专题05 相交线与平行线章末易错必刷题型专训（60题20个考点）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

专题05 相交线与平行线章末易错必刷题型专训（60题20个考点） 【易错必刷一 对顶角】 1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·月考）下面四个图形中，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角．两条边互为反向延长线的两个角叫对顶角，根据定义结合图形逐个判断即可． 【详解】解：A、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； B、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； C、符合对顶角的定义，故本选项符合题意； D、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海闵行·周测）下列各图中的直线都相交于一点． 若n条直线相交于一点，则共有_____________对对顶角． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的定义及n条直线相交于一点，构成对顶角的规律．对顶角的定义：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 【详解】解：①两条直线相交共对对顶角； ②三条直线相交，在2对的基础上再加4对，共对； ③四条直线相交，在6对的基础上再加6对，共对； ④五条直线相交，在12对的基础上再加8对，共对； ……， 以此类推，当n条直线相交时，对顶角的总对数为：； 故答案为：． 3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，直线，相交于点O，平分． (1)的对顶角是______， (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意即可得； （2）根据题得，根据对顶角可得，根据，进行计算即可得． 【详解】（1）解：根据题意得，的对顶角是， 故答案为：； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了对顶角，角平分线，解题的关键是掌握这些知识点． 【易错必刷二 垂线的定义理解】 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线与相交于点O，于点O，则与的关系是（  ） A．相等 B．互余 C．互补 D．互为邻补角 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂直的定义，对顶角的定义，互余的定义，解题的关键是熟练掌握以上定义． 利用对顶角的定义得出，利用垂直的定义得出，然后可得结论． 【详解】解：由图可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的关系是互余， 故选：B． 5．（24-25七年级下·广东清远·期末）如图，将平面镜放置在桌面上，光线经过平面镜反射形成光线．已知，，，则的度数为 ________ ． 【答案】/35度 【分析】本题考查垂直的定义，角的计算． 由垂直的定义得到，而，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·云南玉溪·期末）如图，直线，相交于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，垂直的定义，对顶角相等．根据垂直的定义，得到，进而求出的度数，根据对顶角相等，即可得解． 【详解】解：， ． ， ， ． 【易错必刷三 点到直线的距离】 7．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离的定义判定解答即可． 本题考查了点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，得A符合题意，其余错误， 故选：A． 8．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如下图，直角三角形中，，于点D，图中线段________的长度表示点A到直线的距离． 【答案】/ 【分析】根据点到直线的距离的定义得出即可．本题考查了点到直线的距离的定义（垂线段的长度），能熟记点到直线的距离的定义的内容是解此题的关键． 【详解】解：结合图形，∵ ∴点A到的距离是线段的长度， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点， (1)过点画出的垂线，交直线于点． (2)过点画出，垂足为点． (3)点到直线的距离是线段______的长． (4)点到直线的距离为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)0 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离等知识： （1）（2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）（4）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：点O到直线的距离是线段的长． 故答案为：； （4）解：点P到直线的距离为0， 故答案为：0． 【易错必刷四 同位角、内错角、同旁内角识别】 10．（25-26七年级下·上海闵行·周测）如图①，桔槔（jié gāo）是一种原始的取水工具，它是在竖立的架子上加上一根细长的杠杆，左端悬挂一个重物，当右端水桶中的水打满以后，可借助重物轻松地将水拉起．图②是桔槔的简易装置示意图，与构成内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了内错角的定义，正确记忆相关知识点是解题关键． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，根据定义判断即可． 【详解】解：由两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角可得： A、与构成内错角，符合题意； B、与构成同旁内角，不符合题意； C、与构成同位角，不符合题意； D、与构成同旁内角，不符合题意． 故选：A． 11．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）如图，直线与被直线所截得的内错角是________；直线与被直线所截得的内错角是________；图中的内错角是________． 【答案】 和 和 和 【分析】本题考查了内错角的识别，掌握根据角的边确定截线和被截直线，再结合内错角的位置特征判断是解题的关键． 根据内错角的定义，先确定每组被截直线和截线，再找出对应的内错角；最后分析的两边，确定所有能与构成内错角的角． 【详解】解：①直线与 BC 被直线 所截，截线为，被截直线为； 内错角为和，即和． ②直线与被直线所截，截线为，被截直线为； 内错角为和，即和． ③分析的两边： 当截线为时，被截直线为，与是内错角； 当截线为时，被截直线为 ，与是内错角． 即：和． 故答案为：和；和；和． 12．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如下图所示的是一个特殊的棋盘，游戏规则如下：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上．例如，从起始角跳到终点角，可以走以下两条不同的路径： 路径1：． 路径2：． 试一试： (1)写出一条从起始角跳到终点角的路径； (2)从起始角依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点角？若能，写出其路径；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，． 【分析】本本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． （1）路径为（内错角）（同旁内角）（答案不唯一）； （2）路径为（ 同位角 ）（ 内错角 ）（同旁内角）． 【详解】（1）解：路径为（内错角）（同旁内角）（答案不唯一）； （2）解：从起始角依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能跳到终点角． 其路径为（ 同位角 ）（ 内错角 ）（同旁内角）． 【易错必刷五 平行公理及推论判】 13．（2025·陕西·模拟预测）如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，平行于同一直线的两直线平行，掌握相关知识是解决问题的关键．作，则可证，则，，则题目可解． 【详解】解：作， ∵， ∴， ， ， ∴． 故选：A． 14．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，某民航飞机在起飞阶段，先从跑道水平加速滑行（段），后抬头拉升飞行至，因仰角过大，系统软件自动启动“机动特性增强系统”压低机头，减少仰角到安全角度，然后攀升至后，开始水平巡航（EF段），已知，则减少的仰角的度数为______． 【答案】/15度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，过点作，可得，利用平行线的性质求出和，进而求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作， 由题意可知，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2025八年级上·上海闵行·专题练习）若两根平行木条与钉子E的位置如图所示，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理的推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得证． 【详解】证明：如图，过点作． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【易错必刷六 判断是否是命题】 16．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）下列语句不是命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段上取点C，使 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，正确记忆判断事物的语句叫命题是解题关键．根据命题的定义分别进行判断即可． 【详解】解：、对顶角相等是命题，故本选项不符合题意； 、同旁内角互补是命题，故本选项不符合题意； 、垂线段最短是命题，故本选项不符合题意； 、在线段上取点C，使为描述性语言，不是命题，故本选项符合题意； 故选：． 17．（24-25八年级上·河南郑州·期末）“你喜欢数学吗？”这句话________命题．（填“是”或者“不是”） 【答案】不是 【分析】根据命题的定义判断即可 【详解】命题是可以判断真假的陈述句，所以这句话不是命题 故答案为：不是 【点睛】本题考查命题的概念，把握命题概念的要点是关键 18．（24-25八年级上·上海闵行·课后作业）阅读下面这段叙述：地壳中存在三种不同的应力——剪切力、张力和压力．亿万年来，剪切力、张力和压力一直在改变着岩石的形状和体积，在地壳应力的作用下，有些岩石碎裂了，有些则像被太阳暴晒后变软的沥青一样，慢慢弯曲． 要读懂这段叙述，你认为哪些名称和术语需给出定义？ 【答案】应力，剪切力、张力和压力 【分析】根据题意进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，应力，剪切力、张力和压力需要被定义． 【点睛】本题主要考查了命题与定义，正确理解题意是解题的关键． 【易错必刷七 判断命题真假】 19．（25-26八年级上·河北邢台·期中）下列关于命题“同位角相等”的说法，正确的是（   ） A．原命题、逆命题都是真命题 B．原命题为假命题，逆命题为真命题 C．原命题为真命题，逆命题为假命题 D．原命题、逆命题都是假命题 【答案】D 【分析】本题主要考查命题真假判断，逆命题的书写，熟练掌握平行线性质是解题关键． 写出原命题和逆命题，然后根据平行线性质、对顶角进行判断即可． 【详解】解：原命题：同位角相等是假命题，只有两直线平行，才成立； 逆命题：相等的角是同位角，是假命题，有可能是对顶角， ∴ 原命题和逆命题都是假命题， 故选：D． 20．（24-25七年级下·吉林延边·月考）命题“两直线平行，内错角相等”是_____________命题（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】此题考查了真命题和假命题，平行线的性质，根据平行线的性质和真假命题的概念求解即可． 【详解】命题“两直线平行，内错角相等”是真命题． 故答案为：真． 21．（24-25八年级上·广西贺州·期中）写出下列命题的逆命题，并判断此逆命题真假． (1)如果，，那么； (2)两直线平行，同旁内角互补． 【答案】(1)如果，那么，；假命题 (2)同旁内角互补，两直线平行；真命题 【分析】本题主要考查了判断命题的真假，逆命题．逆命题就是将原命题的条件和结论对换位置即可． （1）写出原命题的逆命题，结合有理数的乘法即可判断逆命题的真假； （2）写出原命题的逆命题，结合平行线的判定和性质即可判断逆命题的真假； 【详解】（1）如果，，那么为真命题， 其逆命题为：如果，则，，此逆命题为假命题． ∵如果，则，，或者，． （2）两直线平行，同旁内角互补为真命题， 其逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，根据平行线的判定逆命题为真命题． 【易错必刷八 对顶角角度计算】 22．（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图，用量角器测得的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对顶角的性质，解题关键是利用“对顶角相等”． 观察可知与是对顶角，由此求出的度数． 【详解】解：∵点、、共线，点、、共线， ∴与互为对顶角， ∴． 故选：C． 23．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图，用量角器测得的度数为，则的度数是___________． 【答案】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：由对顶角相等可得， 故答案为：． 24．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，直线和交于点，射线，在的内部． (1)若，，求的度数； (2)若平分，，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，垂线定义． （1）根据对顶角相等得，进而利用角的和差即可得解； （2）根据对顶角及邻补角定义得，，进而利用角平分线定义及垂直得，，即可得解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵平分，， ∴，， ∴． 【易错必刷九 垂线相关角度计算】 25．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·月考）如图，点在直线上，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．（24-25七年级下·四川自贡·月考）如图，直线与相交于点，，若，则等于_____． 【答案】 【分析】根据垂线的定义，平角的定义，由，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 27．（25-26六年级下·上海闵行·课后作业）如图所示，火车站、码头分别位于，两点，直线和分别表示河流与铁路． (1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由． (2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由． (3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由． 【答案】(1)沿走，两点之间线段最短，画图见解析 (2)沿走，垂线段最短，画图见解析 (3)沿走，垂线段最短，画图见解析 【分析】本题考查了两点之间线段最短，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，连接，则沿走，两点之间线段最短； （2）理解题意，过点作直线，沿走，垂线段最短． （3）理解题意，过点A作直线，沿走，垂线段最短． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 依题意，沿走，两点之间线段最短． （2）解：过点作直线，如图所示， 依题意，沿走，垂线段最短． （3）解：过点A作直线，如图所示， 依题意，沿走，垂线段最短． 【易错必刷十 平面内两直线的位置关系】 28．（24-25七年级下·重庆·月考）在同一平面内两条直线的位置关系可能是（   ） A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．平行或相交或重合 【答案】BB 【分析】本题主要考查了两直线的位置关系，根据两条直线有一个交点是相交线，没有交点是平行线，可得答案． 【详解】解：在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交； 在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行， 故选：B． 29．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）如图，在同一平面内，经过直线外一点的4条直线中，与直线相交的直线至少有_______________条．    【答案】3 【分析】根据平面内两直线的位置关系即可求解． 【详解】解：在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线平行， 则可得与直线相交的直线至少有3条， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平面内两直线的位置关系，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 30．（24-25七年级上·上海闵行·单元测试）如图，在方格纸中给出了线段、、．根据你所学的知识和方法，写出它们之间的位置关系． 【答案】， 【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂线的定义，根据网格的特点可得，，再证明即可得到答案． 【详解】解：延长，由网格的特点可知交于M，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【易错必刷十一 立体图形中平行的棱】 31．（2025八年级上·上海闵行·专题练习）在一个长方体中，与棱平行的棱有（        ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查立体图形中棱的平行关系．长方体每组平行棱有4条，但除去自身，与一条棱平行的棱有3条． 【详解】解：∵在长方体中，与棱平行的棱是那些方向相同且长度相等的棱，共有3条，分别位于其他三个平行位置， ∴与棱平行的棱有3条． 故选：C． 32．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）观察如图所示的长方体，用符号表示下列两棱的位置关系：________，________，________，________． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学们讨论一下． 【答案】 ， ， ， 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线所交的四个角中，有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直．根据两条直线平行和垂直的定义判断即可． 【详解】解：由两条直线平行和垂直的定义知：，，， 【点睛】本题考查两条直线相交和垂直的定义，根据内容解题是关键． 33．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．    【答案】见解析 【分析】此题考查平行线的意义，注意前提条件，是在同一平面内．利用平行的定义：在同一平面内，不相交（也不重合）的两条直线叫做平行线平行线，由此探讨得出答案即可． 【详解】解：如图的直线与既不相交也不平行，因为直线与不在同一个平面内．    【易错必刷十二 过点作已知直线的垂线】 34．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，要在河岸上建一个水泵房，引水渠到村庄处．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做蕴含的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段的性质是解题的关键． 根据垂线段的性质解答即可． 【详解】过点作于点，将水泵房建在了处 ∴这样做蕴含的数学原理是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 故选：C． 35．（24-25七年级下·山东德州·月考）如图，如图，直线与相交于点O，，垂足为点O，，过点O作直线，在直线上取一点F（点F与点O不重合），则_______． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算，垂线定义理解，分类讨论思想的运用是解题的关键．分两种情况：当点F在点O上方时，当点F在点O下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当点F在点O上方时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴； 当点F在点O下方时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上分析可知：或． 故答案为：或． 36．（24-25七年级下·甘肃定西·月考）如图，已知直线a，b，点P在直线a上，过点P分别作直线a，b的垂线PA，PB，分别与直线b交于点A，B． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂线的作法．根据过直线外一点作已知直线的垂线和过直线上一点作已知直线的垂线分别画出即可． 【详解】解：如图所示，为直线a的垂线，为直线b的垂线． ． 【易错必刷十三 过直线外一点作平行线】 37．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）如图，在直线外取一点P，经过点P作的平行线，这种画法的依据是（    ） A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，由图可根据同位角相等，两直线平行进行判定． 【详解】解：如图， 根据，由同位角相等，两直线平行，即可判断， 故选：B． 38．（24-25七年级下·北京石景山·期末）如图，在直线外取一点，经过点作的平行线，这种画法的依据是____________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】根据画法得到同位角相等，然后根据平行线的判定方法可得到经过点C的直线与AB平行． 【详解】解：如图， 由图形痕迹可得∠BDE=∠CEF，则根据同位角相等，两直线平行可判断经过点C的直线与AB平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了作图一复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定． 39．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如图1，已知，请补充完整下面证明的地过程： 证明：过点E作，（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 则有，（          ） ∵ ， ∴，（等量代换） 又∵，（ ） ∴ ，（等量代换） ∴ ，（           ） ∴ ．（平行于同一直线的两直线平行） 【答案】两直线平行，内错角相等；；已知；；；内错角相等，两直线平行； 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干提供的部分过程结合条件写好每一步的推理过程与依据，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键． 【详解】解：过点E作，（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 则有，（两直线平行，内错角相等） ∵ ， ∴，（等量代换） 又∵，（已知） ∴，（等量代换） ∴，（内错角相等，两直线平行） ∴．（平行于同一直线的两直线平行） 【易错必刷十四 反证法证明中的假设】 40．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反证法，根据反证法的步骤，首先假设原命题的结论不成立，原命题结论为“”，其否定应为“”，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，在中，若，则， ∴用反证法证明上述命题，第一步应假设， 故选：C． 41．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）如图，两条直线m、n被直线所截，已知．求证：m与n不平行．用反证法证明时，假设为________________________．    【答案】 【分析】根据反证法的解题要求，写出结论的否命题即可． 【详解】解：∵m与n不平行， ∴假设m与n不平行不成立即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反证法，熟练掌握反证法的要领是解题的关键． 42．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）人教版初中数学教科书七年级下册第18－19页告诉我们平行线所具有的3个性质： 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 其中性质2、3都是利用性质1推导出来的，但是书上却没给出性质1的推理过程，而是通过测量观察数据而得出的．七年级下册学习了反证法后，我们可以尝试给出证明了． 已知：直线AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，求证：∠BGF＝∠DHF． 证明：假设 （1） ， 过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF， ∴PQ//CD（   （2）  ）， ∵AB//CD，且AB也过点G， ∴与（  （3） ）矛盾， 所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF． 请完成上面（1）、（2）、（3）空： (1)___________； (2)___________； (3)请选择合理的依据（    ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】(1)∠BGF≠∠DHF (2)同位角相等，两直线平行 (3)C 【分析】（1）根据反证法先假设结论不成立，即∠BGF≠∠DHF； （2）根据平行线的判定条件即可填写； （3）根据平行公理即可选择． 【详解】（1）解：用反证法证明问题，先假设结论不成立，即∠BGF≠∠DHF （2）同位角相等，两直线平行 （3）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 故选C 【点睛】本题考查了反证法，反证法的证明步骤一般先假设与要求证的结果相反的命题，再根据已知条件进行证明，最后得出的结论与已知或数学定理矛盾，从而说明要求证命题正确． 【易错必刷十五 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行】 43．（25-26七年级上·浙江·假期作业）若，，则与的关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查直线之间的垂直关系，需考虑直线是否在同一平面内． 【详解】解：，， 当直线在同一平面内时，垂直于同一直线的两直线平行，即， 当直线不在同一平面内时，a与c不一定平行， 因此，与的关系是不确定的． 故选：D． 44．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）如图，，那么三点在同一条直线上．根据_____． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题主要考查了垂直的性质，熟练掌握“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”是解题的关键．根据垂直的性质，判断三点共线的依据． 【详解】解：因为 ，，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 所以 ，， 三点在同一条直线上． 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 45．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）如图，在三角形中，点在上，，垂足分别为交于点．    (1)与平行吗？为什么？ (2)如果，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据同一平面中，垂直于同一直线的两直线平行可得结论； （2）先由平行线的性质和已知条件证明，得到，则． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴（同一平面中，垂直于同一直线的两直线平行）； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 【易错必刷十六 平行线的判定定理】 46．（25-26七年级上·福建宁德·期末）如图，已知直线a，b被直线c所截，，若要使，则的度数应等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】解：与是内错角，且， 要使，则， 故选：A． 47．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是______． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，由，即可得出福大街与平安大街互相平行，即内错角相等，两直线平行． 【详解】解：∵， ∴幸福大街与平安大街互相平行， 判断的依据是：内错角相等，两直线平行， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 48．（24-25八年级上·河北邢台·月考）已知：如图，直线被直线所截，与互补，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查平行线的判定，关键是根据同位角相等，两直线平行解答． 根据邻补角互补和同位角相等，两直线平行解答即可． 【详解】证明：，， ， ． 【易错必刷十七 平行线的性质定理】 49．（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图是杠杆受力示意图，重力与拉力的方向均竖直向下（两力所在直线互相平行）．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，由“两直线平行，同旁内角互补”可得，代入求出即可． 【详解】解：∵两力所在直线互相平行， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：A． 50．（2025八年级上·上海闵行·专题练习）如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为______． 【答案】55° 【分析】本题考查平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键． 过点作，故可得出，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 51．（25-26七年级下·上海·月考）用反证法证明．如图，已知：直线a、b被直线c所截，，求证：a与b不平行． 证明：假设____________，则根据____________，可得．这与____________矛盾，故假设不成立，a与b不平行． 【答案】；两直线平行，内错角相等； 【分析】利用反证法进行证明，先假设，再证明与原已知条件不符即可． 【详解】证明：假设，则根据两直线平行，内错角相等， 可得． 这与矛盾，故假设不成立，a与b不平行． 【易错必刷十八 根据平行线判定与性质求角度】 52．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知，点B在射线上，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．过点作，根据平行的传递性，求出，，即可得到答案． 【详解】解：过点作， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故选B． 53．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，，P为上一点，若，，则________． 【答案】/40度 【分析】本题考查了平行线的性质及垂直的定义，熟练掌握平行线的性质及垂直的定义是解题的关键．根据平行线的性质及垂线的定义即可解答． 【详解】解：由题可得： ， ， ， ， ， 故答案为：． 54．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）如图，两条平行直线，被第三条直线所截．若，求的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数或式子）． 解：（已知）， __________ （   ）（   ） ， （   ） （   ）（等式的性质）． 【答案】对顶角相等；；等量代换；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】本题主要考查了通过平行线的性质求角的度数，对顶角相等，由对顶角相等可知，再由平行线的性质得出，即可求出． 【详解】解：（已知）， 对顶角相等， （）（等量代换） ， （两直线平行，同旁内角互补） （）（等式的性质） 【易错必刷十九 根据平行线判定与性质证明】 55．（24-25七年级下·河北邢台·月考）如图，已知，为判定，甲、乙、丙分别添加了一个条件，下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．乙不可行，丙可行 B．甲和乙都可行 C．甲和丙都不可行 D．甲可行，丙不可行 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．利用平行线的判定与性质逐个判断甲、乙、丙即可． 【详解】解：甲：∵，， ∴， 即， ∴， 故甲可行； 乙：无法推出，故乙不可行； 丙：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 故丙可行； 故甲、丙可行，乙不行， 只有选项A符合题意， 故选：A． 56．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）已知：如图，，．求证：． 证明：（已知）， ∴____________( )． 又（已知）， ( )． ( )． 【答案】 内错角相等，两直线平行 平行于同一条直线的两条直线平行 两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 根据平行线的判定与性质即可填空． 【详解】证明：（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 又（已知）， （平行于同一条直线的两条直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：；；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 57．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质； （1）根据平角的定义可得，等量代换求出，然后根据平行线的判定定理得出结论； （2）先根据平行线的性质得出两组角相等，等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴． 【易错必刷二十 平行线的性质在生活中的应用】 58．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，地面上的琪琪看热气球上的明明为仰角，热气球上的明明看地面上的琪琪为（   ）    A．仰角 B．仰角 C．俯角 D．俯角 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，俯角、仰角的定义，解题关键是能正确理解俯角、仰角的定义． 根据平行线的性质，俯角、仰角的定义求解即可； 【详解】解：俯角和仰角都是视线与水平线的夹角，视线在水平线之上的是仰角，视线在水平线之下的是俯角， 根据题意可得：水平线互相平行，热气球上的明明看地面上的琪琪时视线在水平线之下， 故视线与水平线夹角为，故为俯角． 故选：C． 59．（24-25七年级下·江苏南京·月考）一大门的栏杆如图所示，垂直地面于点A，平行于地面，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键．过B作，则．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：过B作， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 60．（24-25七年级下·河北邢台·期中）如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，已知，，．求证：四边形是平行四边形．    【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定，平行线的性质，由平行线的性质得到，，然后得到，然后结合，即可得到四边形是平行四边形． 【详解】证明：，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相交线与平行线章末易错必刷题型专训（60题20个考点） 【易错必刷一 对顶角】 1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·月考）下面四个图形中，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海闵行·周测）下列各图中的直线都相交于一点． 若n条直线相交于一点，则共有_____________对对顶角． 3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，直线，相交于点O，平分． (1)的对顶角是______， (2)若，求的度数． 【易错必刷二 垂线的定义理解】 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线与相交于点O，于点O，则与的关系是（  ） A．相等 B．互余 C．互补 D．互为邻补角 5．（24-25七年级下·广东清远·期末）如图，将平面镜放置在桌面上，光线经过平面镜反射形成光线．已知，，，则的度数为 ________ ． 6．（24-25七年级下·云南玉溪·期末）如图，直线，相交于点．若，求的度数． 【易错必刷三 点到直线的距离】 7．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如下图，直角三角形中，，于点D，图中线段________的长度表示点A到直线的距离． 9．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点， (1)过点画出的垂线，交直线于点． (2)过点画出，垂足为点． (3)点到直线的距离是线段______的长． (4)点到直线的距离为______． 【易错必刷四 同位角、内错角、同旁内角识别】 10．（25-26七年级下·上海闵行·周测）如图①，桔槔（jié gāo）是一种原始的取水工具，它是在竖立的架子上加上一根细长的杠杆，左端悬挂一个重物，当右端水桶中的水打满以后，可借助重物轻松地将水拉起．图②是桔槔的简易装置示意图，与构成内错角的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）如图，直线与被直线所截得的内错角是________；直线与被直线所截得的内错角是________；图中的内错角是________． 12．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如下图所示的是一个特殊的棋盘，游戏规则如下：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上．例如，从起始角跳到终点角，可以走以下两条不同的路径： 路径1：． 路径2：． 试一试： (1)写出一条从起始角跳到终点角的路径； (2)从起始角依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点角？若能，写出其路径；若不能，请说明理由． 【易错必刷五 平行公理及推论判】 13．（2025·陕西·模拟预测）如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，某民航飞机在起飞阶段，先从跑道水平加速滑行（段），后抬头拉升飞行至，因仰角过大，系统软件自动启动“机动特性增强系统”压低机头，减少仰角到安全角度，然后攀升至后，开始水平巡航（EF段），已知，则减少的仰角的度数为______． 15．（2025八年级上·上海闵行·专题练习）若两根平行木条与钉子E的位置如图所示，求证：． 【易错必刷六 判断是否是命题】 16．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）下列语句不是命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段上取点C，使 17．（24-25八年级上·河南郑州·期末）“你喜欢数学吗？”这句话________命题．（填“是”或者“不是”） 18．（24-25八年级上·上海闵行·课后作业）阅读下面这段叙述：地壳中存在三种不同的应力——剪切力、张力和压力．亿万年来，剪切力、张力和压力一直在改变着岩石的形状和体积，在地壳应力的作用下，有些岩石碎裂了，有些则像被太阳暴晒后变软的沥青一样，慢慢弯曲． 要读懂这段叙述，你认为哪些名称和术语需给出定义？ 【易错必刷七 判断命题真假】 19．（25-26八年级上·河北邢台·期中）下列关于命题“同位角相等”的说法，正确的是（   ） A．原命题、逆命题都是真命题 B．原命题为假命题，逆命题为真命题 C．原命题为真命题，逆命题为假命题 D．原命题、逆命题都是假命题 20．（24-25七年级下·吉林延边·月考）命题“两直线平行，内错角相等”是_____________命题（填“真”或“假”） 21．（24-25八年级上·广西贺州·期中）写出下列命题的逆命题，并判断此逆命题真假． (1)如果，，那么； (2)两直线平行，同旁内角互补． 【易错必刷八 对顶角角度计算】 22．（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图，用量角器测得的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 23．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图，用量角器测得的度数为，则的度数是___________． 24．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，直线和交于点，射线，在的内部． (1)若，，求的度数； (2)若平分，，，求的度数（用含的式子表示）． 【易错必刷九 垂线相关角度计算】 25．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·月考）如图，点在直线上，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·四川自贡·月考）如图，直线与相交于点，，若，则等于_____． 27．（25-26六年级下·上海闵行·课后作业）如图所示，火车站、码头分别位于，两点，直线和分别表示河流与铁路． (1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由． (2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由． (3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由． 【易错必刷十 平面内两直线的位置关系】 28．（24-25七年级下·重庆·月考）在同一平面内两条直线的位置关系可能是（   ） A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．平行或相交或重合 29．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）如图，在同一平面内，经过直线外一点的4条直线中，与直线相交的直线至少有_______________条．    30．（24-25七年级上·上海闵行·单元测试）如图，在方格纸中给出了线段、、．根据你所学的知识和方法，写出它们之间的位置关系． 【易错必刷十一 立体图形中平行的棱】 31．（2025八年级上·上海闵行·专题练习）在一个长方体中，与棱平行的棱有（        ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 32．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）观察如图所示的长方体，用符号表示下列两棱的位置关系：________，________，________，________． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学们讨论一下． 33．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．    【易错必刷十二 过点作已知直线的垂线】 34．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，要在河岸上建一个水泵房，引水渠到村庄处．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做蕴含的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 35．（24-25七年级下·山东德州·月考）如图，如图，直线与相交于点O，，垂足为点O，，过点O作直线，在直线上取一点F（点F与点O不重合），则_______． 36．（24-25七年级下·甘肃定西·月考）如图，已知直线a，b，点P在直线a上，过点P分别作直线a，b的垂线PA，PB，分别与直线b交于点A，B． 【易错必刷十三 过直线外一点作平行线】 37．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）如图，在直线外取一点P，经过点P作的平行线，这种画法的依据是（    ） A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 38．（24-25七年级下·北京石景山·期末）如图，在直线外取一点，经过点作的平行线，这种画法的依据是____________． 39．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如图1，已知，请补充完整下面证明的地过程： 证明：过点E作，（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 则有，（          ） ∵ ， ∴，（等量代换） 又∵，（ ） ∴ ，（等量代换） ∴ ，（           ） ∴ ．（平行于同一直线的两直线平行） 【易错必刷十四 反证法证明中的假设】 40．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 41．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）如图，两条直线m、n被直线所截，已知．求证：m与n不平行．用反证法证明时，假设为________________________．    42．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）人教版初中数学教科书七年级下册第18－19页告诉我们平行线所具有的3个性质： 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 其中性质2、3都是利用性质1推导出来的，但是书上却没给出性质1的推理过程，而是通过测量观察数据而得出的．七年级下册学习了反证法后，我们可以尝试给出证明了． 已知：直线AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，求证：∠BGF＝∠DHF． 证明：假设 （1） ， 过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF， ∴PQ//CD（   （2）  ）， ∵AB//CD，且AB也过点G， ∴与（  （3） ）矛盾， 所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF． 请完成上面（1）、（2）、（3）空： (1)___________； (2)___________； (3)请选择合理的依据（    ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【易错必刷十五 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行】 43．（25-26七年级上·浙江·假期作业）若，，则与的关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 44．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）如图，，那么三点在同一条直线上．根据_____． 45．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）如图，在三角形中，点在上，，垂足分别为交于点．    (1)与平行吗？为什么？ (2)如果，求的度数． 【易错必刷十六 平行线的判定定理】 46．（25-26七年级上·福建宁德·期末）如图，已知直线a，b被直线c所截，，若要使，则的度数应等于（   ） A． B． C． D． 47．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是______． 48．（24-25八年级上·河北邢台·月考）已知：如图，直线被直线所截，与互补，求证：． 【易错必刷十七 平行线的性质定理】 49．（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图是杠杆受力示意图，重力与拉力的方向均竖直向下（两力所在直线互相平行）．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 50．（2025八年级上·上海闵行·专题练习）如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为______． 51．（25-26七年级下·上海·月考）用反证法证明．如图，已知：直线a、b被直线c所截，，求证：a与b不平行． 证明：假设____________，则根据____________，可得．这与____________矛盾，故假设不成立，a与b不平行． 【易错必刷十八 根据平行线判定与性质求角度】 52．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知，点B在射线上，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 53．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，，P为上一点，若，，则________． 54．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）如图，两条平行直线，被第三条直线所截．若，求的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数或式子）． 解：（已知）， __________ （   ）（   ） ， （   ） （   ）（等式的性质）． 【易错必刷十九 根据平行线判定与性质证明】 55．（24-25七年级下·河北邢台·月考）如图，已知，为判定，甲、乙、丙分别添加了一个条件，下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．乙不可行，丙可行 B．甲和乙都可行 C．甲和丙都不可行 D．甲可行，丙不可行 56．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）已知：如图，，．求证：． 证明：（已知）， ∴____________( )． 又（已知）， ( )． ( )． 57．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 【易错必刷二十 平行线的性质在生活中的应用】 58．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，地面上的琪琪看热气球上的明明为仰角，热气球上的明明看地面上的琪琪为（   ）    A．仰角 B．仰角 C．俯角 D．俯角 59．（24-25七年级下·江苏南京·月考）一大门的栏杆如图所示，垂直地面于点A，平行于地面，则_____． 60．（24-25七年级下·河北邢台·期中）如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，已知，，．求证：四边形是平行四边形．    学科网（北京）股份有限公司 $