精品解析：甘肃庆阳市华池县第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

华池一中2025-2026学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷 考试时间为120分钟 本试卷分为第I卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分.试卷满分150分.答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、班级、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效.考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算法则得，再利用复数的模长的计算公式，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 则， 故选：D. 2. 已知复数是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的四则运算法则及共轭复数的概念计算即可. 【详解】由复数的四则运算可得：，则有. 故选：D. 3. 已知平面向量，满足：，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据投影向量公式求解. 【详解】由题意得，在方向上的投影向量. 故选：C 4. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用降幂公式求解 【详解】. 故选：D. 5. 已知，是单位向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数量积性质，直接将向量的模转化为向量的数量积进行运算，解出夹角余弦值，进而根据范围求角． 【详解】由，得，即， 设单位向量与的夹角为θ，则有， 解得，又，所以． 故选：C. 6. 已知在中，，且，则的形状为(　　)． A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【详解】∵，∴ ∴90°<∠BAC<180°，故是钝角三角形． 答案为：A 点睛:这个题目考查了向量数量积的运算，两个向量数量积小于0，则夹角不一定是钝角，还有可能是平角，反之，当两个向量的夹角是钝角时，则向量数量积一定是小于0的．对于锐角时，向量数量积一定大于0，向量数量积大于0，不一定是锐角，也可能是． 7. 在中，，，，若，则等于（ ） A. 7 B. 8 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，通过数量积的坐标运算即可求解. 【详解】如图，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 过作，且，连接，延长到，使， 连接，则四边形为平行四边形， . 又， 为边的中点. 根据条件得，，，， ，， . 故选：C. 8. 在中，内角，，所对应的边分别为，，．若且，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理结合条件，得，再由余弦定理结合基本不等式求得的最小值，进而得到的最大值，再求的面积的最大值即可. 【详解】在中， 又∵，∴ 故， ∵,∴, 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积的最大值为． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 为纯虚数 C. 的实部为1 D. 是实数 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数除法求出，再逐项判断即得. 【详解】依题意，， 对于AC，的实部是1，虚部是，A错误，C正确； 对于B，是纯虚数，B正确； 对于D，是实数，D正确． 故选：BCD 10. 如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算结合给定图形计算判断ABC；利用数量积的定义及运算律计算判断D作答. 【详解】在中，为的中点，为的中点，， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由，有，C正确； 对于D，依题意，，于是 ，D正确. 故选：BCD 11. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据诱导公式可判断A；由二倍角的正弦公式可计算B；由二倍角的余弦公式可判断C；由诱导公式可计算D. 【详解】对于A：，所以A正确 对于B：，所以B正确 对于C：，所以C不正确 对于D：，所以D正确， 故选：ABD. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的减法运算求解. 【详解】解：， 故答案为： 13. 若复数为虚数单位，，则 ______ 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，得到复数对应点，设，由，得到，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由复数，所以复数对应复平面内的点， 设，则复数对应复平面内的点， 由，可得， 在复平面内，点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆，如图所示， 所以． 故答案为：． 14. 已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且，则的周长为______. 【答案】9 【解析】 【分析】由题知，进而结合题意得，，再根据余弦定理解方程即可得答案. 【详解】解因为，所以， 又因为， 所以，又为锐角，所以， 由余弦定理得，解得或， 因为当时，，此时一定不是钝角，故舍去. 所以，所以的周长为. 故答案为：9 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，求： （1）若﹐求； （2）若，求的值． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用求出，再利用向量相等的坐标表示即可求出结果；（2）先求出，再利用向量平行的坐标表示即可求出结果. 【小问1详解】 因为，所以，，所以， 又因为，所以，解得，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 又，所以，即，所以. 16. 已知分别为的三个内角的对边，且，，． （1）求及的面积； （2）若为边上一点，且，求的正弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得出关于的二次方程，可解出的值，进而可求得的面积； （2）在中，利用正弦定理可求得的值，再由可得出，进而可求得的正弦值. 【小问1详解】 由余弦定理得， 整理得，即， 因为，解得， 所以. 【小问2详解】 由正弦定理得：， 所以， 在三角形中，因为，则， 所以. 17. 已知，，且，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的范围及可求的值； （2）先求，结合和角公式，求出，根据的范围可得角的大小. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，，所以， 因为，所以，且； . 因为，所以. 18. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，． （1）求线段BC的长度； （2）求线段AC的长度； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式即可求解； （2）利用（1）的结论及余弦定理即可求解； （3）利用（1）(2)的结论及正弦定理即可求解； 【小问1详解】 因为，，， 所以，解得， 所以线段BC的长度为. 【小问2详解】 由（1）知，， 在中，由余弦定理可得 ， 解得， 所以线段AC的长度为. 【小问3详解】 由（1）（2）知, 在中，由正弦定理可得 ，即，得， 又因为， 所以 在中，由正弦定理可得 ，即得， 故的值为. 19. 已知，且，当时，定义平面坐标系为“仿射”坐标系，在“仿射”坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：，分别为轴，轴正方向上的单位向量，若，则记为，那么， （1）在“仿射”坐标系中，下列结论是否仍然成立： ①设，则； ②设，，若，则； （2）设，，证明：的充要条件是； （3）设，，若与的夹角为，求的值. 【答案】（1）①不成立，②成立； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据新定义，应用向量数量积的运算律求得判断①，由向量共线的基本定理有且，即可判断②； （2）应用向量数量积的运算律及向量垂直，结合充要条件的定义证明结论； （3）由题设，，应用向量数量积的运算律及夹角公式列方程求得，即可得. 【小问1详解】 由题设，则， ①且，则，当时，则不成立； ②由，又，则且，故，则； 故①不成立，②成立. 【小问2详解】 由，又，则， 所以，得证. 【小问3详解】 由题设，，则， ， ， 所以，则， 且，则，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华池一中2025-2026学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷 考试时间为120分钟 本试卷分为第I卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分.试卷满分150分.答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、班级、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效.考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（　　） A. 1 B. C. D. 2. 已知复数是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，满足：，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 的值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是单位向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在中，，且，则的形状为(　　)． A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 在中，，，，若，则等于（ ） A. 7 B. 8 C. 12 D. 13 8. 在中，内角，，所对应的边分别为，，．若且，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 为纯虚数 C. 的实部为1 D. 是实数 10. 如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 11. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简__________． 13. 若复数为虚数单位，，则 ______ 14. 已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且，则的周长为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，求： （1）若﹐求； （2）若，求的值． 16. 已知分别为的三个内角的对边，且，，． （1）求及的面积； （2）若为边上一点，且，求的正弦值． 17. 已知，，且，． （1）求的值； （2）求的值． 18. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，． （1）求线段BC的长度； （2）求线段AC的长度； （3）求的值． 19. 已知，且，当时，定义平面坐标系为“仿射”坐标系，在“仿射”坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：，分别为轴，轴正方向上的单位向量，若，则记为，那么， （1）在“仿射”坐标系中，下列结论是否仍然成立： ①设，则； ②设，，若，则； （2）设，，证明：的充要条件是； （3）设，，若与的夹角为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $