专题4.4 立体几何中的球模型8大题型（期中复习讲义）高一数学下学期人教A版

专题4.4 立体几何中的球模型（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01长方体、正方体的外接球 题型02圆锥、圆台、棱台、圆柱、棱柱的外接球 题型03墙角模型与对棱相等模型 题型04侧棱相等或侧棱垂直模型 题型05二面角模型 题型06两直角三角形共斜边模型 题型07内切球模型 题型08棱切球模型 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 简单几何体的外接球 掌握长方体、正方体、圆柱、圆锥的外接球球心位置（中心或轴中点）；能利用对称性快速求半径 基础题型，常以选择题出现，长方体外接球直径等于体对角线，圆柱圆锥外接球需结合轴截面分析 墙角模型 识别三条侧棱两两垂直的锥体（如墙角），其外接球直径等于三条棱的平方和的算术平方根；能将此类问题补形为长方体求解 高频考点，常见于三棱锥中，核心是补形思想——将锥体补成长方体，外接球半径即长方体体对角线的一半 侧棱相等模型 理解顶点在底面投影为底面外心；球心在过底面外心且垂直于底面的直线上；通过勾股定理建立方程求半径 中等难度，适用于正棱锥或侧棱相等的锥体，关键是确定球心在底面外心的正上方 侧棱垂直模型 掌握一条侧棱垂直于底面的锥体，球心位于过底面外心且平行于该侧棱的直线上；可通过构造直角三角形求半径 常见模型，常与长方体结合，一条侧棱垂直底面时可补形为长方体求解 二面角模型 理解两个面相互垂直的锥体，球心位于两外心垂线的交点；需结合二面角大小确定球心位置 难度较高，多出现在压轴题，需分析两个面的外心及球心到两面的距离关系 两直角三角形共斜边模型 识别两个直角三角形有公共斜边的结构，公共斜边中点即外接球球心；球心为斜边中点，半径为斜边一半 特殊模型，常见于对棱相等的三棱锥或两个面均为直角三角形的锥体中，球心位置特殊 内切球 掌握内切球球心到各面距离相等（即半径）；能利用等体积法（体积=表面积×半径÷3）求内切球半径 中等难度，适用于任意多面体，等体积法最通用，需准确计算表面积和体积 棱切球 理解棱切球与所有棱都相切，球心到各棱距离相等；多见于正多面体或对称性较高的几何体 高一考查较少，多在竞赛或强基班出现，普通班以了解概念为主 知识点01 正方体长方体的外接球 1、正方体与长方体的外接球 （1）若正方体边长为，则它的外接球半径为 （2）若长方体的三边长分别为，则它的外接球半径为 2、补全为正方体与长方体的外接球 (1)若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可考虑补全为长方体或正方体，称之为墙角模型（如上图1、2、3）。这时三棱锥的外接球同补全的长方体或正方体的外接球，求球的半径公式如上。 (2)图2为九章算术中的鳖臑，即四个面都为直角三角形的四面体。 (3)若三棱锥的三对对棱两两相等，也可以补全为长方体或正方体（如图4），外接球的半径也同长方体或正方体的外接球半径。 知识点02 圆锥的外接球 1、圆锥的外接球 若圆锥的高为，底部半径为，母线长为，则圆锥的外接球半径 2、可补全为圆锥的外接球 （1）若在平面上的射影是的外接圆圆心（即），则可以把三棱锥补为圆锥，根据圆锥的外接球模型来求外接球半径。 （2）正棱锥都可以补成圆锥，可以按圆锥的外接球模型来求。 知识点03 直棱柱、圆柱的外接球 1、柱体的外接球 （1）圆柱的高为，底面半径为，则圆柱的外接球半径 （2）若是直棱柱，则可以先找直棱柱上下底的外接圆，求外接圆半径，然后补成圆柱，按圆柱的外接球半径公式来算即可。 2、可补全成柱体的外接球 （1）一条侧棱垂直于底面 ⇒ 以底面的外接圆为底，侧棱为高作圆柱，然后找该圆柱的外接球。如上图中图1，图2 （2）若图形为非规则图形，但上下底平行，上下底的外接圆半径相等且两个圆心的连线垂直于上下底，这时也可以构造一个圆柱（如图3），这时圆柱的外接球即为所求的外接球。 知识点04 圆台、棱台的外接球 1、台体的外接球 (1)圆台的上底半径 ,下底半径，高为，（如图1，图2），两次使用勾股定理，可求得它的外接球的半径 (2)棱台的外接球（如图3），先找上下底面的外接圆半径，然后按照圆台的外接球半径公式。 知识点05 二面角模型的外接球 1、两面垂直的三棱锥的外接球 在三棱锥中，如有，求三棱锥的外接球的半径。设和 的外接圆为。首先，若两平面垂直是因为有一条侧棱垂直于底面，则可以参考前面的补全为棱柱，求棱柱的外接球半径，若没有侧棱垂直于另一面，我们来分情况来讨论一下（下列情况均在的前提条件下讨论的）。 (1)若平面在外接球的轴截面上，不在外接球的轴截面，如图1，此时平面的外接圆圆心即是外接球的球心。在题目条件上的体现为 。（此时我们不讨论P点在与的连线上，因为这就是前面补全为圆锥模型的情况，也不讨论PA，PB垂直于的情况。） (2)若平面在外接球的轴截面上，也在外接球的轴截面，如图2，的中点即是外接球的球心。在题目条件上的体现为 (3)若平面，都不在外接球的轴截面，如图3。找出两个外接圆圆心，它们与球心，的中点构成一个矩形，可求出长，再根据勾股定理，即可求出球的半径 2、二面角模型 二面角模型同上题型两面垂直的模型思想是一致的。在三棱锥中，如有，求三棱锥的外接球的半径。设和 的外接圆为。 不同于两面垂直的三棱锥，这里的四边形不是一个矩形，这时候球OD的长度没有那么容易计算，但是目标依然是计算出，然后再算出即为球的半径。 注意：若三棱锥中，则无论二面角为多少，三个心重合，这时则外接球的球心在斜边的中点上，这个斜边即为外接球的直径。 知识点06 正四面体的外接球与内切球 在棱长为的正四面体中，下面几个数据是常考的内容 1、正四面体的高为 2、正四面体外接球半径为 3、正四面体内切球半径为 4、正四面体体积 知识点07 内切球 1、锥体的内切球 无论是什么的内切球问题，都是先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 2、台体的内切球 先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 题型一 长方体、正方体的外接球 解｜题｜技｜巧 正方体、长方体的外接球的球心在其中心处，球的半径为体对角线的一半 1、若正方体边长为，则它的外接球半径为 2、若长方体的三边长分别为，则它的外接球半径为 【典例1】（25-26高二上·上海·期中）长方体的8个顶点都在同一个球面上，且，，则球的表面积为___________． 【答案】 【分析】利用长方体的体对角线就是外接球直径，从而可求球的表面积. 【详解】    由题可得：， 因为长方体的外接球的一条直径是，所以外接球的半径为， 由球的表面积公式可得：， 故答案为： 【典例2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由球的体积公式可求得球的半径，由题意可得正方体的体对角线长度为，进而可求得正方体的棱长. 【详解】由球的体积为，可得球的半径满足，解得， 因为正方体的所有顶点在一个球面上，则有正方体的体对角线长度为， 设正方体的棱长为，则有，解得， 故选：C. 【变式1】（2025·河南·模拟预测）如图，一块长方体大理石板材斜靠在与水平地面垂直的墙面上，仅点与墙面接触，点到墙面的距离分别为，若，则该长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，取为一组基底，利用空间向量数量积求出长方体的棱长，进而求出其外接球半径即可得解. 【详解】设，则，方向向右的单位向量为墙所在平面的法向量， 取为一组基底，显然两两垂直，由空间向量基本定理知， 存在唯一一组有序实数组，使得， 由点到墙面的距离分别为，得， 则，所以，而， 所以，即，解得， 则，长方体外接球半径， 所以其外接球的表面积. 故选：D 【变式2】（25-26高一下·全国·课堂例题）长方体的长、宽、高分别为5，4，3，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为____________． 【答案】 【分析】根据长方体的结构特征和球的表面积公式计算即可. 【详解】因为长方体的外接球球心位于体对角线的中点，长方体的长、宽、高分别为5，4，3， 所以球的半径为. 所以球的表面积为. 故答案为：. 题型二 圆锥、圆台、棱台、圆柱、棱柱的外接球 答｜题｜模｜板 1、若圆锥的高为，底部半径为，母线长为，则圆锥的外接球半径 2、圆台的上底半径 ,下底半径，高为，，两次使用勾股定理，可求得它的外接球的半径 3、棱台的外接球，先找上下底面的外接圆半径，然后按照圆台的外接球半径公式。 4、圆柱的高为，底面半径为，则圆柱的外接球半径 5、若是直棱柱，则可以先找直棱柱上下底的外接圆，求外接圆半径，然后补成圆柱，按圆柱的外接球半径公式来算即可。 【典例1】（2026高一·全国·专题练习）已知正三棱台中，，若该正三棱台外接球的体积为，则的面积为_____. 【答案】或 【分析】由棱台的结构特征结合多面体的外接球问题求解即可. 【详解】如图所示，设，正三棱台上､下底面所在圆的半径分别为， 则由正弦定理，得， 即． 因为，所以． 设外接球的半径为，由外接球的体积为，得，即． 设球心到上､下底面的距离分别为， 所以， 故（图1）或（图2）， 即或，解得或， 所以的面积为或． 【典例2】（25-26高一下·浙江金华·月考）已知正四棱台中，棱台体积为，则该四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由正棱台的体积可得正四棱台的高，再根据球的几何性质可得球的半径，进而可得球的表面积. 【详解】如图： 因为正四棱台上下底面均为正方形，上底面边长，对角线，外接圆半径. 下底面边长，对角线，外接圆半径. 设正四棱台的高为，则体积为，解得. 过正四棱台的对角面作截面，设外接球的球心为P，截面图如下： 设，则，所以， ，所以， 即，解得，所以外接球的半径为， 所以正四棱台的外接球的表面积. 【变式1】（25-26高三下�四川泸州�开学考试）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，高为，则， 由题意得，，即，解得， ∴， 设该圆锥的外接球的半径为，显然球心位于圆锥高所在直线上， 由球的性质可知，， 解得，所以该圆锥的外接球的表面积为. 【变式2】（25-26高二上·江西上饶·月考）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆台体积公式可得其高为，结合圆台的几何性质确定轴截面从而可得外接球半径，即可得所求． 【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为， 设圆台的高为，由体积可得， 解得， 圆台的轴截面如下：上底面圆心为，下底面圆心为，设球心在直线上，连接， 设，则， 则该圆台的外接球半径为， 由勾股定理可得：，解得，所以， 则该圆台的外接球表面积为. 故选：C. 题型三 墙角模型与对棱相等模型 答｜题｜模｜板 墙角模型与对棱相等模型都是可以放置到长方体内，可以借助补全图形来求外接球问题。 1、墙角模型：有三条棱互相垂直的三棱锥，可以补全为方体，称之为墙角模型 2、三对对棱两两相等，也可以补全为方体。 【典例1】（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，再求长方体外接球的体积即可. 【详解】由题意可知：，，， 则三棱锥可放置在如图所示的长方体中， 设三棱锥三组对棱的长分别为，，， 由对棱相等模型，，，， 即，所以长方体的体对角线平方为：， 即体对角线长为，则， 该三棱锥外接球的体积. 故选：B. 【典例2】（2025高三�全国�专题练习）在三棱锥中，三条棱两两垂直，且，，．若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则点到平面距离的最大值为______． 【答案】 【分析】根据条件，将三棱锥还原成长方体，则该长方体的体对角线即为三棱锥外接球的直径，根据长度，求出外接球的半径，根据勾股定理，求出各个长度，根据余弦定理及同角三角函数的关系，求出的值，根据正弦定理，求出的外接圆半径r，分析求解，即可得答案. 【详解】如图，因为两两垂直， 所以三棱锥的外接球，即为长方体的外接球， 因为，，， 所以长方体的体对角线， 所以长方体外接球半径即三棱锥的外接球半径为， 又，，， 在中，由余弦定理，，则， 由正弦定理，可得的外接圆半径为， 所以球心到平面ABC的距离为， 所以点M到平面ABC距离的最大值为． 故答案为： 【变式1】（25-26高二上�广东肇庆�期中）已知四边形为平行四边形，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的外接球表面积为________． 【答案】 【分析】根据题意及余弦定理得，由三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，利用长方体的性质求外接球半径，即可得表面积. 【详解】在中，， 故，即， 则折成的三棱锥中，，，， 即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，如下图， 设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则，解得，      此长方体的外接球是三棱锥的外接球， 设外接球的直径，即， 所以. 故答案为： 【变式2】（25-26高三上·广东深圳·月考）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知鳖臑中，平面，，，，，分别为线段，，的中点，则平面截鳖臑外接球所得截面的面积为______. 【答案】 【分析】运用割补法，结合线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、球的性质进行求解即可. 【详解】可将鳖臑补形为正方体，如图，    则该鳖臑外接球与正方体外接球相同，球心为中点， 外接球半径为， 取中点，中点，可知平面即为平面， ，平面，平面， 得平面，同理平面，， 得平面平面， 又平面， 则到平面距离即为平面与平面之间的距离，连接分别交，于，，因为平面，所以，，，所以平面，即平面， 因此所求面面距离即为， 所以所求截面圆的半径为，则截面圆面积为. 故答案为： 题型四 侧棱相等或侧棱垂直模型 答｜题｜模｜板 1、当三棱锥棱锥的三条棱相等时，则在平面上的射影是的外接圆圆心，此时可以把三棱锥补成圆锥，按圆锥的求外接球的方法来求球的半径 2、当侧棱垂直于底面，则可以补全成柱体，然后找柱体的外接球 3、不规则图形但是上下底平行，且上下底的外接圆圆心连线垂直于上下底。 【典例1】（25-26高三上�广东惠州�期中）在三棱锥中，平面，，且，则已知三棱锥外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，结合图形求得三棱锥外接球半径，然后换元利用基本不等式及不等式的性质得的最小值，从而可得面积的最小值． 【详解】如图， 设，，为的外心， 为三棱锥外接球的球心， 则平面，又平面， 所以，平面， 则，四边形是直角梯形， 设，，， 由平面，平面，得， 则，由余弦定理可知，，. 令，则，， ，当且仅当，即时等号成立， 所以三棱锥外接球表面积， 故选：B. 【典例2】．（2025·四川巴中·一模）已知三棱锥四个顶点都在球O面上，，，M为AB的中点，C在面APB内的射影为PM的中点，则球O的表面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知三棱锥的外接球的球心在过M且垂直平面PAB的垂线上，设球到平面PAB的距离为t，球O的半径为R，再根据勾股定理，建立方程，即可求解. 【详解】如图，点C在面APB内的射影为PM的中点，设PM的中点为N，则有平面， 平面，所以，可知， 又，， 则，，， ，M为AB的中点，则M为的外心， 所以三棱锥的外接球的球心在过M且垂直平面PAB的垂线上，则有， 过作的平行线，与相交于点，则有为矩形， 所以，， 设球到平面PAB的距离为t，球O的半径为R， 有，， 在和中，由勾股定理，得， 解得，所以， 所以球O的表面积为. 故选：B. 【变式1】（2026�四川遂宁�一模）在三棱锥中，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球（顶点都在球面上）的体积为_______. 【答案】/ 【分析】取的中点，连接，证得平面，得到，利用直角三角形的性质，得到，即为三棱锥的外接球的球心，设三棱锥的外接球的半径为，得到，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，分别连接， 因为平面，平面，所以， 又因为 是以为斜边的等腰直角三角形，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在直角中，可得，在直角中，可得， 所以，即为三棱锥的外接球的球心， 在直角中，，可得， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以三棱锥的外接球体积为. 故答案为：.    【变式2】（25-26高二上·浙江·期中）已知球的表面积为，球面上有，，，四点，，，与平面所成的角均为，若的余弦值为，则三棱锥的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据外接球的表面积求出外接球半径为，过点作平面，垂足为，连接，由题设易得，，球心O在上，根据余弦定理可求得，再根据正弦定理、余弦定理及基本不等式求得，进而求得三棱锥的体积的最大值. 【详解】设球O的半径为， 由题意，得，所以， 过点作平面，垂足为，连接， 因为，，与平面所成的角均为， 所以，则，， 则球心O在上，如下图所示： 又，， 则，解得， 由，， 所以，则， 即， 由正弦定理，得，显然， 则， 即， 则，当且仅当时等号成立， 所以， 则三棱锥的体积. 故选：A. 题型五 二面角模型 答｜题｜模｜板 1、当二面角为直角时，则找两个垂面的外接圆的圆心。构造出两个外接圆圆心与球心所在的平面，然后利用勾股定理求求的半径 2、当二面角不为直角时，依然需要找两个面外接圆的圆心、球心所在位置，计算难度比两垂面的复杂。 【典例1】（2026·山东济宁·一模）四面体中，平面平面，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由正弦定理求出的外接圆半径，作于点，求得，证明，先后求得，得，求出，进而，推得点为该四面体外接球的球心，即可求得其表面积. 【详解】如图，设的外心为点，过点作于点，连接， 取边的中点为点，连接，则. 因平面平面平面平面， 平面， 则平面又平面故. 因为，，所以， 在中，由正弦定理，，解得， 在中，，则， 在中，由面积相等可得，解得， 则，， 在中，，在中，， 即，故点为该四面体外接球的球心，故其表面积为. 【典例2】（2026·辽宁抚顺·一模）在四面体中，平面平面，，若点均在球的球面上，且，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取AB的中点，由条件可得点为的外心，由平面平面，可得四面体的外接球球心为的外心，利用正弦定理即可求得其半径，进而求出答案. 【详解】如图，取AB的中点M，因，则点为的外心， 又因平面平面，平面平面， 故四面体的外接球球心必在平面内，且是的外心， 易得平面，故有， 在中，，，由正弦定理，，则， 故四面体的外接球的表面积为. 【变式1】（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球表面积最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设、的外心分别为、，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，设这两垂线的交点为，求出、的长，利用勾股定理可得出，可得出长的最小值，再利用球体表面积公式可求得结果. 【详解】设、的外心分别为、， 则为的中点，为的中心， 过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，设这两垂线的交点为， 则为四面体的外接球球心，如下图所示： 因为为等边三角形，则， 所以，易知， 因为为等腰直角三角形，且其底边长为，所以， 故球的半径为， 当且仅当点与点重合时，取最小值，即球的半径的最小值为， 所以四面体的外接球表面积最小值为. 故选：C 【变式2】（2026·内蒙古赤峰·一模）如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________． 【答案】 【分析】取的中点E，由已知可得为二面角的平面角，利用余弦定理求出，利用勾股定理的逆定理可得为直角三角形，则得的中点O为三棱锥的外接球的球心，即可得到外接球的半径，进而求出表面积. 【详解】 如图，取的中点E，连接， 已知，，所以，， 又，所以，， 所以为二面角的平面角，其余弦值为， 在中，由余弦定理得 ， 即，则， 所以为直角三角形， 则的中点O为三棱锥的外接球的球心， 外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为. 题型六 两直角三角形共斜边模型 答｜题｜模｜板 若三棱锥中，则无论二面角为多少，三个心重合，这时则外接球的球心在斜边的中点上，这个斜边即为外接球的直径。 【典例1】（25-26高三上�吉林四平�期末）如图，在四面体中，，分别为，的中点，且，，，则该四面体的外接球表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件可得出，即可求出表面积． 【详解】连接，    因为线段的中点，，则， 又为线段的中点，，，则， 则， 则该四面体的外接球球心为，半径，表面积. 故选：D． 【典例2】（2025高一·全国·专题练习）如图，已知正方形的边长为2，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得. 空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为______. 【答案】 【分析】先找出的中点为四面体的外接球球心，再分析当截面时截面面积最小，求出截面面积即可. 【详解】如图，取的中点为， 由正方形的边长为2，则， 因此为四面体的外接球球心，外接球半径， 设球心到平面的距离为，截面圆的半径为， 则有，即， 当截面时，最大，此时截面面积最小，且， 在中，，，， 由余弦定理可得，， 此时， 所以截面面积最小值为. 故答案为：. 【变式1】（2025高一·全国·专题练习）将边长为4的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为，连接，得到四面体，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为______. 【答案】 【分析】根据题意得到翻折后四面体是2个直角三角形构成的，所以外接球球心在斜边的中点处，可得到半径进而求得体积，由翻折特性可知平面，又可求体积. 【详解】翻折后所得图形如下图所示，易知的中点为球心， 故该四面体的外接球体积， 又，平面，， 所以平面， 二面角的大小为，， ， 故所求体积之比为. 故答案为：. 【变式2】（25-26高二上·云南昭通·期末）在矩形ABCD中，，，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角，则四面体ABCD的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】中点到四面体的四个顶点、、、的距离相等，是四面体的外接球的球心，再求出球半径及表面积. 【详解】如图 设AC的中点为O，由矩形ABCD可知点O到四面体的每个顶点的距离都相等，为， 则点O即为四面体外接球的球心，所以四面体ABCD的外接球的半径为， 则四面体ABCD的外接球的表面积为． 故选：B. 题型七 内切球模型 答｜题｜模｜板 无论是什么的内切球问题，都是先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 【典例1】（2026·甘肃·一模）如图所示，轴截面为正三角形的圆锥，底面圆半径为是底面的两条直径，母线与该圆锥内切球分别切于点.则下列说法正确的是（    ） A． B．圆锥与球的交线的轨迹长为 C．若，则 D．平面截球的截面面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据圆锥轴截面是正三角形且底面半径为，可以计算圆锥的高、母线长，再利用轴截面的几何关系求内切球半径，进而可计算球和圆锥的体积比，可以判断选项A；先确定圆锥与球的交线是一个圆，通过分析球心到圆锥轴截面的距离、球半径，求出交线圆的半径，再计算其周长，可以判断选项B；根据题意可得，再结合三余弦定理，可以判断选项C；当球心到平面的距离最大时截面圆半径最小，进而得到最小面积，可以判断选项D. 【详解】对于A，画出圆锥的轴截面如图（1）所示.连接，则必过球心， 因为轴截面为正三角形且底面圆半径为， 所以， 所以， 故A正确； 对于B，如图（2），易知，圆锥与球的交线的轨迹为， 因为，所以在中， 可得，求得半径， 故轨迹长为错误； 对于C，根据三余弦定理可知， ， 故C正确； 对于D，当绕着旋转时，平面恒过定直线，若要使得平面截球的截面面积最小，只需球心到平面的距离达到最大， 如图（3）过作直线的垂线，垂足为到平面的最大距离为， 又因为在中，，所以截面半径的最小值为， 所以平面截球的截面面积的最小值为，故D正确. 【典例2】（25-26高三上·山东青岛·期中）已知圆台的上下底面半径之比为1∶2，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）表面积为；则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用球的面积公式求出内切球半径从而得圆台的高度，结合圆台的几何性质求上下底面半径，从而可得圆台体积. 【详解】由于圆台的内切球表面积为，设其内切球半径为， 所以，解得， 所以圆台的高度， 设圆台上底面半径为，则下底面半径为， 圆台轴截面如下图：为球心，为上下底面圆圆心 根据切线长定理，圆台的母线长， 由母线长与圆台上下底面半径，、高度关系可得： ，所以，可得， 则该圆台的体积为. 故选：A. 【变式1】（25-26高三上·云南·月考）如图，在正四面体中，中间1个大球为正四面体的内切球，4个小球与大球､正四面体的三个面均相切.若，则该正四面体中，其中一个小球与大球的体积比为______. 【答案】 【分析】根据正四面体的体积公式和球的体积公式进行求解即可. 【详解】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为， 连接，，，，，，则， ， 又，则， 所以，大球的体积为. 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高， 所以，所以一个小球的体积为， 故其中一个小球与大球的体积比为. 故答案为：. 【变式2】（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知在正四棱锥中，在底面ABCD内，底面ABCD，点是该正四棱锥内切球球面上的动点，若，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】求出内切球球心位置以及半径，取中点，由极化恒等式，则当共线且按此顺序排列时，取得最小值，即可求出的最小值. 【详解】如图，由可得，则， 取中点分别为，则，， 则，同理， 则三角形为正三角形， 由对称性，正三角形的内切圆绕转一圈即可得到正四棱锥的内切球， 设正三角形中心为，可得， 取中点，则， 由余弦定理可得， ， 当共线且按此顺序排列时，， 则的最小值为. 故答案为; . 题型八 棱切球模型 答｜题｜模｜板 同内切球问题，找到切点、球心的截面。根据勾股定理求半径 【典例1】（2026·广西崇左·一模）在正三棱柱中，，若该正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正三棱柱有棱切球的条件，得出棱切球半径等于底面正三角形内切圆半径，同时正三棱柱的高等于内切球直径；再找到外接球的球心位置，利用勾股定理计算出外接球半径；最后求出两者的半径之比. 【详解】设正三棱柱的下底面中心为，上底面中心为，连接. 若该正三棱柱存在棱切球，则棱切球的球心O为线段的中点. 设，的中点分别为D，E，连接，，，， 则. 因为，所以， 所以正三棱柱外接球的半径为， 故该正三棱柱棱切球的半径与外接球的半径之比为. 【典例2】（25-26高三上·贵州·月考）已知正方体的棱长为2，球为其棱切球，过球心作平面与底面平行，若为球面与平面的交线上一点，为底面外接圆的一条直径，则的最大值为______． 【答案】 【分析】由题可知，点在过球心与底面平行的截面圆上，设在底面上的射影为，底面外接圆的圆心为，结合题设易得，，，进而得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由题可知，点在过球心与底面平行的截面圆上， 设在底面上的射影为，底面外接圆的圆心为，如图， 而球为正方体的棱切球，则棱切球的直径为， 易得，， 由于为底面外接圆的一条直径，则，且底面为正方形，边长为2， 所以， 则 ， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为. 故答案为：. 【变式1】（25-26高三上·山东·期末）已知正四面体的棱长为a，其棱切球与PA、PC分别相切于M、N．则异面直线MN和PB之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将正四面体放置于正方体，根据正方体的性质求得异面直线MN和PB之间的距离. 【详解】将正四面体放置于正方体，如图所示， 正四面体的棱长为，则正方体的棱长为， 正四面体的棱切球，也即是正方体的内切球. 设分别是的中点， 则平面平面，平面，平面， 设分别是的中点，连接交于， 连接，交于，连接， 根据正方体的性质可知， 所以异面直线MN和PB之间的距离为. 故选：B 【变式2】（25-26高三下·河北沧州·月考）球与棱长为2的正四面体的棱，，均相切，且和平面相切，则正四面体三个侧面，，截球的截痕长度共为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过相似三角形求出球的半径和球心到侧面的距离，求出截面圆的半径，利用圆的周长公式求解即可. 【详解】设球与平面的切点为，与棱的切点为， 球与正四面体的棱，，均相切，且和平面相切， 球心在正四面体的高上， 设球的半径为，则， 设正四面体的棱长为，底面是正三角形， ， ， 则， 球与棱相切于， ，，， ， ，，， ，， 过球心作平面的垂线，交平面于点，连接， 则点在的底边的中线上，设的中点为，则，， ，，，， ， 正四面体三个侧面，，截球的截痕长度共为 . 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设长方体外接球的半径为． 因为，所以，该长方体外接球的体积． 2．（25-26高二上·江西上饶·月考）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆台体积公式可得其高为，结合圆台的几何性质确定轴截面从而可得外接球半径，即可得所求． 【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为， 设圆台的高为，由体积可得， 解得， 圆台的轴截面如下：上底面圆心为，下底面圆心为，设球心在直线上，连接， 设，则， 则该圆台的外接球半径为， 由勾股定理可得：，解得，所以， 则该圆台的外接球表面积为. 故选：C. 3．（2026·湖南永州·二模）在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，分别是棱的中点，是底面内一动点．若直线平面，则三棱锥外接球表面积的最小值为___________． 【答案】 【分析】先通过面面平行确定点 的轨迹为线段 ，再将三棱锥外接球表面积的最小值，转化为 外接圆半径的最小值，最后利用正弦定理，当 时 最小，从而求出外接球表面积最小值. 【详解】 连接 ，易知平面 平面 ，则点 的轨迹为线段 ， 在三棱锥 中，易知 平面 ，要使三棱锥 外接球表面积最小， 则只需 外接圆的半径 最小， 在 中，由正弦定理得， 又因为 为定值，只需 最小，显然当 时， 有最小值， 的最小值为 ， 所以三棱锥 外接球半径的最小值为， 三棱锥 外接球表面积的最小值为 . 故答案为：. 4．（四川省字节精准教育联盟2026届高三二模数学试题）一个圆锥的底面直径为4，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥的结构特征有圆锥轴截面对应三角形内接于球体最大圆时，球体表面积最小，再由圆锥的体积公式及轴截面的相关计算求球体半径，即可得. 【详解】由题意，圆锥轴截面对应三角形内接于球体最大圆时，球体的半径最小，此时表面积最小， 若圆锥的高为，而其底面半径为2，则，可得， 令球体半径为，则，可得， 所以球体表面积为. 5．（25-26高三上·山西吕梁·期末）现有一平行四边形纸片如图，已知，将其折成一个三棱锥（不可剪开），使三棱锥的四个面刚好可以组成该平行四边形纸片，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到该三棱锥对棱相等，且三组对棱分别为，将该三棱锥补全到长方体中，设长方体的棱长分别为，列出方程组，求得，得到外接球半径，结合求得的表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，图（1）中，过点作， 因为，可得， 按虚线折叠即可，可得该三棱锥对棱相等，且三组对棱分别为， 将该三棱锥补全到图（2）中的长方体中， 此时三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 设长方体的棱长分别为，可得， 所以，即其外接球半径， 故外接球表面积为. 故选：B． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2025·四川达州·二模）三棱锥各个顶点均在球表面上，，外接圆的半径为，点在平面的射影为中点，且与平面所成的角为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，所以O必在上，在中求得，在中得，由勾股定理计算得球半径，从而得球面积． 【详解】取中点，连接，点在平面的射影为点， 又因为，所以外接圆圆心为，所以O必在直线上， 因为，外接圆的半径为，所以是外接圆的圆心，， 因为平面，与平面所成的角为， 则，从而， 设球O的半径为R，在中，，则，解得， 所以球O的表面积为. 故选：B． 2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知正方体的棱长为2，点是正方体外接球的球面上一点，为正方体内切球的球面上的两点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】正方体的中心为，由正方体的棱长求出外接球和内切球的半径，由得到是正方体内切球的直径，从而得到，利用向量的三角形加法法则得到和，求解即可. 【详解】设正方体外接球半径为，内切球半径为，正方体的中心为，则， 所以，所以，即， 因为，所以是正方体内切球的直径，所以， 所以 . 故选：B. 3．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知，平面，若，则四面体的外接球(顶点都在球面上)的体积为__________. 【答案】/ 【分析】取中点，连接，，可得到且，得到与是具有公共斜边的直角三角形，得到，，，四点在以为球心的球面上，利用勾股定理算出，进而得到球半径，利用球的体积公式，进行计算即可. 【详解】如图，取的中点，连接，，由题意得， 又因为，，平面，平面, 所以平面，平面，所以， 在中，，同理，所以， 因此，，，四点在以球心的球面上， 在中，， 在中，， 球的半径， 所以球的体积为. 故答案为：. 4．（25-26高三上·福建福州·月考）如图，在直三棱柱中，，，，D为棱AB的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体体积为（   ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】分析可知，直三棱柱补成长方体，根据题意结合长方体的外接球可得，进而可求三棱锥的体积. 【详解】因为，，，则，可得， 将直三棱柱补成长方体，如图所示： 可知三棱柱的外接球即为长方体的外接球， 则球的半径， 又因为球的表面积为，则，解得， 所以四面体体积. 故选：B. 5．（25-26高三上·重庆·月考）已知圆台的上下底面圆的半径分别是和 ，且该圆台有内切球，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆台的内切球的半径为，利用圆的性质，求得，过点作，在直角中，利用勾股定理列出方程，求得，得到圆台的高，圆台的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，作出组合体的轴截面，设圆台的上下底面圆心分别为， 圆台的内切球的圆心为，即轴截面内切圆的圆心为，切点为，圆台的内切球的半径为， 可得，所以， 过点作，垂足为，可得， 在直角中，可得，即，解得， 即圆台的高为，又因为圆台的上下底面圆的半径分别是和 ， 所以圆台的体积为. 故选：A. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高三上·云南·月考）在平面四边形中，，是边长为6的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为，的二面角，则四面体的外接球半径的取值范围为___________． 【答案】 【分析】先确定与外心，则可得两外心分别与四面体的外接球球心相连所得直线与平面、平面垂直，再结合二面角的大小可表示出半径，再利用的范围计算即即可得解. 【详解】取中点，由，则点为外心， 连接，取线段上靠近点的三等分点， 由是正三角形，则点为外心， 令四面体的外接球球心为，连接、， 则有平面、平面， 又平面、平面，故、， 由二面角的大小为，则， ，则， 则， 由，则，则， 故，即， 即四面体的外接球半径的取值范围为. 故答案为：.    2．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点.球体O为与正方体的所有棱都相切的球体，则三边与球体公共部分的长度总和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出平面截球所得截面圆的圆心及半径，在三角形中，以中点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，求出截面圆的方程，进而求出截面圆与三边的交点坐标，利用两点间距离公式即可求解. 【详解】根据已知棱切球的球心就是正方体中心，半径. 如图，设与的交点为，过球心作平面的垂线，垂足为， 斜边上高，所以， 所以平面截球所得截面圆（圆心是）的半径， 如图，在矩形中，作，交于点， 在中，，，所以， 所以， 在三角形中，如图建立直角坐标系， 所以，，，截面圆， 圆与三角形各边的交点分别为，，，，， 所以三角形三边与正方体的棱切球（与12条棱都相切的球）的公共部分长度总和为. 联立，求得，， 直线方程为， 联立，求得， 同理求得， 所以， 所以三边与球体O公共部分的长度总和是. 3．（25-26高三上·重庆·月考）以一个正四面体中心为球心的三个球，其中与正四面体各个面相切的球半径记为，和正四面体各个棱相切的球半径记为，过正四面体四个顶点的球的半径记为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正四面体的棱长为，作图分析确定正四面体的三个球半径，，所对应的线段长度，结合勾股定理、正弦定理对应求解即可得，，与的关系，从而得比值. 【详解】如图设正四面体的棱长为，底面正的中心为，则底面，连接， 则正四面体的中心为在上，连接，取中点为，连接， 底面正的外接圆半径，由正弦定理得，所以， 则正四面体的高度为， 由于正四面体四个顶点的球的半径记为，所以， 因为，所以，整理得； 与正四面体各个面相切的球半径记为，即； 因为点为中点，和正四面体各个棱相切的球半径记为，则； 综上，. 故选：C. 4．（25-26高三下·浙江杭州·月考）在正三棱台中，，且该三棱台的高是，若以为球心，4为半径作一个球，则该球与底面的交线长是_________． 【答案】/ 【分析】设满足题意的动点为，求得点在平面的投影点，并结合几何关系，求得的长度，即可判断的轨迹为圆弧，再根据弧长公式计算即可. 【详解】设平面的中心分别为，连接， 设球与底面的交线上一个动点为，作图如下： 因为为正三棱台，故面，且// 在中，；在中，； 取中点为，则//，且，故四边形为平行四边形，故//，则面 ； 连接，又面，故； 在中，，则， 故点的轨迹是以为圆心，且为半径的圆弧上，如图所示，也即弧； 又底面为等边三角形，故， 又在以为圆心，且为半径的圆上，所以弧所对的圆心角为， 由弧长公式可知弧的长度为. 也即球与底面的交线长是. 故答案为：. 5．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知正方体的棱长为2，为棱上的一点，且满足平面平面，则平面截四面体的外接球所得截面的面积为________. 【答案】/ 【分析】由题意证得是的中点，由四面体的外接球的直径为，得到半径，设是外接球的球心，求得球心到平面的距离，根据球的截面圆的性质，求得截面圆的半径的平方，进而求得截面圆的面积. 【详解】在正方体中，设平面平面，且平面， 由平面平面，可得，所以是的中点， 由可得四面体的外接球的直径为，可得半径， 设是的中点即球心，球心到平面的距离为，又设与的交点为， 则，， 则，截面圆的半径的平方， 所以截面圆的面积为. 故选：A    1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 立体几何中的球模型（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01长方体、正方体的外接球 题型02圆锥、圆台、棱台、圆柱、棱柱的外接球 题型03墙角模型与对棱相等模型 题型04侧棱相等或侧棱垂直模型 题型05二面角模型 题型06两直角三角形共斜边模型 题型07内切球模型 题型08棱切球模型 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 简单几何体的外接球 掌握长方体、正方体、圆柱、圆锥的外接球球心位置（中心或轴中点）；能利用对称性快速求半径 基础题型，常以选择题出现，长方体外接球直径等于体对角线，圆柱圆锥外接球需结合轴截面分析 墙角模型 识别三条侧棱两两垂直的锥体（如墙角），其外接球直径等于三条棱的平方和的算术平方根；能将此类问题补形为长方体求解 高频考点，常见于三棱锥中，核心是补形思想——将锥体补成长方体，外接球半径即长方体体对角线的一半 侧棱相等模型 理解顶点在底面投影为底面外心；球心在过底面外心且垂直于底面的直线上；通过勾股定理建立方程求半径 中等难度，适用于正棱锥或侧棱相等的锥体，关键是确定球心在底面外心的正上方 侧棱垂直模型 掌握一条侧棱垂直于底面的锥体，球心位于过底面外心且平行于该侧棱的直线上；可通过构造直角三角形求半径 常见模型，常与长方体结合，一条侧棱垂直底面时可补形为长方体求解 二面角模型 理解两个面相互垂直的锥体，球心位于两外心垂线的交点；需结合二面角大小确定球心位置 难度较高，多出现在压轴题，需分析两个面的外心及球心到两面的距离关系 两直角三角形共斜边模型 识别两个直角三角形有公共斜边的结构，公共斜边中点即外接球球心；球心为斜边中点，半径为斜边一半 特殊模型，常见于对棱相等的三棱锥或两个面均为直角三角形的锥体中，球心位置特殊 内切球 掌握内切球球心到各面距离相等（即半径）；能利用等体积法（体积=表面积×半径÷3）求内切球半径 中等难度，适用于任意多面体，等体积法最通用，需准确计算表面积和体积 棱切球 理解棱切球与所有棱都相切，球心到各棱距离相等；多见于正多面体或对称性较高的几何体 高一考查较少，多在竞赛或强基班出现，普通班以了解概念为主 知识点01 正方体长方体的外接球 1、正方体与长方体的外接球 （1）若正方体边长为，则它的外接球半径为 （2）若长方体的三边长分别为，则它的外接球半径为 2、补全为正方体与长方体的外接球 (1)若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可考虑补全为长方体或正方体，称之为墙角模型（如上图1、2、3）。这时三棱锥的外接球同补全的长方体或正方体的外接球，求球的半径公式如上。 (2)图2为九章算术中的鳖臑，即四个面都为直角三角形的四面体。 (3)若三棱锥的三对对棱两两相等，也可以补全为长方体或正方体（如图4），外接球的半径也同长方体或正方体的外接球半径。 知识点02 圆锥的外接球 1、圆锥的外接球 若圆锥的高为，底部半径为，母线长为，则圆锥的外接球半径 2、可补全为圆锥的外接球 （1）若在平面上的射影是的外接圆圆心（即），则可以把三棱锥补为圆锥，根据圆锥的外接球模型来求外接球半径。 （2）正棱锥都可以补成圆锥，可以按圆锥的外接球模型来求。 知识点03 直棱柱、圆柱的外接球 1、柱体的外接球 （1）圆柱的高为，底面半径为，则圆柱的外接球半径 （2）若是直棱柱，则可以先找直棱柱上下底的外接圆，求外接圆半径，然后补成圆柱，按圆柱的外接球半径公式来算即可。 2、可补全成柱体的外接球 （1）一条侧棱垂直于底面 ⇒ 以底面的外接圆为底，侧棱为高作圆柱，然后找该圆柱的外接球。如上图中图1，图2 （2）若图形为非规则图形，但上下底平行，上下底的外接圆半径相等且两个圆心的连线垂直于上下底，这时也可以构造一个圆柱（如图3），这时圆柱的外接球即为所求的外接球。 知识点04 圆台、棱台的外接球 1、台体的外接球 (1)圆台的上底半径 ,下底半径，高为，（如图1，图2），两次使用勾股定理，可求得它的外接球的半径 (2)棱台的外接球（如图3），先找上下底面的外接圆半径，然后按照圆台的外接球半径公式。 知识点05 二面角模型的外接球 1、两面垂直的三棱锥的外接球 在三棱锥中，如有，求三棱锥的外接球的半径。设和 的外接圆为。首先，若两平面垂直是因为有一条侧棱垂直于底面，则可以参考前面的补全为棱柱，求棱柱的外接球半径，若没有侧棱垂直于另一面，我们来分情况来讨论一下（下列情况均在的前提条件下讨论的）。 (1)若平面在外接球的轴截面上，不在外接球的轴截面，如图1，此时平面的外接圆圆心即是外接球的球心。在题目条件上的体现为 。（此时我们不讨论P点在与的连线上，因为这就是前面补全为圆锥模型的情况，也不讨论PA，PB垂直于的情况。） (2)若平面在外接球的轴截面上，也在外接球的轴截面，如图2，的中点即是外接球的球心。在题目条件上的体现为 (3)若平面，都不在外接球的轴截面，如图3。找出两个外接圆圆心，它们与球心，的中点构成一个矩形，可求出长，再根据勾股定理，即可求出球的半径 2、二面角模型 二面角模型同上题型两面垂直的模型思想是一致的。在三棱锥中，如有，求三棱锥的外接球的半径。设和 的外接圆为。 不同于两面垂直的三棱锥，这里的四边形不是一个矩形，这时候球OD的长度没有那么容易计算，但是目标依然是计算出，然后再算出即为球的半径。 注意：若三棱锥中，则无论二面角为多少，三个心重合，这时则外接球的球心在斜边的中点上，这个斜边即为外接球的直径。 知识点06 正四面体的外接球与内切球 在棱长为的正四面体中，下面几个数据是常考的内容 1、正四面体的高为 2、正四面体外接球半径为 3、正四面体内切球半径为 4、正四面体体积 知识点07 内切球 1、锥体的内切球 无论是什么的内切球问题，都是先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 2、台体的内切球 先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 题型一 长方体、正方体的外接球 解｜题｜技｜巧 正方体、长方体的外接球的球心在其中心处，球的半径为体对角线的一半 1、若正方体边长为，则它的外接球半径为 2、若长方体的三边长分别为，则它的外接球半径为 【典例1】（25-26高二上·上海·期中）长方体的8个顶点都在同一个球面上，且，，则球的表面积为___________． 【典例2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（   ） A． B． C． D．1 【变式1】（2025·河南·模拟预测）如图，一块长方体大理石板材斜靠在与水平地面垂直的墙面上，仅点与墙面接触，点到墙面的距离分别为，若，则该长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·全国·课堂例题）长方体的长、宽、高分别为5，4，3，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为____________． 题型二 圆锥、圆台、棱台、圆柱、棱柱的外接球 答｜题｜模｜板 1、若圆锥的高为，底部半径为，母线长为，则圆锥的外接球半径 2、圆台的上底半径 ,下底半径，高为，，两次使用勾股定理，可求得它的外接球的半径 3、棱台的外接球，先找上下底面的外接圆半径，然后按照圆台的外接球半径公式。 4、圆柱的高为，底面半径为，则圆柱的外接球半径 5、若是直棱柱，则可以先找直棱柱上下底的外接圆，求外接圆半径，然后补成圆柱，按圆柱的外接球半径公式来算即可。 【典例1】（2026高一·全国·专题练习）已知正三棱台中，，若该正三棱台外接球的体积为，则的面积为_____. 【典例2】（25-26高一下·浙江金华·月考）已知正四棱台中，棱台体积为，则该四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三下�四川泸州�开学考试）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·江西上饶·月考）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 题型三 墙角模型与对棱相等模型 答｜题｜模｜板 墙角模型与对棱相等模型都是可以放置到长方体内，可以借助补全图形来求外接球问题。 1、墙角模型：有三条棱互相垂直的三棱锥，可以补全为方体，称之为墙角模型 2、三对对棱两两相等，也可以补全为方体。 【典例1】（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025高三�全国�专题练习）在三棱锥中，三条棱两两垂直，且，，．若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则点到平面距离的最大值为______． 【变式1】（25-26高二上�广东肇庆�期中）已知四边形为平行四边形，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的外接球表面积为________． 【变式2】（25-26高三上·广东深圳·月考）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知鳖臑中，平面，，，，，分别为线段，，的中点，则平面截鳖臑外接球所得截面的面积为______. 题型四 侧棱相等或侧棱垂直模型 答｜题｜模｜板 1、当三棱锥棱锥的三条棱相等时，则在平面上的射影是的外接圆圆心，此时可以把三棱锥补成圆锥，按圆锥的求外接球的方法来求球的半径 2、当侧棱垂直于底面，则可以补全成柱体，然后找柱体的外接球 3、不规则图形但是上下底平行，且上下底的外接圆圆心连线垂直于上下底。 【典例1】（25-26高三上�广东惠州�期中）在三棱锥中，平面，，且，则已知三棱锥外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·四川巴中·一模）已知三棱锥四个顶点都在球O面上，，，M为AB的中点，C在面APB内的射影为PM的中点，则球O的表面积等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026�四川遂宁�一模）在三棱锥中，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球（顶点都在球面上）的体积为_______. 【变式2】（25-26高二上·浙江·期中）已知球的表面积为，球面上有，，，四点，，，与平面所成的角均为，若的余弦值为，则三棱锥的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型五 二面角模型 答｜题｜模｜板 1、当二面角为直角时，则找两个垂面的外接圆的圆心。构造出两个外接圆圆心与球心所在的平面，然后利用勾股定理求求的半径 2、当二面角不为直角时，依然需要找两个面外接圆的圆心、球心所在位置，计算难度比两垂面的复杂。 【典例1】（2026·山东济宁·一模）四面体中，平面平面，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·辽宁抚顺·一模）在四面体中，平面平面，，若点均在球的球面上，且，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球表面积最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·内蒙古赤峰·一模）如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________． 题型六 两直角三角形共斜边模型 答｜题｜模｜板 若三棱锥中，则无论二面角为多少，三个心重合，这时则外接球的球心在斜边的中点上，这个斜边即为外接球的直径。 【典例1】（25-26高三上�吉林四平�期末）如图，在四面体中，，分别为，的中点，且，，，则该四面体的外接球表面积为（   ）    A． B． C． D． 【典例2】（2025高一·全国·专题练习）如图，已知正方形的边长为2，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得. 空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为______. 【变式1】（2025高一·全国·专题练习）将边长为4的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为，连接，得到四面体，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为______. 【变式2】（25-26高二上·云南昭通·期末）在矩形ABCD中，，，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角，则四面体ABCD的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 题型七 内切球模型 答｜题｜模｜板 无论是什么的内切球问题，都是先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 【典例1】（2026·甘肃·一模）如图所示，轴截面为正三角形的圆锥，底面圆半径为是底面的两条直径，母线与该圆锥内切球分别切于点.则下列说法正确的是（    ） A． B．圆锥与球的交线的轨迹长为 C．若，则 D．平面截球的截面面积的最小值为 【典例2】（25-26高三上·山东青岛·期中）已知圆台的上下底面半径之比为1∶2，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）表面积为；则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三上·云南·月考）如图，在正四面体中，中间1个大球为正四面体的内切球，4个小球与大球､正四面体的三个面均相切.若，则该正四面体中，其中一个小球与大球的体积比为______. 【变式2】（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知在正四棱锥中，在底面ABCD内，底面ABCD，点是该正四棱锥内切球球面上的动点，若，则的最小值为__________． 题型八 棱切球模型 答｜题｜模｜板 同内切球问题，找到切点、球心的截面。根据勾股定理求半径 【典例1】（2026·广西崇左·一模）在正三棱柱中，，若该正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·贵州·月考）已知正方体的棱长为2，球为其棱切球，过球心作平面与底面平行，若为球面与平面的交线上一点，为底面外接圆的一条直径，则的最大值为______． 【变式1】（25-26高三上·山东·期末）已知正四面体的棱长为a，其棱切球与PA、PC分别相切于M、N．则异面直线MN和PB之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三下·河北沧州·月考）球与棱长为2的正四面体的棱，，均相切，且和平面相切，则正四面体三个侧面，，截球的截痕长度共为（    ） A． B． C． D． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江西上饶·月考）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南永州·二模）在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，分别是棱的中点，是底面内一动点．若直线平面，则三棱锥外接球表面积的最小值为___________． 4．（四川省字节精准教育联盟2026届高三二模数学试题）一个圆锥的底面直径为4，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·山西吕梁·期末）现有一平行四边形纸片如图，已知，将其折成一个三棱锥（不可剪开），使三棱锥的四个面刚好可以组成该平行四边形纸片，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2025·四川达州·二模）三棱锥各个顶点均在球表面上，，外接圆的半径为，点在平面的射影为中点，且与平面所成的角为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知正方体的棱长为2，点是正方体外接球的球面上一点，为正方体内切球的球面上的两点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知，平面，若，则四面体的外接球(顶点都在球面上)的体积为__________. 4．（25-26高三上·福建福州·月考）如图，在直三棱柱中，，，，D为棱AB的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体体积为（   ） A．3 B．6 C．9 D．18 5．（25-26高三上·重庆·月考）已知圆台的上下底面圆的半径分别是和 ，且该圆台有内切球，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高三上·云南·月考）在平面四边形中，，是边长为6的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为，的二面角，则四面体的外接球半径的取值范围为___________． 2．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点.球体O为与正方体的所有棱都相切的球体，则三边与球体公共部分的长度总和是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·重庆·月考）以一个正四面体中心为球心的三个球，其中与正四面体各个面相切的球半径记为，和正四面体各个棱相切的球半径记为，过正四面体四个顶点的球的半径记为，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·浙江杭州·月考）在正三棱台中，，且该三棱台的高是，若以为球心，4为半径作一个球，则该球与底面的交线长是_________． 5．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知正方体的棱长为2，为棱上的一点，且满足平面平面，则平面截四面体的外接球所得截面的面积为________. 1 / 4 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