7.4二项分布与超几何分布讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.4二项分布与超几何分布讲义 【基础知识】 1、 二项分布 1.独立重复实验 在相同条件下，重复进行 n 次、各次相互独立的随机试验，且每次试验只有两种互斥结果（成功 / 失败、发生 / 不发生），称为 n 次独立重复试验（也叫 n 重伯努利试验）。 特点：各次之间相互独立；每次只有两个结果即要么发生，要么不发生；每次试验中各事件发生的概率都一样。 2.二项分布（有放回抽样） 二项分布是n 重伯努利试验（独立重复试验） 对应的概率分布，记为 。其中每次试验 “成功” 的概率为，“失败” 的概率为，随机变量表示 “成功” 发生的次数。 则事件 A恰好发生 k 次的概率为：，. 3.二项分布的数字特征 已知 （1）二项分布的数学期望（均值）：. （2）二项分布的方差：. 最简单的二项分布就是试验一次，即两点分布（0-1分布）。 试验结果：成功 / 失败 二、超几何分布（不放回抽样） 1． 定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝， k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． 特点： 考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品，摸不同类别的小球概率模型，其实质是古典概型. 2． 均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝． 理解：样本中目标类个数的平均值，与二项分布期望形式一致。 3.方差公式 三、超几何分布和二项分布的区别和联系 区别 （1）抽样方式：超几何分布不放回；二项分布有放回。 （2）概率特点：超几何分布每次概率改变；二项分布每次概率不变。 （3）总体要求：超几何分布需总体容量；二项分布不需要。 联系 （1）期望相同：（）； 线性性质：（为常数） （2）近似关系：当远大于时，不放回≈有放回，超几何分布近似二项分布。 【题型1：概念辨析】 例1-1 （24-25高二·全国·课后作业）判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． 【答案】(1)不是n重伯努利试验 (2)是n重伯努利试验 (3)不是n重伯努利试验 【分析】通过分析不同的试验的条件即可得出结论. 【详解】（1）由题意， ∵试验的条件不同(质地不同)， ∴不是n重伯努利试验 （2）由题意， ∵某人射击且击中的概率是稳定的， ∴是n重伯努利试验． （3）由题意， ∵每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等， ∴不是n重伯努利试验． 变式1-1（24-25高二·全国·课后作业）分别指出下列随机变量服从什么分布： (1)即将出生的100个新生婴儿中，男婴的个数X； (2)已知某幼儿园有125个孩子，其中男孩有62个，从这些孩子中随机抽取10个，设抽到男孩的个数为X． 【答案】(1)二项分布 (2)超几何分布 【分析】（1）利用二项分布的特征求解，（2）利用超几何分布特点求解 【详解】（1）（1）X的可能取值为0,1,2， ，且每个新生儿的性别相互独立，故男婴的个数X服从二项分布 （2）（2）X的可能取值为0,1,2，，且是不放回抽样，故抽到男孩的个数为X服从超几何分布 例1-2．（2026高三·上海·随堂练习）下列关于超几何分布的命题中错误的命题是（    ）． A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布里的总体可以有两类或三类特点 C．超几何分布中的参数是 D．超几何分布的总体往往是由差异明显的两部分组成的 【答案】B 【分析】根据超几何分布的定义判断各个选项. 【详解】对于A，由超几何分布的定义，超几何模型为不放回抽样，A对； 对于BCD，超几何分布实质上就是有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品的件数是一个离散型随机变量，根据超几何分布的定义，超几何分布里的总体有两类特点，B错，CD对. 故选：B． 变式2-1（2026高二·全国·课后作业）下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是的骰子的个数记为，求的分布列； (2)有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为，求的分布列； (3)盒子中有红球只，黄球只，蓝球只，任取只球，把不是红色的球的个数记为，求的分布列； (4)某班级有男生人，女生人．选派名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为，求的分布列； (5)现有台平板电脑未经检测，抽取台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为，求的分布列． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)不是，理由见解析 (3)是，理由见解析 (4)是，理由见解析 (5)不是，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据超几何分布的特点逐项判断，可得出结论. 【详解】（1）解：样本没有分类，是重复试验问题，不是超几何分布问题. （2）解：样本没有分类，是重复试验问题，不是超几何分布问题. （3）解：样本符合超几何分布的特征，样本都分为两类， 随机变量表示抽取件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布． （4）解：样本符合超几何分布的特征，样本都分为两类， 随机变量X表示抽取件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布． （5）解：样本没有给出不合格产品数，无法计算的分布列，所以不属于超几何分布问题． 【题型2：求概率】 例2-1（25-26高二下·湖南长沙·月考）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过二项分布的期望，方差公式求解. 【详解】因为随机变量，所以， 解得，所以， 所以. 变式2-1．（25-26高三上·四川成都·月考）设随机变量服从二项分布，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为随机变量服从二项分布， 则 ． 故选：C． 例2-2（2026高三·山东泰安·月考）一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从个零件中随机抽取个，总的抽取方法数为组合数， 要求恰好件不合格，即从个不合格零件中抽1个， 从个合格零件中抽个，符合条件的方法数为， 故恰好件不合格的概率为. 变式2-2．（2026高二·浙江宁波·期末）小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用“正难则反”的策略求出抽到的卡中没有稀有卡的概率，再根据对立事件的概率公式求得抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率. 【详解】抽到的卡中没有稀有卡的概率，根据对立事件的概率公式， 可知抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为. 故选：A. 【题型3：建立模型】 例3-1．（25-26高二下·重庆·月考）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动8次，则质点经过最终到达2的位置的概率为________. 【答案】 【分析】根据实际的问题情景，结合二项分布计算出所求的概率. 【详解】质点从原点0出发，经过最终到达2的位置，需移动8次，其中必然有3次向左， 分为两类：第一类，当质点第2次移动到达的位置时，质点先向左移动了2次，在后续的6次移动中，只要向左移动1次即可， 则所求的概率为； 第二类，当前3次移动未到达，且第4次移动到达时，质点前4次的移动顺序为，，后续的4次移动中全部向右移动即可， 则所求的概率为. 故所求的概率为. 故答案为： 变式3-1．（25-26高二下·山东青岛·期中）数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动6次，则质点位于2的位置的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设向左移动次数为，分析出其服从二项分布，再计算即可. 【详解】此实验满足6重伯努利实验，设向左移动次数为，则， 根据从0移动到2，且移动6次，则需向右移动4次，向左移动2次， 则， 故选：C. 例3-2（2026高二·山西临汾·月考）盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为X.求： (1)； (2)X的分布列. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用超几何分布求概率即可； （2）利用超几何分布求概率，再写分布列即可. 【详解】（1）; （2）因为两张卡片中取到偶数的个数的可能取值有， 所以，，， 即的分布列为： 变式3-2．（2026高三·天津西青·月考）某学习小组有男生4人，女生3人，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，则恰有一名男生参加的概率为______；在有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为______. 【答案】 / 【分析】利用超几何概型的概率、古典概型求法及组合数求概率即可. 【详解】由题设，恰有一名男生参加的概率为， 有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加的概率为. 故答案为：， 【题型4：实际应用】 例4-1．（25-26高二下·河南郑州·月考）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的序号是__________． ①；②； ③；④． 【答案】②③④ 【分析】先记，根据已知条件可得；再根据对称性和二项分布的概率公式可得出X的所有可能取值的概率；最后利用随机变量的均值公式即可求解. 【详解】由题意可知：X的所有可能取值为：1，2，3，4，5， 6；小球在下落过程中共碰撞五次；小球最后落入格子的号码等于小球发生碰撞后向右落下的次数加1. 用表示事件“碰撞后向右落下”，Y表示小球发生碰撞后向右落下的次数. 则，， 由对称性可知：； ； ； 则. 故答案为：②③④ 变式4-1.（25-26高二下·重庆渝北·期中）在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，摸球一次中奖的概率为， 则摸球三次仅中奖一次的概率为. 例4-2．（2026高二·北京·期末）一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设为取出的3个球中黑球的个数，分别求解的值，比较即可得结论. 【详解】设为取出的3个球中黑球的个数，则的取值为， 所以， 故取出的黑球个数为1时，其概率最大． 故选：B. 变式4-2．（2026高二·河南南阳·期末）某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用超几何分布求出，再利用最大值情况列出不等式求解. 【详解】依题意，服从超几何分布，则， 当取得最大值时，，即， 解得，，所以. 故选：B 强化练习 一、单选题 1.（2026·湖北武汉·模拟预测）连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设为正面向上的次数，则， 总得分, 由于，， 所以 ，所以D正确. 2．（2026高二·浙江台州·期中）为助力校园文创节，文创社准备了60枚文创徽章（红色款）、20枚文创书签（白色款），从其中随机选取10件文创产品作为活动奖品，则其中恰有6枚徽章的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】总文创产品数：，总选法：， 符合条件的选法：选 6 枚徽章 ，选 4 枚书签 ，即 ， 所以概率：． 3．（2026高二·安徽滁州·期中）一个不透明的袋子中有3个黑球和3个白球，这6个小球除颜色外大小､质地完全相同.从中任意取出3个球，设为取出的黑球的个数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由超几何分布的期望公式计算． 【详解】由已知服从超几何分布，所以． 4．（2026·广东惠州·模拟预测）已知小明射箭命中靶心的概率为，且每次射击互不影响，则小明在射击4次后，恰好命中两次的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布的概率即可得解． 【详解】由已知命中的概率为，不命中的概率为，射击4次，命中两次， 故概率. 故选：D. 5．（2026·陕西西安·三模）设随机变量服从二项分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为随机变量服从二项分布，故，得. 故选：C 6．（24-25高二下·北京·月考）某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照以下两种情形，利用独立事件同时发生用乘法，结合二项分布概率公式进行计算即可. 【详解】甲获得冠军分以下二类： 第一类：甲获胜的概率为：； 第二类：甲获胜的概率为：； 所以甲获胜的概率为， 故选：C 2、 多选题 7.（2026高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X的分布列服从超几何分布的是（    ） A．抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为 B．有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为 C．盒子中有红球个，黄球个，蓝球个，任取个球，把不是红色的球的个数记为 D．某班级有男生人，女生人，选派名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为 【答案】CD 【分析】利用超几何分布的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】超几何分布：假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件（不放回）， 用表示抽取的件产品中的次品数，则服从超几何分布. 对于选项A和B，试验均为独立重复试验，随机变量服从二项分布，不服从超几何分布，所以A和B错误， 对于选项C和D，符合超几何分布的特征，样本进行了分类， 随机变量X表示抽取n件样本，某类样本被抽取的件数，所以C和D正确， 故选：CD． 3、 填空题 8．（25-26高二下·云南·期中）如图，用个元件组成一个电路系统，每个单元由2个元件组成，当且仅当从到的电路为通路的状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则______. 【答案】 【详解】每个单元由2个元件组成，各单元之间相互独立， 设事件：某单元正常工作，：某单元中有损坏元件， 则，， 由条件概率公式得， 所以，. 9.（2026·天津·一模）现有3名学生参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种语言回答问题，各学生用何种语言回答问题相互独立，每名学生被要求用英语回答问题的概率均为，则这3名学生中至少有2人用英语回答问题的概率为______________；记用英语回答问题的学生人数为，则X的数学期望______________． 【答案】 【分析】先结合题意得到，再利用二项分布概率公式求解第一空，利用二项分布期望公式求解第二空即可. 【详解】由题意得每名学生被要求用英语回答问题的概率均为， 则用汉语回答的概率为，可得， 由二项分布概率公式得， ， 则至少有2人用英语回答问题的概率为， 由二项分布期望公式得. 10.（25-26高二下·浙江宁波·月考）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，现小禹同学对该高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，则2号球槽中落入________个小球的概率最大. 【答案】7或8 【分析】首先求出改进后，1个小球从高尔顿板上方的通道口落下后落入2号球槽的概率，根据二项分布列出2号球槽中落入k个小球的概率最大时的不等式组，进而可得解. 【详解】由题意知1个小球从高尔顿板上方的通道口落下后共碰撞4次，落入2号球槽需向右1次，向左3次， 因为改进后，的概率向左，的概率向右滚下， 所以落入2号球槽的概率为， 设80个小球落入2号球槽的个数为X，则， 令最大，则， 即， 解得，因为， 所以2号球槽中落入或个小球的概率最大. 11．（25-26高三下·河北衡水·期中）抛掷一枚质地均匀的硬币4次，设正面朝上的次数为． (1)求的分布列、数学期望与方差； (2)求的值． 【答案】(1)分布列见解析； (2) 【分析】（1）由题意得，根据二项分布即可求解； （2）根据分布列先求，进而求解. 【详解】（1）由题意得：一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为，则， 所以， ，， 所以的分布列为： 所以； （2）由（1）有：， 所以. 12．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）某射击队员进行打靶训练，每次是否命中十环相互独立，且每次命中十环的概率为 0.7，现进行了 次打靶射击，其中打中十环的数量为 . (1)若 ，求恰好打中 2 次十环的概率； (2)要使 的值最大，求 的值. 【答案】(1)0.441 (2) 【分析】（1）根据二项分布概率公式代入计算即可求出恰好打中2次十环的概率；（2）先确定的表达式：，要使 的值最大则需和，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）． （2）， 由题意有， 则， 解得， 由于n为整数，故． 13．（2026·江西吉安·一模）某校社团举行“网络安全”知识竞赛，规则如下：每位选手需要独立完成3道题目，答对一题得2分，答错一题得分，3道题目累加得分多者获胜，甲、乙两位同学报名参加比赛，两人分别独立答题，互不影响，若甲、乙正确回答每道题的概率分别为、. (1)求比赛结束后甲得3分的概率； (2)已知在甲获胜的前提下，乙恰好得3分的概率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先确定甲得3分的事件为答对2题，答错1题，根据二项分布概率公式求解； （2）首先分别求甲和乙得分的分布列，再求甲获胜的概率，最后代入条件概率公式，求解概率. 【详解】（1）设“比赛结束后甲得3分”为事件， 则； （2）记“比赛结束后甲获胜”为事件，记“比赛结束时乙恰好得3分”为事件， 设甲的得分为，则， ，， 设乙的得分为，的可能取值为，，，，则 ，， ，，                                         又， 所以， 解得 14.（2026·安徽淮南·二模）在学校举行的科学教育知识竞赛中，甲、乙两位同学进入了决赛，决赛以抢答的形式回答问题，一共回答3道题，每道题均从题库中随机抽取，若每道题甲、乙抢到的概率均为，每道题甲回答正确的概率均为，每道题乙回答正确的概率均为.比赛规定每道题由先抢到的同学回答，回答正确，该同学得1分，回答错误，对方得1分，得分高的同学获胜.甲、乙两人回答每道题正确与否均相互独立. (1)若，，设比赛结束甲的得分为，求； (2)为增加比赛的趣味性，拟由3道题增加到5道题，试判断增加两题后，甲获胜的概率是否增大？请说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分别求出每一道题甲得一分的概率，再结合二项分布期望值公式计算可得结果； （2）求出3道题和5道题时甲获胜的概率表达式，再利用作差法比较两概率的大小可得出结论. 【详解】（1）每一道题甲抢到并回答正确的概率为， 每一道题乙抢到并回答错误的概率为， 所以每一题甲得一分的概率均为； 若，，可得, 又甲、乙两人回答每道题正确与否均相互独立，所以， 可得. （2）设回答3道题时甲获胜的概率为，回答5道题时甲获胜的概率为， 则可知； 回答5道题时甲获胜的情况有三种：前3题甲均得分；前3题甲有2题得分，增加的两道题中甲至少有1题得分；前3题甲有1题得分，增加的两道题甲2题都得分； 则有, 所以； 易知， 于是当时，，即，甲获胜的概率增大， 当时，，即，甲、乙获胜的概率相同， 当时，，即，甲获胜的概率减小， 综上，增加两题后，甲获胜的概率未必增大，而是答题能力强的同学获胜的概率增大. 15.（2026·湖北宜昌·二模）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 【答案】(1) (2)，， 0 1 2 3 (3)会得到推广，因为. 【分析】（1）利用全概率公式，结合问题清晰与不清晰两种情况的采纳概率即可求解； （2）由二项分布概率模型，计算各可能次数的概率及期望、方差； （3）根据二项分布期望公式求出10个问题的总得分期望，并与75比较得出结论. 【详解】（1）设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰， 则， 则. （2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量服从二项分布， 则， ， ， ， ， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 （3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分， 则，满足推广条件，因此该系统会得到推广. 16．（2025·全国二卷·高考真题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立，对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． (1)求（用p表示）． (2)若，求p． (3)证明：对任意正整数m，． 【答案】(1)， (2) (3)证明过程见解析 【分析】（1）直接由二项分布概率计算公式即可求解； （2）由题意，联立，即可求解； （3）首先，，同理有，，作差有，另一方面，且同理有，作差能得到，由此即可得证. 【详解】（1）为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场， 故所求为， 为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场， 故所求为； （2）由（1）得，，同理， 若，， 则， 由于，所以，解得； （3）我们有 . 以及 . 至此我们得到，，同理有，. 故，即. 另一方面，由于 且同理有. 故结合， 就能得到，即，证毕. 总结;1.相邻项比值法：设最大则且 2.比值公式： 3.最大概率点：当为整数时最大概率在和处；当不为整数时最大概率在处（表示不超过的最大整数） 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4二项分布与超几何分布讲义 【基础知识】 1、 二项分布 1.独立重复实验 在相同条件下，重复进行 n 次、各次相互独立的随机试验，且每次试验只有两种互斥结果（成功 / 失败、发生 / 不发生），称为 n 次独立重复试验（也叫 n 重伯努利试验）。 特点：各次之间相互独立；每次只有两个结果即要么发生，要么不发生；每次试验中各事件发生的概率都一样。 2.二项分布（有放回抽样） 二项分布是n 重伯努利试验（独立重复试验） 对应的概率分布，记为 。其中每次试验 “成功” 的概率为，“失败” 的概率为，随机变量表示 “成功” 发生的次数。 则事件 A恰好发生 k 次的概率为：，. 3.二项分布的数字特征 已知 （1）二项分布的数学期望（均值）：. （2）二项分布的方差：. 最简单的二项分布就是试验一次，即两点分布（0-1分布）。 试验结果：成功 / 失败 二、超几何分布（不放回抽样） 1． 定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝， k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． 特点： 考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品，摸不同类别的小球概率模型，其实质是古典概型. 2． 均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝． 理解：样本中目标类个数的平均值，与二项分布期望形式一致。 3.方差公式 三、超几何分布和二项分布的区别和联系 区别 （1）抽样方式：超几何分布不放回；二项分布有放回。 （2）概率特点：超几何分布每次概率改变；二项分布每次概率不变。 （3）总体要求：超几何分布需总体容量；二项分布不需要。 联系 （1）期望相同：（）； 线性性质：（为常数） （2）近似关系：当远大于时，不放回≈有放回，超几何分布近似二项分布。 【题型1：概念辨析】 例1-1 （24-25高二·全国·课后作业）判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． 变式1-1（24-25高二·全国·课后作业）分别指出下列随机变量服从什么分布： (1)即将出生的100个新生婴儿中，男婴的个数X； (2)已知某幼儿园有125个孩子，其中男孩有62个，从这些孩子中随机抽取10个，设抽到男孩的个数为X． 例1-2．（2026高三·上海·随堂练习）下列关于超几何分布的命题中错误的命题是（    ）． A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布里的总体可以有两类或三类特点 C．超几何分布中的参数是 D．超几何分布的总体往往是由差异明显的两部分组成的 变式2-1（2026高二·全国·课后作业）下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是的骰子的个数记为，求的分布列； (2)有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为，求的分布列； (3)盒子中有红球只，黄球只，蓝球只，任取只球，把不是红色的球的个数记为，求的分布列； (4)某班级有男生人，女生人．选派名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为，求的分布列； (5)现有台平板电脑未经检测，抽取台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为，求的分布列． 【题型2：求概率】 例2-1（25-26高二下·湖南长沙·月考）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（25-26高三上·四川成都·月考）设随机变量服从二项分布，则等于（   ） A． B． C． D． 例2-2（2026高三·山东泰安·月考）一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（2026高二·浙江宁波·期末）小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（   ） A． B． C． D． 【题型3：建立模型】 例3-1．（25-26高二下·重庆·月考）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动8次，则质点经过最终到达2的位置的概率为________. 变式3-1．（25-26高二下·山东青岛·期中）数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动6次，则质点位于2的位置的概率是（    ） A． B． C． D． 例3-2（2026高二·山西临汾·月考）盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为X.求： (1)； (2)X的分布列. 变式3-2．（2026高三·天津西青·月考）某学习小组有男生4人，女生3人，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，则恰有一名男生参加的概率为______；在有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为______. 【题型4：实际应用】 例4-1．（25-26高二下·河南郑州·月考）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的序号是__________． ①；②； ③；④． 变式4-1.（25-26高二下·重庆渝北·期中）在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（    ） A． B． C． D． 例4-2．（2026高二·北京·期末）一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 变式4-2．（2026高二·河南南阳·期末）某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 强化练习 一、单选题 1.（2026·湖北武汉·模拟预测）连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（   ） 2．（2026高二·浙江台州·期中）为助力校园文创节，文创社准备了60枚文创徽章（红色款）、20枚文创书签（白色款），从其中随机选取10件文创产品作为活动奖品，则其中恰有6枚徽章的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2026高二·安徽滁州·期中）一个不透明的袋子中有3个黑球和3个白球，这6个小球除颜色外大小､质地完全相同.从中任意取出3个球，设为取出的黑球的个数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·广东惠州·模拟预测）已知小明射箭命中靶心的概率为，且每次射击互不影响，则小明在射击4次后，恰好命中两次的概率是（　　） A． B． C． D． 5．（2026·陕西西安·三模）设随机变量服从二项分布，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·北京·月考）某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（   ） A． B． C． D． 2、 多选题 7.（2026高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X的分布列服从超几何分布的是（    ） A．抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为 B．有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为 C．盒子中有红球个，黄球个，蓝球个，任取个球，把不是红色的球的个数记为 D．某班级有男生人，女生人，选派名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为 3、 填空题 8．（25-26高二下·云南·期中）如图，用个元件组成一个电路系统，每个单元由2个元件组成，当且仅当从到的电路为通路的状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则______. 9.（2026·天津·一模）现有3名学生参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种语言回答问题，各学生用何种语言回答问题相互独立，每名学生被要求用英语回答问题的概率均为，则这3名学生中至少有2人用英语回答问题的概率为______________；记用英语回答问题的学生人数为，则X的数学期望______________． 10.（25-26高二下·浙江宁波·月考）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，现小禹同学对该高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，则2号球槽中落入________个小球的概率最大. 11．（25-26高三下·河北衡水·期中）抛掷一枚质地均匀的硬币4次，设正面朝上的次数为． (1)求的分布列、数学期望与方差； (2)求的值． 12．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）某射击队员进行打靶训练，每次是否命中十环相互独立，且每次命中十环的概率为 0.7，现进行了 次打靶射击，其中打中十环的数量为 . (1)若 ，求恰好打中 2 次十环的概率； (2)要使 的值最大，求 的值. 13．（2026·江西吉安·一模）某校社团举行“网络安全”知识竞赛，规则如下：每位选手需要独立完成3道题目，答对一题得2分，答错一题得分，3道题目累加得分多者获胜，甲、乙两位同学报名参加比赛，两人分别独立答题，互不影响，若甲、乙正确回答每道题的概率分别为、. (1)求比赛结束后甲得3分的概率； (2)已知在甲获胜的前提下，乙恰好得3分的概率为，求的值. 14.（2026·安徽淮南·二模）在学校举行的科学教育知识竞赛中，甲、乙两位同学进入了决赛，决赛以抢答的形式回答问题，一共回答3道题，每道题均从题库中随机抽取，若每道题甲、乙抢到的概率均为，每道题甲回答正确的概率均为，每道题乙回答正确的概率均为.比赛规定每道题由先抢到的同学回答，回答正确，该同学得1分，回答错误，对方得1分，得分高的同学获胜.甲、乙两人回答每道题正确与否均相互独立. (1)若，，设比赛结束甲的得分为，求； (2)为增加比赛的趣味性，拟由3道题增加到5道题，试判断增加两题后，甲获胜的概率是否增大？请说明理由. 15.（2026·湖北宜昌·二模）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 16．（2025·全国二卷·高考真题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立，对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． (1)求（用p表示）． (2)若，求p． (3)证明：对任意正整数m，． 学科网（北京）股份有限公司 $