精品解析：江西省南昌市江西科技学院附中2023-2024学年高一下学期5月份月考数学试卷

江科附中2023-2024学年度下学期5月份月考试卷 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z满足，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 正棱锥底面是正多边形，侧面都是等腰三角形 B. 棱台的各侧棱延长线必交于一点 C. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台 D. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 3. 已知向量，满足，，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 13 4. 已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 在直三棱柱中，，，E是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知锐角中，内角、、的对边分别为、、，，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 复数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知锐角的三个内角，，的对边分别是，，，且的面积为.则下列说法正确的是（ ） A. B. 的取值范围为 C. 若，则的外接圆的半径为2 D. 若，则的面积的取值范围为 11. 已知点P为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1表面上一动点，四边形ABCD为正方形，，E为AB的中点，F为DD1的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 过A1，C1，E三点的平面截该四棱柱所得截面的面积为 B. 过C1，E，F三点的平面截该四棱柱所得的截面为五边形 C. 若平面A1C1E，则点P的轨迹长度为 D. 若动点P到棱BB1的距离为，则点P的轨迹长度为 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数满足，则的虚部为__________. 13. 某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile;在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile.货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是__________nmile. 14. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，分别为的三个内角，，的对边，且. （1）求角； （2）若，的面积. 16. 如图，中，，D是AC中点，，AB与DE交于点M． （1）用表示﹔ （2）设，求的值； 17. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为棱，上的点，且，. （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在求出的值；若不存在，说明理由. 18. 响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，． （1）若鱼塘面积是“民宿”的面积的倍，求； （2）当为何值时，鱼塘面积最小，最小面积是多少？ 19. 任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题. （1）试将写成三角形式； （2）试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；； （3）计算：的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江科附中2023-2024学年度下学期5月份月考试卷 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z满足，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义得，即可求解对应的点. 【详解】由可得，故在复平面内对应的点为, 故对应的点为第一象限， 故选：A 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形 B. 棱台的各侧棱延长线必交于一点 C. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台 D. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱锥、棱柱、棱台的定义依次判断选项即可得到答案； 【详解】对于A，正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形，故A正确； 对于B，根据棱台的定义可得：棱台的各侧棱延长线必交于一点，故B正确； 对于C，用一个平行棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台，故C错误； 对于D，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故D正确； 故选：C. 3. 已知向量，满足，，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据，结合数量积运算求解. 【详解】根据题意，， 则 故选：B 4. 已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【详解】如图：三角形中，，则有两解的充要条件为： 即， 故选：A. 5. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在直观图中求出的长，再还原平面图，即可求出相应的线段的长度，从而求出面积. 【详解】如图，在直观图中过点，作交于点， 因为， 所以，，即 将直观图还原为平面图如下： 则，，， 所以. 故选：A 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知等式结合正弦定理可得，再由余弦定理可得，最后结合同角的三角函数关系和特殊三角函数值得到结果即可 【详解】由及正弦定理得，即， 由及余弦定理可得， ∴，∴，∴. 又，∴. 故选：D. 7. 在直三棱柱中，，，E是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，取中点，中点，连接，可得为异面直线与所成的角或其补角，结合余弦定理求解即可得答案. 【详解】如图，取中点，中点，连接 在直三棱柱中，，所以平面，有平面，所以，则 因为分别为中点，所以 又可得，则四边形为平行四边形 所以，则为异面直线与所成的角或其补角 由平面，平面，可得，所以， 在中，，，由余弦定理得， 所以， 所以在中，由余弦定理得 所以异面直线与所成的角的余弦值. 故选：B. 8. 已知锐角中，内角、、的对边分别为、、，，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理结合正弦定理化简可得出，根据为锐角三角形可求得角的取值范围，利用二倍角公式以及诱导公式化简得出，求出的取值范围，根据二次函数的基本性质可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由余弦定理可得，则， 由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，则，，所以，， 又因为函数在内单调递增，所以，，可得， 由于为锐角三角形，则，即，解得， ， 因为，则， 因为存在最大值，则，解得. 故选：C. 【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法： ①利用和的最值直接求； ②把形如的三角函数化为的形式求最值； ③利用和的关系转换成二次函数求最值； ④形如或转换成二次函数求最值. 二、多项选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 复数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用解方程求出，进而可得和，利用可得的值，利用复数的运算从而判断选项的正误. 【详解】由，可得，则，解得， 所以，故选项A，D正确. 当时，，当时，，故选项B正确，选项C错误. 故选：ABD. 10. 已知锐角三个内角，，的对边分别是，，，且的面积为.则下列说法正确的是（ ） A. B. 的取值范围为 C. 若，则的外接圆的半径为2 D. 若，则的面积的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：借助面积公式与余弦定理计算即可得；对B：借助锐角三角形定义与三角形内角和计算即可得；对C：借助正弦定理计算即可得；对D：借助正弦定理，结合面积公式将面积用单一变量表示出来，结合的范围即可得解. 【详解】对A：由题意可得，由余弦定理可得， 即有，即， 由，故，即，故A正确； 对B：则，，解得，故B正确； 对C：由正弦定理可得，即，故C错误； 对D：若，则， 由正弦定理可得，即， 即 ， 由，则，故，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：D选项关键点在于借助正弦定理，结合面积公式将面积用单一变量表示出来，结合的范围即可得解. 11. 已知点P为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1表面上一动点，四边形ABCD为正方形，，E为AB的中点，F为DD1的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 过A1，C1，E三点的平面截该四棱柱所得截面的面积为 B. 过C1，E，F三点的平面截该四棱柱所得的截面为五边形 C. 若平面A1C1E，则点P的轨迹长度为 D. 若动点P到棱BB1的距离为，则点P的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：取BC的中点G，连接C1G，EG，A1C1，A1E，证明得到，则，，，四点共面，得出过A1，C1，E三点的平面截该四棱柱所得的截面为等腰梯形A1C1GE，即可求解； 选项B：连接C1F并延长，交CD的延长线于H，连接EH交AD于I，连接IF，取BB1靠近B的四等分点Q，连接EQ，QC1，作的中点，连接和，证明，得到，，，，五点共面，从而得到五边形EQC1FI即过C1，E，F三点的平面截该四棱柱所得的截面； 选项C：分别取AD，CD，BC的中点M，N，G，连接D1M，D1N，MN，EG，C1G，证明平面平面A1C1GE，从而得到点P的轨迹为，即可求解； 选项D：点P轨迹长度为两个以为半径的圆的周长的再加上两个侧棱BB1的长度，即可求解. 【详解】选项A：如图1，取BC的中点G，连接C1G，EG，A1C1，A1E，则过A1，C1，E三点的平面截该四棱柱所得的截面为等腰梯形A1C1GE，理由如下： 连接，因为，分别是和的中点，所以， 又在平行四边形中，，所以，则，，，四点共面， 因为，所以，，， 则等腰梯形A1C1GE的高， 所以等腰梯形A1C1GE的面积，所以A正确； 选项B：如图2，连接C1F并延长，交CD的延长线于H，连接EH交AD于I，连接IF，取BB1靠近B的四等分点Q，连接EQ，QC1，则五边形EQC1FI即过C1，E，F三点的平面截该四棱柱所得的截面，理由如下： 作的中点，连接和，作的中点，连接和， 则有，，所以四边形是平行四边形，即， 又有，，，，所以，， 所以四边形是平行四边形，即，则， 所以，，，四点共面， 由题可知平面平面，平面平面，平面平面，所以， 又因为Q是BB1靠近B的四等分点，是的中点，所以， 则，所以，，，，五点共面，所以B正确； 选项C：如图3，分别取AD，CD，BC的中点M，N，G，连接D1M，D1N，MN，EG，C1G， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面A1C1GE， 则点P轨迹为，所以点P的轨迹长度为，故C错误； 选项D：如图4，若动点P到棱BB1的距离为，则点P的轨迹长度为两个以为半径的圆的周长的再加上两个侧棱BB1的长度，即，所以D正确． 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：多面体的截面问题，往往需要把满足条件的平面“延展”，得到其与多面体各个面的交线，从而确定“完整截面”的形状，进而求得其周长、面积等，得到交线的方法多是依据“线线平行”，即在多面体中充分利用“特征点”（中点、三等分点、四等分点等）作平行线得到交线． 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数满足，则的虚部为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数z，即可求得答案. 【详解】由，得， 故的虚部为1， 故答案为：1 13. 某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile;在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile.货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是__________nmile. 【答案】 【解析】 【分析】先在中，利用正弦定理求得AD，再在中，利用余弦定理求解. 【详解】在中，， 由正弦定理得， 在中，由余弦定理得， ， 所以. 故答案为： 14. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据面面平行的性质证明出点的轨迹为线段，在根据平面几何知识计算出的最值。 【详解】下图所示： 分别取棱、的中点、，连接，连接， 、、、为所在棱的中点，，， ，又平面，平面， 平面； ，，四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面， 又，平面，平面平面， 是侧面内一点，且平面， 则必在线段上， 在中，， 同理，在中，求得， 为等腰三角形， 当在中点时，此时最短，位于、处时最长， ， ， 所以线段长度的是大值与最小值之和为． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，分别为的三个内角，，的对边，且. （1）求角； （2）若，的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知根据余弦定理求解，然后根据特殊角的函数值求解即可； （2）结合完全平方和公式利用余弦定理求得，然后代入三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由余弦定理， 所以，又，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 因为，由已知得，故，故， 所以. 16. 如图，中，，D是AC的中点，，AB与DE交于点M． （1）用表示﹔ （2）设，求的值； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知结合图形，利用平面向量的减法运算，即可得到结果. （2）借助向量的线性运算，用表示，再利用共线向量定理的推论列式计算即得. 【小问1详解】 依题意，. 【小问2详解】 依题意， ，而三点共线，则， 所以. 17. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为棱，上的点，且，. （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先由面面平行的判定定理证明面面，即可证明平面； （2）假设在棱上存在点，使得面，由线面平行的性质定理即可得点为棱的中点. 【小问1详解】 在上取点，使得，连接， 在中，点、分别为、上的三等分点，则有 又面、面 由线面平行的判定定理：面 又且，∴四边形为平行四边形 则有，又面、面，∴面 由于面、面，，∴面面 又面，∴面 【小问2详解】 假设在棱上存在点，使得面 连接，交于 ∵面，面，面面 由线面平行的性质定理： 则在中，，易知， ∴，∴点为棱的中点，即 18. 为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，． （1）若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求； （2）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】（1） （2）时，的面积取最小值为 【解析】 【分析】（1）设（），则由与面积关系得，再在中由正弦定理得，进而建立等量关系即可求解. （2）在中由正弦定理得，再在中得，接着由面积公式结合三角恒等变换公式进行转换即可研究求解最值. 【小问1详解】 设（），则， 因为鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍， 所以，即， 中，由三角形外角定理可得， 在中，由，得， 从而，即， 由，得， 所以，即. 【小问2详解】 ∵，，， ∴，∴，∴，∴， 设（），则，， 又由（1）， 且在中，由，得， 所以 ， 又，所以当且仅当时，即时， 的面积取最小值为. 【点睛】思路点睛：求解鱼塘的面积最小值可根据问题确定变量为，面积公式为，再将统一用来表示即可结合三角恒等变换公式求解.. 19. 任意一个复数z代数形式都可写成复数三角形式，即，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题. （1）试将写成三角形式； （2）试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；； （3）计算：的值. 【答案】（1） （2）推导过程见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出复数的模，根据复数的三角形式，即可求得答案； （2）设模为1的复数为，利用复数的乘方运算，结合复数的相等以及同角的三角函数关系化简，即可推得结论； （3）由（2）的结论结合恒等变换推出，继而得，，再结合，化简，即可求得答案. 【小问1详解】 由于，故， 则； 【小问2详解】 设模为1的复数为， 则 ， 由复数乘方公式可得， 故； 【小问3详解】 首先证明：； 由于，则， 则，故， 则可得 ， ， 所以 . 【点睛】难点点睛：本题考查了复数的新定义问题，解答时要注意理解棣莫弗定理的含义以及复数乘方的运算，解答的难点在于第三问的求值，解答时要利用三倍角公式结合恒等变换化简，并结合进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$