专题02 等边三角形与线段垂直平分线6重难点题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

专题02 等边三角形与线段垂直平分线 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等边三角形的性质 1 题型二、等边三角形的判定 2 题型三、等边三角形的判定和性质 3 题型四、线段垂直平分线的性质 3 题型五、线段垂直平分线的判定 5 题型六、尺规作图 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、等边三角形的性质 1．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，一束平行光线照射在等边上，如果，那么___________°． 2．（24-25七年级下·上海虹口·期末）若线段是等边的中线，则的度数是________． 3．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知三条边的长都为，三个内角都相等，点、同时从点A出发，点以每秒速度沿向点运动，点以每秒速度沿折线运动，当点到达点时，点也同时停止运动．如果点在边上，且以A、、中的两点和点为顶点构成的三角形与全等，那么运动的时间为___________秒． 4．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，当是等腰三角形时，求的度数． 题型二、等边三角形的判定 5．（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列命题中真命题的个数是（　　） ①三边相等的三角形是等边三角形 ②三个内角相等的三角形是等边三角形 ③有一个内角是的三角形是等边三角形 ④有两个内角是的三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25七年级下·上海普陀·期末）在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是___________．（只需写出一个） 7．（23-24七年级下·上海·月考）在中，，要使是等边三角形需添加一个条件，这个条件可以是______．（只需写出一种情况） 8．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 题型三、等边三角形的判定和性质 9．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，则______． 10．（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，，点D在边上且，连接，点G在线段上（不与点C、D重合），直线l过点D，将沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与平行的直线上，那么的度数为________°． 11．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，等边三角形的边长为6，、分别为、边上的点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则___________． 12．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，已知：和都是等边三角形，点在边上，点是边上一点，且．求证：． 题型四、线段垂直平分线的性质 13．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长是，则的周长是_____． 14．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，中，，，垂直平分线段，平分，将沿（点在上，点在上）折叠，点与点恰好重合，则________． 15．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，且的周长为，求底边的长． 16．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：在中，是的角平分线，垂直平分分别交于点E、F，连接． (1)如果，求的度数； (2)过点F作交边于点G，如果，求的周长． 题型五、线段垂直平分线的判定 17．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）已知：如图，已知中，．求证：． 18．（24-25七年级下·上海·月考）如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F作于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由： (1)； (2)点A在的垂直平分线上． 19．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 20．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）把以下过程补充完整． (1)如图1，在中，为的平分线，以点为顶点，为一边在外部作，边交边延长线于点，求证：点在线段的垂直平分线上． 证明：为的平分线， ， ， ， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上______． (2)如图2，已知是等边三角形内一点，是线段延长线上一点，且，，求的度数． 解：为等边三角形， （）， ， ， ， ， （）， ， ， 为等边三角形（）， ，， 即， ， ， ． 题型六、尺规作图 21．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知线段，利用直尺和圆规按以下要求作图：分别以点A、B为圆心，以的长为半径作弧，两弧在的上方相交于点C，连接、．求证：的三条边都相等（要求保留作图痕迹，不写作法）． 22．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知线段、．求作：，使，且，高． 23．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）有一个等腰三角形被墨汁污染了，现在只有它的底边和还清楚可见（如图所示）．    (1)请用直尺与圆规画出一个与原来形状一样的等腰三角形；（不写画法，保留画图痕迹，写出结论） (2)在（）的条件下，如果射线与边相交边于点，且射线恰好将分割成两个等腰三角形，请画出射线，并求的度数． 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这个等腰三角形的顶角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海浦东新·月考）如图，在中，，是边上的高，将绕点C按顺时针方向旋转，点B落到上的点处，得到，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·上海·期末）如图，已知等腰三角形中，，腰上存在一点，连接，将三角形沿着折叠后，点的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上，则的度数的取值范围为（    ） A．； B．； C．； D． 4．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点D，交边于点E，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·上海·月考）下列说法中，正确的有（    ）个 ①有一个外角为的等腰三角形是等边三角形 ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 ③三个外角都相等的三角形是等边三角形 ④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 ⑤的三边为，满足，则这个三角形是等边三角形 A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，，的垂直平分线交于点N，且，则的度数是________． 7．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知线段、的垂直平分线交于点，连接、、、，若，，那么的度数是________． 8．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，在等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则______． 9．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，在一个房间内，一把长米的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面夹角为，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为），此时梯子与地面夹角为，那么D、E两点间的距离是______米． 10．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）如图，已知在等边中，，点D在边BC上，连接AD，线段AD的垂直平分线分别交边、于点E、F，如果的周长比的周长小，那么___________． 11．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，，，面积是20，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为________． 12．（24-25七年级下·上海青浦·期末）在中，，点是边上一点，且（如图）．将折叠，使点与点重合，折痕分别交边于点，点是线段上一点，连接，那么周长的最小值为___________． 13．（24-25七年级下·上海·期末）在中，，，于D，绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上，则的度数是________． 14．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）在中，，边的垂直平分线与边交于点D，与边所在直线分别交于E、，若，则______． 三、解答题 15．（24-25七年级下·上海虹口·期末）已知：如图，在中，，，线段的垂直平分线交线段于点E，交线段于点D，连接．如果，，求的周长． 16．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，已知和线段a． (1)求作，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在第（1）题所作的中，画出的边上的高． 17．（24-25七年级下·上海虹口·期末）已知：如图，在中，于交线段BC点于点D，，求证：． 18．（23-24七年级下·上海·月考）阅读并填空： 如图，是等边三角形，是边上的高，延长到点E，使得，那么，为什么？ 解：因为（已知） 所以 又因为是边上的高（已知） 所以（         ） 由 得_______（         ） 因为_______（         ） 所以 得 得 所以（         ） 19．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：； (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 20．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 21．（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知小于的，点是边上的一个定点，点在边上． (1)如图1，，将沿着直线翻折得，点的对应点为点，如果，求的度数； (2)在图2中，用尺规作，使；（保留作图痕迹，简要说明作图步骤） (3)在（2）所作的图中，当时，求的面积．（用含的代数式表示） 22．（24-25七年级下·上海长宁·期末）定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． (1)如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； (2)如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； (3)是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等边三角形与线段垂直平分线 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等边三角形的性质 1 题型二、等边三角形的判定 4 题型三、等边三角形的判定和性质 8 题型四、线段垂直平分线的性质 11 题型五、线段垂直平分线的判定 13 题型六、尺规作图 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、等边三角形的性质 1．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，一束平行光线照射在等边上，如果，那么___________°． 【答案】85 【详解】解：如图， ∵为等边三角形， ∴， ∴； ∵平行光线， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·上海虹口·期末）若线段是等边的中线，则的度数是________． 【答案】 【详解】解：∴是等边三角形， ∴， ∵线段是等边的中线， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知三条边的长都为，三个内角都相等，点、同时从点A出发，点以每秒速度沿向点运动，点以每秒速度沿折线运动，当点到达点时，点也同时停止运动．如果点在边上，且以A、、中的两点和点为顶点构成的三角形与全等，那么运动的时间为___________秒． 【答案】或4 【详解】解：当点Q在BC上时， 如图：当时，，， ； ∴，解得：； 如图：当时，， ∴，解得， 综上所述，满足条件的t的值为或4． 故答案为：或4． 4．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，当是等腰三角形时，求的度数． 【详解】（1）解：∵，是等边三角形， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∵是等腰三角形 ∴①如图，当时， ∴ ∴ ∴； ②如图，当时， ∴ ∴ ∴ ∴点O在上，即点O和点D重合，不存在，不符合题意； ③如图，当时， ∵ ∴垂直平分 ∴ 综上，的度数为或． 题型二、等边三角形的判定 5．（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列命题中真命题的个数是（　　） ①三边相等的三角形是等边三角形 ②三个内角相等的三角形是等边三角形 ③有一个内角是的三角形是等边三角形 ④有两个内角是的三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：“三边相等的三角形是等边三角形是真命题”，故①正确； “三个内角相等的三角形是等边三角形”是真命题，故②正确； “有一个内角是的三角形是等边三角形”是假命题，故③错误； “有两个内角是的三角形是等边三角形”是真命题，故④正确； 故选：C． 6．（24-25七年级下·上海普陀·期末）在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是___________．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：如图，添加时，为等边三角形， ∵在中，平分，， ∴是中边上的中线， ∴是中边上的高（三线合一）， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（23-24七年级下·上海·月考）在中，，要使是等边三角形需添加一个条件，这个条件可以是______．（只需写出一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， 要使是等边三角形，只需添加、的夹角即可． 故答案为：（答案不唯一）． 8．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 【答案】(1)①；②为等边三角形，见解析 (2)的度数为或． 【详解】（1）解：①在中，，， ， ， 又， ， ，， ， 在中，，， ； ②为等边三角形，理由如下： 如图1所示： 平分， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， 在中，，， ， ，， 在中，， ， ，，， 为等边三角形； （2）解：的度数为或，理由如下： 直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形， 有以下两种情况： ①当直线与线段交于点时，如图2①所示： 设， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即， ②当直线与的延长线交于点时，如图2②所示： 设， ， ， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 综上所述：的度数为或． 题型三、等边三角形的判定和性质 9．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，则______． 【答案】 【详解】解：三角形中，，， ， 将绕点逆时针旋转后得到的， ，，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，，点D在边上且，连接，点G在线段上（不与点C、D重合），直线l过点D，将沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与平行的直线上，那么的度数为________°． 【答案】120 【详解】解：如图： ∵在中，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ， ∴， 故答案为：120． 11．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，等边三角形的边长为6，、分别为、边上的点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则___________． 【答案】 【详解】解：设交于，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形，， ∴，， ∵绕点D逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，已知：和都是等边三角形，点在边上，点是边上一点，且．求证：． 【详解】解：证明如下： ∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型四、线段垂直平分线的性质 13．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长是，则的周长是_____． 【答案】 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ，， 的周长为：， 的周长为：． 14．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，中，，，垂直平分线段，平分，将沿（点在上，点在上）折叠，点与点恰好重合，则________． 【答案】 【详解】解：如图，连接、， ∵，， ∴ ∵平分， ∴，直线垂直平分， ∴， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴ ∵折叠，点与点重合， ∴， ∴， ∴ 15．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，且的周长为，求底边的长． 【答案】 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为， ， ，解得， 底边的长为． 16．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：在中，是的角平分线，垂直平分分别交于点E、F，连接． (1)如果，求的度数； (2)过点F作交边于点G，如果，求的周长． 【答案】(1)55° (2)16 【详解】（1）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长． 题型五、线段垂直平分线的判定 17．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）已知：如图，已知中，．求证：． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 18．（24-25七年级下·上海·月考）如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F作于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由： (1)； (2)点A在的垂直平分线上． 【详解】（1）解：∵，为边的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 19．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 【详解】（1）证明：∵l是的垂直平分线，点D在l上， ∴， ∵， ∴． ∴点D在的垂直平分线上． （2）证明：由（1）可知，由“等边对等角”， 设， ， ∴在中，， 在中，， 即， ∴，则， 即， ∵点E在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴，则 20．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）把以下过程补充完整． (1)如图1，在中，为的平分线，以点为顶点，为一边在外部作，边交边延长线于点，求证：点在线段的垂直平分线上． 证明：为的平分线， ， ， ， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上______． (2)如图2，已知是等边三角形内一点，是线段延长线上一点，且，，求的度数． 解：为等边三角形， （）， ， ， ， ， （）， ， ， 为等边三角形（）， ，， 即， ， ， ． 【答案】(1)，；，等角对等边；线段垂直平分线的性质 (2)等边三角形的性质，，，等腰三角形的性质，等边三角形的判定定理 【详解】（1）证明：为的平分线， ， ， ， ， ， 等角对等边， 点在线段的垂直平分线上线段垂直平分线的性质， 故答案为：，；，等角对等边；线段垂直平分线的性质； （2）解：为等边三角形， 等边三角形的性质，， ， ， ， 等腰三角形的性质， ， ， 为等边三角形等边三角形的判定定理， ，， 即， ， ， ， 故答案为：等边三角形的性质，，，等腰三角形的性质，等边三角形的判定定理． 题型六、尺规作图 21．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知线段，利用直尺和圆规按以下要求作图：分别以点A、B为圆心，以的长为半径作弧，两弧在的上方相交于点C，连接、．求证：的三条边都相等（要求保留作图痕迹，不写作法）． 【详解】解：由作图知，， ∴． 22．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知线段、．求作：，使，且，高． 【详解】解：作线段，作线段的垂直平分线，交于点，在射线上截取线段，使得，连接、，则即为所求 23．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）有一个等腰三角形被墨汁污染了，现在只有它的底边和还清楚可见（如图所示）．    (1)请用直尺与圆规画出一个与原来形状一样的等腰三角形；（不写画法，保留画图痕迹，写出结论） (2)在（）的条件下，如果射线与边相交边于点，且射线恰好将分割成两个等腰三角形，请画出射线，并求的度数． 【详解】（1）如图，      即为所求； （2）∵，都是等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这个等腰三角形的顶角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示， 根据题意可知垂直平分，点D是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（23-24七年级下·上海浦东新·月考）如图，在中，，是边上的高，将绕点C按顺时针方向旋转，点B落到上的点处，得到，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ∵，是边上的高， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 3．（22-23七年级下·上海·期末）如图，已知等腰三角形中，，腰上存在一点，连接，将三角形沿着折叠后，点的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上，则的度数的取值范围为（    ） A．； B．； C．； D． 【答案】C 【详解】解：如图所示： 当点A与点重合时， ∵三角形沿着折叠后，点的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上， ∴， ∵等腰三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点A与点重合时，， ∴； 当点A与点F重合时，如图所示： ∵三角形沿着折叠后，点的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上， ∴， ∵等腰三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点A与点F重合时，， 综上可得： 故选：C． 4．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点D，交边于点E，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵的垂直平分线交边于点，交边于点 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：A． 5．（24-25七年级下·上海·月考）下列说法中，正确的有（    ）个 ①有一个外角为的等腰三角形是等边三角形 ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 ③三个外角都相等的三角形是等边三角形 ④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 ⑤的三边为，满足，则这个三角形是等边三角形 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：①因为有一个外角为，则与之相邻的内角为，故这个等腰三角形是等边三角形，该说法正确； ②因为等腰三角形底角的外角相等，所以有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，该说法错误； ③因为三个外角都相等，则三个内角都相等，为，故这个三角形是等边三角形，该说法正确； ④因为等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合，所以有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，该说法错误； ⑤的三边为，满足，可得或或，得到或或，所以这个三角形是等腰三角形，该说法错误； 综上，正确的说法有个， 故选：． 二、填空题 6．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，，的垂直平分线交于点N，且，则的度数是________． 【答案】 【详解】解：∵的垂直平分线交于点N， ∴，而， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： 7．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知线段、的垂直平分线交于点，连接、、、，若，，那么的度数是________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵线段、的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，在等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则______． 【答案】40 【详解】解：是等边三角形，， ，， 垂直平分， ， ， ， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，在一个房间内，一把长米的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面夹角为，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为），此时梯子与地面夹角为，那么D、E两点间的距离是______米． 【答案】 【详解】解：连接， ∵，， ∵． ∵梯子长度不变， ∴米， ∴是等边三角形， ∴米． 故答案为． 10．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）如图，已知在等边中，，点D在边BC上，连接AD，线段AD的垂直平分线分别交边、于点E、F，如果的周长比的周长小，那么___________． 【答案】 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴． ∴ ． 则， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，，，面积是20，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为________． 【答案】 【详解】解：连接，， ∵在中，，D为边的中点，， ∴，， ∴， 解得， ∵的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短时，． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·上海青浦·期末）在中，，点是边上一点，且（如图）．将折叠，使点与点重合，折痕分别交边于点，点是线段上一点，连接，那么周长的最小值为___________． 【答案】 【详解】解：如图， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ∵是折痕，点与点重合， ∴垂直平分， ∵点是线段上一点， ∴ ∴在上时，取得最小值， 即周长最小值为： 故答案为：． 13．（24-25七年级下·上海·期末）在中，，，于D，绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上，则的度数是________． 【答案】 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即垂直平分， ∴， ∵绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）在中，，边的垂直平分线与边交于点D，与边所在直线分别交于E、，若，则______． 【答案】50或140 【详解】解：如图1， ，垂直平分， ， ， ， ， ； 如图2， ，垂直平分， ， ， ， ， ， 当垂直平分线与线段交于点， ，垂直平分， ， ， ， 中不符合三角形的内角和定理，不符合题意， ∴当垂直平分线与线段交于点，此种情况不存在， 综上，或。 故答案为：50或． 三、解答题 15．（24-25七年级下·上海虹口·期末）已知：如图，在中，，，线段的垂直平分线交线段于点E，交线段于点D，连接．如果，，求的周长． 【答案】14 【详解】∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，已知和线段a． (1)求作，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在第（1）题所作的中，画出的边上的高． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形； （2）解：如图所示，即为所求作． 17．（24-25七年级下·上海虹口·期末）已知：如图，在中，于交线段BC点于点D，，求证：． 【详解】证明：在上取点E，使， ∵，且，∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 18．（23-24七年级下·上海·月考）阅读并填空： 如图，是等边三角形，是边上的高，延长到点E，使得，那么，为什么？ 解：因为（已知） 所以 又因为是边上的高（已知） 所以（         ） 由 得_______（         ） 因为_______（         ） 所以 得 得 所以（         ） 【答案】等腰三角形三线合一；；等边对等角；；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；等角对等边． 【详解】因为（已知） 所以 又因为是边上的高（已知） 所以（等腰三角形三线合一） 由 得（等边对等角） 因为（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以 得 得 所以（等角对等边） 故答案为：等腰三角形三线合一；；等边对等角；；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；等角对等边． 19．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：； (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 【详解】（1）证明：∵，P是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴， 当时， ； 当时， ； 填表如下： …… ……      …… （2）解：由（1）可得， ∵，， ∴； （3）解：由（1）可得， ∵， ∴， ∴； 由线段垂直平分线的性质可得， ∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴． 21．（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知小于的，点是边上的一个定点，点在边上． (1)如图1，，将沿着直线翻折得，点的对应点为点，如果，求的度数； (2)在图2中，用尺规作，使；（保留作图痕迹，简要说明作图步骤） (3)在（2）所作的图中，当时，求的面积．（用含的代数式表示） 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作线段的垂直平分线交射线于D，以点B为圆心，的长为半径画弧交于C，连接，则即为所求； 由线段垂直平分线的性质可得，则，则， 再由可得； （3）解：如图所示，过点C作于F，设线段的垂直平分线交于E， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（24-25七年级下·上海长宁·期末）定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． (1)如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； (2)如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； (3)是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的“等角分割线”； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵是的“等角分割线”， ∴①，， 解得：； ②，， 解得：（舍去）， 综上：； （3）解：记的平分线与交于点， ①当时， ∵，平分， ∴，，， 设，则 ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∵平分， ∴， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， 综上：的度数为或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $