专题04 一次函数（期末6大知识点汇编）讲义 2025--2026学年人教版八年级数学下册

八年级数学期末总复习讲义 第4课 一次函数 知识点梳理 考点01变量与函数 考点02 正比例函数的图像与性质 考点03 一次函数的图像与性质 考点04一次函数与方程、不等式的关系 考点05一次函数应用题 考点06一次函数几何综合 知识点01 变量与函数 1.常量与变量 在考察某个问题的过程中，保持数值不变的量称为常量；可以取不同数值的量称为变量. 2. 自变量与函数 一般地，若在某个变化过程中有两个变量，设为x和y.当x在取值范围内变化时，y随着x的变化而变化；当x的值确定时，y的值也随之唯一确定.变量y关于变量x的这种依赖关系叫作函数，或者说变量y是变量x的函数，x称为自变量. 确定是否存在函数关系的条件： (1)某一变化过程中有两个变量. (2)两个变量之间有确定的依赖关系，其中一个变量x的变化引起另一个变量y的变化. (3)自变量x在取值范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应. 3.自变量的取值范围 ①自变量所在的代数式子有意义；②符合实际意义. 4.函数的表现形式 ①表达式 ②列表法 ③图象法 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·海南·期中）函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）下列各曲线中，表示是的函数的是（    ） A．B．C． D． 3．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中剩余的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少．已知该汽车平均每千米耗油．当时，与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）下列三个问题中的两个变量与之间的函数关系可以用如图表示的是（　　） ①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积与它的宽； ②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程与行驶时间； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量与放水时间． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 5．（24-25八年级下·河北保定·期末）嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（   ） A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B．当时间为时，容器中水的高度为 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）一辆货车从甲地开往乙地，货车的行驶路程为，行驶时间为，行驶速度为，以下函数图象反映该货车匀速行驶的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）一辆货车从地开往地，一辆小汽车从地开往地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（   ） ①两车相遇时，货车离地千米； ②两车相距千米时，或； ③小汽车比货车提前到达目的地； ④小汽车到达目的地时，货车离地千米． A．①②④ B．①② C．②③④ D．①④ 8．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（21-22九年级上·山东淄博·期末）函数中，自变量的取值范围是___________． 10．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知等腰三角形的周长为16，腰长为x，底边长为y，则y与x的函数关系式为__，自变量x的取值范围是__． 11．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）张师傅加工一批零件，每小时加工个数和加工时间如表： 每小时加工个数个 加工时间时 如果每小时加工的个数用表示，加工的时间用表示，则与的关系式为：____________． 12．（24-25八年级下·山西太原·期末）移动公司推出的“动感青春”套餐中流量计费规则如下（每月使用流量为） 不收费 超出的部分按元计费 超出的部分按元计费 则李明月使用流量费用y元与x的函数关系为_________． 三、解答题 13．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图1，已知嘉琪家、体育场、文具店在同一条直线上．周末，嘉琪从家出发，匀速跑步到体育场进行锻炼，锻炼一段时间后匀速步行到文具店，在文具店买作业本后，匀速散步回家．图2给出的图象反映了这个过程中嘉琪离开家的距离与离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)嘉琪家到体育场的距离是___________，她从家到体育场所用的时间是___________； (2)体育场到文具店的距离是___________； (3)嘉琪在文具店买作业本所用的时间是___________； (4)计算嘉琪从文具店回家的速度． 14．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）为加强校际交流，某市甲、乙两所高校联合开展户外徒步行及参观友校校史馆等活动．甲、乙两校相距10千米，甲校队伍从本校出发匀速步行到乙校需2.5小时；乙校队伍从本校出发匀速步行到甲校需2小时．现甲、乙两所高校队伍同时从各自学校出发相向而行到对方学校，两校队伍的距离y（千米）与步行时间x（小时）之间的关系如图所示．请回答下列问题： (1)甲、乙两所高校队伍出发后几小时相遇？ (2)说明点C的实际意义，并求出点C的纵坐标； (3)甲、乙两所高校队伍出发后多少小时相距8.5千米？ 15．（24-25八年级下·江西上饶·期末）小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发沿相同路线先后到达观景点，如图，，分别表示小军与观光车所行的路程与时间之间的关系． 根据图象解决下列问题： (1)观光车出发 分钟追上小军； (2)观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由． 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，地在地的正东方向，某一时刻，乙车从地开往地，小时后，甲车从地开往地，当甲车到达地的同时乙车也到达地．如图，横轴（小时）表示两车的行驶时间（从乙车出发的时刻开始计时），纵轴（千米）表示两车与地的距离． (1)，两地相距______千米； (2)求甲、乙两车相遇时距地多少千米？ 17．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，A，B两地之间有M，C两个景点，秋假期间小云，小敏相约分别从A，B两地同时出发，驾车开往C景点游玩．小云从A地驾车1小时到M景点，先游玩2小时后，又驾车按原速度行驶3小时到达C景点．小敏从B地出发，先以90千米/小时的速度行驶，后又加速，以原速的速度行驶至C景点，比小云早到小时．小云、小敏离C景点的距离S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为______ 千米，图2中______ ，______ ； (2)请求出小敏加速后，S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当小云与小敏之间的距离为450千米时，求t的值； (4)当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时，请直接写出t的取值范围． 知识点02 正比例函数 1.正比例函数的概念 形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫作正比例函数，其中非零常数k称为比例系数，自变量x的取值范围是一切实数. 正比例函数的本质是指y与x的比值是个不为0的常数. 2.正比例函数图象与性质 y=kx（k≠0） 图像 经过的象限 增减性 K>0 经过第一、三象限 经过（0，0）、（1，k）从左往右， 图像是上升的； y随x增大而增大 K<0 经过第二、四象限 经过（0，0）、（1，k）从左往右， 图像是下降的； y随x增大而减小 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·山西·期末）已知正比例函数（）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A．B．C．D． 2．（24-25八年级下·黑龙江·期末）、是正比例函数图象上的两点，下列判断中，正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 3．（24-25八年级下·山西·期末）已知点，，都在经过原点的同一条直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）已知与成正比，当时，，那么当时，的值为（   ） A．4 B． C．6 D． 5．（24-25八年级下·河北邢台·期末）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值可以是（    ） A．2 B． C．1 D． 6．（24-25八年级下·云南德宏·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．y随x的增大而减小 C．图象必经过点 D．图象经过第二、三、四象限 二、填空题 7．（20-21八年级上·上海金山·期中）若函数是正比例函数，且图像经过一、三象限，则_______． 8．（19-20八年级上·全国·课后作业）如图，三个正比例函数的图象分别对应的表达式是，将a，b，c按从大到小的顺序排列，并用“>”连接：________． 三、解答题 9．（24-25八年级下·河南周口·期末）已知正比例函数的图象经过第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若点，是该正比例函数图象上的两点，试比较、的大小． 10．（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）已知正比例函数． (1)若它的图象经过第二、四象限，求k的取值范围． (2)若点在它的图象上，求它的解析式． 1. 一次函数的概念知识点03 一次函数的图像与性质 一般地，形如y=kx+b（k≠0）的函数，叫作一次函数； 2. 一次函数的图象与性质 （1）k>0 直线y=kx+b必过第一、三象限，图象自左向右是上升的，y随x增大而增大； （2）k<0 直线y=kx+b必过第二、四象限，图象自左向右是下降的，y随x增大而减小； 其中b叫作一次函数的截距. 若b>0,则与y轴交于正半轴，若b<0,则与y轴交于负半轴； 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）一次函数的图象不经过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 2．（24-25八年级下·上海·期末）已知一次函数，如果函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·吉林·期末）若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则、的取值范围为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，一次函数的图象，则k、b的符号是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）将直线向下平移个单位长度后所得直线的解析式是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知点，，都在直线上，则、、的值大小关系（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图像大致是（    ） A．B．C． D． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·月考）正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（   ） A．B．C． D． 二、填空题 9．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）将直线向上平移2个单位，所得直线的函数表达式是__________. 10．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）一次函数图象不经过第二象限，则_____0，_____0． 11．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）若一次函数的图象与直线平行，且与轴交于，则该一次函数的解析式为___________． 12．（24-25八年级下·上海·期末）直线的截距是_________． 13．（24-25八年级下·上海·期末）如果一次函数的图像与x轴的交点在轴的正半轴上，那么m的取值范围是_________． 14．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）若点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是 （填“”或“”）． 三、解答题 15．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点与点． (1)求此一次函数的解析式，并在坐标系中画出它的图象； (2)若设点为此一次函数图象与轴的交点，求的面积． 16．（24-25八年级上·北京·期末）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行． (1)求该一次函数的解析式； (2)试判断点是否在此函数图象上，说明理由． 17．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，点，． (1)求直线的解析式； (2)将直线向下平移4个单位后得到直线l，求直线l 与坐标轴的交点坐标． 18．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）直线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)如图1，点C是y轴正半轴上一点，若是以为底的等腰三角形，求点C的坐标； (3)如图2，点D是x轴上一点，，求点D的坐标. 知识点04 一次函数与方程和不等式 1.一次函数与方程、不等式的关系 如图所示，直线y=kx+b与x轴交于点P，则 （1） P点的横坐标x=m就是方程kx+b=0的解； （2） 直线y=kx+b在x轴上方的部分（图中红线）它所对应的x的范围（x>m）就是不等式kx+b>0的解集; （3） 直线y=kx+b在x轴下方的部分（图中蓝线）它所对应的x的范围（x<m）就是不等式kx+b<0的解集; 2.两条直线相交（一次函数与一次方程组和不等式组的关系） 如图所示， （1） 两条直线交于点P（m,n），表示方程组的解是； （2） 直线x=m右侧部分的图像表示，当自变量x>m时，无论x取何值，一定大于； （3） 直线x=m左侧部分的图像表示，当自变量x<m时，无论x取何值，一定小于； 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图直线与的图象，则关于的不等式的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建漳州·期末）将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到一次函数的图象，下列结论中错误的是（    ）． A． B．一次函数的图象经过点 C．对于一次函数，当时， D．若点，均在一次函数的图象上，则 4．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）如图，一次函数和的图象交于点，则关于的方程组解为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）直线与两坐标轴的交点如图所示，当时，的取值范围是______． 7．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，是函数与的图象，则关于x的不等式的解集是___________． 8．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则关于x的方程的解为_________． 三、解答题 9．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点直线与轴交于点，与轴交于点，且与一次函数的图象交于点． (1)直接写出的值______； (2)求一次函数的解析式； (3)已知点是线段上一点，且，求的坐标． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线分别与轴交于点，，两直线交于点． (1)求点P的坐标及的面积； (2)利用图象直接写出当时，x取值范围． 知识点05 一次函数的应用 在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系就是函数关系，在分析问题时一定要注意能够体现规律的关键词，运用一次函数解决实际问题的具体步骤是： 1.判断模型：根据题意（如“匀速”、“固定单价”）或表格数据（等量增加/减少）判断是一次函数（ ）。 2.建立模型：利用表格中的两组数据代入，求出表达式。 3.运用模型：将已知的 或 值代入解析式，求出结果，并结合实际背景（如时间、最大容量）进行检验结果的合理性。 真题汇编 在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系就是函数关系，在分析问题时一定要注意能够体现规律的关键词，运用一次函数解决实际问题的具体步骤是： 1.判断模型：根据题意（如“匀速”、“固定单价”）或表格数据（等量增加/减少）判断是一次函数（ ）。 2.建立模型：利用表格中的两组数据代入，求出表达式。 3.运用模型：将已知的 或 值代入解析式，求出结果，并结合实际背景（如时间、最大容量）进行检验结果的合理性。 知识点06 一次函数与几何综合 点的坐标与距离的关系是函数与几何综合的核心，点的横坐标的绝对值等于点到y轴距离，点的纵坐标的绝对值是点到x轴距离。函数与几何的综合题，关键就要能进行坐标与距离的等价转换. 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，，，若点的横坐标是8，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与直线交于点C，点P在直线上，且的面积被y轴平分，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，点的横坐标为4，点在线段上，则三角形的面积为（   ） A． B．5 C． D． 4．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，边长为2，若直线与正方形有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点、． （1）若，则点的坐标为__________； （2）一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．点在轴上运动，当为直角三角形时，点的坐标为__________． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，一次函数的图象分别交轴正半轴于点，交轴正半轴于点．作的平分线交轴于点，点在轴上，点在射线上，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为______． 7．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，矩形的顶点在坐标原点，边、分别在、轴正半轴上，，，是中点，在轴上移动，将沿翻折至．当的长最小时，此时点的坐标为________． 8．（2024·广东·模拟预测）如图，点，……在x轴上，点A在y轴上，轴，轴，交点为点C，直线经过原点O和点C；点是的中点， ，轴，轴，直线经过点O和点；点是的中点， ，轴，轴，直线经过点O和点……以此类推，若点，则直线的解析式为_______． 9．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．一次函数的图象为，且，，可以围成三角形，那么k的取值范围是_______． 10．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点坐标分别为，直线l：． （1）当直线l经过点D时，k的值为______； （2）当直线l与菱形的边有公共点时，k的取值范围为______． 三、解答题 11．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，直线：与坐标轴交于C、D两点，l1与l2交于点，． (1)用待定系数法求直线的解析式； (2)F是直线上一点，若，求点F的坐标； (3)点P是直线上一点，将点P沿直线l2翻折得到点Q．问：是否存在点Q使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 12．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点． (1)分别求点的坐标； (2)连接求的面积； (3)动点在直线上，点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）如图1，直线交x轴、y轴分别于点A、B，直线与x轴交于点C，与直线交于点D，． (1)求直线的解析表达式； (2)点P为射线上的一点，若，在x轴上存在一点E，使最小，求点E坐标和最小值； (3)如图2，将直线向上平移3个单位得到直线，在上存在一动点M，y轴上一点N，使得以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点N坐标． 14．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在线段上，当，求点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为，求点的坐标； ②连接，如图2，若，求点的坐标． 16．（24-25八年级下·四川南充·期末）在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C是直线与x轴、y轴的交点，D是x轴上一点，将矩形沿折叠，点O恰好落在上． (1)求点D的坐标； (2)点M在第一象限，若是等腰直角三角形，直接写出点M的坐标； (3)若是（2）中以为斜边的等腰直角三角形，点N在第一象限，的面积为3，求的周长最小时，点N的坐标和的面积． 17．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，． (1)求的面积． (2)C为延长线上的一点，连接，以和为直角边作等腰直角三角形，若，求直线的解析式 (3)点E在坐标平面内，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出符合条件的点E的坐标． 18．（24-25八年级下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴相交于A、B两点，直线与x轴、y轴相交于C、D两点，与直线l交于点E． (1)求E点的坐标； (2)点P在射线上，使得的面积等于面积的2倍．求出P点的坐标；直线上有两动点G，H（G在H下方），，求的最小值． (3)作点O关于直线的对称点，点M为直线上一动点，在y轴上是否存在一点N，使得是以M为直角顶点的等腰直角三角形．若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期末总复习讲义 第4课 一次函数 知识点梳理 考点01变量与函数 考点02 正比例函数的图像与性质 考点03 一次函数的图像与性质 考点04一次函数与方程、不等式的关系 考点05一次函数应用题 考点06一次函数几何综合 知识点01 变量与函数 1.常量与变量 在考察某个问题的过程中，保持数值不变的量称为常量；可以取不同数值的量称为变量. 2. 自变量与函数 一般地，若在某个变化过程中有两个变量，设为x和y.当x在取值范围内变化时，y随着x的变化而变化；当x的值确定时，y的值也随之唯一确定.变量y关于变量x的这种依赖关系叫作函数，或者说变量y是变量x的函数，x称为自变量. 确定是否存在函数关系的条件： (1)某一变化过程中有两个变量. (2)两个变量之间有确定的依赖关系，其中一个变量x的变化引起另一个变量y的变化. (3)自变量x在取值范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应. 3.自变量的取值范围 ①自变量所在的代数式子有意义；②符合实际意义. 4.函数的表现形式 ①表达式 ②列表法 ③图象法 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·海南·期中）函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式函数自变量的取值范围，用到的知识点为分式的分母不为0，只需令分母不等于0求解即可． 【详解】解：∵该函数是分式，分式的分母不能为0， ∴， 解得， 即自变量的取值范围是． 2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）下列各曲线中，表示是的函数的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应． 【详解】解：A．对于的每一个确定的值，可能有两个值，故不是的函数，不符合题意； B．对于的每一个确定的值，可能有多个值，故不是的函数，不符合题意； C．对于的每一个确定的值，可能有两个值，故不是的函数，不符合题意； D．对于的每一个确定的值，只有一个值，故是的函数，符合题意． 3．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中剩余的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少．已知该汽车平均每千米耗油．当时，与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，与的函数关系式为． 4．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）下列三个问题中的两个变量与之间的函数关系可以用如图表示的是（　　） ①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积与它的宽； ②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程与行驶时间； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量与放水时间． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】①根据长方形的面积公式判断即可得到答案； ②根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可； ③根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可． 【详解】解：用长度一定的绳子围成一个长方形，长方形的面积y与一边长x，长方形的长宽之间存在关系，可以用x表示另一边长，根据面积公式得到的不是一次函数，故①不符合题意； 汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故②符合题意； 将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故③符合题意． 5．（24-25八年级下·河北保定·期末）嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（   ） A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B．当时间为时，容器中水的高度为 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 【答案】B 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表格数据发现时间每增加，水的高度增加，再逐项判断即可． 【详解】解：∵由表格数据，可知上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，其中容器中水的高度是因变量，时间是自变量，时间每增加，水的高度增加， 时间时，水的高度； 当时，； ∴选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）一辆货车从甲地开往乙地，货车的行驶路程为，行驶时间为，行驶速度为，以下函数图象反映该货车匀速行驶的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BB 【分析】本题考查了函数图象的识别，该货车匀速行驶时，行驶速度不变，由此即可得出结果． 【详解】解：∵该货车匀速行驶时，行驶速度不变， ∴反映该货车匀速行驶的是B． 7．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）一辆货车从地开往地，一辆小汽车从地开往地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（   ） ①两车相遇时，货车离地千米； ②两车相距千米时，或； ③小汽车比货车提前到达目的地； ④小汽车到达目的地时，货车离地千米． A．①②④ B．①② C．②③④ D．①④ 【答案】B 【分析】先根据函数图象与行程问题的关系，求出A、B两地全程距离、货车与小汽车的行驶速度，再结合速度、时间、路程的关系，逐一验证题目中的四个说法是否正确，最终确定正确选项． 【详解】解：设货车速度为千米/小时，小汽车速度为千米/小时． 两车在小时相遇， ． ， 小汽车从B到A用时2小时， 千米/小时， 千米/小时． 两车相遇时，货车行驶路程：千米， 货车离B地距离：千米，故①正确． 相遇前相距80千米：， 解得； 相遇后相距80千米：， 解得，故②正确． 货车到达A地用时：小时， 小汽车到达用时2小时， 小时，即小汽车比货车提前1小时到达，故③错误． 小汽车到达目的地时（），货车行驶路程：千米， 货车离A地100千米，故④错误． 综上，①②正确． 8．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分三个过程：当水的高度不高于小水杯的高度，当小水杯没有装满水，小水杯装满水，分别分析出高度与时间的关系即可得到答案． 【详解】解：当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高度前，水杯内水面的高度为非0的定值，故选项A、D不合题意；当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高度后，水杯内水面的高度逐渐增大，当水杯内水面的高度达到水杯高度时，水杯内水面的高度不再增加，故选项B符合题意；选项C不合题意； 二、填空题 9．（21-22九年级上·山东淄博·期末）函数中，自变量的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件， 根据分式有意义和二次根式有意义的条件可得，求出解集即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴分母，且被开方数，但分母不为零，故， 即， 解得． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知等腰三角形的周长为16，腰长为x，底边长为y，则y与x的函数关系式为__，自变量x的取值范围是__． 【答案】 / 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定x的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵两边之和大于第三边， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：，． 11．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）张师傅加工一批零件，每小时加工个数和加工时间如表： 每小时加工个数个 加工时间时 如果每小时加工的个数用表示，加工的时间用表示，则与的关系式为：____________． 【答案】 【分析】本题考查了列函数关系式，通过观察表格数据，发现每小时加工个数与加工时间的乘积恒为600，即可得到，再变形即可求解． 【详解】解：由表格数据可得， 所以关系式为 ， 故答案为 ． 12．（24-25八年级下·山西太原·期末）移动公司推出的“动感青春”套餐中流量计费规则如下（每月使用流量为） 不收费 超出的部分按元计费 超出的部分按元计费 则李明月使用流量费用y元与x的函数关系为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查函数，根据计费规则即可求得答案． 【详解】根据题意得：当时， 即 三、解答题 13．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图1，已知嘉琪家、体育场、文具店在同一条直线上．周末，嘉琪从家出发，匀速跑步到体育场进行锻炼，锻炼一段时间后匀速步行到文具店，在文具店买作业本后，匀速散步回家．图2给出的图象反映了这个过程中嘉琪离开家的距离与离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)嘉琪家到体育场的距离是___________，她从家到体育场所用的时间是___________； (2)体育场到文具店的距离是___________； (3)嘉琪在文具店买作业本所用的时间是___________； (4)计算嘉琪从文具店回家的速度． 【答案】(1)3；15 (2) (3)20 (4) 【分析】本题主要考查了从函数图象中获得信息，解题的关键是熟练掌握函数图象的特点． （1）根据函数图象直接得出嘉琪家到体育场的距离，从家到体育场所用的时间即可； （2）根据函数图象得出体育场到文具店的距离即可； （3）根据函数图象得出嘉琪在文具店买作业本所用的时间即可； （4）根据速度路程时间，求出嘉琪从文具店回家的速度即可． 【详解】（1）解：嘉琪家到体育场的距离是，她从家到体育场所用的时间是； （2）解：体育场到文具店的距离是； （3）解：嘉琪在文具店买作业本所用的时间是； （4）解：， 嘉琪从文具店回家的速度为． 14．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）为加强校际交流，某市甲、乙两所高校联合开展户外徒步行及参观友校校史馆等活动．甲、乙两校相距10千米，甲校队伍从本校出发匀速步行到乙校需2.5小时；乙校队伍从本校出发匀速步行到甲校需2小时．现甲、乙两所高校队伍同时从各自学校出发相向而行到对方学校，两校队伍的距离y（千米）与步行时间x（小时）之间的关系如图所示．请回答下列问题： (1)甲、乙两所高校队伍出发后几小时相遇？ (2)说明点C的实际意义，并求出点C的纵坐标； (3)甲、乙两所高校队伍出发后多少小时相距8.5千米？ 【答案】(1) (2)点表示乙校队伍到达甲校时，甲乙两校队伍距离，点的纵坐标为； (3)甲、乙两所高校队伍出发后小时或小时相距8.5千米． 【分析】本题考查从函数图象中获取信息，一元一次方程的基本应用，能够从图象中准确获取信息是解题关键； （1）先求出甲、乙两所高校队伍的速度，然后利用路程与速度时间之间的关系即可求解； （2）根据横纵坐标表示的意义即可知道点表示的实际意义； （3）分相遇前和相遇后两种情况列方程解答即可． 【详解】（1）解：∵甲校队伍从本校出发匀速步行到乙校需2.5小时；乙校队伍从本校出发匀速步行到甲校需2小时， ∴甲校队伍的速度： 千米/小时， 乙校队伍的速度： 千米/小时， ∴两校队伍相遇的时间为：； （2）解：∵乙校队伍到甲校的时间为， ∴此时甲校队伍步行的路程为：， ∵图象表示两校队伍的距离y（千米）与步行时间x（小时）之间的关系， ∴点表示乙校队伍到达甲校时，甲乙两校队伍距离，点的纵坐标为； （3）解：设甲、乙两所高校队伍出发后小时相距8.5千米， 两校队伍相遇前， ，解得 ； 两校队伍相遇后， ，解得 ； ∴甲、乙两所高校队伍出发后小时或小时相距8.5千米． 15．（24-25八年级下·江西上饶·期末）小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发沿相同路线先后到达观景点，如图，，分别表示小军与观光车所行的路程与时间之间的关系． 根据图象解决下列问题： (1)观光车出发 分钟追上小军； (2)观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由． 【答案】(1) (2)观光车比小军早分钟到达观景点，理由见解析 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由图象可得，观光车和小军在分钟时相遇，观光车在分钟时出发，由此计算即可得解； （2）先求出观光车的速度，再求出观光车到达观景点的时间，由此即可得解． 【详解】（1）解：由图象可得：（分钟）， 故观光车出发分钟追上小军； （2）解：观光车比小军早分钟到达观景点，理由如下： 由图象可得，观光车的速度为：， 观光车到达观景点的时间为（分钟）， （分钟）， 故观光车比小军早分钟到达观景点． 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，地在地的正东方向，某一时刻，乙车从地开往地，小时后，甲车从地开往地，当甲车到达地的同时乙车也到达地．如图，横轴（小时）表示两车的行驶时间（从乙车出发的时刻开始计时），纵轴（千米）表示两车与地的距离． (1)，两地相距______千米； (2)求甲、乙两车相遇时距地多少千米？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，从函数图象获取信息，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （）观察函数图象，当时，由此可得出，两地相距千米； （）利用速度路程速度，可分别求出甲、乙两车的速度，设甲、乙两车相遇时距地千米，利用时间路程速度，结合相遇时乙车比甲车多用小时，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，， ∴，两地相距千米， 故答案为：； （2）解：甲车的速度为（千米小时），乙车的速度为（千米小时）， 设甲、乙两车相遇时距地千米， 根据题意得：， 解得：， 答：两车相遇时距地千米． 17．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，A，B两地之间有M，C两个景点，秋假期间小云，小敏相约分别从A，B两地同时出发，驾车开往C景点游玩．小云从A地驾车1小时到M景点，先游玩2小时后，又驾车按原速度行驶3小时到达C景点．小敏从B地出发，先以90千米/小时的速度行驶，后又加速，以原速的速度行驶至C景点，比小云早到小时．小云、小敏离C景点的距离S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为______ 千米，图2中______ ，______ ； (2)请求出小敏加速后，S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当小云与小敏之间的距离为450千米时，求t的值； (4)当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)；240； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据时的函数值可得的长，进而可得的长；根据速度等于路程除以时间可求出小云的速度，进而求出小云1小时行驶的路程可得a的值；根据小敏比小云早到小时可求出b的值； （2）设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时，根据路程等于速度乘以时间分别表示出加速前和加速后小敏的路程，进而建立方程求出的值即可得到答案； （3）求出和时二人的距离，可确定当小云与小敏之间的距离为450千米时，，据此建立方程求解即可； （4）求出时二人的距离，可确定当二人相距时，，据此求出当二人相距时t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，， ∴； 由题意得，小云一共花了小时到达C景点，且驾车的时间为小时， ∴小云的速度为， ∴小云驾车1小时的路程为， ∴； ∵小敏比小云早到小时， ∴小敏一共花了小时到达C景点， ∴； （2）解：设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时， 由题意得，， 解得， ∴小敏加速前行驶了2小时， ∴小敏加速前一共行驶了， ∴小敏加速后，S与t的函数关系式为； （3）解：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴当小云与小敏之间的距离为450千米时，， ∴， 解得； （4）解：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴由（2）可知，当二人相距时，， 则当二人相距时， 解得， ∴当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时． 知识点02 正比例函数 1.正比例函数的概念 形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫作正比例函数，其中非零常数k称为比例系数，自变量x的取值范围是一切实数. 正比例函数的本质是指y与x的比值是个不为0的常数. 2.正比例函数图象与性质 y=kx（k≠0） 图像 经过的象限 增减性 K>0 经过第一、三象限 经过（0，0）、（1，k）从左往右， 图像是上升的； y随x增大而增大 K<0 经过第二、四象限 经过（0，0）、（1，k）从左往右， 图像是下降的； y随x增大而减小 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·山西·期末）已知正比例函数（）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】先根据正比例函数的增减性，判断的正负性，分析一次函数中和的正负性，从而确定一次函数的图象经过的象限，进而匹配对应选项． 【详解】∵正比例函数中，随的增大而增大， ∴． ∴一次函数图象从左下向右上倾斜，直接排除选项C、D． ∵， ∴， ∴一次函数与轴的交点在轴负半轴，排除选项A． 因此符合条件的图像是选项B． 2．（24-25八年级下·黑龙江·期末）、是正比例函数图象上的两点，下列判断中，正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据正比例函数解析式判断增减性，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵正比例函数中，比例系数， ∴随的增大而增大， 选项A、B未给出与的大小关系，无法判断与的大小，因此A、B错误； 当时，根据函数增减性可得，因此C正确，D错误． 3．（24-25八年级下·山西·期末）已知点，，都在经过原点的同一条直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义和性质，设经过原点的直线解析式为，代入点C求出的值，再利用正比例函数的性质求出，，比较大小即可得出结论． 【详解】解：设经过原点的直线解析式为， 代入，得，解得， ∴直线解析式为， 当时，； 当时，； ∵ ∴， 故选：B． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）已知与成正比，当时，，那么当时，的值为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键，根据与成正比，设，利用已知条件求，再代入求解． 【详解】解：∵与成正比， ∴ 设， 当时，， ∴ 解得：， ∴， ∴当时，即， 解得：． 故选：D． 5．（24-25八年级下·河北邢台·期末）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值可以是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据正比例函数图象的性质，当比例系数时，图象经过第二、第四象限，解答即可． 本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象是一条过原点的直线， 当时，图象经过第二、第四象限， ∴的值可以是， 故选：D． 6．（24-25八年级下·云南德宏·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．y随x的增大而减小 C．图象必经过点 D．图象经过第二、三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象及性质，根据正比例函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、正比例函数的图象是一条直线，故本选项的结论错误； B、y随x的增大而增大，故本选项的说法错误； C、当时，， ∴图象必经过点，故本选项的说法正确； D、图象经过第一、三象限，故本选项的说法错误． 故选：C 二、填空题 7．（20-21八年级上·上海金山·期中）若函数是正比例函数，且图像经过一、三象限，则_______． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义与性质，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． 根据自变量的次数等于1，系数大于0，列式求解即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数，且图像经过一、三象限， ∴且， 即且， ∴． 故答案为：． 8．（19-20八年级上·全国·课后作业）如图，三个正比例函数的图象分别对应的表达式是，将a，b，c按从大到小的顺序排列，并用“>”连接：________． 【答案】 【分析】根据正比例函数的性质，当时，函数图象经过一、三象限，且的绝对值越大，直线越靠近轴； 当时，函数图象经过二、四象限.通过观察图象所在象限以及直线的陡峭程度来比较、、的大小． 【详解】解：对于和，它们的图象经过一、三象限，所以，，又因为的图象比的图象更靠近轴，所以． 对于，它的图象经过二、四象限，所以． 综上，． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，解题关键是根据正比例函数图象所在象限以及直线的陡峭程度判断比例系数的大小． 三、解答题 9．（24-25八年级下·河南周口·期末）已知正比例函数的图象经过第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若点，是该正比例函数图象上的两点，试比较、的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，解答关键是熟练掌握正比例函数的性质：当时，图象经过第一、三象限，当时，图象经过第二、四象限． （1）根据正比例函数的图象与性质解即可； （2）根据正比例函数图象的增减性作答即可． 【详解】（1）解：正比例函数的图象经过第二、四象限， 解得； （2）解：由（1）知，，则正比例函数中y的值随x的增大而减小， 点，是该正比例函数图象上的两点， ， ． 10．（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）已知正比例函数． (1)若它的图象经过第二、四象限，求k的取值范围． (2)若点在它的图象上，求它的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． （1）根据函数图象经过第二、四象限，可得，即可求解； （2）将点代入函数解析式中，待定系数法求解析式即可求解． 【详解】（1）解：函数图象经过第二、四象限 ∴，即k的取值范围是； （2）将点代入函数解析式中，得：， 解得：， 所以正比例函数解析式为． 1. 一次函数的概念知识点03 一次函数的图像与性质 一般地，形如y=kx+b（k≠0）的函数，叫作一次函数； 2. 一次函数的图象与性质 （1）k>0 直线y=kx+b必过第一、三象限，图象自左向右是上升的，y随x增大而增大； （2）k<0 直线y=kx+b必过第二、四象限，图象自左向右是下降的，y随x增大而减小； 其中b叫作一次函数的截距. 若b>0,则与y轴交于正半轴，若b<0,则与y轴交于负半轴； 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）一次函数的图象不经过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】对于一次函数（k、b为常数，），当时，的图象经过第二、三、四象限，据此可得答案． 【详解】解：，， 一次函数图象经过第二、三、四象限， 图象不经过第一象限． 2．（24-25八年级下·上海·期末）已知一次函数，如果函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质与系数的关系，先将函数整理为标准一次函数形式，再根据随增大而减小的性质列不等式求解即可． 【详解】首先整理一次函数得 一次函数随的增大而减小， 一次项系数， 解不等式得． 故选C． 3．（24-25八年级下·吉林·期末）若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则、的取值范围为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】当时，若，则图象经过一、二、三象限；若，则图象经过一、三、四象限；当时，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限． 【详解】一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，． 4．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，一次函数的图象，则k、b的符号是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】一次函数的图象和性质：①当，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限． 【详解】解：由图象可知，一次函数图象经过第一、二、四象限， 则，． 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）将直线向下平移个单位长度后所得直线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用“上加下减”的平移规则即可求解，向下平移不改变一次项系数，只改变常数项． 【详解】解：将直线向下平移4个单位长度后，所得解析式为． 整理得． 6．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知点，，都在直线上，则、、的值大小关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据一次函数的增减性，结合已知点的横坐标大小关系，判断y值的大小顺序即可． 【详解】解：∵直线中，， ∴y随着x的增大而减小． ∵， ∴． 故选：B． 7．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，分和两种情况，判断函数与图象所经过的象限，即可求解． 【详解】解：当时，函数的图象经过第一、二、四象限，的图像经过第一、三象限， 选项C满足条件； 当时，函数的图象经过第二、三、四象限，的图像经过第二、四象限， 四个选项均不满足； 故选：C． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·月考）正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，正确判断k的大小是解决本题的关键． 根据正比例函数的函数值随的增大而减小，可以判断；再根据判断出的图象的大致位置即可． 【详解】解：正比例函数的函数值随的增大而减小， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限． 故选：B． 二、填空题 9．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）将直线向上平移2个单位，所得直线的函数表达式是__________. 【答案】 【分析】根据“左加右减，上加下减”解答即可，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：直线向上平移个单位，所得直线的函数表达式为． 10．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）一次函数图象不经过第二象限，则_____0，_____0． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象性质，结合图象不经过第二象限的条件，分别判断系数和的符号即可． 【详解】解：一次函数， 当时，直线呈下降趋势，无论取何值，图象一定经过第二象限，不符合题意， ∴； 当时，直线呈上升趋势， 若，一次函数图象与轴交于正半轴，图象经过第一、二、三象限，不符合题意； 若，一次函数图象过原点，只经过第一、三象限，不经过第二象限，符合题意； 若，一次函数图象与轴交于负半轴，图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，符合题意， ∴； 综上所述，，． 11．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）若一次函数的图象与直线平行，且与轴交于，则该一次函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】根据两直线平行得到，与轴交于得到． 【详解】解：一次函数的图象与直线平行，且与轴交于， ，， 该一次函数的解析式为． 12．（24-25八年级下·上海·期末）直线的截距是_________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数截距的定义，截距是一次函数图象与轴交点的纵坐标，根据定义代入计算即可求解． 【详解】解：当时，代入得． 13．（24-25八年级下·上海·期末）如果一次函数的图像与x轴的交点在轴的正半轴上，那么m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先求出一次函数与x轴交点的横坐标，再根据交点在正半轴列出不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：x轴上点的纵坐标为0，令，得， 解得， 因为一次函数的图象与x轴的交点在正半轴上， 所以， 根据不等式的基本性质，不等式两边同乘正数2，不等号方向不变，得， 解得：． 14．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）若点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是 （填“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵在一次函数中，比例系数， ∴随的增大而增大， 又∵， ∴． 三、解答题 15．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点与点． (1)求此一次函数的解析式，并在坐标系中画出它的图象； (2)若设点为此一次函数图象与轴的交点，求的面积． 【答案】(1)，画图见解析 (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，画一次函数的图象，求一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握求一次函数的解析式及画一次函数的图象是关键． （1）先用待定系数法求一次函数的解析式，再经过，两点作直线即可； （2）先求出一次函数与x轴的交点坐标，再计算三角形的面积即可． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 将，代入，得， 解得， 一次函数的解析式为； 经过，两点作直线，如图所示： （2）解：令，则， 解得， ， ， ， ， 在中，的面积为． 16．（24-25八年级上·北京·期末）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行． (1)求该一次函数的解析式； (2)试判断点是否在此函数图象上，说明理由． 【答案】(1) (2)点不在此函数图象上，理由见解析 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数值，一次函数图象的平移问题，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得，再利用待定系数法求解即可； （2）求出时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数与直线平行， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴，即， ∴， ∴该一次函数解析式为； （2）解：点不在此函数图象上，理由如下： 在中，当时，， ∴点不在此函数图象上． 17．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，点，． (1)求直线的解析式； (2)将直线向下平移4个单位后得到直线l，求直线l 与坐标轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，平移的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得平移后的直线解析式，然后求出直线与坐标轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式的解析式为， 将点，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵将直线向下平移4个单位后得到直线l，                               ∴直线l解析式为，               令，得；令，得； 直线l与坐标轴的交点坐标是、． 18．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）直线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)如图1，点C是y轴正半轴上一点，若是以为底的等腰三角形，求点C的坐标； (3)如图2，点D是x轴上一点，，求点D的坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)点D的坐标为或． 【分析】本题考查一次函数综合题、勾股定理、待定系数法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题． （1）利用待定系数法求出点、坐标即可解决问题； （2）设，则，即，在中，根据，构建方程即可解决问题； （3）如图，当点在轴的负半轴上时，根据条件只要证明，即可解决问题；再根据对称性确定坐标； 【详解】（1）解：当时，；当时，； 则，； （2）解：设， 则． 在中，由勾股定理得， ， 解得， ； （3）解：如图2，当点D在x轴负半轴上时， 可得， ， ， 则； 由对称性可知，当点D在x轴正半轴上时，， ∴点D的坐标为或． 知识点04 一次函数与方程和不等式 1.一次函数与方程、不等式的关系 如图所示，直线y=kx+b与x轴交于点P，则 （1） P点的横坐标x=m就是方程kx+b=0的解； （2） 直线y=kx+b在x轴上方的部分（图中红线）它所对应的x的范围（x>m）就是不等式kx+b>0的解集; （3） 直线y=kx+b在x轴下方的部分（图中蓝线）它所对应的x的范围（x<m）就是不等式kx+b<0的解集; 2.两条直线相交（一次函数与一次方程组和不等式组的关系） 如图所示， （1） 两条直线交于点P（m,n），表示方程组的解是； （2） 直线x=m右侧部分的图像表示，当自变量x>m时，无论x取何值，一定大于； （3） 直线x=m左侧部分的图像表示，当自变量x<m时，无论x取何值，一定小于； 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图直线与的图象，则关于的不等式的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点横坐标为，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为． 2．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴点的坐标同时满足两个直线的解析式， ∴方程组的解是． 3．（25-26八年级上·福建漳州·期末）将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到一次函数的图象，下列结论中错误的是（    ）． A． B．一次函数的图象经过点 C．对于一次函数，当时， D．若点，均在一次函数的图象上，则 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移问题，一次函数的性质，掌握好平移规律是关键． 根据平移规律确定的值得到解析式，再逐一验证各选项找出错误结论即可． 【详解】解：正比例函数的图象向上平移个单位长度，根据“上加下减”的平移规律， ∴得到的一次函数解析式为，即， 对于选项A：由上述推导得，此选项正确，不符合题意； 对于选项B：将代入，得， ∴图象经过点，此选项正确，不符合题意； 对于选项C：∵在中，， ∴随的增大而减小； 又∵当时，， ∴当时，，此选项正确，不符合题意； 对于选项D：∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴，此选项错误，符合题意． 故选：D． 4．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）如图，一次函数和的图象交于点，则关于的方程组解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，关键知识点为：两个一次函数图象的交点坐标，就是对应的二元一次方程组的解．据此即可求解． 【详解】解：∵一次函数和的图象交于点， ∴关于的方程组的解就是交点的坐标， 即， 故选：A． 5．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在轴的上方，再写出对应的取值范围即可． 【详解】解：由一次函数的图象可知， 当时，， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）直线与两坐标轴的交点如图所示，当时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据直线的图象可直接得到直线在轴下方时对应的取值范围来求解． 【详解】解：从图象可知直线与轴交点的横坐标为2，当时，即直线图象在轴下方的部分，对应的自变量取值范围是． 7．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，是函数与的图象，则关于x的不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】直接利用函数图象，结合，得出x的取值范围． 【详解】解：∵交点坐标可知，当时，函数的图象位于函数的图象的上方， ∴不等式的解集为 8．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则关于x的方程的解为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系求解即可． 【详解】解：∵由函数图象可知：直线：与直线：的交点的横坐标为， ∴关于x的方程的解为． 三、解答题 9．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点直线与轴交于点，与轴交于点，且与一次函数的图象交于点． (1)直接写出的值______； (2)求一次函数的解析式； (3)已知点是线段上一点，且，求的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点P的横坐标代入，即可求出n． （2）利用待定系数法求一次函数解析式即可． （3）先求出点A和点C的坐标，，求出，设，最后根据代入求解出x，进而可求出点H的坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 故答案为：； （2）解：由（1）可知， 把点和点的坐标代入得， 解得， 一次函数的解析式为； （3）解：令，则，解得， ，解得， ，， ， ， 设， 则， ， ， 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线分别与轴交于点，，两直线交于点． (1)求点P的坐标及的面积； (2)利用图象直接写出当时，x取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图象与性质以及一次函数和一元一次不等式和二元一次方程组的关系，准确求出各点坐标是解题关键． （1）先分别求出点坐标，即可求解，然后联立两直线的表达式求出点，再由三角形面积公式求解的面积； （2）时，不等式的解集即为直线在直线下方时对应的取值范围． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得：，所以 把代入中得：， 解得：，所以， 所以， 联立与得，， 解得， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以由图象可得当时，； 知识点05 一次函数的应用 在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系就是函数关系，在分析问题时一定要注意能够体现规律的关键词，运用一次函数解决实际问题的具体步骤是： 1.判断模型：根据题意（如“匀速”、“固定单价”）或表格数据（等量增加/减少）判断是一次函数（ ）。 2.建立模型：利用表格中的两组数据代入，求出表达式。 3.运用模型：将已知的 或 值代入解析式，求出结果，并结合实际背景（如时间、最大容量）进行检验结果的合理性。 真题汇编 在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系就是函数关系，在分析问题时一定要注意能够体现规律的关键词，运用一次函数解决实际问题的具体步骤是： 1.判断模型：根据题意（如“匀速”、“固定单价”）或表格数据（等量增加/减少）判断是一次函数（ ）。 2.建立模型：利用表格中的两组数据代入，求出表达式。 3.运用模型：将已知的 或 值代入解析式，求出结果，并结合实际背景（如时间、最大容量）进行检验结果的合理性。 知识点06 一次函数与几何综合 点的坐标与距离的关系是函数与几何综合的核心，点的横坐标的绝对值等于点到y轴距离，点的纵坐标的绝对值是点到x轴距离。函数与几何的综合题，关键就要能进行坐标与距离的等价转换. 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，，，若点的横坐标是8，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行四边形性质与一次函数的综合应用，解决本题的关键在于利用点在直线上求出其坐标，再结合，确定点坐标． 本题可先根据点的横坐标求出其纵坐标，再根据求出的长度，最后结合确定点的坐标． 【详解】解：已知点在直线上，且点的横坐标是， 将代入直线方程可得：，即点， ∴， ∴，且，在轴负半轴上， ∴垂直于轴， ∴点的纵坐标与点相同，即为， 又∵，即点的横坐标为． 因此，点的坐标为． 故选：B． 2．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与直线交于点C，点P在直线上，且的面积被y轴平分，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用．先求出，再根据的面积被y轴平分，得出点P与点A的横坐标互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：当时，， 解得， 则， 作点A关于y轴的对称点，则 ∵的面积被y轴平分， ∴点P的横坐标为，如图，Q为与y轴的交点，则Q为的中点， ∵点P在直线上， ∴点P的坐标为． 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，点的横坐标为4，点在线段上，则三角形的面积为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与几何图形面积问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键，根据两点求得函数解析式，再求出点坐标，即可求得答案． 【详解】解：设直线的表达式为：， 将两点坐标代入，得：， 解得： ∴直线的表达式为：， ∵点的横坐标为4，且在线段上， ∴ ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，边长为2，若直线与正方形有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式．当直线过或时，求得，即可得到结论． 【详解】解：正方形的顶点的坐标为，边长为2， ， 当直线经过点时，，此时． 当直线经过点时，，此时． 所以，直线与正方形有交点，则的取值范围是． 故选：D． 二、填空题 5．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点、． （1）若，则点的坐标为__________； （2）一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．点在轴上运动，当为直角三角形时，点的坐标为__________． 【答案】 或 【分析】此题考查了一次函数与正比例函数的综合应用，待定系数法求解析式； （1）利用解析式求出点A的坐标，再根据面积即可得到点B的坐标； （2）利用点C的坐标求出一次函数的解析式，再根据等腰直角三角形的性质分两种情况：当时，当时，分别求解． 【详解】解：（1）令中，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）将代入，得， ∴， ∴， 当时，点P的横坐标为，即； 当时， 将点代入， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点E，    ∴， ∴点P的横坐标为， ∴， 故答案为：或． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，一次函数的图象分别交轴正半轴于点，交轴正半轴于点．作的平分线交轴于点，点在轴上，点在射线上，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，由一次函数解析式可得，，即得，，得到，再根据角平分线的性质可得，即得到，，再分且点在轴的正半轴上，且点在轴的负半轴上和三种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：把代入一次函数，得， ∴， ∴， ∴， 把代入一次函数，得， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，， 当且点在轴的正半轴上时，如图，过点作轴于，则， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入一次函数，得， 解得， ∴； 当且点在轴的负半轴上时，如图，过点作轴于，则， 同理可证， ∴， 把代入一次函数，得， 解得， ∴； 当时，如图，过点作轴于，轴于，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，把代入一次函数，得， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 7．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，矩形的顶点在坐标原点，边、分别在、轴正半轴上，，，是中点，在轴上移动，将沿翻折至．当的长最小时，此时点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，两点距离计算公式，一次函数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 连接，，根据矩形的性质可求出，由折叠的性质可得，根据，则当、、三点共线时，有最小值；求出直线解析式为，设，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵是中点， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴当、、三点共线时，有最小值； 设直线解析式为， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴点F的坐标为； 故答案为：． 8．（2024·广东·模拟预测）如图，点，……在x轴上，点A在y轴上，轴，轴，交点为点C，直线经过原点O和点C；点是的中点， ，轴，轴，直线经过点O和点；点是的中点， ，轴，轴，直线经过点O和点……以此类推，若点，则直线的解析式为_______． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式．先利用待定系数法求得直线的解析式为；直线的解析式为；直线的解析式为；得到规律，依规律求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ， ，解得， 直线的解析式为， ， ，， 点是的中点， ， ，， ， 同上可得直线的解析式为； 同理，直线的解析式为； …… 以此类推，直线的解析式为， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．一次函数的图象为，且，，可以围成三角形，那么k的取值范围是_______． 【答案】且且且 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三条直线能够围成三角形的条件，一元一次方程．利用了数形结合及分类讨论的思想． 先求得C的坐标，然后讨论不能围成三角形时分三种情况：①l3经过点C时，；②平行时，；③l1，l3平行时， ；进而得出可以围成三角形时k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴， 解得m， ∴ 一次函数的图象为，如果不能围成三角形，那么可分三种情况： ①经过点时，，解得， ②平行时， ， ③平行时，， 又是一次函数，所以． 故可以围成三角形时，k的取值范围是且且且． 故答案为：且且且． 10．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点坐标分别为，直线l：． （1）当直线l经过点D时，k的值为______； （2）当直线l与菱形的边有公共点时，k的取值范围为______． 【答案】 1 【分析】此题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与系数的关系，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）依次将各顶点坐标代入解析式，求出比例系数的值，然后对比求取值范围即可． 【详解】解：（1）将代入得， ， 解得， 故答案为：1； （2）当直线经过点时， 将代入得， ； 当直线经过点时， 将代入得， , 解得； 当直线经过点时， 将代入得， , 解得； ∴k的取值范围为， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，直线：与坐标轴交于C、D两点，l1与l2交于点，． (1)用待定系数法求直线的解析式； (2)F是直线上一点，若，求点F的坐标； (3)点P是直线上一点，将点P沿直线l2翻折得到点Q．问：是否存在点Q使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）先求得点E坐标，C点坐标，从而得出B点坐标，设直线l1的解析式为：，将点E和点B坐标代入，进一步得出结果； （2）作轴于G，交于H，设，则，从而得出，可求得，，进一步得出结果； （3）先求得直线的解析式为：，设，作轴，交于G，连接，作轴，交于H，连接，，从而得出，当时，可求得的解析式，将点Q坐标代入的解析式，从而得出t，进而得出点Q坐标；同样得出当时的结果． 【详解】（1）解：将点代入得， ， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图1， 作轴于G，交于H， 设，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或； （3）解：如图2-1， ∵，， ∴直线的解析式为：， 设， 作轴，交于G，连接，作轴，交于H，连接， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， 当时， 由得，， ∴， ∴直线的解析式为：， 将点代入得， ， ∴， ∴，， ∴， 如图2-2， 当时， ∵，， ∴直线的解析式为：， 将代入得， ， ∴， ∴，， ∴， 综上所述：或． 12．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点． (1)分别求点的坐标； (2)连接求的面积； (3)动点在直线上，点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了平面几何图形与一次函数的结合，图形面积的计算，等腰直角三角形的性质与存在性问题．熟悉求直线与坐标轴、直线与直线的交点坐标的方法，利用坐标计算三角形的面积的方法，根据等腰直角三角形的性质，结合一次函数，全等三角形的知识，解决动点条件下的几何存在性问题的方法，是解题的关键． （1）根据长方形的性质和平行的性质，计算直线与坐标轴，直线与直线的交点坐标． （2）根据直线与坐标轴的交点坐标，利用割补法计算的面积． （3）设，过点作交所在直线于点，交所在直线于点，分①点在上方，②点在下方，两种情况讨论，通过证明，，得到对应线段相等，建立关于的一元一次方程，得到的值，继而得到点的坐标． 【详解】（1）解：在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为， ，，轴， ∵直线与交于点，与轴交于点， ∴当时，，解得， 当时，， ，： （2）解：如图，令与轴的交点为， 令，解得， ， ， ，，； ，，， ， ； （3）解：点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上， ∴设， 如图，过点作交所在直线于点，交所在直线于点， ①若点在上方， 是等腰直角三角形，且， ，， ， ， ， 在与中，， ， ， ， ，解得：， ； ②若点在下方，同理可证，， ， ， 即，解得， ， 综上可知，点的坐标为或． 13．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）如图1，直线交x轴、y轴分别于点A、B，直线与x轴交于点C，与直线交于点D，． (1)求直线的解析表达式； (2)点P为射线上的一点，若，在x轴上存在一点E，使最小，求点E坐标和最小值； (3)如图2，将直线向上平移3个单位得到直线，在上存在一动点M，y轴上一点N，使得以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点N坐标． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3)N点坐标为或或 【分析】（1）首先求出，然后得到，然后代入求解即可； （2）首先求出，然后根据得到，设直线与y轴的交点为F，求出，然后根据求出，作D点关于x轴的对称点，连接与x轴交于E点，连接，则，得到当、E、P三点共线时，的值最小，最小值为的长度，然后利用勾股定理求出的最小值为，然后求出直线的解析式为，进而求出点E的坐标； （3）首先求出直线的解析式为，然后设，，然后分三种情况讨论，分别根据平行四边形的对角线互相平分列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A， ∴当时， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴将代入得， 解得， ∴直线的解析表达式为； （2）解：联立直线和直线得， ， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线与y轴的交点为F， 将代入得， ∴， ∵直线交y轴于点B， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 作D点关于x轴的对称点，连接与x轴交于E点，连接，则， ∴， ∴， 当、E、P三点共线时，的值最小，最小值为的长度 ∵，， ∴， ∴的最小值为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴当时， 解得 ∴； （3）解：将直线向上平移3个单位得到直线， ∴直线的解析式为， 设，， ∵，，以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形， ∴当为平行四边形的对角线时， 解得， ∴； 当为平行四边形的对角线时， 解得， ∴； 当为平行四边形的对角线时， 解得， ∴； 综上所述：N点坐标为或或． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，三角形面积，一次函数的平移和几何综合，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 14．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在线段上，当，求点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；，，， 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解、三角形面积关系的应用以及平面直角坐标系中等腰三角形的存在性问题；解题的关键是熟练运用待定系数法、理解同高三角形面积比等于底边比的性质，以及分类讨论等腰三角形的不同构成情况；易错点是计算过程中的符号与准确性，以及在讨论等腰三角形时可能遗漏其中一种情况． （1）利用待定系数法，将已知点，的坐标代入一次函数解析式，建立方程组求解即可； （2）由​且两三角形有公共高，可得，即点是线段的中点，据此利用中点坐标公式求解； （3）等腰三角形的存在性问题，需分类讨论，分别以点为顶点或点为顶点的三种情况，进行讨论，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：∵点，， ∴设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：直线解析式中， 令，， 则点， ∵​， 且与有公共顶点和公共边所在的直线（即它们的高相等）， ∴， ∴点为线段的中点， ∵点，点，由中点坐标公式得点的坐标为： ∴ （3）解：设点的坐标为，已知点，点， 由勾股定理得： ， ， ， 分三种情况讨论： 情况一：以为顶点，， 即，解得或. 此时点坐标为，. 情况二：以为顶点，， ， 两边平方得， 即， 或， 或， 当，点与点重合，故舍去. ∴点. 情况三：以为顶点，， ， 两边平方得， 即， 整理得， 解得 ∴点． 综上所述，在轴上存在点，使得是等腰三角形， 其坐标共有4个，分别为：，，，． 15．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为，求点的坐标； ②连接，如图2，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）先由求得，．由点与点A关于轴对称可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式即可． （2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可； ②分点M在y轴的左侧和点M在y轴的右侧，两种情况进行讨论求解即可． 正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）解：对于， 由得：， 由得：， 解得， ∴，， ∵点与点A关于轴对称， ∴ ， 设直线的函数解析式为， 则， 解得． ∴直线的函数解析式为； （2）解：①设， 则、， 如图1，过点作于点， ∴，， ∴， 解得， ∴，或；        ②如图，当点在轴的左侧时，∵点与点A关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ，，， ， 解得． ． 当点在轴的右侧时，如图3， 同理可得， 综上，点的坐标为或． 16．（24-25八年级下·四川南充·期末）在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C是直线与x轴、y轴的交点，D是x轴上一点，将矩形沿折叠，点O恰好落在上． (1)求点D的坐标； (2)点M在第一象限，若是等腰直角三角形，直接写出点M的坐标； (3)若是（2）中以为斜边的等腰直角三角形，点N在第一象限，的面积为3，求的周长最小时，点N的坐标和的面积． 【答案】(1) (2)或或； (3)， 【分析】（1）求出，再得到，设，根据勾股定理求出，即可得到答案； （2）分三种情况进行解答即可； （3）设，根据的面积为3得，作点D关于直线的对称点，则，连接交直线于点，则，则，此时的周长最小，即为，求出直线的解析式为，即可得到，根据的面积即可求出答案． 【详解】（1）解： 当时，， 当时，，解得， ∴, ∴ ∵， ∴ 设， 则，则， ∴ 解得， ∴ （2）是等腰直角三角形，分三种情况： ①当，时，过点M作轴于点， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ②当，时，过点M作轴于点， 同理可得， 则 ∴， ∴， ③当，时，设， ∴ 解得， ∴， 综上可知，点M的坐标为或或； （3）是（2）中以为斜边的等腰直角三角形， ∴, 设， ∵的面积为3， ∴， 解得 作点D关于直线的对称点，则， 连接交直线于点，则， 则， 此时的周长最小，即为， 设直线的解析式为，把，代入得到， 解得， 即直线的解析式为， 当时，， ∴， 的面积 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、一次函数的图象和性质、坐标与轴对称等知识，分类讨论是解题的关键． 17．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，． (1)求的面积． (2)C为延长线上的一点，连接，以和为直角边作等腰直角三角形，若，求直线的解析式 (3)点E在坐标平面内，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出符合条件的点E的坐标． 【答案】(1)6 (2) (3)或或 【分析】（1）由，求出，得，由，得，得，即得； （2）过点D作轴于F，证明，得，得，得，即可求出直线的解析式为； （3）当为边时，由，，， 得，，得，，，，得，，当为对角线时，由,，得． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 由图知， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 如图，过点D作轴于F， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴． （3）解：如图， ∵以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为边时，， 由（2）知，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 当为对角线时，互相平分， ∵,， ∴． ∴点E的坐标为f或或． 【点睛】本题考查了一次函数与三角形综合，熟练掌握一次函数的图象和性质，三角形面积公式，用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，分类讨论的思想，是解题关键． 18．（24-25八年级下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴相交于A、B两点，直线与x轴、y轴相交于C、D两点，与直线l交于点E． (1)求E点的坐标； (2)点P在射线上，使得的面积等于面积的2倍．求出P点的坐标；直线上有两动点G，H（G在H下方），，求的最小值． (3)作点O关于直线的对称点，点M为直线上一动点，在y轴上是否存在一点N，使得是以M为直角顶点的等腰直角三角形．若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，的最小值 (3)存在，或 【分析】（1）根据直线和直线的解析式建立方程组进行求解即可； （2）过点P作轴，交x轴于点F，设点P坐标为，由直线与x轴，y轴相交于A、B两点，与x轴、y轴相交于C、D两点，可得，，，，从而求得，，根据的面积等于面积的2倍，即可求得点P的坐标； 取的中点记为点，先求得，过点作直线的对称点，连接，则，再求出，将点沿着射线方向平移至点，使得，则直线与轴的夹角为，四边形为平行四边形，可求坐标为，由对称可得，那么； （3）由，，可得，利用点O、关于直线对称，可得，，再利用直角三角形的性质可求，即可求，，利用勾股定理求出，即可求出点Q的坐标，当点M在x轴的下方，过点作轴，如图1，过点M作轴，延长交的延长线于点K，设点M的坐标为，证明，可得，即，求解即可求出点M的坐标；当点M在直线的上方，如图2，过点M作轴，过点作交的延长线于点Q，设点M的坐标为，证明，可得即，求解即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意可得：联立直线和直线的解析式可得 解得， ∴点E的坐标为； （2）解：如图 ，过点P作轴，交x轴于点F，设点P坐标为， ∵直线与x轴，y轴相交于A、B两点， 时，；时， ∴， ，， ∵直线与x轴、y轴相交于C、D两点， 时，；时， ∴， ，， 由（1）可知点E的坐标为， ，，，，则，，， ，， ∵的面积等于面积的2倍， ， ，即， ∵点P在直线上， 时， ∴； 时， ∴， ∵在射线上， ∴， ∴（舍）， ∴点P的坐标为； 取的中点记为点， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作直线的对称点，连接，则，， ∴， ∴为等边三角形， 过点作于点， 则， ∴， ∴， 将点沿着射线方向平移至点，使得， ∴， ∴直线与轴的夹角为，四边形为平行四边形， ∴的竖直距离为，， ∴由勾股定理得的水平距离为， ∵点P的坐标为， ∴点P向下平移个单位，向左平移个单位得到点， ∴坐标为 由对称可得， ∴ 当且仅当点三点共线时，取得最小值，为； （3）解：存在，理由如下： 作O点关于直线的对称点， ，，则，， ∴由勾股定理得， 同上可得， ∵点O、关于直线对称， ，，在中，， ， ， ， 过点作轴， 轴，则在中，， ， ∴的坐标为， ①当点M在x轴的下方，如图1，过点M作轴，延长交的延长线于点K，设点M的坐标为， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，解得：，则， ∴点M的坐标为； ②当点M在直线的上方，如图2，过点M作轴，过点作交的延长线于点Q，设点M的坐标为， 轴， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ，解得，则， ∴点M的坐标为：， 综上所述，点M的坐标为：；． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、轴对称的性质、勾股定理、全等三角形的性质和判定、直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，平移的性质，二次根式的混合运算，作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $