精品解析：江西宜春市丰城市第九中学2025-2026学年高一（日新班）下学期6月阶段性检测数学试卷

丰城九中2025-2026学年下学期高一日新6月阶段性数学检测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列满足，，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 2. 的展开式中，的系数为（ ） A. 135 B. 15 C. D. 3. 设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 8 5. 某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选10名志愿者，10个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（ ） A. 45种 B. 36种 C. 28种 D. 8种 6. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中正确的是（ ） A. 将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变 B. 在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 C. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有95%的可能性患肺病 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和 8. 存在实数使得成立，则的范围为（ ） A. B. ， C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若随机变量且，则下列选项正确的有（ ） A. B. 若，则 C. D. 的最小值为50 10. 已知数列和满足，，，．则（ ） A. 是等比数列 B. 是等差数列 C. D. 11. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D. 当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列{an}和{bn}都是等差数列，且其前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则___． 13. 水平桌面上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面的4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面的距离是________. 14. 已知数列的前项和，若不等式对任意正整数都成立，则整数的最大值为______ 四、解答题：本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 16. 电动自行车作为一种绿色、节能的交通工具，受到广大市民的青睐，但随之而来的电动自行车违规停放和充电的问题，已成为城市管理的一大难题.某市为切实消除电动自行车消防安全隐患，决定在各小区建设智能充电桩，并统计了第1个月到6个月的充电桩的建成数量（单位：千个）如下表所示： 第个月 1 2 3 4 5 6 充电桩建成数量（千个） 0.9 1.7 3.2 5 5.3 5.5 根据表中数据，拟使用模型和模型对两个变量，进行拟合. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型的拟合程度更好； （2）根据（1）的分析，选取拟合程度更好的模型，求出关于的经验回归方程，并预测到第8个月时，全市的充电桩建成数量. 参考公式：对于一组数据，其相关系数；其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 参考数据：，，令，，，；令，，，. 17. 已知椭圆：的左焦点为，短轴长是长轴长的． （1）求的方程． （2）过点的直线与交于，两点，点，从下列两个命题中选择一个正确的命题，并证明． ①直线与的斜率之和为定值； ②直线与的斜率之积为定值． 18. 如图，已知平行六面体的各棱长均为，△是边长为的正三角形，点是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 19. 某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知，单次发射成功的概率为，失败的概率为，发射结果相互独立．计划发射多次． （1）若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射4次．记发射的次数为，求的分布列与期望； （2）若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为（即修复后，系统恢复到正常发射状态）．修复失败的概率为．考虑一个简化的连续发射模型，从第1次发射开始．若发射成功，则继续进行下一次发射；若发射失败但成功修复．则继续进行下一次发射；若发射失败且修复失败，则试验终止；此外，若连续2次发射失败，试验也终止． ①求至少发射3次的概率； ②定义为第次发射成功的概率，是否存在实数使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2025-2026学年下学期高一日新6月阶段性数学检测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列满足，，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以，，，，，… 所以数列是周期数列，周期为3， 所以. 2. 的展开式中，的系数为（ ） A. 135 B. 15 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知的通项为，， 可知的通项为， 令，，解得，，所以的系数为． 3. 设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】要判断是递增数列与是递增数列的条件关系，需分别验证充分性和必要性． 【详解】解：数列，，，0，1，2，3，…是递增数列， 但不是递增数列，故不充分； 数列1，1，1，1，…的前项和为是递增数列， 但该数列不是递增数列，故不必要． 故选：D． 4. 已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先由圆的对称性推出圆心在已知直线上，得到与的和为定值，再通过基本不等式求目标式的最小值. 【详解】若圆上存在两点关于某直线对称，则该直线为圆的对称轴，必过圆心. 已知圆的圆心为，将其代入直线方程， 可得.  而. 根据基本不等式，对正实数有， 令，则，  当且仅当时，即时等号成立. 代入得，联立与， 解得，满足，等号可取，故的最小值为4. 5. 某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选10名志愿者，10个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（ ） A. 45种 B. 36种 C. 28种 D. 8种 【答案】B 【解析】 【详解】10个名额为相同元素，可用隔板法，10个相同元素分为8组，即将7个隔板插入9个空，． 6. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将原等式变形化简，利用累加法求出，进而求得结果. 【详解】因为，则， 当时， ， 显然满足上式，即有，所以． 7. 下列命题中正确的是（ ） A. 将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变 B. 在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 C. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有95%的可能性患肺病 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和 【答案】D 【解析】 【分析】对A，由均值的理解可知；对B，由线性相关系数的理解与求法都可得；对C，根据对独立性检验思想的理解可知；对D，非线性转化线性回归，由换元的关系可得. 【详解】对A，将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后， 均值也应加上或减去同一个常数，故A错误； 对B，所有样本点都在直线上， 由此成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系， 则线性相关系数，由成对样本数据负相关，则，故B错误； 对C，在犯错误率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系， 我们可以认为吸烟更容易引发肺病.独立性检验可以推断分类变量吸烟与患肺病是否独立， 而不能得到一个吸烟的人有多大可能性患病的结论，故C错误； 对D，由，，且，若线性回归方程为， 则，即，的值分别是和，故D正确. 8. 存在实数使得成立，则的范围为（ ） A. B. ， C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，将问题转化为有解，联立方程组即可. 【详解】由可得， 设，则可得， 则点在以为焦点的双曲线的左支上，即点满足， 又点满足，则有解， 若，则方程组无解； 若，则联立，得， 则，得或， 故的范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若随机变量且，则下列选项正确的有（ ） A. B. 若，则 C. D. 的最小值为50 【答案】CD 【解析】 【分析】先根据正态分布 的对称性，由 推出 ；再利用期望的线性性质判断选项A，通过正态分布的对称性计算区间概率判断选项B，结合正态曲线的对称性与单调性比较概率大小判断选项C，最后利用均值不等式求解 的最小值判断选项D. 【详解】因为已知 ，则正态曲线关于直线 对称，且 ， 由条件 ，根据对称性可得 ，即 ， 选项A：根据期望的线性性质： ，A选项错误； 选项B：因为 ，由对称性 ， 所以 ， 因此 ，B选项错误； 选项C：根据正态分布的对称性：， 又因为 ，且正态分布的累积分布函数是增函数， 所以， 即 ，C选项正确； 选项D：因为，由均值不等式：， 当且仅当 时取等号，故 的最小值为50，D选项正确． 10. 已知数列和满足，，，．则（ ） A. 是等比数列 B. 是等差数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】将已知的两式相加、相减可得有关结论. 【详解】由已知：， 得：且， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 故A正确，且③ 故C错误； 得：且， 所以是以为首项，为公差的等差数列. 故B正确，且④ ③④得：， 故D正确. 故选：ABD 11. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D. 当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答. 【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，A正确； 对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件， 是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，B正确； 对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和， 它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误； 对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率， 单次传输发送0，则译码为0的概率，而， 因此，即，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列{an}和{bn}都是等差数列，且其前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则___． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等差数列的性质以及前n项和公式，结合已知条件推出，即可求得答案. 【详解】由题意知数列{an}和{bn}都是等差数列，＝， 则, 故答案为： 13. 水平桌面上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面的4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面的距离是________. 【答案】3R 【解析】 【分析】 由题意可知：球心的连线组成底面边长为，侧棱长为的正四棱锥，求出顶点到底面的距离，再加上小大球的半径即为顶点小球的球心到水平桌面的距离. 【详解】设小球球心为O，其他4个球的球心分别是A，B，C，D， 则它们构成一个正四棱锥，如图所示， 连接AC，BD，交于点，连接， 由题意知，所以.又，所以， 故点O到水平桌面的距离是， 故答案为：3R. 【点睛】该题考查的是有关利用所学知识来解决实际的问题，在解题的过程中，注意将问题进行正确的数学建模，涉及到的知识点有正四棱锥的高的求解，属于较难题目. 14. 已知数列的前项和，若不等式对任意正整数都成立，则整数的最大值为______ 【答案】2 【解析】 【分析】先根据计算得出，再代入结合数列的单调性得出最大值即可求解不等式. 【详解】当时，，得， 当时，， 又， 两式相减得，得， 所以． 又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列， ，即． 因为，所以不等式，等价于． 记， ， 当时，，当时，， 综上，， 所以，所以整数的最大值为2． 四、解答题：本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由与的关系，根据，求得数列的通项公式； （2）分析和两种情况，即可数列的前n项和． 【小问1详解】 当时，，即， 当时，， 时，满足上式，所以. 【小问2详解】 .令，解得，且， 所以当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：． 16. 电动自行车作为一种绿色、节能的交通工具，受到广大市民的青睐，但随之而来的电动自行车违规停放和充电的问题，已成为城市管理的一大难题.某市为切实消除电动自行车消防安全隐患，决定在各小区建设智能充电桩，并统计了第1个月到6个月的充电桩的建成数量（单位：千个）如下表所示： 第个月 1 2 3 4 5 6 充电桩建成数量（千个） 0.9 1.7 3.2 5 5.3 5.5 根据表中数据，拟使用模型和模型对两个变量，进行拟合. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型的拟合程度更好； （2）根据（1）的分析，选取拟合程度更好的模型，求出关于的经验回归方程，并预测到第8个月时，全市的充电桩建成数量. 参考公式：对于一组数据，其相关系数；其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 参考数据：，，令，，，；令，，，. 【答案】（1）的拟合程度更好. （2）经验回归方程为 ，预测到第8个月时，全市的充电桩建成数量为6400个. 【解析】 【分析】（1）分别计算两个模型的相关系数，再进行比较即可. （2）首先计算均值，求出经验回归方程，再代入计算即可. 【小问1详解】 对于模型，令，代入公式得. 对于模型，令，代入公式得. 因为，所以的拟合程度更好. 【小问2详解】 ，. 根据最小二乘估计 ， . 因此关于的经验回归方程为 . 当时，代入得. 因此预测到第8个月时，全市充电桩建成数量为千个. 17. 已知椭圆：的左焦点为，短轴长是长轴长的． （1）求的方程． （2）过点的直线与交于，两点，点，从下列两个命题中选择一个正确的命题，并证明． ①直线与的斜率之和为定值； ②直线与的斜率之积为定值． 【答案】（1）椭圆的方程为； （2）命题①正确，定值为。 【解析】 【分析】（1）由椭圆焦点得，结合短轴长与长轴长的比例关系及求解参数，即可得椭圆方程； （2）设过的直线方程与椭圆联立，利用韦达定理化简斜率之和的表达式，验证其为定值. 【小问1详解】 由题意可知：解得因此椭圆的方程为 【小问2详解】 命题①正确， 证明如下：当斜率不存在或斜率不为时， 设过的直线方程为，， 将直线方程代入椭圆方程得： ， 整理得， 由韦达定理得： ， ， 化简得, 当斜率为时，设，显然，故命题①成立. 18. 如图，已知平行六面体的各棱长均为，△是边长为的正三角形，点是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设交于点，连接，通过平面，得到，再结合建系，通过，即可证明； （2）求得相应平面的法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 设交于点，连接， 因为平行六面体各棱长均为3， 所以四边形是菱形，故，为中点， 又是边长为3的正三角形，∴， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以， 由向量运算：，， 由 ， 代入，得，同理得， 因此， 则，即，又 则， 又，平面， 故平面； 【小问2详解】 由（1），平面， 故以为轴，平面为坐标平面， 则，，， ， 设，则，， 因为，， 可得，联立解得 即， 由 得，， 因为是​中点，故， 平面即平面，由（1）平面，且 知其一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令得， 即， 设二面角的平面角为，由图可知 ， 故二面角的余弦值为. 19. 某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知，单次发射成功的概率为，失败的概率为，发射结果相互独立．计划发射多次． （1）若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射4次．记发射的次数为，求的分布列与期望； （2）若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为（即修复后，系统恢复到正常发射状态）．修复失败的概率为．考虑一个简化的连续发射模型，从第1次发射开始．若发射成功，则继续进行下一次发射；若发射失败但成功修复．则继续进行下一次发射；若发射失败且修复失败，则试验终止；此外，若连续2次发射失败，试验也终止． ①求至少发射3次的概率； ②定义为第次发射成功的概率，是否存在实数使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的分布列为 1 2 3 4 期望为 （2）① ；②存在； 【解析】 【分析】（1）依题意，确定的取值可能为1，2，3，4，分别求出其对应的概率，列出分布列，利用数学期望公式计算即可； （2）①记第次发射成功为事件，第次发射失败后修复成功为事件，至少发射3次为事件，则，根据概率乘法公式求解； ②第次发射成功有2种情形：第次、第次发射成功，或第次发射成功，第次发射失败且发射失败后修复成功，第次发射成功，则，再构造等比数列求解. 【小问1详解】 由题知，的所有可能取值分别为1，2，3，4， 则， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 ． 【小问2详解】 ①记第次发射成功为事件，第次发射失败后修复成功为事件， 则，，， 记至少发射3次为事件，则， 所以 ． ②第次发射成功有2种情形：第次、第次发射成功， 或第次发射成功，第次发射失败且发射失败后修复成功，第次发射成功， 所以， 设，则， 所以，解得，或， 因为，，所以时， 是等比数列， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $