精品解析：江西南昌市莲塘第一中学2025-2026学年高二下学期4月数学纸质作业

莲塘一中2025—2026学年度下学期4月数学纸质作业 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列 满足 ，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，则由等差数列的通项公式代入可得： . 故选：B. 2. 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义及已知求导数值. 【详解】由题意，知. 故选：B 3. 设等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列前项和的性质，，，，成等比数列求解. 【详解】解：因为数列为等比数列，则，，成等比数列， 设，则，则， 故，所以，得到，所以. 故选：C. 4. 已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则使得为整数的正整数的值不能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】由等差中项的性质和等差数列的求和公式得出，进而可得出为15的正约数，由此可得出正整数的可能取值． 【详解】由题意可得， 则， 由于为整数，则为15的正约数，则的可能取值有3、5、15， 因此，正整数的可能取值有2、4、14. 5. 若数列为单调递增数列，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得恒成立，进而求出的范围，进而得的范围. 【详解】数列为单调递增数列，且，， ，，即， 因为是关于n的单调递增函数，当时， 取得最小值．所以， 所以， 则． 6. 正数数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列的第五项为（ ） A. 180 B. 112 C. 16 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差等比数列通项，建立方程组可求解，即可作出判断． 【详解】设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为，，80，，． 于是得，解方程组，得或， 所以这个正数数列是20，40，80，96，112或180，120，80，16，（舍）， 所以这个数列的第五项为112. 7. 设，，…，，…满足，，若对于任意的，都有，则（ ） A. 4030 B. 4040 C. 4050 D. 4060 【答案】C 【解析】 【分析】将递推式进行递推然后作差得到方程，证明其中一个因式不恒为0，即可得到另一个因式恒为0，得到周期，即可计算. 【详解】 因为 所以 两式作差整理得 所以 因为，所以不恒为0 所以． 则，，，又， 所以 8. 记数列的前项和为，若，则的值不可能为（ ） A. 96 B. 98 C. 100 D. 102 【答案】D 【解析】 【分析】根据和的关系分析及特例求解判断即可. 【详解】当时，，设， 当时，，则， 即，所以， 时取等，故D错误； 若，，且，，， 此时； 若，，且，，， 此时. 故A，B，C正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 数列是递减数列 B. 当时，最大 C. 使得成立的最小自然数 D. 数列中的最小项为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件分析出，，，求出公差，即可判断A，B；由等差数列的前项和公式求出，即可判断C；分别判断当，，时，的正负，再结合数列的单调性确定最小项，即可判断D. 【详解】由，可得， 由，可得，即，又因为，所以. 因为数列是等差数列，所以，所以数列是递减数列， 故A正确； 由A知数列是递减数列，且，，所以当时，最大， 故B正确； 由等差数列的前项和公式可知，， ， 所以使得成立的最小自然数，故C错误； 当时，； 当时，； 当时，， . 因为，所以， 又因为，所以， 所以， 所以，所以在时为增函数， 所以数列中的最小项为，故D正确. 故选：ABD 10. 已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，且，，则（ ） A. 数列是递增数列 B. 数列是递减数列 C. 若数列是递增数列，则 D. 若数列是递增数列，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】写出的表达式，根据，，得到或，由此即可判断AB，进一步根据递增数列的定义分别与的关系即可判断CD. 【详解】由题意可知，且，， 故有且（否则若，则的符号会正负交替，这与，，矛盾）， 也就是有或， 无论如何，数列是递增数列，故A正确，B错误； 对于C，若数列是递增数列，即，由以上分析可知只能，故C正确； 对于D，若数列是递增数列，显然不可能是，（否则的符号会正负交替，这与数列是递增数列，矛盾）， 从而只能是，且这时有，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知正项数列的前项和为，则下面结论正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差数列的定义，并求出其通项公式，可判断ABC选项；利用等比数列的定义，并求出其通项公式，可判断D选项. 【详解】由题意，正项数列的前项和为，且． 对于A,是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，可得，故，A对； 对于B，， 所以是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，则，故，B正确； 对于C，由， ， 所以，即， 故以为首项，以为公差的等差数列，， 所以，所以， 所以，故C错误； 对于D，，当且仅当时，取等号， 所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以，故，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前n项和，且满足，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据等比数列的前n项和求解即可． 【详解】由题意，等比数列的前n项和． 而，解得． 13. 银行一年定期储蓄存款年息为r，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于______． 【答案】 【解析】 【分析】设本金为1，则由题意可得，从而可求出的范围 【详解】设本金为1，按一年定期存款，到期自动转存收益，三年总收益为； 若按三年定期存款，三年的总收益为3q． 为鼓励储户三年定期存款，应使，即． 故答案为： 14. 已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，若也是公差为的等差数列，则的通项为__________. 【答案】an＝2或an 【解析】 【分析】等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，若数列也是公差为d的等差数列，可得，当n≠1时可化为d2n2+（2d）n+（），再根据对应系数相等解方程组即可． 【详解】依题意，等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，若数列也是公差为d的等差数列， 可得， 当n≠1时，可化为d2n2+（）n+（）， 即，解得或者， 所以an＝2，或者an． 故答案为：an＝2或an． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，属于难题．解题时要注意前n项和公式的灵活选取与应用． 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，且，公差；数列为等比数列，且，是和的等差中项，是和的等差中项． （1）求数列，的通项公式； （2）记数列的前n项和为，且，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件将分别用含的式子表示出来，由列方程可解得，进而求解； （2）首先求出的通项公式，分组求和，注意掌握公式的应用. 【小问1详解】 因为，，是和的等差中项，是和的等差中项， 所以， 故，， 因为数列为等比数列，所以， 即，整理得，解得或. 因为，所以， 所以，，， 故， 等比数列的公比. 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，. 则， 所以 ． 16. 某牧场今年年初羊的存栏数为2000，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头羊.记该牧场今年年初羊的存栏数为，第年年初羊的存栏数为. （1）求，的值； （2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （3）问该牧场第几年年初羊的存栏数超过3000？（参考数据：，） 【答案】（1）2210，2331 （2） 由题意可得，所以． 因为，所以， 所以是以1000为首项，为公比的等比数列， （3）第9年 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出，进而求得. （2）根据题意列出的递推关系式，然后变形化简得到是以1000为首项，为公比的等比数列，最后根据等比数列的通项公式计算即可. （3）根据（2）的结论列出不等式，然后求解不等式即可. 【小问1详解】 由题意得，则， ， ． 【小问2详解】 则，即． 【小问3详解】 由（2）得，则，即2， 两边取常用对数得， 所以， 则该牧场第9年年初羊的存栏数超过3000． 17. 设是正项数列，且其前项和为，已知． （1）求数列的通项公式； （2）令，求的前项和； （3）令，记，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求得的值，然后结合递推关系式整理可得数列为等差数列，结合等差数列通项公式可得数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用分组法与裂项相消法求和即可； （3）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可； 【小问1详解】 当时，，解得， 当且时，， ∴， 整理可得：， ∵，∴，∴， ∴数列以为首项，为公差的等差数列， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴． 【小问3详解】 由（1）可得：， 所以． 18. 在数列中，且． （1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． （2）记数列的前n项和为，数列满足． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）求； （ⅲ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 在数列中，且， 则，， 所以数列是以1为公差的等差数列， ，即. （2）（ⅰ）； （ⅱ）； （ⅲ）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合等差数列定义推理得证并求出通项公式. （2）（ⅰ）由（1）的结论，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式；（ⅱ）利用错位相减法求和即得；（ⅲ）由（ⅱ）求出，再分奇偶，结合恒成立问题求出范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）当时，，即， 当时，由， 得， 两式相减，得，即，而满足上式， 所以的通项公式为. （ⅱ）由（ⅰ）得， 则， 两式相减得， 所以. （ⅲ）， 当n为奇数时，由，得， 而数列递减，恒成立，则，即； 当n为偶数时，由，得，即， 而数列递减，则， 所以实数的取值范围为. 19. 首项为正数的数列满足，． （1）证明：若为奇数，则对一切，都是奇数； （2）证明：若时，，都有； （3）若对一切，都有，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）（2）利用数学归纳法进行证明； （3）利用，得到不等式，求出或，作差法得到与，从而对，都有，得到的取值范围． 【小问1详解】 证明：已知是奇数，假设是奇数，其中m为正整数， 则由递推关系得是奇数， 根据数学归纳法，对任何，都是奇数． 【小问2详解】 证明：当时，左式， 右式， 又， 当时，成立， 则时， ． 根据数学归纳法，若时，，都有． 【小问3详解】 解法一：由知，当且仅当或， 另一方面，若，则；若，则， 根据数学归纳法，，，；，． 综合所述，对一切都有的充要条件是或． 解法二：由，得，于是或， ， 又，，则所有的均大于0，因此与同号． 根据数学归纳法，，与同号． 因此，对一切都有的充要条件是或． 解法三（不动点法）：记，则，，于是为凸函数． 则不动点满足，则得到不动点方程，解得不动点，， 由对一切，都有得数列为递增，所以或， 又，故的取值范围或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莲塘一中2025—2026学年度下学期4月数学纸质作业 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列 满足 ，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 设等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则使得为整数的正整数的值不能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 14 5. 若数列为单调递增数列，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 正数数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列的第五项为（ ） A. 180 B. 112 C. 16 D. 48 7. 设，，…，，…满足，，若对于任意的，都有，则（ ） A. 4030 B. 4040 C. 4050 D. 4060 8. 记数列的前项和为，若，则的值不可能为（ ） A. 96 B. 98 C. 100 D. 102 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 数列是递减数列 B. 当时，最大 C. 使得成立的最小自然数 D. 数列中的最小项为 10. 已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，且，，则（ ） A. 数列是递增数列 B. 数列是递减数列 C. 若数列是递增数列，则 D. 若数列是递增数列，则 11. 已知正项数列的前项和为，则下面结论正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前n项和，且满足，则________． 13. 银行一年定期储蓄存款年息为r，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于______． 14. 已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，若也是公差为的等差数列，则的通项为__________. 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，且，公差；数列为等比数列，且，是和的等差中项，是和的等差中项． （1）求数列，的通项公式； （2）记数列的前n项和为，且，求． 16. 某牧场今年年初羊的存栏数为2000，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头羊.记该牧场今年年初羊的存栏数为，第年年初羊的存栏数为. （1）求，的值； （2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （3）问该牧场第几年年初羊的存栏数超过3000？（参考数据：，） 17. 设是正项数列，且其前项和为，已知． （1）求数列的通项公式； （2）令，求的前项和； （3）令，记，求． 18. 在数列中，且． （1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． （2）记数列的前n项和为，数列满足． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）求； （ⅲ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 19. 首项为正数的数列满足，． （1）证明：若为奇数，则对一切，都是奇数； （2）证明：若时，，都有； （3）若对一切，都有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $