8.1.2.1三角形的内角和课件-2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

华东师大版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月11日 8.1.2.1三角形的内角和 第8章 三角形 8.1.2.1 三角形的内角和 学习目标：1. 理解三角形内角和定理的含义，掌握三角形内角和为180°的核心结论；2. 掌握三角形内角和的两种验证方法（剪拼、简单推理），能规范表述验证过程；3. 能运用三角形内角和定理解决简单的角度计算问题，区分不同三角形的内角特征。 一、三角形内角和定理 1. 核心结论：任意一个三角形的三个内角的和等于180°，这就是三角形内角和定理。 说明：“任意三角形”包括锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，无论三角形的形状、大小如何，其三个内角的和始终是180°，与边长、顶点位置无关。 二、三角形内角和的验证方法（七年级重点掌握） 验证三角形内角和为180°，可通过直观操作和简单推理两种方式，贴合七年级认知水平，具体如下： （一）剪拼法（直观操作，易于理解） 步骤：1. 任意画一个三角形（如△ABC），分别标注出三个内角∠A、∠B、∠C；2. 用剪刀将三个内角分别剪下来，保留三个角的顶点和边；3. 将三个角的顶点重合，一条边依次拼接在一起，观察拼接后的图形。 结论：三个角拼接后，恰好组成一个平角，而平角的度数为180°，因此可直观得出三角形内角和为180°。 注意：剪拼时要保持角的大小不变，拼接时顶点对齐、边依次贴合，避免因操作误差影响结论。 （二）简单推理法（结合平角定义，初步渗透推理思想） 以△ABC为例，推理过程如下：1. 过三角形的一个顶点（如顶点A）作它对边BC的平行线AD；2. 由平行线的性质可知，∠B=∠BAD（内错角相等），∠C=∠CAD（内错角相等）；3. ∠BAD、∠BAC、∠CAD组成一个平角，即∠BAD+∠BAC+∠CAD=180°；4. 代入∠B=∠BAD、∠C=∠CAD，可得∠B+∠BAC+∠C=180°，即△ABC的内角和为180°。 三、三角形内角和定理的应用（基础题型） 核心思路：已知三角形两个内角的度数，可根据内角和为180°，求出第三个内角的度数；反之，已知一个内角的度数，可结合三角形类型，分析另外两个内角的范围。 - 示例1：在△ABC中，已知∠A=50°，∠B=60°，求∠C的度数。解：由三角形内角和定理，∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°。 - 示例2：在Rt△ABC中，一个锐角为35°，求另一个锐角的度数。解：直角三角形有一个内角为90°，因此另一个锐角=180°-90°-35°=55°（延伸：直角三角形的两个锐角互余）。 四、易错点提醒 - 1. 三角形内角和是固定的180°，与三角形的大小、形状无关，不可认为“大三角形内角和大，小三角形内角和小”； - 2. 钝角三角形中，只有一个内角是钝角（大于90°且小于180°），另外两个内角一定是锐角，且和小于90°（因为内角和为180°）； - 3. 运用内角和定理计算时，注意单位统一（均为“度”），避免漏减或计算错误； - 4. 剪拼法是直观验证方法，推理法是严谨验证方法，两者结合可加深对定理的理解，不可混淆“操作”与“推理”的区别。 小练习：判断下列说法是否正确？并说明理由。（1）一个三角形的三个内角都是60°，这个三角形是等边三角形；（2）三角形的内角和可能是170°；（3）钝角三角形的内角和大于180°。（答案：√、×、×） 1. 通过操作活动，使学生发现三角形的内角和是180°； 2. 会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数； (重点、难点) 学习目标 新课导入 我们曾撕下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成一个平角。 3 1 1 2 2 2 1 3 3 还有折叠的方法 得出结论：三角形的内角和等于 180°. 思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢？ 三角形的内角和 如图，经过 △ABC 一顶点 A 作直线 B'C' ，使得 B'C'∥BC. 则 ， 所以 ∠B+∠BAC+∠C=180°. 又 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明. 1 由此得到： 三角形的内角和等于180°. 你还能想出其他的方法推出这个结论吗？ 知识要点 思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？ 借助平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E 例1 在 △ABC 中， ∠A 的度数是 ∠B 的度数的 3 倍，∠C 比 ∠B 大15°，求 ∠A，∠B，∠C 的度数. 解：设 ∠B 为 x°，则 ∠A 为3x°， ∠C 为 (x＋15)°， 从而有 3x＋x＋(x＋15)＝ 180. 解得 x＝33. 所以 3x＝99 ， x＋15＝48. 答：∠A， ∠B， ∠C 的度数分别为 99°，33°， 48°. 几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想. 典例精析 例 2 如图，在△ABC 中， ∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数. A B C D 解：由∠BAC = 40°，AD 是△ABC 的角平分线， 得∠BAD = ∠BAC = 20°. 在△ABD 中， ∠ADB = 180° - ∠B - ∠BAD = 180° - 75° - 20° = 85°. 典例精析 问题 ：如图，在直角三角形ABC 中，∠C = 90°，两锐角的和等于多少呢？ 在Rt△ABC 中，∠C = 90°， 由三角形内角和定理，得∠A +∠B + ∠C = 180°，故∠A + ∠B = 90°. 思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？ 直角三角形的内角性质 2 A B C 直角三角形的两个锐角互余．　　 应用格式： 在 Rt△ABC 中， ∵∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 90°．　 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC． 知识要点 解：在Rt△ABD 中， ∵∠1 +∠B = 90°(直角三角形的两个锐角互余)， ∴∠B = 90°－∠1(等式性质). 又∵∠1 = 45°(已知)， ∴∠B = 90°－45° = 45°(等量代换). 在△ABC 中， ∵∠B +∠C + ∠BAC = 180°(三角形的内角和等于180°)， ∴∠BAC = 180°－∠B－∠C(等式性质). 又∵∠B = 45°(已求)，∠C = 65°(已知)， ∴∠BAC = 180°－45°－65° = 70°(等量代换). 例3 如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，∠1 = 45°，∠C = 65°. 求∠BAC 的度数. 典例精析 我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余，反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗? 由三角形的内角和等于 180°，容易得出下面的结论： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 归纳总结 问题 1　在右图中，外角 ∠ACD 与它不相邻的内角∠A，∠B 之间有什么大小关系？ 可以利用“三角形的内角和等于 180° ”的结论. 三角形的外角的性质 3 外角 相邻内角 不相邻内角 1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 因为 ∠ACD +∠ACB = 180°， ∠A +∠B +∠ACB = 180°， 所以 ∠ACD - ∠A - ∠B = 0（等量减等量，差相等） 于是 ∠ACD =∠A +∠B. 由此得到： 2.三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角. 如图，∠CAD = 100°，∠B = 30°，求∠C 的度数. 解：因为∠B +∠C =∠CAD， 所以∠C =∠CAD - ∠B， 所以∠C = 100° - 30° = 70°. 做一做 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE = ∠2 + ∠3， ∠CBF = ∠1 + ∠3， ∠ACD = ∠1 + ∠2. 又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°， 所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 360°. 问题 2 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 你还有其他解法吗？ 解法二：如图，∠BAE +∠1 = 180°① ， ∠CBF +∠2 = 180°②， ∠ACD +∠3 = 180°③， 又知∠1 +∠2 +∠3 = 180°， ①+ ②+ ③得 ∠BAE +∠CBF +∠ACD + (∠1 +∠2 +∠3) = 540°， 所以∠BAE +∠CBF +∠ACD = 540° - 180° = 360°. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 三角形的外角和等于 360°. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 ∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD = 2(∠1+ ∠2+ ∠3) = 360°. 要点归纳 例 4 (一题多解法)如图，∠A = 51°，∠B = 20°， ∠C = 30°，求∠BDC 的度数. A B C D ( ( ( 51° 20° 30° 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. 典例精析 解法一：连接 AD 并延长到点 E. 在△ABD 中，∠1 +∠B =∠3， 在△ACD 中，∠2 +∠C =∠4. ∵∠BDC =∠3 +∠4， ∠BAC =∠1 +∠2， ∴∠BDC =∠BAC +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°. A B C D ( ( 20° 30° E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 你发现了什么结论？ 解法二：延长 BD 交 AC 于点 E. 在△ABE 中，∠1 =∠B +∠A， 在△ECD 中，∠BDC =∠1 +∠C. ∴∠BDC =∠A +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°. A B C D ( ( ( 51° 20° 30° E ) 1 解法三：延长 CD 交 AB 于点 F (解题过程同解法二). ) 2 F 解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 总结 A B C D ( ( ( 1 3 2 ( 重要发现： ∠BDC = ∠1+ ∠2+ ∠3. 随堂练习 1. 在一个三角形中，有两个内角度数分别是 25°和 55°，则这个三角形是（ ） 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 无法确定 B 随堂练习 【教材P86练习 第1题】 1 A C B 2 4 3 D E 分析： ∠1 +∠2 =∠3 +∠4 = 180°–∠A = 180°– 40° = 140° 2. 如图，∠A = 40°，则∠1 +∠2 +∠3 +∠4 =_____. ∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 140° + 140° = 280° 280° 随堂练习 【教材P86练习 第2题】 3. 在△ABC中，∠A + ∠B = 80°，∠C = 2∠B. 求∠A、∠B和∠C的度数. 解：∵∠A +∠B = 80°， ∴∠C = 180°–（∠A +∠B）= 100°. ∴∠A = 80°–∠B = 30°. ∵∠C = 2∠B ， ∴∠B = ∠C = 50°. 随堂练习 【教材P86练习 第3题】 4. 在△ABC中，∠B =∠A + 30°，∠C =∠B + 30°. 求△ABC 的各内角的度数. 解：∵∠B =∠A + 30°，∠C =∠B + 30°， ∴∠C = ∠A + 60°. ∴∠A = 30°. ∵∠A +∠B + ∠C = 180°， ∴∠A +∠A + 30°+∠A + 60° = 180°. ∴∠B =∠A + 30° = 60°，∠C =∠A + 60° = 90°. 随堂练习 【教材P86练习 第4题】 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，D、E 分别是边CB、AB 延长线上的点，∠A = ∠D. 试说明△BDE 是直角三角形. 解：∵∠C = 90°，∴∠A +∠ABC = 90°. 又∵∠A = ∠D ，∠ABC =∠DBE， 在△BDE 中，∵∠D +∠DBE +∠E = 180°， ∴∠E = 180° – (∠D +∠DBE). ∴△BDE 是直角三角形. A C B D E ∴∠E = 180° – (∠A +∠ABC) = 180° – 90° = 90°. 随堂练习 1. 在中，若 ， ，则 的度数为 ( ) A A. B. C. D. 中考考法 29 （第2题） 2. 如图，在中， ， ，则 是( ) C A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 中考考法 30 （第3题） 3. 如图，是 的平分线， ， ，则 ( ) C A. B. C. D. 中考考法 31 4. [威海中考] 如图，直线 ， ， .若 .则 等于( ) A A. B. C. D. 中考考法 32 5. 如图，在中，为边 上的高， 为边上的一点，连结 . （1）当为边 上的中线时，若 ，的面积为24，求 的长； 【解】为边上的高， 的面积为24， .又， . 又为边上的中线， . 中考考法 33 （2）当为 的平分线时，若 ， ，求 的度数. , , . 又为的平分线， . , , . . 中考考法 34 （第6题） 6. 如图，将三角形纸片 沿折叠，当点落在四边形 的外 部时，测量得 ， ， 则 的度数为( ) B A. B. C. D. 中考考法 35 7. 如图，在中， ， ， 平分 ，于点，于点，则 的度数为 ____. （第7题） 中考考法 36 8. 如图，在四边形中， ， 于点，于点，平分 ， ，，则 的度数为 ______. 中考考法 37 【点拨】设 ,则 , , 平分 , , , , ， 中考考法 38 ,解得 , , . , , , . 中考考法 9. 在中，，为三角形的高， 为，所在直线的交点（不与 的顶点重合）， ,则 的度数是___________. 或 中考考法 40 【点拨】当为锐角三角形时，如图①. , , 易得 , , , . 当为钝角三角形时，若 为钝角，如图②. 中考考法 41 ,, , , , , , , ;若为钝角或 为钝 角，易求得 .故答案为 或 . 中考考法 10. 如图，是的角平分线，过点作交 的延长线于点，点在上，连结交于点 . 中考考法 43 （1）若 ,试说 明： ； 【解】是 的角平分线， . , , . , , . , , 中考考法 44 （2）若 ， ，求 的度数. , , .是 的角平 分线， . , . . 中考考法 45 课堂小结 三角形的 内角和 三角形的内角和等于 180° 直角三角形的两个锐角互余 有两个角互余的三角形是直角三角形 $