6.1 第2课时分类加法计数原理与分步系法计数原理的应用-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

素养演练·提升技能 的某节)：若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4 1.C[分两类：第一类有5种选法，第二类有4种选法，共9种.] 节，自习只能选在第2节，故有1种，根据分类加法计数原理可得， 2.D[由题意知，上下两块区城颜色可以相同，也可以不同，则共有5 共有4十1=5种不同的选课方式.由以上分析可知，自习课可安排 ×4×3×1×3十5×4×3×2×2=180+240=420种涂色方案.] 在4节课中的任一节，] 3.D[根据题意，6根算筹都用上，可以表示的两位数分为两类，①个·2.B[由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志 位数字与十位数字不同的两位数，十位数字小于个位数字的有15，！ 愿者中选1人，有4种选法.后面三项工作的选法有5×4×3种，因 19,24,28,37,46,68,共7个，把个位数字与十位数字交换，也有71 此共有4×5×4×3=240（种）选派方案.] 个：②个位数字与十位数字相同的两位数，只有33,77，共2个，则一题点三 共可以表示14十2=16个两位数.] :典例解析不考虑甲试剂不能对C细胞染色， 4.B[由题意得，不超过200的数，两个数字一样同为0时，有100， 若C,E细胞的染色试剂相同，共有4×3×2×2=48种方法， 200,共2个，两个数字一样同为1时，有110,101,112,121,113，· 若C,E细胞的染色试剂不同，共有4×3×2×(1十2)=72种方法， 131,一直到119,191，共18个，两个数字一样同为2时，有122，共1 共120种方法. 个，同理，两个数字一样同为3,4,5,6,7,8,9时各1个，综上，不超 现考虑甲试剂对C细胞染色， 过200的“单重数”共有2十18十8-28（个），其中最大的是200，较： 若C,E细胞的染色试剂相同，共有3×2×2=12种方法， 小的依次为199,191,188,181,177,171，…故第22个“单重数”为 若C,E细胞的染色武剂不同，共有3×2×(2十1)=18种方法， 171,故选B. 共30种方法 5.448[第一步，确定千位，除去0和6，有8种不同的选法：第二步，1 所以，符合条件的染色方法有120一30=90种， 确定百位，徐去6和千位致字外，有8种不同的选法：第三步，确定 答案90 十位，除去6和千位、百位上的教字外，有7种不同的选法.故共有8对点训练 ×8×7=448(个)不同的“吉祥数”. 1.(1)420[按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A,C是否 第二课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用： 同色分类： 关键能力·合作探究 第一类，A,C同色，则有5×4×3×1X3=180(种)不同的染色方法， 题点一 第二类，A,C不同色，则有5×4×3×2×2=240（种）不同的染色 典例解(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复， 方法 每个位置都有5种排法，共有5×5×5=53=125（个）. 根据分类加法计数原理，共有180十240=420（种）不同的染色 (2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排！ 方法，」 法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5= (2)72[①当使用4种颜色时，先着色区域1，有4种方法，剩下3 100(个). 种颜色涂其他4个区城，即有1种颜色涂相对的2块区域，有3×2 (3)被2整徐的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类， ×2=12(种)，由分步乘法计数原理得，共有4×12一48（种）， 一类是末位数字是0，则有4×3=12种排法：一类是未位数字不是 ②当使用3种颜色时，从4种颜色中选取3种，有4种方法，先着色 0,则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有 区城1，有3种方法，剩下2种颜色涂4个区域，只能是一种颜色涂 3种排法，十位有3种排法，因此有2X3X3=18种排法，因而有12 十18=30种排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三 第2,4区域，另一种颜色涂第3,5区域，有2种着色方法.由分步乘 法计数原理得有4×3×2=24（种）. 位数 (4)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步！ 综上，共有48十24=72（种）.] 定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法：第二步定首位，把1,2.C[根据题意，假设正五角星的区城为A,B,C, 2,3,4中除去个位用过的一个还有3个，可任取一个，有3种方法： D,E,F,如图所示，先对A区城涂色，有3种方 第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字，先排百位有3种方 法，再对B,C,D,E,F这5个区域进行涂色，因为 法，再排十位有2种方法，由分步乘法计敦原理知共有2×3×3×2· B,C,D,E,F这5个区域都与A相邻，所以每个 =36(个). 区域都有2种涂色方法，所以共有3X2X2×2× 对点训练 2×2=96种涂色方法，门 1.B[由于题目要求是奇教，那么对于此三位数可以分成两种情况：素养演练·提升技能 奇偶奇，偶奇奇.如果是第一种“奇偶奇”的情况，个位有3种情况，！1.CD[对于A,甲、乙只能站左、右两端，有2种站法，丙、丁在老师相 十位有2种情况，百位有2种情况，共12种：如果是第二种“偶奇奇”！ 邻两边，有2种站法，所以有2X2=4种站法，不符合：对于B,同A 的情况，个位有3种情况，十位有2种情况，百位不能是0，只有一种 一样，有4种站法，不符合：对于C,甲站两端，有2种站法，乙与老师 情况，共6种，因此总共有12十6=18（个）奇数.] 相邻，有2种站法，丙、丁站剩下位置，有2种站法，所以有2X2×2 2.162「第一类：一位数中徐8外符合要求的有8个：第二类：两位数· =8种站法，C符合：对于D,甲、乙要么都在老师左边，要么都在老 中，十位上数字徐0和8外有8种情况，而个位数字徐8外，有9种 师右边，且甲、乙还可以相互交换，有2×2种站法，丙、丁站剩下两 情况，有8X9个符合要求：第三类：三位数中，百位上数字是1的，！ 个位置，有2种站法，所以共有2X2×2=8种站法，D符合.] 十位和个位上数字徐8外均有9种情况，有9×9个，而百位上数字！2.B[四个人工小岛记为A,B,C,D,对A分有一座桥相连和两座桥 是2的只有200符合，所以总共有8十8×9十9×9十1=162（个）.] 相连讨论，用“一”表示桥.①A只有一座桥相连时，有A一B一C 题点二 D,A-B-D-C,A-C-B-D,A-C-D-B,A-D-B-C,A- 典例解析(1)第一类：甲同学选择牛，乙有2种选法，丙有10种选1 D一C-B,共6种：②A有两座桥相连时，有C-A一B一D,D-A 法，选法有1×2×10=20（种），第二类：甲同学选择马，乙有3种选· B-C,D-A-C-B,B-A-C-D,B-A-D-C,C-A-D-B, 法，丙有10种选法，选法有1×3×10=30（种），所以共有20十30=1 共6种.故共有6十6=12种.] 50种选法. :3.C[若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙*甲丙→ (2)不妨由甲先来取，共2种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第 甲，甲→乙>丙→乙→甲3种不同的传法：同理，甲先传给丙也有3 二个来取，余下来的人，都只有了一种选择，所以不同取法共有2×！ 种不同的传法，故共有3十3=6（种）不同的传法门 1×1=2(种). :4.72[先涂A的话，有4种选择，若选择了一种，则B有3种，而为了 答案(1)B(2)2 让C与AB都不一样，则C有2种，再涂D的话，只要与C涂不一样 延伸探究解不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁 的就可以，也就是D有3种，所以一共有4×3×2×3=72（种）.] 在甲取后第二个来取，共3种取法，余下来的人，都只有了一种选5，C[第一种情况，点A,B,C,D在平面a的同侧.当平面α∥平面 择，所以不同取法共有3×3X1X1=9(种)， BCD时，A与平面a的距离是a与平面BCD的距离的2倍.这种情 对点训练 况下有4个平面.第二种情况，A,B,C,D中有3个点在平面α的一 1.BD[由于生物在B层班级，所以只能选第2或第3节，故分两类：！ 若生物选第2节，则地理可安排在第1,3节，有2种选法，其他任意！ 侧，第4个点在平面。的另一侧，这时又有两种情形：一种情形是平 面a与平面BCD平行，且A与平面a的距离是平面a与平面BCD 选即可，故有2×2=4种（此种情况自习课可出现在第1,3,4节中 距离的2倍.这时有4个平面 154 (2)列出每一个起点和终点情况，如图所示 广州 南京 天津 北京 北京·南京广州→天津南京→北京 天津→广州 天津 北京 广州 、南京 故符合题意的机票种类有： 图a 图b 北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南 另一种情形如图a所示，图中E,F分别是AB,AC的中点，K是AD 的三等分点中靠近A的分点，A,B,C到平面EFK(即平面a)的距 京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共 离是D到平面EFK距离的一半 12种. :EF可以是AB,AC的中点的连线，又可以是AB,BC的中点的连！对点训练 线，或AC,BC的中点的连线， 解由题意作树状图，如图. ∴.这种情形下的平面a有3×4=12个， 第三种情况，如图b所示，在A,B,C,D四点中，平面a两侧各种有 两点 容易看出：，点A到平面EFMN(平面a)的距离是B,C,D到该平面 ! 距离的2倍 就A,C与B,D分别位于平面a两侧的情形来看，就有A离平面a· 故所有的排列为abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda, 远，B离平面a远，C离平面α远，D离平面a远这四种情况. bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb, 又AC,BD异面，则这样的异面直线共有3对， 24个. ∴.平面a有4×3=12个， 题点三 综上分析，平面a有4十4十12十12=32个.] 5A+A6A6A63 6.2排列与组合 典例解（①）原式=A。A。4A一40N-0-2示 第一课时排列与排列数 (2)由排列数公式，原方程可化为 必备知识·自主梳理 3× 8！ 91 (一) 84×0 一定的顺序 4×9 即学即练 化简，得3=10x)(9一x 1.AD[选项A中兴趣小组与学科顺序有关，D项中两位数与位置顺： 即x2-19x十78=0，解得x=16或x=13. 序有关，都是排列.] 因为x≤8，所以原方程的解是x=6. 2.B[选派4人分别从事四种不同的工作，分四步进行，共有6×5×4！ 8！ 8 ×3=360种.] (3)由排列教公式，得8<6×0 (二) 6 1.个数A”2.n(n-1)(n-2)…(n-m十1)3.全部取出A” 化简，得1<(10x)(9-7) 4.n15.(1)1(2nl(3)nm n！ 即x2-19x十840， 所以7<x<12. 即学即练 又因为x∈N“,0≤x≤8,0≤x-2≤8， 1.D「爱大因数为14，共有6个连续正整数相乘，所以n=14,m=6,: 所以2x8且x∈N", 故14×13×12×11×10×9=A1.] 2.D[第一步，先排个位，有A种选择：第二步，排前四位，有A种 所以x=8. (4),n·n！=[(n十1）-1]·n！=(n十1)！-nl. 选择.由分步乘法计数原理知，有A}·A=72个.] .原式=(2！-1)十(3！-21)+(4！-3！)十…十[(n+1)1 关键能力·合作探究 n!]=(n+1)！-1. 题点一 典例解1)不是.加法运算满足交换律，所以选出的2个元素微加对点训练 法时，与两个对象的位置无关，故不是排列问题， 解(1)2A+7A 2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5 (2)是，因为从一门进，从另一门出是有顺序的，故是排列问题 A8-A8 =8×7X6X5×4×3X2X1-9×8X7X6X万 (3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题。 =1. +芳-1表示焦点在：轴上的描圆，剥必有a>6,:6的 若方程 （2)因为2十1≥4所以≥3，N. x≥3， 大小关系一定： 由A+1=140A得x=3 在双曲线三1中·不管a>b还是a<6,方程 =1均 (3)21 nl=(n-1)月n! 表示焦点在x轴上的双曲线 对点训练 分+景+音+…+-=（后）+（你司）十 B[对于A,8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题， A错误：对于B,10个人互相通信，涉及到顺序问题，是排列问题，B· (分)+…+[m]-1- 正确：对于C,5个点中任取3点，不涉及顺序问题，不是排列问题，C! (4)因为A2=z(x-1)(x一2)，A经+1=(x+1)x,A2=x(x-1),所 错误：对于D,4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及！ 以原不等式可化为3x(x-1)(x-2)2x(x十1)十6.x(x-1),x 顺序，不是排列问题，D错误， 3,解得3≤x≤5，易知x∈N,所以原不等式的解集为{3,4,5}. 题点二 素养演练·提升技能 典例解(1)按三个位置依次安排，如图： 11.C[A2=12×11×10=1320,A0=10×9×8=720,故A2 ABABC A在首位A Ai0=1320-720=600.] A C ACB (2n)！ B A BAC 2.2[由A,=2A1得2-2·解释=5a=0合 B在首位B B C BC A 去)，所以10gm25=1og25-2.] CA CAB C在首位C■ :3.C[首先将程序B和C相绑在一起，再和除程序A之外的3个程 C B CB A 序进行全排列，最后将程序A排在第一步或最后一步，根据分步乘 故所有排列为ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA. 法计数原理得，共有A号AA2=2×24×2=96种编排方法.] 155第六章计数原理 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第：3.中国古代十进制的算筹记数法，在数学史上是一 一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从 个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小 这9个人中选1人完成这项工作，一共有多少种 木棍.如图是利用算筹表示数字1~9的一种方 选法？ ( ) 法.例如：3可表示为“=”，26可表示为“=⊥” 现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余， A.5 B.4 则可以用1一9这9个数字表示两位数的个数为 C.9 D.20 2.如图为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时 验证勾股定理的示意图.现在提供5种颜色给其 中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜： 头持吉 A.13 B.14 C.15 D.16 色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案： 4.若一个三位数的各位数字中，有且仅有两个数字 共有 ) 一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”. 例如：232,114等，则不超过200的“单重数”中， 从小到大排列第22个“单重数”是 ( A.166 B.171 C.181 D.188 5.人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥 数”，则无重复数字的四位吉祥数（首位不能是 A.120种 B.260种 零)共有 个 C.340种 D.420种 温馨提示 请做课时分层检测（一） 第二课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用 【素养要求】通过进一步应用两个计数原理，发展数学抽象及数学运算素养 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一组数问题 方法技巧/ [典例]用0,1,2,3,4五个数字， 对于组数问题，应掌握以下原则 (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分 (2)可以排成多少个三位数？ 类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置（末位 (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的： 或首位)分类，分类中再按特殊位置（或特殊元 三位数？ 素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多， (4)可以组成多少个无重复数字的四位奇数？ 可采用间接法求解 听课记录 (2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数 字以上的数字的最高位。 对点训练 1.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字， 组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ( A.24 B.18 C.12 D.6 2.从1到200的自然数中，各个数位上都不含有数 字8的自然数有 个 数学选择性必修第三册 题点二选（抽）取与分配问题 反思感悟抽取与分配问题的常见类型及其 [典例](1)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一 解法 个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、： (1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树 兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有 状图法、框图法或者图表法 十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马， (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： 乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜 ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数 欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为： 原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行； 礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么 若按对象特征抽取的，则按分类进行」 不同的选法有 ( ) ②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法 A.360种B.50种C.60种D.90种 数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数 (2)甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各 即可 取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数为 对点训练 听课记录 1.(多选)某校实行选科走班制度，张毅同学选择的 是地理、生物、政治这三科，且生物在B层班级， 该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示， 张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自 习，则下列说法正确的是 ( 第一节 第二节 第三节 第四节 /方法技巧/ 地理1班 化学A层3班 地理2班 化学A层4班 解决抽取（分配）问题的方法 生物A层1班 化学B层2班 生物B层2班 历史B层1班 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、 物理A层1班 生物A层3班 物理A层2班 生物A层4班 树状图法、框图法或者图表法 物理B层2班 生物B层1班 物理B层1班 物理A层4班 (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： 政治1班 物理A层3班 政治2班 政治3班 ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数： A.此人有4种不同的选课方式 原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进 B.此人有5种不同的选课方式 行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行.② C.自习课不可能安排在第2节 间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法： D.自习课可安排在4节课中的任一节 数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即：2.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导 可 购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙2名志愿 延伸探究若将本例(2)“甲、乙、丙三人”改为“甲、 者不能从事翻译工作，则选派方案共有( 乙、丙、丁四人”，其它条件不变，则有多少种不同： A.280种B.240种C.180种 D.96种 的取法？ 题点三涂色问题 [典例]在生物学研究过程中， A B 常用高倍显微镜观察生物体 D E 细胞.已知某研究小组利用高 倍显微镜观察某叶片的组织细胞，获得显微镜下 局部的叶片细胞图片，如图所示，为了方便研究， 现在利用甲、乙、丙、丁四种不同的试剂对A,B, C,D,E,F这六个细胞进行染色，其中相邻的细 胞不能用同种试剂染色，且甲试剂不能对C细胞 染色，则共有 种不同的染色方法（用数 字作答). 第六章计数原理 听课记录 (2)以颜色为主分类讨论法，适用于“区域、点、 线段”问题，用分类加法计数原理计算 (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色 问题 (4)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两 类，这是常用的分类标准. 对点训练 1.(1)如图所示，将一个四棱锥的每 一个顶点染上一种颜色，并使同 一条棱上的两个端点异色，如果 只有5种颜色可供使用，则不同 染色方法的种数为 (2)如图，一个地区分为5个 行政区域，现给地图着色，要 求相邻区域不得使用同一种 /方法技巧/ 颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方 涂色问题的四个解答策略 法共有 种（以数字作答） 涂色问题是考查计数方法的一种常见问题，由2，现有红、黄、蓝三种颜色，对如图 于这类问题常常涉及分类与分步，所以在高考： 所示的正五角星的内部涂色（分 题中经常出现，处理这类问题的关键是要找准： 割成六个不同区域)，要求每个 分类标准，求解涂色问题一般是直接利用两个！ 区域涂一种颜色且相邻部分（有 计数原理求解，常用的方法有： 公共边的两个区域)的颜色不 (1)按区域的不同以区域为主分步计数，并用分 同，则不同的涂色方法有 步乘法计数原理计算， A.48种B.64种C.96种 D.144种 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.(多选)甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一： A.4种 B.5种 排合影留念.若老师站在正中间，则下列选项中： C.6种 D.12种 恰有8种不同站法的是 ( )4.如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B, A.甲、乙都不与老师相邻 C,D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂 B.甲、乙都与老师相邻 法有 种. C.甲与老师不相邻，乙与老师相邻 B D.甲、乙相邻 C 2.某景观湖内有四个人工小 岛，为方便游客登岛观赏美 D 景，现计划设计三座景观桥 5.空间中不共面的4点A,B,C,D,若其中3点到 连通四个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接， 平面。的距离相等且为第四个点到平面。的 则设计方案的种数最多是 ( B.12 C.16 D.24 倍，这样的平面a的个数为 ( A.8 3.甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能 A.8 B.16 踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被 C.32 D.48 踢回甲，则不同的传递方式共有 )温馨提示 请做课时分层检测（二）