7.2　离散型随机变量及其分布列课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.2　离散型随机变量及其分布列 目 标 素 养 1.通过具体实例,了解离散型随机变量的概念,会用离散型随机变量描述随机现象. 2.能够求解某些简单的离散型随机变量的分布列. 3.理解两点分布的定义,并能简单地运用. 4.通过学习,提升数学抽象及数学运算的核心素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.随机变量 一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为　随机变量　.  2.离散型随机变量 (1)定义:可能取值为　有限个　或可以　一一列举　的随机变量,我们称之为离散型随机变量.  (2)特征: ①取值依赖于样本点; ②所有可能取值是明确的. (3)表示:通常用大写英文字母表示随机变量,例如　X,Y,Z　;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.  注:引入随机变量实现了样本点的数量化. 微思考1 随机变量与函数有怎样的关系? 提示: 相同点 随机变量和函数都是一种对应 区别 随机变量是随机试验的结果到实数的对应,函数是实数到实数的对应 联系 随机试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域 3.离散型随机变量的分布列 (1)一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率　P(X=xi)=pi　,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称　分布列　.  (2)与函数的表示法类似,离散型随机变量的分布列也可以用　表格　表示,如下表:   还可以用　图形　表示.  (3)根据概率的性质,离散型随机变量分布列具有下述两个性质: ①pi　≥　0,i=1,2,…,n;  ②p1+p2+…+pn=　1　.  微思考2 求离散型随机变量的分布列的步骤是什么? 提示:求离散型随机变量的分布列的步骤: (1)找出随机变量所有可能的取值xi(i=1,2,3,…,n); (2)求出相应的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,3,…,n); (3)列成表格形式. 4.两点分布 我们称X服从　两点分布　或　0—1分布　.  微思考3 若随机变量X的分布列为 那么X服从两点分布吗? 提示:不服从两点分布.两点分布中X的取值只能是0,1. 课堂·重难突破 一 离散型随机变量的判定 典例剖析 1.指出下列随机变量是不是离散型随机变量,并说明理由. (1)一个沿数轴进行随机运动的质点,它在数轴上的位置; (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数; (3)某林场树木最高达30 m,则此林场中树木的高度. 解:(1)不是离散型随机变量. 一个沿数轴进行随机运动的质点,它在数轴上的位置是连续变化的,因此不是一个离散型随机变量. (2)是离散型随机变量. 因为从10个球中任取3个球,可能的结果有以下几种:3个白球;2个白球和1个黑球;1个白球和2个黑球;3个黑球,所以所含白球的个数可以一一列出,符合离散型随机变量的定义. (3)不是离散型随机变量. 虽然林场树木的高度是一个随机变量,但它可以取区间(0,30]上的一切值,无法一一列举,所以不是离散型随机变量. 规律总结 判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果; (2)将随机试验的结果数量化; (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出,若能一一列出,则该随机变量是离散型随机变量,否则不是. 学以致用 1.下列所述: ①某加工厂加工的一批钢管的外径与规定的外径尺寸之差X; ②某报社一天内收到的投稿件数X; ③某地区一天之内的温度X; ④一位射击爱好者对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用X表示该射击手在一次射击中的得分. 其中X是离散型随机变量的是(　　) A.②③ B.②④ C.③④ D.①④ B 解析:②④中的X可以取的值可以一一列举出来,而①③中的X可以取某一区间内的一切值,不能一一列举. 二 离散型随机变量分布列的性质 典例剖析 解:由题意得,离散型随机变量X的分布列可用表格表示为 互动探究 规律总结 离散型随机变量分布列性质的应用 (1)利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的值或取值范围,还可以检验所求分布列是否正确. (2)由于离散型随机变量的各个可能取值表示的事件是彼此互斥的,因此离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 学以致用 2.已知随机变量X的分布列: 则a=　　　　,P(X≥4)=　　　　, P(2≤X<5)=　　　　　. 三 两点分布 典例剖析 3.一个不透明的袋中装有除颜色外其他完全相同的3个红球,2个绿球,从中摸出1个球,定义X= 求X的分布列. 规律总结 “两步法”判断一个分布是不是两点分布 (1)看取值:随机变量只取两个值0和1. (2)验概率:检验P(X=0)+P(X=1)=1是否成立. 若一个分布满足以上两点,则该分布是两点分布,否则不是两点分布. 学以致用 3.已知X服从参数为0.3的两点分布. (1)求P(X=0); (2)若Y=2X+1,写出Y的分布列. 解:(1)由题意得,X服从参数为0.3的两点分布, ∴P(X=1)=0.3,∴P(X=0)=1-0.3=0.7. (2)∵Y=2X+1, 当X=0时,Y=1,此时P(Y=1)=P(X=0)=0.7, 当X=1时,Y=3,此时P(Y=3)=P(X=1)=0.3, 故Y的分布列为 Y 1 3 P 0.7 0.3 随堂训练 1.(多选题)一个不透明的袋中有2个黑球、6个红球,从中任取2个球,不能作为随机变量的是(　　) A.取到的球的个数 B.取到红球的个数 C.至少取到一个红球 D.至少取到一个红球的概率 答案:ACD 解析:选项A,取值不具有随机性;选项C,是一个事件而非随机变量;选项D,概率值是一个定值而非随机变量,选项B可以作为随机变量.故选ACD. 2.随机变量X是某城市1天之中发生的火警次数,随机变量Y是某城市1天之内的温度,随机变量Z是某火车站1小时内的旅客流动人数.这三个随机变量中不是离散型随机变量的是(　　) A.X和Z B.只有Y C.Y和Z D.只有Z 答案:B 解析:某城市1天之内的温度不能一一列举,故Y不是离散型随机变量. 3.设X是一个离散型随机变量,其分布列如下表所示,则q=(　　) 答案:B 4.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X描述一次试验的成功次数,则P(X=0)等于(　　) 答案:B 解析:设P(X=1)=p,则P(X=0)=1-p. 5.甲进行3次射击,甲击中目标的概率为 ,记甲击中目标的次数为X,则X的所有可能取值为　　　　　.  答案:0,1,2,3 解析:甲可能在3次射击中,一次也未中,也可能击中1次,2次,3次. 6.将一枚质地均匀的骰子(六点)抛掷两次,求两次抛掷出的最大点数X的分布列. 解:将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次,样本空间Ω包含36个等可能的样本点,其最大点数X可能取的值为1,2,3,4,5,6. 因此X的分布列为 $