20.2勾股定理的逆定理及其应用同步培优讲义（4知识点+6题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（人教版）

20.2勾股定理的逆定理及其应用同步培优讲义 （知识点+题型+过关检测） 目录 【知识点1：勾股定理的逆定理】 1 【知识点2：勾股数】 2 【知识点3：三角形形状的判定方法】 2 【知识点4：互逆命题】 2 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 2 【题型2 图形上已知两点构成直角三角形的点】 4 【题型3 在网格中判断直角三角形】 9 【题型4 利用勾股定理逆定理求解】 12 【题型5 勾股定理逆定理的实际应用】 15 【题型6 勾股定理逆定理的拓展问题】 19 1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系． 2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形. 3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围. 03 知识•梳理 【知识点1：勾股定理的逆定理】 1. 文字表述：如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形，且边c（最长边）所对的角为直角。 2. 核心作用：判断三角形是否为直角三角形、证明两条线段垂直、解决实际中的垂直 / 直角判定问题。 3. 互逆关系： 1. 勾股定理：直角三角形 → 三边满足（由形推数） 2. 逆定理：三边满足→ 直角三角形（由数推形） 【知识点2：勾股数】 1. 定义：满足的三个正整数，叫做勾股数。 2. 常见勾股数（必记）： 3. 基础组：3，4，5（其整数倍也为勾股数，如 6，8，10；9，12，15） 3. 延伸组：5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41 3. 注意：勾股数必须是正整数，非正整数的三边（如 2，3，13​）不属于勾股数。 【知识点3：三角形形状的判定方法】 1. 找出三角形的最长边，记为c； 2. 计算两较短边的平方和，以及最长边的平方； 3. 比较判断： 3. 若= → 直角三角形（最长边对直角）； 3. 若> → 锐角三角形； 3. 若< → 钝角三角形。 【知识点4：互逆命题】 如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题. 特别说明：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题. 易错点警示 1. 忽略 “找最长边”：直接代入三边平方关系，导致判断错误； 2. 混淆勾股数定义：将非正整数的三边当作勾股数； 3. 实际应用中，未将实际问题转化为三角形模型，直接套用公式；04 题型•汇总 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 【解题关键】先找最长边，再验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方，避免盲目代值。 【典例1】．下列各组数据中，能作为三角形三边长且构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理及三角形三边关系，掌握相关知识是解题的关键．先根据三角形三边关系判断其能否构成三角形，再利用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形即可． 【详解】解：A选项：因为，，，且，所以不能构成直角三角形； B选项：因为，满足三角形三边关系，且，，且，所以能构成直角三角形； C选项：因为，，，且，所以不能构成直角三角形； D选项：因为，不满足三角形三边关系，所以不能构成三角形； 故选：B． 跟随训练1-1．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．6，7，8 C．3，4，5 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和构成三角形的条件，验证每组数中两较小数的平方和是否等于最大数的平方即可． 【详解】解：A、，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，不符合题意； B、，，，不满足勾股定理的逆定理，不符合题意； C、，，即，满足勾股定理的逆定理，符合题意． D、，，，不满足勾股定理的逆定理，不符合题意． 故选：C． 跟随训练1-2．在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； (2)在图2中画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它们的顶点都在格点上，并直接写出这个三角形的形状． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． （1）根据勾股定理可得长为3、宽为1的长方形的对角线长为，长为2、宽为2的正方形的对角线长为，选择合适的矩形和正方形连接对角线即可； （2）根据勾股定理可得长为4、宽为3的矩形的对角线长为5，长为2、宽为1的矩形的对角线长为，长为4、宽为2的矩形的对角线长为，依次连接对角线即可得到该三角形，观察三角形三边边长的关系，由勾股定理的逆定理可判断这个三角形形状． 【详解】（1）解：所作线段和如图所示（图不唯一）： （2）解：所作三角形如图所示（图不唯一）： ， 该三角形为直角三角形． 【题型2 图形上已知两点构成直角三角形的点】 【解题关键】设出未知点坐标，利用两点间距离公式表示出三边长度的平方，分三种情况（三个角分别为直角），结合逆定理列方程求解，注意舍去不符合题意的解。 【典例2】．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 跟随训练2-1．如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图，根据直角三角形和等腰三角形的定义作图即可． （1）根据题意作符合要求的直角三角形即可； （2）根据题意作符合要求的等腰三角形即可． 【详解】（1）解：即为所求（答案不唯一）； （2）解：即为所求（答案不唯一）． 跟随训练2-2．如图，长方形中，，，现有一动点从出发以/秒的速度，沿矩形的边运动，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，点与点的距离为？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)当为何值时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且是斜边？ 【答案】(1) (2)或3.5或 (3) 【分析】本题考查特殊三角形的存在性问题，利用特殊三角形的判定方法，找到线段关系，列算式或方程求解即可． （1）根据的长，确定点P的位置，再利用勾股定理求出，得到点P的运动总长度，求解即可； （2）根据等腰三角形的腰的不同情况，分情况讨论点P的位置，利用腰相等列式求解即可； （3）根据t的取值范围，确定点P的位置，用含t的代数式表示各线段长，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴此时点P在上， 如图，连接， 由题意，得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， （秒）， ∴当时，点P与点A的距离为； （2）解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵，， ∴当点P在上时，不可能为等腰三角形， ∴点P在上， 分下列三种情况， 第一种：如图，连接，，， ∴， ∴， ， ∴此时； 第二种：如图，连接，，， 又，， ∴， ∴， ∴， ， ∴此时； 第三种：如图，连接，，， 同第一种情况，可得， ∴， ∴， ， ∴此时， 综上，当或或时，是等腰三角形； （3）解：由题意，，∴， ∴点P在上， 如图，连接，则，， ∴，，， 由题意，可得，即， 解得， ∴当时，以线段、、为三边长的三角形是直角三角形，且为斜边． 【题型3 在网格中判断直角三角形】 【解题关键】利用网格的直角特性，数出各边对应的格点数，用勾股定理求出三边长度的平方，再验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方。 【典例3】．如图，在的正方形网格中标出了和，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可得，然后利用平行线的性质可得，，从而利用等量代换可得，即可解答． 【详解】解：如图：连接CE， 由图可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故选：B． 跟随训练3-1．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 由勾股定理推出，再由勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ，且， 是等腰直角三角形，且， 故选：B． 跟随训练3-2．如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中C点坐标为． (1)写出点A、B的坐标：A（______）、B（______）； (2)判断的形状______，计算的面积是______； (3)将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，若内一点P的坐标是，则点P在内的对应点的坐标是______． 【答案】(1)2，，4，3． (2)等腰直角三角形，5． (3)图见解析， 【分析】本题考查作图﹣平移变换，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握勾股定理以及逆定理，学会利用平移变换的性质解决问题． （1）根据点在坐标系中的位置写出答案； （2）根据勾股定理求出三边长，再根据两边长相等及勾股定理的逆定理即可判断三角形是等腰直角三角形，进一步求出三角形的面积即可； （3）根据的平移规律即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，． 故答案为：2，，4，3． （2）∵，， ∴，， 即的形状是等腰直角三角形， ， 故的面积为5． 故答案为：等腰直角三角形，5． （3）解：如图，即为所求， ∵将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，若内一点P的坐标是，则点P在内的对应点的坐标是． 故答案为：． 【题型4 利用勾股定理逆定理求解】 【解题关键】先通过已知条件表示出三角形的三边长度（或三边平方），用逆定理判断出直角三角形，再结合勾股定理、面积法等求解未知量。 【典例4】．如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（   ） A．48 B．60 C．76 D．80 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理； 先利用勾股定理的逆定理求出，再根据列式计算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为100， ∴正方形的边长， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：C． 跟随训练4-1．如图，已知四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，由勾股定理得到，再由勾股定理逆定理得出为直角三角形，再根据即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，由勾股定理，得， 在中，， ， 为直角三角形，且， ， ． 跟随训练4-2．如图，在四边形中，，为四边形的对角线，已知，，，． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)过点作于点，求线段的长． 【答案】(1)是直角三角形，见解析； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由勾股定理求出，得出，从而求解； （）由，即，所以，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由： ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：∵是直角三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型5 勾股定理逆定理的实际应用】 【解题关键】将实际问题抽象为三角形模型，标出三边长度（或已知条件转化为三边关系），用逆定理判断三角形是否为直角三角形，进而解决实际问题（如判断垂直、方位等）。 【典例5】．为了响应“绿色汉中，文明汉中”的号召，某小区要在一块四边形空地上补种草皮．如图，经测量，若补种草皮的单价是20元，求完成补种共需要多少钱． 【答案】2880元 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，最后利用三角形面积公式求出草皮面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接，   ， ，， ，，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积， （元）， 答：完成补种共需要元． 跟随训练5-1．不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理的内容是解题的关键． 先在中，利用勾股定理求出的长度；再在中，通过勾股定理的逆定理判断是否为，从而验证是否成立． 【详解】解：在中， ∵，，， ∴， . 在中，∵，， ∴，. ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 故该车符合安全标准． 跟随训练5-2．综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． (1)施工人员测量的是点________与点________之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． (3)若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 【答案】(1)A，C (2) (3)铺设管道所需的最少费用为910元． 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算，，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵，，， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为， ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为910元． 【题型6 勾股定理逆定理的拓展问题】 【解题关键】掌握三角形形状的判定方法，结合折叠、中线、角平分线等知识，灵活运用逆定理，解决综合类问题（如形状判定、勾股数规律、折叠后直角验证等）。 【典例6】．三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是（） A．三个内角度数之比为 B．三边之比为 C．一个内角等于另外两个内角之差 D．三边长分别为，2， 【答案】A 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：A、∵三个内角之比为，三角形内角和为 ∴最大角为， ∴此时三角形不是直角三角形， 故不符合题意； B、∵三边之比为， ∴设， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵三边长分别为，2，， ∴， ∴三角形为直角三角形， 故D不符合题意； 故选：A． 跟随训练6-1．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 跟随训练6-2．【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    【答案】问题初探：（1）；（2）；（3）见解析；问题再探：见解析；问题拓展：9 【分析】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质． 问题初探：（1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形的面积，于是得到结论． 问题再探：如图，过点P作直线于点F交直线a于点E，截取，，连接即可； 问题拓展：过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，证明，得，根据勾股定理得，然后代入三角形面积公式即可解决问题． 【详解】解：问题初探：（1）； 证明：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；, （2）∵， ， 故答案为：；, （3）证明：∵四边形的面积 ， ∴四边形的面积 ， ∴， 即． 问题再探：解：如图，即为所求；    问题拓展：解：如图，过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，     ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积 ． 故答案为：9． 05 过关•检测 1．下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，验证每组线段中两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断是否为直角三角形． 【详解】解：A、选项中最长边为6，，，，∴该三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意． B、选项中最长边为17，，，，∴该三角形是直角三角形，故本选项符合题意． C、选项中最长边为15，，，，∴该三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意． D、选项中最长边为，，，，∴该三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．下列命题中是假命题的是（    ） A．算术平方根等于本身的数是0和1 B．位于第三象限内的点，横纵坐标都是负数 C．同旁内角相等，两直线平行 D．若三角形的三边长满足，则这个三角形是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查真假命题的判断，根据算术平方根的性质，平面直角坐标系象限点的特征，平行线的判定定理，勾股定理的逆定理等知识，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．算术平方根的非负性决定了只有0和1的算术平方根等于本身，该命题为真命题，不符合题意； B．根据平面直角坐标系象限特征，第三象限内的点横纵坐标均为负数，该命题为真命题，不符合题意； C．平行线的判定定理是同旁内角互补，两直线平行，同旁内角相等不能推出两直线平行，该命题为假命题，符合题意； D．由勾股定理的逆定理可知，满足的三角形是直角三角形，该命题为真命题，不符合题意． 故选：C． 3．若三边满足，那么的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查的是非负数的性质，勾股定理的逆定理的应用，先根据非负数的性质求出三边的长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， ∵，即， ∴是直角三角形， 故选：D 4．如图，是的角平分线，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用，过点作于点，证明是直角三角形，且，根据角平分线的性质可得，证明得出，设，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且 又∵是的角平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得： 即的长为 故选：A． 5．如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，连接，由，，利用勾股定理可求出的长，再根据，，利用勾股定理的逆定理可证为直角三角形，然后即可求出这块地的面积． 【详解】解：连接， ，，， ∴， ， ，， ∴，， ，则为直角三角形，且， 这块地的面积为． 故选：B． 6．如图，在中，．，，，若点D在内部，则的面积是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，三角形面积计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握勾股定理及其逆定理．过点D作于点E，过点D作于点F，证明为直角三角形，得出，根据勾股定理求出，证明，得出，求出，根据，即可求出结果． 【详解】解：过点D作于点E，过点D作于点F，如图所示： 则， ∵，，， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 7．如图正方形的边长为，，连接，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用．延长交于点，根据正方形的性质证明，可得、、，由勾股定理可得的长． 【详解】解：如图，延长交于点， ，，， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ，， ，， 又，， ，， 在和中， ， ， ，，， ， 同理可得， 在中， ， 故选：B． 8．如图，以的三边为边长向外作正方形，已知这三个正方形构成的图形中，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，直角三角形的性质，难度较大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作于点，先由面积关系证明，然后证明，，，最后得到，再由求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点 由题意得，， ∵ ∴， ∴， ∴， 由正方形可得，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴，， 同理可证明：， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：B． 9．已知a，b，c是的三边长，且满足关系，则的形状是 ． 【答案】 等腰直角三角形 【分析】本题考查了绝对值非负性，利用算术平方根的非负性解题，判断三边能否构成直角三角形，等腰三角形的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据非负数的性质，两个非负数的和为零，则每个部分都为零，得出三边关系，再作出判断． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵a，b，c是的三边长， ∴满足勾股定理且有两边相等， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形． 10．如图，在正方形网格中，的每一个顶点都在格点上，，点是边上的动点（点不与点，重合），将线段沿直线翻折后得到对应线段，将线段沿直线翻折后得到对应线段，连接，则四边形的面积的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了折叠问题，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．先利用勾股定理的逆定理判断出，进而判断出最小时，四边形的面积最小． 【详解】解：如图，延长使， 点A，C是格点， 点E必是格点， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 由折叠知，，， ， ， 由折叠知，， 是等腰直角三角形， 由折叠知，， ， ， ， ， 要四边形的面积最小，则的面积最小， 即：最小，此时，，此时， ， 即：四边形的面积最小为， 故答案为：5.5． 11．如果实数，，满足，那么我们称一元二次方程为“勾股”方程．已知①；②；③；④．上述方程是“勾股”方程的有 ．(填序号) 【答案】①②④ 【分析】本题考查新定义“勾股”方程的判断，关键是先将方程化为一元二次方程的标准形式，确定每个方程的、、的值，再验证是否满足． 【详解】解：方程①化为标准形式为，其中，，． ∵，， ∴，故①是“勾股”方程； 方程②为标准形式，其中，，． ∵，， ∴，故②是“勾股”方程； 方程③为标准形式，其中，，． ∵，， 又，∴，故③不是“勾股”方程； 方程④整理为标准形式为，其中，，． ∵，， ∴，故④是“勾股”方程； 综上，是“勾股”方程的有①②④， 故答案为：①②④． 12．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G，点E在点D右侧．若，则的面积为 ． 【答案】96 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理逆定理，连接，线段垂直平分线的性质，得到，勾股定理逆定理得到，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：96． 13．如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换、勾股定理及逆定理，轴对称的性质，掌握其性质是解决此题关键，根据翻折的性质及勾股定理的逆定理可得为直角三角形，设，则，然后再由勾股定理可得答案． 【详解】解：由题意可知，两点关于射线对称， ∴， ∵为定值， 要使周长最小，即最小， ∴由两点之间线段最短知，与射线的交点，即为使周长最小的点，如图所示， ∵ ，且， ∴ ， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， ∴， ∴， 故答案为： ． 14．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个小时后分别位于点Q、R处，且相距20海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 【答案】西北 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答． 根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可． 【详解】解：由题知，海里，海里，海里，， ， ， 是直角三角形，且， ， “海天”号沿西北方向航行． 故答案为：西北． 15．已知的算术平方根是 (1)求的值． (2)判断以为边长的三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1), , (2)直角三角形 【分析】本题考查了偶次方、绝对值、算术平方根的非负性，勾股定理逆定理，根据题意得出a、b、c的值是解本题的关键． （1）根据偶次方的非负性，绝对值的非负性，算术平方根的非负性得出a、b、c的值即可； （2）根据勾股定理逆定理即可得出答案． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， 解得：． （2）解：以为边长的三角形是直角三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴以为边长的三角形是直角三角形． 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为． (1)判断的形状，并说明理由； (2)画出关于x轴的对称图形，并求出的面积． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)见解析，2 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用两点间的距离公式求出的值，再由勾股定理的逆定理可得结论； （2）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点，再利用割补法求出对应的三角形的面积即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图所示，即为所求，则． 17．如图，有一块三角形菜园，其中，，． (1)判断菜园的边与是否垂直，并说明理由； (2)现要扩大菜园，在边的延长线上找一点D，使边的长为，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握以上定理． （1）根据勾股定理的逆定理进行证明即可； （2）根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，且， 即， ∴为直角三角形， ∴， 即； （2）解：∵， ∴由勾股定理得， ∴． 18．如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点的距离米，且米．    (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处时，若，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，则米，在中，根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ∴； （2）解：设米，则米， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴米 答：这架无人机向下飞行的距离为米． 19．如下图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条从点到点的小路，经测量，，，，，． (1)小路的长为 m． (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，到点时停止奔跑．当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了多少秒？ 【答案】(1)25 (2)当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了16s 【分析】（1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出长度，最后结合运动速度，即可作答． 【详解】（1）解： 在中， ， 小路的长为. 故答案为：25. （2）解：如图所示，过点作于点． 当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗与淇淇的距离最近． ，，，， ， 是直角三角形，， 则， ， ， ． ． 故当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了16s． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等面积法，解题的关键是正确掌握相关性质内容． 20．冬季第一场瑞雪沿东西方向的省道由向平稳移动，为沿途村庄带来有利于农作物越冬的积雪．已知点为一村庄，村庄与省道上的两点、的距离分别为，，且．经观测，降雪中心周围以内都会被雪覆盖． (1)的度数为_____； (2)村庄距省道的最短距离为_____； (3)如图2，该降雪中心的移动速度为，当降雪中心移动到点处时，村庄开始降雪；当降雪中心移动到点处时，村庄刚好结束降雪（即）．求此次村庄持续降雪多长时间． 【答案】(1) (2)24 (3)小时 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、直角三角形的面积公式、勾股定理的应用以及行程问题的计算，解题的关键是利用勾股定理逆定理判断三角形形状，结合面积法求高，再通过勾股定理计算线段长度，最终结合速度公式求解时间． （1）利用勾股定理逆定理，由判断为直角三角形，得； （2）用直角三角形面积公式，求出点到的距离； （3）过点作的垂线，设垂足为，在中用勾股定理求出的长度，再结合速度公式计算降雪持续时间． 【详解】（1）解： 在中，，，， ，． ． 是直角三角形，且． 故答案为：． （2）解：设点到的距离为， 是直角三角形， ， 即， 解得． 故答案为：． （3）解：过点作于点，则， 在中，，， 由勾股定理得． 同理，， ． 降雪中心移动速度为， 持续时间． 答：此次村庄持续降雪小时． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.2勾股定理的逆定理及其应用同步培优讲义 （4知识点+6题型+过关检测） 目录 【知识点1：勾股定理的逆定理】 1 【知识点2：勾股数】 2 【知识点3：三角形形状的判定方法】 2 【知识点4：互逆命题】 2 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 2 【题型2 图形上已知两点构成直角三角形的点】 4 【题型3 在网格中判断直角三角形】 9 【题型4 利用勾股定理逆定理求解】 12 【题型5 勾股定理逆定理的实际应用】 15 【题型6 勾股定理逆定理的拓展问题】 19 1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系． 2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形. 3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围. 03 知识•梳理 【知识点1：勾股定理的逆定理】 1. 文字表述：如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形，且边c（最长边）所对的角为直角。 2. 核心作用：判断三角形是否为直角三角形、证明两条线段垂直、解决实际中的垂直 / 直角判定问题。 3. 互逆关系： 1. 勾股定理：直角三角形 → 三边满足（由形推数） 2. 逆定理：三边满足→ 直角三角形（由数推形） 【知识点2：勾股数】 1. 定义：满足的三个正整数，叫做勾股数。 2. 常见勾股数（必记）： 3. 基础组：3，4，5（其整数倍也为勾股数，如 6，8，10；9，12，15） 3. 延伸组：5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41 3. 注意：勾股数必须是正整数，非正整数的三边（如 2，3，13​）不属于勾股数。 【知识点3：三角形形状的判定方法】 1. 找出三角形的最长边，记为c； 2. 计算两较短边的平方和，以及最长边的平方； 3. 比较判断： 3. 若= → 直角三角形（最长边对直角）； 3. 若> → 锐角三角形； 3. 若< → 钝角三角形。 【知识点4：互逆命题】 如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题. 特别说明：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题. 易错点警示 1. 忽略 “找最长边”：直接代入三边平方关系，导致判断错误； 2. 混淆勾股数定义：将非正整数的三边当作勾股数； 3. 实际应用中，未将实际问题转化为三角形模型，直接套用公式；04 题型•汇总 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 【解题关键】先找最长边，再验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方，避免盲目代值。 【典例1】．下列各组数据中，能作为三角形三边长且构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 跟随训练1-1．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．6，7，8 C．3，4，5 D．4，5，6 跟随训练1-2．在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； (2)在图2中画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它们的顶点都在格点上，并直接写出这个三角形的形状． 【题型2 图形上已知两点构成直角三角形的点】 【解题关键】设出未知点坐标，利用两点间距离公式表示出三边长度的平方，分三种情况（三个角分别为直角），结合逆定理列方程求解，注意舍去不符合题意的解。 【典例2】．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 跟随训练2-1．如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 跟随训练2-2．如图，长方形中，，，现有一动点从出发以/秒的速度，沿矩形的边运动，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，点与点的距离为？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)当为何值时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且是斜边？ 【题型3 在网格中判断直角三角形】 【解题关键】利用网格的直角特性，数出各边对应的格点数，用勾股定理求出三边长度的平方，再验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方。 【典例3】．如图，在的正方形网格中标出了和，则的度数为（　　） A． B． C． D． 跟随训练3-1．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 跟随训练3-2．如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中C点坐标为． (1)写出点A、B的坐标：A（______）、B（______）； (2)判断的形状______，计算的面积是______； (3)将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，若内一点P的坐标是，则点P在内的对应点的坐标是______． 【题型4 利用勾股定理逆定理求解】 【解题关键】先通过已知条件表示出三角形的三边长度（或三边平方），用逆定理判断出直角三角形，再结合勾股定理、面积法等求解未知量。 【典例4】．如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（   ） A．48 B．60 C．76 D．80 跟随训练4-1．如图，已知四边形中，，求四边形的面积． 跟随训练4-2．如图，在四边形中，，为四边形的对角线，已知，，，． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)过点作于点，求线段的长． 【题型5 勾股定理逆定理的实际应用】 【解题关键】将实际问题抽象为三角形模型，标出三边长度（或已知条件转化为三边关系），用逆定理判断三角形是否为直角三角形，进而解决实际问题（如判断垂直、方位等）。 【典例5】．为了响应“绿色汉中，文明汉中”的号召，某小区要在一块四边形空地上补种草皮．如图，经测量，若补种草皮的单价是20元，求完成补种共需要多少钱． 跟随训练5-1．不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 跟随训练5-2．综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． (1)施工人员测量的是点________与点________之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． (3)若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 【题型6 勾股定理逆定理的拓展问题】 【解题关键】掌握三角形形状的判定方法，结合折叠、中线、角平分线等知识，灵活运用逆定理，解决综合类问题（如形状判定、勾股数规律、折叠后直角验证等）。 【典例6】．三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是（） A．三个内角度数之比为 B．三边之比为 C．一个内角等于另外两个内角之差 D．三边长分别为，2， 跟随训练6-1．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 跟随训练6-2．【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    05 过关•检测 1．下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 2．下列命题中是假命题的是（    ） A．算术平方根等于本身的数是0和1 B．位于第三象限内的点，横纵坐标都是负数 C．同旁内角相等，两直线平行 D．若三角形的三边长满足，则这个三角形是直角三角形 3．若三边满足，那么的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 4．如图，是的角平分线，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，．，，，若点D在内部，则的面积是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 7．如图正方形的边长为，，连接，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，以的三边为边长向外作正方形，已知这三个正方形构成的图形中，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 9．已知a，b，c是的三边长，且满足关系，则的形状是 ． 10．如图，在正方形网格中，的每一个顶点都在格点上，，点是边上的动点（点不与点，重合），将线段沿直线翻折后得到对应线段，将线段沿直线翻折后得到对应线段，连接，则四边形的面积的最小值是 ． 11．如果实数，，满足，那么我们称一元二次方程为“勾股”方程．已知①；②；③；④．上述方程是“勾股”方程的有 ．(填序号) 12．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G，点E在点D右侧．若，则的面积为 ． 13．如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为 ． 14．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个小时后分别位于点Q、R处，且相距20海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 15．已知的算术平方根是 (1)求的值． (2)判断以为边长的三角形的形状，并说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为． (1)判断的形状，并说明理由； (2)画出关于x轴的对称图形，并求出的面积． 17．如图，有一块三角形菜园，其中，，． (1)判断菜园的边与是否垂直，并说明理由； (2)现要扩大菜园，在边的延长线上找一点D，使边的长为，求的长． 18．如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点的距离米，且米．    (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处时，若，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 19．如下图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条从点到点的小路，经测量，，，，，． (1)小路的长为 m． (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，到点时停止奔跑．当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了多少秒？ 20．冬季第一场瑞雪沿东西方向的省道由向平稳移动，为沿途村庄带来有利于农作物越冬的积雪．已知点为一村庄，村庄与省道上的两点、的距离分别为，，且．经观测，降雪中心周围以内都会被雪覆盖． (1)的度数为_____； (2)村庄距省道的最短距离为_____； (3)如图2，该降雪中心的移动速度为，当降雪中心移动到点处时，村庄开始降雪；当降雪中心移动到点处时，村庄刚好结束降雪（即）．求此次村庄持续降雪多长时间． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $