6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课时达标练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第六章　计数原理 6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一．选择题 1.一植物园参观路径如图所示,若要全部参观并且路线不重复,则不同的参观路线种数共有(　　) A.6种 B.8种 C.36种 D.48种 2.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,若一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数为(　　) A.7 B.12 C.64 D.81 3.(多选题)已知直线方程Ax-By=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A,B的值,则(　　) A.当A或B中有一个为零时,则可表示出2条不同的直线 B.当AB≠0时,A有5种选法,B有4种选法,则可表示出5×4=20条不同的直线 C.可表示不同的直线的条数是22 D.当A=1时,可表示不同的直线条数是6 4.已知某公园有4个门,从一个门进,另一个门出,则不同的走法有(　　) A.16种 B.13种 C.12种 D.10种 5.5名同学报名参加两个课外活动小组,每名同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有(　　) A.10种 B.20种 C.25种 D.32种 6.某人的手机号码为139××××××××,若前七位已定好,最后四位数字是由6或8组成的,则这样的手机号码一共有(　　) A.8个 B.16个 C.20个 D.32个 7.从颜色分别为黄、白、红、橙的4盆菊花和颜色分别为紫、粉红、白的3盆山茶花中任取3盆,其中至少有菊花、山茶花各1盆,则不同的选法种数为(　　) A.12 B.18 C.24 D.30 8.(多选题)若x,y∈N,且1≤x≤3,x+y<7,则对满足条件的不同的有序自然数对(x,y)的个数,以下说法正确的是(　　) A.当x=1时,有6种不同的有序自然数对 B.当x=2时,有5种不同的有序自然数对 C.当x=3时,有3种不同的有序自然数对 D.满足条件的不同的有序自然数对共有14个 9.定义集合A与B的运算A*B如下:A*B={(x,y)|x∈A,y∈B},若A={a,b,c},B={a,c,d,e},则A*B的元素个数为(　　) A.34 B.43 C.12 D.以上都不对 10.某单位有4名同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是0,1,2,5,为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),四人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车(车牌尾数为2)最多只能用一天,则不同的用车方案种数是(　　) A.4 B.12 C.16 D.24 11.如图,某电子器件是由三个电阻组成的回路,其中共有6个焊接点A,B,C,D,E,F.若某个焊接点脱落,则整个电路就会不通.如果现在电路不通了,那么焊接点脱落的可能性共有(　　) A.6种 B.36种 C.63种 D.64种 12.某高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中甲工厂必须有班级去,每班去哪个工厂可自由选择,则不同的分配方案有(　　) A.16种 B.18种 C.37种 D.48种 二．填空题 13.某班元旦联欢会原定的9个歌唱节目已排成节目单,但在开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同方法的种数为　　　　　. 14.如图1,若在这个电路中,只合上一个开关可以接通电路,有　　　　　种不同的方法;如图2,若在这个电路中,合上两个开关可以接通电路,有　　　　　种不同的方法.  图1 图2 15.A地分别与B,C,D三地交界(示意图如图),且B,C,D三地互不交界,在地图上分别给各地区涂色,要求相邻地区涂不同色,现有五种不同颜色可供选用,且颜色可以重复使用,则不同的涂色方法有　　　　　种.  三．解答题 16.有一项活动,需在3名教师,8名男同学和5名女同学中选人参加. (1)若只需一人参加,有多少种不同选法? (2)若需教师、男同学、女同学各一人参加,有多少种不同选法? (3)若需一名教师,一名学生参加,则有多少种不同选法? 17.某学校要组织数学课外小组,高一年级(1)、(2)、(3)、(4)班分别有7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组. (1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法? (2)每班选一名组长,有多少种不同的选法? (3)推选两人发言,这两人需来自不同的班级,有多少种不同的选法? 18.将一枚骰子(六点)连续抛掷三次,掷出的数字顺次排成一个三位数. (1)可以排出多少个不同的三位数? (2)各数位上的数字互不相同的三位数有多少个? (3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个? 19.用n种不同的颜色为两块广告牌着色,如图,要求在①,②,③,④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色. (1)若n=6,则为甲着色时共有多少种不同的方法? (2)当为乙着色时共有120种不同的方法,求n的值. 第六章　计数原理 6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一．选择题 1.:D 由题意知在A点可先参观区域1,也可先参观区域2或3(如图),每种选法中可以按逆时针参观,也可以按顺时针参观,所以第一步可以从6个路口任选一个,有6种结果,参观完一个区域后,选择下一步走法,有4种结果,又参观完第二个区域,只剩下最后一个区域,有2种走法,根据分步乘法计数原理知共有6×4×2=48种不同的参观路线.故选D. 2.B 要完成配套,分两步:第一步,选上衣,从4件上衣中任选一件,有4种不同的选法;第二步,选长裤,从3条长裤中任选一条,有3种不同的选法.依据分步乘法计数原理,共有4×3=12种不同的配法. 3.ABC 当A或B中有一个为零时,则可表示出2条不同的直线;当AB≠0时,A有5种选法,B有4种选法,则可表示出5×4=20条不同的直线.由分类加法计数原理知,共可表示出20+2=22条不同的直线.当A=1时,可表示5条不同的直线. 4.C 根据题意,将4个门编号为1,2,3,4,从1号门进入后,有3种出门的方式,共3种走法,同理,从2,3,4号门进入,同样各有3种走法,共有不同走法3×4=12种.故选C. 5. D 每名同学限报其中的一个小组,各有2种报名方法,根据分步乘法计数原理,不同的报名方法共有25=32种. 6 B 采用分步乘法计数原理,最后四位数字由6或8组成,可分四步完成,每一步有两种方法,共有2×2×2×2=24=16个. 7. D 选出符合要求的3盆花可分为两类:第1类,先从4盆菊花中选1盆,再从3盆山茶花中选2盆,有4×3=12种选法;第2类,先从4盆菊花中选2盆,再从3盆山茶花中选1盆,有6×3=18种选法.根据分类加法计数原理,不同的选法种数为12+18=30. 8AB 分三类:第1类,当x=1时,y的取值可能为0,1,2,3,4,5,有6种情况; 第2类,当x=2时,y的取值可能为0,1,2,3,4,有5种情况; 第3类,当x=3时,y的取值可能为0,1,2,3,有4种情况. 根据分类加法计数原理,满足条件的有序自然数对(x,y)共有6+5+4=15个. 9. C 依据分步乘法计数原理,A*B的元素个数为3×4=12. 10. B 15日至18日,有2天奇数日和2天偶数日,车牌尾数中有2个奇数和2个偶数. 第一步安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有22=4种. 第二步安排偶数日出行,分两类: 第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有2种; 第二类,不安排甲的车,只有1种选择,共有1+2=3种. 根据分步乘法计数原理,不同的用车方案种数共有4×3=12种. 11. C 每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况,只要有一个焊接点脱落,电路就不通,故共有26-1=63种可能情况. 12. C 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案,若三个班都不去甲工厂,有33种不同的分配方案,则满足条件的不同的分配方案有43-33=37种.故选C. 二．填空题 13. 110 分两步完成:第一步,先将其中一个节目插入原节目单的9个节目形成的10个空中,有10种方法;第二步,再把另一个节目插入前10个节目形成的11个空中,有11种方法.依据分步乘法计数原理,共有10×11=110种不同的方法. 14. 5　6 对于题图1,按要求接通电路,分两类:第1类,合上A中的两个开关中的任意1个;第2类,合上B中的三个开关中的任意1个.依据分类加法计数原理,共有2+3=5种不同的方法. 对于题图2,按要求接通电路必须分两步进行: 第一步,合上A中的任意一个开关,有2种方法; 第二步,合上B中的任意一个开关,有3种方法. 依据分步乘法计数原理,共有2×3=6种不同的方法. 15. 320 由题意知,本题是一个分步乘法计数问题,首先涂D,有5种结果,再涂A,有4种结果,然后涂B,有4种结果,最后涂C有4种,即5×4×4×4=320种. 三．解答题 16. 解(1)分三类:第1类,3名教师中选一人,有3种方法;第2类,8名男同学中选一人,有8种方法;第3类,5名女同学中选一人,有5种方法.依据分类加法计数原理,共有3+8+5=16种选法. (2)分三步完成:第一步选教师,有3种方法;第二步选男同学,有8种方法;第三步选女同学,有5种方法.依据分步乘法计数原理,共有3×8×5=120种选法. (3)分两类,每一类又分两步.第一类:先选一名教师,再选一名男同学,共有3×8=24种选法;第二类:先选一名教师,再选一名女同学,共有3×5=15种选法.依据分类加法计数原理,共有24+15=39种选法. 17. 解:(1)分四类:第一类,从(1)班学生中选1人,有7种选法;第二类,从(2)班学生中选1人,有8种选法;第三类,从(3)班学生中选1人,有9种选法;第四类,从(4)班学生中选1人,有10种选法.依据分类加法计数原理,共有N=7+8+9+10=34种不同的选法. (2)分四步:第一、二、三、四步分别从高一年级(1)、(2)、(3)、(4)班学生中选一人任组长.依据分步乘法计数原理,共有N=7×8×9×10=5 040种不同的选法. (3)分六类,每类又分两步:从(1)、(2)班学生中各选1人,有7×8种不同的选法;从(1)、(3)班学生中各选1人,有7×9种不同的选法;从(1)、(4)班学生中各选1人,有7×10种不同的选法;从(2)、(3)班学生中各选1人,有8×9种不同的选法;从(2)、(4)班学生中各选1人,有8×10种不同的选法;从(3)、(4)班学生中各选1人,有9×10种不同的选法. 依据分类加法计数原理和分步乘法计数原理,共有N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431种不同的选法. 18. 解:(1)分三步:先排百位,再排十位,最后排个位.根据分步乘法计数原理知,可以排出6×6×6=216个不同的三位数. (2)分三步进行:先排百位,再排十位,最后排个位.百位上数字的排法有6种,十位上数字的排法有5种,个位上数字的排法有4种.根据分步乘法计数原理,各数位上的数字互不相同的三位数有6×5×4=120个. (3)两个数字相同有三种可能,即百位和十位相同,十位和个位相同,百位和个位相同,而每种都有6×5=30个,故满足条件的三位数共有3×30=90个. 19. 解:完成着色这件事,共分为四个步骤,可以依次考虑为①,②,③,④这四个区域着色时各自的方法数,再利用分步乘法计数原理确定出总的方法数. (1)分四步完成:第一步,为区域①着色时有6种方法;第二步,为区域②着色时有5种方法;第三步,为区域③着色时有4种方法;第四步,为区域④着色时有4种方法.依据分步乘法计数原理,不同的着色方法有6×5×4×4=480种. (2)分四步完成:第一步,为区域①着色时有n种方法;第二步,为区域②着色时有(n-1)种方法;第三步,为区域③着色时有(n-2)种方法;第四步,为区域④着色时有(n-3)种方法.依据分步乘法计数原理,不同的着色方法数为n(n-1)(n-2)(n-3). 由题意知n(n-1)(n-2)(n-3)=120,(n2-3n)(n2-3n+2)-120=0, 即(n2-3n)2+2(n2-3n)-120=0. 因此n2-3n-10=0或n2-3n+12=0(舍去). 解得n=5(负值舍去). 学科网（北京）股份有限公司 $