专题03三角形易错必刷题型专项训练(20大题型共计60道题)2025-2026学年沪教版五四制七年级数学下册

专题03三角形易错必刷题型专项训练 题型01.构成三角形的条件 题型02.确定第三边的取值范围 题型03.三角形三边关系的应用 题型04.画三角形的高 题型05.与三角形高有关的计算问题 题型06.根据三角形中线求长度 题型07.根据三角形中线求面积 题型08.与角平分线有关的内角和问题 题型09.三角形内角和定理的应用 题型10.三角形的外角定义及性质 题型11.全等三角形的性质 题型12.用SSS证明三角形全等 题型13.用SAS证明三角形全等 题型14.用ASA(AAS)证明三角形全等 题型15.添加条件使三角形全等 题型16.灵活选用判定方法证全等 题型17.倍长中线模型 题型18.旋转模型 题型19.垂线模型 题型20.证一条线段等腰两条线段和差. 易错必刷题型01.构成三角形的条件 易错点：只验证两组边的和大于第三边，忽略“任意两边之和都大于第三边”；等腰三角形边长问题，忘记验证三边关系，导致多解或错解。 1．以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（　） A．3，4，5 B．8，7，15 C．13，12，26 D．5，5，11 2．如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒是______（填“甲”或“乙”）． 3．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，, B．,, C．，, D．,, 易错必刷题型02.确定第三边的取值范围 易错点：记错公式，写成“两边之差＜第三边＜两边之和”时漏写绝对值；计算时不等号方向写反，或漏写等号（第三边不能取等号）。 4．已知三角形的三边长分别为2，6，，则的值可以是________．（请写出一个符合题意的整数） 5．如图，为了估计池塘岸边，两点间的距离，小明同学在池塘一侧选取一点，测得，，则，间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 6．按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 易错必刷题型03.三角形三边关系的应用 易错点：等腰三角形问题不分类讨论；不会利用三边关系判断线段能否构成三角形，导致解题不完整。 7．如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒应是________．（填“甲”或“乙”） 8．已知三角形的三边长分别为1，a，4，则化简的结果等于（） A．6 B．7 C．8 D． 9．已知的三边长分别为，，． (1)若，满足，求整数的最小值． (2)化简：． 易错必刷题型04.画三角形的高 易错点：钝角三角形的两条高在三角形外部，容易画在三角形内部；混淆高、中线、角平分线的定义，把高画成角平分线或中线。 10．如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为_______. 11．如图，在中，，，是边上两点，，平分，下列说法中不正确的是（　　） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 12．如图，在三角形中，点是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出三角形的边上的高； (2)过点画，直线交边于点； (3)点到直线的距离是线段______的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：______． 易错必刷题型05.与三角形高有关的计算问题 易错点：用面积法时，找错对应的底和高；计算三角形面积时漏乘；不会用高求底边长。 13．如图，在中，，点是边上的一个动点，连接，则线段长度的最小值是___________． 14．如图，在中，已知，，，，将沿对折得到，连接，则长为（   ） A．3.6 B．4.8 C．6.4 D．8 15．如图，在直角三角形中，，，，． (1)点到直线的距离是垂线段___________的长度，该长度是___________． (2)画出表示点到直线的距离的线段，并求这个距离． 易错必刷题型06.根据三角形中线求长度 易错点：不知道中线分对边为相等的两段；混淆中线和角平分线的概念，找错对应边。 16．如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________． 17．如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 18．如图，已知的周长为35，是边上的中线，． (1)当时，求的长． (2)能否等于12？为什么？ 易错必刷题型07.根据三角形中线求面积 易错点：不理解“中线分三角形为面积相等的两部分”；多次分中线时，面积关系推导错误。 19．如图，中，点、分别是的中点，且阴影部分的面积为8，则的面积是___________． 20．如图，的两条中线、相交于点O，若的面积为48，则四边形的面积为（　　） A．12 B．14 C．16 D．24 21．如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知． (1)求的面积； (2)求的长． 易错必刷题型08.与角平分线有关的内角和问题 易错点：漏看角平分线的条件，计算时忘记乘；不会结合内角和定理建立角之间的数量关系。 22．如图，在中，、分别平分、．若，则________． 23．如图，在中，，是角平分线，且，相交于点，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 24．如图，在中，，，的平分线交于点，点在上，且．求的度数． 易错必刷题型09.三角形内角和定理的应用 易错点：复杂图形中找错三角形；忽略直角、平角等隐藏条件；角度计算时粗心出错。 25．如图，已知，为的边上的一点，且，．则________． 26．如图，长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 27．如图，直线截直线和，分别交于点、点，且，过点作平分交于点，过点作直线交于点，交于点，在直线上取点，连接，且满足． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 易错必刷题型10.三角形的外角定义及性质 易错点：混淆“相邻”和“不相邻”内角，误用“外角等于不相邻两内角和”；把外角性质和内角和定理混用，逻辑混乱。 28．如图，点是延长线上一点，若，，则__________． 29．如图，在中，是的角平分线，将沿所在直线折叠得到，则的大小为（   ） A． B． C． D． 30．如图，已知是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 易错必刷题型11.全等三角形的性质 易错点：找错全等三角形的对应边、对应角；对应边/角写反，导致后续计算和证明全错。 31．如图，，若，，则的度数为__________． 32．如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 33．如图，已知，延长分别交、于点、，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 易错必刷题型12.用SSS证明三角形全等 易错点：找错三组对应边；证明过程不写全三边对应相等，直接下结论；忽略公共边等隐含条件。 34．如图，在和中，，要利用“”证明，还需增加的一个条件是______． 35．已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 36．如图，在中，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)若，求的度数． 易错必刷题型13.用SAS证明三角形全等 易错点：把“两边及其中一边的对角（SSA）”当成SAS，忽略“夹角”条件；找错夹角，用错判定定理。 37．如图，在中，．将从点处沿虚线剪开，若，当线段BD的长度为__________时，剪下的两个三角形全等． 38．能判断的条件是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 39．如图，在中，，D为延长线上一点，以为边在左侧作，使，且，连接与交于点F． (1)请说明； (2)若，求的度数． 易错必刷题型14.用ASA(AAS)证明三角形全等 易错点：混淆ASA和AAS的条件；找错对应边、对应角；证明时漏写关键条件，逻辑不严谨。 40．如图，小明不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，他要到玻璃店重新配成一块一样的，只需带③号碎片去的理由是：______． 41．下列条件中能判断的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 42．如图，在中，上的高线与上的高线相交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 易错必刷题型15.添加条件使三角形全等 易错点：无法根据已有条件补出正确的判定条件；忽略公共边、公共角、对顶角等隐含条件；补的条件不符合判定定理。 43．如图，已知，请添加一个条件：______，使．（写出一个即可） 44．如图，，，，交于点，补充下列（   ）条件，无法得到． A． B． C． D． 45．如图，在中，点D在上，点E在上，且． (1)请你再添加一个条件，使得，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______． (2)根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由． 易错必刷题型16.灵活选用判定方法证全等 易错点：不会根据题目条件选择合适的判定定理；混用SSS/SAS/ASA/AAS；证明步骤混乱，依据乱写漏写。 46．一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，若只能带一块去店里买形状、大小与原来一样的玻璃，则应带的玻璃编号是___________． 47．给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 48．如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 易错必刷题型17.倍长中线模型 易错点：不会作辅助线；不知道倍长中线的目的是构造SAS全等；辅助线作法不规范，证明过程逻辑不严谨。 49．在中，，中线，则边的长的取值范围是___________． 50．在中，是边上的中线，，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 51．已知：和，、分别为、中点，且，． (1)当时，求证：． (2)当时，求证：． 易错必刷题型18.旋转模型 易错点：找不到旋转前后的对应边、对应角；无法利用旋转性质构造全等；旋转角找错，导致角的关系推导错误。 52．如图，在△ABC中，∠CAB＝62°，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的大小为（　　） A．64° B．52° C．62° D．56° 53．如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 54． 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 易错必刷题型19.垂线模型 易错点：不会利用“同角的余角相等”推出角相等；找不到全等所需的角相等条件，无法证明三角形全等。 55．如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为_________   56．勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 57．如图，学生甲学习了全等三角形后，想测草坪旁池塘两岸相对两点，的距离．请你给学生甲设计一个测量方案，并证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． (1)简单说明你设计的方案，并画出图形； (2)证明你的方案的可行性，即证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． 易错必刷题型20.证一条线段等腰两条线段和差 易错点：不会用截长补短法构造全等三角形；辅助线作法不规范；证明过程跳步，漏写关键依据。 58．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 59．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 60．（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03三角形易错必刷题型专项训练 题型01.构成三角形的条件 题型02.确定第三边的取值范围 题型03.三角形三边关系的应用 题型04.画三角形的高 题型05.与三角形高有关的计算问题 题型06.根据三角形中线求长度 题型07.根据三角形中线求面积 题型08.与角平分线有关的内角和问题 题型09.三角形内角和定理的应用 题型10.三角形的外角定义及性质 题型11.全等三角形的性质 题型12.用SSS证明三角形全等 题型13.用SAS证明三角形全等 题型14.用ASA(AAS)证明三角形全等 题型15.添加条件使三角形全等 题型16.灵活选用判定方法证全等 题型17.倍长中线模型 题型18.旋转模型 题型19.垂线模型 题型20.证一条线段等腰两条线段和差. 易错必刷题型01.构成三角形的条件 易错点：只验证两组边的和大于第三边，忽略“任意两边之和都大于第三边”；等腰三角形边长问题，忘记验证三边关系，导致多解或错解。 1．以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（　） A．3，4，5 B．8，7，15 C．13，12，26 D．5，5，11 【答案】A 【详解】解：A．∵，， ∴可以构成三角形，符合题意； B．∵，， ∴不可以构成三角形，不符合题意； C．∵，， ∴不可以构成三角形，不符合题意； D．∵，， ∴不可以构成三角形，不符合题意． 2．如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒是______（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键 通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系， 假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为，剪成两段长度分别为、，甲小棒长度为， ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即， ∴， ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， ∵乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒剪成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意； 综上所述，剪开的小棒是乙． 故答案为：乙 ． 3．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，, B．,, C．，, D．,, 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边进行判断． 【详解】解：A.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； C.，且任意两边之和均大于第三边，能组成等边三角形； D.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． 故选：C． 易错必刷题型02.确定第三边的取值范围 易错点：记错公式，写成“两边之差＜第三边＜两边之和”时漏写绝对值；计算时不等号方向写反，或漏写等号（第三边不能取等号）。 4．已知三角形的三边长分别为2，6，，则的值可以是________．（请写出一个符合题意的整数） 【答案】5（或6或7） 【分析】根据三角形三边关系确定的取值范围，再在取值范围内找出符合要求的整数即可． 【详解】解：根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， 可得，计算得， 因为为整数， 所以可取，，中任意一个． 5．如图，为了估计池塘岸边，两点间的距离，小明同学在池塘一侧选取一点，测得，，则，间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此作答即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可得，，， ∴，即， ∴，间的距离不可能是． 6．按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）三角形中，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （2）设，则，根据三角形的三边关系得出，结合的周长，求出的取值范围． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可得， ， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， 同理（1）可得，， ∴， 解得， ∵的周长， ∴． 易错必刷题型03.三角形三边关系的应用 易错点：等腰三角形问题不分类讨论；不会利用三边关系判断线段能否构成三角形，导致解题不完整。 7．如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒应是________．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案即可． 【详解】解：设甲小棒长度为，乙小棒长度为，根据图形可得甲小棒的长度大于乙小棒的长度，即， 设剪开甲小棒，剪成两段长度分别为、， ∵， ∴， ∴剪开甲小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开乙小棒， ∵乙小棒的长度小于甲小棒， ∴同理可得，乙小棒剪成的两根小棒的和小于甲小棒，故围不成三角形，不符合题意； 综上所述，剪开的小棒是甲． 故答案为：甲． 8．已知三角形的三边长分别为1，a，4，则化简的结果等于（） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系确定字母的取值范围，以及绝对值的性质是解题的关键． 先根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后化简式子得到结果． 【详解】解：∵三角形三边长分别为，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 9．已知的三边长分别为，，． (1)若，满足，求整数的最小值． (2)化简：． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系： （1）根据题意可得，，求得，，根据三角形三边关系，可得； （2）根据三角形三边关系，可得，，，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：， ，． ，． 根据三角形三边关系，可得，即． 为整数， 的最小值为3． （2）解：根据三角形三边关系，可得，，， ． 易错必刷题型04.画三角形的高 易错点：钝角三角形的两条高在三角形外部，容易画在三角形内部；混淆高、中线、角平分线的定义，把高画成角平分线或中线。 10．如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为_______. 【答案】/ 【分析】由三角形高的含义可得答案．本题考查的是三角形高的含义，熟记三角形的高的定义并能识别图形中三角形的高是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴的边上的高为 故答案为：． 11．如图，在中，，，是边上两点，，平分，下列说法中不正确的是（　　） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线、中线和高，根据三角形角平分线、中线和高等概念逐一判断即可，掌握三角形角平分线、中线和高有关概念是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴是的中线，原选项说法正确，不符合题意； 、∵平分， ∴是的角平分线，原选项说法正确，不符合题意； 、∵平分， ∴， 但无法得到，原选项说法错误，符合题意； 、∵， ∴， ∴是的高，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 12．如图，在三角形中，点是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出三角形的边上的高； (2)过点画，直线交边于点； (3)点到直线的距离是线段______的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)和 【分析】（1）过点A作交延长线于点F，则即为所求； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据点到直线的距离的定义求解即可； （4）根据线段中点的意义得到，再由三角形面积公式得到，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵， ∴点到直线的距离是线段的长度； （4）解：∵点是边的中点， ∴， ∴， 即图形中面积相等的两个三角形为和． 易错必刷题型05.与三角形高有关的计算问题 易错点：用面积法时，找错对应的底和高；计算三角形面积时漏乘；不会用高求底边长。 13．如图，在中，，点是边上的一个动点，连接，则线段长度的最小值是___________． 【答案】 4.8 【分析】根据题意，当时，的长度最短，由等面积法求高的方法列式求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， 由面积公式得：， 即， 解得，． 14．如图，在中，已知，，，，将沿对折得到，连接，则长为（   ） A．3.6 B．4.8 C．6.4 D．8 【答案】B 【分析】令与相交于点，由折叠的性质可得，且，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，令与相交于点， ， 由折叠的性质可得，且， ∵在中，已知，，，， ∴， ∴， ∴． 15．如图，在直角三角形中，，，，． (1)点到直线的距离是垂线段___________的长度，该长度是___________． (2)画出表示点到直线的距离的线段，并求这个距离． 【答案】(1)，3 (2)图见解析， 【分析】（1）根据点到直线的距离即可解答； （2）作于点，则垂线段的长度就是点到直线的距离，再利用等积法即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴点到直线的距离是垂线段的长度，该长度是； （2）解：如图，作于点，则垂线段的长度就是点到直线的距离， ∵， ∴． 易错必刷题型06.根据三角形中线求长度 易错点：不知道中线分对边为相等的两段；混淆中线和角平分线的概念，找错对应边。 16．如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________． 【答案】26 【分析】先计算的长度，由中线的定义得，进而即可求解． 【详解】解：的周长为24， ， ， 是的中线， ， ， ， 即的周长为26． 17．如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键．根据是的中线，得出，再根据是的高线，以及三角形的面积公式即可得出的长． 【详解】解：是的中线，且， ． 是的高线，， ， 即， 解得． 故选：B． 18．如图，已知的周长为35，是边上的中线，． (1)当时，求的长． (2)能否等于12？为什么？ 【答案】(1)5 (2)不能等于12，理由见解析 【分析】本题考查了与三角形中线有关的计算、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键． （1）先求出，再根据三角形的周长公式可得，然后根据三角形中线的性质解答即可得； （2）假设能等于12，则，再利用三角形的三边关系解答即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． （2）解：不能等于12，理由如下： 假设能等于12， ∵， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∴的三边长分别为，此时，不满足三角形的三边关系， ∴不能等于12． 易错必刷题型07.根据三角形中线求面积 易错点：不理解“中线分三角形为面积相等的两部分”；多次分中线时，面积关系推导错误。 19．如图，中，点、分别是的中点，且阴影部分的面积为8，则的面积是___________． 【答案】32 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 20．如图，的两条中线、相交于点O，若的面积为48，则四边形的面积为（　　） A．12 B．14 C．16 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角形中线求三角形的面积． 连接，可知，，，进而得到，，即，即可求出四边形的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵、是的中线， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 21．如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1)60 (2)24 【分析】本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算，熟练掌握三角形的中线平分面积，是解题的关键： （1）求出的面积，再根据三角形的中线平分面积求出的面积； （2）利用面积公式求出的长即可． 【详解】（1）解：∵的边上的高为， ∴， ∵为的中线， ∴； （2）解：∵为的高， ∴， ∴． 易错必刷题型08.与角平分线有关的内角和问题 易错点：漏看角平分线的条件，计算时忘记乘；不会结合内角和定理建立角之间的数量关系。 22．如图，在中，、分别平分、．若，则________． 【答案】/60度 【分析】根据三角形的内角和定理求出的值，根据角平分线定义求出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴． 23．如图，在中，，是角平分线，且，相交于点，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形内角和定理得，进而由三角形角平分线的定义得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，，是角平分线，且，相交于点， ∴， ∴． 24．如图，在中，，，的平分线交于点，点在上，且．求的度数． 【答案】 【分析】三角形的内角和定理，求出的度数，角平分线求出的度数，根据平行线的性质，求出的度数. 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴. 易错必刷题型09.三角形内角和定理的应用 易错点：复杂图形中找错三角形；忽略直角、平角等隐藏条件；角度计算时粗心出错。 25．如图，已知，为的边上的一点，且，．则________． 【答案】 【分析】首先根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可以求出，再根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：， ， ， ， 在中， ． 26．如图，长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到，由折叠得：，，从而得到与的和．利用两个平角求出与的和，最后根据三角形内角和等于即可求出答案． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∴， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， 在中， ． 27．如图，直线截直线和，分别交于点、点，且，过点作平分交于点，过点作直线交于点，交于点，在直线上取点，连接，且满足． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)． 【分析】（1）由平行线的性质，结合角平分线的定义，可得，结合已知可得，即可证得结论； （2）由角平分线的定义，可得，由三角形的内角和定理，可得，根据平行线的性质，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 易错必刷题型10.三角形的外角定义及性质 易错点：混淆“相邻”和“不相邻”内角，误用“外角等于不相邻两内角和”；把外角性质和内角和定理混用，逻辑混乱。 28．如图，点是延长线上一点，若，，则__________． 【答案】/100度 【详解】解：∵，， ∴． 29．如图，在中，是的角平分线，将沿所在直线折叠得到，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质可得，，结合角平分线的定义可证三点共线，利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得 ， ∴，， ∵是 的角平分线， ∴， ∴， ∴点在线段 上 ， ∴ 是 的外角， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 30．如图，已知是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）首先利用三角形内角和定理求出，然后由角平分线求出，然后由三角形外角的性质求出，进而求解即可； （2）首先利用三角形面积公式求出的面积，然后根据三角形中线的性质求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵是的角平分线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴的面积 ∵是的中点 ∴的面积的面积． 易错必刷题型11.全等三角形的性质 易错点：找错全等三角形的对应边、对应角；对应边/角写反，导致后续计算和证明全错。 31．如图，，若，，则的度数为__________． 【答案】/110度 【分析】考查了全等三角形的性质． 根据全等得出，再结合三角形内角和为计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 32．如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据，得到两组三角形中的边角的关系，得到、为等腰直角三角形，逐个判断各结论的正确性即可． 【详解】解：， ，，，， ， ， ，， ，， ， ，即①正确； 根据现有条件，无法判断②，故②不正确； ，， ， 设延长线交于点H，延长线交交于点M，则， ，即③正确； ，， ， ，即④正确； 综上所述，结论中正确的是①③④． 33．如图，已知，延长分别交、于点、，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质． （1）由角的和差得到，再根据全等的性质得到； （2）根据三角形的内角和求得，根据全等的性质得到，进而根据三角形外角的性质得到，． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型12.用SSS证明三角形全等 易错点：找错三组对应边；证明过程不写全三边对应相等，直接下结论；忽略公共边等隐含条件。 34．如图，在和中，，要利用“”证明，还需增加的一个条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据，找到最后一组对应边相等即可． 【详解】解：在和中，， ∴当时，； 当时，则：，； 故答案为：（或）． 35．已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角、全等三角形的判定等知识点，掌握尺规作图作一个角等于已知角的作法成为解题的关键．根据“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹，结合全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由题意可知，“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图的依据是． 故选：B． 36．如图，在中，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用证明与全等； （2）先根据全等三角形性质得出，进而求出，的长度，再计算； （3）先求出，再根据全等三角形性质得到，最后求出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：， ． ∵， ∴． 又， ． ， ， ； （3）解：，，，， ， ， ， ， ， ． 易错必刷题型13.用SAS证明三角形全等 易错点：把“两边及其中一边的对角（SSA）”当成SAS，忽略“夹角”条件；找错夹角，用错判定定理。 37．如图，在中，．将从点处沿虚线剪开，若，当线段BD的长度为__________时，剪下的两个三角形全等． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，当时，利用即可证明两个三角形全等． 【详解】解：如图所示，当时，， 则， ∴， 故答案为：2． 38．能判断的条件是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法一一判定即可得出答案． 【详解】解：A．由不能判定，故不符合题意； B．由不能判定，故不符合题意； C．由不能判定，故不符合题意； D．由能判定，故符合题意； 故选：D． 39．如图，在中，，D为延长线上一点，以为边在左侧作，使，且，连接与交于点F． (1)请说明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，证明是关键． （1）证明，再由已知，即可证明； （2）根据全等三角形的性质和三角形内角和定理即可求出，再由等量代换即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． ∵，， ∴． （2）∵， ∴． 又∵， ∴， 即． ∵，， ∴． 易错必刷题型14.用ASA(AAS)证明三角形全等 易错点：混淆ASA和AAS的条件；找错对应边、对应角；证明时漏写关键条件，逻辑不严谨。 40．如图，小明不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，他要到玻璃店重新配成一块一样的，只需带③号碎片去的理由是：______． 【答案】两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 根据全等三角形的判定定理即可得． 【详解】解：第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据两角及其夹边分别相等的两个三角形全等来配一块一样的玻璃． 故答案为：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 41．下列条件中能判断的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．三组对应角相等，根据不能判定，不合题意； B．两组对应角相等，一组对应边相等，根据能判定，符合题意； C．和的夹角应为，而和的夹角应为，题目未给出，无法满足条件，不能判定，不合题意； D．和的夹角应为，而和的夹角应为，题目未给出，无法满足条件，不能判定，不合题意； 故选：B． 42．如图，在中，上的高线与上的高线相交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由垂线的定义得到，再利用三角形内角和定理求出，结合，利用，即可证明结论； （2）由（1）知，得到，求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵上的高线与上的高线相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 易错必刷题型15.添加条件使三角形全等 易错点：无法根据已有条件补出正确的判定条件；忽略公共边、公共角、对顶角等隐含条件；补的条件不符合判定定理。 43．如图，已知，请添加一个条件：______，使．（写出一个即可） 【答案】（或） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形全等判定方法有、、、等，关键是要根据题意选择合适的判定方法． 由题可知和有公共边，，可根据或来判定三角形全等． 【详解】解：①添加一个条件：， 证明：在三角形和中 ， ∴， ②添加一个条件：， 证明：在三角形和中 ， ∴， 故答案为：（或） 44．如图，，，，交于点，补充下列（   ）条件，无法得到． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理，结合已知条件和公共边，逐一分析各选项即可得出结论； 【详解】解：，， ， 在和中，已知公共边， 选项 A、若，利用可证，不符合题意； 选项 B、若，利用可证，不符合题意； 选项 D、若，利用可证，不符合题意； 选项 C、与 为对顶角，始终相等，无法得到边或角的相等关系，不能判定，符合题意． 45．如图，在中，点D在上，点E在上，且． (1)请你再添加一个条件，使得，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______． (2)根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)，理由见解析 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键 （1）根据已知条件，在和中，已有一组对角和一组对边相等，仅需再添加一组对角相等即可（也可添加）； （2）由得，，进而可得，即可证明． 【详解】（1）解：添加的条件是，依据是； 在和中， ； 故答案为：，； （2）解：，理由如下： ， ，， ， ，即， 在和中， ． 易错必刷题型16.灵活选用判定方法证全等 易错点：不会根据题目条件选择合适的判定定理；混用SSS/SAS/ASA/AAS；证明步骤混乱，依据乱写漏写。 46．一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，若只能带一块去店里买形状、大小与原来一样的玻璃，则应带的玻璃编号是___________． 【答案】③ 【分析】本题考查了三角形全等的四个判定定理所需要的条件. 根据三角形全等的判定定理进行判断. 【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行； 第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去； 第四块，仅保留了原三角形的部分边，故该块不行； 故答案为③． 47．给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理，若给出条件符合全等三角形判定，则三角形形状大小可完全确定，反之无法确定，其中（两边及其中一边的对角）无法确定唯一三角形． 【详解】解：全等三角形可唯一确定三角形的形状和大小，全等判定定理包括，，，，，但不能判定三角形全等，无法确定唯一三角形， 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意； 、选项给出，，，属于，可画出两个形状不同的三角形，不能完全确定三角形的形状和大小，符合题意； 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意； 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意． 48．如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【详解】（1）根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 易错必刷题型17.倍长中线模型 易错点：不会作辅助线；不知道倍长中线的目的是构造SAS全等；辅助线作法不规范，证明过程逻辑不严谨。 49．在中，，中线，则边的长的取值范围是___________． 【答案】 【分析】利用倍长中线法结合三角形三条边的数量关系即可解题． 【详解】 如图所示，延长AD至点E，使得AD=DE，则AE=10， ∵AD为中线 ∴BD=CD ∵， ∴AC=BE=6． 在三角形ABE中， 故答案为： 【点睛】本题考查三角形全等的性质及三角形三条边之间的等量关系在求线段长度取值范围上的应用，熟练的运用倍长中线法及三角形全等证明性质的运用是解题关键． 50．在中，是边上的中线，，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系．作出图形，延长到E，使，连接，证明，从而可得，在中，再利用三角形三边的关系，即可求解． 【详解】解：延长到E，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴． 故选：C． 51．已知：和，、分别为、中点，且，． (1)当时，求证：． (2)当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，第问关键是延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接． 先由证明，再利用证明即可； 延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接，利用全等三角形的判定与性质即可证明． 【详解】（1）解：在和中，， ， ， 、分别为、的中点， ，， ， ，， 在和中，， ， 故答案为：；；；； （2）证明：如下图所示，延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ，， 同理可证， ，， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， 在和中， ． 易错必刷题型18.旋转模型 易错点：找不到旋转前后的对应边、对应角；无法利用旋转性质构造全等；旋转角找错，导致角的关系推导错误。 52．如图，在△ABC中，∠CAB＝62°，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的大小为（　　） A．64° B．52° C．62° D．56° 【答案】D 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠CAB＝∠C'CA＝62°，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形的性质求得，再根据是旋转角即可得解． 【详解】解：∵CC'∥AB， ∴∠CAB＝∠C'CA＝62°， ∵将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置， ∴AC＝AC'，∠CAC'＝∠BAB'， ∴∠AC'C＝∠ACC'＝62°， ∴∠CAC'＝180°-2×62°=56°＝∠BAB'， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和，求得的度数是解题的关键． 53．如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=，由旋转的性质推出≌，求出∠FAE=∠BAD=，即可得到答案． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=， 由旋转得≌， ∴∠FAB=∠EAD， ∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴∠FAE=∠BAD=， ∴旋转角的度数是， 故选：B． 【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 54． 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 易错必刷题型19.垂线模型 易错点：不会利用“同角的余角相等”推出角相等；找不到全等所需的角相等条件，无法证明三角形全等。 55．如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为_________   【答案】 【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，由△ABC为等腰直角三角形即可得出∠ABC＝90°、AB＝BC，通过角的计算即可得出∠ABO＝∠BCD，再结合∠CDB＝∠BOA＝90°即可利用AAS证出△ABO≌△BCD，由此即可得出BD、CD的长度，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示． ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC． ∵CD⊥BD，BO⊥AO， ∴∠CDB＝∠BOA＝90°． ∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°， ∴∠ABO＝∠BCD． 在△ABO和△BCD中， ， ∴△ABO≌△BCD（AAS）， ∴BD＝AO，CD＝BO， ∵A（4，0），B（0，6）， ∴BD＝4，CD＝6， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题结合等腰直角三角形和坐标点综合考查，关键在于辅助线的作法，过C点作垂直于x轴的垂线还是垂直于y轴的垂线是解题关键． 56．勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可． 【详解】解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可证， ∴， ∴． 空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和． 故选：B． 57．如图，学生甲学习了全等三角形后，想测草坪旁池塘两岸相对两点，的距离．请你给学生甲设计一个测量方案，并证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． (1)简单说明你设计的方案，并画出图形； (2)证明你的方案的可行性，即证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． 【答案】(1)方案见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查全等三角形的应用---方案设计，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键， （1）根据全等三角形的性质设计图形即可； （2）利用“”即可证明方案的可行性． 【详解】（1）解：如图所示： 过B作，过D作，取的中点C，连接并延长交于点E 测量线段的长即可． （2）证明：∵，， ∴ ， ∵C为的中点， ∴， ∴在和中： ∴， ∴． 易错必刷题型20.证一条线段等腰两条线段和差 易错点：不会用截长补短法构造全等三角形；辅助线作法不规范；证明过程跳步，漏写关键依据。 58．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 59．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明解析 (2)7 【分析】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质，可得，再利用全等三角形判定定理即可求证； （2）根据，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）， ， 在和中 ， （2）， ， ， ，， ， ． 60．（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 【答案】（1）①；②问题①中结论仍然成立，理由见解析 （2）G是的中点，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握相关判定方法及性质是解题的关键． （1）①由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； ②由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）作于M，于N，先证，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点G是的中点． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：； ②问题①中结论仍然成立，理由如下： ， ， ， 又，， ， ，， ； （2）G是的中点，理由如下： 如图，作于M，于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点G是的中点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $