专题06 全等三角形的性质、判定及动点、折叠问题（七大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（沪教版）

专题06 全等三角形的性质、判定及动点、折叠问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、全等三角形的性质 3 类型二、全等三角形的判定 3 类型三、全等三角形的尺规作图 4 类型四、构造辅助线，结合全等三角形进行求解 5 类型五、利用全等三角形讨论线段存在的数量关系 8 类型六、全等三角形中的折叠问题 9 类型七、全等三角形中的动点问题 11 压轴能力测评 13 一、全等图形 1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （1）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （2）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （3）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 2.全等三角形 （1）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （2）全等三角形中的对应元素 概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点与点，点与点，点与点。 对应边：与，与，与。 对应角：与，与，与。 （3）全等三角形的表示：全等用符号“”表示，读作“全等于”。如三角形和全等，记作。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3.全等三角形的性质 （1）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （2）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵， ∴（全等三角形的对应边相等）。 （全等三角形的对应角相等）。 二、判定全等三角形 1.角角边AAS： 证明过程：在和中， ∴ 2.边边边SSS： 证明过程：在和中， 3.边角边SAS： 证明过程：在和中, 4.角边角ASA： 证明过程：在和中， 类型一、全等三角形的性质 【例1】如图，将沿折叠，的对应边恰好经过顶点A，，设，，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【例2】如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 【变式1-1】如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A、D、E在同一条直线上．若，（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为 ． 【变式1-3】如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 类型二、全等三角形的判定 【例3】如图，点D是内部一点，点E，F，G分别是点D关于的对称点，则（   ） A． B． C． D． 【例4】如图，在中，为边上一点，为边上一点，且，连接，为的中点．连接并延长，交于点，在上截取点，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 【变式2-1】如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在与中，且，，点B、C、E三点在同一直线上．若，则 ． 【变式2-3】如图，已知点、是内两点，且，，，． (1)求证：≌； (2)延长、交于点，若，，求的度数． 类型三、全等三角形的尺规作图 【例5】如图，在和中，，点B、E、C、F在同一直线上． (1)从以下三个选项中：①，②，③．选择两个选项作为条件，使得结论成立，并写出证明过程． 你选择的条件是 （填序号）． (2)连接，在（1）的条件下，请仅用无刻度的直尺作出的中点P（不写作法，保留作图痕迹）． 【例6】如图，在中，点在边上，作点关于的对称点，连接交于点，连接，作（点在右侧），且，连接，，，交于点． (1)①依题意补全图形； ②若，用含有的式子表示的度数； (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【变式3-1】如图，在中，，过点A在的外部作直线l，作点C关于直线l的对称点P，连接，线段交直线l于点D，连接． (1)①依题意补全图1； ②求证：； (2)如图2，若， ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系并证明． 【变式3-2】如图，在中，，将绕点C顺时针旋转，当点B恰好落到边上的点D时，得到，延长到点P，使得，联结． (1)根据题意，补全图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若D为的中点，求证：P、B、C三点在同一条直线上． 【变式3-3】如图，在中，，，是角平分线上的任意一点，是的中点，连接．将射线绕点逆时针旋转得到射线，过点作交射线于点． (1)①依题意补全图形； ②求证：； (2)连接，，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 类型四、构造辅助线，结合全等三角形进行求解 【例7】在中，是上一点，连接，过点作于点交于点是上一点，且满足，过点作于点，连接．若，，则的面积为 ． 【例8】如图．且且的延长线交于．求证：． 【变式4-1】如图，在中，，平分，过点B作于点D，若，，则的度数为 ． 【变式4-2】如图，在中，，，过点作，且，则的面积为 ． 【变式4-3】如图，在正方形中，，E为边上一点，点F在边上，且，将点E绕点F顺时针旋转得到点G，连接，则长度的最小值 ． 类型五、利用全等三角形讨论线段、角度的数量关系 【例9】（1）如图1，在中，，．点在上，点在上，且．则与的数量关系是________，直线与直线的位置关系是________； （2）如图2，在和中，，，．则与的数量关系怎样？直线与直线的位置关系怎样？请说明理由．      【例10】在中，，顶点在过、两点的直线上： (1)若，当点D、E在点A异侧时，如图1． 求证：①； ②； (2)若，当点D、E在点A右侧时，如图2，试判断、和之间的数量关系，并说明理由； (3)①若，且点D、E在点A异侧，如图3，直接写出、和之间的数量关系； ②若，，如图4，直接写出、和之间的数量关系． 【变式5-1】如图，在四边形中，，以D为顶点作一个角，角的两边分别交于E、F两点，连接，探索线段之间的数量关系，并加以证明． 【变式5-2】在中，，点D是射线上的一动点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，连接． (1)如图1，当点D在线段上，且时求证：①；②． (2)如图2，，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式5-3】如图1，等腰直角中，，点D是射线上的一动点，是等腰直角三角形，，连接． (1)如图2，点D是的延长线上的一点，猜想的关系，并证明你的结论； (2)探究的数量关系，直接写出你的结论　　　　　　． 类型六、全等三角形中的折叠问题 【例11】如图，在中，，，于点，把折叠，使点落在边上的点处，展开后，折痕交于点，交于点，连接，，下列结论：①；②图中有4对全等三角形；③若将沿折叠，则点一定落在边上；④．其中正确的个数为有（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例12】如图，在中，，，点为线段的中点，点在边上，连接，沿将折叠得到． (1)如图，当点落在上时，求的度数； (2)如图，当时，求的度数． 【变式6-1】如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边AB 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：①；②；③；④若，则． 其中正确的结论是 （填写序号）．      【变式6-2】如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点D的对应点为点F，与交于点E，若长方形的周长为16，则的周长为 ． 【变式6-3】将一张长方形纸片沿虚线折叠并剪开，如图①所示，得到两张三角形纸片，如图②所示，再将这两张三角形纸片按如图③所示的方式摆放，使点在同一条直线上，分别交于点交于点N． (1)试说明：； (2)若，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并说明理由． 类型七、全等三角形中的动点问题 【例13】如图，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒个单位的速度，沿做匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．，点为的中点，两个点同时出发，设移动时间为秒，在移动过程中，当与全等时，t的值为（   ）秒． A．或 B．或 C．或 D．或 【例14】如图，在长方形中，，，延长到点E，使．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿方向向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为 ． 【变式7-1】如图，在中，，，，P、Q是两个动点，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A－C－B的路线向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B－C－A的路线向终点A运动，点P和点Q都运动到各自的终点时停止，设运动时间为t（秒），直线经过点C，且l，过点P，Q分别作直线的垂线，垂足为E，F，当与全等时，t的值不可能是（   ） A．2 B．2.8 C．3 D．6 【变式7-2】如图，在四边形中，，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿做匀速移动，点从点出发沿向点匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，在整个运动过程中，当的速度为 时，与全等． 【变式7-3】如图所示，与相交于点，，点从点出发，在线段上沿以的速度运动，点从点出发，在线段上沿以的速度运动，两点同时出发，当点回到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为． (1)求证：； (2)写出线段的长（用含的代数式表示）； (3)连接，当线段经过点时，请直接写出的值． 一、单选题 1．如图，已知中，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点以的速度运动．经过(     )秒后，与全等． A．2 B．3 C．2或 D．无法确定 2．如图，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在中，，把绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 4．如图，锐角中，，分别是，边上的点，，，且，，交于点，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点A出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点A运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则当的值为多少时，与全等？（   ） A．2 B．2或6 C．或6 D．2或或6 二、填空题 6．如图，在纸片中，，，且，为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为 ． 7．如图，在中，于点，过点作，且，过点作交延长线于点，连接并延长交于点．若，，则 ． 8．如图，在中，，AD是中线，若，于点F，则的值是 ． 9．如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 三、解答题 10．已知，D、A、E三点均在直线上，且． (1)如图1，若，，，则线段的长为 ； (2)如图2，判断、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若将“”变为“”，其他条件不变，且，，则线段的长为 ． 11．如图，，点C在上，，点M在上，，以点M为旋转中心，将逆时针旋转得到线段． (1)求证：； (2)在射线上确定一点P，连接，当点M在不同位置时，，并说明理由． 12．如图（1），，，，；点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 13．将一个等腰直角三角板的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点向l作垂线，现要探究两垂线段长度与两垂足间距离的数量关系． 已知：，，过点A作，垂足为D，过点B做，垂足为E． (1)如图1，线段，，之间的数量关系是____________________； (2)如图2，此情形下（1）的结论是否仍然成立?并说明理由； (3)如图3，此情形下若，，求阴影部分的面积． 2 / 17学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 全等三角形的性质、判定及动点、折叠问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、全等三角形的性质 3 类型二、全等三角形的判定 3 类型三、全等三角形的尺规作图 6 类型四、构造辅助线，结合全等三角形进行求解 11 类型五、利用全等三角形讨论线段存在的数量关系 18 类型六、全等三角形中的折叠问题 23 类型七、全等三角形中的动点问题 31 压轴能力测评 36 一、全等图形 1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （1）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （2）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （3）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 2.全等三角形 （1）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （2）全等三角形中的对应元素 概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点与点，点与点，点与点。 对应边：与，与，与。 对应角：与，与，与。 （3）全等三角形的表示：全等用符号“”表示，读作“全等于”。如三角形和全等，记作。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3.全等三角形的性质 （1）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （2）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵， ∴（全等三角形的对应边相等）。 （全等三角形的对应角相等）。 二、判定全等三角形 1.角角边AAS： 证明过程：在和中， ∴ 2.边边边SSS： 证明过程：在和中， 3.边角边SAS： 证明过程：在和中, 4.角边角ASA： 证明过程：在和中， 类型一、全等三角形的性质 【例1】如图，将沿折叠，的对应边恰好经过顶点A，，设，，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵将沿折叠，的对应边恰好经过顶点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 故选：B． 【例2】如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【详解】（1）证明：， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：，， ， ， ， 四边形的面积． 【变式1-1】如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A、D、E在同一条直线上．若，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∵点A、D、E在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故选：D． 【变式1-2】如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积比的面积大25， ∴， 设点P到线段和线段的距离分别为，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点到线段和线段的距离之和为， 故答案为：． 【变式1-3】如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）已得：， ∴． 类型二、全等三角形的判定 【例3】如图，点D是内部一点，点E，F，G分别是点D关于的对称点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ∵点E，F，G分别是点D关于的对称点， ∴， 在与中，， ∴， ∴； 同理得：， ∴； ∴， 故选：B． 【例4】如图，在中，为边上一点，为边上一点，且，连接，为的中点．连接并延长，交于点，在上截取点，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：点是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式2-1】如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ， 故选项正确，不符合题意； ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故B选项正确，不符合题意； 假设， ，， ， ， ，， ， ，， ， 恰好平分， ， ， （这与与交于点矛盾）， 假设不成立， 故C选项不正确，符合题意； 恰好平分， ， ∵ ∴， 故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】如图，在与中，且，，点B、C、E三点在同一直线上．若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2-3】如图，已知点、是内两点，且，，，． (1)求证：≌； (2)延长、交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）， ， ， 在和中， ， ∴≌． （2）， ， ， ． 类型三、全等三角形的尺规作图 【例5】如图，在和中，，点B、E、C、F在同一直线上． (1)从以下三个选项中：①，②，③．选择两个选项作为条件，使得结论成立，并写出证明过程． 你选择的条件是 （填序号）． (2)连接，在（1）的条件下，请仅用无刻度的直尺作出的中点P（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)①②或①③，见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：选择①②，理由如下： ， 在和中，， ， ； 选择①③，理由如下： ， ， 在和中，， ， ； 故答案为：①②或①③； （2）解：如图，连接与的交点即为所求作点P， ， ，， ， ， ， ， 即点P是的中点． 【例6】如图，在中，点在边上，作点关于的对称点，连接交于点，连接，作（点在右侧），且，连接，，，交于点． (1)①依题意补全图形； ②若，用含有的式子表示的度数； (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；② (2)（或或） 【详解】（1）解：①如图1所示， ②∵点D关于的对称点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图2，过点F作于H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由②知：， ∴， ∵， ∴， ∵点D关于的对称点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质，正确作辅助线解决问题是解题的关键． 【变式3-1】如图，在中，，过点A在的外部作直线l，作点C关于直线l的对称点P，连接，线段交直线l于点D，连接． (1)①依题意补全图1； ②求证：； (2)如图2，若， ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系并证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①见解析；②结论：，见解析 【详解】（1）解：①如图1所示： ②证明：，C关于直线l对称， ， ，， ， ， ， ； （2）解：①图形如图2所示； ②结论： 理由：设交于点O，在线段上截取线段，使得，连接． 由（1）可知， ， ， ，， ，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式3-2】如图，在中，，将绕点C顺时针旋转，当点B恰好落到边上的点D时，得到，延长到点P，使得，联结． (1)根据题意，补全图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若D为的中点，求证：P、B、C三点在同一条直线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）证明：连接，如图： 当D为的中点，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点三点共线． 【点睛】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，旋转的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识点，正确作图是解题的关键． 【变式3-3】如图，在中，，，是角平分线上的任意一点，是的中点，连接．将射线绕点逆时针旋转得到射线，过点作交射线于点． (1)①依题意补全图形； ②求证：； (2)连接，，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，见解析 【详解】（1）解：①补全图形如下： ②证明：∵，，是角平分线， ∴，， ∵将射线绕点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 延长至点H，使得，连接，如图所示： ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 类型四、构造辅助线，结合全等三角形进行求解 【例7】在中，是上一点，连接，过点作于点交于点是上一点，且满足，过点作于点，连接．若，，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长，过点作交的延长线于点．则， ∵， ， ， 在和中：，， ， ∴， ∵， ， ， ， ，， ， 在和中， ∵，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【例8】如图．且且的延长线交于．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：如图，过点作交的延长线于， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点； ，， 点是的中点， ， ． 【变式4-1】如图，在中，，平分，过点B作于点D，若，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：延长交于， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】如图，在中，，，过点作，且，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， ∵，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式4-3】如图，在正方形中，，E为边上一点，点F在边上，且，将点E绕点F顺时针旋转得到点G，连接，则长度的最小值 ． 【答案】D 【详解】解：过点G作，垂足为H， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点G在与平行且与的距离为2的直线上， ∴由垂线段最短可知，当点G在边上时，最小且， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 类型五、利用全等三角形讨论线段、角度的数量关系 【例9】（1）如图1，在中，，．点在上，点在上，且．则与的数量关系是________，直线与直线的位置关系是________； （2）如图2，在和中，，，．则与的数量关系怎样？直线与直线的位置关系怎样？请说明理由．      【答案】（1），；（2），，见解析 【详解】解：（1）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2），，理由如下： 延长交交于点．如图： ∵， ∴， 在和中，， ∴≌， ∴，， ∵， ∴，即． 故答案为：，． 【例10】在中，，顶点在过、两点的直线上： (1)若，当点D、E在点A异侧时，如图1． 求证：①； ②； (2)若，当点D、E在点A右侧时，如图2，试判断、和之间的数量关系，并说明理由； (3)①若，且点D、E在点A异侧，如图3，直接写出、和之间的数量关系； ②若，，如图4，直接写出、和之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 (3)①；② 【详解】（1）①证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ②∵ ∴， ∴； （2）解：， 理由：∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）①， 理由：∵， ∴， ∴， 即， ∴在和中， ， ∴， ∴， ， ∴； ②， 理由：如图所示，设和交于点F， 设，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式5-1】如图，在四边形中，，以D为顶点作一个角，角的两边分别交于E、F两点，连接，探索线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】，见解析 【详解】解：如图，结论： 理由如下：延长到M，使， ∵， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式5-2】在中，，点D是射线上的一动点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，连接． (1)如图1，当点D在线段上，且时求证：①；②． (2)如图2，，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)或，理由见解析 【详解】（1）证明：①∵， ∴，    ∴ ，    在和中， ， ∴；          ②由得 ，        ∵， ∴ ，       ∴ ，         ∴； （2）解：或．理由如下： ①当点D在线段上时，如图2所示， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴  ， ②当点D在线段的延长线上，如图所示， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式5-3】如图1，等腰直角中，，点D是射线上的一动点，是等腰直角三角形，，连接． (1)如图2，点D是的延长线上的一点，猜想的关系，并证明你的结论； (2)探究的数量关系，直接写出你的结论　　　　　　． 【答案】(1)，理由见解析 (2)或，理由见解析 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是等腰直角三角形， ∴，， 又∵，则， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：或，理由如下： 当点D是的延长线上的一点时， 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴； 当点D是线段上的一点时， 如图1， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 又∵，则， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型六、全等三角形中的折叠问题 【例11】如图，在中，，，于点，把折叠，使点落在边上的点处，展开后，折痕交于点，交于点，连接，，下列结论：①；②图中有4对全等三角形；③若将沿折叠，则点一定落在边上；④．其中正确的个数为有（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：由折叠的性质得，，，即， 在中，， ， ， ， ， ，故①错误； 由折叠的性质得，，，， ， ， 在和中， ， ， 图中有4对全等三角形，故②正确； ，， ， 由折叠的性质得，， ， ， 若将沿折叠，则点一定落在边上，故③正确； ，， 是等腰直角三角形， ， 由折叠的性质得，， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，其中正确的有②③④，共3个． 故选：B． 【例12】如图，在中，，，点为线段的中点，点在边上，连接，沿将折叠得到． (1)如图，当点落在上时，求的度数； (2)如图，当时，求的度数． 【答案】(1)的度数为 (2)的度数 【详解】（1）解：沿折叠得到， ， ， 点为线段的中点， ， ， 在中，， ； （2）解：由（1）得， 又， ， ， 在中，，，则， 在中，， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质，解题的关键是根据折叠的性质得到相等的线段和角． 【变式6-1】如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边AB 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：①；②；③；④若，则． 其中正确的结论是 （填写序号）．      【答案】①③④ 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确，故符合要求； ∵，无法判断与的关系，②错误，故不符合要求； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，④正确，故符合要求； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，全等的性质，三角形内角和、三角形外角的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 【变式6-2】如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点D的对应点为点F，与交于点E，若长方形的周长为16，则的周长为 ． 【答案】8 【详解】解：根据折叠的性质可得，，， ∵在长方形中，，， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴的周长＝， ∵长方形的周长为16， ∴， 即的周长为8． 故答案为：8． 【变式6-3】将一张长方形纸片沿虚线折叠并剪开，如图①所示，得到两张三角形纸片，如图②所示，再将这两张三角形纸片按如图③所示的方式摆放，使点在同一条直线上，分别交于点交于点N． (1)试说明：； (2)若，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 【详解】（1）解：根据题意可知，，， 所以． 在和中，， 所以． 又因为， 所以，即． （2）．理由如下： 在和中， 所以． 类型七、全等三角形中的动点问题 【例13】如图，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒个单位的速度，沿做匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．，点为的中点，两个点同时出发，设移动时间为秒，在移动过程中，当与全等时，t的值为（   ）秒． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：当与全等时， ， 、或、， ， ∴当点由点到点，即时， 则， 解得：； 当点由点到点，即时， ， 解得：； 综上所述，当与全等时，的值为或； 故选：B 【例14】如图，在长方形中，，，延长到点E，使．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿方向向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为 ． 【答案】1或7 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∴，， 若，则当时， 根据可得， ∴，解得； 若，则当时， 根据可得， ∴，解得：． 综上，当和全等时，t的值为1或7． 故答案为：1或7． 【变式7-1】如图，在中，，，，P、Q是两个动点，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A－C－B的路线向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B－C－A的路线向终点A运动，点P和点Q都运动到各自的终点时停止，设运动时间为t（秒），直线经过点C，且l，过点P，Q分别作直线的垂线，垂足为E，F，当与全等时，t的值不可能是（   ） A．2 B．2.8 C．3 D．6 【答案】C 【详解】解：当P在上，Q在上时，如图，过点P，Q，C分别作直线l于点E，直线l于点F，于点D， ∵， ∴， ∵于E，于F． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 当P在上，Q在上时，即P、Q重合时，则， 由题意得，， 解得； 当P在上，Q在上时，即A、Q重合时，则， 由题意得，， 解得． 综上，当与全等时，t的值为2或2.8或6． ∴t的值不可能是3． 故选：C． 【变式7-2】如图，在四边形中，，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿做匀速移动，点从点出发沿向点匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，在整个运动过程中，当的速度为 时，与全等． 【答案】每秒个单位长度或个单位长度或1个单位长度 【详解】（1）解：在和中， ， ， ， 设运动时间为，点的运动速度为， 当时， 若， 则， ∴，解得：， ∴； 若，则， ∴， ∴（舍去）； 当时，若， 则， ∴， ∴ ， ∴； 若， 则， ∴， ∴ ， ∴． 综上所述，当点G的运动速度为每秒个单位长度或个单位长度或1个单位长度时，会有与全等． 故答案为：每秒个单位长度或个单位长度或1个单位长度． 【变式7-3】如图所示，与相交于点，，点从点出发，在线段上沿以的速度运动，点从点出发，在线段上沿以的速度运动，两点同时出发，当点回到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为． (1)求证：； (2)写出线段的长（用含的代数式表示）； (3)连接，当线段经过点时，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3)或 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：当点先从点到点运动时：； 当点再从点到点运动时：， 综上所述：的长为或． （3）解：连接连接，且过点， 由（1）得，， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， ∴， 解得：； 当时，，， ∴， 解得：， 综上所述：的值为或． 一、单选题 1．如图，已知中，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点以的速度运动．经过(     )秒后，与全等． A．2 B．3 C．2或 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：中，， ． 如图，设，两点分别从，两点同时出发运动时，则，， ，， 是中点， ①当时， ，即，解得：， 此时，不符合题意，舍去， ②当时， ，即，解得：， 此时，符合题意， 综上可知：， 故选：A． 2．如图，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴图中阴影部分的面积等于， 故选：B． 3．如图，在中，，把绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由已知得：，则， ∵，并没有必然的相等关系，找不到能证明两边相等的依据， ∴故A错误； ∵绕点顺时针旋转得到，， 但与并没有必然的相等关系，找不到能证明两角相等的依据， ∴故B错误； 由已知得：，则，， ∴， 故C错误； ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 4．如图，锐角中，，分别是，边上的点，，，且，，交于点，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，， ∵，， ∴，，， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即． 则． ∵，， ∴． 故选：A． 5．如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点A出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点A运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则当的值为多少时，与全等？（   ） A．2 B．2或6 C．或6 D．2或或6 【答案】D 【详解】∵，， ∴， ∴与全等分三种情况讨论： ①如图①，当，且点在上、点在上运动时， ． 此时，， ∴， 解得； ②如图②，当，且点与点重合时， ． 此时，， ∴， 解得； ③当，且点在上、点在上运动时，． 此时，． 当点未到达终点A时， ， 解得， 不符合题意，舍去． 当点到达终点A时，继续运动，如图③． 此时点与点A重合，， ∴， 解得． 综上所述，当的值为2或或6时，与全等． 故选：D．            二、填空题 6．如图，在纸片中，，，且，为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵、分别沿、向外翻折至、， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，当取最小值时的面积最小， 在中，当垂直时，最小， 此时，， ，解得：， ∴的最小值为：． 7．如图，在中，于点，过点作，且，过点作交延长线于点，连接并延长交于点．若，，则 ． 【答案】 【详解】解：，，， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ，， 在与中， ， ， ， ． 故答案为：． 8．如图，在中，，AD是中线，若，于点F，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：过点B作于H，延长至E，使，连接， ， ，， ， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 9．如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 【答案】4或10 【详解】解：设点E运动的时间为， 如图1，点E从点B出发沿射线方向运动， ∵为边上的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得； 如图2，点E从点B出发沿射线方向运动，则，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得， 综上所述，当点E运动或时，， 故答案为：4或10． 三、解答题 10．已知，D、A、E三点均在直线上，且． (1)如图1，若，，，则线段的长为 ； (2)如图2，判断、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若将“”变为“”，其他条件不变，且，，则线段的长为 ． 【答案】(1)9 (2)，理由见解析 (3)3 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 11．如图，，点C在上，，点M在上，，以点M为旋转中心，将逆时针旋转得到线段． (1)求证：； (2)在射线上确定一点P，连接，当点M在不同位置时，，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵是的外角， ∴， ∵以点M为旋转中心，将逆时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：在射线上确定一点P，连接，如图： ， ∵，，， ∴， ∴， ∴在射线上，截取，即可确定点P． 12．如图（1），，，，；点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)全等，理由见解析； (2)存在，或使得与全等 【详解】（1）解：与全等，，理由如下， 当时，，， 又∵，在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在 ①若，则，， ∴，解得； ②若，则，， ∴，解得； 综上所述，存在或使得与全等． 13．将一个等腰直角三角板的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点向l作垂线，现要探究两垂线段长度与两垂足间距离的数量关系． 已知：，，过点A作，垂足为D，过点B做，垂足为E． (1)如图1，线段，，之间的数量关系是____________________； (2)如图2，此情形下（1）的结论是否仍然成立?并说明理由； (3)如图3，此情形下若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)不成立，见解析 (3) 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴； （2）解：不成立； 理由：，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （3）解：由（2）结论可知，， ． 2 / 17学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$