专题08 离散型随机变量及其分布列6种常见考法归类讲义（46题）讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册题型归纳与解题策略

【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题08 离散型随机变量及其分布列6种常见考法归类（46题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 离散随机变量的概念辨析 考点二 求离散型随机变量的分布列 考点三 利用随机变量分布列的性质求参 考点四 由随机变量的分布列求概率 考点五 两个相关随机变量的分布列 考点六 两点分布 知识点1 随机变量的概念、表示及特征 1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z. 3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征： (1)取值依赖于样本点． (2)所有可能取值是明确的． 4．随机变量与函数的关系 共同点：随机变量和函数都是一种映射 区别: 随机变量把试验的结果映为实数，函数把实数映为实数 联系：试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当与函数的值域； 注意：所有随机变量的取值范围的集合叫做随机变量的值域. 知识点2 离散型随机变量 1．概念：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. 2．特征： (1)可以用数值表示； (2)试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值； (3)试验结果能一一列出． 知识点3　离散型随机变量的分布列及其性质 1．定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列． 2．分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1,2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1.（pi＝1） 注：分布列的性质及其应用 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数． (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式． 知识点4　两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示． X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． 注：随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． 策略方法 一、离散型随机变量的判定方法 1.判定依据 (1)取值可以一一列举（有限个或无限可列）； (2)试验前能明确所有可能取值； (3)试验结果与数值一一对应。 2.判定步骤 (1)明确随机试验的全部可能结果； (2)将结果数量化（用实数表示）； (3)判断取值能否一一列出，能列出即为离散型随机变量。 二、求离散型随机变量分布列的步骤 1.定取值 理解随机变量含义，准确写出所有可能取值，做到不重不漏。 2.算概率 利用古典概型、互斥事件、独立事件、排列组合、全概率公式等，计算。 3.列表格 · 规范列出分布列表格： 4.做检验 (1)所有概率满足； (2)概率和满足。 三、分布列的性质及应用 1.基本性质 (1)非负性：（）； (2)规范性：。 2.性质应用 (1)求参数：利用“概率和为1”列方程求解，必须检验； (2)求范围概率：将对应取值的概率相加； (3)求对立事件概率：。 四、由分布列求概率的方法 1.单点概率 直接查分布列：。 2.范围概率 (1)； (2)； (3)。 3.转化概率 若，则 五、相关随机变量分布列的求法 1.步骤 (1)由原分布列得与； (2)由计算的对应取值； (3)相同取值合并概率； (4)列出的分布列。 2.常用变换 (1)：概率不变，取值平移； (2)：概率不变，取值成比例； (3)：正负取值合并，概率相加。 六、两点分布（0-1分布）判定与计算 1.判定条件 (1)随机变量只取0和1； (2)试验只有两种对立结果（成功/失败、发生/不发生）。 2.分布列 0 1 3.计算公式 (1)； (2)。 七、高频易错点 1.随机变量取值遗漏或重复； 2.概率计算排列组合用错； 3.求参数后不检验； 4.混淆相关变量的概率对应关系； 5.两点分布误判：变量不只取0、1不是两点分布； 6.范围概率多算/少算端点值。 考点一 离散随机变量的概念辨析 1．（2026高二·全国·课堂例题）下列变量中，是离散型随机变量的是（    ） A．到2025年5月1日止，我国发射的卫星 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，投中的次数 2．（2026高二·河北邢台·月考）下列是离散型随机变量的是（   ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在24小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 3．【多选】（2026高二·全国·课后作业）下列随机变量是离散型随机变量的是（   ） A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数 B．南京长江大桥一天经过的车辆数 C．某型号彩电的寿命 D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和 4．【多选】（2026高二·辽宁铁岭·期末）下列是离散型随机变量的是（    ） A．车载大灯的使用寿命X1 B．从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为X2 C．某次物理实验测量所得的实验误差X3 D．某培养皿上的细菌个数X4 5．【多选】（2026高二·山西临汾·月考）下列变量是离散型随机变量的是（    ） A．某水位监测站所测水位在这一范围内变化，该水位监测站所测水位H B．抛掷一枚硬币直到出现正面为止，需要的抛掷次数 C．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数 D．方程的实根个数 6．（2026高二·全国·课堂例题）指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片（从1号到10号）中任取一张，被取出的卡片的号码； (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； (3)某林场树木最高达30m，则此林场中树木的高度； (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差. 考点二 求离散型随机变量的分布列 7．（2026高二·全国·课后作业）甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次 8．（2026高二·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（    ） A． X 1 2 P B． X 0 1 P C．   X 0 1 2 P                           D．    X 0 1 2 P                 9．（2026高二·全国·课前预习）某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽取1人，其血型为随机变量，求的分布列. 10．（2026高二·山东枣庄·期中）在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球． (1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率； (2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列． 11．（2026高二·河南·期中）4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2. (1)若从两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率； (2)若机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列. 12．（2026高二·江西鹰潭·期末）某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 (1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列. 考点三 利用随机变量分布列的性质求参 13．（2026高二·全国·专题练习）下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（ ） X 3 4 5 9 P A． B． C． D． 14．（2026高二·河北衡水·期中）已知随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 则常数（   ） A． B． C． D． 15．（2026高二·河南商丘·期中）已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 则（    ） A． B． C． D． 16．（2026高二·山东济南·期中）离散型随机变量的分布列为：则（    ） A． B． C．或 D．或 17．（2026高二·广西贵港·期中）已知离散型随机变量X的分布列如表所示． X 0 1 2 P 0.36 则常数q的值是（   ） A．1.8或0.2 B．1.8 C．0.2 D．0.4 18．（2026高二·北京丰台·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则___． X 0 1 P 2m m 19．（2026高二·江苏徐州·期中）设为实数，若随机变量的分布列为，则（    ） A．5 B．10 C．12 D．15 20．（2026高二·上海·期末）某射击运动员射击所得环数的分布为，则的值为______. 考点四 由随机变量的分布列求概率 21．（2026高二·河北衡水·期中）已知随机变量的分布列为： 1 2 3 则（    ） A． B． C． D． 22．（2026高二·辽宁沈阳·期末）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 23．（2026高二·青海西宁·期末）某位射箭运动员命中目标的环数的分布列为： 6 7 8 9 10 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20 如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是（    ） A．0.55 B．0.45 C．0.35 D．0.20 24．（2026高二·江苏南京·期中）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 25．（2026高二·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量，则__________. 26．（2026高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 27．（2026高二·河南信阳·期中）已知随机变量取所有值、、、是等可能的，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 28．（2026高二·河北衡水·月考）设随机变量X的分布列，则 （    ） A． B． C． D． 29．【多选】（2027高三·全国·专题练习）设随机变量的分布列为，则（     ） A． B． C． D． 30．（2026高二·福建厦门·月考）设随机变量的分布列为，则或__________. 31．（2026高二·全国·专题练习）已知随机变量X的概率分布规律为，其中a为常数，则_______． 32．（2026高二·黑龙江绥化·期末）随机变量X的分布列为，其中a是常数，以下错误的是（    ）． A． B． C． D．以上均不正确 考点五 两个相关随机变量的分布列 33．（2026高二·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 34．（2026高二·湖北黄石·月考）已知X的分布列为： X 0 1 P a 若随机变量，则等于（   ） A． B． C． D． 35．（2026高二·全国·课后作业）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求随机变量的分布列． 考点六 两点分布 36．（2026高二·江西宜春·期末）已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.1 37．（2026高二·河南南阳·月考）已知随机变量X服从两点分布，且，则（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 38．（2026高二·河南·期中）设随机变量服从两点分布，若，则______. 39．（2026高二·甘肃白银·期末）若服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 40．（2026高二·福建宁德·期末）随机变量服从两点分布，其分布列如下表所示： 0 1 则（   ） A． B． C． D．或 41．（2026高二·新疆·期末）已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（    ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 42．（2026高二·辽宁锦州·期末）已知随机变量服从两点分布，且，若，则___________. 43．（2026高二·河北邢台·期末）已知随机变量服从两点分布，．若，则__________． 44．（2026高二·全国·单元测试）已知随机变量服从两点分布，且，令，则______． 45．（2026高三·广东深圳·开学考试）已知随机变量均服从两点分布，且，若，则（    ） A． B． C． D． 46．（2026高二·湖北省直辖县级单位·期末）已知随机变量均服从两点分布，若，则（   ） A． B． C． D． $【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题08 离散型随机变量及其分布列6种常见考法归类（46题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 离散随机变量的概念辨析 考点二 求离散型随机变量的分布列 考点三 利用随机变量分布列的性质求参 考点四 由随机变量的分布列求概率 考点五 两个相关随机变量的分布列 考点六 两点分布 知识点1 随机变量的概念、表示及特征 1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z. 3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征： (1)取值依赖于样本点． (2)所有可能取值是明确的． 4．随机变量与函数的关系 共同点：随机变量和函数都是一种映射 区别: 随机变量把试验的结果映为实数，函数把实数映为实数 联系：试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当与函数的值域； 注意：所有随机变量的取值范围的集合叫做随机变量的值域. 知识点2 离散型随机变量 1．概念：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. 2．特征： (1)可以用数值表示； (2)试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值； (3)试验结果能一一列出． 知识点3　离散型随机变量的分布列及其性质 1．定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列． 2．分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1,2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1.（pi＝1） 注：分布列的性质及其应用 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数． (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式． 知识点4　两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示． X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． 注：随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． 策略方法 一、离散型随机变量的判定方法 1.判定依据 (1)取值可以一一列举（有限个或无限可列）； (2)试验前能明确所有可能取值； (3)试验结果与数值一一对应。 2.判定步骤 (1)明确随机试验的全部可能结果； (2)将结果数量化（用实数表示）； (3)判断取值能否一一列出，能列出即为离散型随机变量。 二、求离散型随机变量分布列的步骤 1.定取值 理解随机变量含义，准确写出所有可能取值，做到不重不漏。 2.算概率 利用古典概型、互斥事件、独立事件、排列组合、全概率公式等，计算。 3.列表格 · 规范列出分布列表格： 4.做检验 (1)所有概率满足； (2)概率和满足。 三、分布列的性质及应用 1.基本性质 (1)非负性：（）； (2)规范性：。 2.性质应用 (1)求参数：利用“概率和为1”列方程求解，必须检验； (2)求范围概率：将对应取值的概率相加； (3)求对立事件概率：。 四、由分布列求概率的方法 1.单点概率 直接查分布列：。 2.范围概率 (1)； (2)； (3)。 3.转化概率 若，则 五、相关随机变量分布列的求法 1.步骤 (1)由原分布列得与； (2)由计算的对应取值； (3)相同取值合并概率； (4)列出的分布列。 2.常用变换 (1)：概率不变，取值平移； (2)：概率不变，取值成比例； (3)：正负取值合并，概率相加。 六、两点分布（0-1分布）判定与计算 1.判定条件 (1)随机变量只取0和1； (2)试验只有两种对立结果（成功/失败、发生/不发生）。 2.分布列 0 1 3.计算公式 (1)； (2)。 七、高频易错点 1.随机变量取值遗漏或重复； 2.概率计算排列组合用错； 3.求参数后不检验； 4.混淆相关变量的概率对应关系； 5.两点分布误判：变量不只取0、1不是两点分布； 6.范围概率多算/少算端点值。 考点一 离散随机变量的概念辨析 1．（2026高二·全国·课堂例题）下列变量中，是离散型随机变量的是（    ） A．到2025年5月1日止，我国发射的卫星 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，投中的次数 【答案】D 【分析】由离散型随机变量的特点逐一判断即可. 【详解】因为离散型随机变量的取值是可以一一列举的， 对于A，描述是一个对象的集合，而不是一个数值变量，不满足题意； 对于B，C，由题意可知是连续型随机变量，不满足题意； 对于D，由题意可知投中的次数可能为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.满足题意. 故选：D. 2．（2026高二·河北邢台·月考）下列是离散型随机变量的是（   ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在24小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念逐项判断即可. 【详解】因为离散型随机变量是可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量， 对于A，种子含水量的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于B，某品牌电视机的使用寿命不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于C，某网页在24小时内被浏览的次数能一一列举，是离散型随机变量； 对于D，测量某一零件的长度产生的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量． 故选：C. 3．【多选】（2026高二·全国·课后作业）下列随机变量是离散型随机变量的是（   ） A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数 B．南京长江大桥一天经过的车辆数 C．某型号彩电的寿命 D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和 【答案】ABD 【分析】由随机变量的特点逐一判断即可. 【详解】因为B,D中的取值有限，且可以一一列举出来， 故B,D中的均为离散型随机变量． 因为中的取值依次为1，2，3，…，虽然无限，但可一一列举出来， 故为离散型随机变量． 而C中的取值不能一一列举出来， 所以中的不是离散型随机变量． 故选：ABD 4．【多选】（2026高二·辽宁铁岭·期末）下列是离散型随机变量的是（    ） A．车载大灯的使用寿命X1 B．从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为X2 C．某次物理实验测量所得的实验误差X3 D．某培养皿上的细菌个数X4 【答案】BD 【分析】根据离散型随机变量的概念，离散型随机变量是可取值为有限个或可以一一列举的随机变量，逐项判断即可． 【详解】对于A，车载大灯的使用寿命不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于B，从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为能一一列举，是离散型随机变量； 对于C，某次物理实验测量所得的实验误差不能一一列举，不是离散型随机变量； 对于D，某培养皿上的细菌个数能一一列举，是离散型随机变量． 故选：BD． 5．【多选】（2026高二·山西临汾·月考）下列变量是离散型随机变量的是（    ） A．某水位监测站所测水位在这一范围内变化，该水位监测站所测水位H B．抛掷一枚硬币直到出现正面为止，需要的抛掷次数 C．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数 D．方程的实根个数 【答案】BC 【分析】根据离散型随机变量的定义判断. 【详解】对于A，因为水位在内变化，不能一一举出，故不是离散型随机变量，故A错误； 对于B，需要抛掷次数可以一一举出，所以是离散型随机变量，故B正确； 对于C，做对选择题第11题的人数可以一一举出，所以是离散型随机变量，故C正确； 对于D，方程的实根有2个，是确定的值，不是随机变量，故D错误. 故选：BC. 6．（2026高二·全国·课堂例题）指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片（从1号到10号）中任取一张，被取出的卡片的号码； (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； (3)某林场树木最高达30m，则此林场中树木的高度； (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差. 【答案】(1)是，理由见解析 (2)是，理由见解析 (3)不是，理由见解析 (4)不是，理由见解析 【分析】根据离散型随机变量的定义，即可逐一求解. 【详解】（1）该随机变量的所有可能取值为1, 2, 3, ..., 10，是有限个可数的值，可以一一列出，故为离散型随机变量. （2）从10个球中取3个球，所含白球的个数可能为0,1,2,3，因此白球的个数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义. （3）林场树木的高度是一个随机变量，它可以取内的一切值，无法一一列出，不是离散型随机变量. （4）该差值可以取某一区间内的任意实数，其所有可能取值无法一一列出，故不是离散型随机变量. 考点二 求离散型随机变量的分布列 7．（2026高二·全国·课后作业）甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次 【答案】D 【分析】根据题意，分两种情况，即甲赢一局或甲、乙平局三次. 【详解】由于甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故分成两种情况， 即或者，即甲赢一局或甲、乙平局三次. 故选：D 8．（2026高二·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（    ） A． X 1 2 P B． X 0 1 P C．   X 0 1 2 P                           D．    X 0 1 2 P                 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的分布列，即可写出答案. 【详解】因为每枚骰子偶数点朝上的概率为，且相互独立，的取值可能为0，1，2. ，，， 所以的分布列为： X P 故选：C. 9．（2026高二·全国·课前预习）某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽取1人，其血型为随机变量，求的分布列. 【答案】分布列见解析 【分析】根据古典概型的概率公式求解概率，即可列出分布列. 【详解】解  将四种血型分别编号为1，2，3，4，则的可能取值为1，2，3，4． ， ， ， . 故的分布列为 1 2 3 4 10．（2026高二·山东枣庄·期中）在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球． (1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率； (2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）根据取球的结果结合古典概型分析求解； （2）由随机变量的可能取值，计算相应的概率，进而求分布列. 【详解】（1）设事件A为“取球放球结束后袋子里白球的个数为2”， 则取出的2个球没有白球，得， 所以取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率为． （2）依题意，随机变量的取值为1，2，3， ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 11．（2026高二·河南·期中）4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2. (1)若从两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率； (2)若机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列. 【答案】(1)0.85 (2) 0 1 2 0.02 0.26 0.72 【分析】（1）根据全概率公式求解即可. （2）分析可能取值为，再求出其相应概率，写出分布列即可. 【详解】（1）设事件为选用机器人A，事件为选用机器人B， 用事件表示机器人成功，则 由全概率公式得. （2）由题意得的取值可能为. ， ， ， 的分布列为 0 1 2 0.02 0.26 0.72 12．（2026高二·江西鹰潭·期末）某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 (1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列. 【答案】(1)甲； (2)分布列见解析. 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式分别求出甲乙丙进入决赛的概率，再比较大小即可； （2）利用相互独立事件的概率公式，列式解方程求出，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列. 【详解】（1）甲进入决赛的概率为， 乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为，而，则， 所以甲进入决赛的可能性最大. （2）甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率， 整理可得，解得或，而，所以. 则， 所以甲、乙、丙进入决赛的概率分别为， 随机变量的可能取值有0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 考点三 利用随机变量分布列的性质求参 13．（2026高二·全国·专题练习）下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（ ） X 3 4 5 9 P A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列中所有概率之和为1列方程求解即可 【详解】离散型随机变量分布列满足：所有概率之和为1，即， 代入数据可得：，解得. 14．（2026高二·河北衡水·期中）已知随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 则常数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】随机变量的所有取值的概率之和等于1，即，解得. 15．（2026高二·河南商丘·期中）已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由随机变量分布列的性质知，解得. 16．（2026高二·山东济南·期中）离散型随机变量的分布列为：则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据分布列的性质可得出关于的等式或不等式，解之即可. 【详解】由分布列的性质可得，即，解得. 17．（2026高二·广西贵港·期中）已知离散型随机变量X的分布列如表所示． X 0 1 2 P 0.36 则常数q的值是（   ） A．1.8或0.2 B．1.8 C．0.2 D．0.4 【答案】C 【详解】因为概率和为1，所以， 化简得，解得或， 又因为，概率不能为负数，故. 18．（2026高二·北京丰台·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则___． X 0 1 P 2m m 【答案】 【分析】由离散型随机变量的性质，概率之和为1即可求解. 【详解】由概率之和为1可得：，解得. 19．（2026高二·江苏徐州·期中）设为实数，若随机变量的分布列为，则（    ） A．5 B．10 C．12 D．15 【答案】A 【详解】， 所以 20．（2026高二·上海·期末）某射击运动员射击所得环数的分布为，则的值为______. 【答案】0.4/ 【分析】根据分布列的性质列式计算即可. 【详解】由，得. 故答案为：0.4 考点四 由随机变量的分布列求概率 21．（2026高二·河北衡水·期中）已知随机变量的分布列为： 1 2 3 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得，解得， 所以. 22．（2026高二·辽宁沈阳·期末）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列的性质计算即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 23．（2026高二·青海西宁·期末）某位射箭运动员命中目标的环数的分布列为： 6 7 8 9 10 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20 如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是（    ） A．0.55 B．0.45 C．0.35 D．0.20 【答案】A 【分析】利用分布列的性质，将射中环数为9、10环对应的概率相加即可得解． 【详解】若射手射击一次为优秀，则他射中的环数为9，10环，其概率为， 故他射击一次为优秀的概率是0.55. 故选：A. 24．（2026高二·江苏南京·期中）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 【答案】B 【分析】根据分布列的性质求出参数，进而求出事件概率. 【详解】，解得； ， 故选：B. 25．（2026高二·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量，则__________. 【答案】/ 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质可知各概率，再根据概率的加法可得解. 【详解】由已知可得， 解得， 则， 故答案为：. 26．（2026高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量分布列求概率即可. 【详解】由题得，则， 故． 故选：C. 27．（2026高二·河南信阳·期中）已知随机变量取所有值、、、是等可能的，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意，得. 所以对应，共个取值， 则，即，解得. 28．（2026高二·河北衡水·月考）设随机变量X的分布列，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 因为， 所以，解得。 所以， 所以. 29．【多选】（2027高三·全国·专题练习）设随机变量的分布列为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意结合离散型随机变量分布列的性质即可求解，再逐一判断选项即可. 【详解】因为随机变量的分布列为， 所以，解得，A 正确； ，B 正确； ，C 错误； ，D 错误． 故选：AB． 30．（2026高二·福建厦门·月考）设随机变量的分布列为，则或__________. 【答案】 【分析】根据分布列的性质，求得参数，再利用概率公式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得， 故或. 31．（2026高二·全国·专题练习）已知随机变量X的概率分布规律为，其中a为常数，则_______． 【答案】 【分析】利用概率和为1可构造方程求得a的值，由可求得结果. 【详解】因为， 所以，故， 所以. 故答案为：. 32．（2026高二·黑龙江绥化·期末）随机变量X的分布列为，其中a是常数，以下错误的是（    ）． A． B． C． D．以上均不正确 【答案】D 【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 则，解得，故AB正确； 又，C正确； 故D错误. 故选：D 考点五 两个相关随机变量的分布列 33．（2026高二·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】D 【分析】根据分布列的性质，求得，再根据的关系可得，结合分布列即可求得结果. 【详解】由分布列性质可得：，解得； 因为，故. 故选：D. 34．（2026高二·湖北黄石·月考）已知X的分布列为： X 0 1 P a 若随机变量，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分布列的性质有，再由即可得. 【详解】由题设，可得，则. 故选：B 35．（2026高二·全国·课后作业）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求随机变量的分布列． 【答案】答案见详解 【分析】由离散型随机变量的性质，可得，再由 的对应关系可得解. 【详解】由离散型随机变量的性质，可得， 依题意知，η的值为0，1，4，9，16. 列表为： X 0 1 2 3 4 0 1 4 9 16 从而的分布列为： η 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 考点六 两点分布 36．（2026高二·江西宜春·期末）已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.1 【答案】C 【分析】根据两点分布的性质求解即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且， 则. 故选：C 37．（2026高二·河南南阳·月考）已知随机变量X服从两点分布，且，则（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【详解】因为X服从两点分布，所以，结合条件得，． 38．（2026高二·河南·期中）设随机变量服从两点分布，若，则______. 【答案】0.38 【分析】由于变量服从两点分布，根据两点分布的性质进行求解. 【详解】随机变量服从两点分布，由， 及，解得. 39．（2026高二·甘肃白银·期末）若服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照两点分布的性质计算. 【详解】依题意可得，解得. 故选：C 40．（2026高二·福建宁德·期末）随机变量服从两点分布，其分布列如下表所示： 0 1 则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由概率之和为1即可列方程求解. 【详解】由题意，解得或（舍去）. 故选：B. 41．（2026高二·新疆·期末）已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（    ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 【答案】A 【分析】根据两点分布概率公式求解即可. 【详解】由题意可得， 故选：A. 42．（2026高二·辽宁锦州·期末）已知随机变量服从两点分布，且，若，则___________. 【答案】0.6/ 【分析】根据两点分布的性质可求得，进而由得出结果. 【详解】随机变量服从两点分布，且，则， 若，可知，则. 故答案为：0.6. 43．（2026高二·河北邢台·期末）已知随机变量服从两点分布，．若，则__________． 【答案】0.44 【分析】根据两点分布的性质判断. 【详解】由题意可得． 故答案为： 44．（2026高二·全国·单元测试）已知随机变量服从两点分布，且，令，则______． 【答案】0.6/ 【分析】由两点分布可得答案. 【详解】由得， 所以． 故答案为：. 45．（2026高三·广东深圳·开学考试）已知随机变量均服从两点分布，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两点分布分别求得的概率，再，由求出，由条件概率公式计算. 【详解】随机变量均服从两点分布， ，， 又， ，由条件概率公式， 故选：D. 46．（2026高二·湖北省直辖县级单位·期末）已知随机变量均服从两点分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两点分布分别求得的概率，再由求出，由条件概率公式计算. 【详解】因为随机变量均服从两点分布，所以， 因为， 所以， 由条件概率公式， 故选：B. $