专题02相交线与平行线易错必刷题型专项训练(21大题型共计63道题)2025-2026学年沪教版五四制七年级数学下册

专题02相交线与平行线易错必刷题型专项训练 题型01.对顶角相等 题型02.定理与证明 题型03.垂线段最短 题型04.点到直线的距离 题型05.同位角.内错角.同旁内角 题型06.反证法证明中的假设 题型07.用反证法证明命题 题型08.两直线平行.同旁内角互补 题型09.由平行线性质探究角的关系 题型10.由平行线性质求角的度数 题型11.平行线性质在生活中的应用 题型12.由平行线判定与性质求角度 题型13.由平行线判定与性质证明 题型14.判断是否是命题 题型15.写出命题的提题设与结论 题型16.判断命题的真假 题型17.举例说明假(真)命题 题型18.写出命题的逆命题 题型19.写出命题的已知求证及证明过程 题型20.已知证明过程填写理论依据 题型21.由给出的论断组命题并证明 易错必刷题型01.对顶角相等 易错点：分不清对顶角和邻补角，复杂图形里找不对角，角度计算容易算错 1．如图，直线，相交于点O，平分，，则的度数是_____________． 2．直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线、交于点，，平分，，求的度数． 易错必刷题型02.定理与证明 易错点：几何证明跳步骤，推理依据乱写、漏写，格式不规范 4．下列真命题能作为基本事实的是（    ） A．对顶角相等 B．三角形的内角和是 C．在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．内错角相等，两直线平行 5．下列命题可以作定理的有_____个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 6．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 易错必刷题型03.垂线段最短 易错点：分不清垂线段、点到直线的距离，最短路径选择题很容易选错 7．义卖活动中，同学们玩投壶游戏．小明认为站在点C处的投壶者会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是__________． 8．如图，点，在直线上，点在直线外，连接，，若，，则点到直线的距离可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)线段___________线段；（填“>”“<”或“=”） .易错必刷题型04.点到直线的距离 易错点：把垂线段本身当成距离，记错概念，填空选择题最爱在这里丢分 10．如图，，于点，点到的距离是图中线段___________的长度． 11．如图所示，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①点B到的垂线段是线段；②线段是点C到的垂线段； ③线段是点D到的垂线段；④线段是点B到的垂线段． A．4 B．3 C．2 D．1 12．如图，，，相交于点O，平分，，． (1)线段_______的长度表示点M到的距离； (2)比较与的大小（用“”号连接）：_______，并说明理由：______． (3)求的度数． 易错必刷题型05.同位角.内错角.同旁内角 易错点：找不准截线和被截线，图形一复杂就认错角，后续做题全跟着错 13．如图，根据汉字“士”中标注的角，回答下列问题： （1）与成同位角的是________； （2）与成内错角的是________； （3）图中有________对同旁内角，分别是________． 14．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架构成了多种位置关系的角，有下列四种叙述：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 15．如图，直线DE和BC被直线AB所截． (1)与、与，与各有什么特殊的位置关系？ (2)与是内错角吗？为什么？ (3)如果，那么等于吗？和互补吗？为什么？ 易错必刷题型06.反证法证明中的假设 易错点：假设写反、写错，不会找原命题结论的反面 16．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　） A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于 C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于 17．用反证法证明命题：“已知是同一平面内三条不同的直线，如果与相交，那么与相交”是真命题时，第一步应假设______． 18．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（   ） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形中没有一个内角小于 D．三角形中每个内角都大于 易错必刷题型07.用反证法证明命题 易错点：不会正常推理推出矛盾，证明逻辑混乱，步骤写不完整 19．用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 证明：假设__________，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“__________”矛盾，故假设不成立．所以． 20．证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 21．用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 易错必刷题型08.两直线平行.同旁内角互补 易错点：和平行线判定弄混，容易写成同旁内角相等，记混定理 22．如图，若，则_____． 23．山西省因地处太行山以西而得名，如图所示的“山”字中，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 24．如图，四边形，，点E在的延长线上，连接． (1)若，则的度数是___°； (2)若，求证：． 易错必刷题型09.由平行线性质探究角的关系 易错点：不会结合对顶角、邻补角综合推角的关系，逻辑理不清 25．如图，，，则与满足_________． 26．如图，已知，、的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，；第二次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，；第三次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，，…；第次操作，分别作和的三等分线，交点为．若度，那么（   ） A． B． C． D． 27．已知，点M是直线与内一点，连接、． (1)如图1，当点M在直线与内时，试说明． (2)如图2，作与的角平分线相交于点G，探究是否为定值，请说明理由． (3)如图3，若平分，平分，若，求的度数． 易错必刷题型10.由平行线性质求角的度数 易错点：角度推导思路乱，计算粗心，一步错整道题都错 28．当光线从水中射向空气时，要发生折射，在水中平行的光线，折射到空气中也是平行的，如图，，则的度数为________． 29．将一副三角尺按如图所示的方式放置，给出下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则．上述结论中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．如图，已知点E，F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 易错必刷题型11.平行线性质在生活中的应用 易错点：不会把生活场景转化成几何图形，看不懂题干不会做题 31．如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图②所示的平面示意图，弹弓的两边可看成平行的，即．活动小组在探索与，的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，判断此时瞄准是否_________．（填“准确”或“不准确”） 32．如图，一条公路两次转弯后又回到原来的方向，若第一次转弯的转角的度数为，那么应是（    ） A． B． C． D． 33．“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 易错必刷题型12.由平行线判定与性质求角度 易错点：分不清先判定平行、再用性质求角，判定和性质来回用反 34．如图，已知，则______． 35．如图，一张长方形纸片剪去两个角，测得，，则（    ） A． B． C． D． 36．直线上从左到右依次有、两点，直线上从左到右依次有、两点，画直线，并连接，若，且． (1)如图1，求的大小． (2)若为直线上一点，连接，的平分线与直线相交于点，． ①如图2，当时，求的值和的大小； ②如图3，当射线与射线相交于点，请直接用含有的式子表示的大小，其结果为____________度． 易错必刷题型13.由平行线判定与性质证明 易错点：证明过程判定和性质写反，定理依据乱套，步骤缺漏不严谨 37．如图，已知平分平分．下列结论：①；②；③；④若，则．其中，正确的序号是_______． 38．如图，下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 39．如图，，． (1)试说明：； 请将下面的证明过程补充完整： 证明：， （① ）， 又， ②_________=_________（等量代换）， （③ ） (2)若，平分，求的度数． 易错必刷题型14.判断是否是命题 易错点：分不清陈述句、疑问句、祈使句，错把问句、画图指令当成命题 40．下列语言叙述是命题的是（    ） A．画一条端点为的射线 B．你喜欢秦安吗？ C．赶紧写作业！ D．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 41．下列语句中，是命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截 B．两直线相交吗 C．过直线外一点作这条直线的垂线 D．内错角相等 42．下列选项是命题的是（    ） A．作直线 B．今天的天气好吗？ C．连接、两点 D．同角的余角相等 易错必刷题型15.写出命题的提题设与结论 易错点：不会改写如果那么句式，题设和结论拆分错误，找不准 43．命题“如果，那么或”的结论是（   ） A． B． C． D．或 44．将命题“钝角的补角是锐角”改写成“如果…那么…”的形式：____________． 45．命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（   ） A．两条直线平行于同一条直线 B．三条直线平行 C．两条直线平行 D．两条直线垂直 易错必刷题型16.判断命题的真假 易错点：真假命题判断错误，分不清定理和普通命题 46．命题“如果，那么”是______________命题．（填“真”或“假”） 47．下列命题中为真命题的是（   ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．同旁内角互补 D．邻补角相等 48．下列说法： ①一个数的平方根是它本身，则这个数是0； ②过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④对顶角相等的逆命题是真命题． 其中正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 易错必刷题型17.举例说明假(真)命题 易错点：举反例不符合题目条件，举例不规范、不对题 49．举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 50．命题“如果一个数能被3整除，那么它一定能被6整除”是_____命题．（填“真”“假”） 51．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D． 易错必刷题型18.写出命题的逆命题 易错点：题设结论颠倒混乱，逆命题改写错误 52．已知命题“若，则”，写出这个命题的逆命题________． 53．以下命题的逆命题中，属于真命题的是（   ） A．如果，，则 B．直角都相等 C．两直线平行，同位角相等 D．若，则 54．写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． (1)同位角相等； (2)全等三角形的对应角相等． .易错必刷题型19.写出命题的已知求证及证明过程 易错点：不会规范写已知求证，证明步骤缺漏，格式完全不标准 55．实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 56．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 57．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 易错必刷题型20.已知证明过程填写理论依据 易错点：判定、性质、定理、定义互相写混，对应依据填错 58．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 59．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 60．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 易错必刷题型21.由给出的论断组命题并证明 易错点：不会自己组合条件和结论，命题组错，后续证明全部出错 61．下列说法中，正确的是（    ） A．经过证明为正确的真命题叫做公理 B．假命题不是命题 C．要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，说明它错误即可 D．要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可 62．金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为______． 63．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02相交线与平行线易错必刷题型专项训练 题型01.对顶角相等 题型02.定理与证明 题型03.垂线段最短 题型04.点到直线的距离 题型05.同位角.内错角.同旁内角 题型06.反证法证明中的假设 题型07.用反证法证明命题 题型08.两直线平行.同旁内角互补 题型09.由平行线性质探究角的关系 题型10.由平行线性质求角的度数 题型11.平行线性质在生活中的应用 题型12.由平行线判定与性质求角度 题型13.由平行线判定与性质证明 题型14.判断是否是命题 题型15.写出命题的提题设与结论 题型16.判断命题的真假 题型17.举例说明假(真)命题 题型18.写出命题的逆命题 题型19.写出命题的已知求证及证明过程 题型20.已知证明过程填写理论依据 题型21.由给出的论断组命题并证明 易错必刷题型01.对顶角相等 易错点：分不清对顶角和邻补角，复杂图形里找不对角，角度计算容易算错 1．如图，直线，相交于点O，平分，，则的度数是_____________． 【答案】/度 【分析】由对顶角相等，结合角平分线的定义，可得，即可得的度数． 【详解】解：∵直线，相交于点O， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 2．直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对顶角的性质可求得的度数，由角平分线的性质得出的度数，再利用垂直定义得出的度数，最后根据求解即可． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ． 3．如图，直线、交于点，，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】根据余角的定义求出的值，根据对顶角相等得到，根据角平分线的定义计算即可． 【详解】解：，， ． ， ． 平分， ． 易错必刷题型02.定理与证明 易错点：几何证明跳步骤，推理依据乱写、漏写，格式不规范 4．下列真命题能作为基本事实的是（    ） A．对顶角相等 B．三角形的内角和是 C．在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．内错角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理．数学公理也叫数学基本事实，都是人们在实践经验中得到的结论，没有经过证明得出的．判断所给命题是否是经过证明得出的结论，即可解答． 【详解】解：四个选项中，A，B，D需要证明得出的结论，只有C是基本事实． 故选：C． 5．下列命题可以作定理的有_____个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【答案】2 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理； ∴可以作定理的有2个 故答案为：2 6．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点有:定理的概念:定理是经过逻辑证明为真的陈述，是具有普遍意义、经过严格证明的结论．包括平均数的计算、能被和整除的数的特征、方程的根的验证、三角形内角和定理、等式的基本性质等相关数学概念和性质，通过对这些内容的考查，判断哪些命题符合定理的定义． 【详解】解：命题①平均数的计算是，所以“与的平均数是”是错误的，不是定理； 命题②能被整除的数不一定能被整除，例如能被整除，但不能被整除，所以该命题错误，不是定理； 命题③“将 代入方程，左边，右边，左边右 边，所以该命题是错误的，不是定理； 命题④“三角形的内角和是”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具有普遍适用性的结论，是定理； 命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定的、具有普遍意义的结论，是定理； 综上，命题④和命题⑤是定理，共个． 故选：A． 易错必刷题型03.垂线段最短 易错点：分不清垂线段、点到直线的距离，最短路径选择题很容易选错 7．义卖活动中，同学们玩投壶游戏．小明认为站在点C处的投壶者会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是__________． 【答案】垂线段最短 【详解】解：小明认为站在点C处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短． 8．如图，点，在直线上，点在直线外，连接，，若，，则点到直线的距离可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：因为垂线段最短， ∴点P到直线l的距离小于3， 观察四个选项，只有选项A符合题意． 9．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)线段___________线段；（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解； (4)> 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平移的性质，垂线的定义，垂线段最短． （1）根据平移的性质画出图形即可； （2）根据垂直的定义画图即可； （3）根据垂直定义画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 【详解】（1）解：如图，则即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，直线即为所求． ； （4）解：∵， ∴根据垂线段最短，得． 故答案为：>． .易错必刷题型04.点到直线的距离 易错点：把垂线段本身当成距离，记错概念，填空选择题最爱在这里丢分 10．如图，，于点，点到的距离是图中线段___________的长度． 【答案】 【详解】解：，则， 点到的距离是线段的长度． 11．如图所示，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①点B到的垂线段是线段；②线段是点C到的垂线段； ③线段是点D到的垂线段；④线段是点B到的垂线段． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，结合图示对各个选项逐一分析即可作出判断． 【详解】解：①点B到的垂线段是线段，说法正确； ②线段是点C到的垂线段，说法正确； ③线段是点A到的垂线段，原说法错误； ④线段是点B到的垂线段，说法正确． 综上，正确的个数共有3个． 12．如图，，，相交于点O，平分，，． (1)线段_______的长度表示点M到的距离； (2)比较与的大小（用“”号连接）：_______，并说明理由：______． (3)求的度数． 【答案】(1) (2)；垂线段最短 (3) 【分析】本题考查的是点到直线的距离． （1）根据点到直线的距离解答即可； （2）根据垂线段最短解答即可； （3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可． 【详解】（1）解：线段的长度表示点M到的距离， 故答案为：； （2）解：比较与的大小为：，是因为垂线段最短， 故答案为：；垂线段最短； （3）解：∵，平分， ∴， ∴． 易错必刷题型05.同位角.内错角.同旁内角 易错点：找不准截线和被截线，图形一复杂就认错角，后续做题全跟着错 13．如图，根据汉字“士”中标注的角，回答下列问题： （1）与成同位角的是________； （2）与成内错角的是________； （3）图中有________对同旁内角，分别是________． 【答案】 2 与，与 【详解】解：（1）由图可知：与成同位角； （2）由图可知：与成内错角； （3）由图可知：图中有2对同旁内角，分别是与，与． 14．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架构成了多种位置关系的角，有下列四种叙述：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形中角的位置关系进行逐一判断即可 【详解】① 和 是由水平直线截两条斜线所得，均在截线上方且在被截直线右侧（或同侧），符合同位角定义，故①正确； ② 和 是由左下至右上的斜线截上下两条水平线所得， 在截线右侧、被截线之间， 在截线左侧，不在被截线之间，不符合内错角定义，故②错误； ③ 和 是由左下至右上的斜线截上下两条水平线所得，均在截线右侧且在被截线之间，符合同旁内角定义，故③正确； ④ 和 是由左上至右下的斜线截上下两条水平线所得，均在截线右侧且在被截直线上方，符合同位角定义，故④正确． 综上所述，正确的是①③④． 15．如图，直线DE和BC被直线AB所截． (1)与、与，与各有什么特殊的位置关系？ (2)与是内错角吗？为什么？ (3)如果，那么等于吗？和互补吗？为什么？ 【答案】(1)与是内错角，与是同旁内角，与是同位角 (2)与不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间 (3)，和互补，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．也考查了同位角、内错角和同旁内角的定义． （1）回忆内错角、同位角和同旁内角的定义：在两被切直线的内侧，且在切线异侧的两个角叫作内错角，在被切直线同一侧， 而且在切线同侧的两个角叫作同位角，在两被切直线的内侧，且在切线同侧的两个角叫作同旁内角．再根据图形中角的位置关系，即可得到答案； （2）根据图形中和的位置关系，可知和不在一条直线的两侧，即可判断答案； （3）根据同旁内角互补两直线平行，可得到再根据平行线的性质，即可得到答案． 【详解】（1）∵与两个角都在两直线的中间， 截线的两侧， ∴与是内错角， ∵与两个角都在两直线的中间， 截线的同旁， ∴与是同旁内角， ∵与两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧位置， ∴与是同位角． 故答案为：与是内错角，与是同旁内角，与是同位角 （2）∵内错角必须在两条被截直线之间， ∴与不是内错角． 故答案为：与不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间 （3）理由: ∵，而， ， ∵和互补，， ∴和也互补． 故答案为：，和互补 易错必刷题型06.反证法证明中的假设 易错点：假设写反、写错，不会找原命题结论的反面 16．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　） A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于 C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于 【答案】A 【分析】反证法的步骤中，假设时准确找出原命题结论的反面即可． 【详解】解：由题意得 需假设两锐角都大于． 17．用反证法证明命题：“已知是同一平面内三条不同的直线，如果与相交，那么与相交”是真命题时，第一步应假设______． 【答案】 【分析】反证法证明命题时，需先假设命题的结论不成立，据此求解即可． 【详解】解：∵用反证法证明：已知a，b，c是同一平面内的三条不同的直线，如果，a与c相交，那么b与c相交． ∴应先假设． 18．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（   ） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形中没有一个内角小于 D．三角形中每个内角都大于 【答案】D 【分析】本题考查反证法的应用，根据反证法的意义及步骤即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设三角形中每个内角都大于， 故选：D． 易错必刷题型07.用反证法证明命题 易错点：不会正常推理推出矛盾，证明逻辑混乱，步骤写不完整 19．用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 证明：假设__________，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“__________”矛盾，故假设不成立．所以． 【答案】与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题主要考查了反证法，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，先假设结论不成立，即假设与不平行，那么它们相交于一点，则可推出过点的两条直线、都与直线垂直，这与“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，故假设不成立，据此求解即可． 【详解】证明：假设与不平行，那么它们相交于一点． ，，过点的两条直线、都与直线垂直． 这与基本事实“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾， 故假设不成立． 所以． 故答案为：与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 20．证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 【答案】C 【分析】本题考查了反证法“假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法”，熟记定义是解题关键．根据反证法的定义即可解答． 【详解】解：由证明过程可知，证明方法是反证法， 故选：C． 21．用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 【答案】见解析 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 利用等腰三角形的性质和大边对大角进行分析作答． 【详解】证明：假设， （等边对等角）． 假设， （大边对大角）． 上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立． ． 易错必刷题型08.两直线平行.同旁内角互补 易错点：和平行线判定弄混，容易写成同旁内角相等，记混定理 22．如图，若，则_____． 【答案】 【分析】设的同旁内角为，由对顶角相等可得，再结合两直线平行，同旁内角互补，求出． 【详解】解：如图， 由对顶角相等可得，， ∵， ∴． 23．山西省因地处太行山以西而得名，如图所示的“山”字中，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 24．如图，四边形，，点E在的延长线上，连接． (1)若，则的度数是___°； (2)若，求证：． 【答案】(1)98 (2)见详解 【分析】（1）根据平行线的性质即可求解； （2）根据平行线的性质得出， 结合， 得出，证出，再根据平行线的判定定理证明即可； 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∵， ∴； （2）证明： ， ， 又， ， ， ． 易错必刷题型09.由平行线性质探究角的关系 易错点：不会结合对顶角、邻补角综合推角的关系，逻辑理不清 25．如图，，，则与满足_________． 【答案】 【分析】过点作，根据平行线的性质可得，，将复杂的角转化为平行线间的内错角或同旁内角，从而建立已知角与未知角之间的联系． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， 整理得：， 即， 故答案为：． 26．如图，已知，、的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，；第二次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，；第三次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，，…；第次操作，分别作和的三等分线，交点为．若度，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作，则，，从而可得，结合，得出，分别表示出、、，得出规律即可． 【详解】解：如图，过点作， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， …， ∴， ∵， ∴． 27．已知，点M是直线与内一点，连接、． (1)如图1，当点M在直线与内时，试说明． (2)如图2，作与的角平分线相交于点G，探究是否为定值，请说明理由． (3)如图3，若平分，平分，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)为定值；见解析 (3) 【分析】（1）过点M作，根据平行线的性质得出，，根据，即可得出结论； （2）根据角平分线定义得出，，根据解析（1）的结论，即可得出答案； （3）根据角平分线定义得出，，根据，结合，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点M作，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：为定值，理由见解析； ∵平分，平分， ∴，， 根据解析（1）同理可得：， ∵， ∴； （3）解：∵平分，平分， ∴，， 根据解析（1）同理可得：， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 易错必刷题型10.由平行线性质求角的度数 易错点：角度推导思路乱，计算粗心，一步错整道题都错 28．当光线从水中射向空气时，要发生折射，在水中平行的光线，折射到空气中也是平行的，如图，，则的度数为________． 【答案】/135度 【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”，解答即可． 【详解】解：∵在水中平行的光线，折射到空气中也是平行的， ∴， ∴． 29．将一副三角尺按如图所示的方式放置，给出下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则．上述结论中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由题意得，；由的度数求得，从而可判定①；由平行线的性质，则可求得，从而可判定②；由可判定③；由可得，则可判定④； 【详解】解：由题意得，； ∵， ∴， ∴， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②错误； ∵， ∴ ； ∴；故③正确； ∵， 即， ∴， ∴， ∴， ∴；故④正确； 综上，①③④正确． 30．如图，已知点E，F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得到，进而得到，即可证明； （2）根据平行线的性质得到，，再根据对顶角相等即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 易错必刷题型11.平行线性质在生活中的应用 易错点：不会把生活场景转化成几何图形，看不懂题干不会做题 31．如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图②所示的平面示意图，弹弓的两边可看成平行的，即．活动小组在探索与，的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，判断此时瞄准是否_________．（填“准确”或“不准确”） 【答案】准确 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键． 过点P作，利用两直线平行，同旁内角互补求出，即有，问题得解． 【详解】解：如图，过点P作，    则． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴此时瞄准最准确． 故答案为：准确． 32．如图，一条公路两次转弯后又回到原来的方向，若第一次转弯的转角的度数为，那么应是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质得出，即可求解． 【详解】解：， ． 33．“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【答案】(1) (2)30或110秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质与角的和差关系的运用、一元一次方程的几何应用， （1）根据两角之和为以及两角之比为即可求解； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分为两种情况得到关于t的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵且， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）设灯A转t秒时，两灯的光束互相平行， 或， 所以或． 答：灯A转动30或110秒，两灯的光束互相平行． 易错必刷题型12.由平行线判定与性质求角度 易错点：分不清先判定平行、再用性质求角，判定和性质来回用反 34．如图，已知，则______． 【答案】/113度 【详解】解：如图，∵ ∴ ∴， ∴, ∴． 35．如图，一张长方形纸片剪去两个角，测得，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，利用平行线的性质得到，推出，，结合已知条件求出的度数，进而求出的度数即可得解． 【详解】解：过点作，交于点， 四边形是长方形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 36．直线上从左到右依次有、两点，直线上从左到右依次有、两点，画直线，并连接，若，且． (1)如图1，求的大小． (2)若为直线上一点，连接，的平分线与直线相交于点，． ①如图2，当时，求的值和的大小； ②如图3，当射线与射线相交于点，请直接用含有的式子表示的大小，其结果为____________度． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可求解； （2）①根据角平分线得到，由平行可得，求出，然后由求解即可； ②过点P作，根据角平分线得到，然后结合平行线的性质求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴； ②过点P作， ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴． 易错必刷题型13.由平行线判定与性质证明 易错点：证明过程判定和性质写反，定理依据乱套，步骤缺漏不严谨 37．如图，已知平分平分．下列结论：①；②；③；④若，则．其中，正确的序号是_______． 【答案】①④ 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线、三角形的内角和定理及外角性质等知识点，正确利用平行线的性质是解题的关键．利用角平分线的性质和三角形的内角和得到，再根据平行线的性质、三角形外角性质、三角形的内角和定理逐个判断即可． 【详解】解：∵平分平分， ，， 又∵， ，, ∴，故①正确； ， ∴，故②错误； 由现有条件无法证明，故③错误； ∵，， ∴， ∵， ∴, ∴，即④正确． 综上，正确的有①④． 故答案为①④． 38．如图，下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A、若，根据同位角相等，两直线平行，可得，故本选项结论正确，不符合题意； B、若，根据内错角相等，两直线平行，可得，故本选项结论正确，不符合题意； C、若，根据两直线平行，同旁内角互补，可得，故本选项结论正确，不符合题意； D、若，根据两直线平行，同旁内角互补，可得，无法得出，故本选项结论不正确，符合题意． 39．如图，，． (1)试说明：； 请将下面的证明过程补充完整： 证明：， （① ）， 又， ②_________=_________（等量代换）， （③ ） (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)两直线平行，同位角相等；；；同位角相等，两直线平行； (2) 【分析】（1）由，可得，则，进而可证． （2）由，，可得，由角平分线的定义可得，由，可得，然后作答即可． 【详解】（1）证明：∵， （两直线平行，同位角相等）， 又∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 易错必刷题型14.判断是否是命题 易错点：分不清陈述句、疑问句、祈使句，错把问句、画图指令当成命题 40．下列语言叙述是命题的是（    ） A．画一条端点为的射线 B．你喜欢秦安吗？ C．赶紧写作业！ D．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 【答案】D 【分析】命题是对某一事件作出明确判断的语句，只有对事件作出肯定或否定判断的语句才是命题，疑问句，祈使句，指令性语句都不属于命题. 【详解】解：∵选项A是作图指令，未对事件作出判断，∴不是命题； ∵选项B是疑问句，未对事件作出判断，∴不是命题； ∵选项C是祈使句，未对事件作出判断，∴不是命题； ∵选项D对《飞驰人生3》的票房情况作出了明确判断，是完整的判断语句，∴是命题. 41．下列语句中，是命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截 B．两直线相交吗 C．过直线外一点作这条直线的垂线 D．内错角相等 【答案】D 【分析】命题的定义：判断一件事情的语句叫做命题． 【详解】解：A选项两条直线被第三条直线所截没有对事情作出判断，不是命题． B选项两直线相交吗是疑问句，未对事情作出判断，不是命题． C选项过直线外一点作这条直线的垂线是作图描述，未对事情作出判断，不是命题． D选项内错角相等对两直线被截所得内错角的关系作出了判断，符合命题的定义，是命题． 42．下列选项是命题的是（    ） A．作直线 B．今天的天气好吗？ C．连接、两点 D．同角的余角相等 【答案】D 【分析】根据命题的定义对各选项进行判断. 【详解】解：A、作线段为描述性语言，不是命题； B、今天的天气好吗？语句为疑问句，不是命题； C、连接、两点为描述性语言，不是命题； D、同角的余角相等，是命题， 故选：D. 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 易错必刷题型15.写出命题的提题设与结论 易错点：不会改写如果那么句式，题设和结论拆分错误，找不准 43．命题“如果，那么或”的结论是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查命题的题设与结论的区分，命题可写为“如果……那么……”的形式，“如果”之后是题设，“那么”之后是结论，根据该规则判断即可． 【详解】解：∵本题中命题“如果，那么或”里，“那么”之后的内容是或， ∴该命题的结论是或． 44．将命题“钝角的补角是锐角”改写成“如果…那么…”的形式：____________． 【答案】 如果一个角是钝角的补角，那么这个角是锐角 【分析】正确拆分命题的条件和结论，“如果”后接命题的条件，“那么”后接命题的结论，准确拆分即可求解． 【详解】原命题“钝角的补角是锐角”中，条件为：一个角是钝角的补角，结论为：这个角是锐角． 因此改写成“如果…那么…”的形式为：如果一个角是钝角的补角，那么这个角是锐角． 45．命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（   ） A．两条直线平行于同一条直线 B．三条直线平行 C．两条直线平行 D．两条直线垂直 【答案】A 【分析】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知条件，将原命题改写为“如果…那么…”的形式，即可拆分出题设． 【详解】解：将原命题改写为“如果…那么…”的形式：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行． ∵“如果”引出的已知条件部分是命题的题设， ∴该命题的题设是“两条直线平行于同一条直线”． 易错必刷题型16.判断命题的真假 易错点：真假命题判断错误，分不清定理和普通命题 46．命题“如果，那么”是______________命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】要判断命题的真假，只需验证在条件成立时，结论是否一定成立．若对任意满足条件的，结论都成立，则为真命题；若存在反例使条件成立但结论不成立，则为假命题． 【详解】解：根据等式的基本性质，等式两边同时乘以同一个数，等式仍然成立， 当时，在等式两边同时乘以，得； 同理，在等式两边同时乘以，得， 因此，即， 对任意实数，结论恒成立，故该命题为真命题． 47．下列命题中为真命题的是（   ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．同旁内角互补 D．邻补角相等 【答案】B 【分析】根据平行线的性质、对顶角的性质、邻补角的定义，逐个判断各命题的真假即可得到答案． 【详解】解：A选项：∵两直线平行，同位角相等，一般情况下，同位角不一定相等， ∴该命题是假命题，不符合题意； B选项：∵对顶角相等是对顶角的性质， ∴该命题是真命题，符合题意； C选项：∵两直线平行，同旁内角互补，一般情况下，同旁内角不一定互补， ∴该命题是假命题，不符合题意； D选项：∵邻补角的和为，不一定相等， ∴该命题是假命题，不符合题意． 48．下列说法： ①一个数的平方根是它本身，则这个数是0； ②过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④对顶角相等的逆命题是真命题． 其中正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查平方根概念垂线性质平行线性质及逆命题真假判断，逐一分析每个说法即可得到正确个数． 【详解】解：①一个数的平方根是它本身，则这个数是0，∴①正确． ②只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，题目未说明同一平面，∴ ②错误． ③只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，题目未说明两直线平行，∴③错误． ④“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，∵相等的角不一定是对顶角，例如两个直角相等但不一定是对顶角，∴逆命题是假命题，④错误． 综上，正确的说法只有个，故选A． 易错必刷题型17.举例说明假(真)命题 易错点：举反例不符合题目条件，举例不规范、不对题 49．举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了判断命题的真假方法—举反例；逐项代入计算比较，即可求解． 【详解】解：对于A、B、C，得到的都是，不符合题意； 对于选项D： ∵，， ， ，， ， ， 故命题“若，则”不成立． 故选：D． 50．命题“如果一个数能被3整除，那么它一定能被6整除”是_____命题．（填“真”“假”） 【答案】假 【分析】根据命题真假的判定方法，若存在满足命题题设，不满足命题结论的例子，即可判定命题为假命题，只需找出反例即可判断． 【详解】解：举反例，例如， 能被整除，即， 不能被整除，即， 该数满足命题的题设，不满足命题的结论，因此原命题是假命题． 51．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了假命题，熟练掌握假命题是解题的关键．要说明命题“如果，那么”是假命题，需找到满足条件但结论不成立的例子。 【详解】解：，和为且两角相等，满足命题结论，不能作为反例，故选项A不符合题意； ，，和为，但两角不相等，满足条件且结论不成立，故选项B符合题意； ，，和为，不满足条件，无法作为反例，故选项C不符合题意； ，不满足条件，无法作为反例，故选项D不符合题意； 故选B． 易错必刷题型18.写出命题的逆命题 易错点：题设结论颠倒混乱，逆命题改写错误 52．已知命题“若，则”，写出这个命题的逆命题________． 【答案】若，则 【分析】本题考查的是写出命题的逆命题，通过互换原命题的条件和结论，即可解题． 【详解】解：原命题是“若，则”，根据逆命题的定义，将条件“”和结论“”互换，得到逆命题“若 ，则”． 故答案为：若，则． 53．以下命题的逆命题中，属于真命题的是（   ） A．如果，，则 B．直角都相等 C．两直线平行，同位角相等 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，逆命题的真假识别，掌握逆命题把原命题的题设变为结论，把结论变为题设，逆命题的真假识别方法是解题关键． 首先明确各个命题的逆命题，再分别分析各逆命题的题设是否能推出结论得出答案． 【详解】解：A．逆命题为：如果，则，，反例，，，故该选项的逆命题是假命题，不符合题意； B．逆命题为：相等角是直角，反例，但不是直角，故该选项的逆命题是假命题，不符合题意； C．逆命题为：同位角相等，两直线平行，根据平行线判定定理知其是真命题，故该选项的逆命题是真命题，符合题意； D．逆命题为：，则，反例，故该选项的逆命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 54．写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． (1)同位角相等； (2)全等三角形的对应角相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． （1）交换命题的题设与结论即可得到逆命题，然后判断原命题与逆命题不是互逆定理； （2）交换命题的题设与结论即可得到逆命题，然后判断原命题与逆命题不是互逆定理． 【详解】（1）解：逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同位角； 由于原命题及逆命题均为假命题，因此原命题和逆命题不是互逆定理； （2）解：逆命题是：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是全等三角形． 由于逆命题为假命题．因此原命题和逆命题不是互逆定理； .易错必刷题型19.写出命题的已知求证及证明过程 易错点：不会规范写已知求证，证明步骤缺漏，格式完全不标准 55．实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 【答案】 不一定， 证明 【解析】略 56．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 57．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【答案】①②③；④，证明见解析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：①②③；④． 易错必刷题型20.已知证明过程填写理论依据 易错点：判定、性质、定理、定义互相写混，对应依据填错 58．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 【答案】①②③④⑤⑦ 【分析】本题考查了定理与证明，熟练掌握定理与证明的特性是解题的关键； 先明确推理依据的定义，在逐项分析所给各项是否符合推理依据的要求，最后统计符合条件的个数即可. 【详解】解：推理依据是指在数学推理过程中，无需证明即可直接使用的确定事实，包括公认的基本事实、学过的定义、性质、定理、公理以及题目中给出的已知条件等. ①公理：公理是经过人类长期反复实践检验，不需要再加证明的基本命题，是推理依据； ②已学定理：定理是经过证明的真命题，是推理依据； ③定义：定义是对事物本质特征的描述，是明确概念的依据，是推理依据； ④等量代换：等量代换是基本的逻辑规则，即如果两个量相等，那么它们可以互相替换，是推理依据； ⑤不等式的性质： 不等式的性质是经过证明的，如不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等，是推理依据； ⑥度量结果：度量结果可能因测量工具、方法等因素存在误差，不是确定的已知事实，不能作为推理依据； ⑦已知条件：题目中给出的已知条件是推理的起点，是推理依据； ⑧正确的观察结果： 观察结果可能受主观或客观因素影响，不是绝对可靠的确定事实，不能作为推理依据； ⑨猜测结果：猜测结果没有经过证明，不具有确定性，不能作为推理依据； 故答案为：①②③④⑤⑦ ． 59．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 60．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 易错必刷题型21.由给出的论断组命题并证明 易错点：不会自己组合条件和结论，命题组错，后续证明全部出错 61．下列说法中，正确的是（    ） A．经过证明为正确的真命题叫做公理 B．假命题不是命题 C．要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，说明它错误即可 D．要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，根据公理的定义、假命题的定义、真假命题的证明方法进行逐一判断即可． 【详解】解；A、经过长期实践证实为正确的真命题称为公理，故此选项错误； B、假命题是不正确的命题，故此选项错误； C、要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，即举一个具备命题的条件，而不具备命题结论的命题即可，故此项正确； D、要证明一个命题是真命题，需要进行推论论证说明它正确，故此项错误； 故选：C． 62．金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为______． 【答案】C，A，D，B 【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的． 【详解】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误， 于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误， 故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾， 所以：甲说的：C是亚军错误； ②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确， 于是乙说：D是冠军错误，则乙说的A得亚军就正确， 故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确； 没有矛盾， 故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B． 故答案为：C，A，D，B． 【点睛】本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾． 63．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析 (2)都是真命题，推理见解析 【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案； （2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可 【详解】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果DE//BC，，那么； ②如果DE//BC，，那么； ③如果，，那么DE//BC ； （2）解：都是真命题， 如果DE//BC，，那么， 理由如下：∵DE//BC， ∴， ∵， ∴． 如果DE//BC，，那么； 理由如下：∵DE//BC， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么DE//BC ； 理由如下：∵， ∴∠B+∠C=180°-∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠1+∠2=180°-∠BAC， ∴∠B+∠C=∠1+∠2， ∵，， ∴∠B=∠1， ∴DE//BC ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $