黑龙江牡丹江市第三高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 聚焦数列、导数等核心知识，融入人工智能参数变化、六艺文化课程排列等真实情境，通过基础题到综合探究题的梯度设计，突出数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|数列（1、2）、导数（3、8）|AI模型参数变化（7）体现科技前沿| |多选|3/18|等差数列性质（11）、导数应用（9）|多选项分层考查概念辨析| |填空|3/15|数列求和（12）、切线斜率（13）|六艺课程排列（14）渗透文化传承| |解答|5/77|数列通项（15）、导数极值（16）、排列组合（17）|17题三问递进，19题不等式证明凸显逻辑推理|

题号 选项 分值 1 A 5 2 B 5 3 C 5 D 公 5 5 6 D 5 7 C 5 P 5 9 BC 5 10 ABD 11 ABC 5 2025---2026学年度第二学期期中考试题 高二数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：孟庆德 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，，则公差（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 【答案】A 【详解】 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 80 【答案】B 【详解】等比数列中，，即，解得， 所以. 3. 下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故D错误． 4. 方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，根据组合数的定义，应满足：，解得：， 又因为，则或，即：或， 所以或，方程的解集为. 5.运动会期间，将甲､乙等6名志愿者安排到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲､乙两名志愿者安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（    ） A．78 B．126 C．150 D．168 【答案】C【解题思路】利用捆绑法和分组分配求解计算即可得到结果. 【解答过程】甲､乙两名志愿者安排到同一个场地，可将甲乙捆绑成一个元素，6名志愿者可以理解为5名志愿者.将5名志愿者分为1，2，2，则不同的安排方法有种.将5名志愿者分为1，1，3，则不同的安排方法有种. 故不同的安排方法共有种.故选：C. 6.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先对函数求导，再利用导数的几何意义求切线方程 【解答过程】因为，，所以， 所以．又， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 7. 某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化.记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【分析】由题意求等比数列的通项公式即可求解. 【详解】由题意，从第二轮开始，该模型参数增加的数量为等比数列， 设首项为，公比为， 则通项公式， 第一轮参数为, 第二轮参数增加的数量为, 第三轮参数增加的数量为, 第四轮参数增加的数量为， 第五轮参数增加的数量为, 所以第五轮训练的模型参数的数量为.. 故选：C. 8. 若曲线有两条过点的切线，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D【分析】设切点坐标，根据导数几何意义和斜率公式列方程，根据有两条切线得到方程有两个根，然后列不等式求解即可. 【详解】设切点坐标为，， 所以斜率，则切线方程为， 又在切线上，所以 因为曲线有两条过的切线，所以方程有两个解， 整理得，所以，解得或. 故选：D. 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数，则（   ） A． B． C．在上的平均变化率为 D．在处的瞬时变化率为1 【答案】BC 【解题思路】利用复合函数的导数、导数值的概念及平均变化率、瞬时变化率的算法逐项求解即可. 【解答过程】对于A，利用复合函数的求导法则，由，所以A错误； 对于B，因为，当时，，所以B正确； 由在上的平均变化率为，所以C正确； 因为，当时，，所以D错误. 故选：BC. 10．（6分）已知，则（   ） A．B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】对于A利用二项式定理的通项公式即可求解，对于B令即可求解，对于C令即可判断，对于D将同时求导，令即可判断. 【解答过程】对于A：由，所以，故A正确； 对于B：令，得，故B正确； 对于C：令有， 所以，故C错误； 对于D：对同时求导得 ， 令得， 同时乘得，故D正确. 故选：ABD. 11.已知等差数列的前项和为，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的最大值为 D． 【答案】ABC 【分析】根据，通过得出，判断A，通过得出，进而推出，判断B的正误，等差数列中，由，结合等差数列性质可得的最大值为，判断C，借助等差数列性质，将转化为，结合，得出，判断D. 【详解】对于A选项，因为，所以，故，A正确， 对于B选项，因为，所以，即，又， 所以，B正确， 对于C选项，因为，，所以数列的公差小于0， 且当时，，当时，， 所以的最大值为，C正确， 对于D选项，，所以D错. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．记为等差数列的前项和.若，则 【答案】100 【分析】由条件结合等差数列的前项和公式可得，再用等差数列的定义求公差，最后用等差数列的前项和公式求即可. 【详解】因为为等差数列的前项和，设等差数列的公差为. 所以，故又，故， 所以.故答案为：100. 13. 曲线在处的切线斜率为______. 【答案】 【分析】利用导数的几何意义可得.【详解】，所以曲线在处的切线斜率为.故答案为:. 14．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有__________种排法. 【答案】504【解题思路】根据题意，六门课程的全排列为，减去特殊情况，即可得解. 【解答过程】依题意，六门课程的全排列为，其中“礼”排在第一周有种，“数”排在最后一周有种，“礼”排在第一周且“数”排在最后一周有种， 所以符合要求的排法种数为.故答案为：504. 四、解答题：本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为. (1)求；(2)求出的通项公式. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）时，， 时，． （2）因，，当时，，， 当时，，故． 16.已知函数，函数在处的切线方程为. (1)求的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为 【解题思路】（1）先求导，由已知根据即可求解； （2）利用导数判断函数的单调性即可求解极值. 【解答过程】（1）函数的定义域为，，     在处的切线方程为， ，解得. （2）由（1）知， ，， 令，得或；令，得，     所以在和上单调递增，在上单调递减，     因此在处取得极大值，且， 在处取得极小值，且， 故的极大值为，极小值为. 17.为庆祝校庆，5名同学（3男2女）相约观看《哪吒之魔童降世》，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式并计算结果） (1)若男生必须坐在一起，女生必须坐在一起，共有多少种不同坐法？ (2)若所有男生互不相邻，且所有女生也互不相邻，共有多少种不同坐法？ (3)同学甲和同学乙必须相邻，且他们都不与同学丙相邻，共有多少种不同坐法？ 【答案】(1)种(2)种(3)种 【解题思路】（1）利用捆绑法，将男生、女生分别捆绑在一起，求出各自的排列数，然后将捆绑后的男生、女生视为一个整体进行排列，最后根据分步乘法计数原理得到结果. （2）利用插空法，先求出3名男生的排列种数，然后利用插空法，将女生插入男生之间，进行排列，最后利用分步乘法计数原理求得答案. （3）先将甲乙丙以外的其余2人排好,然后根据题意将甲乙、丙排好，最后利用分步乘法计数原理求出答案. 【解答过程】（1）先将3名男生排在一起，有种排法， 再将2名女生排在一起，有种排法， 将排好的男生、女生分别视为一个整体，再进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理可知，共有种排法． （2）先将3名男生排好，共有种排法， 再在这3名男生中间的2个空位中插入2名女生，共有种排法， 再由分步乘法计数原理，共有种排法． （3）先将甲乙丙以外的其余2人排好，共有种排法， 由于甲乙相邻，则有种排法， 最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的2人的中间及两边共3个空位中，共有种排法， 由分步计数原理，共有种排法． 18.在二项展开式中，所有项的二项式系数之和为. (1)求展开式中的系数；(2)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1)(2)， 【解题思路】（1）由二项式系数和为可求得的值，然后写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解； （2）易知展开式中第三项和第四项二项式系数最大，结合二项展开式通项可求出展开式中二项式系数最大的项. 【解答过程】（1）由题意可得，二项式系数为解得，所以该二项式为. 则通项公式为， 令，解得，所以该二项式的展开式中的的系数为. （2）因为，易知展开式中第三项和第四项二项式系数最大， 即，， 所以展开式中二项式系数最大的项是，. 19．（17分）已知函数（）. (1)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）通过求导判断在上单调递增，根据参数分类讨论函数在上的单调性，分析其极值，即可确定参数的取值范围； （2）利用（1）得到，将待证不等式等价转化为要证（），构造函数（），求导判断其单调性，结合即可得证. 【解答过程】（1），， 令，因，由， 可得在上单调递增，即在上单调递增. 当时，在上恒成立， 故得在上单调递增，则，符合题意； 当时，. 令，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故. 所以，又在上单调递增，且， 故，使得， 则当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. （2）由（1）得，当，时，， 即，要证不等式，（）， 只需证， 即证，即只需证（）， 设（）， 则， 当时，恒成立，故在上单调递增， 又，所以恒成立，所以原不等式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025---2026学年度第二学期期中考试题 高二数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：孟庆德 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，，则公差（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 80 3. 下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4. 方程的解集是（    ） A． B． C． D． 5.运动会期间，将甲､乙等6名志愿者安排到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲､乙两名志愿者安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（    ） A．78 B．126 C．150 D．168 6. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 7. 某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化.记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为（ ） A. B. C. D. 8. 若曲线有两条过点的切线，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数，则（   ） A． B． C．在上的平均变化率为 D．在处的瞬时变化率为1 10．（6分）已知，则（   ） A．B． C． D． 11.已知等差数列的前项和为，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的最大值为 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．记为等差数列的前项和.若，则 13. 曲线在处的切线斜率为______. 14．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有__________种排法. 四、解答题：本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知数列的前项和为. (1)求； (2)求出的通项公式. 16.（15分）已知函数，函数在处的切线方程为. (1)求的值； (2)求函数的极值. 17.（15分）为庆祝校庆，5名同学（3男2女）相约观看《哪吒之魔童降世》，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式并计算结果） (1)若男生必须坐在一起，女生必须坐在一起，共有多少种不同坐法？ (2)若所有男生互不相邻，且所有女生也互不相邻，共有多少种不同坐法？ (3)同学甲和同学乙必须相邻，且他们都不与同学丙相邻，共有多少种不同坐法？ 18.（17分）在二项展开式中，所有项的二项式系数之和为. (1)求展开式中的系数； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 19．（17分）已知函数（）. (1)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $