精品解析：江西上进教育2025-2026学年高一下学期5月学情检测数学试题

绝密★启用前 高一年级5月学情检测 数学 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．考查范围：必修第二册第一章至第三章． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 2. 平行四边形中，（ ） A. B. C. D. 3. 函数图象的一条对称轴的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若非零向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 平面内，一质点在力作用下处于平衡状态，若，，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数,若在区间上有且仅有6个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若平面向量满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式的值为正数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. 当时的最小值为 D. 当在区间上有最大值且没有最小值时，的取值范围是 11. 已知，，，（，），则（ ） A. 不存在，使得 B. 当时，面积的最小值为 C. 存在，使得当最小时与重合 D. 当且时，的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的值为______． 13. 在中，角的对边分别为，设，且满足，则角的大小为______． 14. 若点是半径为1的圆上三点，且，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角的终边经过点． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知向量，． （1）若与共线，求实数k的值； （2）若，求的最小值. 17. 已知中内角所对的边分别为，点为的中点，． （1）求面积的最大值； （2）若，求． 18. 如图，在中，点分别在边上，点为的中点且交于点． （1）若，证明：； （2）若，求的值； （3）若是边长为2的正三角形，点是与不重合的动点，求的取值范围． 19. 已知函数满足对任意都有，且，． （1）证明：是周期函数； （2）老师告诉小李同学，，，中有且仅有一个函数可以作为，请你帮助小李确定哪一个函数可以作为，并以此函数作为，求解下面两道小题： （ⅰ）把的图象向右平移个单位长度，得到的图象，求的单调递减区间； （ⅱ）关于的方程在区间上有4个不同实根，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 高一年级5月学情检测 数学 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．考查范围：必修第二册第一章至第三章． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】的最小正周期为． 2. 平行四边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】法一：由向量的加法法则可得：； 法二：在平行四边形中，可将理解为从点出发， 依次经过，最后回到，形成一个封闭回路，向量和为零向量． 3. 函数图象的一条对称轴的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦函数对称轴的性质，利用整体法求解. 【详解】若为函数图象的对称轴方程，则， 整理得：，当时，， 即一条对称轴的方程为. 4. 若非零向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用夹角公式计算，利用垂直和模长关系建立模长与数量积之间的关系计算夹角的余弦值． 【详解】设，则． 由得， 所以， 所以． 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，， 所以当时取到最大值，当时取到最小值， 所以的值域为． 6. 平面内，一质点在力作用下处于平衡状态，若，，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以，， 所以在方向上的投影向量为． 7. 已知函数,若在区间上有且仅有6个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意确定函数零点个数，结合正弦函数性质求解. 【详解】当时：令，得， 则在区间上的零点分别为， 当时：令，得，即， 得，即为零点. 综上在区间上的前7个零点分别为， 所以的取值范围是. 8. 若平面向量满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设为与的夹角,利用向量数量积的运算律，推得待求式表达的函数解析式，两次换元后利用函数的单调性求解其范围即可． 【详解】令，设为与的夹角, 得， 则，即； 因为 ， 而； 所以，记，设， 再令，则， 因函数在上单调递减，故，则， 进而的取值范围为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式的值为正数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据诱导公式和三角函数在各象限的符号规律分析判断即可. 【详解】对于A，是第四象限角，，错误； 对于B，是第一象限角，，正确； 对于C，，错误； 对于D，，正确． 10. 已知函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. 当时的最小值为 D. 当在区间上有最大值且没有最小值时，的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数中参数在图象中的意义进行判断，根据图象中点的坐标代入求参，利用正弦型函数整体代换的思想判断选项即可． 【详解】由，且在递减区间内， 得，解得，又，所以，故B错误； 由，得，故A正确； 当时，，函数先增后减，则，故C正确； 因为，则， 在区间上有最大值且没有最小值， 则，即，故D正确． 11. 已知，，，（，），则（ ） A. 不存在，使得 B. 当时，面积的最小值为 C. 存在，使得当最小时与重合 D. 当且时，的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，若，列方程得判断即可；B选项，用三角形面积公式代入进行化简，然后利用基本不等式求最小值；C选项，设出点坐标，然后表示，然后利用配方法得到取到最小值时的坐标进行判断即可；D选项，由得，再由得到点坐标，最后计算并利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】对于A，若，则， 得，由两个等式分别得，，矛盾，故A正确； 对于B，因为，，所以，，， 所以的面积为 ，当且仅当，时取等号，故B正确； 对于C，设， 所以 ， 当且仅当时，达到最小值，此时， 即与不重合，故C错误； 对于D，由，得，所以， 设，由，得， 所以，，即， 所以， 当且仅当时取等，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式和特殊角的三角函数值，化简求值. 【详解】由题意得． 13. 在中，角的对边分别为，设，且满足，则角的大小为______． 【答案】## 【解析】 【详解】由展开得， 整理得； 将代入上式得． 整理得， 由余弦定理，，因，则． 14. 若点是半径为1的圆上三点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】把已知的向量等式变形，两边平方后得到，代入求解． 【详解】由已知得，两边平方得，即， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角的终边经过点． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1），，； （2）． 【解析】 【小问1详解】 因为角的终边经过点，故； ； ． 【小问2详解】 根据诱导公式：因为，， ，， 所以， . 16. 已知向量，． （1）若与共线，求实数k的值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算计算出两个向量的坐标表达式，利用两向量共线的条件建立关于参数  的方程，解方程即得结果； （2）将所求模的平方用已知向量的模和数量积表示，得到关于参数  的二次函数，通过配方求出二次函数的最小值，开方后即为模的最小值. 【小问1详解】 因为，，所以，． 因为与共线，所以 ， 所以． 【小问2详解】 因为，，所以，， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 17. 已知中内角所对的边分别为，点为的中点，． （1）求面积的最大值； （2）若，求． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用计算面积，根据中的已知边角，利用余弦定理构造的关系式，通过基本不等式解决问题． （2）利用余弦定理求边，再根据中，利用余弦定理求． 【小问1详解】 在中，， 由余弦定理得， 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积， 所以的面积的最大值为． 【小问2详解】 在中由余弦定理得 ， 解得， 在中，由余弦定理得， 所以． 18. 如图，在中，点分别在边上，点为的中点且交于点． （1）若，证明：； （2）若，求的值； （3）若是边长为2的正三角形，点是与不重合的动点，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）． 【解析】 【小问1详解】 证明：因为点为的中点，所以， 因为，所以， 所以． 【小问2详解】 解：设，由， 得， 即， 即， 因为不共线，所以，解得． 【小问3详解】 解：因为是边长为2的正三角形，点为的中点， 所以，设， 则 因为，所以， 所以的取值范围是． 19. 已知函数满足对任意都有，且，． （1）证明：是周期函数； （2）老师告诉小李同学，，，中有且仅有一个函数可以作为，请你帮助小李确定哪一个函数可以作为，并以此函数作为，求解下面两道小题： （ⅰ）把的图象向右平移个单位长度，得到的图象，求的单调递减区间； （ⅱ）关于的方程在区间上有4个不同实根，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）通过合理赋值，利用周期函数的定义证明. （2）根据、的条件，逐一验证给出的三个函数，确定符合条件的； （ⅰ）根据函数图象平移遵循“左加右减”原则，得出的表达式，再利用余弦函数的单调性，结合复合函数单调性的判断方法求解单调递减区间； （ⅱ）先将方程因式分解，得到的两个可能取值，再结合选定的的图象与值域，根据方程有4个不同实根的要求，分析的取值范围. 【小问1详解】 证明：因为，中，取， 得 ， 所以，， 所以是周期函数，且是的一个周期． 【小问2详解】 由已知可知的定义域为，关于原点对称， 中取，得， 因为，所以， 所以不能作为， 中取， 得，所以， 所以是偶函数，不能作为， 所以． （ⅰ）， 由，得， 所以的单调递减区间为． （ⅱ）设，则，即或， 因为在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为原方程有4个不同实根，所以， 且 及在区间上各有2个不相等的实根． 所以解得，即的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $