10.3 实际问题与二元一次方程组（2）—几何、图形问题2025-2026学年人教版数学七年级下册

10.3 实际问题与二元一次方程组（2） ——几何、图形问题 姓名： 班级： 一．课堂探究 探究一 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是?某学习小组设计了两种方案，根据问题中涉及的长度和产量的相等关系，可列出方程组求解． 方案一：按如图1的方式划分土地，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形和长方形，求的长度是多少? 方案二：按如图2的方式划分土地，分别在长方形和长方形土地中种植甲、乙两种作物，求的长度是多少? 请你分别用以上两种方案完成解答． 探究二 如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，各应取什么值？ 3 2 二．例题讲解 例1．已知∠A、∠B互余，∠A比∠B大30°，设∠A、∠B的度数分别为x°、y°，下列方程组中符合题意的是（ ） A． B． C． D． 例2．在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数，图的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，图所示的算筹图所表示的方程组为 （    ） A．B． C．D． 例3．在长为，宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出3个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中每个小长方形花圃的面积为（   ） A．30 B．27 C．21 D．15 例4．一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长，其他三边用竹篱笆围成，现有长为的竹篱笆，小林打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多；小陈也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多． （1）你认为谁的设计符合实际？通过计算说明理由． （2）在（1）的条件下，按照设计鸡场面积是_______．（直接在横线填上答案） 例5．如图，学校规划在一块长，宽的长方形场地上，分别设计与平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边，那么通道的宽是多少? 例6．阅读材料：小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 三．课后训练 1．一块长方形菜园，长是宽的3倍，如果长减少3米，宽增加4米，这个长方形就变成一个正方形．设这个长方形菜园的长为x米，宽为y米，根据题意，得（　　） A． B． C． D． 2．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，且每个果冻的质量也相等，设1块巧克力的质量为x克，1个果冻的质量为y克，则可列方程组（    ） A． B． C．D． 4．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A．B．C．D． 5．用一根长为的绳子围成一个长比宽多的长方形，若这个长方形的长为，宽为，则根据题意可得的方程组为________． 6．如图，在的方格内，填写了一些代数式和数． （1）在图1中各行、各列和对角线上三个数之和都相等，请你求出x，y的值； （2）在图2余下的方格中填入适当的数，使各行、各列和对角线上三个数之和都相等． 7．如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为32cm，小红所搭的“小树”高度为3lcm，设每块A型积木的高为每块B型积木的高为求与的值. 8．某飞镖游戏规则如下：掷到区和区的得分不同，区为小圆内部分，区为大圆内小圆外部分，每次掷中的位置用一个“×”标注．如图，已知小红，小华和小明的有效成绩均为8次，结果小红得了65分，小华得了71分． （1）列方程组解答：掷中区、区一次各得多少分？ （2）按照同样的记分方法，小明得了多少分？ 9．如图，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，请你利用方程组的思想方法解决以下问题： （1）求小长方形的长和宽； （2）求出图中阴影部分面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3 实际问题与二元一次方程组（2） ——几何、图形问题 姓名： 班级： 一．课堂探究 探究一 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是?某学习小组设计了两种方案，根据问题中涉及的长度和产量的相等关系，可列出方程组求解． 方案一：按如图1的方式划分土地，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形和长方形，求的长度是多少? 方案二：按如图2的方式划分土地，分别在长方形和长方形土地中种植甲、乙两种作物，求的长度是多少? 请你分别用以上两种方案完成解答． 【答案】方案一：的长度分别为．方案二：的长度分别为． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 方案一：设，，根据甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是，列出二元一次方程组，解方程组即可； 方案二：设，根据甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：方案一：根据题意可列方程组为： ， 解得：， 答：的长度分别为． 方案二：根据题意可列方程组为： ， 解得：， 答：的长度分别为． 探究二 如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，各应取什么值？ 3 2 【答案】x的取值为，y的取值为1 【分析】本题主要考查二元一次方程组应用，根据题意，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， 即x的取值为，y的取值为1． 二．例题讲解 例1．已知∠A、∠B互余，∠A比∠B大30°，设∠A、∠B的度数分别为x°、y°，下列方程组中符合题意的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∠A比∠B大30°， 则有x=y+30， ∠A，∠B互余， 则有x+y=90． 则 故选D． 例2．在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数，图的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图所示的算筹图所表示的方程组为 （    ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理清题意，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据图的算筹图知第一行为第一个方程，前两个数分别为、的系数，第三个数为方程右侧常数的十位，第四个数为方程右侧常数的个位，然后根据图所示的算筹图列出二元一次方程组即可． 【详解】解：图所示的算筹图所表示的方程组为， 故选：C． 例3．在长为，宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出3个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中每个小长方形花圃的面积为（   ） A．30 B．27 C．21 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形花圃的长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设小长方形花圃的长为，宽为， 根据题意可得：， 解得：， ， 故选：B． 例4．一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长，其他三边用竹篱笆围成，现有长为的竹篱笆，小林打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多；小陈也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多． （1）你认为谁的设计符合实际？通过计算说明理由． （2）在（1）的条件下，按照设计鸡场面积是_______．（直接在横线填上答案） 【答案】（1）小陈的设计符合实际，理由见详解；（2）143． 【分析】（1）由于墙可以当作一条边，那么长方形的长只有一个，宽有2个等量关系为：宽×2+长=35，注意长不能超过墙长14m,设小林打算用它围成一个鸡场的宽为xm,则鸡场的长为(x+5)m，2x+x+5=35， x+5=1514m不符合实际，设小陈也打算用它围成一个鸡场宽为ym，则鸡场的长为（y+2）m．2y+y+2=35，求y+2=1314m即可； （2）小陈围成鸡场的面积为：11×13=143即可． 【详解】（1）设小林打算用它围成一个鸡场的宽为xm,则鸡场的长为(x+5)m， 现有长为的竹篱笆， 2x+x+5=35， x=10m， x+5=1514m， 不符合实际， 设小陈也打算用它围成一个鸡场宽为ym，则鸡场的长为（y+2）m， 现有长为的竹篱笆， 2y+y+2=35， y=11m， y+2=1314m， 符合要求， 通过计算小陈的设计符合实际． （2）小陈围成鸡场的面积为：11×13=143， 故答案为：143． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用题，仔细读题，抓住宽×2+长=35等量关系，注意长不能超过墙长14m，来列方程是解题关键． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系，列出方程是解题的关键． 例5．如图，学校规划在一块长，宽的长方形场地上，分别设计与平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边，那么通道的宽是多少? 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设通道的宽为，，则，根据长包含3个的长和2个通道宽，宽包含2个长和1个通道宽建立方程组求解． 【详解】解：设通道的宽为的长是，则， 由题意，列方程组为，解得． 答：通道的宽是． 例6．阅读材料：小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 【答案】(1)每个小长方形的面积为60 (2)它的高度约是 (3)46 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小长方形的面积； （2）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即单独一个纸杯的高度个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度，单独一个纸杯的高度个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度．根据这两个等量关系可列出方程组； （3）设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的长为17，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：，解得：， ∴． 故每个小长方形的面积为60； （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 根据题意，得，解得， 则． 即小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是； （3）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得， 解得， ∴ 三．课后训练 1．一块长方形菜园，长是宽的3倍，如果长减少3米，宽增加4米，这个长方形就变成一个正方形．设这个长方形菜园的长为x米，宽为y米，根据题意，得（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：设这个长方形菜园的长为x米，宽为y米，题中的等量关系有：①长=宽×3；②长-3米=宽+4米，依此列出方程组即可． 详解：设这个长方形菜园的长为x米，宽为y米， 根据题意，得． 故选B． 点睛：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语， 2．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图示可得：矩形的宽可以表示为，宽又是75厘米，故，矩形的长可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽． 【详解】解：根据图示可得， 故选：B． 3．如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，且每个果冻的质量也相等，设1块巧克力的质量为x克，1个果冻的质量为y克，则可列方程组（    ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组，理解题图列出方程或方程组是解决本题的关键．设1块巧克力的质量为x克，1个果冻的质量为y克，再列出方程组即可． 【详解】解：设1块巧克力的质量为x克，1个果冻的质量为y克， 由题意，得． 故选：B． 4．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为，据此可求出每增加一个碗，高度的增加量，再在4个碗的基础上加上增加的4个碗的高度即可得到答案． 【详解】解：， ∴这个消毒柜的内置高度至少有， 故选：C． 5．用一根长为的绳子围成一个长比宽多的长方形，若这个长方形的长为，宽为，则根据题意可得的方程组为________． 【答案】 【分析】根据题意提取两个等量关系，一是长比宽多，二是长方形周长等于绳长，根据等量关系列二元一次方程组即可． 【详解】解：∵长比宽多， ∴， ∵绳子长度为围成的长方形的周长， ∴， ∴可得方程组为． 6．如图，在的方格内，填写了一些代数式和数． （1）在图1中各行、各列和对角线上三个数之和都相等，请你求出x，y的值； （2）在图2余下的方格中填入适当的数，使各行、各列和对角线上三个数之和都相等． 【答案】（1）x=-2，y=5；（2）见解析 【分析】（1）通过理解题意可知本题的等量关系“各行、各列及对角线上三个数之和都相等”，列出方程组求解． （2）根据“各行、各列及对角线上三个数之和都相等”填写即可． 【详解】解：（1）由题意可得： ， 解得：； （2）如图所示： 【点睛】本题理解题意中“各行、各列及对角线上三个数之和相等”从而列出关于x、y的二元一次方程组，使问题得解．命题立意：考查了方程组的求解． 7．如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为32cm，小红所搭的“小树”高度为3lcm，设每块A型积木的高为每块B型积木的高为求与的值. 【详解】解：由题意得， ， 解得， 解得. 【点睛】本题考查了新定义运算及二元一次方程组的应用，正确理解“轮换对称解法”的含义是解答本题的关键. 8．某飞镖游戏规则如下：掷到区和区的得分不同，区为小圆内部分，区为大圆内小圆外部分，每次掷中的位置用一个“×”标注．如图，已知小红，小华和小明的有效成绩均为8次，结果小红得了65分，小华得了71分． （1）列方程组解答：掷中区、区一次各得多少分？ （2）按照同样的记分方法，小明得了多少分？ 【答案】（1）掷中区一次得10分，掷中区一次得7分；（2）62分 【分析】（1）首先设掷中区一次得分，掷中区一次得分，根据图示可得等量关系：①掷中区3个的得分掷中区5个的得分分；②掷中区5个的9．如图，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，请你利用方程组的思想方法解决以下问题： （1）求小长方形的长和宽； （2）求出图中阴影部分面积． 【答案】（1）小长方形的长为8 cm，宽为2 cm．（2）44cm2 【分析】（1）设小长方形的长为x cm，宽为y cm，根据题意列二元一次方程组，进而解方程组解决问题； （2）根据（1）的结论，根据阴影部分面积等于大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求得 【详解】（1）解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm，由题意得; 解得： ． 答：小长方形的长为8cm，宽为2 cm． （2）由题意可得： =44（） 所以阴影部分面积为44． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形列出二元一次方程组是解题的关键．得分掷中区3个的得分分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可得到掷中区、区一次各得多少分； （2）由图示可得求的是掷中区2个的得分掷中区6个的得分，根据（1）中解出的数代入计算即可． 【详解】解：（1）设掷中区一次得分，掷中区一次得分，依题意有 ， 解得． 故掷中区一次得10分，掷中区一次得7分； （2）（分． 答：小明得了62分． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组． 学科网（北京）股份有限公司 $10.3实际问题与二元一次方程组（2) 一一几何、图形问题 姓名： 班级： 一。课堂探究 探究一据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量 的比是1：2.现要把一块长200m、宽100m的长方形土 地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物.怎 样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比 是3：4？某学习小组设计了两种方案，根据问题中涉及的 长度和产量的相等关系，可列出方程组求解. D ym xm k一xm*ymB 图1 图2 方案一：按如图1的方式划分土地，甲、乙两种作物的 种植区域分别为长方形AEFD和长方形EBCF,求 AE,BE的长度是多少？ 方案二：按如图2的方式划分土地，分别在长方形 DMNC和长方形MABN土地中种植甲、乙两种作物，求 AM,DM的长度是多少？ 请你分别用以上两种方案完成解答. 探究二如图，3×3的格子内填写了一些数和代数式.为 了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等， x,y各应取什么值？ 2x 3 2 x+2y -3 4y 二.例题讲解 例1.己知∠A、∠B互余，∠A比∠B大30°，设∠A、 ∠B的度数分别为x°、y°，下列方程组中符合题意的是 () x+y=180 x+y=180 A. B. x=y-30 x=y+30 x+y=90 x+y=90 C. x=y-30 D. x=y+30 例2.在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是 由算筹布置而成，图1，图中各行从左到右列出的算筹 数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数，图1的算 筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是 ,,图2所示的算筹图所表示的方程组为()■ 1川三 图1 图2 [x+2y=1[x+2y=11 A. B. 4x+3y= 3x+4y=7 2.x+y=11 2x+y=1 C. D. 4x+3y=27 3x+4y=27 例3.在长为21m,宽为15m的长方形空地上，沿平行 于长方形各边的方向分别割出3个大小完全一样的小长 方形花圃，其示意图如图所示，则其中每个小长方形花 圃的面积为() m A.30 B.27 C.21 D.15 21m 例4.一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长14m,其他 三边用竹篱笆围成，现有长为35m的竹篱笆，小林打算 用它围成一个鸡场，其中长比宽多5m;小陈也打算用 它围成一个鸡场，其中长比宽多2m. (1)你认为谁的设计符合实际？通过计算说明理由. (2)在(1)的条件下，按照设计鸡场面积是 m.(直接在横线填上答案) 例5.如图，学校规划在一块长20m,宽16m的长方形 场地ABCD上，分别设计与AD,AB平行的横向和纵向 通道，其余部分铺上草皮.如果通道的宽度相等，六块 草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边 AM:AN=4:5,那么通道的宽是多少？ A M D 例6.阅读材料：小明是个爱动脑筋的学生，他在学习 了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大 小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼 图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个 小长方形的面积. 小明设小长方形的长为x,宽为y,观察图形得出关于x、 y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的 面积公式得出每个小长方形的面积. 图1 图2 图 图4 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的 面积： (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把 纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示.若小明把13个 纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是cm: (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图， 长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形 (尺寸如图4)，求图中阴影部分的面积，请给出解答过 程. 三.课后训练 1.一块长方形菜园，长是宽的3倍，如果长减少3米， 宽增加4米，这个长方形就变成一个正方形.设这个长 方形菜园的长为x米，宽为y米，根据题意，得() x=3v x=3y A. (x+3=y-4B. x-3=y+4 3x=y [3x=y C. x-3=y+4D. x+3=y-4 2.如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长 方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列 方程组正确的是() 75厘米 x厘米 「x+2y=75 x+2y=75 A. B. v=3x x=3y [2x-y=75 [2x+y=75 C. D. y=3x y=3x 3.如图所示的两台天平保持平衡，己知每块巧克力的 质量相等，且每个果冻的质量也相等，设1块巧克力的 质量为x克，1个果冻的质量为y克，则可列方程组() 巧克力 果冻 □□□ ○○ 50g砝码 L口○ 3.x=2y 「3x=2y A. 3r-2y=50B. x+y=50 「2x=y 「2x=y C. 3x+2y=50D.3x-2y=50 4.李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如 图)，测量后发现：用2个碗叠放时总高度为7.5cm,用 4个碗叠放时总高度为11.5cm.若将8个碗叠成一列能 放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有() A.15.5cmB.17.5cmC.19.5cmD.21.5cm 5.用一根长为80cm的绳子围成一个长比宽多10cm的 长方形，若这个长方形的长为xcm,宽为vcm,则根据 题意可得的方程组为 6.如图，在3x3的方格内，填写了一些代数式和数 6 2x+y 7 4 -3x+3 图1 图2 (1)在图1中各行、各列和对角线上三个数之和都相 等，请你求出x,y的值： (2)在图2余下的方格中填入适当的数，使各行、各 列和对角线上三个数之和都相等. 7.如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔” 高度为32cm,小红所搭的“小树"高度为3lcm,设每块A 型积木的高为xCL,每块B型积木的高为vcm,求x与y 的值 A B B B AAAA 小强 小红 8.某飞镖游戏规则如下：掷到A区和B区的得分不同， A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外部分，每次掷 中的位置用一个“×标注.如图，已知小红，小华和小明 的有效成绩均为8次，结果小红得了65分，小华得了 71分. B B B A ×A 小红 小华 小明 (1)列方程组解答：掷中A区、B区一次各得多少分？ (2)按照同样的记分方法，小明得了多少分？ 9.如图，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同 的小长方形，所标尺寸如图所示，请你利用方程组的思 想方法解决以下问题： A D 不 6cm B -14cm (1)求小长方形的长和宽： (2)求出图中阴影部分面积.10.3实际问题与二元一次方程组（2) 一一几何、图形问题 姓名： 班级： 一.课堂探究 探究一据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量 的比是1：2.现要把一块长200m、宽100m的长方形土 地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物.怎 样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比 是3：4？某学习小组设计了两种方案，根据问题中涉及的 长度和产量的相等关系，可列出方程组求解. D ym M E xm] 图1 图2 方案一：按如图1的方式划分土地，甲、乙两种作物的 种植区域分别为长方形AEFD和长方形EBCF,求 AE,BE的长度是多少？ 方案二：按如图2的方式划分土地，分别在长方形 DMNC和长方形MABN土地中种植甲、乙两种作物，求 AM,DM的长度是多少？ 请你分别用以上两种方案完成解答， 【答案】方案一：AE,BE的长度分别为120m、80m.方 案二：AM,DM的长度分别为40m、60m. 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量 关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键。 方案一：设AE=m,EB=ym,根据甲、乙两种作物 的单位面积产量的比是1：2.现要把一块长200m、宽 100m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种 植这两种作物.怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种 作物的总产量的比是3：4，列出二元一次方程组，解方 程组即可； 方案二：设AM=xm,DM=ym,根据甲、乙两种作物 的单位面积产量的比是1：2.现要把一块长200m、宽 100m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种 植这两种作物.怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种 作物的总产量的比是3：4，列出二元一次方程组，解方 程组即可. 【详解】解：方案一：根据题意可列方程组为： x+y=200 100x:2×100y=3:4 x=120 解得： y=80 答：AE,BE的长度分别为120m、80m. 方案二：根据题意可列方程组为： x+y=100 200y:2×200x=3:4' x=40 解得： y=60 答：AM,DM的长度分别为40m、60m. 探究二如图，3×3的格子内填写了一些数和代数式.为 了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等， x,y各应取什么值？ 2x 3 x+2y -3 4y 【答案】x的取值为-1，y的取值为1 【分析】本题主要考查二元一次方程组应用，根据题意， 列出方程组，进行求解即可. [2x+3+2=2-3+4y 【详解】解：由题意，得： 2x+3+2=2x+x+2y+4y x=-1 解得： y=1’ 即x的取值为-1，y的取值为1. 二.例题讲解 例1.已知∠A、∠B互余，∠A比∠B大30°，设∠A、 ∠B的度数分别为x°、y°，下列方程组中符合题意的是 () x+y=180 x+y=180 A. x=y-30 B. x=y+30 x+y=90 x+y=90 D. x=y-30 x=y+30 【答案】D 【详解】∠A比∠B大30°， 则有x=y430, ∠A,∠B互余， 则有x+y=90 x+y=90 则 x=y+30 故选D. 例2.在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是 由算筹布置而成，如图1，图中各行从左到右列出的算 筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数，图1的 算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是 3x+2y=19 x+4y=23，则图2所示的算筹图所表示的方程组为 ( 川川 图1 图2 [x+2y=1 「x+2y=11 A. 4r+3y=7B. 3x+4y=7 [2x+y=11 [2x+y=1 C. 4x+3y=27D. 3x+4y=27 【答案】c 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理清题意， 正确列出二元一次方程组是解答本题的关键。 根据图1的算筹图知第一行为第一个方程，前两个数分 别为x、y的系数，第三个数为方程右侧常数的十位， 第四个数为方程右侧常数的个位，然后根据图2所示的 算筹图列出二元一次方程组即可· 【详解】解：图2所示的算筹图所表示的方程组为 2x+y=11 4x+3y=27 故选：C 例3.在长为21m,宽为15m的长方形空地上，沿平行 于长方形各边的方向分别割出3个大小完全一样的小长 方形花圃，其示意图如图所示，则其中每个小长方形花 圃的面积为() 15m 21m A.30 B.27 C.21D.15 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量 关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键。 设小长方形花圃的长为m,宽为m,根据题意列出二 元一次方程组，解方程组即可得到答案 【详解】解：设小长方形花圃的长为m,宽为m, f2x+y=21 根据题意可得： x+2y=151 x=9 解得： y=3’ .y=3×9=27m2, 故选：B 例4.一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长14m,其他 三边用竹篱笆围成，现有长为35m的竹篱笆，小林打算 用它围成一个鸡场，其中长比宽多5m:小陈也打算用 它围成一个鸡场，其中长比宽多2m. (1)你认为谁的设计符合实际？通过计算说明理由， (2)在(1)的条件下，按照设计鸡场面积是 m2.(直接在横线填上答案) 【答案】(1)小陈的设计符合实际，理由见详解：(2) 143, 【分析】(1)由于墙可以当作一条边，那么长方形的长 只有一个，宽有2个等量关系为：宽×2+长=35，注意长 不能超过墙长14m,设小林打算用它围成一个鸡场的宽 为xm,则鸡场的长为(x+5)m,2x+x+5=35,x+5=15>14m 不符合实际，设小陈也打算用它围成一个鸡场宽为ym, 则鸡场的长为(y+2)m.2y+y+2=35,求y+2=13<14m 即可； (2)小陈围成鸡场的面积为：11×13=143即可. 【详解】（1)设小林打算用它围成一个鸡场的宽为xm, 则鸡场的长为x+5)m, 现有长为35m的竹篱笆， 2X+x+5=35, x=10m, x+5=15>14m, 不符合实际， 设小陈也打算用它围成一个鸡场宽为ym,则鸡场的长 为(y+2)m, 现有长为35m的竹篱笆， 2y+y+2=35, y=11m, y+2=13<14m, 符合要求， 通过计算小陈的设计符合实际， (2)小陈围成鸡场的面积为：11×13=143， 故答案为：143 【点睛】本题考查一元一次方程的应用题，仔细读题， 抓住宽×2+长=35等量关系，注意长不能超过墙长14m, 来列方程是解题关键。 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的 数量关系，列出方程是解题的关键。 例5.如图，学校规划在一块长20m,宽16m的长方形 场地ABCD上，分别设计与AD,AB平行的横向和纵向 通道，其余部分铺上草皮.如果通道的宽度相等，六块 草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边 AM:AN=4:5,那么通道的宽是多少？ B 【答案】1m 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确 理解题意是解题的关键、 道的宽为m,AM=m,则AWy,根据 包含3个AM的长和2个通道宽，宽AB包含2个AN长 和1个通道宽建立方程组求解。 【详解】解：设通道的宽为xm,AM的长是m,则 AN=4 2x+3v=20 x=1 由题意，列方程组为 +2×y=16'解得 5 y=6 答：通道的宽是1m 例6.阅读材料：小明是个爱动脑筋的学生，他在学习 了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大 小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼 图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个 小长方形的面积。 小明设小长方形的长为x,宽为y,观察图形得出关于x、 y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的 面积公式得出每个小长方形的面积. 图1 图2 17 图3 图4 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的 面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把 纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示.若小明把13个 纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是cm; (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图， 长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形 (尺寸如图4)，求图中阴影部分的面积，请给出解答过 程. 【答案】(1)每个小长方形的面积为60 (2)它的高度约是20cm (3)46 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，分析题意， 找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关 键 (1)设小长方形的长为x,宽为y,观察图形即可得出 关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值， 再根据长方形的面积公式即可得出每个小长方形的面 积； (2)通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即单 独一个纸杯的高度+3个纸杯叠放在一起比单独的一个 纸杯增高的高度=10，单独一个纸杯的高度+8个纸杯叠 放在一起比单独的一个纸杯增高的高度=15.根据这两 个等量关系可列出方程组： (3)设小长方形的长为x,宽为y,根据长方形ABCD 的长为17，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长 方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积. 【详解】(1)解：设小长方形的长为x,宽为y, [3x=5y x=10 根据题意得： 2y-x=2’解得： y=6 ∴xy=10×6=60 故每个小长方形的面积为60： (2)解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯 增高xcm,单独一个纸杯的高度为vcn, 2.x+y=10 x=1 根据题意，得 (7x+y=15’解得 y=81 则12x+y=12×1+8=20. 即小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 20cm: (3)解：设小长方形的长为x,宽为y, x+3y=17 根据题意得 x+2y=3y+5 x=8 解得 y=31 ∴.S阴影=17×(5+3×3)-8×8x3=46 三.课后训练 1.一块长方形菜园，长是宽的3倍，如果长减少3米， 宽增加4米，这个长方形就变成一个正方形.设这个长 方形菜园的长为x米，宽为y米，根据题意，得() x=3v x=3y x+3=y-4B. x-3=y+4 [3x=y 3x=y (x-3=y+4 D. x+3=y-4 【答案】B 【详解】分析：设这个长方形菜园的长为x米，宽为y 米，题中的等量关系有：①长=宽×3；②长-3米=宽+4 米，依此列出方程组即可. 详解：设这个长方形菜园的长为x米，宽为y米， x=3y 根据题意，得 x-3=y+4 故选B. 点睛：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组， 根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中 的一些关键性词语， 2.如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长 方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列 方程组正确的是() 75厘米 x厘米 x+2y=75 x+2y=75 B. y=3x x=3v [2x-y=75 「2x+y=75 C. D. [y=3x y=3x 【答案】B 【分析】根据图示可得：矩形的宽可以表示为x+2y, 宽又是75厘米，故x+2y=75,矩形的长可以表示为2x, 或x+3y,故2x=3y+x,整理得x=3y,联立两个方程 即可.此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程 组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽。 x+2y=75 【详解】解：根据图示可得 x=3y 故选：B. 3.如图所示的两台天平保持平衡，己知每块巧克力的 质量相等，且每个果冻的质量也相等，设1块巧克力的 质量为x克，1个果冻的质量为y克，则可列方程组() 巧克力 果冻 L口▣口 50g砝码 L▣○ 3x=2y 3x=2V A (3r-2y=508. x+y=50 「2x=y 「2x=y 3r+2y=50D. 3x-2y=50 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组，理解题图列出方 程或方程组是解决本题的关键.设1块巧克力的质量为 x克，1个果冻的质量为y克，再列出方程组即可. 【详解】解：设1块巧克力的质量为x克，1个果冻的 质量为y克， 3x=2y 由题意，得 x+y=50 故选：B. 4.李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如 图)，测量后发现：用2个碗叠放时总高度为7.5cm,用 4个碗叠放时总高度为11.5cm.若将8个碗叠成一列能 放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有() A.15.5cmB.17.5cmC.19.5cmD.21.5cm 【答案】Cc 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应 用，用2个碗叠放时总高度为7.5cm,用4个碗叠放时 总高度为11.5cm,据此可求出每增加一个碗，高度的增 加量，再在4个碗的基础上加上增加的4个碗的高度即 可得到答案。 【详解】解：15+(8-4×15-75=19.50m, 4-2 ∴.这个消毒柜的内置高度至少有19.5cm, 故选：C. 5.用一根长为80cm的绳子围成一个长比宽多10cm的 长方形，若这个长方形的长为xcm,宽为vcm,则根据 题意可得的方程组为 x-y=10 【答案】 2(x+y)=80 【分析】根据题意提取两个等量关系，一是长比宽多 l0cm,二是长方形周长等于绳长80cm,根据等量关系 列二元一次方程组即可. 【详解】解：，长比宽多10cm, .x-y=10, 绳子长度为围成的长方形的周长， .2(x+y)=80, x-y=10 .可得方程组为 2(x+y)=80 6.如图，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数. 6 2x+1 -3x+3 图1 图2 (1)在图1中各行、各列和对角线上三个数之和都相 等，请你求出x,y的值： (2)在图2余下的方格中填入适当的数，使各行、各 列和对角线上三个数之和都相等. 【答案】(1)x=-2,y=5:（2)见解析 【分析】(1)通过理解题意可知本题的等量关系“各行、 各列及对角线上三个数之和都相等”，列出方程组求解。 (2)根据“各行、各列及对角线上三个数之和都相等” 填写即可. 【详解】解：(1)由题意可得： [6+2x+y+4=6+7+x 4-3x+3=6+7 x=-2 解得： (2)如图所示： 10 6 2 9 图2 【点睛】本题理解题意中“各行、各列及对角线上三个 数之和相等”从而列出关于x、y的二元一次方程组，使 问题得解.命题立意：考查了方程组的求解. 7.如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔” 高度为32cm,小红所搭的“小树"高度为3lcm,设每块A 型积木的高为xc,每块B型积木的高为vCIm,求x与y 的值。 B B B A AAA 小强 红 【详解】解：由题意得， 「3x+4y=32 4x+3y=31 x+y=9 解得 x-y=-1' 「x=4 解得 y=5 【点睛】本题考查了新定义运算及二元一次方程组的应 用，正确理解“轮换对称解法”的含义是解答本题的关键。 8.某飞镖游戏规则如下：掷到A区和B区的得分不同， A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外部分，每次掷 中的位置用一个“×标注.如图，已知小红，小华和小明 的有效成绩均为8次，结果小红得了65分，小华得了 71分. B B B + ×A 小红 小华 小明 (1)列方程组解答：掷中A区、B区一次各得多少分？ (2)按照同样的记分方法，小明得了多少分？ 【答案】(1)掷中A区一次得10分，掷中B区一次得7 分；(2)62分 【分析】(1)首先设掷中A区一次得x分，掷中B区一 次得y分，根据图示可得等量关系：①掷中A区3个的 得分+掷中B区5个的得分=65分：②掷中A区5个的 9.如图，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同 的小长方形，所标尺寸如图所示，请你利用方程组的思 想方法解决以下问题： A D 6 cm B 14 cm- (1)求小长方形的长和宽： (2)求出图中阴影部分面积. 【答案】(1)小长方形的长为8cm,宽为2cm.(2) 44cm2 【分析】(1)设小长方形的长为xcm,宽为ycm,根据 题意列二元一次方程组，进而解方程组解决问题： (2)根据(1)的结论，根据阴影部分面积等于大长方 形的面积减去6个小长方形的面积即可求得 【详解】(1)解：设小长方形的长为xcm,宽为ycm, 由题意得； x+3y=14 x+y=6+2y x=8 解得： y=2 答：小长方形的长为8cm,宽为2cm. (2)由题意可得： S阴影分=(6+2×2)×14-8×2×6=44(cm2) 所以阴影部分面积为44cm2. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形 列出二元一次方程组是解题的关键.得分+掷中B区3 个的得分=75分，根据等量关系列出方程组，解方程组 即可得到掷中A区、B区一次各得多少分： (2)由图示可得求的是掷中A区2个的得分+掷中B区 6个的得分，根据(1)中解出的数代入计算即可. 【详解】解：(1)设掷中A区一次得x分，掷中B区一 次得y分，依题意有 3x+5y=65 5x+3y=71' x=10 解得=7 故掷中A区一次得10分，掷中B区一次得7分： (2)2×10+6×7=62(分). 答：小明得了62分. 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键 是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方 程组.