方法归纳专题6 圆中常用的思想方法&方法归纳专题7 隐圆、最值问题（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（沪科版）安徽专版

方法归纳专题⑦隐圆、最值问题 (本专题有一定难度，请根据学情酌情选用) 类型1圆中最值问题 角度2线圆最值 角度1点圆最值 >方法指导 如图，已知⊙O和直线，Q为⊙O上一 动点，当直线OQ与1垂直时，点Q到直线1的距离取 方法指导如图，D是圆外一定点，E是⊙O上的 最大值如图1所示，取最小值如图2所示。 动点，连接DE.当⊙O的圆心在线段DE上时，DE取 得最大值（如图1）；当⊙O的圆心在DE的延长线上 时，DE取得最小值（如图2）. D D Q 图1 图2 3.如图，在△OAB中，OA=OB,∠AOB=120°， 图1 图2 AB=24.若⊙O的半径为4，点P在⊙O上，点 M在AB上，连接PM,则线段PM的最小值 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= 为 BC=2,以BC为直径的半圆交AB于点D,P 是CD上的一个动点，连接AP,则AP的最小 值是 B 第3题图 第4题图 4.如图，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于 点D,且OD=DC,P为⊙O上任意一点，连接 PA,PB.若⊙O的半径为1，则S△APB的最大值 1 2345 为 第1题图 第2题图 5.如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半 2.如图，已知⊙A的半径为1，圆心A的坐标为 径为√3，P为边AB上一动点，过点P作⊙C (4,3),P是⊙A上的一个动点，则OP的最大 的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值 值为 为 [变式]如图，点A的坐标为（一3,3），点P 的坐标为(1,0)，点B的坐标为（一1,0），⊙A 的半径为1，C为圆上一动点，Q为BC的中点， 连接PC,OQ,则OQ的最大值为 () 第5题图 第6题图 6.如图，直径为2的半圆O与Rt△ABC的边AC 相切，圆心O在边AB上.若∠C=90°，AC=6, BC=8,P,Q分别是BC与半圆弧上的动点， A.5 B.2.5 C.6 D.3 则PQ的最大值和最小值之和为 48一本·HK版初中数学九年级下册 类型2隐圆问题 10.(2023·安徽节选)如图，在Rt△ABC中，M是 角度1定点定长 斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至 MD的位置，点D不在直线AB上，连接 模型展示 AD.BD. 类型 一点作圆 三点定圆 (1)如图1，求∠ADB的度数. (2)如图2，已知E是边AC上一点，且满足 图示 ME⊥AD,DE∥AB,连接CD.求证： BD=CD. 平面内，A为定点，B为 特征 OA=OB=OC 动，点且AB的长度固定 点B在以点A为圆心， 结论 点A,B,C均在⊙O上 AB的长为半径的圆上 图 图2 7.如图，OA=OB=OC,且∠ACB=30°，则 ∠AOB的度数是 ( A.40 B.50 C.60° D.70° M 第7题图 第8题图 8.(2025·宿州泗县期中)如图，在矩形ABCD中，已 知AB=5,BC=12,P是BC边上一动点（点P 不与点B,C重合)，连接AP,作点B关于直线 AP的对称点M,连接CM,则线段MC长度的 角度2定弦定角 最小值为 模型展示（点C不与点A,B重合） ( A.√/26 B号 C.7 D.8 图示 9.(2025·准北滩溪一模)如图，在 特征 在△ABC中，AB=a为定长，∠C=a为定角度 △ABC中，∠BAC=30°， 当a<90°时， ∠ACB=45°，AB=2,点P从点A出发沿AB 当a>90°时，点C 点C在优弧 当a=90°时， 方向运动，到点B时停止运动，连接CP,点A 点C在⊙O 在劣孤AB上运 结论 ACB上运动， 关于直线CP的对称点为点A1,连接 ∠ACB 上运动，弦 1 动，2∠AOB+ AC,AP. 1 AB为直径 ∠AOB ∠ACB=180 (1)线段A1C的长为 (2)在运动的过程中，点A1到直线AB距离的 构成等腰三角形(AC=BC)时，点C到AB的距 推论 最大值是 离最大且此时△ABC的面积最大 第24章圆49 11.如图，△ABC为等边三角形，AB=3.若P为角度3四点共圆 △ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP, 。模型展示 则线段PB长度的最小值为 ( AB为 △ABC和 在四边形ABCD中， A.1.5 B.√3 c D.2 特 △ABD的公共边，点 ∠D+∠B=180°（四边 征 C,D在AB的同一侧， 12.(1)如图1，P为正方形ABCD内一点，且 形对角互补) 且∠C=∠D ∠BPC=90°，若AB=4,求AP的最小值. 结 解题思路：.BC=AB=4(定弦)，∠BPC= 点A,B,C,D在同一个圆上 论 90°（定角），.点P在以BC为直径的圆上. 13.(2018·安徽节选)如图，在Rt△ABC中， 请根据以上解题思路写出解答过程 D ∠ACB=90°，D为边AC上一点，DE⊥AB 于点E,M为BD的中点，CM的延长线交 AB于点F,连接EM. (1)求证：CM=EM; 图1 (2)若∠BAC=50°，求∠EMF的度数. (2)如图2，在正方形ABCD中，AD=4,动点 E,F分别在边DC,CB上移动，且满足DE CF,连接AE和DF交于点P. ①请你写出AE与DF的数量关系和位置关 系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随 14.如图，在△ABC中，∠A=60°，BD,CE分别 之运动，请求出点P的运动路径长 是边AC与AB上的高，连接DE.求证：BC= D 2DE. 图2 50一本·HK版初中数学九年级下册解得，-9⊙0的半径为号 解法2（勾股定理）：连接OD(图略) 设⊙O的半径为r,则OD=OF=r,.AO=12一r. 根据题意，得BD=BF=CF=2BC=5, ,.AD=13-5=8 在Rt△OAD中，OD2+AD2=OA2, 10 即r2十82=(12-r)2,解得r=3, 0 “⊙0的半径为3 9.C10.140°11.(1)3(2)3 12.(1)80°(2)3-√2 13.(1)略(2)4 方法归纳专题5圆中常见辅助线的归类 1.B2.D3.√/144.4√25.A6.√2 7.1)路(2)号8A9.B 10.(1)略(2)3√/10 11.(1)20°(2)ED=3,EG=3√3 12.解：(1)证明：连接OD(图略). CD是∠ACB的平分线，∴.∠ACD=∠BCD, ∴∠AOD=∠BOD. AB为⊙O的直径， ∠A0D=∠B0D=2×180°=90,0DLAB. DE∥AB,∴OD⊥DE. OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线. (2)2√3+2 24.6正多边形与圆 第1课时正多边形与圆 1.D2.B3.B【变式】54.2a25.(9,33) 6.B7.正十边形1448.43 9.解：如图所示. 正三角形 正方形 10.A11.√3+112.92° 13.(1)略(2)108 14.解：(1)略 (2)证明：如图，过点B作BE⊥PB交PA于，点E, :∠1+∠2=∠2+∠3=90°，.∠1=∠3. 由题意易知∠APB=45°，.BP=BE, ∴PE=√2PB. 又AB=BC,∴△ABE≌△CBP,.PC=AE, ∴.PA=AE+PE=PC+√2PB. (3)PA=J3 PB+PC. 第2课时正多边形的性质 1.B【变式】A2.C3.A 4.A5.1.56.4V57.6 8.)2 cm(2 3 cm 9.A10.C11.1212. 3 13.72° 14.(1)36°(2)5-115.3 24.7弧长与扇形面积 第1课时弧长与扇形面积 1.c【变式1】9【变式2】1102.B 45 3.D4.元5.D【变式】240 5 6c【变式】a7.8x 8.(1)略(2)8+4π 16π-83 9.c10至1.35m12.1 13.155(22号14号 10 第2课时圆锥的侧面展开图 1.B【变式】A2.15π3.80π4.216 84 5.(1)3cm(2)36πcm26.B7.102+48.5元 9.(1)2：:1(2)60°(3)18πcm2 方法归纳专题6圆中常用的思想方法 1.A2.3√5或√/133.7cm或1cm4.30°或150° 5.75°或15°6.(1)2.4(2)3<r≤4或r=2.47.C 8.29.C10.B11.8π12.150° 方法归纳专题7隐圆、最值问题 1√5-12.6【变式】D 345-463 5.36.147.C8.D 9.(13+1(2)5+1 2 10.(1)90°(2)略 11.B 12.解：(1)如图，以BC为直径作⊙O,连接AO. ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠ABC=90°，BC=AB=4, 0B= 2BC=2. 在Rt△ABO中， AO=√/AB2+OB2=2√5. 87· BC=4,∠BPC=90°， .点P在以BC为直径的⊙O上. 则当O,P,A三点共线时，AP最小， .AP的最小值为2√5-2. (2)①AE=DF,AE⊥DF.理由略 ②π 13.(1)略(2)100° 14.证明：BD,CE分别是边AC与AB上的高， ∴.∠BDC=∠BEC=90°， ∴.B,C,D,E四点共圆，∠BDE=∠BCE ∠A=60°，.∠ABD=∠ACE=30°， ∴.∠AED=30°+∠BDE,∠ACB=30°+∠BCE, ∴.∠AED=∠ACB, .DE AD △AEDD△ACB,BC-AB :BD⊥AC,∠ABD=30,AD=2AB, .BC=2DE 章末复习 ①旋转中心②旋转角③旋转方向④相等 ⑤旋转角⑥全等⑦平分⑧全等⑨180° ⑩重合①（一x,一y)②圆心 ⑧对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角 ④>⑤=⑥<⑦同一直线上的三个点 ⑧>9= 四<④唯一@=⑧垂直于 C.R e 1.D2.A 3.解：(1)旋转中心O的位置如图所示. 90° (2)平面直角坐标系，△DE'F'如图所示 D'(-1,-1),E'(-2,-3),F'(0,-4). (3)311 2元4π (4)1 4.C5.A6.60 7.解：(1)证明：半径OD⊥AC,AD=CD, ∴.∠ABD=∠CBD,∴.BD平分∠ABC (2)45 8.(1)6<r<8(2)4.8(3)2√/13+1 9.(1)略(2)7.2(3)2 10.c11. 12.C13.62°或118° 第25章投影与视图 25.1投影 1.A2.C3.B4.图25.B 6解：如图，点O即为路灯灯泡的位置，线段AB表 示小赵在灯光下的影子 小赵 小李 7.A8.D 9.解：(1)如图所示. (2)如图所示. 10.A11.A12.①②③④⑤ ③④⑤ 13.4014.1215.1.2m 25.2三视图 1.B2.D3.C4.B5.c6.D 7解：如图所示。 主视图 左视图 俯视图 8.B9.D10.208π11.C12.A13.D14.C 【变式】解：(1)6 (2)如图所示. 左视图 俯视图 (3)57 章末复习 ①中心②平行 ③正 ④宽相等 ⑤实线 ⑥虚线 1.C2.C3.B4.A5.D6.A7.B8.A9.C 10.C11.168cm【变式】c 第26章概率初步 26.1随机事件 1.C2.D 3.解：(2)(4)是必然事件；(3)是不可能事件；(1)(5) 是随机事件. 88·