精品解析：黑龙江省牡丹江市第三高级中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题

2024—2025学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150 命题人：郑连友 一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. ，则函数 的导数为（ ） A. x B. y C. 1 D. 0 2. 对任意事件，其概率为，则的可能范围是（ ） A. B. C. D. 3. 桌子上有一本数学书和一本英语书，从桌子上任取一本书，不同的取法数有（ ）种. A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若随机变量的分布列如下表，则当时，实数的取值范围是（ ） 0 1 2 3 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 A. B. C. D. 7. 甲，乙，丙，丁四位师范生分配到A，B，C三所学校实习，若每人只能到一所学校实习，每所学校至少分到一人，则不同的分配方案的种数是（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 8. 已知函数，若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ） A. 的单调递增区间是 B. 是 的极小值点 C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数 D. 是的极小值点 10. 设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分. 12. 若函数，则______. 13. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占 ，甲厂产品的合格率是 ，乙厂产品的合格率是.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为______． 14. 已知 ，，，则________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）从5个不同元素中取出3个元素的组合数. 16. 5名男生，2名女生，站成一排照相. （1）共有多少种排法？ （2）两名女生不排在队伍两头的排法有多少种？ （3）两名女生不相邻的排法有多少种？ 17. 已知的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项． （1）求 的值； （2）求该展开式中的常数项． （3）求其展开式中系数最大的项. 18. 彭老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的7篇，求： （1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列； （2）他能及格的概率． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150 命题人：郑连友 一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. ，则函数 的导数为（ ） A. x B. y C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用， 为常数，则即可求解. 【详解】由，则， 故选：D. 2. 对任意事件，其概率为，则的可能范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用概率的基本概念来求得本题的正确选项. 【详解】在概率的理论中，对于任意事件，概率是用来衡量该事件发生可能性大小的一个数值. 如果一定不会发生，则概率为0； 如果一定会发生，则概率为1； 如果可能发生，那么概率介于0和1之间. 所以概率的取值范围为. 故选：D. 3. 桌子上有一本数学书和一本英语书，从桌子上任取一本书，不同的取法数有（ ）种. A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理来计算从桌子上任取一本书的不同取法数． 【详解】从桌子上任取一本书，有两类取法： 第一类，取数学书，有 种取法； 第二类，取英语书，有 种取法． 根据分类加法计数原理，不同的取法数共有 （种）． 不同的取法数有 种． 故选：D． 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算作答. 【详解】因为，，所以. 故选：C 5. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数运算性质判断各选项即可. 【详解】因为 , 所以A错误； 因为 , 所以B错误； 因为, 所以C错误； 因为 , 所以D正确. 故选: D. 6. 若随机变量的分布列如下表，则当时，实数的取值范围是（ ） 0 1 2 3 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，即得解. 【详解】解：由题表得， 则． 故选：D 7. 甲，乙，丙，丁四位师范生分配到A，B，C三所学校实习，若每人只能到一所学校实习，每所学校至少分到一人，则不同的分配方案的种数是（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先将四名师范生分成3组，即一组两人，另外两组各一人，再分配到3个学校即可得解. 【详解】根据题意，先将四名师范生分成3组，有 种方法， 再将分好的3组全排列，分配到3个学校，有 种情况， 所以每个学校至少分到一名大学生的方法数有 种. 故选：B. 8. 已知函数，若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义可得为奇函数，再通过求导分析函数的单调性即可解不等式. 【详解】由题意，函数的定义域为 . 因为， 所以函数为奇函数. ， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 又因为，所以在 上恒成立， 所以函数在 上单调递增. 由，得，即， 所以，解得. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ） A. 的单调递增区间是 B. 是 的极小值点 C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数 D. 是的极小值点 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；B.利用极小值点的定义判断；C. 利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；D.利用极小值点的定义判断； 【详解】解：根据图象知当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减.故A、C正确； 当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 当时，取得是极大值，不是的极小值点，故D错误. 故选：ABC. 10. 设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由概率和为1可以到q的值；由数学期望公式可以得到；由方差公式可以得到. 【详解】由，可得.选项A判断正确； . 故选项B判断错误；选项C判断正确； 选项D判断正确. 故选：ACD 11. 已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先用题目条件得到，然后取特殊值即可验证A，对表达式求导即可验证B，换元并使用二项式定理即可验证C，考查每一项系数的符号并取特殊值即可验证D. 【详解】由已知有，故，. 所以. 对于A，取得，取得， 所以，A错误； 对于B，对求导得， 取得，B正确； 对于C，在中用 替换， 得. 所以，特别地对有，C错误； 对于D，由有. 在中取得， 所以，D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在恒等式中取特殊值，以得到相应的结果. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分. 12. 若函数，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得：，所以， 解得. 13. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占 ，甲厂产品的合格率是 ，乙厂产品的合格率是.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为______． 【答案】0.86## 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】设事件为“购买一个甲厂灯泡”，事件为“购买一个乙厂灯泡”， 事件 为“购买的灯泡是合格品”， 则，， ，， 所以. 故答案为：0.86. 14. 已知 ，，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，根据条件，利用全概率公式，即可求解 【详解】设，因为 ，，， 又，所以， 整理得到，解得 ， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）从5个不同元素中取出3个元素的组合数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用排列数公式即可计算； （2）由题意得，利用组合数的公式即可计算. 【小问1详解】 由题意有； 【小问2详解】 由题意有. 16. 5名男生，2名女生，站成一排照相. （1）共有多少种排法？ （2）两名女生不排在队伍两头的排法有多少种？ （3）两名女生不相邻的排法有多少种？ 【答案】（1）5040 （2）2400 （3）3600 【解析】 【分析】（1）由题意7名学生全排，即； （2）两名女生不排在队伍的两头，即特殊元素特殊处理即可； （3）两名女生不相邻，即把两名女生插在男上排列中，用插空法即可. 【小问1详解】 由题意有； 【小问2详解】 中间5个位置先排2名女生，有种排法， 然后其余5个位置排剩下的5人，有种排法， 故共有种排法； 【小问3详解】 先排5名男生，有种排法， 然后在5名男生排列的6个空中选2个空插入2名女生，有种排法， 故共有种排法； 17. 已知的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项． （1）求 的值； （2）求该展开式中的常数项． （3）求其展开式中系数最大的项. 【答案】（1） （2） （3）1792 【解析】 【分析】（1）由题意可得，求解即可； （2）利用展开式的通项公式，可求常数项； （3）利用展开式的通项公式，可求系数最大的项. 【小问1详解】 因为展开式中只有第五项的二项式系数最大， 所以，展开式共有9项，所以， 解得； 【小问2详解】 通项公式为，， 当时，则，所以展开式的常数项为； 【小问3详解】 因为，， 所以时，系数为负， 所以时，系数是， 可得系数分别为，，，， 所以当时，系数最大，最大的项是. 18. 彭老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的7篇，求： （1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列； （2）他能及格的概率． 【答案】（1）分布列见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出随机变量的取值，求出对应的概率，即可得出随机变量的分布列； （2）根据已知条件及随机变量的分布列的性质即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，的可能取值为，则 , , . 所以的分布列为 【小问2详解】该同学能及格，表示他能背诵 篇或 篇， 由（1）知，该同学能及格的概率为. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解法一：因为 的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知 在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得 ；令，解得 ； 可知 在内单调递减，在内单调递增， 则 有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为 的定义域为，且， 若 有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得 ；令，解得 ； 可知 在内单调递减，在内单调递增， 则 有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $