8.2立体图形的直观图 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学 人教A版必修第二册

8.2　立体图形的直观图 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【学习目标】 1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.(重点) 2.会用斜二测画法画常见的柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的直观图.(难点) 3.掌握直观图与原图形的长度、角度和面积间的关系. 【例题精练】 【例1】一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　） A．4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0.8 cm C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1.6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0.8 cm 【例2】用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中梯形的上底长是下底长的，若原平面图形的面积为，则BC的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【例3】如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【例4】如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【例5】如图所示，在中，边上的高，试用斜二测画法画出其直观图．    【A组基础达标】 一、单选题 1．若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（ ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 2．如图所示是水平放置的的直观图，其中，则原是一个（    ）    A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 3．如图，是水平放置的的直观图，但部分图像被墨汁覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为9，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 4．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来实际图形的周长是（    ） A． B． C．6 D．8 5．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥的顶点到底面的距离为，另一个圆锥到底面的距离为，则其直观图中两个圆锥的顶点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 6．如图，矩形的长为4cm，宽为2cm，是的中点，它是水平放置的一个平面四边形的直观图，则四边形的周长等于（    ） A．10cm B．cm C．20cm D．cm 二、多选题 7．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的有（   ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．平行的线段在直观图中仍然平行 C．一个角的直观图仍是一个角 D．平行四边形的直观图是平行四边形 8．如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则（    ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为6 三、填空题 9．如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，分别在轴上，且，则在中，__________. 10．如图：已知菱形，用斜二测画法作出菱形的直观图，即四边形，则四边形的面积为______. 四、解答题 11．用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图． 12．如图是某个水平放置的平面图形的直观图，请画出原来的平面图形． 【B组能力提升】 1．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为____． 2．在如图的直观图中，四边形为菱形且边长为2cm，则在坐标系中原四边形为________（填形状），面积为________． 3．在四边形中，，则该四边形通过斜二测画法得到的直观图面积的最大值为___________． 4．如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为O（0，0），A（1，3），B（3，1），C（4，6），D（2，5）试用斜二测画法画出四边形的直观图. 5．用斜二测画法画出正六棱锥的直观图． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2　立体图形的直观图 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【学习目标】 1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.(重点) 2.会用斜二测画法画常见的柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的直观图.(难点) 3.掌握直观图与原图形的长度、角度和面积间的关系. 【例题精练】 【例1】一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　） A．4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0.8 cm C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1.6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0.8 cm 【答案】D 【分析】根据条件所给的比例结合斜二测画直观图的画法规则即可求解. 【详解】由比例可知，所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为2cm，0.5cm，1cm和0.8cm， 又因为斜二测画直观图的画法： 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于，保持长度不变； 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半； 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变. 所以该建筑物按的比例画出它的直观图， 直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为2cm，0.25cm，1cm和0.8cm． 故选：D. 【例2】用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中梯形的上底长是下底长的，若原平面图形的面积为，则BC的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】画出原平面图形，并根据斜二测定义得到，，设，表达出其他各边，利用梯形面积公式列出方程，求出，得到答案. 【详解】画出原平面图形，如下： 其中，故，， 设，则，， 平面图形的面积为， 故，解得， 故. 【例3】如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【详解】过作交轴于点，可得， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 根据斜二测画法，可得，如图所示，则， 所以的面积，故选项D正确. 【例4】如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用直观图与原图形的关系作图即可得. （2）利用直观图的性质计算可得原图形对应边长，即可计算原图形的高与面积. 【详解】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，，则即为原来的图形，如图②所示： （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高且， 在直观图中作于点， 则的面积， 在直角三角形中，，. 所以. 故原图形中边上的高为，原图形的面积为. 【例5】如图所示，在中，边上的高，试用斜二测画法画出其直观图．    【答案】作图见解析 【分析】根据斜二测画法的定义和步骤即可求解. 【详解】（1）在中建立如图①所示的平面直角坐标系， 再建立如图②所示的坐标系，使. (2)在坐标系中，在轴上截取； 在轴上截取，使. (3)连接，擦去辅助线，得到，即为的直观图(如图③所示). 【A组基础达标】 一、单选题 1．若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（ ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 【答案】A 【详解】圆柱中平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致， 所以圆柱的高应画成平行于轴且大小为10cm. 2．如图所示是水平放置的的直观图，其中，则原是一个（    ）    A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据斜二测画法的规则求解即可. 【详解】    将水平放置的的直观图还原，可知， 由勾股定理有，注意到， 所以三角形是等腰三角形，不是等边三角形， 由大边对大角可知，三角形中最大角的余弦， 即三角形中最大角是锐角，三角形是锐角三角形，不是直角三角形， 综上所述，只有C选项符合题意， 故选：C. 3．如图，是水平放置的的直观图，但部分图像被墨汁覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为9，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得原图形三角形的值，根据斜二测画法的规则进而求得. 【详解】因为在直观图中，， 所以原图形是一个底边长为，高为的直角三角形， 故原图形的面积为．根据斜二测画法的规则,所以.   故选：C. 4．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来实际图形的周长是（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】还原图形，用勾股定理计算线段长度，再求出周长. 【详解】如图所示：根据斜二测画法，可知原图形为平行四边形， 其中，， 所以， 故周长为. 故选：D. 5．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥的顶点到底面的距离为，另一个圆锥到底面的距离为，则其直观图中两个圆锥的顶点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意即为求两圆锥的高的和，即可得解. 【详解】圆锥顶点到底面的距离即为圆锥的高，故两顶点间的距离为. 故选：D. 6．如图，矩形的长为4cm，宽为2cm，是的中点，它是水平放置的一个平面四边形的直观图，则四边形的周长等于（    ） A．10cm B．cm C．20cm D．cm 【答案】C 【分析】根据斜二测画法还原出原图并求出相关线段的长度，进而求周长. 【详解】由斜二测画法知：与轴平行或在x轴上的线段其长度不变、与横轴平行的性质不变； 与轴平行或在y轴上的线段长度变为原来的一半，且与轴平行的性质不变. 还原出原图形如图所示的平行四边形， 其中cm，cm， cm，所以原图形的周长为cm. 故选：C 二、多选题 7．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的有（   ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．平行的线段在直观图中仍然平行 C．一个角的直观图仍是一个角 D．平行四边形的直观图是平行四边形 【答案】BCD 【分析】根据“平行性不变、平行于 y 轴的线段长度减半”，可逐一分析各选项. 【详解】A选项：斜二测画法中，平行于轴的线段长度会变为原来的一半，所以原本相等的线段，在直观图中长度可能不相等， A错误； B选项：斜二测画法的核心性质之一就是“平行性不变”，平行的线段在直观图中仍然保持平行，B正确； C选项：直观图中，原本的角会变成一个新的角（如直角会变成45°或135°），但依然是一个角，C正确； D选项：由于平行四边形的对边平行，而平行性在直观图中保持不变，因此平行四边形的直观图仍是平行四边形，D正确. 8．如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则（    ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为6 【答案】AD 【分析】根据斜二测画法的定义，求得边长，再求周长与面积即可． 【详解】如图过作于， 由等腰梯形可得：是等腰直角三角形， 即，即A正确； 还原平面图为下图， 即， 过C作，由勾股定理得，即错误； 故四边形ABCD的周长为：，即C错误； 四边形ABCD的面积为：，即D正确. 故选：AD 三、填空题 9．如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，分别在轴上，且，则在中，__________. 【答案】9 【详解】由，则，， 所以，则， 在原图中，，， 则. 10．如图：已知菱形，用斜二测画法作出菱形的直观图，即四边形，则四边形的面积为______. 【答案】 【分析】作出直观图，结合三角形的面积公式可求出四边形的面积. 【详解】作出直观图如下图所示： 由题意可知，四边形为平行四边形， 且，， 平行四边形的面积. 四、解答题 11．用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图． 【答案】画图见解析 【分析】由斜二测画法的规则画出直观图即可． 【详解】根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形． ①画轴，如图，画轴，轴，轴，三轴相交于点，使，． ②画底面，在轴正半轴上取线段，使，在轴正半轴上取线段，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，设它们的交点为，则就是长方体的底面的直观图． ③分别过点作，，，且． ④连接、、、，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长方体的直观图，如图2所示． 12．如图是某个水平放置的平面图形的直观图，请画出原来的平面图形． 【答案】作图见解析 【分析】利用直观图的画法规则画出平面图. 【详解】如图： （1）在平面直角坐标系中，在轴上截取，； （2）在轴上截取； （3）过作直线平行于轴，如图截取; （4）连接. 则四边形即为所求. 【B组能力提升】 1．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为____． 【答案】6 【分析】根据斜二测画法的规则，将直观图还原为原图，进而求出原四边形各边的长度，从而找出最长的长度． 【详解】矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，， 将直观图还原为原图，如图， 在直观图中，，则， 所以在原图中，可得，， 所以 因为， 所以原四边形中最长边的长度为6． 2．在如图的直观图中，四边形为菱形且边长为2cm，则在坐标系中原四边形为________（填形状），面积为________． 【答案】 矩形 8 【分析】结合斜二测画法求解即可. 【详解】结合斜二测画法可作出原图：， 则四边形为矩形，其中，. 所以四边形的面积． 3．在四边形中，，则该四边形通过斜二测画法得到的直观图面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】记四边形的面积为，其直观图的面积为，则，利用基本不等式求的最大值，即可得结果. 【详解】记四边形的面积为，其直观图的面积为，则， 因为，则， 可得， 又因为，则，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以． 4．如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为O（0，0），A（1，3），B（3，1），C（4，6），D（2，5）试用斜二测画法画出四边形的直观图. 【答案】见解析 【分析】根据斜二测画法的规则，结合“一变两不变”的原则，即可求解，得到答案. 【详解】（1）如图（1）所示，分别过点作x轴的垂线，垂足分别为，在图（2）中画出相应的轴和轴，使； （2）在轴上截取，作轴，截取，确定点A.同理确定点，其中，，； （3）顺次连接，去掉辅助线，得到四边形的直观图如图（3）所示.    【点睛】本题主要考查了水平放置的平面图形的直观图的画法，其中解答中熟记斜二测画法的规则是解答此类问题的关键，同时画直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题，圆的直观图通常为椭圆，着重考查了数形结合思想，属于基础题. 5．用斜二测画法画出正六棱锥的直观图． 【答案】 【分析】根据斜二测画法的步骤作图即可. 【详解】（1）画正六棱锥的底面的直观图． ①在正六边形中，取对角线所在直线为轴，取与垂直的对称轴为轴，两轴相交于点（如图（1）所示）． （2）画相应的轴和轴，两轴交于点，使． 以为及的中点，在轴上取， 在轴上取， 以点为中点画平行于轴，并且等于， 再以点为中点画平行于轴，并且等于． ③连接，则得到水平放置的正六边形的直观图． （3）在直观图中画六棱锥的顶点，连接，以所在直线为轴． 过作与轴对应的轴，在上取点，使． 连接，，，，，（如图（2）所示）． （4）擦去轴、轴、轴，将被遮挡住的线画为虚线， 便得到正六棱锥的直观图（如图（3）所示）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $