精品解析：海南海口市第二中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试数学试卷

海口二中2025-2026学年度第二学期高一年级 数学科期中考试卷 考试范围：必修一至必修二8.3 卷面总分值：150分 考试时长：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（    ） A. B. C. D. 12 4. 圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 5. 已知与是不共线的向量，且，若三点共线，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 6. 如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数，则下列命题中正确的是（    ） A. B. 在复平面上对应的点在第四象限 C. 是纯虚数 D. 的虚部为 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的有（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 11. 我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗．它们均可抽象为正八边形，如图3，O为其中心．记，，且，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 在中，若，，，则________． 13. 已知，，则__________ 14. 在中，，点在线段上，点在线段上，且满足，.记，，用和表示______；若，，则______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，． （1）求； （2）设与的夹角为，求的值； （3）若向量与互相垂直，求k的值． 16. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中的图象与轴的一个交点的横坐标为. （1）求这个函数的解析式，并写出其图象的对称轴方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 17. 在中，内角，，所对的边长分别是，. （1）求角； （2）若，，，求AB边上的高. 18. 随着我国房地产行业迅速发展和人们生活水平的不断提高，大家对住宅区的园林绿化设计提出了更高､更新的要求，设计制“人性化，生态化､自然化”的园林式居住区，以提高现代人的生活质量，成为当今住宅区园林绿化的设计准则.某小区有一片绿化用地，如图所示，区域四周配植修剪整齐的本土植物，中间区域合理配植有层次感的高､中､低植物，BD为鹅卵石健康步道，，，，. （1）求鹅卵石健康步道BD的长（单位：）； （2）求绿化用地总面积（单位：）. 19. 已知，，函数. （1）求函数的解析式及周期； （2）若，且，求的值. （3）角、、分别为、、三边所对的角，若，，求周长的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海口二中2025-2026学年度第二学期高一年级 数学科期中考试卷 考试范围：必修一至必修二8.3 卷面总分值：150分 考试时长：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据模长公式运算即可得解. 【详解】因为,所以.​ 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以. 3. 如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（    ） A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜二测画法还原，可求各边长度和周长. 【详解】由题可作出图形，如下图所示： 由，可知，，， 所以， 故的周长为. 4. 圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设圆台的上下底面圆的半径分别为，根据题意，求得，再利用圆台的侧面积公式，列出方程，即可求解. 【详解】设圆台较小底面圆的半径为，较大的底面圆的半径为， 因为圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍， 可得，所以， 又因为圆台的侧面积为，可得，解得. 故选：A. 5. 已知与是不共线的向量，且，若三点共线，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，且三点共线， 所以存在实数，使得，即. 因为与是不共线的向量，所以，解得​， 代入得，因此的值为. 6. 如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以. 因为点为的中点，所以， 所以. 故选：B. 7. 已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在边长为2的正方形中，， 设，， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 8. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用降幂公式及正弦定理将边化为角后结合辅助角公式可求出，再利用余弦定理计算即可得. 【详解】由，得， ， ，.，， ，，，， 由余弦定理， 得，解得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数，则下列命题中正确的是（    ） A. B. 在复平面上对应的点在第四象限 C. 是纯虚数 D. 的虚部为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再一一判断即可. 【详解】因为，所以复数的虚部为1，故D错误； 对于A：，故A正确； 对于B：因为，所以在复平面上对应的点为，位于第四象限，故B正确； 对于C：是纯虚数，故C正确. 故选：ABC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的有（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的图象，利用三角函数的性质，求得，结合三角函数的对称性，以及图象变换，逐项判断，即可求解. 【详解】A，由函数的图象，可得，可得，所以，所以A正确； B，由，可得，可得， 解得，因为，所以，所以B正确； C，由，令，可得， 令，可得，所以不是函数的一条对称轴，所以C错误； D，将函数的图象向左平移个单位， 可得，所以D正确. 11. 我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗．它们均可抽象为正八边形，如图3，O为其中心．记，，且，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据数量积的定义求，判断A，根据向量的线性运算判断BC，利用基底表示，根据投影向量的定义计算在上的投影向量，判断D. 【详解】对于A，由已知，即向量的夹角为， 又，则，A正确， 对于B，，，B错误， 对于C，因为，， 所以， 所以，又为的角平分线， 由平行四边形法则可得， 所以，C正确， 对于D，因为，， 则，又， 所以在上的投影向量为，D正确. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 在中，若，，，则________． 【答案】3 【解析】 【详解】由余弦定理得：， 所以 13. 已知，，则__________ 【答案】## 【解析】 【分析】对已知的两个式子左右两边平方，相加后利用同角三角函数基本关系，再结合两角差的正弦定理的逆用，代入即可求解. 【详解】由题知①， ②， 得， 即， 所以，所以. 14. 在中，，点在线段上，点在线段上，且满足，.记，，用和表示______；若，，则______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，以及数量积的运算律，即可求解. 【详解】由题设，， 所以. , , 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，． （1）求； （2）设与的夹角为，求的值； （3）若向量与互相垂直，求k的值． 【答案】（1）7 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标运算求出的坐标，根据向量的模的计算可得解； （2）利用向量的夹角公式直接可得解； （3）根据向量垂直可得数量积，进而可得参数值. 【小问1详解】 由已知，， 则，故； 【小问2详解】 由已知可得，，， 则； 【小问3详解】 由向量与互相垂直， 则， 解得. 16. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中的图象与轴的一个交点的横坐标为. （1）求这个函数的解析式，并写出其图象的对称轴方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1），对称轴方程 （2）最大值是，最小值是 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可得及周期，即可求出，再利用待定系数法求出，最后根据正弦函数对称轴的条件写出对称轴方程； （2）先求出相位在区间内的取值范围，再分别找到使函数取得最值的相位，反解出对应并代入计算，从而得到区间上的最大值和最小值. 【小问1详解】 由图可知，还可知，故可得最小正周期， 因为，所以， 因为，，则， 综上可得， 由，可得，此即为函数图像的对称轴方程； 【小问2详解】 当时，， 当，即时，取得最大值为； 当，即时，取得最小值为； 故在区间上的最大值是，最小值是. 17. 在中，内角，，所对的边长分别是，. （1）求角； （2）若，，，求AB边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理得，，通过角的转化及两角和的正弦公式化简即可求得； （2）根据余弦定理得到的值，联立可解得，进而可判断的形状，从而求解. 【小问1详解】 因为， 根据正弦定理得，. 因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 根据余弦定理得，， 将，代入上式整理得，， 又因为且，解得，， 所以，所以为以AB为斜边的直角三角形， 所以斜边AB上的高为. 18. 随着我国房地产行业迅速发展和人们生活水平的不断提高，大家对住宅区的园林绿化设计提出了更高､更新的要求，设计制“人性化，生态化､自然化”的园林式居住区，以提高现代人的生活质量，成为当今住宅区园林绿化的设计准则.某小区有一片绿化用地，如图所示，区域四周配植修剪整齐的本土植物，中间区域合理配植有层次感的高､中､低植物，BD为鹅卵石健康步道，，，，. （1）求鹅卵石健康步道BD的长（单位：）； （2）求绿化用地总面积（单位：）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中利用余弦定理计算可得； （2）在中，由面积公式计算，由余弦定理求出，即可得到，再根据两角差的正弦公式求出，即可求出，即可得解； 【小问1详解】 解：在中由余弦定理可知， 即. 【小问2详解】 解：在中，. 由余弦定理可得， 则 因为，，所以，在中，，则 ， 则 所以绿化用地总面积为. 19. 已知，，函数. （1）求函数的解析式及周期； （2）若，且，求的值. （3）角、、分别为、、三边所对的角，若，，求周长的最大值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可； （3）由得出，根据余弦定理结合基本不等式计算求解即可. 【小问1详解】 . 周期； 【小问2详解】 由可知，，化简得， ，，， ； 【小问3详解】 由可得，即， 又，则，则，所以. 由余弦定理知： ， 当且仅当时“”成立， 此时为等边三角形， 又所以的周长的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $