解二元一次方程组、二元一次方程组的实际应用专项训练-2025-2026学年 人教版七年级数学下册

解二元一次方程组、二元一次方程组的实际应用专项训练 解二元一次方程组、二元一次方程组的实际应用专项训练 考点目录 解二元一次方程组 二元一次方程组的实际应用 考点一 解二元一次方程组 例1．（25-26七年级下·北京西城·期中）解下列方程组． (1)； (2)． 例2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）解方程组： 例3．（25-26七年级下·河南南阳·期中）解方程（组） (1)； (2)． 例4．（25-26七年级下·河南周口·期中）解二元一次方程组 (1) (2) 变式1．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）解方程组： (1) (2) 变式2．（25-26七年级下·北京海淀·期中）解方程组： (1) (2) 变式3．（25-26七年级下·山东聊城·期中）解方程组： (1)； (2)． 变式4．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）用指定的方法解下列方程组． (1)（代入法）； (2)（加减法）． 考点二 二元一次方程组的实际应用 例1．（25-26七年级下·北京西城·期中）随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计60万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． 例2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）问题情境：某水果店3月份购进甲、乙两种水果共花费1600元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果10元/千克，全部售完；4月份，这两种水果的进价上调为甲种水果10元/千克，乙种水果13元/千克．该店4月份购进这两种水果的数量与3月份都相同，却多花费440元． 问题解决： (1)问该店4月份分别购进甲、乙两种水果多少千克？ (2)该店4月份甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售价为18元/千克，在甲种水果出售一半、乙种水果全部售完后，商店决定对甲种水果打折处理，在售完全部水果后，获得的总利润为450元，问剩余甲种水果打几折销售？ 例3．（25-26七年级下·山东聊城·期中）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为． (1)求箭壶内水位起始高度和箭尺每小时上升的高度； (2)若开始记录时是上午，求当箭尺读数为时的时间． 例4．（25-26七年级下·北京·期中）截至目前，我国有个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数位居世界第一．年月日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”也列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．每逢春节，为了营造喜庆祥和的氛围，很多地方都会挂上红红的灯笼．在春节前夕，某商家购进、两种型号的灯笼共对，共用元．这两种型号的灯笼的进价、售价如表： 型号 进价（元/对） 售价（元/对） (1)求该商家购进、两种型号的灯笼各多少对？ (2)为迎接新春到来，某单位购买、两种型号的灯笼（两种型号都购买）共花费元，请你计算购买、两种型号的灯笼各多少对？并计算此时商家获利多少元？ 变式1．（25-26七年级下·广西南宁·期中）某快递公司使用机器人进行包裹分拣．若一台甲机器人工作，一台乙机器人工作，一共可以分拣件包裹；若一台甲机器人工作，一台乙机器人工作，一共可以分拣件包裹． (1)求甲、乙两台机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)该快递公司现需要分拣件包裹，同时安排甲、乙机器人分拣小时（甲、乙机器人都需要有），请求出该快递公司这次分拣安排的甲、乙机器人数量的方案． 变式2．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹． (1)求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件，并且都在4小时以上，这一天甲、乙机器人分别工作多少小时？ 变式3．（25-26七年级下·新疆·期中）某运动会召开期间，大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车前往赛场，若只调配座新能源客车若干辆，则有人没有座位；若只调配座新能源客车，则用车数量将增加辆，并空出个座位． (1)调配座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？ (2)若同时调配座和座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 变式4．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）随着科技的不断进步，某城镇居民对家居智能开关的需求日益增加．某五金商店购进A型智能开关30个和B型智能开关40个共需3450元，A型智能开关40个和B型智能开关30个共需3900元． (1)求A、B两型智能开关的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用420元购进A、B两种智能开关（A、B两型开关均购买），销售1个A型开关可获利35元，销售1个B型开关可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如开关全部售出，最大利润是多少元？ 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $解二元一次方程组、二元一次方程组的实际应用专项训练 解二元一次方程组、二元一次方程组的实际应用专项训练 考点目录 解二元一次方程组 二元一次方程组的实际应用 考点一 解二元一次方程组 例1．（25-26七年级下·北京西城·期中）解下列方程组． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴； （2）解： ，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴． 例2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）解方程组： 【答案】 【分析】使用加减消元法计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得，， 得， 解得， 将代入得， 解得， 是原方程组的解． 例3．（25-26七年级下·河南南阳·期中）解方程（组） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）； 去分母，得 去括号，得 移项，得， 合并同类项，得 将未知数系数化为1，得 （2）    ，，得 （3）（4）得 解得 把代入（1）得    解得 所以 例4．（25-26七年级下·河南周口·期中）解二元一次方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 把①代入②得，解得， 把代入①得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 变式1．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】使用加减消元法，先消去其中一个未知数，求出另一个未知数的值，再回代求出被消去的未知数的值，即可得到方程组的解． 【详解】（1）解：， 由得：， 由得：， 将代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为． （2）解：， 由得：， 由得：，解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为． 变式2．（25-26七年级下·北京海淀·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：， 将②代入①得， 解得， 将代入②，得， ∴方程组的解为； （2）解：， 得， 解得， 将代入②，得， 解得， ∴方程组的解为． 变式3．（25-26七年级下·山东聊城·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：， 将①代入②得， 解得， 将代入①得， ∴方程组的解为； （2）解：， 得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为． 变式4．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）用指定的方法解下列方程组． (1)（代入法）； (2)（加减法）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程组运用代入消元法解答即可； （2）方程组运用加减消元法解答即可． 【详解】（1）解：， 由①得③， 把③代入②得：， 解得， 把代入③得：， ∴方程组的解为； （2）解：， 得：， 解得：； 把代入①得，， 解得：， 所以，方程组的解为． 考点二 二元一次方程组的实际应用 例1．（25-26七年级下·北京西城·期中）随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计60万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． 【答案】(1) A型汽车每辆进价为10万元，B型汽车每辆进价为25万元 (2) 共有三种购买方案：方案一：购买A型汽车15辆，B型汽车2辆；方案二：购买A型汽车10辆，B型汽车4辆；方案三：购买A型汽车5辆，B型汽车6辆 【分析】（1）设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购进A型汽车辆，购进B型汽车辆，根据题意，列出二元一次方程，求出正整数解即可. 【详解】（1）解：设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元，由题意， ，解得； 答：A型汽车每辆进价为10万元，B型汽车每辆进价为25万元； （2）解：设购进A型汽车辆，购进B型汽车辆，根据题意得 ， 整理得， ∵，均为正整数， ∴，， 答：共有三种购买方案，分别是购买A型汽车15辆，B型汽车2辆；或购买A型汽车10辆，B型汽车4辆；或购买A型汽车5辆，B型汽车6辆. 例2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）问题情境：某水果店3月份购进甲、乙两种水果共花费1600元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果10元/千克，全部售完；4月份，这两种水果的进价上调为甲种水果10元/千克，乙种水果13元/千克．该店4月份购进这两种水果的数量与3月份都相同，却多花费440元． 问题解决： (1)问该店4月份分别购进甲、乙两种水果多少千克？ (2)该店4月份甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售价为18元/千克，在甲种水果出售一半、乙种水果全部售完后，商店决定对甲种水果打折处理，在售完全部水果后，获得的总利润为450元，问剩余甲种水果打几折销售？ 【答案】(1)4月份购进甲种水果100千克、乙种水果80千克 (2)剩余甲种水果打5折销售 【分析】（1）设甲种水果为x千克，乙种水果为y千克，根据题意建立二元一次方程组求解； （2）设剩余甲种水果打m折出售，根据甲种水果的销售额加上乙种水果的销售额等于总成本价加总利润即可建立方程求解． 【详解】（1）解：设甲种水果为x千克，乙种水果为y千克， 由题意可知， 解得， 答：4月份购进甲种水果100千克、乙种水果80千克． （2）解：设剩余甲种水果打m折出售， 由题意得， 解得， 答：剩余甲种水果打5折销售． 例3．（25-26七年级下·山东聊城·期中）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为． (1)求箭壶内水位起始高度和箭尺每小时上升的高度； (2)若开始记录时是上午，求当箭尺读数为时的时间． 【答案】(1)箭壶内水位起始高度为，箭尺每小时上升的高度为； (2)当箭尺读数为时的时间是． 【分析】（1）设箭尺每小时上升，开始高度为，根据供水小时和供水小时箭尺的高度列方程组求解即可； （2）设当箭尺读数为时，时间为，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设箭尺每小时上升，开始高度为， 根据题意，得， 得：解得：， 将代入①得：， 故方程组的解为， 答：箭壶内水位起始高度为，箭尺每小时上升的高度为； （2）解：设当箭尺读数为时，时间为， 则， 解得：． 故当箭尺读数为时的时间是． 例4．（25-26七年级下·北京·期中）截至目前，我国有个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数位居世界第一．年月日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”也列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．每逢春节，为了营造喜庆祥和的氛围，很多地方都会挂上红红的灯笼．在春节前夕，某商家购进、两种型号的灯笼共对，共用元．这两种型号的灯笼的进价、售价如表： 型号 进价（元/对） 售价（元/对） (1)求该商家购进、两种型号的灯笼各多少对？ (2)为迎接新春到来，某单位购买、两种型号的灯笼（两种型号都购买）共花费元，请你计算购买、两种型号的灯笼各多少对？并计算此时商家获利多少元？ 【答案】(1)购进种型号的灯笼对，种型号的灯笼对 (2)购买种型号的灯笼对，种型号的灯笼对，此时商家获利元 【分析】（1）先设两种灯笼的数量为未知数，再根据“总对数为”和“总进价为元”列二元一次方程组，解方程组得到结果； （2）根据“总售价”列二元一次方程，再结合“正整数解”的限制条件，通过枚举法求解出购买灯笼的数量，然后计算商家利润． 【详解】（1）解：设商家购进型号的灯笼对，则购进型号的灯笼对， 根据题意可得， 解得， 故购进种型号的灯笼对，种型号的灯笼对． （2）解：设单位购进型号的灯笼对，购进型号的灯笼对， 根据题意可知，，即， 两种型号都买， 、均为正整数， 当，， 当，符合题意， 当，， 当，， 当，， 故购买种型号的灯笼对，种型号的灯笼对， 此时商家获利 元． 变式1．（25-26七年级下·广西南宁·期中）某快递公司使用机器人进行包裹分拣．若一台甲机器人工作，一台乙机器人工作，一共可以分拣件包裹；若一台甲机器人工作，一台乙机器人工作，一共可以分拣件包裹． (1)求甲、乙两台机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)该快递公司现需要分拣件包裹，同时安排甲、乙机器人分拣小时（甲、乙机器人都需要有），请求出该快递公司这次分拣安排的甲、乙机器人数量的方案． 【答案】(1)甲机器人每小时分拣件包裹，乙机器人每小时分拣件包裹 (2)安排甲机器人台，乙机器人台． 【分析】（1）设甲机器人每小时分拣件包裹，乙机器人每小时分拣件包裹，根据题意列出方程组，求解即可； （2）安排的甲机器人台，乙机器人台，根据题意列出方程，变形得，结合、都是正整数可得，是的倍数，因此，最后写出具体安排方案即可． 【详解】（1）解：设甲机器人每小时分拣件包裹，乙机器人每小时分拣件包裹， 根据题意，可列方程：， 解得， 答：甲机器人每小时分拣300件包裹，乙机器人每小时分拣250件包裹． （2）解：设安排甲机器人台，乙机器人台， 根据题意，可列方程： ， 整理，得， 变形，得， ∵、都是正整数， ∴是的倍数，且， ∴， 当时，． 答：安排甲机器人台，乙机器人台． 变式2．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹． (1)求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件，并且都在4小时以上，这一天甲、乙机器人分别工作多少小时？ 【答案】(1)甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹； (2)甲、乙机器人分别要工作5小时，15小时或甲、乙机器人分别要工作7小时，12小时或甲、乙机器人分别要工作9小时，9小时或甲、乙机器人分别要工作11小时，6小时． 【分析】（1）设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹，根据“若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹”列出方程组，求解即可； （2）设甲、乙两机器人分别工作m小时，n小时，根据“甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹， 根据题意得， 解得， 答：甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹； （2）解：设甲、乙两机器人分别工作m小时，n小时， 根据题意得 ，且， 解得，，，， 答：甲、乙机器人分别要工作5小时，15小时或甲、乙机器人分别要工作7小时，12小时或甲、乙机器人分别要工作9小时，9小时或甲、乙机器人分别要工作11小时，6小时． 变式3．（25-26七年级下·新疆·期中）某运动会召开期间，大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车前往赛场，若只调配座新能源客车若干辆，则有人没有座位；若只调配座新能源客车，则用车数量将增加辆，并空出个座位． (1)调配座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？ (2)若同时调配座和座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【答案】(1)调配座新能源客车辆，该大学共有名志愿者 (2)调配座新能源客车辆，座新能源客车辆 【分析】（）设调配座新能源客车辆，该大学共有名志愿者，根据题意列出方程组即可求解； （）设调配座新能源客车辆，座新能源客车辆，根据题意列出方程解答即可求解； 【详解】（1）解：设调配座新能源客车辆，该大学共有名志愿者， 由题意得，， 解得， 答：调配座新能源客车辆，该大学共有名志愿者； （2）解：设调配座新能源客车辆，座新能源客车辆， 由题意得，， 化简得，， ∵均为正整数， ∴， 答：调配座新能源客车辆，座新能源客车辆． 变式4．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）随着科技的不断进步，某城镇居民对家居智能开关的需求日益增加．某五金商店购进A型智能开关30个和B型智能开关40个共需3450元，A型智能开关40个和B型智能开关30个共需3900元． (1)求A、B两型智能开关的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用420元购进A、B两种智能开关（A、B两型开关均购买），销售1个A型开关可获利35元，销售1个B型开关可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如开关全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型智能开关的单价是75元，B型智能开关的单价是30元； (2)该商店共有2种购买方案：购进A型智能开关个，B型智能开关个或购进A型智能开关个，B型智能开关个，最大利润是205元． 【分析】（1）设A型智能开关的单价是x元，B型智能开关的单价是y元，根据五金商店购进A型智能开关30个和B型智能开关40个共需3450元，A型智能开关40个和B型智能开关30个共需3900元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A型智能开关m个，B型智能开关n个，根据该商店计划正好用420元购进A、B两种智能开关（A、B两型开关均购买），列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 【详解】（1）解：设A型智能开关的单价是x元，B型智能开关的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A型智能开关的单价是75元，B型智能开关的单价是30元； （2）解：设购进A型智能开关m个，B型智能开关n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A型智能开关个，B型智能开关个，利润为（元）； ②购进A型智能开关个，B型智能开关个，利润为（元）； ， 最大利润是205元． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $