心O，直径是4，则半径＝4÷2＝2（厘米），圆规两脚的距离为2厘米，据此画圆即可。（画图答案不唯一）
（4）按1∶2缩小，即把长方形的各边缩小到原来的，据此画图，再根据长方形的面积＝长×宽，分别计算出缩小后长方形的面积及原来长方形的面积，再根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算。
【规范解答】（1）（2）（3）（4）作图如下：
（2）
（平方厘米）
因此旋转后点C点的位置用数对表示为（10，4）。这个三角形的面积是平方厘米。
（4）（厘米）
（厘米）
因此缩小后的长方形面积是原来长方形面积的。
【变式训练2】根据要求填一填，画一画。（每个小正方形边长表示1厘米）
（1）点A用数对表示是（ ），点A在点B的（ ）偏（ ）（ ）°方向上。
（2）将三角形绕点C顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形。旋转后点A用数对表示是（ ）。
（3）设计一个轴对称图形，面积与上图的三角形面积相等。
（4）过长方形其中一条边上的某一点画一条线段，把长方形分成一个三角形和一个梯形，使它们的面积比为1∶3。
【答案】（1）（6，8），东，北45°；
（2）（10，4）画图见详解；
（3）（4）见详解
【思路引导】（1）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，即可用数对表示出点A的位置。根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以点B的位置为观测点，即可确定点A的方向。
（2）根据旋转的特征，三角形ABC绕点C顺时针旋转90°，点C的位置不动，这个图形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。根据旋转后点A所在的列、行，即可用数对表示出点A的位置。
（3）画法不唯一。根据三角形的面积计算公式“S＝ah”，长方形面积计算公式“S＝ab”，画一个长与三角形底相等，宽为三角形高的，其面积与三角形面积相等，且长方形为轴对称图形，过对边中点的直线，就是它的对称轴。
（4）画法不唯一。根据梯形面积计算公式“S＝（a＋b）h”、三角形的面积计算公式“S＝ah”，把长方形一组对边的长度之和平均分成（1＋3）份，用除法求出1份（三角形底）的长度，再用乘法求出3份（梯形上、下底之和）的长度，三角形面积与梯形的面积之比就是1∶3。
【规范解答】（1）点A用数对表示是（6，8），点A在点B的东偏 北45°方向上。
（2）将三角形绕点C顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形（下图蓝色部分）。旋转后点A用数对表示是（10，4）。
（3）设计一个轴对称图形，面积与上图的三角形面积相等（下图红色部分，画法不唯一）。
（4）过长方形其中一条边上的某一点画一条线段，把长方形分成一个三角形和一个梯形，使它们的面积比为1∶3（下图红色线段）。
【考点剖析】此题考查的知识点：数对与位置、根据方向确定物体的位置、作旋转一定度数后的图形、轴对称图形的特征、三角形面积的计算、梯形面积的计算等。
题型二十七 测量
【典例精讲】（2025·浙江宁波·小升初真题）有一条62.8米的丝带，厚为0.125毫米。现把它紧密的卷起来，下面选项中（ ）可能是这条丝带卷成后的样子。（每圈丝带之间的缝隙忽略不计）
A．B． C． D．
【答案】B
【思路引导】有厚度的丝带的侧面可以抽象为长方形的面积，则需要计算图中的侧面圆环的面积＝大圆形面积－小圆形面积，比较与长方形面积即可。
【规范解答】；
A．侧面圆环的面积
，不符合题意；
B． 侧面圆面积＝；
，符合题意；
C．侧面圆环的面积
，不符合题意；
D．侧面圆环的面积
，不符合题意；
故答案为：B
【考点剖析】求圆环的面积可以用大圆面积减去小圆的面积即可。
【变式训练1】（2025·河北石家庄·小升初真题）一幅地图的比例尺为1∶3000000，在这幅地图上量得甲、乙两地的距离是8cm。甲、乙两地的实际距离是( )km。如果画在比例尺是的地图上，那么应画( )cm。
【答案】 240 48
【思路引导】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，可求得甲、乙两地的实际距离，注意进行单位换算。再根据所求实际距离第二次使用比例尺，可求得图上距离。
【规范解答】
因为地图比例尺为1∶3000000，图上距离为8cm，所以甲、乙两地的实际距离是8×3000000＝24000000（cm），24000000cm＝240km。因为第二次比例尺为，所以应画240÷5＝48（cm）。
【变式训练2】（2025·吉林长春·小升初真题）有一个像如图①那样的长方体容器，现在以每秒0.75升的速度向这个容器注水。容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将容器隔为A、B两个部分。B部分有一个洞，水按一定的流量往下漏。图②是表示从注水开始A部分的水的高度变化的图象。回答下面的问题：
（1）求图②中D表示的数；
（2）从B的洞中每秒钟流出多少升水；
（3）图②中P表示的数为（ ），Q表示的数为（ ）。
【答案】（1）15
（2）0.3升
（3）54；30
【思路引导】（1）1升＝1000立方厘米，先将注水速度0.75升换算成750立方厘米。由图②可知，用750×15计算出前15秒注入A部分的水的体积，根据“长方体的体积＝长×宽×高”代入A部分的长、宽和前15秒注入A部分的水的体积，即可计算高度D表示的数。
（2）由图②可知，从第15秒到第30秒之间，A部分高度保持不变，B部分开始边蓄水边漏水，注水时间为15秒，注入的水的体积为750×15立方厘米，用30×15×15求出B部分的水上升到挡板高度时的体积，再用750×15减30×15×15即可计算出15秒内漏掉的水，用漏掉的水除以15即可计算洞中每秒流出的水（注意单位换算）；
（3）由图②可知，用（24－15）计算出第30秒到第P秒长方体容器内整体上升的高度为9厘米，长方体容器的长为（25＋15）厘米，宽为30厘米，用（25＋15）×30×9计算出第30秒到第P秒长方体容器内水上升的体积为10800立方厘米即10.8升；根据“注水速度－流出的速度＝实际注水速度”计算出长方体容器每秒实际储存的水为0.45升；用10.8÷0.45可计算注10.8升水所用的时间为24秒；最后用24加30就是P所表示的时间数54。
从54秒到70秒，用时16秒。注入的水的体积为0.45×16＝7.2升即7200立方厘米，用7200除以容器的底面积即可求出第54秒到第70秒上升的高度，再加上24即可求Q表示的数。据此解答。
【规范解答】（1）0.75升＝750立方厘米
750×15÷（25×30）
＝750×15÷750
＝750÷750×15
＝1×15
＝15（厘米）
答：图②中D表示的数是15。
（2）（750×15－30×15×15）÷15
＝（11250－6750）÷15
＝4500÷15
＝300（立方厘米）
300立方厘米＝0.3升
答：从B的洞中每秒钟流出0.3升水。
（3）（25＋15）×30×（24－15）
＝40×30×9
＝10800（立方厘米）
10800立方厘米＝10.8升
0.75－0.3＝0.45（升）
10.8÷0.45＋30
＝24＋30
＝54（秒）
即P表示的数为54。
（70－54）×0.45
＝16×0.45
＝7.2（升）
7.2升＝7200立方厘米
7200÷[（25＋15）×30]＋24
＝7200÷[40×30]＋24
＝7200÷1200＋24
＝6＋24
＝30（厘米）
即Q表示的数为30。
图②中P表示的数为54，Q表示的数为30。
【考点剖析】本题通过分析注水图象，结合长方体体积公式，分别对A、B部分的注水、漏水情况进行分析计算。重点分析图②中每个时间段内容器内水量的变化。
题型二十八 统计
【典例精讲】（2025·海南省直辖县级单位·小升初真题）甲乙两名同学在一次投篮训练中的成绩如图所示。
①第（ ）次投篮中两人投中个数相同。
②甲的单次最好成绩比乙的单次最好成绩高出百分之几？
③谁的平均成绩更好？
【答案】①3；
②25%；
③乙
【思路引导】①复式折线统计图中，虚线表示甲的投篮训练成绩，实线表示乙的投篮训练成绩，两条折线重合的部分表示该次投篮中两人投中个数相同；
②由图可知，甲的单次最好成绩是10个，乙的单次最好成绩是8个，甲的单次最好成绩比乙的单次最好成绩高的百分率＝（甲的单次最好成绩－乙的单次最好成绩）÷乙的单次最好成绩×100%；
③用这组数据的和除以数据的个数，就是平均数；先分别求出甲的平均成绩和乙的平均成绩，再比较大小，据此解答。
【规范解答】①观察复式折线统计图可知，第3次投篮中两人投中个数相同。
②（10－8）÷8×100%
＝2÷8×100%
＝0.25×100%
＝25%
答：甲的单次最好成绩比乙的单次最好成绩高出25%。
③甲的平均成绩：（8＋5＋7＋4＋10）÷5
＝34÷5
＝6.8（个）
乙的平均成绩：（7＋8＋7＋6＋7）÷5
＝35÷5
＝7（个）
因为6.8个＜7个，所以乙的平均成绩更好。
答：乙的平均成绩更好。
【变式训练1】（2025·山东·小升初真题）同学们，你做过“鸡蛋浮起来”的实验吗？这个科学实验中也有许多数学问题。
实验名称：鸡蛋、鸭蛋浮起来。
准备材料：一个圆柱形玻璃杯，半径5厘米，1个鸡蛋（小）、1个鸭蛋（大），一些水和盐。
实验过程：
（1）往杯子里加水，加盐搅拌，测量盐水的高度是8.4厘米；
（2）放入1个鸡蛋，这时水面上升到9厘米；
（3）放入1个鸭蛋，再测量水面高度。
观察记录：鸡蛋和鸭蛋都浮在水中，如图①所示。水面高度变化和三种物体体积情况如图②、③所示。
请根据实验所得数据，解答问题。
（1）鸡蛋的体积是多少立方厘米？
（2）放入鸭蛋以后水面上升了多少厘米？
【答案】（1）47.1立方厘米
（2）1厘米
【思路引导】（1）圆柱体积公式为V＝πr2h（r是底面半径，h是高，π取3.14）。放入鸡蛋前盐水高度是8.4厘米，放入鸡蛋后水面上升到9厘米，水面上升的高度为9－8.4＝0.6厘米。玻璃杯半径为5厘米，鸡蛋体积等于水面上升部分的体积，即3.14×52×0.6＝47.1（立方厘米）。
（2）由图③可知，鸡蛋体积占总体积（盐水、鸡蛋、鸭蛋体积和）的6%，盐水占总体积的84%，把总体积看作单位“1”，所以鸭蛋体积占总体积的1－6%－84%＝10%。鸡蛋体积是47.1立方厘米，总体积为47.1÷6%＝785立方厘米。鸭蛋体积为785×10%＝78.5立方厘米。水面上升高度h＝V÷π÷r2（V是鸭蛋体积），把鸭蛋体积78.5立方厘米，π＝3.14，r＝5厘米代入计算即可。
【规范解答】（1）9－8.4＝0.6（厘米）
3.14×52×0.6
＝3.14×25×0.6
＝78.5×0.6
＝47.1（立方厘米）。
答：鸡蛋的体积是47.1立方厘米。
（2）把总体积看作单位“1”。
1－6%－84%
＝100%－6%－84%
＝94%－84%
＝10%
47.1÷6%
＝47.1÷0.06
＝785（立方厘米）
785×10%
＝785×0.1
＝78.5（立方厘米）
78.5÷3.14÷52
＝78.5÷3.14÷25
＝25÷25
＝1（厘米）
答：放入鸭蛋以后水面上升了1厘米。
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。
（1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。
（2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。
【答案】（1）A；B
（2）烧杯底面积是20平方厘米；注满水槽所用的时间是180秒
【思路引导】（1）观察图②，注水初期仅向烧杯注水，当烧杯刚好注满时，后续注水开始使水槽水面上升，此转折点为点A，故点A表示烧杯中刚好注满水。
当水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐时，后续注水的“有效底面积”变为水槽底面积（因烧杯已被水覆盖），水面上升速度改变，此转折点为点B，故点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。
（2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。
由图2知，当注水18秒时，烧杯刚好注满，此时烧杯容积等于注水体积，根据容积＝底面积×高，注水体积＝注水速度×时间（匀速注水情况），得到S＝18v；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），即100＝90V，因为90V=5×18V则有100＝5S，两边同时约掉，即可求出烧杯底面积S。
由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5，当注水速度一定时，此时体积比等于时间比，把烧杯的体积看成1份，水槽一半的体积就是5份，用水槽的底面积乘此时的高度10厘米，再除以5就可以得到烧杯的体积，即：100×10÷5＝200（立方厘米），再根据注水速度＝注水体积÷时间，得到注水速度，即200÷18＝（立方厘米/秒）；再用水槽的总体积除以注水速度，得到注满水槽所用时间，即100×20÷＝180（秒）。
【规范解答】（1）根据分析，可知：
图②中，点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。
（2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。
由图②知，当注水18秒时，烧杯刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），于是S＝18V，100＝90V，
因为90V=5×18V，则有100＝5S，
所以S＝100÷5＝20（平方厘米）
由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5，
烧杯的体积：100×10÷5＝200（立方厘米）
注水速度：200÷18＝（立方厘米/秒）
注满水槽所用时间：
100×20÷
＝2000÷
＝2000×
＝180（秒）
答：烧杯的底面积为20平方厘米，注满水槽所用的时间为180秒。
【考点剖析】本题核心是利用恒定流量下“体积与时间成正比”的关系，结合图像转折点的实际意义（注满烧杯、水面平齐），通过建立方程求解未知量。关键在于理解不同注水阶段的“有效底面积”变化，从而关联体积、时间和底面积的关系。
题型二十九 可能性
【典例精讲】（2024·福建泉州·小升初真题）下面这个转盘阴影面积占，请利用这个转盘设计一个对双方都公平的游戏规则（可以在转盘上画辅助线），并简要描述规则。
【答案】见解答
【思路引导】对双方都公平的游戏规则就是指向双方的概率相同，由此解答本题。（答案不唯一）
【规范解答】1－＝，1－－＝－＝，÷2＝
如图：
，涂色部分占总面积的－＝＝，白色部分占总面积的＋＝＋＝＝，指向涂色部分时，甲方赢，指向白色部分时，乙方赢。（答案不唯一）
【变式训练1】（2024·重庆彭水·小升初真题）有20张卡片，上面分别写有数字1～20，从中任意摸一张。
(1)摸到3的倍数比摸到5的倍数的可能性( )。
(2)( )（填“经常”“偶尔”“不可能”或“一定”）摸到23的因数。
(3)如果按摸到的数是几位数分类（位数相同的为一类），会有( )种不同的结果。
(4)要提高摸到质数的可能性，可以再增加一张卡片，这张卡片上可以写数字( )（20以上，100以下）。
【答案】(1)大
(2)偶尔
(3)2
(4)23
【思路引导】（1）在1到20这些数中，判断3的倍数：根据倍数的定义，能被3整除的数就是3的倍数20÷3＝6……2，所以3的倍数有3、6、9、12、15、18，共6个。判断5的倍数：能被5整除的数是5的倍数，20÷5＝4，5的倍数有5、10、15、20，共4个。可能性大小比较：在总数相同的情况下，哪种数的数量越多，摸到的可能性就越大。因为6＞4，所以摸到3的倍数比摸到5的倍数的可能性大。
（2）找23的因数：根据因数的定义，两个正整数相乘，这两个数都叫做积的因数23＝1×23，所以23的因数是1和23 。判断摸到情况：在1到20中，只有1是23的因数，所以不是每次都能摸到23的因数，只是有时候能摸到，这种情况是偶尔能摸到。
（3）观察数的位数：在1到20中，1到9这9个数是一位数，10到20这11个数是两位数。分类结果：按照位数相同为一类来分，就有一位数和两位数这2种不同的结果。
（4）明确质数定义：质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数，选择合适数字：在20以上100以下有很多质数，比如23、29、31等。增加写有这些质数（如23）的卡片，质数在所有卡片中的数量占比就会增加根据可能性大小与数量有关，数是越多可能性越大，就能提高摸到质数的可能性。
【规范解答】（1）20÷3＝6……2，3的倍数有6个；20÷5＝4，5的倍数有4个。因为6＞ 4所以摸到3的倍数比摸到5的倍数的可能性大。
（2）23的因数是1和23 ，1到20中只有1是23的因数，所以是偶尔摸到23的因数。
（3）1到9是一位数，10到20是两位数，按位数分类有2种不同结果。
（4）20以上100以下质数如23，增加写有23的卡片可提高摸到质数可能性。（答案不唯一）
【变式训练2】（2025·湖北十堰·小升初真题）一个骰子六个面上分别有数字1，2，3，4，5，6，任意抛两次，上面的数字和是（ ）的可能性大。
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【思路引导】可以把选项中的几种情况列出来是由几加几构成的，第一个加数是第一个骰子，第二个加数是第二个骰子，据此分析：数字和是6的情况有：1＋5；2＋4；3＋3；4＋2；5＋1；有5种情况；数字和是7的情况有：1＋6；2＋5；3＋4；4＋3；5＋2；6＋1；有6种情况；数字和是8的情况有2＋6；3＋5；4＋4；5＋3；6＋2；有5种情况；数字和是9的情况有3＋6；4＋5；5＋4；6＋3；有4种情况；所以出现数字和是7的可能性大，据此解答。
【规范解答】根据分析可知，一个骰子六个面上分别有数字1，2，3，4，5，6，任意抛两次，上面的数字和是7的可能性大。
故答案为：B
【考点剖析】解答本题的关键是明确数字出现的次数多少。
题型三十 算式的规律
【典例精讲】（2024·云南昆明·小升初真题）如图是一种有机化合物的分子结构图，第1个图有4个，第2个图有6个，第3个图有8个……按此规律，第7个图中有( )个。
【答案】16
【思路引导】
由图可知：第1个图有4个，第2个图有[4＋（2－1）×2]个，第3个图有[4＋（3－1）×2]个……，按此规律求出第7个图中有多少个即可。
【规范解答】4＋（7－1）×2
＝4＋12
＝16（个）
所以第7个图中有16个。
【考点剖析】
解答本题需准确分析的个数与图形个数之间的关系，准确找规律计算。
【变式训练1】（2024·安徽滁州·小升初真题）看图回答问题。
(1)像这样摆下去，摆第7堆需要( )个◆。
(2)像这样摆下去，摆第( )堆需要121个◆。
【答案】(1)49
(2)11
【思路引导】（1）第1堆是1个◆，可以写成12；
第2堆是4个◆，可以写成22；
第3堆是9个◆，可以写成32；
第4堆是16个◆，可以写成42；
……
第n堆有n2个◆。
由此可以求出第7堆需要◆的个数。
（2）求出一个数的平方是121，即可求出第几堆，据此解答。
【规范解答】（1）根据分析可知，第n堆有n2个◆。
n＝7时：
72＝49
摆第7堆需要49个◆。
（2）121＝11×11
摆第11堆需要121个◆。
【变式训练2】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…。依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，点、、…在一条直线上，则点P从0跳动( )次可到达的位置。
【答案】903
【思路引导】看图可知，点P从0跳动6次到达的位置，6＝1＋2＋3；点P从0跳动21次到达的位置，21＝1＋2＋3＋4＋5＋6；……由此可知，跳动次数为从1开始连续整数的和，是从1开始连续3个整数的和，是从1开始连续（2×3）个整数的和，是从1开始连续（3×3）个整数的和……是从1开始连续（4×3）个整数的和，由此可知，是从1开始连续（14×3）个整数的和，即跳动的次数。
【规范解答】14×3＝42
1＋2＋3＋…＋41＋42
＝（1＋42）×42÷2
＝43×42÷2
＝43×21
＝903（次）
试卷第2页，共121页
试卷第2页，共33页
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$2026年六年级毕业数学二轮复习之压轴题考点分类必刷练真题汇编•全国通用
2026年六年级毕业数学必刷考点分类真题培优练『尖子生冲刺』
专项训练05 高频易错题
〔30个重点题型讲练 共90题〕在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。
专题说明 资料简介
同学你好，该份讲义优选2025年全国各地名校真题，模拟题。重点强化小升初高频考察点，提升解题技能，优选常考易错题型。该份检测卷非常适合考前冲刺拔尖使用。题目整体难度偏上，适合成绩中上及拔尖的学生。按照考点划分，方便自我学习批改，检测学习能力。解析版思路清晰，理解全面，进一步优化解题过程，梳理考察点。相信你在2026年毕业考试中考出满意成绩！
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重点难点 题型归纳 压轴必刷
题型序列
题型名称
题型序列
题型名称
题型一
整数的认识
题型十六
列方程解含两个未知数的问题
题型二
小数的认识
题型十七
列方程解决稍复杂的实际问题
题型三
分数的认识
题型十八
比
题型四
百分数的认识
题型十九
比例
题型五
正负数的认识
题型二十
常见的量
题型六
整数的四则运算
题型二十一
典型应用题
题型七
小数的四则运算
题型二十二
平面图形的认识与测量
题型八
分数的四则运算
题型二十三
立体图形的认识与测量
题型九
百分数的四则运算
题型二十四
图形的拼组
题型十
运算定律与简便运算
题型二十五
图形与变换
题型十一
倍的运算
题型二十六
位置与方向
题型十二
计算器与复杂的运算
题型二十七
测量
题型十三
用字母表示数
题型二十八
统计
题型十四
方程的解与解方程
题型二十九
可能性
题型十五
列方程解含一个未知数的问题
题型三十
算式的规律
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优中选优 题型讲练 压轴必刷
题型一 整数的认识
【典例精讲】（2025·四川成都·小升初真题）下面说法中，正确的有（ ）。
①通常规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高出海平面8848.86m，其海拔高度记作﹢8848.86m；吐鲁番盆地的最低处低于海平面154.31m，其海拔高度记作﹣154.31m。
②一个自然数（0除外）不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。
③一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等，圆柱的高是6cm，那圆锥的高一定是18cm。
④甲、乙两人掷骰子决定胜负，大于3的面朝上甲赢，小于3的面朝上乙赢，这个规则是公平的。
A．1个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式训练1】（2025·浙江杭州·小升初真题）表示一个四位整数，那么( )；如果是3的倍数，且a是一个奇数，那么a＝( )。
【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）对于任意两个正整数，定义某种运算（用表示），当都是正偶数或正奇数时，当中一个为正奇数，一个为正偶数时，，则上述定义下，满足的不同数对，共有多少个？
题型二 小数的认识
【典例精讲】（2025·湖北黄石·小升初真题）下面说法中，正确的有（ ）。
①一个两位小数的近似数是3.0，这个两位小数最大是2.99；
②一个自然数（0除外），不是奇数就是偶数，不是质数就是合数；
③一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等，圆柱的高是6cm，那圆锥的高一定是18cm；
④把26个苹果放进4个篮子中，其中至少有一个篮子中放入了8个苹果。
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式训练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）下列判断中，正确的有（ ）个。
①把2米长的铁丝截成5段，每段长0.4米。
②两个面积相等的梯形，不一定能拼成一个平行四边形。
③最简分数的分子和分母没有公因数。
④一个数乘上一个小数，所得的乘积一定比原来的数小。
⑤将小数点后面的0去掉，小数的大小有可能不变。
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练2】求24个偶数的平均数，保留一位小数的数是15.9，若保留两位小数的数应该是（ ）。
A．15.91 B．15.92 C．15.93 D．19.94
题型三 分数的认识
【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）某项工程，A、B、C、D单独做分别需15天、30天、18天、45天。现在四人合作，但中途A休息1天、B休息2天、C休息3天。那么一共需要几天才能完工？
【变式训练1】（2025·湖南永州·小升初真题）。
【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）元旦节即将来临，公司推出新款手镯，开始接单生产，该款手镯由两种金属按一定的重量比例构成，金属原来的成本为200元/克，金属原来的成本为150元/克，现由于市场价格波动，金属的成本上涨，金属的成本下跌到原来的，每克手镯现在的总成本比原来增加了37.5元。
(1)求手镯中金属和金属的重量比。
(2)手镯按原来的成本价格销售可获得的利润，现在，公司为了推出元旦礼盒，再投入现在总成本的做包装，这样，按现在的成本价格销售手镯，可获得的利润，求现在一个手镯的售价比原来一个手镯的售价上涨的百分比。
题型四 百分数的认识
【典例精讲】（2024·河北张家口·小升初真题）5÷（ ）＝25%＝（ ）∶40＝＝（ ）（填小数）＝（ ）折。
【变式训练2】（2024·重庆石柱·小升初真题）成渝地区双城经济圈是我国西部地区发展水平最高、发展潜力较大的城镇化区域，是实现长江经济带和“一带一路”倡议的重要组成部分。数据显示，2023年成渝地区双城经济圈实现地区生产总值81986.7亿元。其中，重庆都市圈经济总量达二万四千六百三十二点六亿元，占重庆市比重76.7%；成都都市圈经济总量达27845.3亿元，占全省比重为46.3%。
(1)横线上的数读作( )；加点的数省略亿后面的尾数是( )元；波浪线上的数写作( )。
(2)76.7%表示( )。
(3)通过阅读分析上面的数据，你还发现了( )信息。
【变式训练2】（2025·浙江温州·小升初真题）A、B两城相距580千米，两城之间有一个C城，客车从A城开往C城，货车从B城开往C城。客车行驶了90千米，货车行驶了B、C两城间的距离的60%，而且这时客车货车剩下的路程刚好相等。求A、C两城之间的距离。
题型五 正负数的认识
【典例精讲】（2024·河北沧州·小升初真题）在﹢7、﹣6.6、、0、﹣12中，最大是( )；负数有( )个；正数有( )个；在﹢7和﹣12中，( )更接近0。
【变式训练1】（2024·河北邯郸·小升初真题）新疆维吾尔自治区是我国陆地面积最大的省级行政区，总面积约1664900平方千米。新疆天山东部有一个著名的盆地吐鲁番盆地，它的最低处艾丁湖洼地低于海平面154.31米，也是我国陆地的最低点。“火焰山”是吐鲁番著名的旅游景点之一，夏季地表温度最高可达881.3℃，是名副其实的“火焰山”。
(1)1664900读作( )，改写成用“万”作单位的数是( )万，保留一位小数约是( )万。
(2)低于海平面154.31米可以记作( )米；最高温度881.3°C可以记作( )℃。
【变式训练2】看图填空。
①（ ）是正数和负数的分界点。
②所有的正数都在0的（ ）边，所有的负数都在0的（ ）边。
③在直线上，距0点4个单位长度的点分别是（ ）和（ ）
④如果一个人从0点先向东走3米记作﹢3米到A点（单位长度是1米），那么这个人又走﹣5米到B点是什么意思？这时他距离出发点有多远？在直线上表示出来。
题型六 整数的四则运算
【典例精讲】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）乌龟和兔子进行1000米赛跑，兔子速度是乌龟速度的5倍，当它们从起点同时出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它500米，兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后10米，求兔子睡觉期间，乌龟跑了___________米。
【变式训练1】（2025·湖南长沙·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。
（1）800－105÷7×30 （2）7.3＋7.3×99 （3） （4）
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5公顷、7公顷，三个牧场上的草长得一样密，且生长得一样快。有两群牛，第一群牛先用2天将一号牧场的草吃完，再用5天将二号牧场的草吃完。在这7天里，第二群牛刚好将三号牧场的草吃完。如果第一群牛有15头，那么第二群牛有多少头？
题型七 小数的四则运算
【典例精讲】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）计算。
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
【变式训练1】（2025·湖北黄石·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。
0.73×8.5－7.3×0.74＋73×0.9% （654＋546＋465）÷37
【变式训练2】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）A的步行速度为每小时5千米，B的步行速度为每小时6千米，他们两人从甲地到乙地去。C骑自行车的速度是A的2倍，从乙地到甲地去，他们三人同时出发，在B、C相遇30分钟后，A又与C相遇，请问：C骑车从乙地到甲地需要______小时。
题型八 分数的四则运算
【典例精讲】（2025·湖南永州·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。
（1） （2）3.28×37＋6.4×32.8－328×1%
（3） （4）
【变式训练1】（2025·四川达州·小升初真题）脱式计算，能简算的要简算。
【变式训练2】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）计算题。
（1） （2）
（2） （4）
（5） （6）
（7） （8）
题型九 百分数的四则运算
【典例精讲】2025·山东菏泽·小升初真题）有一个商店把某件商品按进价加价30%作为定价，可是总是卖不出去，后来老板按定价减价30%以91元出售，很快就卖掉了，则这次生意的盈亏情况为（ ）。
A．赚了6元 B．亏了6元 C．亏了9元 D．赚了9元
【变式训练1】（2025·福建宁德·小升初真题）下面说法中，正确的是（ ）。
①当a÷b＝5（a、b均为不等于0的整数）时，则a和b的最小公倍数是a，最大公因数是b。
②某学校的篮球社团成员中，男生人数比女生多20%，则女生人数比男生少20%。
③今年的端午节正好在儿童节的前一天，由此可知，今年的端午节是5月31日。
④袋子里有红、黄两种颜色的球若干个，小军摸完放回，连续9次都是摸到红球，那么，小军在第10次一定会摸到黄球。
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
【变式训练2】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）某市职工医疗保险规定：职工因病住院医疗费用补偿设起付线，如果甲医院的起付线是500元，500元以内的个人支付，超过起付线并且不超过2000元的部分按80%补偿，2000元以上的部分按75%补偿，其余自付。王叔叔7月份因病在甲医院住院，医疗费用补偿后，个人实际支付3300元，补偿多少元？
题型十 运算定律与简便运算
【典例精讲】（2025·河南商丘·小升初真题）仔细审题，怎么简便怎么算。
6090－630÷6×5 14.32－7.8＋1.68－3.2
【变式训练1】（2025·山东青岛·小升初真题）计算下列各题。
92.7－18.5＋7.3－81.5
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）计算题。
题型十一 倍的运算
【典例精讲】（2025·江西南昌·小升初真题）中国的制造业发达，被称为“世界工厂”，而美国是世界上最大的消费市场，中国的很多产品都卖到了美国。2025年4月，美国对中国产品征收高关税，发动贸易战。
（1）中国的华兴玩具厂生产一件毛绒玩具的成本是60元，加上20%的利润，就是厂家的出厂价，再出口到美国，就还要再加价75%（含关税54%、运输成本和美国商家获取的利润等）。这件毛绒玩具在美国卖多少钱？
（2）这件毛绒玩具如果在美国生产，由于供应链不完整和工人的工资高，再按中国毛绒玩具在美国的售价出售，美国的工厂还要亏损10%，美国工厂的生产成本是多少元？约是中国生产成本的几倍？
【变式训练1】（2024·河南郑州·小升初真题）甲、乙两人骑车分别从桥头和桥尾同时出发相向而行。与此同时，一列火车车头正好到达桥头，准备上桥，60秒后，火车车尾恰好超过甲，且火车车头恰好与乙相遇；又过了60秒，火车车尾恰好离开桥尾，此时甲、乙恰好相遇。
（1）桥长是车长的几倍？
（2）从火车车尾上桥到火车车头到达桥尾共用多少时间？
【变式训练2】有酒精含量为的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为的溶液，如果再稀释到，那么还需要加水的数量是上次加的水量的（ ）倍。
A．1.5 B．2 C．3 D．2.5
题型十二 计算器与复杂的运算
【典例精讲】（2024·湖北襄阳·小升初真题）一个计算器的数字键“4”坏了，陈娟要计算248×5.6，可以用下面（ ）计算出正确的得数。
A．280×5.6 B．258×5.6－10
C．250×5.6－11.2 D．238×5.6＋5.6
【变式训练1】（2024·山东潍坊·小升初真题）聪聪在用计算器计算一个四位数乘525时，错误地将525输成了25，接下来，输入（ ）可以避免结果错误。
A．“×5” B．“×500” C．“＋500” D．“×21”
【变式训练2】（2024·重庆云阳·小升初真题）在用计算器计算12×28时，数字“8”不灵了，可以按照（ ）这样算。
A．12×4×7 B．12×20＋12×8 C．12×30－2 D．10×28＋2×28
题型十三 用字母表示数
【典例精讲】（2025·浙江杭州·小升初真题）中国工程师从蜂巢获得灵感，采用六边形布局建设5G基站，既能节省资源，又能实现信号无缝覆盖。这种布局中，基站数量随着层数增加呈现特定规律，如下所示：
序号
①
②
③
……
图形
……
每层新增数
6
12
……
（1）根据信息中的规律，填空
第一层总基站数：1个
第二层总基站数：1＋6＝7个
第三层总基站数：7＋12＝19个
第四层新增基站数：________个，总基站数：________个
第五层新增基站数：________个，总基站数：________个
第n层新增基站数规律：________（用含n的式子表示）个
（2）如果第n层总基站数的规律符合关系式3n（n－1）＋1，那么该地区按照此规律建到第8层，总基站数是多少个？
【变式训练1】（2025·安徽合肥·小升初真题）y所在的位置如图，则算出的结果所在的位置在（ ）。
A．点A B．点B C．点C D．点D
【变式训练2】（2025·重庆渝北·小升初真题）我们把“个相同的数相乘”记为，例如。
(1)请计算：________，__________。
(2)观察下列等式：
由以上规律，我们可以猜：
_______。
(3)计算：。
题型十四 方程的解与解方程
【典例精讲】（2025·河北石家庄·小升初真题）解方程/比例。
【变式训练1】（2025·河南开封·小升初真题）解方程或解比例。
∶4＝x∶2.5
【变式训练2】（2025·四川绵阳·小升初真题）妈妈给红红一些钱去买贺卡，有甲、乙、丙三种贺卡，甲种卡每张0.5元，丙种卡每张1.2元，用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张，买乙种卡要比买丙种卡多买6张，妈妈给红红多少钱？乙种卡每张多少钱？
题型十五 列方程解含一个未知数的问题
【典例精讲】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）由甲地到乙地前的路是高速公路，后的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地。A车在高速公路和普通公路的行驶速度都是80千米/时；B车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时，A、B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在高速公路上距离丙地40千米处相遇，甲、乙两地之间的距离是多少？
【变式训练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）绵阳有一古寺叫圣水寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364个碗。圣水寺里的和尚一共有( )个。
【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）李师傅以1元钱3个苹果的价格买进苹果若干个，以1元钱2个苹果的价格将这些苹果卖出，卖出一半后，因为苹果降价只能以2元钱7个苹果的价格将剩下的苹果卖出。不过最后他不仅赚了24元钱，还剩下了1个苹果，那么他买了个___________苹果。
题型十六 列方程解含两个未知数的问题
【典例精讲】（2024·辽宁沈阳·小升初真题）某园林的水域面积是陆地面积的35%，水域面积比陆地面积少78公顷，这个园林的陆地面积是多少公顷？（用方程解）
【变式训练1】（2024·浙江宁波·小升初真题）甬舟铁路是一条连接宁波市与舟山市的高速铁路，全长77千米，其中“甬舟号”盾构机和“定海号”盾构机要用100天的时间合作开凿一段长2200米的隧道。已知“甬舟号”盾构机每天挖的长度是“定海号”的120%，“定海号”每天挖多长？
【变式训练2】（2025·湖北武汉·小升初真题）妈妈今年74岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子32岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为40岁，那么儿子今年______岁。
题型十七 列方程解决稍复杂的实际问题
【典例精讲】（2024·河南郑州·小升初真题）加工一批零件，原计划每天加工140个，正好按期完成任务。由于改进了生产技术，实际每天加工160个，这样，不仅提前3天完成加工任务，而且还多加工了40个。那么他们实际加工零件多少个？
【变式训练1】（2024·河南南阳·小升初真题）某学校数学课外兴趣小组，上学期男生人数占，这学期增加21名女生后，男生人数就只占了，这个兴趣小组现在共有学生多少名？
【变式训练2】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一个三位正数M，其各位数字均不为零且互不相等，若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如123的“团结数”为。
(1)请求出427的“团结数”。
(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，且各位数字互不相等（，）。若N的“团结数”与N之差为24，求N的值。
题型十八 比
【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）A、B、C、D四人一起完成一件工作，D做了一天就因病请假了，结果A做了6天，B做了5天，C做了4天，作为休息的代价，D拿出60元给A、B、C三人作为报酬，若按天数计算劳务费，则这60元中A分（ ）元。
A．20 B．30 C．40 D．50
【变式训练1】（2025·湖南长沙·小升初真题）实验小学举行庆“六一”男女大合唱，原计划合唱队中女生人数占合唱队总人数的，后来考虑到合唱效果，将增加5名男生，这时女生与男生人数的比是。合唱队原有女生多少名？
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）星期天早晨8：30，小萍骑电动车从家出发前往和谐广场。12分钟后，妈妈开车去追小萍，在距家6千米的地方追上了小萍。这时，妈妈收到一个电话，需要回家收个快递，于是立即掉头回家，拿到快递后没有停留（接快递时间忽略不计），立刻又回头去追小萍，妈妈再次追上小萍的时候，距家18千米，问：妈妈第二次追上小萍的时间是几时几分？
题型十九 比例
【典例精讲】（2025·湖北武汉·小升初真题）填一填、画一画。
（1）图中点A用数对（4，1）表示，点B的位置用数对（ ）表示，点C的位置用数对（4，4）表示，在图中标出点C的位置并画出三角形ABC。
（2）画出三角形ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形。
（3）把三角形ABC按2∶1放大，在方格纸上画出放大后的图形。
【变式训练1】（2025·江西上饶·小升初真题）（1）在图中分别描出下面各点。
A（5，5）、B（9，5）、C（7，7）D（5，7）
（2）按顺序依次连接A、B、C、D成封闭图形；
（3）画出图形ABCD绕点A顺时针旋转90°的图形；
（4）如果图形ABCD是按1∶2000的比例尺画出的平面图形，它实际的面积是多少平方米？（1格代表1厘米）
【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62%，如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%。第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了多少升？
题型二十 常见的量
【典例精讲】（2025·辽宁沈阳·小升初真题）北京时间2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船发射成功。2024年4月26日5时04分，在轨执行任务的神舟十七号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组入驻“天宫”。神舟十八号载人飞船从发射成功到航天员入驻“天宫”经过了（ ）。
A．7时55分 B．8时5分 C．9时5分 D．12时5分
【变式训练1】（2025·四川内江·小升初真题）某游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元：方式二，办理会员年卡，一次缴纳240元会员费，每次游泳另外收费14元（一年内有效）。李叔叔游泳锻炼的计划是一年，每月两次。他选择哪种方式更划算？
【变式训练2】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）甲、乙两位学生第1天自学的时间相同，若从第2天起，甲每天比前一天增加自学时间1小时，乙每天比前一天减少自学时间1小时，则乙自学8天的时间仅相当于甲自学4天的时间。问：甲第1天自学的时间是______分钟。
题型二十一 典型应用题
【典例精讲】（2025·江西吉安·小升初真题）某城市的士票价为：租单程3km以内8元，超过3km的部分每千米2.5元；如果租往返每千米2元。下面表示租单程时路程与收费的关系和表示租往返时路程与收费的关系的是（ ）。
A．③① B．③② C．①② D．④②
【变式训练1】（2025·江西吉安·小升初真题）2023年1月1日起，万安县启动“智慧停车服务收费”工作，服务定价如下：
路内、人行道停车位30分钟内免费，首小时2元，1小时后1元/小时，不足1小时按1小时收费，收费时段：7：30—19：30，全天13元封顶；
停车场1小时内免费，1小时后1元/小时，不足1小时按1小时收费，全天18元封顶，停车场实行24小时收费制，滚动叠加。
阅读上面材料，解答下列问题：
(1)晚饭后，小文爸爸开车去超市买了一些生活用品，他在路内停车位的时间是18：55～19：30，此次应缴( )元停车费。
(2)上周六，小李一家去赣州游玩。上午8：30把车停在了高铁站收费停车场，然后乘坐高铁去赣州，当天晚上从赣州回来后8：20把车开出停车场，此次停车费是多少？
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）物流运输车要在A城市和B城市之间进行往返，计划以同样的速度行驶。因天气原因，从A城市出发前往B城市，车速降为原来的，结果晚了112.5分钟；从B城市返回A城市时，按原计划的速度行驶270千米后，将车速度降低了，结果晚了3小时到达A城市。A、B两座城市之间的距离是多少？
题型二十二 平面图形的认识与测量
【典例精讲】（2025·湖北黄石·小升初真题）健身房内有一个圆柱形沙包，量得沙包的底面直径是40厘米，高是1.2米。在一次训练中，沙子全部流到地上形成了一个高50厘米的近似圆锥形沙堆，这个沙堆的占地面积是多少平方米？（结果保留两位小数）
【变式训练1】（2025·湖北黄石·小升初真题）学校操场是一个长方形，画在比例尺是1∶2000的平面图上，长是3厘米，宽是2厘米，学校操场实际面积是( )平方米。
【变式训练2】（2025·四川绵阳·小升初真题）如图，正方形ABCD的边长为4厘米，点E在BC上，四边形BEFG也是正方形，以点B为圆心，BA长为半径画弧AC。连接AF、CF，试求图中阴影部分的面积。
题型二十三 立体图形的认识与测量
【典例精讲】（2025·福建宁德·小升初真题）下图是测量1颗铁球体积的实验过程。①将200毫升的水倒入一个容量为500毫升的杯子里；②将5颗相同的铁球放入水中，水没有满；③再放入1颗相同的铁球，结果水满溢出。根据以上过程，推测1颗这样的铁球体积大约（ ）。
A．大于40立方厘米，小于45立方厘米 B．大于45立方厘米，小于50立方厘米
C．大于50立方厘米，小于60立方厘米 D．大于60立方厘米，小于70立方厘米
【变式训练1】（2025·江西吉安·小升初真题）按要求在下面的方格图中画图并完成填空。（每个小方格的边长表示1cm。）
(1)画出①号图形向下平移5格后的图形；
(2)画出①号图形绕A点逆时针旋转90°后的图形；
(3)分别画出从上面、前面、左面看右图的图形；
(4)以点（19，11）为圆心画一个直径6cm的圆，并标出圆心。
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？
题型二十四 图形的拼组
【典例精讲】（2024·陕西西安·小升初真题）把一根长3分米的圆钢锯成2段后，表面积增加12.56平方分米，它原来的体积是( )立方分米。
【变式训练1】（2024·陕西咸阳·小升初真题）一根高是20分米的圆柱形木块截下5分米后，表面积比原来减少了157平方分米，原来这根圆柱形木块的表面积是（ ）平方分米。
A．314 B．942 C．1256 D．785
【变式训练2】（2025·吉林长春·小升初真题）阅读理解：一张长方形纸片，剪下一个正方形，剩下一个长方形，称为第一次操作；在剩下的长方形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个长方形，称为第二次操作；……；若在第n次操作后，剩下的长方形为正方形，则称原长方形为n阶奇异长方形，如图1，长方形ABCD中，若AB＝3，BC＝9，则称长方形ABCD为2阶奇异长方形。
（1）判断与操作：如图2，长方形ABCD长为7，宽为3，它是奇异长方形吗？如果是，请写出它是几阶奇异长方形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由。
（2）探究与计算：已知长方形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异长方形，请画出长方形ABCD及裁剪线的所有可能的示意图，并在图的下方写出a的值。（备注：请同学自己画出相应的长方形ABCD及裁剪线的示意图）
题型二十五 图形与变换
【典例精讲】（2025·河北石家庄·小升初真题）如图所示，每个方格的边长表示1cm。请按照要求画一画，填一填。
（1）图①中的平行四边形沿高分成了两部分，把其中的三角形向（ ）平移（ ）格，平行四边形就变成了长方形；请根据提示画出这个平行四边形变形后的长方形，再画出这个长方形按1∶2缩小后的图形。
（2）画出图②的另一半，使它成为轴对称图形。形成的轴对称图形面积是（ ）cm2。
（3）把图③绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。旋转后和点B对应的点的位置用数对表示是（，）。
【变式训练1】（2025·江西南昌·小升初真题）
（1）用数对表示梯形①中B、D点的位置，B（ ， ）、D（ ， ）。
（2）画出将图形①绕A点顺时针旋转90°后的图形②。
（3）画出将图形①向右平移10格的图形③。
（4）在图形③的下面画出将图形③放大2倍后的图形④。
（5）如果每小格的边长表示1厘米，则图形①的面积是（ ），图形④的面积是（ ）。
【变式训练2】下面每个小正方形的边长表示1厘米，请按要求完成下列各题。
（1）三角形顶点A用数对表示是（ ， ），顶点B用数对表示是（ ， ）。
（2）把三角形ABC向下平移5格，再向左平移4格，画出平移后的图形。
（3）把三角形ABC按2∶1放大，画出放大后的图形。
（4）画出三角形ABC绕C点顺时针旋转90°的图形。
（5）把三角形ABC绕AC轴旋转一周形成的物体是（ ），体积是（ ）立方厘米。
题型二十六 位置与方向
【典例精讲】（2025·陕西榆林·小升初真题）如图，点O的位置用数对表示是（4，10），每个小正方形的边长表示1厘米。按要求画图。
（1）画出将三角形①轮廓点的数对的第一个数不变，第二个数除以2后的图形。
（2）画出将三角形①绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形。
（3）画出将三角形①按2∶1的比放大后的图形。
（4）画出一个与三角形①面积相等的平行四边形。
【变式训练1】（2025·江苏无锡·小升初真题）下图每个小正方形的边长表示1厘米，请按要求完成如下操作。
（1）画出轴对称图形的另一半。
（2）画出三角形ABC绕点B顺时针旋转90°后的图形，旋转后点C点的位置用数对表示为（ ）。这个三角形的面积是（ ）平方厘米。
（3）画一个直径是4厘米的圆，圆心O在C点南偏东45°方向。
（4）按1∶2的比在图中画出长方形缩小后的图形，缩小后的长方形面积是原来长方形面积的。
【变式训练2】根据要求填一填，画一画。（每个小正方形边长表示1厘米）
（1）点A用数对表示是（ ），点A在点B的（ ）偏（ ）（ ）°方向上。
（2）将三角形绕点C顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形。旋转后点A用数对表示是（ ）。
（3）设计一个轴对称图形，面积与上图的三角形面积相等。
（4）过长方形其中一条边上的某一点画一条线段，把长方形分成一个三角形和一个梯形，使它们的面积比为1∶3。
题型二十七 测量
【典例精讲】（2025·浙江宁波·小升初真题）有一条62.8米的丝带，厚为0.125毫米。现把它紧密的卷起来，下面选项中（ ）可能是这条丝带卷成后的样子。（每圈丝带之间的缝隙忽略不计）
A．B． C． D．
【变式训练1】（2025·河北石家庄·小升初真题）一幅地图的比例尺为1∶3000000，在这幅地图上量得甲、乙两地的距离是8cm。甲、乙两地的实际距离是( )km。如果画在比例尺是的地图上，那么应画( )cm。
【变式训练2】（2025·吉林长春·小升初真题）有一个像如图①那样的长方体容器，现在以每秒0.75升的速度向这个容器注水。容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将容器隔为A、B两个部分。B部分有一个洞，水按一定的流量往下漏。图②是表示从注水开始A部分的水的高度变化的图象。回答下面的问题：
（1）求图②中D表示的数；
（2）从B的洞中每秒钟流出多少升水；
（3）图②中P表示的数为（ ），Q表示的数为（ ）。
题型二十八 统计
【典例精讲】（2025·海南省直辖县级单位·小升初真题）甲乙两名同学在一次投篮训练中的成绩如图所示。
①第（ ）次投篮中两人投中个数相同。
②甲的单次最好成绩比乙的单次最好成绩高出百分之几？
③谁的平均成绩更好？
【变式训练1】（2025·山东·小升初真题）同学们，你做过“鸡蛋浮起来”的实验吗？这个科学实验中也有许多数学问题。
实验名称：鸡蛋、鸭蛋浮起来。
准备材料：一个圆柱形玻璃杯，半径5厘米，1个鸡蛋（小）、1个鸭蛋（大），一些水和盐。
实验过程：
（1）往杯子里加水，加盐搅拌，测量盐水的高度是8.4厘米；
（2）放入1个鸡蛋，这时水面上升到9厘米；
（3）放入1个鸭蛋，再测量水面高度。
观察记录：鸡蛋和鸭蛋都浮在水中，如图①所示。水面高度变化和三种物体体积情况如图②、③所示。
请根据实验所得数据，解答问题。
（1）鸡蛋的体积是多少立方厘米？
（2）放入鸭蛋以后水面上升了多少厘米？
【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。
（1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。
（2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。
题型二十九 可能性
【典例精讲】（2024·福建泉州·小升初真题）下面这个转盘阴影面积占，请利用这个转盘设计一个对双方都公平的游戏规则（可以在转盘上画辅助线），并简要描述规则。
【变式训练1】（2024·重庆彭水·小升初真题）有20张卡片，上面分别写有数字1～20，从中任意摸一张。
(1)摸到3的倍数比摸到5的倍数的可能性( )。
(2)( )（填“经常”“偶尔”“不可能”或“一定”）摸到23的因数。
(3)如果按摸到的数是几位数分类（位数相同的为一类），会有( )种不同的结果。
(4)要提高摸到质数的可能性，可以再增加一张卡片，这张卡片上可以写数字( )（20以上，100以下）。
【变式训练2】（2025·湖北十堰·小升初真题）一个骰子六个面上分别有数字1，2，3，4，5，6，任意抛两次，上面的数字和是（ ）的可能性大。
A．6 B．7 C．8 D．9
题型三十 算式的规律
【典例精讲】（2024·云南昆明·小升初真题）如图是一种有机化合物的分子结构图，第1个图有4个，第2个图有6个，第3个图有8个……按此规律，第7个图中有( )个。
【变式训练1】（2024·安徽滁州·小升初真题）看图回答问题。
(1)像这样摆下去，摆第7堆需要( )个◆。
(2)像这样摆下去，摆第( )堆需要121个◆。
【变式训练2】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…。依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，点、、…在一条直线上，则点P从0跳动( )次可到达的位置。
试卷第2页，共121页
试卷第2页，共33页
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