专题01一元一次不等式易错必刷题型专项训练(20大题型共计60道题)2025-2026学年沪教版五四制七年级数学下册

专题01一元一次不等式易错必刷题型专项训练 易错必刷题型 题型01.不等式的性质 题型02.求一元一次不等式的解集 题型03.在数轴表示不等式解集 题型04.求一元一次不等式的整数解 题型05.求一元一次不等式解的最值 题型06.列一元一次不等式 题型07.一元一次不等式实际应用 题型08.一元一次不等式几何应用 题型09.求不等式组的解集 题型10.求不等式组的整数解 题型11.由解集求不等式组参数 题型12.由解集情况求参数 题型13.不等式组与方程组结合 题型14.列一元一次不等式组 题型15.不等式组的工程问题 题型16.不等式组的工程问题 题型17.不等式组的经济问题 题型18.不等式组的分配问题 题型19.不等式组的方案选择问题 题型20.不等式组的阶梯剃收费问题 易错必刷题型01.不等式的性质 易错点：两边乘除负数，不等号方向忘记变号，考试最容易丢分 1.若a<b,则下列不等式成立的是() A.a+3>b+3 B.-2a<-2b C. D.a-4<b-4 55 2.若m>3,则-2m的取值范围是 你推理的依据是 3.已知a,b,c为实数且a>b,则下列说法中：①2-a<2-b,②a+1>b+2,③a2>b2, @c2>c2,回。，正确的个数是（） b A.4 B.3 C.2 D.1 易错秘必刷题型02.求一元一次不等式的解集 试卷第1页，共3页 易错点：去分母漏乘常数项，移项忘记变号，负数系数化1不等号写反 4.不等式2x-9<3的解集为 5.一元一次不等式x≤a的解集有且只有两个非负整数，则a的取值范围是() A.2≤a<3 B.1<a≤2 C.1≤a<2 D.0≤a≤1 6已知代数式2的值不大于代数式8的能。 6 (I)求x的取值范围； (2)在x的取值范围中，若x的最小整数值满足方程2x-3a=6,求a的值. 00 易错必刷题型03.在数轴表示不等式解集 易错点：空心实心圆点乱用，大于小于开口方向画反 7.写出一个关于x的一元一次不等式，使其解集在数轴上的表示如图所示. 32901234→ 8.不等式x-3x-2)≥4的解集在数轴上表示为() A.2-10 B. 12 -2-10 c.2-10 D 2 -2-1 0 Q,解不等式：1上，2<并把它的解集在数轴上表示出农 -5 -4-3-2-1012345 易错必刷题型04.求一元一次不等式的整数解 易错点：边界整数漏算、多算，端点等号分不清该不该取 10.不等式的4x-4≤3+x非负整数解为 11.下列说法中，正确的是() A.不等式2x<-8的解集是x<4 B.x=0是不等式2x<-8的一个解 C.不等式2x<-8的整数解有无数个D.不等式2x<-8的正整数解有3个 试卷第1页，共3页 12.若不等式2(x+1)-5<3x-1)+4的最小整数解是关于x的方程二x-mx=5的解，求式子 m2-2m+2026的值. 易错秘刷题型05.求一元一次不等式解的最值 易错点：分不清能否取等号，最大最小值判断错误 13.满足不等式x≥2的x的最小值是a,满足不等式x≤-6的x的最大值是b,则a+b= 14.已知实数x,y,z满足x+y=3,x-z=6.若x2-4y,则x+y+z的最大值为() A.1 B.2 C.3 D.4 15.有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时B区就会自动减去1， 且均显示计算结果，己知A,B两区初始显示的数分别是-3和7 (I)按键1次后，求A,B两区显示的结果的和； (2)若按键次后，A区的结果大于B区的结果，求的最小值. 00 易错必刷题型06.列一元一次不等式 易错点：至少、最多、不超过、不少于理解错，不等号列反 16.的}与-5的差不小于3，用不等式表示为 17.小华将某文具店的促销活动内容告诉小军后，小军假设某一文具的定价为x元，并列出 不等式0.8(2x-10)<40,则下列可能是小华告诉小军的内容是() A.买两件等值的商品可减10元，再打2折，最后不到40元 B.买两件等值的商品可打2折，再减10元，最后不到40元 C.买两件等值的商品可减10元，再打8折，最后不到40元 D.买两件等值的商品可打8折，再减10元，最后不到40元 18.某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表： 一户居民每月用电量x(单位：度) 电费价格（单位：元/度） 0<x≤200 0.48 200<x≤400 0.53 试卷第1页，共3页 x>400 0.78 七月份是用电高峰期，李叔叔计划七月份电费支出不超过200元，请列出关于x的不等式. 易错必刷题型07.一元一次不等式实际应用 易错点：找不准不等关系，忽略实际未知数是正整数 19.在一场篮球比赛中，某队罚球得分10分，投进2分球和3分球共48个，如果这支球队 在本场比赛中总得分超过110分，则他们至少投进 个3分球， 20.某商店老板以每件80元购进一批熊猫主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减 少库存，老板准备打折出售，但要使利润率不低于10%，若设该卫衣打x折销售，则可列式 为() A.110x-80≤80×10% B.110x-80≥110×10% C.110×x-80≥80×10% 10 D.110×x-80≥110×10% 10 21.2026马年春晚以“骐骥驰骋势不可挡”为主题，推出了四款吉祥物骏马微章，分别是“骐 骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”.某校组织师生观看春晚后，计划购买“骐骐”“骥骥”这两款徽 章共40枚作为活动纪念品.己知“骐骐”徽章每枚22元，“骥骥”徽章每枚16元. (1)若该校购买这两款微章共花费760元，求购买“骐骐”徽章的数量； (2)如果学校购买“骐骐”徽章的数量不少于“骥骥”微章数量的；，求至少购买“骐骐 徽章多少枚？ 易错必刷题型08.一元一次不等式几何应用 易错点：不会把几何边长、角度条件转化成不等式 22.如果一个锐角不大于它的余角，那么这个锐角最大为 度 23.用长为40m的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度AC=30m,要使靠墙 的一边长不小于25m,那么与墙垂直的一边长x(m)的取值范围为() 试卷第1页，共3页 30m A.0≤x≤5 B.x≥10 C.0sxs10 0≤x≤5 D. 24.如图，数轴上点0为原点，点A、B、C表示的数分别是m+1,2-m,9-4m. 9-4m 2-m m1, C B 0 A (I)AB=-·(用含m的代数式表示) ②当BC-B≥)时，求m的最小厘 易错必刷题型09.求不等式组的解集 易错点：公共解集找错，解集口决记混，单个不等式求解出错 [3(x+1)>x-1 25.不等式组 3术+3≥2 的整数解是 26.已知关于x的不等式3x-a<0的正整数解恰好是1、2、3，则a的取值范围是() A.9≤a<12 B.6≤a<9 C.9<a≤12 D.6<a≤9 27.解下列不等式（组），并将它们的解集在数轴上表示出来 (①)x-2≥7-x 23 3x-2<2x (②)1x-1≤2x+1 2 易错必刷题型10.求不等式组的整数解 易错点：公共解集范用看错，漏端点整数，丢分率最高 x+3<2x-1 28.关于x的不等式组 的整数解是 2x+1<x+8 x<5 29.已知关于x的不等式组 的所有整数解的和是9，则α的取值范围是() x>a A.1<a<2 B.1<a≤2 C.1≤a<2 D.1≤a≤2 试卷第1页，共3页 4x-2≥3(x-1)① 30.解不等式组： 2-x-1>x ②’并写出它的所有整数解。 32 易错必刷题型11.由解集求不等式组参数 易错点：端点等号取舍判断错误，参数范围算错 x<m 31.若不等式组 的解集是x<m,则m的取值范围是 -x+1>x-3 1 32.已知关于x的不等式ar-b>0的解集是x<年，则关于x的不等式a+b)x<36-a的解 集是() A.x> B C.x>_I 5 D 33.定义新运算：对于任意数a,b,规定a⑧b=2a-b. (1)计算：3⑧(-2】 (2)若x⑧3>5，求x的取值范围； 1⑧x≤3 (3)若关于x的不等式组 的解集为x>-1,求m的值. m☒x<7 易错必刷题型12.由解集情况求参数 易错点：有解、无解、整数解个数条件分析错，漏多种情况 x≥4 34.若关于x的不等式组 的解集是x>a,则a的取值范围是 x>a x-1<2x-7 35.已知关于x的不等式组 无解，那么m的取值范围是() x<m A.m≤6 B.m>6 C.m<6 D.m≥6 36.关于x,y的方程组 x+2y=2m+9 的解满足x+y≤0 2x+y=m-3 (1)求m的取值范围； x-4<-只有3个整数解，求满足条件的所有整数m的和。 5x-m>0 (2)若关于不等式组 试卷第1页，共3页 易错必刷题型13.不等式组与方程组结合 易错点：方程组解错，不会代入不等式列式，计算失误多 x-2y=2a 37.己知关于x,y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 2x+5y=a-6 38.若方程组 3x+y=k+1 的解x,y满足0<x+y<2,则k的取值范围是() x+3y=3 A.-4<k<0 B.-4<k<4 C.0<k<8 D.k>-4 2x-y=1-4a① 39.已知方程组 的解满足-1<x+y<3, x+4y=2+a② (I)求a的取值范围； (2)在(1)的条件下，当a为何整数时，不等式2ax+x>2a+1的解集为x<1? 易错必刷题型14.列一元一次不等式组 易错点：题目多个限制条找不全，漏列不等式、不等号写错 40.某地区新能源汽车保有量达到200万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量 的60%.则纯电动汽车的保有量m(单位：万)可以用不等式（组）表示为 41.“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购 买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每 个排球100元.求共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组为() 150x+100(30-x)<3600 150x+100(30-x)≤3600 A. x>0- x0- 150x+100(30-x)≤3600 150x+100(30-x<3600 C 引0-刘 20- 42.应用意识用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为xg.已知这 两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克》 600 100 试卷第1页，共3页 原料价格/（元/千克）》 现配制这种饮料10kg,要求含有4200单位以上的维生素C. (1)请列出x应满足的不等式： (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式. 易错必刷题型15.不等式组的行程问题 易错点：行程等量关系混淆，时间路程限制条件列错 43.方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为vkm/h,已知行驶速度限 定为不超过120km/h，,若他以80km/h的平均速度行驶，则需6h到达目的地；若他必须要 在5h内（包括5h)到达乙地，则v的取值范围是. 44.为梦想续航，向美好奔赴.1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开 跑.3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春.为了在比 赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，己知甲、乙、丙的 速度(m/s均为整数，不低于5ms,不高于10ms,乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持 不变.10日甲乙练习时间之比为5：6，丙练习时间比甲少20%，10日他们一共跑了1404m. 11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的50%，乙增加的时间是丙 增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了2256m,则 甲的速度为m/s,11日三人练习时间之和为s. 45.如图(1)，A,B两地间的公路长360km,其中有一段长10km的施工道路MN,，M距离 A地200km·甲、乙两辆轿车分别从A,B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出 发20min·在非施工道路（其限速情况如图(2）所示)，甲车始终以100km/h的速度行驶， 乙车始终以Vkm/h的速度行驶；在施工道路，两车均以40km/h的速度行驶. 120 60 ■■■ 100 60 M 。 100 60 图(1) 图(2) (1)若V=90. 试卷第1页，共3页 ①甲车出发2h时，甲车行至 处，乙车行至 处；（填“W'或“MN的中点”） ②甲车行至MW的中点时，乙车行驶的时间为h (2)已知两车在P处相遇， ①若P与N重合，求V的值： ②若P在非施工道路上(P不与M,N重合)，直接写出V的取值范围. 易错必佩刷题型16.不等式组的工程问题 易错点：工作效率、总量、工期关系理不清，列式容易出错 46.某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队 来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用 的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同. (1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米？ (2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单 位)的方案有几种？请你帮助设计出来 47.沅陵一中有360张旧课桌需维修，经过甲、乙两个维修小组的竞标得知，甲组工作效率 是乙组的1.5倍，且甲组单独维修完这批旧课桌比乙组单独维修完这批旧课桌少用5天；己 知甲组每天需要付工资800元，乙组每天需要付工资400元； (1)求甲、乙两个小组每天各维修多少张旧棵桌？ (2)学校维修这批旧课桌预算资金不超过7200元，时间不超过12天，请你帮学校算一算有 几种维修方案（天数不足1天的按1天算）；每种方案需要多少钱？ 48.2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个 工程队参与该项目施工.该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施 工则会超过规定工期80天.施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完 成，恰好如期完成 (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短 工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队 单独施工，恰好按缩短后的总工期完成.请给出所有可行具体施工方案（合做天数α和总工 期均为正整数) 试卷第1页，共3页 易错必刷题型17.不等式组的经济问题 易错点：成本利润折扣混淆，金额不等关系列错 49.某商场购进A,B两种商品，A商品每件的进价为100元，B商品每件的进价为60元， 该商场计划购进A,B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍.若 A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A,B两种商品后获得 的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数为多少？ 50.A笔记本单价5元，B笔记本单价3元，共采购60本；要求：总费用不超过260元，A 数量不少于B的2 (1)求A款最少购买多少本； (②)直接写出所有购买方案. 51.某商场为响应国家“绿色智能家电下乡”的惠农政策，决定采购一批智能家电，优惠销售 给农民朋友.商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同的智能家电共80件.其中，甲种智 能家电的件数是乙种智能家电件数的2倍，购买三种智能家电的总金额不超过13200元.己 知甲、乙、丙三种智能家电每件的出厂价格分别为120元、160元和200元，那么该商场购进 的乙种智能家电至少为多少件？ 易错必刷题型18.不等式组的分配问题 易错点：剩余、不足题意理解错，忽略数量必须为正整数 52.一堆玩具分给若千个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后 一个人得到的玩具数不足2件.求小朋友的人数与玩具数， 53.为了鼓励在秋季运动会期间表现积极的学生，八年级某班决定购买甲、乙两种图书作为 奖品.已知购买一本甲种图书与一本乙种图书共花费80元，用120元购进甲种图书与用200 元购进乙种图书的数量相同 (1)求甲、乙两种图书的单价分别为多少元/本： (②)该班计划购进甲、乙两种图书共20本，其中乙种图书的数量不少于5本，同时此次购书 的总资金不超过800元，求该班共有哪几种购买方案， 54.七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生.如 果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子 试卷第1页，共3页 不少于2个但少于4个.求参加端午节包粽子活动的学生的人数. 易错必刷题型19.不等式组的方案选择问题 易错点：可行方案找不全，最优方案选错，漏整数限制 55.某物流公司要运输一批70吨的货物，现有两种运输车辆可供选择：①甲型货车每辆可 运货物8吨，运费400元；②乙型货车每辆可运货物6吨，运费360元.若计划用两种货车 共10辆，一次性运完所有货物，且总运费不超过3800元，问有几种运输方案？哪种方案总 运费最低？最低运费是多少元？ 56.某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以 生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎.工厂计划生产甲、乙两款服装 共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍.假设能全部售完利润不低于166500 元，请通过计算设计该工厂所有可能的生产方案 57.近年来，我国人形机器人不断取得新的突破，许多中学生也在心中种下了一个科技梦.某 玩具店有A,B两款热销的机器人玩具，若购买1个A款机器人玩具和2个B款机器人玩具 共花费270元，购买2个A款机器人玩具比购买1个B款机器人玩具多花费140元. (1)求A,B两款机器人玩具的单价： (②)某机器人社团计划购买A,B两款机器人玩具共14个（两款都购买），恰逢该玩具店周年 店庆，A款机器人玩具打八折，B款机器人玩具打九折： ①若预算不超过1200元，则最多购买A款机器人玩具多少个？ ②若购买A款机器人玩具的数量不少于B款机器人玩具的3倍，请设计出最省钱的购买方 案，并说明理由。 试卷第1页，共3页 易错必刷题型20.不等式组的阶梯收费问题 易错点：分段区间划分不清，分段节点等号乱放，计费标准混淆 58.某市地铁票收费标准如下：不超过6km3元；超过6km到12km（含)4元：超过12km 到22km(含)5元；超过22km到32km(含)6元；超过32km部分，每增加1元可再乘 坐20km.一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为xkm,用不等 式表示x的范围 59.某市出租车起步价是8元(3km及3km以内为起步价)，以后每千米收费1.6元，不足 1km按1km收费.若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，则此出租车行驶的路 程可能为() A.5.5km B.6.9km C.7.5km D.8.1km 60.为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费.水价分三个等级：第一级为月用水量 17m3以下（包括17m3)；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3;第三级为月用水量 超过30m3(不包括30m3).下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不 完整). 居民生活用水消费明细 计费日期2025-7-1至2025-7-31 自来水费 污水处理费 单价1（元m3 单价/（元/m3 用水量/m3 金额/元 用水量m3 金额/元 ) 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） (注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费) 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3,且7月份的用水量超过6月份，但不超 过6月份的2倍. (1)设该居民7月份的用水量为xm3,求x的取值范围； 试卷第1页，共3页 (②)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量. 试卷第1页，共3页 专题01一元一次不等式易错必刷题型专项训练 题型01.不等式的性质 题型02.求一元一次不等式的解集 题型03.在数轴表示不等式解集 题型04.求一元一次不等式的整数解 题型05.求一元一次不等式解的最值 题型06.列一元一次不等式 题型07.一元一次不等式实际应用 题型08.一元一次不等式几何应用 题型09.求不等式组的解集 题型10.求不等式组的整数解 题型11.由解集求不等式组参数 题型12.由解集情况求参数 题型13.不等式组与方程组结合 题型14.列一元一次不等式组 题型15.不等式组的工程问题 题型16.不等式组的工程问题 题型17.不等式组的经济问题 题型18.不等式组的分配问题 题型19.不等式组的方案选择问题 题型20.不等式组的阶梯收费问题 易错必刷题型01.不等式的性质 易错点：两边乘除负数，不等号方向忘记变号，考试最容易丢分 1．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的基本性质逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A、若，则，原不等式不成立，故此选项不符合题意； B、若，则，原不等式不成立，故此选项不符合题意； C、若，则，原不等式不成立，故此选项不符合题意； D、若，则，原不等式成立，故此选项符合题意． 2．若，则的取值范围是__________，你推理的依据是__________． 【答案】 不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 【详解】解：∵， ∴， 推理的依据是：不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 3．已知为实数且，则下列说法中：，，③，④，⑤，正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用不等式性质逐个判断说法，统计正确个数即可得到结果． 【详解】解：已知，逐个判断： ①，不等式两边同乘，不等号方向改变，得，两边同加2，不等号方向不变，得，①正确； ② 举反例，取，满足，此时，，，不满足，②错误； ③ 举反例，取，满足，此时，不满足，③错误； ④ 当时，，不满足，④错误； ⑤对任意实数，，，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，得，⑤正确； 综上，正确的说法共2个． 易错必刷题型02.求一元一次不等式的解集 易错点：去分母漏乘常数项，移项忘记变号，负数系数化1不等号写反 4．不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质求解不等式即可． 【详解】解： ， 移项得， 合并同类项得， 解得． 5．一元一次不等式的解集有且只有两个非负整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确非负整数的定义，再根据不等式有且只有两个非负整数，确定符合条件的非负整数，进而推导的取值范围。 【详解】解：∵非负整数为 ，不等式的解集有且只有两个非负整数， ∴符合条件的两个非负整数只能是和， ∵解集需要包含和，且不能包含下一个非负整数， ∴可得． 6．已知代数式的值不大于代数式的值． (1)求x的取值范围； (2)在x的取值范围中，若x的最小整数值满足方程，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，再解不等式即可． （2）求解（1）中不等式的最小整数解，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：∵代数式的值不大于代数式的值， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． （2）解：∵ ∴符合条件的最小整数为， ∴的解为， ∴， ∴， 解得：． 易错必刷题型03.在数轴表示不等式解集 易错点：空心实心圆点乱用，大于小于开口方向画反 7．写出一个关于x的一元一次不等式______，使其解集在数轴上的表示如图所示． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先观察数轴确定不等式的解集，再根据解集构造一个一元一次不等式即可． 【详解】解：由数轴可知，空心圆圈在 处，且折线向右延伸， 不等式的解集为 ， 解集是 的一元一次不等式可以为 （答案不唯一）． 8．不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出不等式的解集即可判断． 【详解】解：， 去括号得，， 移项并合并同类项得，， 系数化为1得，． 9．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见详解 【分析】根据解一元一次不等式的步骤依次计算即可，再根据在数轴上表示方法表示出解集即可． 【详解】解： 解集在数轴上表示如下： 易错必刷题型04.求一元一次不等式的整数解 易错点：边界整数漏算、多算，端点等号分不清该不该取 10．不等式的非负整数解为______． 【答案】0，1，2 【分析】先求出一元一次不等式的解集，再从解集中找出符合要求的非负整数即可． 【详解】解： 移项得： 合并同类项得： 系数化为得： 不等式的非负整数解是，，． 11．下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有3个 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再结合不等式的解、解集的概念逐一判断选项即可． 【详解】解：解不等式得， A、该不等式解集为，不是，A错误； B、把代入不等式，得，不满足不等式，因此不是该不等式的解，B错误； C、不等式解集为，小于的整数有无数个，因此不等式的整数解有无数个，C正确； D、所有正整数都大于，且，因此不等式没有正整数解，D错误． 12．若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求式子的值． 【答案】 【分析】先求得不等式的最小整数解为．代入一元一次方程求得，再代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：， 解不等式，得． ∴不等式的最小整数解为． ∵不等式的最小整数解是关于x的方程的解， ∴将代入方程，得， 解得． ∴． 易错必刷题型05.求一元一次不等式解的最值 易错点：分不清能否取等号，最大最小值判断错误 13．满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的最大和最小值，根据题意可得a是不等式的最小值，b是不等式的最大值，据此可得a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b， ∴， ∴， 故答案为：． 14．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，用x表示z得到，则，所以，再利用，得到，解不等式得到，所以，然后解不等式得到t的最大值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为1． 15．有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，两区初始显示的数分别是和7． (1)按键1次后，求A，两区显示的结果的和； (2)若按键次后，A区的结果大于区的结果，求的最小值． 【答案】(1)5 (2)4 【分析】本题考查有理数的混合运算以及一元一次不等式，能根据题意分别列出算式和不等式是关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）根据A区的计算结果大于B区的计算结果列不等式，解出即可． 【详解】（1）解：按键1次后，，两区显示的结果的和； （2）解：由题意，得， 解得， 为整数， 的最小值为4． 易错必刷题型06.列一元一次不等式 易错点：至少、最多、不超过、不少于理解错，不等号列反 16．的与的差不小于3，用不等式表示为______． 【答案】 【分析】先根据题意写出对应代数式，再根据“不小于”的含义确定不等关系，即可列出不等式． 【详解】解：的表示为，的与的差为：，“不小于”即大于或等于， 因此列不等式得：． 17．小华将某文具店的促销活动内容告诉小军后，小军假设某一文具的定价为元，并列出不等式，则下列可能是小华告诉小军的内容是（    ） A．买两件等值的商品可减10元，再打2折，最后不到40元 B．买两件等值的商品可打2折，再减10元，最后不到40元 C．买两件等值的商品可减10元，再打8折，最后不到40元 D．买两件等值的商品可打8折，再减10元，最后不到40元 【答案】C 【分析】根据不等式的运算顺序，对应促销活动的步骤，明确不等式各部分的实际意义即可解答． 【详解】解：∵ 不等式为，表示两件定价为元的文具的总价， ∴表示买两件等值文具先减10元， ∵ 对减完10元的整体乘以，表示减价后再打8折， ∴表示最终花费不到40元，符合选项C的描述． 18．某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表： 一户居民每月用电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 0.48 0.53 0.78 七月份是用电高峰期，李叔叔计划七月份电费支出不超过200元，请列出关于x的不等式． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，先判断出用电量是否超过400度，然后根据不等关系：七月份电费支出不超过200元，分和两种情况列不等式即可． 【详解】解： （元）． 因为，李叔叔家计划七月份的电费支出不超过200元， 所以用电量不超过400度， 根据题意，当时，得； 当时，得 综上，关于x的不等式为． 易错必刷题型07.一元一次不等式实际应用 易错点：找不准不等关系，忽略实际未知数是正整数 19．在一场篮球比赛中，某队罚球得分10分，投进2分球和3分球共48个，如果这支球队在本场比赛中总得分超过110分，则他们至少投进________个3分球． 【答案】 【分析】设投进个3分球，则投进2分球的个数为，然后根据题意列不等式求解，并取最小整数值即可解答． 【详解】解：设投进个3分球，则投进个2分球， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为， 即他们至少投进个3分球． 20．某商店老板以每件80元购进一批熊猫主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，老板准备打折出售，但要使利润率不低于，若设该卫衣打折销售，则可列式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该卫衣打折销售，实际售价为，利润为，根据利润率是利润占进价的百分比，列出不等式即可． 【详解】解：设该卫衣打折销售， 则有． 21．2026马年春晚以“骐骥驰骋势不可挡”为主题，推出了四款吉祥物骏马徽章，分别是“骐骐” “骥骥” “驰驰” “骋骋”． 某校组织师生观看春晚后，计划购买 “骐骐” “骥骥” 这两款徽章共 40 枚作为活动纪念品． 已知 “骐骐” 徽章每枚 22 元，“骥骥” 徽章每枚 16 元． (1)若该校购买这两款徽章共花费 760 元，求购买 “骐骐” 徽章的数量； (2)如果学校购买 “骐骐” 徽章的数量不少于 “骥骥” 徽章数量的 ，求至少购买 “骐骐” 徽章多少枚？ 【答案】(1)20枚 (2)14枚 【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式的应用，根据已知条件列出方程和不等式是解题的关键． （1）设购买 “骐骐” 徽章枚，则购买“骥骥” 徽章枚，根据题意列出方程，解方程即可； （2）设购买 “骐骐” 徽章枚，则购买“骥骥” 徽章枚，根据题意列出不等式，据此求解即可． 【详解】（1）解：设购买 “骐骐” 徽章枚，则购买“骥骥” 徽章枚， 由题意得：， 解得：， 即购买 “骐骐” 徽章的数量为20枚； （2）解：设购买 “骐骐” 徽章枚，则购买“骥骥” 徽章枚， 由题意得：， 解得：， 则至少购买 “骐骐” 徽章14枚． 易错必刷题型08.一元一次不等式几何应用 易错点：不会把几何边长、角度条件转化成不等式 22．如果一个锐角不大于它的余角，那么这个锐角最大为________度． 【答案】 【分析】设一个锐角度数为，则它的余角为，根据题意得到不等式，再解不等式即可． 【详解】解：设一个锐角度数为，则它的余角为， 由题意得，， 解得， ∴这个锐角最大为度． 23．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 24．如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键． （1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解． （2）利用，建立方程求得，求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∵，， ∴， ∴， m最小取． 易错必刷题型09.求不等式组的解集 易错点：公共解集找错，解集口诀记混，单个不等式求解出错 25．不等式组的整数解是_____． 【答案】，0，1 【分析】先分别解两个一元一次不等式，确定两个不等式解集的公共部分得到不等式组的解集，再在解集范围内找出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得． 解不等式②得． 因此不等式组的解集为． 则不等式组的整数解为，0，1． 26．已知关于x的不等式的正整数解恰好是1、2、3，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出不等式的解集，根据题意，得到关于的不等式组，进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式的正整数解恰好是1、2、3， ∴， ∴. 27．解下列不等式（组），并将它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出解集，再将解集表示在数轴上； （2）先分别求出每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集，再表示在数轴上． 【详解】（1）解： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 在数轴上表示如下： （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴ 不等式组的解集为 ， 在数轴上表示如下： 易错必刷题型10.求不等式组的整数解 易错点：公共解集范围看错，漏端点整数，丢分率最高 28．关于x的不等式组的整数解是______． 【答案】5和6 【分析】根据不等式组解集的确定原则得到不等式组的解集后，即可找出解集内的整数解． 【详解】解：， 解不等式①得，. 解不等式②得，. 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为，． 29．已知关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，再根据整数解的和为9确定符合条件的整数解，进而得到a的取值范围． 【详解】解：由不等式组可得解集为． ∵所有整数解的和为9，且，因此符合条件的整数解为2，3，4． 若，则整数解包含1，此时所有整数解的和为，因此． 若，则整数解不包含2，此时所有整数解的和为，因此． 综上，的取值范围是． 30．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】 ，不等式组的所有整数解为，，， 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再得到不等式组的公共解集，最后找出解集范围内的所有整数即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为，，，． 易错必刷题型11.由解集求不等式组参数 易错点：端点等号取舍判断错误，参数范围算错 31．若不等式组的解集是，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：解不等式 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∵不等式组的解集是， ∴． 32．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知不等式的解集确定的符号，与的数量关系，再代入待解不等式，结合不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵ ， 移项得， 又∵该不等式的解集为 ， ∴，且 ， 可得， 由得， 将代入不等式，得， ∴， ∴． 33．定义新运算：对于任意数a，b，规定 ． (1)计算： (2)若 ，求x的取值范围； (3)若关于x的不等式组 的解集为，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义即可求解； （2）根据新定义可得不等式，解之即可得到答案； （3）根据新定义可得不等式组，求出此不等式的解集，再根据不等式组的解集为即可求出m的值． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， 解得， ∵解集为， ， 解得． 易错必刷题型12.由解集情况求参数 易错点：有解、无解、整数解个数条件分析错，漏多种情况 34．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式组解集的“同大取大”规律，即可确定的取值范围． 【详解】解：不等式组的解集是， 根据同大取大的原则，可得． 35．已知关于x的不等式组无解，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，依据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”即可得出答案． 【详解】解：解不等式 移项得 合并同类项得 系数化为得 ∵不等式组无解， ∴根据“大大小小找不到”的原则，可得． 36．关于的方程组的解满足． (1)求m的取值范围； (2)若关于不等式组只有3个整数解，求满足条件的所有整数的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）得出，再根据得出m的不等式，解不等式即可； （2）先求出不等式组的解集得出，再根据不等式组只有3个整数解，得出，再根据，得出，最后求出所有整数的和即可． 【详解】（1）解：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为． 易错必刷题型13.不等式组与方程组结合 易错点：方程组解错，不会代入不等式列式，计算失误多 37．已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为_______． 【答案】0， 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解、解一元一次不等式组，先解方程组，用a表示方程组的解，根据方程组的解都为负数得到关于a的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：解关于x，y的方程组 ，得， ∵该方程组的解都为负数， ∴，即， ∴， ∴整数a的值为，， 故答案为：0，． 38．若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出的表达式，再建立不等式组求解是解题的关键．先将方程组中的两个方程相加，求出关于的表达式，再根据列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解： ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：． 故选：B ． 39．已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，当a为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两个方程相加求出，结合，得到关于的不等式组，进行求解即可； （2）根据不等式的性质，得到，进行求解即可。 【详解】（1）解：，得， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）解：∵不等式的解集为， ∴， ∴， 由（1）知：； ∴， ∴. 易错必刷题型14.列一元一次不等式组 易错点：题目多个限制条件找不全，漏列不等式、不等号写错 40．某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为______． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组，根据题意列出不等式组即可，读懂题意，找出不等关系，列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 即． 故答案为：． 41．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 42．应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 【答案】(1) (2)且且． 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）先求出所需乙种原料的质量为，再根据要求含有4200单位以上的维生素列出不等式即可得； （2）先求出所需乙种原料的质量为，再根据含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，列出不等式即可得． 【详解】（1）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素， ∴． （2）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元， ∴且且． 易错必刷题型15.不等式组的行程问题 易错点：行程等量关系混淆，时间路程限制条件列错 43．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 44．为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【答案】 5 288 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为，根据三人的速度不低于，不高于列出不等式组可求出，则甲的速度为，则乙的速度为；设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为，根据路程等于速度乘以时间可得；设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为，则甲增加的时间为，根据甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，推出；根据路程等于速度乘以时间可得，联立①②，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴甲的速度为，则乙的速度为； 设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为， ∵10日他们一共跑了， ∴， ∴ 设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为， ∴甲增加的时间为， ∵甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍， ∴， ∴； ∵11日他们一共跑了， ∴， ∴， ∴， 联立①②，解得， ∴， ∴11日三人练习时间之和为； 故答案为：5；288． 45．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 易错必刷题型16.不等式组的工程问题 易错点：工作效率、总量、工期关系理不清，列式容易出错 46．某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同. （1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？ （2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来. 【答案】（1）甲、乙工程队每天分别能铺设米和米. （2）所以分配方案有3种． 方案一：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米； 方案二：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米； 方案三：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米． 【分析】（1）设甲工程队每天能铺设x米．根据甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同，列方程求解； （2）设分配给甲工程队y米，则分配给乙工程队（1000-y）米．根据完成该项工程的工期不超过10天，列不等式组进行分析． 【详解】（1）解：设甲工程队每天能铺设米，则乙工程队每天能铺设（）米. 根据题意得：.解得. 检验:是原分式方程的解. 答：甲、乙工程队每天分别能铺设米和米. （2）解：设分配给甲工程队米，则分配给乙工程队（）米. 由题意，得 解得． 所以分配方案有3种． 方案一：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米； 方案二：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米； 方案三：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米． 47．沅陵一中有360张旧课桌需维修，经过甲、乙两个维修小组的竞标得知，甲组工作效率是乙组的1.5倍，且甲组单独维修完这批旧课桌比乙组单独维修完这批旧课桌少用5天；已知甲组每天需要付工资800元，乙组每天需要付工资400元； （1）求甲、乙两个小组每天各维修多少张旧棵桌？ （2）学校维修这批旧课桌预算资金不超过7200元，时间不超过12天，请你帮学校算一算有几种维修方案（天数不足1天的按1天算）；每种方案需要多少钱？ 【答案】（1）甲每天维修张36旧课桌，乙每天维修24张旧课桌；（2）甲负责216张旧课桌，乙负责144张旧课桌，需要费用为7200元 【分析】（1）设乙小组每天各维修x张旧课桌，根据题意列出方程即可求出答案； （2）分别计算甲乙单独完成该项工作的天数，设甲负责m张旧课桌，则乙负责（360﹣m）张旧课桌，根据题意可列出关于m的一元一次不等式组，得出m的值即可得出答案． 【详解】（1）设乙小组每天维修x张旧课桌， ∴甲小组每天维修1.5x张旧课桌， 根据题意可知： ， 解得：x＝24， 经检验，x＝24是原分式方程的解， 答：甲每天维修张36旧课桌，乙每天维修24张旧课桌； （2）由甲单独负责，此时完成工作需要＝10天，需要费用为10×800＝8000元， 由乙单独负责，此时完成工作需要＝15天，需要费用为15×400＝6000元， 故由甲或乙单独负责该项目都不符合题意，需要考虑甲乙合作完成， 设甲负责m张旧课桌，则乙负责（360﹣m）张旧课桌， ∴， 解得：m＝216， 此时学校需要付费为：800×+400×＝7200元 答：由甲负责216张旧课桌，乙负责144张旧课桌，需要费用为7200元． 【点睛】本题考查分式方程及一元一次不等式组的应用，解题的关键是正确找出等量关系列出方程． 48．2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 【答案】(1)120天 (2)当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用； （1）设这项工程的规定工期是t天，根据甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成，再建立分式方程求解即可； （2）由（1）求解甲队工作效率，乙队工作效率，设缩短后总工期t天，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程的规定工期是t天， 根据题意得：， 解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：这项工程的规定工期是120天； （2）解：由（1）得甲队工作效率，乙队工作效率， 设缩短后总工期t天， 根据题意得：， 解得：， ∵，均为正整数且由实际可知， ∴， 得 故当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 易错必刷题型17.不等式组的经济问题 易错点：成本利润折扣混淆，金额不等关系列错 49．某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？ 【答案】购进商品的件数为19或20件 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用；设购进件商品，则购进件商品，根据题意列出一元一次不等式组，计算求解即可． 【详解】解：设购进件商品，则购进件商品，根据题意得： 解得：， 整数值为19或20． 答：购进商品的件数为19或20件． 50．A笔记本单价5元，B笔记本单价3元，共采购60本；要求：总费用不超过260元，A数量不少于B的 (1)求A款最少购买多少本； (2)直接写出所有购买方案． 【答案】(1)A最少买20本 (2)第1种A款20本，B款40本；第2种A款21本，B款39本；……；第21种：A款40本，B款20本 【分析】（1）设A款买x本，则B款买本，根据总费用不超过260元、A数量不少于B的列不等式组求解即可； （2）根据（1）中x的取值范围写出所有购买方案即可． 【详解】（1）解：设A款买x本，则B款买本，由题意，得 ， 解得， 所以A最少买20本； （2）解：∵， ∴x可取∶20、21、22、……、40，共21种方案， 方案：第1种A款20本，B款40本；第2种A款21本，B款39本；……；第21种：A款40本，B款20本． 51．某商场为响应国家“绿色智能家电下乡”的惠农政策，决定采购一批智能家电，优惠销售给农民朋友．商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同的智能家电共件．其中，甲种智能家电的件数是乙种智能家电件数的2倍，购买三种智能家电的总金额不超过元．已知甲、乙、丙三种智能家电每件的出厂价格分别为元、元和元，那么该商场购进的乙种智能家电至少为多少件？ 【答案】件 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设购进乙种智能家电 x 件，则甲种智能家电为件，丙种智能家电为 件，根据件数关系和总金额限制建立不等式解出解集后，取的最小整数解即可． 【详解】解：设购进乙种智能家电 x 件，则甲种智能家电为件，丙种智能家电为 件，由题意得： ； ∵ ∴， ∴， ∵取最小整数解， 故 ． 答：该商场购进的乙种智能家电至少为 件． 易错必刷题型18.不等式组的分配问题 易错点：剩余、不足题意理解错，忽略数量必须为正整数 52．一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 【答案】小朋友的人数与玩具数分别为5人、件或6人、件． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解本题的关键在于找出小朋友人数和玩具数之间的关系式． 设小朋友的人数为人，玩具数为，则，，且，的是正整数，将代入求出、的值，当求出的值后，求的值即可． 【详解】解：设小朋友的人数为人，玩具数为，由题意可得： ， ，即：， 解得，由于的是正整数，所以的取值为5人或6人， 当时，件； 当时，件； 所以小朋友的人数及玩具数分别为5人、件或6人、件． 53．为了鼓励在秋季运动会期间表现积极的学生，八年级某班决定购买甲、乙两种图书作为奖品．已知购买一本甲种图书与一本乙种图书共花费80元，用120元购进甲种图书与用200元购进乙种图书的数量相同． (1)求甲、乙两种图书的单价分别为多少元/本； (2)该班计划购进甲、乙两种图书共20本，其中乙种图书的数量不少于5本，同时此次购书的总资金不超过800元，求该班共有哪几种购买方案． 【答案】(1)甲种30元/本，乙种50元/本 (2)该班共有6种购买方案．分别为方案一：购买甲种图书10本，乙种图书10本； 方案二：购买甲种图书11本，乙种图书9本； 方案三：购买甲种图书12本，乙种图书8本； 方案四：购买甲种图书13本，乙种图书7本； 方案五：购买甲种图书14本，乙种图书6本； 方案六：购买甲种图书15本，乙种图书5本． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设甲种图书的单价为元/本，则乙种图书的单价为元/本，根据题意列分式方程求解即可； （2）设该班计划购进甲种图书本，则计划购进乙种图书本，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围，进而即可找出方案. 【详解】（1）解：设甲种图书的单价为元/本，则乙种图书的单价为元/本． 根据题意，得，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲种图书的单价为30元/本，乙种图书的单价为50元/本． （2）解：设该班计划购进甲种图书本，则计划购进乙种图书本． 根据题意，得 解得． ∵a为正整数， ∴a的值为10，11，12，13，14，15， ∴该班共有6种购买方案． 分别为方案一：购买甲种图书10本，乙种图书10本； 方案二：购买甲种图书11本，乙种图书9本； 方案三：购买甲种图书12本，乙种图书8本； 方案四：购买甲种图书13本，乙种图书7本； 方案五：购买甲种图书14本，乙种图书6本； 方案六：购买甲种图书15本，乙种图书5本． 54．七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【答案】8或9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有人包粽子，则表示出粽子总量为个，第二次分配时最后一个人的粽子数量为个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于个但少于个列出不等式组，求正整数解即可． 【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有人． 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴可取或， 答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为或． 易错必刷题型19.不等式组的方案选择问题 易错点：可行方案找不全，最优方案选错，漏整数限制 55．某物流公司要运输一批70吨的货物，现有两种运输车辆可供选择：①甲型货车每辆可运货物8吨，运费400元；②乙型货车每辆可运货物6吨，运费360元．若计划用两种货车共10辆，一次性运完所有货物，且总运费不超过3800元，问有几种运输方案？哪种方案总运费最低？最低运费是多少元？ 【答案】运输方案共1种：甲型货车5辆、乙型货车5辆；最低运费3800元 【分析】本题考查不等式组解应用题，读懂题意，准确列出不等式组求解是解决问题的关键． 设安排甲型货车辆，则乙型货车为辆，根据题意，列不等式组求解即可得到答案． 【详解】解：设安排甲型货车辆，则乙型货车为辆，根据题意列不等式组： ， 解不等式①得； 解不等式②得； ， 则只有1种运输方案：甲型货车辆，乙型货车辆； 总运费为：（元）， 答：有种运输方案，该方案为最低运费方案，最低运费3800元． 56．某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完利润不低于166500元，请通过计算设计该工厂所有可能的生产方案． 【答案】(1)可以生产甲款服装100件，乙款服装200件 (2)共有2种可能的生产方案，方案一：生产甲款服装334件，乙款服装166件；方案二：生产甲款服装335件，乙款服装165件 【分析】（1）设甲款服装x件，则乙款服装件，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）设甲款服装m件，则乙款服装件，由题意可列出不等式组，进而求解即可． 【详解】（1）解：设甲款服装x件，则乙款服装件，由题意得： ， 解得：， ∴； 答：可以生产甲款服装100件，乙款服装200件． （2）解：设甲款服装m件，则乙款服装件，由题意得： ， 解得：， ∵m是正整数， ∴m的取值为334或335； 答：共有2种可能的生产方案，方案一：生产甲款服装334件，乙款服装166件；方案二：生产甲款服装335件，乙款服装165件． 57．近年来，我国人形机器人不断取得新的突破，许多中学生也在心中种下了一个科技梦．某玩具店有A，B两款热销的机器人玩具，若购买1个A款机器人玩具和2个B款机器人玩具共花费270元，购买2个A款机器人玩具比购买1个B款机器人玩具多花费140元． (1)求A，B两款机器人玩具的单价； (2)某机器人社团计划购买A，B两款机器人玩具共14个（两款都购买），恰逢该玩具店周年店庆，A款机器人玩具打八折，B款机器人玩具打九折． ①若预算不超过1200元，则最多购买A款机器人玩具多少个？ ②若购买A款机器人玩具的数量不少于B款机器人玩具的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)A款机器人玩具的单价为110元，B款机器人玩具的单价为80元． (2)①最多购买A款机器人玩具12个；②当购买A款机器人玩具11个，则购买B款机器人玩具3个最省钱． 【分析】（1）设A款机器人玩具的单价为x元，B款机器人玩具的单价为y元，根据题中的等量关系列方程组求解即可； （2）①设购买A款机器人玩具m个，则B款机器人玩具个，再根据“预算不超过1200元”列不等式解题即可；②设购买A款机器人玩具n个，则B款机器人玩具个，列不等式求出n的取值范围，然后取整数设计方案即可． 【详解】（1）解：设A款机器人玩具的单价为x元，B款机器人玩具的单价为y元， 由题意得：，解得：， 答：A款机器人玩具的单价为110元，B款机器人玩具的单价为80元． （2）解：①设购买A款机器人玩具m个，则B款机器人玩具个， 由题意得：， 解得：， ∵m取正整数， ∴m的最大值为12， 答：最多购买A款机器人玩具12个． ②设购买A款机器人玩具n个，则B款机器人玩具个， 由题意得：，解得：， ∴， ∵n取正整数， ∴n可取的值为11，12，13， 方案一：购买A款机器人玩具11个，则购买B款机器人玩具3个； 总费用：元； 方案二：购买A款机器人玩具12个，则购买B款机器人玩具2个； 总费用：元， 方案三：购买A款机器人玩具13个，则购买B款机器人玩具1个； 总费用：元， ∵， ∴当购买A款机器人玩具11个，则购买B款机器人玩具3个最省钱． 易错必刷题型20.不等式组的阶梯收费问题 易错点：分段区间划分不清，分段节点等号乱放，计费标准混淆 58．某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可． 【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐：； 8元可以最多乘坐：； 9元可以最多乘坐：； ∴； 故答案为：． 59．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 60．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $