第二十二章函数（6知识点+12题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（人教版）

第二十二章 函数 （6知识点+12题型+过关检测） 【题型1 用表格表示变量间的关系】 3 【题型2 用关系式表示变量间的关系】 4 【题型3 用图象表示变量间的关系】 4 【题型4 函数的概念】 7 【题型5 函数解析式】 7 【题型6 求自变量的取值范围】 8 【题型7 求自变量的值或函数值】 9 【题型8 函数图象识别】 9 【题型9 用描点法画函数图象】 11 【题型10从函数的图象获取信息】 13 【题型11 动点问题的函数图象】 14 【题型12 函数的三种表示方法】 16 1. 概念认知目标：理解常量、变量的定义，掌握函数的核心概念，明确函数的三要素，能准确区分自变量与因变量，辨析生活及几何问题中的函数关系。 2. 技能掌握目标：熟练掌握函数的三种表示方法（列表法、解析式法、图象法），掌握三种表示方法的相互转化技巧；能准确求解自变量取值范围、函数值，已知函数值可反求自变量。 3. 作图读图目标：掌握描点法画函数图象的标准步骤，能精准识别函数图象、从图象中提取关键信息；熟练解决动点背景下的函数图象识别与分析问题。 4. 思维素养目标：建立数形结合、变化与对应的数学思想，能运用函数知识分析实际变化问题，为后续一次函数、反比例函数等知识的学习奠定基础，适配初中基础函数题型的解题要求。 03 知识•梳理 知识点1：常量与变量 1. 变量：在一个变化过程中，数值可以发生改变的量，是变化的主体，常用字母x、y、t、s等表示。 2. 常量：在一个变化过程中，数值始终保持不变的量，如固定的单价、速度、圆周率π、固定边长等。 核心注意点：常量和变量是相对某一变化过程而言的，并非绝对。例如公式s=vt中，当速度v固定时，s、t是变量，v是常量；当路程s固定时，v、t是变量，s是常量。 知识点2：函数的定义与三要素 1. 函数定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就称y是x的函数。其中x叫做自变量，y叫做因变量（函数值）。 2. 函数三要素：两个变量、自变量的取值范围、唯一对应的函数值关系。 3. 核心判定关键：重中之重是“唯一对应”，一个自变量x只能对应一个y值，一个y值可以对应多个x值。 知识点3：函数的三种表示方法 1. 列表法（表格法） 将自变量x的取值和对应的函数值y以表格形式一一列举出来。优点：数值直观、查找便捷；缺点：只能体现部分数值，无法完整反映函数整体变化规律。 2. 解析式法（关系式法） 用含自变量x的代数式表示y的等式，是最常用的函数表示形式，如y=2x+1、S=πr²。优点：简洁严谨，可精准计算任意自变量对应的函数值；缺点：抽象性强，无法直观体现变化趋势。 3. 图象法 在平面直角坐标系中，以自变量x为横坐标、对应函数值y为纵坐标，所有对应点组成的图形。优点：直观展现函数增减、变化趋势；缺点：数值读取存在误差，精度较低。 知识点4：自变量取值范围 自变量的取值必须保证函数解析式有意义，同时符合实际问题的现实意义，分为两类限制条件： 1. 代数意义限制：整式函数，自变量取全体实数；分式函数，分母不能为0；二次根式函数，被开方数非负（≥0）；零次幂、负指数幂，底数不能为0。 2. 实际意义限制：长度、时间、路程、面积等物理量取值≥0；人数、个数等离散量必须为正整数。 知识点5：函数值求解 1. 已知自变量x的值，将数值代入函数解析式，计算得出的对应y值，即为该自变量对应的函数值。 2. 已知函数值y，将y值代入解析式，通过解方程求出对应的自变量x，最终结果需在自变量取值范围内，舍去无效解。 知识点6：函数图象与描点法作图 1. 函数图象定义：由自变量和函数值的所有对应坐标(x,y)组成的平面图形，是函数关系的几何直观体现。 2. 描点法三步流程：列表（选取合适自变量，计算对应函数值）→描点（在坐标系中标出对应坐标点）→连线（按自变量从小到大顺序，用平滑曲线或直线连接各点）。 3. 图象符号规范：取值包含端点用实心点，不包含端点用空心圈；直线型函数连直线，曲线型函数连平滑曲线。 04 题型•汇总 【题型1 用表格表示变量间的关系】 考查核心：识别表格中的变量关系，分析数值变化规律，补全表格数据。 解题思路：1. 先定变量：主动变化的量为自变量，随其变化的量为因变量；2. 分析规律：观察表格数值的差值、倍数、平方等变化规律，判断线性或非线性变化；3. 数据运算：依据规律补全缺失数据，预测变化结果；4. 验证核对：将计算结果代入原表格，验证规律一致性，避免出错。 【典例1】．某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量/千克 1 2 3 4 烤制时间/分 40 60 80 100 120 140 160 180 设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟，估计当时，的值为（  ） A．190 B．200 C．210 D．220 【变式1】．小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的常量是（   ） A．金额 B．数量 C．单价 D．以上都不是 【变式2】．李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（   ） 金额 数量/升 单价/元/升 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和单价 【变式3】．某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 小车下滑的时间 下列说法错误的是（   ） A．h每增加，t减小 B．当时， C．随着h逐渐升高，t逐渐变小 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 【题型2 用关系式表示变量间的关系】 考查核心：将文字描述、几何图形、实际场景转化为函数解析式。 解题思路：1. 设元：设主动变化的量为自变量x，所求变化量为函数y；2. 找等量：结合几何公式、生活公式、和差倍分关系梳理等量关系；3. 列式化简：根据等量关系列方程，整理为y关于x的最简解析式；4. 补范围：结合实际场景，标注自变量的合理取值范围。 【典例2】．在圆的周长公式中，下列说法正确的是（    ） A．2是常量，、、是变量 B．2是常量，、是变量 C．2是常量，、是变量 D．2、是常量，、是变量 【变式1】．水中涟漪（圆形水波）从里到外不断扩大，记圆的半径为，圆的周长为，则下列说法不正确的是（    ） A．圆的周长是圆的半径的函数 B．是变量 C．圆的周长和圆的半径是变量 D．关于的解析式是 【变式2】．函数中常量是____________． 【变式3】．李奶奶要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设长为米，长为米，则与之间的函数关系式为__________． 【题型3 用图象表示变量间的关系】 考查核心：将实际变化过程、动态场景转化为对应的函数图象。 解题思路：1. 明确坐标轴含义：横轴为自变量（时间、路程等），纵轴为函数量（高度、面积、速度等）；2. 分段分析变化过程：静止对应水平线段、匀速变化对应倾斜直线、变速变化对应曲线；3. 锁定关键节点：重点关注起点、转折点、终点、极值点的坐标特征；4. 按变化顺序描点连线，还原完整函数图象。 【典例3】．如图，均匀地向一个鱼缸内注水直至注满，鱼缸中水面的高度是注水时间的函数．下列函数图象中，能反映随变化规律的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（    ） A．如图中，是的函数； B．观察表中对应关系，是的函数，也是的函数： 3 2 1 0 1 2 －3 －2 －1 1 2 3 －2 －3 －6 8 3 2 C．式子中，是的函数； D．数轴上一点的坐标是该点到原点的距离的函数． 【变式2】．该公园内有一音乐喷泉，喷出水的高度y（单位：m）与音乐响起的时间t（单位：min）的变化情况如图所示．在这个变化过程中，自变量为___________，因变量为________________． 【变式3】．下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画（填字母）？ （1）一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系）：________________． （2）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）：________________． （3）足球守门员一脚踢出去的球（高度与时间的关系）：________________． （4）一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）：________________． 【题型4 函数的概念】 考查核心：判断两个变量是否构成函数关系，辨析函数概念易错点。 解题思路：1. 基础判定：确认存在两个相关联的变化变量；2. 核心判定：检验每一个确定的自变量x，是否只有唯一一个y值对应；3. 图象判定（竖线法）：在图象上任意作垂直于x轴的直线，若直线与图象仅有一个交点，则为函数，反之不是；4. 规避误区：一个y对应多个x仍为函数，一个x对应多个y一定不是函数。 【典例4】．在式子①，②，③，④中，y是x的函数的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．下列四个选项中，不是的函数的是（    ） A．一个正数的平方根 B．匀速小车所行驶的路程和行驶时间 C．圆的面积和它的半径 D．正方形的面积和它的周长 【变式2】．下列关系式：，其中是的函数的是____（填序号） 【变式3】．如图，有一个球形容器，小厉在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是V的函数；④V是h的函数，其中正确的是________．（填序号） 【题型5 函数解析式】 考查核心：书写、识别、推导各类基础函数解析式。 解题思路：1. 明确对应关系：严格区分自变量与因变量，保证解析式是y关于x的表达式；2. 模型套用：熟记常见基础模型，如周长、面积、路程、单价等公式型解析式；3. 化简整理：将复杂等式整理为最简的函数标准形式；4. 代入验证：选取两组简单数值代入解析式，检验式子是否成立。 【典例5】．将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．一个菱形的边长为，它的边长增加后，得到的新菱形的周长为，则与之间的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．某快递公司国内寄件的收费标准为：不超过的物品需付10元，超过后每增加（不足按计）需增加快递费2元，设寄出（x为大于1的整数）物品的快递费为y元，则y关于x的函数解析式为______． 【变式3】．、两地相距，一列火车以的速度从地出发驶向地，设后这列火车离地的距离为，则与之间的函数表达式为___ 【题型6 求自变量的取值范围】 考查核心：综合代数规则和实际场景，求解自变量有效取值范围。 解题思路：1. 代数层面约束：整式取全体实数；分式分母不为0；二次根式被开方数≥0；零次幂底数不为0；2. 实际层面约束：长度、时间、体积等非负；人数、数量为正整数；3. 取交集：整合所有约束条件，取公共取值范围；4. 规范书写：用不等式或区间形式规范表示最终范围。 【典例6】．对于函数，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．关于函数，下列说法中正确的是（   ） A．自变量的取值范围是全体实数 B．自变量的取值范围是正实数 C．自变量的取值范围是 D．自变量的取值范围是 【变式2】．函数的自变量的取值范围是______． 【变式3】．函数的自变量的取值范围是_____． 【题型7 求自变量的值或函数值】 考查核心：代入求值、已知函数值反求自变量，是函数基础计算题型。 解题思路：1. 求函数值：将已知自变量数值直接代入解析式，逐步计算得出y值；2. 求自变量：将已知函数值代入解析式，解方程求解x；3. 验根筛选：所得自变量必须在取值范围内，舍去无意义的增根；4. 实际问题额外校验：结果需符合现实逻辑，杜绝负数人数、负长度等不合理结果。 【典例7】．已知函数，当函数值时，自变量的值为（　　） A．1 B． C．5 D． 【变式1】．变量x，y的一些对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当时，y的值是（   ） A．5 B． C．25 D． 【变式2】．在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，则_____． 【变式3】．声音在空气中的传播速度与空气温度的关系如下表： 空气温度/℃ 0 10 20 声速/（） 319 325 331 337 343 当空气温度为30℃时，声音在空气中的传播速度为____________． 【题型8 函数图象识别】 考查核心：根据文字变化过程、动态场景，匹配正确的函数图象。 解题思路：1. 先判变量：明确横轴、纵轴代表的物理量或几何量；2. 分段匹配趋势：数值不变→水平线段、均匀增减→直线、快慢变化→曲线；3. 抓关键特征：重点核对起点位置、变化拐点、终点数值、最值点；4. 排除法解题：优先排除趋势错误、节点错误的选项，快速锁定答案。 【典例8】．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．某地一天内的气温与时刻之间的关系如图所示．令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差）．则与之间的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．下列四个图象中，能表示是的函数的是（      ） A． B． C． D． 【变式3】．下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型9 用描点法画函数图象】 考查核心：规范掌握描点法作图流程，完成基础函数图象绘制。 解题思路：1. 科学列表：选取5-7个具有代表性的自变量值，包含0、正负值、边界值，精准计算对应函数值；2. 精准描点：根据坐标在平面直角坐标系中准确标记各点；3. 规范连线：按自变量从小到大顺序，用平滑曲线或直线依次连接各点；4. 细节规范：根据取值范围标注实心/空心端点，补充坐标轴、函数标注。 【典例9】．小王用描点法画一次函数图象时，列出如下表格，其中有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） … 0 1 2 … … 3 1 … A． B． C． D． 【变式1】．如图，小颗做物理实验，用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．设弹簧秤的读数为y(单位：N)，铁块被提起的高度为x(单位：)．在铁块被提起过程中选取5组数对在直角坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．下表中列出了当气温为时，风寒温度T（）和风速（）的几组对应值，那么当气温为时，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是（   ） 风速v（单位：） 0 10 20 30 40 风寒温度T（单位：） 5 3 1 A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．无法确定 【变式3】．小明同学利用学习函数的方法，在同一平面直角坐标系研究函数与的图象性质，他用描点法画函数图象，列出如下表格： x … 0 1 2 3 … … 0 1 2 3 … … 不存在 1 … 现有如下结论： （1）点在函数图象上； （2）方程有两个不相等的实数解，分别是或； （3）当时，函数有y随x的增大而增大的性质； （4）若，则， （5）函数的图象不能与y轴相交． 其中正确结论的序号为________． 【题型10从函数的图象获取信息】 考查核心：读取图象坐标、变化趋势、特殊点信息，解决基础读图问题。 解题思路：1. 读懂坐标轴：明确横、纵坐标对应的变量及单位；2. 读取定点信息：读出任意自变量对应的函数值、任意函数值对应的自变量；3. 判断变化趋势：图象上升→y随x增大而增大，图象下降→y随x增大而减小，水平→数值不变；4. 分析特殊位置：图象在x轴上方y>0，下方y<0，交点代表两组变量数值相等。 【典例10】．某共享电动车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，共享电动车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（    ） A．电池能量最多可充 B．共享电动车每行驶消耗能量 C．共享电动车充满电后，行驶将自动报警 D．一次性充满电后，共享电动车最多行驶 【变式1】．均匀地向一个玻璃容器内注水，直至注满容器在注水的过程中，观察到水面高度随时间的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．甲、乙两车同时从A地出发前往B地，A，B两地相距，它们离出发地的距离与时间之间的函数关系如图所示，根据图中提供的信息，下列结论中错误的是（    ） A．乙车先到达B地 B．甲、乙两车相遇时，乙车的速度是 C．当时，乙车比甲车慢 D．两车行驶了相遇 【变式3】．如图1，在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为厘米秒，秒时点的速度变为厘米秒，秒后点以厘米秒速度匀速运动．如图是点出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①；②；③点从点运动到点用时秒；④当的值为时，点运动的路程为厘米．其中正确结论的个数是____． 【题型11 动点问题的函数图象】 考查核心：读取图象坐标、变化趋势、特殊点信息，解决基础读图问题。 解题思路：1. 读懂坐标轴：明确横、纵坐标对应的变量及单位；2. 读取定点信息：读出任意自变量对应的函数值、任意函数值对应的自变量；3. 判断变化趋势：图象上升→y随x增大而增大，图象下降→y随x增大而减小，水平→数值不变；4. 分析特殊位置：图象在x轴上方y>0，下方y<0，交点代表两组变量数值相等。 【典例11】．如图①，在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在物理课测量金属块A的体积实验中，将金属块A匀速向上提起，直至完全露出水面一定高度，下列图象中，适合表示容器内液面高度h与金属块A被提起的时间t的对应关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位．连接，记点的运动时间为秒，的面积为．如图是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（    ） A．的周长为 B．的面积为 C． D．秒时，线段最短 【变式3】．在钝角三角形中（如图1），，点P为边上一动点，连接，在直线的上方构造等腰直角三角形，使，连接，设的长为x，的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则的面积为________． 【题型12 函数的三种表示方法】 考查核心：实现列表法、解析式法、图象法三者之间的相互转化。 解题思路：1. 表格转解析式：分析表格数值的变化规律，推导通用函数关系式；2. 解析式转表格：选取多个自变量数值，代入计算得到对应函数值，整理成表格；3. 解析式转图象：用描点法列表、描点、连线，绘制完整函数图象；4. 图象转表格/解析式：读取图象关键点坐标列表，根据图象形状，用待定系数法推导解析式；5. 统一校验：三种表示方法的核心数值、变化趋势必须完全一致。 【典例12】．下列情境中，优先考虑用解析法表示函数关系的是（  ） A．记录某病人一天内不同时刻的体温 B．反映某城市一年中各月份的平均降雨量 C．用公式计算圆柱高h一定的情况下的体积V与底面半径r之间的关系 D．展示某运动员在100米比赛中速度随时间的变化 【变式1】．下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 【变式2】．下面说法中正确的是（   ） A．两个变量之间的函数关系只能用表达式表示 B．图象法不能直观地表示函数的变化趋势 C．借助表格可以表示出函数值随自变量的变化情况 D．表达式法不能明显地表示对应规律 【变式3】．一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）的关系如下表、则蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）之间的关系式是_____． 燃烧时间（时） 0 1 2 3 剩余的高度（厘米） 20 17 14 11 04 题型•汇总 1．下列关系式中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 3．下列各图表示的是的函数的是（   ） A． B． C． D． 4．老师让同学们举一个是的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如下4个，其中一定是的函数有（　　） ① x 1 2 0 1 y 1 2 3 4 ②； ③（是常数）； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．水池蓄水500立方米，每小时放水2立方米，t小时后，水池中的水Q（立方米）与t（小时）的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 6．如图，一农户建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用25米长的篱笆围成．为方便进出，在边上留一扇1米宽的门．若设的长为米，的长为米，则与之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 7．嘉嘉的手表只剩的电量，接上充电器后，手表显示的电量为．若充电器匀速稳定充电，则手表的电量与充电时间之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 8．点，，，中，在函数的图象上的点的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） 0 1 2 3 2 A． B． C． D． 10．辰辰通过实验探究了和环境下大豆苗光合作用氧气释放速度（毫克小时）与光照强度（千勒克斯）之间的关系，并绘制出如图所示的关系图象，当环境下的大豆苗的氧气释放速度比环境下的快时，光照强度的范围为（    ） A． B． C． D． 11．下表是小刚给在外地工作的爸爸打长途电话的通话时间和话费记录： 通话时间/ 1 2 3 4 5 6 7 … 话费/元 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 … 由表格可知，当通话时间为时，需支付话费________元． 12．水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 1.5 3 4.5 6 7.5 9 当时间为10分钟时，容器中水的高度为_____． 13．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 14．同一温度的华氏度数y（）与摄氏度数x（）之间的函数关系是，如果某一温度的华氏度数是，那么它的摄氏度数是________． 15．如图，“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间；用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，不考虑水量变化对压力的影响，则图______的图象适合表示y与x的对应关系． 16．小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7∶40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图，则下列说法中正确的是______． ①小明家和学校距离米 ②小华乘公共汽车的速度是米/分 ③小明从家到学校的平均速度为米/分 17．一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答下列问题： (1)请将下表补充完整： 碗的数量/个 1 2 3 4 5 … 高度 5.2 6.4 ______ 8.8 ______ … (2)直接写出整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式______； (3)当碗的数量为10个时，求这些碗的高度． 18．如图，用长为的篱笆（虚线部分）两面靠墙围成矩形的苗圃．在其中一边开了一个宽的门． (1)设矩形的一边为，面积为，求y关于x的函数关系式； (2)当时，求出所围苗圃的面积是多少？ 19．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学兴趣小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻模型，研究发现水位读数是供水时间的一次函数，下表是兴趣小组记录的部分数据： 供水时间 0 1 2 3 4 … 水位读数 2 2.4 2.8 3.2 3.6 … (1)水位读数与供水时间的关系式为______； (2)若供水时间为，水位读数为______； (3)若本次实验开始记录的时间是上午，当水位读数为时是几点钟？ 20．综合与实践 主题 2026年深圳APEC峰会科技设备购买方案 信息1 为保障2026年深圳APEC峰会智能会务服务，需采购AI翻译终端和智能签到终端．已知AI翻译终端单价是智能签到终端的2倍，用1200元购买智能签到终端的数量比用1600元购买AI翻译终端的数量多10台． 信息2 某会务保障组计划花费2440元采购这两款终端，两款终端的采购数量共40台． 信息3 采购完成后，设备供应商赠送n张（且n为正整数）兑换券，每张兑换券可换取AI翻译终端1台或智能签到终端2台，换取后两款终端的总数量将达到相等，且换取的设备总费用不超过1000元． (1)探求设备单价：请运用适当的方法，求出AI翻译终端与智能签到终端的单价． (2)计算采购数量：购买AI翻译终端___________台，购买智能签到终端___________台．（直接填写结果） (3)确定换取方案：结合信息3，运用数学知识，确定符合条件的一种换取方案． 21．如图，在中，，，，、是边上的两个动点．其中点从点开始沿方向向点运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向向点运动，且速度为每秒．、两点同时出发，当其中一点到达终点则运动停止，设它们的运动时间为秒． (1)当点在边上运动，且使是等腰三角形，求的值； (2)当点在边上运动，求的面积与时间的关系式； (3)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，点恰好在线段的垂直平分线上，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． (4)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，平分，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 22．如图，在中，，，点沿运动，每秒运动，连接．已知，设点运动时间为秒，、点间的距离为．    小军根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小军的探究过程，请补充完整： (1)通过取点、画图、测量，得到了与的几组对应值，如下表： 1 2 3 4 5 6 2 0 (2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象：    (3)进一步探究结合图象发现，当的准确值为且点在边上时，写出对应的值：__________． 23．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质．请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 7 5 m 1 1 3 n 7 … (1)表格中：______，______． (2)在直角坐标系中画出该函数图象． (3)观察图象： ①根据函数图象可得，该函数的最小值是______； ②写出该图象的一条性质______； ③进一步探究函数图象发现：函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个解． 24．如图是小华的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是 ． (2)下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 3 4 5 6 7 … y … 6 6 m … 求m的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； (4)结合函数的图象，写出该函数的一条性质： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 函数 （6知识点+12题型+过关检测） 【题型1 用表格表示变量间的关系】 1 【题型2 用关系式表示变量间的关系】 3 【题型3 用图象表示变量间的关系】 4 【题型4 函数的概念】 7 【题型5 函数解析式】 9 【题型6 求自变量的取值范围】 11 【题型7 求自变量的值或函数值】 12 【题型8 函数图象识别】 14 【题型9 用描点法画函数图象】 16 【题型10从函数的图象获取信息】 20 【题型11 动点问题的函数图象】 24 【题型12 函数的三种表示方法】 27 1. 概念认知目标：理解常量、变量的定义，掌握函数的核心概念，明确函数的三要素，能准确区分自变量与因变量，辨析生活及几何问题中的函数关系。 2. 技能掌握目标：熟练掌握函数的三种表示方法（列表法、解析式法、图象法），掌握三种表示方法的相互转化技巧；能准确求解自变量取值范围、函数值，已知函数值可反求自变量。 3. 作图读图目标：掌握描点法画函数图象的标准步骤，能精准识别函数图象、从图象中提取关键信息；熟练解决动点背景下的函数图象识别与分析问题。 4. 思维素养目标：建立数形结合、变化与对应的数学思想，能运用函数知识分析实际变化问题，为后续一次函数、反比例函数等知识的学习奠定基础，适配初中基础函数题型的解题要求。 03 知识•梳理 知识点1：常量与变量 1. 变量：在一个变化过程中，数值可以发生改变的量，是变化的主体，常用字母x、y、t、s等表示。 2. 常量：在一个变化过程中，数值始终保持不变的量，如固定的单价、速度、圆周率π、固定边长等。 核心注意点：常量和变量是相对某一变化过程而言的，并非绝对。例如公式s=vt中，当速度v固定时，s、t是变量，v是常量；当路程s固定时，v、t是变量，s是常量。 知识点2：函数的定义与三要素 1. 函数定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就称y是x的函数。其中x叫做自变量，y叫做因变量（函数值）。 2. 函数三要素：两个变量、自变量的取值范围、唯一对应的函数值关系。 3. 核心判定关键：重中之重是“唯一对应”，一个自变量x只能对应一个y值，一个y值可以对应多个x值。 知识点3：函数的三种表示方法 1. 列表法（表格法） 将自变量x的取值和对应的函数值y以表格形式一一列举出来。优点：数值直观、查找便捷；缺点：只能体现部分数值，无法完整反映函数整体变化规律。 2. 解析式法（关系式法） 用含自变量x的代数式表示y的等式，是最常用的函数表示形式，如y=2x+1、S=πr²。优点：简洁严谨，可精准计算任意自变量对应的函数值；缺点：抽象性强，无法直观体现变化趋势。 3. 图象法 在平面直角坐标系中，以自变量x为横坐标、对应函数值y为纵坐标，所有对应点组成的图形。优点：直观展现函数增减、变化趋势；缺点：数值读取存在误差，精度较低。 知识点4：自变量取值范围 自变量的取值必须保证函数解析式有意义，同时符合实际问题的现实意义，分为两类限制条件： 1. 代数意义限制：整式函数，自变量取全体实数；分式函数，分母不能为0；二次根式函数，被开方数非负（≥0）；零次幂、负指数幂，底数不能为0。 2. 实际意义限制：长度、时间、路程、面积等物理量取值≥0；人数、个数等离散量必须为正整数。 知识点5：函数值求解 1. 已知自变量x的值，将数值代入函数解析式，计算得出的对应y值，即为该自变量对应的函数值。 2. 已知函数值y，将y值代入解析式，通过解方程求出对应的自变量x，最终结果需在自变量取值范围内，舍去无效解。 知识点6：函数图象与描点法作图 1. 函数图象定义：由自变量和函数值的所有对应坐标(x,y)组成的平面图形，是函数关系的几何直观体现。 2. 描点法三步流程：列表（选取合适自变量，计算对应函数值）→描点（在坐标系中标出对应坐标点）→连线（按自变量从小到大顺序，用平滑曲线或直线连接各点）。 3. 图象符号规范：取值包含端点用实心点，不包含端点用空心圈；直线型函数连直线，曲线型函数连平滑曲线。 04 题型•汇总 【题型1 用表格表示变量间的关系】 考查核心：识别表格中的变量关系，分析数值变化规律，补全表格数据。 解题思路：1. 先定变量：主动变化的量为自变量，随其变化的量为因变量；2. 分析规律：观察表格数值的差值、倍数、平方等变化规律，判断线性或非线性变化；3. 数据运算：依据规律补全缺失数据，预测变化结果；4. 验证核对：将计算结果代入原表格，验证规律一致性，避免出错。 【典例1】．某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量/千克 1 2 3 4 烤制时间/分 40 60 80 100 120 140 160 180 设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟，估计当时，的值为（  ） A．190 B．200 C．210 D．220 【答案】D 【详解】解：由表格得，鸭的质量每增加0.5千克，烤制时间增加20分， ∴当时，的值为． 【变式1】．小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的常量是（   ） A．金额 B．数量 C．单价 D．以上都不是 【答案】C 【详解】解：付款金额随购物数量的变化而变化， 数量和金额是变量， 矿泉水的单价固定不变， 单价是常量． 【变式2】．李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（   ） 金额 数量/升 单价/元/升 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和单价 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量的概念，根据常量是固定不变的量，变量是变化的量，即可判断求解． 【详解】解：∵常量是一个变化过程中固定不变的量，变量是一个变化过程中可以发生变化的量， 在加油过程中，单价是固定不变的，金额随着加油数量的变化而变化，数量也会根据加油量改变， ∴只有单价是常量． 【变式3】．某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 小车下滑的时间 下列说法错误的是（   ） A．h每增加，t减小 B．当时， C．随着h逐渐升高，t逐渐变小 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 【答案】A 【分析】根据表格获取数据，逐一分析各选项即可判断正误． 【详解】解:A. ∵从增加到时，减少 ，从增加到 时，减少 ， ∴每增加，减小的值不是固定的 ，故A错误，符合题意； B. 由表格数据可知，当 时， ，B正确，不符合题意； C. 观察表格数据，支撑物高度越大，小车下滑时间越小， 因此随着逐渐升高，逐渐变小，故C正确，不符合题意； D. 木板长度不变，即小车下滑路程不变， ∵随着升高，逐渐变小， ∴平均速度逐渐加快，故D正确，不符合题意． 【题型2 用关系式表示变量间的关系】 考查核心：将文字描述、几何图形、实际场景转化为函数解析式。 解题思路：1. 设元：设主动变化的量为自变量x，所求变化量为函数y；2. 找等量：结合几何公式、生活公式、和差倍分关系梳理等量关系；3. 列式化简：根据等量关系列方程，整理为y关于x的最简解析式；4. 补范围：结合实际场景，标注自变量的合理取值范围。 【典例2】．在圆的周长公式中，下列说法正确的是（    ） A．2是常量，、、是变量 B．2是常量，、是变量 C．2是常量，、是变量 D．2、是常量，、是变量 【答案】D 【分析】在一个变化过程中，数值不发生变化的量称为常量，数值发生变化的量称为变量，根据定义直接判断即可． 【详解】解：∵在圆的周长公式中，和是固定不变的常数，圆的周长随半径的变化而变化． ∴、是常量，、是变量． 【变式1】．水中涟漪（圆形水波）从里到外不断扩大，记圆的半径为，圆的周长为，则下列说法不正确的是（    ） A．圆的周长是圆的半径的函数 B．是变量 C．圆的周长和圆的半径是变量 D．关于的解析式是 【答案】B 【分析】根据常量、变量与函数的定义判断各选项说法，选出不正确的选项即可． 【详解】解：由圆的周长公式得与的关系式为， ∵圆周率是固定不变的常数，为常量，圆的半径随水波扩大不断变化，周长随变化也不断变化，和都是变量，且对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数， ∴A、C、D选项说法正确，B选项说法错误． 【变式2】．函数中常量是____________． 【答案】2和 【详解】解：函数中常量是2和． 【变式3】．李奶奶要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设长为米，长为米，则与之间的函数关系式为__________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得出，结合篱笆总长度为36米列出等式，整理即可得到与之间的函数关系式． 【详解】解：四边形是矩形， ， 用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米， ，即， ， ． 【题型3 用图象表示变量间的关系】 考查核心：将实际变化过程、动态场景转化为对应的函数图象。 解题思路：1. 明确坐标轴含义：横轴为自变量（时间、路程等），纵轴为函数量（高度、面积、速度等）；2. 分段分析变化过程：静止对应水平线段、匀速变化对应倾斜直线、变速变化对应曲线；3. 锁定关键节点：重点关注起点、转折点、终点、极值点的坐标特征；4. 按变化顺序描点连线，还原完整函数图象。 【典例3】．如图，均匀地向一个鱼缸内注水直至注满，鱼缸中水面的高度是注水时间的函数．下列函数图象中，能反映随变化规律的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：鱼缸的横截面面积从底面到缸口，先变大再变小，故注水时水面升高的速度先变慢，再变快， 其中A选项，速度为匀速，且有一段不升高，不合题意； B选项，速度为匀速，不合题意； C选项，速度变化为先变快，再变慢，不合题意； D选项，速度变化为先变慢再变快，符合题意 ． 【变式1】．下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（    ） A．如图中，是的函数； B．观察表中对应关系，是的函数，也是的函数： 3 2 1 0 1 2 －3 －2 －1 1 2 3 －2 －3 －6 8 3 2 C．式子中，是的函数； D．数轴上一点的坐标是该点到原点的距离的函数． 【答案】D 【分析】根据函数的定义“在一个变化过程中有两个变量x和y，给定x的一个值，y有唯一确定的值与其对应，则y是x的函数”判断解答即可． 【详解】解：A.根据图象可得给一个x的值，y都有唯一确定值，所以y是x的函数，正确； B.根据表格可得给一个m的值，n，t都有唯一确定值，所以n，t都是m的函数，正确； C.根据关系式可得给一个x的值，y都有唯一确定值，所以y是x的函数，正确； D.给一个x的值，y有无数个值与其对应，y不是x的函数，原说法错误． 【变式2】．该公园内有一音乐喷泉，喷出水的高度y（单位：m）与音乐响起的时间t（单位：min）的变化情况如图所示．在这个变化过程中，自变量为___________，因变量为________________． 【答案】 时间 喷出水的高度 【分析】本题考查了自变量与因变量的概念，掌握自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化的量是解题的关键． 根据自变量和因变量的定义，判断喷出水的高度变化过程中，主动变化的量与随之变化的量． 【详解】解：在喷出水的高度y与音乐响起的时间t的变化过程中：时间t是主动变化的量， 故自变量为时间；喷出水的高度y是随着时间t的变化而变化的量，故因变量为喷出水的高度． 故答案为：时间，喷出水的高度． 【变式3】．下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画（填字母）？ （1）一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系）：________________． （2）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）：________________． （3）足球守门员一脚踢出去的球（高度与时间的关系）：________________． （4）一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）：________________． 【答案】 D B A C 【分析】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键． 确定两个变量之间的变化情况，逐次分析即可求解． 【详解】解：（1）一面冉冉上升的旗子，高度随着时间的增加而增加，故选D； （2）匀速行驶的汽车，速度始终不变，故选B； （3）足球守门员踢出去的球，球的高度先上升后下降，故选A； （4）一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低，最后趋于0°C，故选C；   故答案为：D，B，A，C． 【题型4 函数的概念】 考查核心：判断两个变量是否构成函数关系，辨析函数概念易错点。 解题思路：1. 基础判定：确认存在两个相关联的变化变量；2. 核心判定：检验每一个确定的自变量x，是否只有唯一一个y值对应；3. 图象判定（竖线法）：在图象上任意作垂直于x轴的直线，若直线与图象仅有一个交点，则为函数，反之不是；4. 规避误区：一个y对应多个x仍为函数，一个x对应多个y一定不是函数。 【典例4】．在式子①，②，③，④中，y是x的函数的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据函数的定义判断，即对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数．统计符合定义的式子个数即可解得． 【详解】解：①对于，当x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数； ②对于，当x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数； ③对于，当在范围内，x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数； ④对于，当x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数． 综上，4个式子都满足y是x的函数． 【变式1】．下列四个选项中，不是的函数的是（    ） A．一个正数的平方根 B．匀速小车所行驶的路程和行驶时间 C．圆的面积和它的半径 D．正方形的面积和它的周长 【答案】A 【详解】A．对于任意一个确定的正数，它的平方根有两个不同的值，即，当取一个确定的值时，有两个值与之对应，故符合题意； B．匀速行驶的小车速度为定值，路程与时间满足（为定值），对任意确定的，都有唯一对应，故不符合题意； C．圆面积和半径满足，对任意确定的，都有唯一对应，故不符合题意； D．正方形周长为，则边长为，面积，对任意确定的，都有唯一对应，故不符合题意． 【变式2】．下列关系式：，其中是的函数的是____（填序号） 【答案】①②④⑥ 【分析】根据函数的定义，判断每个关系式中，对x的任意一个确定的值，是否有唯一确定的y值与之对应，逐一判断即可得到结果． 【详解】解：① 对于关系式 ，x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，因此y是x的函数． ② 对于关系式 ，x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，因此y是x的函数． ③ 对于关系式 ，当x取任意非零确定值时，y有两个不同的值与之对应，因此y不是x的函数． ④ 对于关系式 ，当x取任意满足条件的确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，因此y是x的函数． ⑤ 对于关系式 ，当x取任意非零确定值时，y有两个不同的值与之对应，因此y不是x的函数． ⑥ 对于关系式 ，x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，因此y是x的函数． 【变式3】．如图，有一个球形容器，小厉在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是V的函数；④V是h的函数，其中正确的是________．（填序号） 【答案】 ①③④ 【分析】由函数的概念求解即可． 【详解】①：由题意可知，对于注水量V的每一个数值，水面的面积都有唯一值与之对应，所以是的函数，符合题意； ②：由题意可知，对于水面的面积的每一个数值，注水量的值不一定唯一，所以不是的函数，不符合题意； ③：由题意可知，对于注水量V的每一个数值，水面的高度h都有唯一值与之对应，所以h是V的函数，符合题意； ④：由题意可知，对于水面的高度h的每一个数值，注水量V都有唯一值与之对应，所以V是h的函数，符合题意； 所以正确的是①③④． 【题型5 函数解析式】 考查核心：书写、识别、推导各类基础函数解析式。 解题思路：1. 明确对应关系：严格区分自变量与因变量，保证解析式是y关于x的表达式；2. 模型套用：熟记常见基础模型，如周长、面积、路程、单价等公式型解析式；3. 化简整理：将复杂等式整理为最简的函数标准形式；4. 代入验证：选取两组简单数值代入解析式，检验式子是否成立。 【典例5】．将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用x张白纸的长度减去粘合部分的长度可得一次函数解析式． 【详解】解：∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为， ∴． 【变式1】．一个菱形的边长为，它的边长增加后，得到的新菱形的周长为，则与之间的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵菱形的四条边相等，原菱形边长为，新菱形边长增加， ∴新菱形的边长为， ∴新菱形周长，整理得． 【变式2】．某快递公司国内寄件的收费标准为：不超过的物品需付10元，超过后每增加（不足按计）需增加快递费2元，设寄出（x为大于1的整数）物品的快递费为y元，则y关于x的函数解析式为______． 【答案】（x为大于1的整数） 【详解】解：根据题意，y关于x的函数解析式为（x为大于1的整数）． 【变式3】．、两地相距，一列火车以的速度从地出发驶向地，设后这列火车离地的距离为，则与之间的函数表达式为___ 【答案】 【详解】解：∵、两地相距，一列火车以的速度从地出发驶向地， ∴后这列火车离地的距离为， 当时，，得：， ∴与之间的函数表达式为． 【题型6 求自变量的取值范围】 考查核心：综合代数规则和实际场景，求解自变量有效取值范围。 解题思路：1. 代数层面约束：整式取全体实数；分式分母不为0；二次根式被开方数≥0；零次幂底数不为0；2. 实际层面约束：长度、时间、体积等非负；人数、数量为正整数；3. 取交集：整合所有约束条件，取公共取值范围；4. 规范书写：用不等式或区间形式规范表示最终范围。 【典例6】．对于函数，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：函数为 ， 要使二次根式有意义， 则 ， 移项解不等式得 ， 因此自变量 的取值范围是 ． 【变式1】．关于函数，下列说法中正确的是（   ） A．自变量的取值范围是全体实数 B．自变量的取值范围是正实数 C．自变量的取值范围是 D．自变量的取值范围是 【答案】C 【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解，根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式中被开方数必须是非负数， ∴， 解得， 因此选项C正确． 【变式2】．函数的自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】结合分式有意义的条件和二次根式有意义的条件列不等式，解不等式即可得到自变量的取值范围. 【详解】解：要使函数有意义，根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可得被开方数需大于0，即： 移项得 系数化为1得 【变式3】．函数的自变量的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂的定义，列出自变量需满足的不等式，求解后取公共范围即可得到结果． 【详解】解：要使函数有意义，需同时满足： 被开方数非负、分母不为零、零指数幂的底数不为零， 因此可得不等式组， 解不等式组得，且，且， 由可知恒成立，因此自变量的取值范围为且． 【题型7 求自变量的值或函数值】 考查核心：代入求值、已知函数值反求自变量，是函数基础计算题型。 解题思路：1. 求函数值：将已知自变量数值直接代入解析式，逐步计算得出y值；2. 求自变量：将已知函数值代入解析式，解方程求解x；3. 验根筛选：所得自变量必须在取值范围内，舍去无意义的增根；4. 实际问题额外校验：结果需符合现实逻辑，杜绝负数人数、负长度等不合理结果。 【典例7】．已知函数，当函数值时，自变量的值为（　　） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】只需将代入解析式，解一元一次方程即可得到自变量的值． 【详解】解：∵ 函数解析式为 ，且 ， ∴ 将 代入解析式， 得， 移项计算得 ， 即自变量的值为5． 【变式1】．变量x，y的一些对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当时，y的值是（   ） A．5 B． C．25 D． 【答案】B 【分析】根据表格中两个变量对应值的变化规律即可求解． 【详解】解：由表格中两个变量对应值的变化规律可得，， 当时，． 【变式2】．在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，则_____． 【答案】 【详解】解：点在函数的图象上， ． 【变式3】．声音在空气中的传播速度与空气温度的关系如下表： 空气温度/℃ 0 10 20 声速/（） 319 325 331 337 343 当空气温度为30℃时，声音在空气中的传播速度为____________． 【答案】349 【分析】根据表格数据，温度每升高，声速增加，从到增加，故声速增加． 本题考查了自变量与函数值，熟练分辨自变量与函数值是解题的关键． 【详解】解：观察表格，温度从到，声速由增至，增加； 从到，声速由增至，增加； 从到，声速由增至，增加； 从到，声速由增至，增加． 因此，温度每升高，声速恒增加6 m/s． 当空气温度为时，声速为，则时声速为． 故答案为：349． 【题型8 函数图象识别】 考查核心：根据文字变化过程、动态场景，匹配正确的函数图象。 解题思路：1. 先判变量：明确横轴、纵轴代表的物理量或几何量；2. 分段匹配趋势：数值不变→水平线段、均匀增减→直线、快慢变化→曲线；3. 抓关键特征：重点核对起点位置、变化拐点、终点数值、最值点；4. 排除法解题：优先排除趋势错误、节点错误的选项，快速锁定答案。 【典例8】．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．由此逐项判断即可． 【详解】解：C、B、D选项中，对于一定范围内自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，所以是的函数； A选项中，对于一定范围内取值时，有个值与之相对应，所以不是的函数． 【变式1】．某地一天内的气温与时刻之间的关系如图所示．令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差）．则与之间的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的图像，分段分析时间段内的最高温度和最低温度，从而确定温差的变化情况，结合选项即可得出答案． 【详解】解：由图像可知：当时，从下降到，此时最高温度为，最低温度为， ，随的增大而增大，且； 当时，从上升到，此时最高温度为，最低温度为， ，随的增大而增大，且； 当时，从上升到，此时最高温度为，最低温度为， ，随的增大而增大，且； 当时，从下降到，此时最高温度为，最低温度为， ，为定值； 当时，从下降到，此时最高温度为，最低温度为， ，随的增大而增大，且 综上所述，的图像在上为水平线段，其余时间段递增，且． 故选：B． 【变式2】．下列四个图象中，能表示是的函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“在一个变化过程中，如果有两个变量x、y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数”，由此可排除选项． 【详解】解：选项A符合函数的概念， 而B、C、D都不符合“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”. 【变式3】．下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义判断即可． 【详解】解：A、对于自变量取值范围内的任意一个x的值，有唯一的y的值与之对应，故表示y是x的函数，不符合题意； B、对于自变量取值范围内的任意一个x的值，有唯一的y的值与之对应，故表示y是x的函数，不符合题意； C、对于自变量取值范围内的某些x的值，有不只一个y的值与之对应，故不能表示y是x的函数，符合题意； D、对于自变量取值范围内的任意一个x的值，有唯一的y的值与之对应，故表示y是x的函数，不符合题意； 【题型9 用描点法画函数图象】 考查核心：规范掌握描点法作图流程，完成基础函数图象绘制。 解题思路：1. 科学列表：选取5-7个具有代表性的自变量值，包含0、正负值、边界值，精准计算对应函数值；2. 精准描点：根据坐标在平面直角坐标系中准确标记各点；3. 规范连线：按自变量从小到大顺序，用平滑曲线或直线依次连接各点；4. 细节规范：根据取值范围标注实心/空心端点，补充坐标轴、函数标注。 【典例9】．小王用描点法画一次函数图象时，列出如下表格，其中有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） … 0 1 2 … … 3 1 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象； 设一次函数为，把点代入，得，得到，再验证各点即可求出． 【详解】解：设一次函数为， 把点代入，得， ∴， 验证各点： 把代入，得； 把代入，得； 把代入，得； 把代入，得； ∴数据错误． 故选：C． 【变式1】．如图，小颗做物理实验，用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．设弹簧秤的读数为y(单位：N)，铁块被提起的高度为x(单位：)．在铁块被提起过程中选取5组数对在直角坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变． 【详解】解：用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度． 根据浮力的知识可知，当铁块露出水面之前，， 此过程浮力不变，铁块的重力不变，故拉力不变，即弹簧测力计的读数y不变； 当铁块逐渐露出水面的过程中，， 此过程浮力逐渐减小，铁块重力不变，故拉力逐渐增大，即弹簧测力计的读数y逐渐增大； 当铁块完全露出水面之后，， 此过程拉力等于铁块重力，即弹簧测力计的读数y不变． 综上，弹簧测力计的读数y先不变，再逐渐增大，最后不变． 观察四个选项可知，只有选项A符合题意． 故选：A 【变式2】．风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．下表中列出了当气温为时，风寒温度T（）和风速（）的几组对应值，那么当气温为时，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是（   ） 风速v（单位：） 0 10 20 30 40 风寒温度T（单位：） 5 3 1 A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查函数的表示方法，以及画函数图象，掌握相关知识是解题关键．利用描点法画出图象并判断即可解题． 【详解】解：由表格描点得下图： 根据图象可知，风寒温度与风速的函数关系最可能是一次函数， 故选：B． 【变式3】．小明同学利用学习函数的方法，在同一平面直角坐标系研究函数与的图象性质，他用描点法画函数图象，列出如下表格： x … 0 1 2 3 … … 0 1 2 3 … … 不存在 1 … 现有如下结论： （1）点在函数图象上； （2）方程有两个不相等的实数解，分别是或； （3）当时，函数有y随x的增大而增大的性质； （4）若，则， （5）函数的图象不能与y轴相交． 其中正确结论的序号为________． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查了函数的图象，结合函数图象逐项分析判断即可． 【详解】解：（1），故点在函数图象上，原说法正确； （2）函数与函数的图象有两个交点，和，故原说法正确， （3）函数的图象分布在第一三象限，在每个象限内，有y随x的增大而减小的性质，原说法错误； （4）若，则或，原说法错误； （5）当时函数的图象不存在，所以函数的图象不能与y轴相交，原说法正确； 正确的序号为：①②⑤． 故答案为：①②⑤． 【题型10从函数的图象获取信息】 考查核心：读取图象坐标、变化趋势、特殊点信息，解决基础读图问题。 解题思路：1. 读懂坐标轴：明确横、纵坐标对应的变量及单位；2. 读取定点信息：读出任意自变量对应的函数值、任意函数值对应的自变量；3. 判断变化趋势：图象上升→y随x增大而增大，图象下降→y随x增大而减小，水平→数值不变；4. 分析特殊位置：图象在x轴上方y>0，下方y<0，交点代表两组变量数值相等。 【典例10】．某共享电动车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，共享电动车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（    ） A．电池能量最多可充 B．共享电动车每行驶消耗能量 C．共享电动车充满电后，行驶将自动报警 D．一次性充满电后，共享电动车最多行驶 【答案】D 【分析】根据当时，可判断A；求出每千米消耗的电量，再乘以即可判断B；求出消耗电量时，行驶的路程可判断C；根据当时，可判断D． 【详解】解：∵由函数图象可知，当时，， ∴电池电量最多可充，故A错误，不符合题意； ∵由函数图象可知，一次性充满电后，共享电动车最多行驶，电池能量最多， ∴ ∴， ∴共享电动车每行驶消耗电量，故B错误，不符合题意； ∵， ∴共享电动车充满电后，行驶超过将自动报警，故C错误，不符合题意． ∵由函数图象可知，当时，， ∴一次性充满电后，共享电动车最多行驶，故D正确，符合题意． 【变式1】．均匀地向一个玻璃容器内注水，直至注满容器在注水的过程中，观察到水面高度随时间的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象可知，水面高度增加的速度越来越快，说明容器的横截面积从下到上逐渐减小，据此判断即可求解． 【详解】解：由图象可知，水面高度随时间的变化图象是一条斜率逐渐增大的曲线， ∴水面上升的速度越来越快， ∵注水是均匀的， ∴容器的横截面积从下到上应逐渐减小， ∴选项容器不符合，选项容器符合． 【变式2】．甲、乙两车同时从A地出发前往B地，A，B两地相距，它们离出发地的距离与时间之间的函数关系如图所示，根据图中提供的信息，下列结论中错误的是（    ） A．乙车先到达B地 B．甲、乙两车相遇时，乙车的速度是 C．当时，乙车比甲车慢 D．两车行驶了相遇 【答案】D 【分析】根据函数图象中的数据，逐一判断各个选项中的说法是否正确即可． 【详解】解：A、由图可知，乙车到达B地，甲车到达B地，则乙车先到达B地，故结论正确，不符合题意； B、两车相遇时乙车的速度为，故结论正确，不符合题意； C、由图象可知，当时，乙车的函数图象在甲车的下方，则乙车比甲车慢，故结论正确，不符合题意； D、由图象可知，甲车的速度为，当两车相遇时可得，解得，则两车行驶了相遇，故结论错误，符合题意． 【变式3】．如图1，在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为厘米秒，秒时点的速度变为厘米秒，秒后点以厘米秒速度匀速运动．如图是点出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①；②；③点从点运动到点用时秒；④当的值为时，点运动的路程为厘米．其中正确结论的个数是____． 【答案】个 【分析】①根据图2可得时，代入的面积得出，求得，同理得，根据题意秒时点的速度变为厘米秒，得出；②根据题意分析可得总路程为，分段计算时间，即可得出的值；③长，速度为，得出点从点运动到点用时秒；④前秒路程为，后秒路程为，得出总路程，即可求解． 【详解】解：①在长方形中，，当在上运动时，的面积， 由图，时， 代入得：， 解得， 初始速度为，因此秒， 秒时，同理得，刚好到达点， 从到，共秒，走了， 因此速度，结论①正确； ②总路程为，前秒走了， 剩余路程，速度为， 剩余时间秒， 总时间秒，结论②错误； ③∵长，速度为， ∴用时秒，结论③正确； ④前秒路程：，秒共秒， 路程：， 总路程，不是；结论④错误； 正确的结论是①、③，共个． 【题型11 动点问题的函数图象】 考查核心：读取图象坐标、变化趋势、特殊点信息，解决基础读图问题。 解题思路：1. 读懂坐标轴：明确横、纵坐标对应的变量及单位；2. 读取定点信息：读出任意自变量对应的函数值、任意函数值对应的自变量；3. 判断变化趋势：图象上升→y随x增大而增大，图象下降→y随x增大而减小，水平→数值不变；4. 分析特殊位置：图象在x轴上方y>0，下方y<0，交点代表两组变量数值相等。 【典例11】．如图①，在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图象可知，当时，面积最大值为24，此时当点P运动到点C，得到，，求得，再根据勾股定理计算即可求解． 【详解】解：由图象可知，当时，面积最大值为24， 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴该三角形的斜边的长为． 【变式1】．如图，在物理课测量金属块A的体积实验中，将金属块A匀速向上提起，直至完全露出水面一定高度，下列图象中，适合表示容器内液面高度h与金属块A被提起的时间t的对应关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：液面高度h变化，分三个阶段： 第一阶段：金属块A完全浸没在水中时，随着时间t变大，h不变； 第二阶段：金属块A从开始部分露出水面，到完全露出水面，随着时间t变大，h逐步变小； 第三阶段：金属块A完全露出水面后，随着时间t变大，h保持不变． 故选D． 【变式2】．如图，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位．连接，记点的运动时间为秒，的面积为．如图是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（    ） A．的周长为 B．的面积为 C． D．秒时，线段最短 【答案】D 【分析】根据函数图象可知当时，点在上运动，即得，当时，点在上运动，保持不变，即得，再根据平行四边形的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：由图象可知：当时，点在上运动， ， 当时，点在上运动，保持不变， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ∴的周长，故选项正确； 当时，，即， 设为边上的高，则， ， ∴的面积，故选项正确； 当时，点在上运动， ∴运动时间为秒， ，故选项正确； 当 时，线段最短，此时， 在 中，∵，， ， 秒， 即秒时，最短，故选项错误． 【变式3】．在钝角三角形中（如图1），，点P为边上一动点，连接，在直线的上方构造等腰直角三角形，使，连接，设的长为x，的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则的面积为________． 【答案】 【分析】由图2可得，当，，点P运动到点A的位置，过点Q、C分别作的垂线，垂足为D、E，由勾股定理先求出的长，根据全等三角形的判定和性质得到，进而求出面积． 【详解】解：由图2可得，当，，点P运动到点A的位置， 过点Q、C分别作的垂线，垂足为D、E，如图： ∵，，三角形是等腰直角三角形， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型12 函数的三种表示方法】 考查核心：实现列表法、解析式法、图象法三者之间的相互转化。 解题思路：1. 表格转解析式：分析表格数值的变化规律，推导通用函数关系式；2. 解析式转表格：选取多个自变量数值，代入计算得到对应函数值，整理成表格；3. 解析式转图象：用描点法列表、描点、连线，绘制完整函数图象；4. 图象转表格/解析式：读取图象关键点坐标列表，根据图象形状，用待定系数法推导解析式；5. 统一校验：三种表示方法的核心数值、变化趋势必须完全一致。 【典例12】．下列情境中，优先考虑用解析法表示函数关系的是（  ） A．记录某病人一天内不同时刻的体温 B．反映某城市一年中各月份的平均降雨量 C．用公式计算圆柱高h一定的情况下的体积V与底面半径r之间的关系 D．展示某运动员在100米比赛中速度随时间的变化 【答案】C 【分析】本题考查函数不同表示方法的适用场景，初中函数表示方法分为解析法、列表法、图象法三类，解析法通过数学解析式表达函数关系，需结合各情境特征判断． 【详解】解：∵ 解析法适合表示有明确数学关系式的函数关系，列表法适合整理离散的对应数据，图象法适合直观展示变化趋势． 又∵ A选项记录不同时刻的体温，为离散对应数据，优先选列表法；B选项反映各月份的平均降雨量，为离散对应数据，优先选列表法；D选项展示速度随时间的变化趋势，优先选图象法． C选项中h为定值，体积与底面半径有明确关系式，符合解析法的适用特征，优先用解析法． 【变式1】．下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【详解】解：表达式中，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，符合题意； 等边三角形的周长，故等边三角形的周长是边长的函数，符合题意； 由表格信息可得：对应的每一个值，都有唯一的值与之对应，故是的函数，符合题意； 如图中，对于的每一个取值，不是都有唯一的值与之对应，故不是的函数，不符合题意． 综上，正确的是． 【变式2】．下面说法中正确的是（   ） A．两个变量之间的函数关系只能用表达式表示 B．图象法不能直观地表示函数的变化趋势 C．借助表格可以表示出函数值随自变量的变化情况 D．表达式法不能明显地表示对应规律 【答案】C 【分析】本题考查函数表示方法的特点．函数有三种表示方法：表达式法、图象法和表格法．选项A、B、D的说法均与函数表示方法的实际特性不符，只有C选项正确描述了表格法的作用． 【详解】解：A项：函数关系不仅能用表达式表示，还能用图象和表格表示，∴ A错误，不符合题意； B项：图象法能直观地表示函数的变化趋势，∴ B错误，不符合题意； C项：表格法通过列出自变量与函数值的对应关系，可以表示函数值随自变量的变化情况，∴ C正确，符合题意； D项：表达式法能明显地表示函数与自变量之间的对应规律，∴ D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3】．一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）的关系如下表、则蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）之间的关系式是_____． 燃烧时间（时） 0 1 2 3 剩余的高度（厘米） 20 17 14 11 【答案】 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，根据表格数据的特点，即可得到变量间的关系，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵观察表格可知：平均每小时蜡烛烧掉3厘米， ∴x小时燃烧了厘米， ∵蜡烛总长为20厘米， ∴剩余的高度总长度燃烧的长度， 即， 故答案为：． 04 题型•汇总 1．下列关系式中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义，判断对于的每一个确定的值，是否有唯一确定的值与之对应，即可求解． 【详解】解：A．，是的函数，不符合题意； B．，是的函数，不符合题意； C．，当时，或，不是的函数，符合题意； D．，是的函数，不符合题意． 2．在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】用二次根式被开方数非负、分式分母不为0的性质列不等式求解． 【详解】要使函数有意义，需同时满足两个条件： 二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不能为0， ∴， 解得：且. 3．下列各图表示的是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意是的函数依据函数的概念可知对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，以此进行分析判断即可． 【详解】解：根据函数的定义：在一个变化的过程中有两个变量和，对于每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说是的函数， 因此B选项中的图象表示是的函数，其他三个选项均不表示是的函数． 4．老师让同学们举一个是的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如下4个，其中一定是的函数有（　　） ① x 1 2 0 1 y 1 2 3 4 ②； ③（是常数）； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据函数的定义：在某一变化过程中有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么y就是x的函数．依次判断即可． 【详解】解：①从表格中可以看出，当时，则或4，有两个值和它对应，不符合函数的定义，故y不是x的函数； ②从图像上可以看出除原点外对于x的每一个值y都有两个值与它对应，故y不是x的函数； ③（是常数），对于x的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，故y是x的函数． ④，对于x的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，故y是x的函数． 因此y是x的函数的有2个． 5．水池蓄水500立方米，每小时放水2立方米，t小时后，水池中的水Q（立方米）与t（小时）的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩余水量=原有水量-放出水量，推导与的函数关系式即可． 【详解】解：∵水池原有水量为500立方米，每小时放水2立方米， ∴t小时一共放出水量立方米， 剩余水量等于原有水量减去放出水量， 可得． 6．如图，一农户建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用25米长的篱笆围成．为方便进出，在边上留一扇1米宽的门．若设的长为米，的长为米，则与之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得米，，据此可得，根据列出不等式组求出x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，米， ∵篱笆的长度为25米， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．嘉嘉的手表只剩的电量，接上充电器后，手表显示的电量为．若充电器匀速稳定充电，则手表的电量与充电时间之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知的初始电量和充电后的电量可得到每分钟充电量，即可求出函数关系式． 【详解】解：根据题意得：每分钟充电量为， ∴手表的电量与充电时间之间的函数关系式为． 8．点，，，中，在函数的图象上的点的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，若解析式有意义，且计算得到的纵坐标与点的纵坐标相等，则该点在函数图象上，依次验证四个点即可得出结果. 【详解】解：对点，代入，得，与点的纵坐标相等，该点在图象上； 对点，代入，分母，函数式无意义，该点不在图象上； 对点，代入，得，与点的纵坐标相等，该点在图象上； 对点，代入，得，与点的纵坐标不相等，该点不在图象上. 综上，共有2个点在函数图象上. 9．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） 0 1 2 3 2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键． 在坐标系中描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 【详解】解：如图所示， 点和其它三个点不在同一条直线上， ∴错误的数据是， 故选：A． 10．辰辰通过实验探究了和环境下大豆苗光合作用氧气释放速度（毫克小时）与光照强度（千勒克斯）之间的关系，并绘制出如图所示的关系图象，当环境下的大豆苗的氧气释放速度比环境下的快时，光照强度的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从函数图象获取信息即可． 【详解】解：若要环境下大豆苗的氧气释放速度比环境下快，则需虚线在实线的上方，根据图象可知，当环境下的大豆苗的氧气释放速度比环境下的快时，光照强度为 ． 11．下表是小刚给在外地工作的爸爸打长途电话的通话时间和话费记录： 通话时间/ 1 2 3 4 5 6 7 … 话费/元 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 … 由表格可知，当通话时间为时，需支付话费________元． 【答案】5.4 【分析】观察表格中通话时间与话费的对应关系，总结两者的变化规律，再代入通话时间计算即可得到结果． 【详解】解：分析表格数据可得，通话时间每增加，话费增加元，即每分钟通话费用为元． 当通话时间为时，需支付话费为元． 12．水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 1.5 3 4.5 6 7.5 9 当时间为10分钟时，容器中水的高度为_____． 【答案】15 【分析】根据表格数据，时间与水的高度成正比例关系，时间每增加，水的高度增加，即可求解． 【详解】解：观察表格可知当时间为时，水的高度为，时间每增加，水的高度增加， ∴水的高度与时间成正比例关系， ∴当时间为10分钟时，容器中水的高度为． 故答案为：15． 13．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0得到关于x的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义，则满足：， 解得：且． 14．同一温度的华氏度数y（）与摄氏度数x（）之间的函数关系是，如果某一温度的华氏度数是，那么它的摄氏度数是________． 【答案】15 【分析】将的数值代入函数关系式，解关于的方程即可得到结果． 【详解】解：根据题意，将代入得， 解得， 因此它的摄氏度数是． 15．如图，“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间；用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，不考虑水量变化对压力的影响，则图______的图象适合表示y与x的对应关系． 【答案】（2） 【分析】本题考查函数图象的识别，根据题意，可知随的增大而减小，且变化均匀，从而可以解答本题． 【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，表示漏水时间，表示壶底到水面的高度， ∴随的增大而匀速地减小，图象（2）适合表示与的对应关系． 故答案为：（2）． 16．小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7∶40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图，则下列说法中正确的是______． ①小明家和学校距离米 ②小华乘公共汽车的速度是米/分 ③小明从家到学校的平均速度为米/分 【答案】①② 【分析】通过图像可得小明家距离学校1200米，小华家也是，得知距离时间即可算出速度． 【详解】解：①、由图可得小明家距离学校1200米， ②、小华从家到学校用时5分钟，距离为1200米路程除以时间可得速度，即米每分钟， ③、平均速度是路程除以总时间，为60米/分． 17．一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答下列问题： (1)请将下表补充完整： 碗的数量/个 1 2 3 4 5 … 高度 5.2 6.4 ______ 8.8 ______ … (2)直接写出整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式______； (3)当碗的数量为10个时，求这些碗的高度． 【答案】(1)7.6；10 (2) (3) 【分析】（1）根据每增加一个碗增加的高度相同求解即可； （2）根据整齐叠放在桌面上碗的高度一个碗的高度（碗的总数，从而可得碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式； （3）把代入函数关系式即可解答． 【详解】（1）解：由表格可知，1个碗高，2个碗高， ∴每增加1个碗，高度增加． ∴3个碗的高度为，5个碗的高度为． （2）解：由题意得：， 整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个之间的关系式：； （3）解：当时，， 这些碗的高度为． 18．如图，用长为的篱笆（虚线部分）两面靠墙围成矩形的苗圃．在其中一边开了一个宽的门． (1)设矩形的一边为，面积为，求y关于x的函数关系式； (2)当时，求出所围苗圃的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出解析式即可； （2）代数求值即可． 【详解】（1）解：设矩形的一边为，则另一边长为 y关于x的函数关系式为； （2）解：将代入得， ， ∴所围苗圃的面积是． 19．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学兴趣小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻模型，研究发现水位读数是供水时间的一次函数，下表是兴趣小组记录的部分数据： 供水时间 0 1 2 3 4 … 水位读数 2 2.4 2.8 3.2 3.6 … (1)水位读数与供水时间的关系式为______； (2)若供水时间为，水位读数为______； (3)若本次实验开始记录的时间是上午，当水位读数为时是几点钟？ 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）根据表格可知当时，，时间增加，水位上涨了，即可得出关系式； （2）将代入关系式可得答案； （3）将代入关系式可得时间，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据表格可知：当时，，时间增加，水位上涨了， ∴； （2）解：当时，； （3）解：在中， 令，得， 解得， ∵本次实验开始记录的时间是上午， ∴水位读数为时是． 20．综合与实践 主题 2026年深圳APEC峰会科技设备购买方案 信息1 为保障2026年深圳APEC峰会智能会务服务，需采购AI翻译终端和智能签到终端．已知AI翻译终端单价是智能签到终端的2倍，用1200元购买智能签到终端的数量比用1600元购买AI翻译终端的数量多10台． 信息2 某会务保障组计划花费2440元采购这两款终端，两款终端的采购数量共40台． 信息3 采购完成后，设备供应商赠送n张（且n为正整数）兑换券，每张兑换券可换取AI翻译终端1台或智能签到终端2台，换取后两款终端的总数量将达到相等，且换取的设备总费用不超过1000元． (1)探求设备单价：请运用适当的方法，求出AI翻译终端与智能签到终端的单价． (2)计算采购数量：购买AI翻译终端___________台，购买智能签到终端___________台．（直接填写结果） (3)确定换取方案：结合信息3，运用数学知识，确定符合条件的一种换取方案． 【答案】(1)智能签到终端单价为40元，AI翻译终端单价为80元 (2)购买AI翻译终端21台，购买智能签到终端19台 (3)张兑换券中4张换取AI翻译终端、3张换取智能签到终端 【分析】（1）根据购买智能签到终端的数量与购买AI翻译终端的数量关系，设智能签到终端的单价为x元，列出方程：，解方程，并验证结果是否符合题意，最终得到结果； （2）根据两款终端的采购数量与花费总额，设购买AI翻译终端x台，列出方程：，解方程，得到结果； （3）设张兑换券中张用于换取AI翻译终端，则张用于换取智能签到终端，列出方程．再结合，得到的取值范围，并验证的取值，得到最后结果． 【详解】（1）解：设智能签到终端的单价为x元，则AI翻译终端的单价为2x元． 由题意得： 解得，， 经检验：当时，分母， 是原方程的解． ∴智能签到终端单价为40元，AI翻译终端单价为80元． （2）解：设购买AI翻译终端x台，则购买智能签到终端台； 由题意得：， 解得：， 购买AI翻译终端21台，购买智能签到终端19台． （3）解：设张兑换券中张用于换取AI翻译终端，则张用于换取智能签到终端， 由换取后两款终端的总数量将达到相等，得到等式： 化简得：， 可得，只能是偶数， 且n为正整数， 是正整数，且为偶数， ． 验证得，，换取AI翻译终端4台，智能签到终端：台， 两种设备总数：， 总费用：， 符合题意的换取方案， 获赠 7张兑换券，4张用于换取AI翻译终端、其余3张换取智能签到终端． 21．如图，在中，，，，、是边上的两个动点．其中点从点开始沿方向向点运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向向点运动，且速度为每秒．、两点同时出发，当其中一点到达终点则运动停止，设它们的运动时间为秒． (1)当点在边上运动，且使是等腰三角形，求的值； (2)当点在边上运动，求的面积与时间的关系式； (3)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，点恰好在线段的垂直平分线上，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． (4)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，平分，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在某一时刻，点恰好在线段的垂直平分线上， (4)存在某一时刻，平分， 【分析】（1）利用含角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，用表示出、、，根据列方程求解即可； （2）根据求解即可； （3）先求出，设是垂直平分线，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，根据列方程即可求出的值， （4）过点作于，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，由平分得出是等腰直角三角形，，根据列方程求出，进而求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∵点、的速度都为每秒， ∴，，， ∵是等腰三角形，， ∴，即， 解得：． （2）解：如图，当点在边上运动时， ∵，， ∴． （3）解：如图所示，设是垂直平分线， ∵点、的速度都为每秒， ∴点走完全程的时间为，点走完全程的时间为， ∵其中一点到达终点则运动停止， ∴， ∵，， ∴，， ∵是垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，符合题意， ∴存在某一时刻，点恰好在线段的垂直平分线上，． （4）解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 解得：， ∴， ∴．符合题意， ∴存在某一时刻，平分，． 22．如图，在中，，，点沿运动，每秒运动，连接．已知，设点运动时间为秒，、点间的距离为．    小军根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小军的探究过程，请补充完整： (1)通过取点、画图、测量，得到了与的几组对应值，如下表： 1 2 3 4 5 6 2 0 (2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象：    (3)进一步探究结合图象发现，当的准确值为且点在边上时，写出对应的值：__________． 【答案】(1)， (2)见详解 (3)或 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，一次函数的图象等知识． （1）过点C作于点D，先求出、、、、的长度，根据，可确定点P位置，问题可解，当时，同理解答； （2）根据（1）的数据，先描点，画出函数图象即可； （3）分两类讨论：当点P在点D的右侧，当点P在点D的左侧，结合（1）的方法可解． 【详解】（1）解：过点C作于点D，如图， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴， 当时，点P走过的距离为， ∵， ∴点P在上，此时， 当时，点P走过的距离为， ∵，，， ∴点P在上，且在点D的右侧， 如图， ∴， ∴在中，， ∴此时， 即：当时，；当时，； （2）建立直角坐标系，描点，画出函数图象如下： （3）当点P在点D的右侧，如图， ∵，， ∴在中，， ∴， 即； 同理，当点P在点D的左侧，可得：， 即； 综上：的值为或． 23．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质．请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 7 5 m 1 1 3 n 7 … (1)表格中：______，______． (2)在直角坐标系中画出该函数图象． (3)观察图象： ①根据函数图象可得，该函数的最小值是______； ②写出该图象的一条性质______； ③进一步探究函数图象发现：函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个解． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①；②当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小；③， 【分析】（1）将和代入函数计算即可得出结果； （2）先描点，再连线，即可得出函数图象； （3）结合函数图象分析即可得出结果． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即； （2）解：画出函数图象如图所示： （3）解：①根据函数图象可得，该函数的最小值是； ②写出该图象的一条性质当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小； ③进一步探究函数图象发现：函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程有个解． 24．如图是小华的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是 ． (2)下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 3 4 5 6 7 … y … 6 6 m … 求m的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； (4)结合函数的图象，写出该函数的一条性质： ． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 【分析】（1）使函数有意义，，即可得； （2）根据函数的对称性即可求得m的值； （3）根据所描出的点，用平滑的曲线画出图象即可； （4）观察图象，总结出规律即可，答案不唯一，如：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 【详解】（1）解：函数有意义， ，解得， 则函数的自变量x的取值范围是； （2）解；由对称性可知，与的函数值相同， 则时，m． （3）解：函数图象如图所示： （4）解：由函数图像可得，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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